Lista 1 cálculo 3b

(1)

DMAT/UFES - Lista para P1 (10/04/18) - C´alculo 3B - 1o_{/2018 - Jaqueline da Costa Ferreira}

Se¸c˜ao 1.3 p´ag 14

1. Determine a ordem da equa¸cão e diga se ela é linear ou não.

(a) t2d 2_y dt2 + t dy dt + 2y = sent (b) (1 + y2₎d 2_y dt2 + t dy dt + y = e t (c) y(4)_{+ y}(3)_{+ y}00_{+ y}0_{+ y = 1} (d) y0+ ty2 = 0

(e) y00+ sen(t + y) = sent

2. Verifique que cada fun¸cão dada é solu¸cão da equa¸cão diferencial (a) y00− y = 0, y(t) = et_; (b) y00 + 2y0 − 3y = 0, y1(t) = e−3t e y(t) = et_; (c) ty0 − y = t2_{, y(t) = 3t + t}2_; (d) t2_y00_{+ 5ty}0_{+ 4y = 0,} _{t > 0, y} 1(t) = t−2 e y2(t) = t−2lnt Se¸cão 2.1 pág 23

1. Encontre solu¸c˜ao do problema de valor ini-cial dado.

(a) y0− y = 2te2t_{, y(0) = 1}

(b) y0+ 2y = te−2t, y(1) = 0 (c) ty0+2y = t2 _{= t+1, y(1) =} 1 2, t > 0 (d) y0+ 2 ty = cost t2 , y(π) = 0, t > 0 (e) y0− 2y = e2t_{, y(0) = 2} (f) ty0 + 2y = sent, yπ 2 = 1, t > 0 (g) t3y0 + 4t2y = e−t, y(−1) = 0, t < 0 (h) ty0 + (t + 1)y = t, y(ln2) = 1, t > 0 2. Encontre o valor de y0 para o qual a

solu¸c˜ao do problema de valor inicial y0− y = 1 + 3sent, y(0) = y0

permanece finita quando t → ∞.

3. Mostre que todas as solu¸cões de 2y0+ ty = 2 tedem a um limite quando t → ∞ e en-contre o valor desse limite. [Sugestão: con-sidere a solu¸cão com a integral definida e aplique L’Hospital no primeiro termo]

4. Mostre que, se a e λ são constantes posi-tivas e se b é qualquer número real, então toda a solu¸cão da equa¸cão

y0+ ay = ye−λt

tem a propriedade que y → 0 quando t → ∞.

1. A equa¸c˜ao y0 = 2x

y + x2_y ´e do tipo

separ´avel?

2. Resolva a equa¸c˜ao diferencial dada (a) y0 = x 2 y (b) y0 = x 2 y(1 + x3₎ (c) y0+ y2_{senx = 0}

(d) y0 = (cos2_x)(cos2_2y)

(e) xy0 =p1 − y2 (f) dy dx = x − e−x y + ey (g) dy dx = x2 1 + y2

3. Resolva o problema de valor inicial. Quando poss´ıvel de a solu¸cão expl´ıcita e determine, aproximadamente, o intervalo no qual a solu¸cão está definida.

(a) y0 = (1 − 2x)y2, y(0) = −1 6 (b) y0 = 1 − 2x y , y(1) = −2 (c) ye−xy0+ x = 0, y(0) = 1 (d) y0 = 3x 2_{− e}x 2y − 5 , y(0) = 1

(2)

(e) sen2x+cos3ydy

dx = 0, y(π/2) = π/3 4. Resolva o problema de valor incial

y0 = 2y2+ xy2, y(0) = 1

e determine onde a solu¸c˜ao atinge seu valor m´ınimo.

5. Considere o problema de valor inicial y0 = ty(4 − y)

3 , y(0) = y0.

Determine como o comportamento da solu¸c˜ao quando t aumenta depende do valor inicial y0.

Substitui¸cão: pág 28 (Homogênea) 43 ( Bernoulli), 72 (Riccati)

1. Mostre que a equa¸cão dada é homogênea e resolva. (a) dy dx = x2_{+ xy + y}2 x2 (b) dy dx = x2+ 3y2 2xy (c) dy dx = 4y − 3x 2x − y (d) dy dx = − 4x + 3y 2x + y (e) dy dx = x + 3y x − y (f) dy dx = x2_{− 3y}2 2xy (g) dy dx = 3y2− x2 2xy

2. As equa¸cões dadas são equa¸cões de Bernoulli, use substitui¸cão para resolve-las.

(a) t2y0 + 2ty − y3 = 0, t > 0 (b) y0 = ry − ky2_, _{r > 0, e k > 0.}

(c) y0 = y − y3

(d) y0 = (cost + 1)y − y3 _{excluir da lista} 3. Resolva cada uma das equa¸c˜oes de Riccati

a seguir dada as respectivas solu¸c˜oes par-ticulares. (a) y0 = 1 + t2− 2ty + y2_; _y 1(t) = t (b) y0 = −1 t2 − y t + y 2_; _y 1(t) = 1 t (c) y0 = 2cos 2_{t − sen}2_{t + y}2 2cost ; y1(t) = sent

4. A propaga¸cão de uma única a¸cão em uma popula¸cão grande (por exemplo, motorista acendendo os faróis quando o sol se põe) muitas vezes depende parcialmente de cir-cunstâncias externas (o escurecimento) e parcialmente de uma tendência de imitar outros que já fizeram a a¸cão em questão. Neste caso, a propor¸cão y(t) de pessoas que efetuaram a a¸cão pode ser descrita pela equa¸cão

y0 = (1 − y)(p(t) + by)

onde p(t) mede o est´ımulo externo e b ´e o coeficiente de imita¸c˜ao.

(a) Observe que a equa¸cão acima é de Riccati e que y1(t) = 1 é uma

solu¸cão. Use a substitui¸cão sugerida pelo método e encontre a equa¸cão lin-ear satisfeita por v(t).

(b) Encontre v(t) no caso que p(t) = at, onde a ´e uma constante. Deixe sua resposta na forma integral.

1. Considere um tanque usado em determi-nados experimentos hidrodinâmico. Após um experimento, o tanque contém 200 litros de uma solu¸cão de tinta a uma con-centra¸cão de 1g/l. Para preparar para o próximo experimento, o tanque tem que ser lavado com água fresca entrando a uma taxa de 2 litros por minuto, a solu¸cão bem misturada saindo a mesma taxa. Encon-tre o tempo necessário para que a concen-tra¸cão de tinta no tanque atinja 1 porcento de seu valor original.

(3)

2. Um tanque contém, inicialmente 120 litros de água pura. Uma mistura contendo uma concentra¸cão de γg/l de sal entra no tanque a uma taxa de 2l/min e a solu¸cão, bem misturada, sai do tanque a mesma taxa. Encontre uma fórmula, em fun¸cão de γ, para a quantidade de sal no tanque em qualquer instante t. Encontre, também, a quantidade limite de sal no tanque quando t → ∞.

3. Um tanque contém, originalmente, 100 ga-loes de água fresca. É despejada, então, ´

agua no tanque contendo 1/2 lb de sal por galão a uma taxa de 2 galões por minuto e a mistura sai do tanque a mesma taxa. Após 10 minutos, o processo é parado e ´

e despejado água fresca no tanque a uma taxa de 2 galões por minuto, com mistura saindo, novamente, a mesma taxa. En-contre a quantidade de sal no tanque após mais 10 minutos.

4. Um tanque, com capacidade para 500 galões, contém, originalmente, 200 galoes de uma solu¸cão de água com 100lb de sal. Uma solu¸cão de água contendo 1lb de sal por galão entra a uma taxa de 3 galoes por minuto. Encontre a quantidade de sal no tanque em qualquer instante anterior ao instante em que o tanque come¸ca a trans-borda. Encontre a concentra¸cão de sal no tanque quando está a ponto de transbor-dar. Compare essa concentra¸cão com o limite teórico de concentra¸cão se o tanque tivesse capacidade infinita.

5. A popula¸cão de mosquitos em determi-nada área cresce a uma taxa proporcional a papula¸cão atual e, na ausência de outros fatores, a popula¸cão dobra a cada semana. Existem, inicialmente, 200.000 mosquitos na área e os predadores comem 20.000 mosquitos por dia. Determine a popula¸cão de mosquitos na área em qualquer instante t.

6. A lei de refriamento de Newton diz que a temperatura de um objeto muda a uma taxa proporcional a diferen¸ca entre sua temperatura e a do ambiente que o rodeia. Suponha que a temperatura de uma x´ıcara de caf´e obedece a lei do resfriamento de Newton. Se o caf´e estava a uma temper-atura de 200o_{F ao ser colocado na x´ıcara}

e, um minuto depois, esfriou para 190o _em

uma sala a 70o _{determine quando o caf´}_e

atinge a temperatura de 150o_.

7. Uma bola de massa 0, 15kg ´e atirada para cima com velocidade inicial de 20m/s do teto de uma edif´ıcio de 30 m de altura. Despreze a resistˆencia do ar.

(a) Encontre a altura m´axima, acima do ch˜ao, atingida pela bola.

(b) Suponha que a bola n˜ao bate no pr´edio ao descer, encontre o instante que ela atinge o solo.

8. Um trenó foguete com velocidade ini-cial de 150 milhas/h tem sua velocidade diminu´ıda por um canal de água. Suponha que durante o processo de frenagem a acel-era¸cão a é dada por a(v) = −µv2, onde v é a velocidade e µ é uma constante.

(a) Como no exemplo 4 do texto, use a rela¸c˜ao dv

dt = v dv

dx para escreva a equa¸c˜ao de movimento em fun¸c˜ao de v e x.

(b) Se é necessário uma distância de 2000 pés para o trenó atingir a velocidade de 15milhas/h, determine o valor de µ.

(c) Encontre o tempo τ necess´ario para o tren´o atingir a velocidade de 15mil-has/h.

9. Suponha que um foguete ´e projetado da superf´ıcie da terra diretamente para cima com velocidade inicial v0 =

√

2gR. De-spreze a resistˆencia do ar.

(4)

(a) Encontre uma fórmula para a veloci-dade v em fun¸cão da distância x a superf´ıcie da terra.

(b) Encontre o tempo necessário para o foguete percorrer 240.000 milhas. Suponha que R = 4000 milhas. Se¸cão 2.6 pág 54

1. Determine se cada uma das equa¸cões são exatas. Para as exatas, encontre a solu¸cão.

(a) (2x + 3) + (2y − 2)y0 = 0 (b) (2x + 4y) + (2x − 2y)y0 = 0

(c) (3x2_{−2xy+2)dx+(6y}2_−x2_{+3)dy = 0}

(d) (2xy2_{+ 2y) + (2x}2_{y + 2x)y}0 _{= 0}

(e) dy dx = − ax + by bx + cy (f) dy dx = − ax − by bx − cy

(g) (exseny − 2yseny)dx + (excosx + 2cosx)dy = 0

(h) (ex_{seny+3y)dx−(3x−e}x_{seny)dy = 0}

(i) (yexycos2x − 2exysen2x + 2x)dx + (xexycos2x − 3)dy

(j) (y/x+6x)dx+(lnx−2)dy = 0, x > 0 (k) (xlny + xy)dx + (ylnx + xy)dy =

0, x > 0, y > 0

(l) x

(x2_{+ y}2₎3/2dx +

y

(x2_{+ y}2₎3/2dy = 0

2. Resolva o problema de valor inicial dado e determine, pelo menos aproximadamente, onde a solu¸cão é válida.

(a) (2x−y)dx+(2y −x)dy = 0, y(1) = 3 (b) (9x2 _{+ y − 1)dx − (4y − x)dy =}

0 y(1) = 0

3. Encontre o valor de b para o qual a equa¸cão dada é exata e, então, resolva-a usando esse valor de b.

(a) (xy2_{+ bx}2_{y)dx + (x + y)x}2_{dy = 0}

(b) (ye2xy_{+ x)dx + (bxe}2xy_{)dy = 0}

4. Mostre que qualquer equa¸cão separável M (x) + N (y)y0 = 0 também é exata. 5. Mostre que as equa¸cões não são exatas mas

tornam-se exatas ao serem multiplicadas por um fator integrante. Depois resolva as equa¸c˜oes. (a) x2y3+x(1+y2)y0 = 0, µ(x, y) = 1 xy3 (b) seny y − 2e −x_senx dx + cosy + 2e −x_cosx y dy = 0 µ(x, y) = yex (c) (x + 2)seny dx + xcosy dy = 0, µ(x, y) = xex

6. Mostre que, se (Nx−My)/(xM −yN ) = R,

onde R depende apenas das quantidades xy, então a equa¸cão diferencial M + N y0 = 0 tem um fator integrante na forma µ(xy). Encontre um fórmula geral para esse fator integrante e resolva a equa¸cão

3x + 6 y + x 2 y + 3 y x y0 = 0 7. Encontre um fator integrante e resolva a

equa¸c˜ao dada.

(a) (3x2_{y + 2xy + y}3_{)dx + (x}2_{+ y}2_{)dy = 0}

(b) y0 = e2x+ y − 1

(c) dx + (x/y − seny)dy = 0 (d) ydx + (2xy − e−2ydy = 0) 8. Resolva a equa¸c˜ao diferencial

(3xy + y2) + (x2+ xy)y0 = 0

usando o fator integrante µ(x, y) = (xy(2x + y))−1

1. Determine (sem resolver o problema) um intervalo no qual a solu¸c˜ao do problema de valor inicial dado certamente existe.

(a) (t − 3)y0 + (lnt)y = 2t, y(1) = 2; (b) t(t − 4)y0+ y = 0, y(1) = 2;

(5)

(c) y0+ (tgt)y = sent, y(π) = 0; (d) (4 − t2_)y0_{+ 2ty = 3t}2_{, y(−3) = 1;}

(e) (4 − t2_)y0_{+ 2ty = 3t}2_{, y(1) = −3;}

2. Determine a região do plano ty onde as hipóteses do teorema de existência e unici-dade são satisfeitas. (a) y0 = t − y 2t + 5y; (b) y0 = (t2+ y2)3/2; (c) dy dt = 1 + t2 3y − 2.

3. Resolva o problema de valor inicial dado e determine de que modo o intervalo no qual a solu¸c˜ao existe depende do valor inicial y0.

(a) y0 = −4t y , y(0) = y0; (b) y0 = 2ty2_{, y(0) = y} 0; (c) y0 = t 2 y(1 + t3₎, y(0) = y0;

4. (a) Verifique que ambas as fun¸c˜oes y1(t) = 1 − t e y2(t) =

−t2

4 s˜ao solu¸c˜oes do problema de valor inicial

y0 = −t + (t

2_{+ 4y)}1/2

2 , y(2) = −1

Onde essas solu¸cões são válidas? (b) Explique porque a existência de duas

solu¸cões do problema dado não con-tradiz a parte de unicidade do Teo-rema de existência e unicidade. (c) Mostre que y = ct + c2_{, onde c ´}_e

uma constante arbitrária, satisfaz a equa¸cão diferencial no item (a) para t ≥ −2c. Se c = −1, a condi¸cão ini-cial também é satisfeita e obtem-se a solu¸cão y1(t). Mostre que não existe

escolha de c que forne¸ca a segunda solu¸c˜ao y = y2(t).

Equa¸cões de segunda ordem especiais -redu¸cão de ordem pág 72

1. Use o método de substitui¸cão v = y0 para reduzir a ordem e resolver as equa¸cões de segunda ordem. (a) t2_y00_{+ 2ty}0_{− 1 = 0 t > 0} (b) ty00+ y0 = 1 t > 0 (c) y00+ t(y0)2 _{= 0} (d) 2t2_y00_{+ (y}0₎3 _{= 2ty}0_{, t > 0} (e) y00+ y00 = e−t (f) t2_y00 _{= (y}0₎2_{, t > 0}

2. Use o método de substitui¸cão v(y) = y0 para reduzir a ordem e resolver as equa¸cões de segunda ordem. (a) yy00+ (y0)2 _{= 0} (b) y00+ y = 0 (c) y00+ y(y0)3 = 0 (d) 2y2_y00_{+ 2y(y}0₎2 _{= 1} (e) yy00− (y0₎3 _{= 0}

(f) y00+(y0)2 _{= 2e}−y _{(se transforma numa}

Bernoulli)

3. Resolva o problema de valor inicial usando os método de substitui¸cão para redu¸cão de ordem. (a) y0y00 = 2 y(0) = 1, y0(0) = 2 (b) y00− 3y2 _{= 0 y(0) = 2, y}0_{(0) = 4} (c) (1 + t2_)y00_{+ 2ty}0_{+ 3t}−2 _{= 0, y(1) = 2,} y0(1) = −1 (d) y0y00− t = 0, y(1) = 2, y0_{(1) = 1} Final da lista