MicroFinanceira NA8 RFixa

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Nota de Aula 8 – Ativos de Renda Fixa

Microeconomia Financeira

Mestrado Profissional em Economia – Universidade de Bras´ılia

Prof. Jos´

e Guilherme de Lara Resende

1 Introdu¸

c˜

ao

A leitura recomendada para a mat´eria desta nota de aula ´e Elton, Gruber, Brown, and Goetz-mann (2003), cap. 20; e Bodie, Kane, and Marcus (2013), cap. 14 (Bond Prices and Yields), Elton et al. (2003), cap. 21; e Bodie et al. (2013), cap. 16 (Managing Bond Portfolios).

1.1 Mercados de Renda Fixa

T´ıtulos de renda fixa são t´ıtulos que pagam, em determinados per´ıodos, conhecidos de antemão, um valor, que pode ser determinado no momento da compra do t´ıtulo ou no seu resgate. Um t´ıtulo de renda fixa pode ser visto como um empréstimo do comprador do t´ıtulo ao seu emissor (pessoa privada ou pública). Os juros cobrados são a remunera¸cão do empréstimo feito. Os t´ıtulos de renda fixa podem ser:

• Pré-Fixados: remunera¸cão é determinada no momento da aplica¸cão. Exemplo: CDB pré-fixado de 60 dias, com rendimento de 6%.

• Pós-Fixados: remunera¸cão depende de algum ´ındice cujo valor exato é conhecido apenas no resgate.

Exemplo: t´ıtulos com rendimento atrelado ao IPCA.

Tipicamente, é um mercado de balcão e não de bolsa. T´ıtulos diferentes podem apresentar graus diferentes de liquidez.

Nos EUA, existem quatro emissores principais: i) governo federal, ii) governos estaduais e municipais, iii) empresas privadas, e iv) agentes hipotecários. Já no Brasil, o principal emissário ´

e o Governo Federal.

Para o caso americano, com rela¸cão à liquidez e ao risco de inadimplência, geralmente temos que:

• T´ıtulos do governo federal: geralmente os mais l´ıquidos e com menor risco de ina-dimplˆencia.

• Governos estaduais e municipais: menos l´ıquidos, algum risco de inadimplˆencia. Usual-mente possuem incentivos fiscais que aumentam a atratividade desses t´ıtulos.

• Empresas privadas: liquidez e risco de inadimplˆencia vari´aveis, dependendo da firma que emite o t´ıtulo.

• Agentes hipotecários: são lastreados por imóveis. Comuns nos EUA, e, segundo vários analistas, fundamentais para o entendimento da crise de 2008-2009.

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A taxa de juros ´e crucial na determina¸c˜ao dos pre¸cos dos t´ıtulos de renda fixa:

Se as taxas de juros aumentam, os pre¸cos dos t´ıtulos de renda fixa caem. Se as taxas de juros diminuem, os pre¸cos dos t´ıtulos de renda fixa sobem. Portanto, per´ıodos de alta volatilidade na taxa de juros geram volatilidade nos pre¸cos dos t´ıtulos de renda fixa.

Uma regra importante para a escolha de investimento é ter VPL positivo. A taxa de retorno r utilizada no cálculo do VPL e do VP representa o que está comumente dispon´ıvel no mercado financeiro. Em economia, o custo real de algo é o valor da alternativa mais valiosa que temos que abrir mão para adquiri-lo. Desse modo, é comum então dizer que r é o custo de oportunidade do capital ou a taxa de retorno requerida, dependendo da aplica¸cão de VP em tese.

Um ponto importante é determinar quantas taxas de juros podem existir em um mercado competitivo. Vimos que existe, no mercado financeiro, uma opera¸cão denominada arbitragem e o lucro que se origina dessa opera¸cão chama-se lucro de arbitragem. A precifica¸cão por arbitragem é fundamental para a análise de ativos de renda fixa. Ela se baseia na Lei de Pre¸co Único, que diz que dois bens iguais não podem ter pre¸cos diferentes.

Por um argumento de arbitragem, existir´a apenas uma taxa de juros no mercado. As diferentes taxas de juros que existem no mercado est˜ao associadas a caracter´ısticas diferentes.

2 Exemplos e Conceitos Iniciais

2.1 Bˆ

onus

O bônus de desconto puro garante um único pagamento, por exemplo, de R$ 1,00, em deter-minada data futura. Se esse pagamento for realizado em um ano, a partir de hoje, esse bônus será denominado “bônus de desconto puro de um ano” (no inglês, “zero coupon bond ” ou, simplesmente, “zero”).

A data em que o bônus realiza o último pagamento é denominada data de matura¸cão do bônus ou matura¸cão, puramente. Nessa data, diz-se que o bônus expira. Na data de ma-tura¸cão, o bônus paga de volta ao portador o referente ao seu valor de face, também chamado principal.

Diversos bônus não são da espécie de “desconto puro”. Alguns oferecem pagamentos em di-nheiro, tanto na data de matura¸cão, como também em intervalos regulares antes da matura¸cão – são os bônus com cupons (“level coupon bonds”).

No Brasil, um t´ıtulo de renda fixa bastante negociado são as Notas do Tesouro Nacional (NTN). As NTN podem ser emitidas em dez séries: A, B, C, D, F, H, I, M, P e R, subsérie 2. As NTN são geralmente pós-fixadas, usando um indexador, como IGP-M, TR, TBF e TJLP. O valor de face é geralmente um múltiplo de R$ 1.000,00 ou de R$ 5.000,00. Os juros e os cupons são pagos periodicamente, sendo três meses o prazo m´ınimo.

Considere um bônus de desconto puro que paga um valor de face F no per´ıodo T . Suponha que a taxa de juros é r em cada per´ıodo T e que o pre¸co do bônus é p. O valor presente l´ıquido de um investimento nesse bônus é:

VPL = F

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2.2 Perpetuidades

Alguns bônus não têm data de matura¸cão: pagam cupons a cada per´ıodo e não expiram. São chamados perpetuidades. Um exemplo próximo de perpetuidade é uma a¸cão preferencial. Se não houvesse dúvida em rela¸cão aos dividendos da PETROBRAS, essa a¸cão seria de fato uma perpetuidade.

Considere uma perpetuidade que paga C reais em cada per´ıodo e efetuar´a esse pagamento para sempre. Com a aplica¸c˜ao da regra do VP, tem-se:

VP = C (1 + r) + C (1 + r)2 + C (1 + r)3 + . . .

Suponha que o indiv´ıduo investiu uma quantidade de dinheiro que lhe rende, de juros, preci-samente C em cada per´ıodo. Essa quantidade ´e tal que:

Valor Aplicado × (1 + r) = Valor Aplicado + C Isso implica que:

Valor Aplicado = C r

Portanto, investir o “valor aplicado” renderia ao investidor C reais por per´ıodo, indetermina-damente, dada a taxa de juros r. Esse deve ser o valor presente da perpetuidade que paga C reais por per´ıodo. A ferramenta básica usada aqui é o modelo de valor presente, em que o valor presente dos fluxos de caixa é a soma dos valores presentes de suas partes componentes.

3 Alguns Conceitos de Taxas de Juros

Existem diversos conceitos de taxa de juros utilizados na teoria de renda fixa. Alguns exemplos são taxas à vista, taxas a futuro, taxa esperada até o vencimento, etc.

Cada tipo de taxa ressalta alguma caracter´ıstica ou propriedade importante do t´ıtulo. E´ importante saber qual o tipo de taxa que est´a sendo usada em uma an´alise.

Um dos conceitos mais importantes é a taxa esperada até o vencimento ou rendimento até o vencimento, no inglês, yield to maturity. Vamos denotar esta taxa por YTM, seguindo a terminologia em inglês.

3.1 Yield to Maturity

Defini¸cão: YTM. A taxa esperada até o vencimento ou rendimento até o vencimento é a taxa interna de retorno (TIR) obtida com a posse de um t´ıtulo de renda fixa até a data do vencimento.

Exemplo: Considere um t´ıtulo com pre¸co de R$ 500, com prazo de 4 anos, com pagamentos anuais de juros de R$ 200 e um principal no vencimento do t´ıtulo no valor de R$ 500. A taxa esperada até o vencimento deste t´ıtulo, representada por Y T M , é obtida a partir da seguinte equa¸cão: 500 = 200 (1 + Y T M ) + 200 (1 + Y T M )2 + 200 (1 + Y T M )3 + 700 (1 + Y T M )4

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Para calcularmos a taxa esperada at´e o vencimento, devemos utilizar algum procedimento computacional. Podemos usar calculadoras financeiras (HP 12c, por exemplo), programas como Excel ou Matlab. Para este exemplo, usando a planilha excel, encontramos Y T M = 40%. Sob a ´otica de um investimento, o t´ıtulo acima representa um investimento com taxa interna de retorno de 40% ao ano.

Suponha um t´ıtulo com pre¸co P que gere um fluxo de caixa (C(1), C(2), . . . , C(T )), onde T ´

e a data de matura¸cão e C(t) o fluxo de caixa no per´ıodo t. A YTM é o valor que resolve a seguinte expressão:

P = T X t=1 C(t) (1 + Y T M )t

A frequência dos per´ıodos depende do t´ıtulo. Nos EUA, bônus do tesouro americano costumam pagar cupons semianualmente. Neste caso, a fórmula acima se modifica para:

P = T X t=1 C(t) 1 + Y T M₂ t

A fórmula acima de determina¸cão da YTM para o caso americano supõe uma composi¸cão simples da taxa YTM, já que ela é calculada para um per´ıodo semestral e convertida para uma taxa anual ao ser multiplicada por 2. Essa fórmula de cálculo é padrão para o mercado americano: a YTM é apresentada como uma taxa anual. Se o t´ıtulo paga juros em per´ıodos menores, por exemplo, trimestralmente, obtemos a YTM a partir de uma composi¸cão simples do valor da taxa trimestral.

Exemplo. Considere um t´ıtulo com pre¸co R$ 800, que pague juros de R$ 50 trimestralmente, por três anos (12 trimestres). Na data de matura¸cão, o t´ıtulo paga, além dos juros, R$ 500 de principal. O fluxo de receita do t´ıtulo é:

(50; 50; 50; 50; 50; 50; 50; 50; 50; 50; 50; 550)

A YTM deste t´ıtulo ´e (aproximando duas casas decimais e usando a padroniza¸c˜ao americana) 4 × 3,71% = 14,85%.

Observe que se compusermos a taxa encontrada para o trimestre, 3,71%, encontramos a taxa anual efetiva, denotada por yE. No exemplo acima, yE = 15,69%. Esse ´e o padr˜ao brasileiro

de cálculo do rendimento até o vencimento (informar diretamente o valor da taxa efetiva). Como a taxa esperada até o vencimento é calculada de modo simples, ela será sempre menor ou igual à taxa anual efetiva do t´ıtulo (menor usando o padrão americano, igual usando o padrão brasileiro).

3.2 Dois Problemas

A YTM é calculada como a taxa de retorno que seria obtida se todos os fluxos de caixa do ativo financeiro fossem reinvestidos à própria taxa, até a data do vencimento do ativo. Porém, t´ıtulos diferentes possuem YTM diferentes. Logo, estamos assumindo que existam diferentes taxas de reinvestimento. Na prática, existirá apenas uma taxa de reinvestimento que a institui¸cão financeira usará.

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Primeiro Problema

Vamos verificar, para o exemplo abaixo, que de fato a YTM é calculada como a taxa de retorno onde todos os fluxos de caixa são reinvestidos à própria taxa, até a data do vencimento do ativo. Exemplo 1: O valor de R$ 800, investidos a uma taxa de 3, 71291% ao trimestre, de modo composto, renderá, ao final de 12 trimestres, R$ 1.239,04. O fluxo de caixa do t´ıtulo,

(50; 50; 50; 50; 50; 50; 50; 50; 50; 50; 50; 550),

convertido para valores do per´ıodo t = 12, a taxa YTM de 3,71291%, equivale à 74,67 + 71,99 + 69,42 + 66,93 + 64,54 + 62,23 + 60,00 + 57,85 + 55,78 + 53,78 + 51,86 + 550 = R$ 1.239,04. Exemplo 2: Na tabela abaixo, a hipótese impl´ıcita é de que os fluxos de caixa do t´ıtulo A são reinvestidos a uma taxa de 6% e os fluxos de caixa do t´ıtulo B são reinvestidos a uma taxa de 6,1%.

Tabela 1: Exemplo Elton e Gruber, p´agina 428 T´ıtulo A T´ıtulo B

Cupom 10% 3%

Principal 100 100

Pre¸co R$ 138,90 R$ 70,22

Prazo de Vencimento 15 anos 15 anos Frequˆencia de Pagamento Anual Anual

YTM 6% 6,1%

Segundo Problema

As taxas esperadas até o vencimento não são aditivas, em geral. Logo, a YTM de uma carteira não é igual à média ponderada das YTMs dos t´ıtulos que compõem a carteira.

No exemplo a seguir, temos dois t´ıtulos, que, juntos em uma carteira, com pesos iguais, a YTM da carteira é diferente da média ponderada das YTM dos dois t´ıtulos. Isso dificulta o cálculo de YTM de carteiras e torna mais complicado analisar o efeito da adi¸cão de mais um ativo na carteira sobre a YTM da carteira.

Exemplo 3: Considere os dois t´ıtulos A e B e a carteira formada por esses dois t´ıtulos descritos na tabela abaixo. Observe que a YTM da carteira ´e diferente da m´edia ponderada das YTM dos dois t´ıtulos.

Tabela 2: Outros exemplos: Elton e Gruber, p´agina 429 T´ıtulo & Per´ıodos

Carteira Pre¸co 1 2 3 YTM YTM m´edia

A R$ 100 8 8 108 8,00%

-B R$ 100 6 12 140 17,54%

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3.3 Taxas Corrente e Taxas `

a Vista

Defini¸cão. A taxa corrente é calculada dividindo-se o valor do cupom pelo pre¸co corrente de mercado do t´ıtulo. Logo, ela informa o rendimento do cupom, dado o pre¸co atual do t´ıtulo. Exemplo: se um t´ıtulo paga cupons anuais de R$ 50 e seu pre¸co é R$ 800, a taxa corrente é 50/800 = 6,25%.

A taxa corrente não pode ser calculada para t´ıtulos pós-fixados. Se o t´ıtulo não pagar nenhum cupom, a sua taxa corrente é zero, por defini¸cão.

Defini¸cão. As taxas à vista são as taxas de rendimento calculadas para t´ıtulos que não pagam cupons (zeroes).

No mercado americano é praxe calcular a taxa a termo para per´ıodos de seis meses e dobr´ a-la para obter um valor anualizado. As taxas à vista são de fundamental importância na precifica¸cão de t´ıtulos de renda fixa, como veremos mais à frente.

Exemplo: suponha um t´ıtulo que paga R$ 1000 daqui a seis meses, cujo pre¸co hoje é de R$ 891,59. Usando a padroniza¸cão americana, a taxa à vista associada a esse t´ıtulo é obtida usando a seguinte fórmula:

891,59 = 1000 1 + S01

2

A taxa `a vista S01 acima ´e de 24,32%.

3.4 Taxas a Termo (Forward rates)

Defini¸c˜ao. A taxa a termo ou taxa forward ´e a taxa que podemos contratar hoje para em-prestar ou pegar emprestado em um per´ıodo futuro t e pagar ou receber no per´ıodo t + n, n ≥ 1.

Essas taxas são similares às taxas à vista, apenas calculadas para per´ıodos futuros. Vamos denotar por fij a taxa a termo do i semestre ao j semestre. Logo, f25 denota a taxa a termo

de um ano a 2 anos e meio.

Exemplo: suponha um contrato tal que R$ 12.000,00 devem ser emprestados daqui a seis meses e que R$ 17.754,00 devem ser pagos daqui dois anos e meio. Esse contrato permite calcular a taxa a termo f15, usando a padroniza¸c˜ao americana, por meio da f´ormula:

1 + f15 2 4 = 17.754 12.000 ⇒ f15 = 20,58%

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4 Rela¸

c˜

oes

4.1 Rela¸

c˜

ao entre Taxas `

a vista e Taxas Forward

Considere as duas estrat´egias de investimento abaixo:

1. Compra de um bônus de desconto puro com matura¸cão daqui a um ano (dois per´ıodos), onde o valor final de investir R$ 1,00 é:

1 + S02 2

2

× R$ 1, 00

2. Compra de um bônus de desconto puro de seis meses (1 per´ıodo) onde, no seu vencimento, o valor recebido no per´ıodo 1 é aplicado à taxa forward do per´ıodo 1 ao per´ıodo 2. Para esta estratégia, o valor final de investir R$ 1,00 é:

1 + S01 2 1 + f12 2 × R$ 1, 00

Por arbitragem, as taxas de retorno das duas estrat´egias de investimento descritas acima devem ser iguais: 1 + S01 2 1 + f12 2 = 1 + S02 2 2 Logo, 1 + f12 2 = 1 + S02 2 2 1 + S01 2

Portanto, uma vez determinadas as taxas à vista, podemos determinar as taxas forward do mercado. A rec´ıproca também é verdadeira: uma vez determinadas as taxas forward, podemos determinar as taxas à vista do mercado. Logo, toda a análise a ser feita para as taxas à vista poderia ser feita de modo análogo para as taxas forward.

De modo geral, para per´ıodos subsequentes, vale a seguinte rela¸c˜ao: 1 + ft,t+1 2 = 1 + S0,t+1 2 t+1 1 + S0,t 2 t

Se a rela¸cão acima não for satisfeita, será poss´ıvel montar uma estratégia de arbitragem com os diferentes ativos financeiros.

Exerc´ıcio: Suponha que o lado esquerdo da equa¸c˜ao acima seja maior do que o lado direito. Qual a estrat´egia de arbitragem nesse caso?

De modo ainda mais geral, vale a seguinte rela¸c˜ao: 1 + ft,t+n 2 n = 1 + S0,t+n 2 t+n 1 + S0,t 2 t

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4.2 Rela¸

c˜

ao entre Taxas `

a Vista e Pre¸

cos

Suponha que existam trˆes t´ıtulos de renda fixa, A, B e C, que geram fluxos de caixa por dois per´ıodos. A tabela abaixo descreve os pre¸cos e os fluxos de caixa desses t´ıtulos.

T´ıtulo Pre¸co Per´ıodo 1 Per´ıodo 2

A PA 10 110

B PB 5 105

C PC 100 0

Suponha que um investidor compre 22/21 unidades do t´ıtulo B e 1/21 unidade do t´ıtulo C. Ou seja, o investidor adquire uma carteira com essas quantidades dos t´ıtulos B e C. Neste caso, o seu fluxo de caixa ser´a:

T´ıtulo Quantidade Per´ıodo 1 Per´ıodo 2 B 22/21 22/21 × 5 22/21 × 105

C 1/21 1/21 × 100 1/21 × 0

Carteira - 10 110

Logo, a carteira indicada replica o fluxo de caixa do t´ıtulo A. A lei do pre¸co ´unico diz que o pre¸co da carteira, que vamos denotar por Pp, deve ter o mesmo pre¸co do t´ıtulo A. Caso isto

n˜ao ocorra, surge uma oportunidade de arbitragem no mercado. Por exemplo, se PA > Pp, o

investidor pode obter lucro sem risco ao vender o t´ıtulo A e comprar a carteira.

4.3 Taxas `

a Vista e Taxas de Desconto

Se os t´ıtulos A, B e C possuem todos o mesmo risco de inadimplência, hipótese razoável caso sejam emitidos pela mesma entidade, então os fluxos de caixa de per´ıodos iguais devem ser descontados a taxas iguais.

Note que n˜ao queremos dizer que a taxa ´e a mesma para todos os per´ıodos. Apenas que, para cada per´ıodo t, usamos a mesma taxa de desconto.

Suponha que as taxas à vista válidas para o mercado com os t´ıtulos A, B e C são S0,1 = 6% e

S02 = 7%. Então: PA= 10 1 + 0,06₂ + 110 1 + 0,07₂ 2 = R$ 112,39 PB = 5 1 + 0,06₂ + 105 1 + 0,07₂ 2 = R$ 102,87 PC = 100 1 + 0,06₂ = R$ 97,09 . Observe que: 22 21PB+ 1 21PC = R$ 112,39 = PA, como esperado, pois nesse caso a lei do pre¸co único é válida.

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Se a taxa de desconto para cada per´ıodo não for igual, então a lei do pre¸co único será violada e existirão oportunidades de arbitragem no mercado. Como os t´ıtulos são negociados a pre¸cos determinados pelo mercado, podemos utilizar esses pre¸cos e os fluxos de caixa para calcular as taxas à vista do mercado. O exemplo a seguir ilustra o procedimento de obter as taxas à vista a partir das informa¸cões sobre pre¸cos e caracter´ısticas dos t´ıtulos.

Exemplo: Suponha dois t´ıtulos, cujas caracter´ısticas s˜ao descritas na tabela abaixo. T´ıtulo Pre¸co Per´ıodo 1 Per´ıodo 2

A R$ 100,00 106

-B R$ 96,54 6 106

Usando o t´ıtulo A obtemos S01:

100 = 106 1 + S01

2

⇒ S01 = 12% Usando o t´ıtulo B e o valor obtido para S01, obtemos S02:

96,54 = 6 1 + S01 2 + 106 1 + S02 2 2 ⇒ S02 = 16%

Para t´ıtulos de renda fixa sem cupom, o valor da taxa esperada até o vencimento é igual à taxa `

a vista do t´ıtulo. Para t´ıtulos de renda fixa com cupons, não é poss´ıvel calcular as taxas à vista para os diferentes per´ıodos usando a informa¸cão de um único t´ıtulo. Isso porque neste caso temos apenas uma equa¸cão para determinar mais de uma taxa à vista. Se quisermos determinar n taxas à vista, é necessário pelo menos n t´ıtulos. Abaixo, ilustramos como determinar taxas `

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5 Determina¸

c˜

ao de Taxas `

a Vista

5.1 Taxas `

a Vista e Taxas de Desconto

Cada t´ıtulo sem cupom determina uma taxa `a vista: P = Valor de Face

1 + S0,t

2

t Cada taxa `a vista determina um fator de desconto:

dt= 1 1 + S0,t 2 t ,

onde dt denota o fator de desconto do dinheiro recebido no per´ıodo t.

T´ıtulos com cupons i = 1, . . . , n geram um fluxo de caixa descrito por {Ci(t)}t=1,...,T. Note que

Ci(t) denota o fluxo no per´ıodo t do t´ıtulo i. Podemos precificar esse t´ıtulo usando os fatores

de desconto calculados acima a partir dos t´ıtulos sem cupons.

Suponha que existam n t´ıtulos, que podem ou não pagar cupons, e T = n per´ıodos. Neste caso, temos um sistema de n equa¸cões com n variáveis a serem determinadas, os fatores de desconto de cada per´ıodo. Podemos representar esse sistema na forma matricial como:

P = C × d, onde: P =      P1 P2 .. . Pn      , d =      d1 d2 .. . dT      , Ct =      C11 . . . C1T C21 . . . C2T .. . . .. ... Cn1 . . . CnT     

Na fórmula acima, assumimos que o número de t´ıtulos é igual ao número de per´ıodos. Porém, o número de t´ıtulos tipicamente será maior do que o número de per´ıodos.

Na teoria, bastaria selecionarmos uma quantidade qualquer de t´ıtulos igual ao n´umero de taxas `

a vista que devemos estimar. Se a lei do pre¸co único for válida, qualquer que seja a sele¸cão de t´ıtulos feita, as taxas à vista serão as mesmas.

Porém, na prática, as taxas estimadas variam com os t´ıtulos usados, devido a questões de ordem fiscal, margens de compra e venda, negocia¸cões não sincronizadas, etc. É imposs´ıvel controlar todas essas caracter´ısticas.

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6 Dura¸

c˜

ao

6.1 Pre¸

cos e Passagem do Tempo

O pre¸co de um t´ıtulo varia com a passagem do tempo. Quanto mais pr´oximo de sua data de vencimento, mais pr´oximo o pre¸co do valor de face do t´ıtulo.

Exemplo: Suponha uma curva horizontal das taxas de juros, no valor de 8%. O pre¸co hoje de um t´ıtulo sem cupom, com vencimento em 5 anos, valor de face de R$ 5.000,00, ´e p0 =

5.000/(1,08)5 = R$ 3.402,92. Daqui a um ano, supondo que as taxas de juros n˜ao mudaram, o pre¸co do t´ıtulo ser´a p1 = 5.000/(1,08)4 = R$ 3.675,15, o mesmo pre¸co de um t´ıtulo emitido no

ano 1 com prazo de 4 anos, todo o resto igual. Observe que o retorno embutido na mudan¸ca de pre¸co do ano 0 para o ano 1 ´e (p1− p0)/p0 = 8%.

Portanto, a passagem do tempo, supondo as condi¸c˜oes acima (taxa de juros constante, sem oscila¸c˜oes) faz com que o pre¸co do t´ıtulo sem cupom aumente.

Como t´ıtulos sem cupom não pagam juros, todo o seu retorno é devido à varia¸cão de pre¸co que ocorre entre os per´ıodos. Para t´ıtulos com cupons, temos que levar em conta o pagamento do cupom, mas racioc´ınio similar é válido, onde temos que:

• Se os juros do cupom forem menores do que a taxa de juros, o pre¸co do t´ıtulo aumenta com o tempo;

• Se os juros do cupom forem maiores do que a taxa de juros, o pre¸co do t´ıtulo diminui com o tempo;

• Se os juros do cupom forem iguais `a taxa de juros, o pre¸co do t´ıtulo n˜ao se modifica com o tempo;

6.2 Defini¸

c˜

ao

N˜ao ´e apenas a passagem do tempo que afeta o pre¸co de um t´ıtulo. Vimos que o pre¸co de um t´ıtulo de renda fixa varia inversamente com a taxa de juros corrente. Logo, mudan¸cas na taxa de juros afetam os pre¸cos dos t´ıtulos de renda fixa.

Defini¸cão: Dura¸cão. A dura¸cão de um t´ıtulo mede a sensibilidade do pre¸co do t´ıtulo a uma mudan¸ca na taxa de juros.

Portanto, o objetivo é encontrar uma medida que determine o quanto o pre¸co de um t´ıtulo cai quando a taxa de juros sobe. Logo, a dura¸cão é uma medida do risco do t´ıtulo de renda fixa com rela¸cão a mudan¸cas na taxa de juros. Para t´ıtulos sem cupom, vamos ver que o prazo de vencimento do t´ıtulo mede essa sensibilidade do pre¸co com rela¸cão a uma mudan¸ca na taxa de juros.

Exemplo 1: Considere um t´ıtulo sem cupom com prazo de vencimento de um ano, com pre¸co denotado por P , YTM de 5%, e principal de R$ 1,05. Se a taxa à vista de um ano é de 5%, então o pre¸co do t´ıtulo será R$ 1,00. Queremos verificar qual será a mudan¸ca no pre¸co do t´ıtulo se a taxa de juros cair de 5% para 4%. Primeiro observe que a mudan¸ca na taxa de juros corresponde a uma altera¸cão, em termos percentuais da taxa de juros bruto, ou seja, de 1 mais a taxa de juros l´ıquida inicial, de 1,05−1,04_/_1,05₌0,01_/_1,05_{= 0,00953, ou seja, de 0,953%. O novo}

(12)

A varia¸c˜ao no pre¸co, em termos percentuais, ´e: ∆P = P

0 _{− P}

P = 0,96% ≈ 0,953% × 1 ≈ 1% .

Exemplo 2: Considere agora um t´ıtulo semelhante, com pre¸co denotado por P , prazo de 10 anos e YTM de 5%. O principal desse t´ıtulo (a ser pago daqui dez anos) ´e (1,05)10_{. Se a taxa}

`

a vista anual é 5%, para todos os per´ıodos, então o pre¸co do t´ıtulo será R$ 1,00. Para esse t´ıtulo, o novo pre¸co P0 será:

P0 = (1,05)

10

(1,04)10 = 1,1004 .

A varia¸cão no pre¸co, em termos percentuais, é ∆P = (P0 − P )/P = 0,1004 ≈ 10 × 0,953% ≈ 10%. Portanto, para t´ıtulos sem cupom, a sensibilidade do pre¸co a uma mudan¸ca na taxa de juros é medida pelo seu prazo de vencimento.

Resultado. T´ıtulos de prazos mais longos s˜ao mais sens´ıveis a mudan¸cas na taxa de juros do que t´ıtulos de prazos mais curtos.

Exemplo 3: Considere cinco t´ıtulos sem cupom, todos com principal de R$ 1000,00 e prazos de vencimento de 1, 2, 3, 4 e 5 anos. A taxa de juros do mercado é 10% qualquer que seja o prazo de vencimento considerado. Suponha que a taxa de juros aumente para 10,11%, ou seja, a varia¸cão percentual da taxa de juros bruta é 0,0011_/_1,1 _{= 0,1%. A tabela a seguir}

calcula a varia¸cão percentual de pre¸co para cada t´ıtulo. Observe que a varia¸cão percentual no pre¸co é igual à varia¸cão percentual na taxa de juros bruta, 0,1%, multiplicada pelo prazo de vencimento do t´ıtulo. Para mudan¸cas pequenas na taxa de juros, a mudan¸ca no pre¸co em termos percentuais é bem aproximada pelo prazo de vencimento do t´ıtulo multiplicado pela varia¸cão na taxa de juros.

Tabela 3: Elton e Gruber, p´agina 459

Prazo r = 10% r = 10,11% ∆P 1 R$ 909,09 R$ 908,18 -0,1% 2 R$ 826,45 R$ 824,80 -0,2% 3 R$ 751,31 R$ 749,07 -0,3% 4 R$ 683,01 R$ 680,29 -0,4% 5 R$ 620,92 R$ 617,83 -0,5% Resumo:

• A sensibilidade de um t´ıtulo a mudan¸cas na taxa de juros é chamada dura¸cão do t´ıtulo; • A dura¸cão é o modo padrão de medir o risco de ativos de renda fixa (risco na altera¸cão

das taxas de juros);

• A dura¸cão diz a varia¸cão percentual no pre¸co dada uma mudan¸ca de 1% na taxa de juros. • A dura¸cão de um t´ıtulo sem cupons é igual ao seu prazo de vencimento.

(13)

6.3 Dura¸

c˜

ao de T´ıtulos sem Cupom

Para simplificar a nota¸c˜ao, vamos supor per´ıodos de um ano. O pre¸co p de um t´ıtulo sem cupom, com prazo T e valor de face V F , ´e:

p = V F (1 + S0T)T Ent˜ao: dp d(1 + S0T) = −T × V F (1 + S0T)T −1

Combinando as duas express˜oes, obtemos: −dp_p

d(1+S0T)

(1+S0T)

= T ,

exatamente o resultado esperado: o efeito percentual sobre o pre¸co de um t´ıtulo sem cupom de uma varia¸cão de (aproximadamente) 1% na taxa de juros é igual ao seu prazo de vencimento. Resultado: A dura¸cão de uma carteira de t´ıtulos sem cupom é a média ponderada das dura¸cões dos t´ıtulos que compõem a carteira, ponderada pelos pesos atribu´ıdos a cada t´ıtulo na carteira.

Exemplo. Se um investidor coloca 75% de sua renda em um t´ıtulo sem cupom com prazo de vencimento de 4 anos e 25% em um t´ıtulo sem cupom com prazo de vencimento de 6 anos, então a dura¸cão Dc da carteira é:

Dc= 0,75 × 4 + 0,25 × 6 = 4,5

6.4 Dura¸

c˜

ao de T´ıtulos com Cupons

Vamos supor, por enquanto, que a estrutura a termo é horizontal, ou seja, todas as taxas à vista são iguais ou todos os t´ıtulos sem cupom têm a mesma taxa esperada até o vencimento. Vamos denotar estas taxas por r.

Suponha um t´ıtulo com principal de R$ 100, pago ao final do quarto per´ıodo, com cupons de 5% do valor do principal, pagos em cada per´ıodo. O pre¸co p desse t´ıtulo ´e:

p = 5 (1 + r) + 5 (1 + r)2 + 5 (1 + r)3 + 105 (1 + r)4

Vamos calcular a dura¸c˜ao desse t´ıtulo, ou seja, qual a varia¸c˜ao percentual do pre¸co caso (1 + r) varie em 1%.

O ponto crucial é notar que o t´ıtulo com cupons é equivalente a uma carteira de t´ıtulos sem cupom. Logo, a dura¸cão do t´ıtulo acima é a média ponderada das dura¸cões desses t´ıtulos sem cupom.

Para o caso acima, temos que o t´ıtulo é equivalente a uma carteira com quatro t´ıtulos sem cupom, os três primeiros pagando um principal de R$ 5,00 nos per´ıodos 1, 2 e 3, e o último pagando um principal de R$ 105,00 no quarto per´ıodo.

(14)

Os pesos dos cupons são calculados dividindo o valor presente do cupom pelo pre¸co do t´ıtulo. Logo, os pesos dos quatro t´ıtulos sem cupom que compõem a carteira são:

5/(1 + r) P , 5/(1 + r)2 P , 5/(1 + r)3 P , 105/(1 + r)4 P

A dura¸c˜ao do t´ıtulo com cupons descrito acima ´e, portanto, calculada como: D = 5/P (1 + r) × 1 + 5/P (1 + r)2 × 2 + 5/P (1 + r)3 × 3 + 105/P (1 + r)4 × 4

Mais geralmente, temos que:

D = T −1 X t=1 C/P (1 + r)t × t + (V F + C)/P (1 + r)T × T,

onde C é o valor dos cupons pagos, V F é o valor de face, T é o prazo de vencimento. Essa é a fórmula da dura¸cão de Macaulay.

Observa¸c˜oes:

• A dura¸c˜ao de t´ıtulos que pagam cupons ´e sempre menor do que o prazo de vencimento do t´ıtulo.

• Todo o resto constante, quanto maior o cupom pago, menor a dura¸c˜ao.

• Para t´ıtulos que pagam cupons, quanto maior a taxa de juros, menor a dura¸c˜ao (todo o resto mantido constante).

• Quanto mais longo o prazo de matura¸c˜ao, maior a dura¸c˜ao.

Todas as observa¸cões acima são consequência do fato de que o efeito de uma altera¸cão na taxa de juros repercute mais quanto maior o espa¸co de tempo considerado.

(15)

6.5 Aplica¸

c˜

oes

Duas importantes aplica¸cões da dura¸cão são:

1. Medir o risco de varia¸c˜oes nas taxas de juros sobre varia¸c˜oes no pre¸co de um t´ıtulo; 2. Servir de ferramenta para hedge do risco de taxa de juros.

Exemplo: Suponha que um investidor possui R$ 100.000.000 em t´ıtulos com vencimento em 20 anos e cupons de 14% ao ano e que a taxa de juros é 9% a.a., para todos os anos. Suponha que a taxa de juros aumentou para 9,1%. Qual a queda no pre¸co do t´ıtulo? Qual a perda total sofrida por esse investidor? A tabela abaixo auxilia no cálculo da dura¸cão e do valor efetivo.

t Fluxo de Caixa Taxa 9% Taxa 9, 1% Peso × Dur

1 R$ 14.000.000,00 R$ 12.844.036,70 R$ 12.832.263,98 0,08819 2 R$ 14.000.000,00 R$ 11.783.519,91 R$ 11.761.928,49 0,16181 3 R$ 14.000.000,00 R$ 10.810.568,72 R$ 10.780.869,37 0,22268 4 R$ 14.000.000,00 R$ 9.917.952,95 R$ 9.881.640,12 0,27239 5 R$ 14.000.000,00 R$ 9.099.039,41 R$ 9.057.415,33 0,31238 6 R$ 14.000.000,00 R$ 8.347.742,58 R$ 8.301.938,89 0,34390 7 R$ 14.000.000,00 R$ 7.658.479,43 R$ 7.609.476,52 0,36809 8 R$ 14.000.000,00 R$ 7.026.127,92 R$ 6.974.772,25 0,38594 9 R$ 14.000.000,00 R$ 6.445.988,91 R$ 6.393.008,48 0,39833 10 R$ 14.000.000,00 R$ 5.913.751,30 R$ 5.859.769,46 0,40605 11 R$ 14.000.000,00 R$ 5.425.459,91 R$ 5.371.007,75 0,40977 12 R$ 14.000.000,00 R$ 4.977.486,15 R$ 4.923.013,52 0,41011 13 R$ 14.000.000,00 R$ 4.566.501,06 R$ 4.512.386,36 0,40760 14 R$ 14.000.000,00 R$ 4.189.450,51 R$ 4.136.009,50 0,40271 15 R$ 14.000.000,00 R$ 3.843;532,58 R$ 3.791.026,12 0,39585 16 R$ 14.000.000,00 R$ 3.526.176,68 R$ 3.474.817,71 0,38738 17 R$ 14.000.000,00 R$ 3.235.024,47 R$ 3.184.984,15 0,37760 18 R$ 14.000.000,00 R$ 2.967.912,36 R$ 2.919.325,53 0,36680 19 R$ 14.000.000,00 R$ 2.722.855,38 R$ 2.675.825,42 0,35521 20 R$ 114.000.000,00 R$ 20.341.121,44 R$ 19.971.461,14 2,79329 Total − R$ 145.642.728,35 R$ 144.412.940,08 9,26609

Logo, a perda efetiva no pre¸co do t´ıtulo com o aumento da taxa de juros ´e: Perda = R$ 145.642.728,35 − R$ 144.412.940,08 = R$ 1.229.788,27

A dura¸cão do t´ıtulo é 9,26609. A varia¸cão de 1 mais a taxa de juros é 0,001_/_1,09_{= 0,000917431.}

Logo, a perda calculada usando a dura¸c˜ao ´e:

Perda = R$ 145.642.728,35 × 0,00092 × 9,27 = R$ 1.238.109,26

A diferen¸ca das duas perdas em termos absolutos ´e de R$ 8.320,99, cerca de 0,67% do valor da perda efetiva.

(16)

6.6 Medidas de Dura¸

c˜

ao

Dura¸c˜ao Modificada

A dura¸c˜ao informa a mudan¸ca percentual no pre¸co do t´ıtulo dada uma mudan¸ca percentual em (1 + r).

Defini¸cão: Dura¸cão Modificada. A dura¸cão modificada, denotada por D∗, é definida como: D∗ = D

1 + r ,

interpretada como a mudan¸ca percentual no pre¸co do t´ıtulo, dada uma mudan¸ca em r. A dura¸c˜ao modificada ´e mais usada por analistas de mercado.

Segunda Medida de Macaulay

A segunda medida de dura¸c˜ao de Macaulay, denotada por D2, flexibiliza a hip´otese de taxas

de juros constantes. Ela abandona essa hip´otese e sup˜oe apenas que: d(1 + S0t)

(1 + S0t)

= d(1 + S01) (1 + S01)

, para todo t,

ou seja, a varia¸cão proporcional da taxa à vista para qualquer prazo é igual à varia¸cão propor-cional da taxa à vista de um per´ıodo.

Logo, D2 mede a sensibilidade do pre¸co em termos percentuais, dado um deslocamento na

estrutura a termo das taxas de juros, para deslocamentos causados por varia¸c˜oes proporcionais iguais para todas as taxas `a vista.

Vamos derivar a Segunda Medida de Macaulay. Seja S0t a taxa `a vista para t anos. Considere

um t´ıtulo sem cupom que pague R$ 1.000,00 em t anos. O pre¸co desse t´ıtulo, denotado por P₀t, ´e: P₀t= 1000 (1 + S0t)t Ent˜ao: dP₀t d(1 + S0t) = −t × 1000 (1 + S0t)t+1

Juntando as duas express˜oes e a hip´otese feita acima, obtemos: dPt 0 Pt 0 = −t ×d(1 + S0t) (1 + S0t) = −td(1 + S01) (1 + S01) , para todo t,

O pre¸co de um t´ıtulo de renda fixa com cupons e prazo de vencimento T , cujo fluxo de caixa ´ e descrito por C(t), t = 1, 2, . . . , T , ´e: P = T X t=1 C(t) (1 + S0t)t Ent˜ao: dP P = T X t=1 −t × C(t) (1+S0t)t P × d(1 + S0t) (1 + S0t) = T X t=1 −t × C(t) (1+S0t)t P × d(1 + S01) (1 + S01)

Logo, a segunda medida de Macaulay, denotada por D2, ´e:

D = 1

T

X

(17)

Varia¸cão Não Proporcional nas Taxas à Vista

Existe evidência de que as taxas de longo prazo variam menos do que as de curto prazo. Logo a hipótese de que a varia¸cão proporcional da taxa à vista é a mesma para qualquer prazo não se adequa a esse fato.

Alternativamente, podemos supor que: d(1 + S0t)

(1 + S0t)

= K(t)d(1 + S01) (1 + S01)

, para todo t,

onde K(t) = Kt−1_{, com K < 1, o que captura o fato de as taxas de longo prazo serem menos}

voláteis do que as de curto prazo (outras fun¸cões para K(t) podem ser usadas). Neste caso, podemos mostrar que a dura¸cão terá a seguinte fórmula:

D = 1 P T X t=1 −t × Kt−1_× C(t) (1 + S0t)t onde K < 1.

Existem outras medidas de dura¸cão, definidas com base em alguma outra suposi¸cão sobre o comportamento da estrutura a termo da taxa de juros. Porém, como as mudan¸cas na estrutura a termo não são previs´ıveis, não existe escolha correta. A primeira medida da Macaulay, com a hipótese mais simples sobre a estrutura a termo, é a mais usada no mercado.

(18)

7 Convexidade

7.1 Ideia

A medida de dura¸cão á apenas uma aproxima¸cão do risco de taxa de juros. Para mudan¸cas grandes nas taxas de juros, essa aproxima¸cão não é boa.

Isso ocorre porque a rela¸cão entre pre¸co do t´ıtulo e a taxa de juros não é uma rela¸cão linear. Lembre-se que a dura¸cão é a derivada do pre¸co do t´ıtulo com rela¸cão à taxa de juros (mais precisamente, 1 mais a taxa de juros). Logo, a dura¸cão somente é uma boa medida para mudan¸cas “pequenas” na taxa de juros, dado que pre¸co e taxa de juros não possuem uma rela¸cão linear. Pre¸co ∆r s −0, 005 s 0 s +0, 005

Exemplo: Considere uma série de t´ıtulos sem cupom, com principal de R$ 1.000,00, com prazos de vencimento variando de 1 a 10 anos. Suponha que a taxa de juros varie de 10% para 12,2%. A varia¸cão, calculada como 1 mais a taxa de juros, é 0,022/1,10 = 0,02 = 2%. Na tabela abaixo, calculamos a varia¸cão percentual no pre¸co usando a dura¸cão e a varia¸cão percentual efetiva do pre¸co. Na última coluna, calculamos a diferen¸ca percentual entre dura¸cão e varia¸cão real. Observe que, todo o resto constante, quanto maior o prazo de vencimento, maior o erro de aproxima¸cão ao usar a dura¸cão como medida de risco de taxa de juros.

Prazo r = 10% r = 12, 2% ∆P (D) ∆P (Real) Erro 1 R$ 909,09 R$ 891,27 -2% -1,96% 2,00% 2 R$ 826,45 R$ 794,35 -4% -3,88% 3,01% 3 R$ 751,31 R$ 707,98 -6% -5,77% 4,03% 4 R$ 683,01 R$ 631,00 -8% -7.62% 5,05% 5 R$ 620,92 R$ 562,39 -10% -9,43% 6,08% 6 R$ 564,47 R$ 501,24 -12% -11,20% 7,12% 7 R$ 513,16 R$ 446,74 -14% -12,94% 8,16% 8 R$ 466,51 R$ 398,16 -16% -14,65% 9,21% 9 R$ 424,10 R$ 354,87 -18% -16,32% 10,26% 10 R$ 385,54 R$ 316,28 -20% -17,97% 11,33%

A rela¸cão entre pre¸co e taxa de juros para t´ıtulos de renda fixa é convexa, como ilustra a figura acima. Logo, para mudan¸cas maiores da taxa de juros, é adequado somar à dura¸cão um termo

(19)

7.2 Deriva¸

c˜

ao da F´

ormula da Convexidade

O pre¸co de um t´ıtulo, com fluxo de caixa C(t), t = 1, 2, . . . , T , denotado como uma fun¸c˜ao da taxa de juros r, ´e: P0(r) = T X t=1 C(t) (1 + r)t

A expansão de Taylor de segunda ordem da fun¸cão P0(r) ao redor de r é:

P0(r + h) ≈ P0(r) + P00(r)h + 1 2P 00 0(r)h 2

onde as derivadas acima s˜ao com respeito a (1 + r). As derivadas primeira e segunda de P0(r) s˜ao:

P₀0(r) = dP0(r) d(1 + r) = T X t=1 −t × C(t) (1 + r)t+1 P₀00(r) = d 2_P 0(r) d(1 + r)2 = T X t=1 t(t + 1)C(t) (1 + r)t+2

Como a varia¸cão em r é medida em rela¸cão a (1 + r), temos que ∆r = (r+h−r)_/_(1+r) ₌h_/_(1+r)_.

Substituindo as express˜oes para P₀0(r) e P₀00(r) na expans˜ao de Taylor e passando o termo P0(r)

para o lado esquerdo da equa¸c˜ao, obtemos:

P0(r + h) − P0(r) ≈ T X t=1 −t × C(t) (1 + r)t+1 × h + 1 2 T X t=1 t(t + 1)C(t) (1 + r)t+2 × h 2

Podemos reescrever esta ´ultima equa¸c˜ao como:

P0(r + h) − P0(r) ≈ T X t=1 −t × C(t) (1 + r)t × h (1 + r) + 1 2 T X t=1 t(t + 1)C(t) (1 + r)t × h 1 + r 2

Dividindo esta ´ultima express˜ao por P0(r), obtemos:

P0(r + h) − P0(r) P0(r) | {z } ∆P0 ≈ T X t=1 −t×C(t) (1+r)t P0(r) | {z } Dura¸c˜ao × h (1 + r) | {z } ∆r + 1 2P0(r) T X t=1 t(t + 1)C(t) (1 + r)t | {z } Convexidade × h (1 + r) 2 | {z } (∆r)2

Portanto, a convexidade, denotada por Cv, para um t´ıtulo com pre¸co P0, fluxo de caixa C(t),

´ e: Cv = 1 2P0 T X t=1 t(t + 1)C(t) (1 + r)t ,

onde estamos supondo uma estrutura a termo da taxa de juros horizontal, com S0t = r, para

todo t. Para t´ıtulos sem cupom, com prazo de vencimento T , temos que:

Cv = 1

T

Xt(t + 1)C(t)

(20)

Vamos agora considerar a aproxima¸cão que podemos fazer da varia¸cão do pre¸co quando varia a taxa de juros, agora usando a convexidade. Simplificando a nota¸cão, temos que:

∆P0 = −D × ∆r + Cv × (∆r)2

Essa é a fórmula usada para a corre¸cão da medida de dura¸cão para o problema de convexidade da “fun¸cão pre¸co”. A fórmula de corre¸cão para t´ıtulos sem cupom com prazo de vencimento T é simplificada para: ∆P0 = −T × ∆r + T (T + 1) 2 × (∆r) 2 .

onde ∆r é a varia¸cão percentual da taxa de juros (com rela¸cão a 1 mais r).

Exemplo (continua¸cão): Para o exemplo acima, a convexidade do t´ıtulo com prazo de cinco anos é: Cv = 1 2 × 620,92 5(6)1000 (1,10)5 = 15 Então a varia¸cão no pre¸co, fazendo a corre¸cão para a convexidade, é:

∆P0 = −D × ∆r + Cv × (∆r)2 = −5 × 0,02 + 15 × (0,02)2 = −0,10 + 0,006 = −0,094 = −9,4% ,

valor bem mais próximo da varia¸cão efetiva do pre¸co, −9,43%, do que o obtido usando apenas a dura¸cão, 10%.

Na tabela abaixo, reportamos o valor da convexidade, a varia¸cão percentual no pre¸co usando a dura¸cão, com a corre¸cão para a convexidade, e, na última coluna, a diferen¸ca percentual entre dura¸cão corrigida pela convexidade e a varia¸cão real. Observe que, mesmo com a corre¸cão para a convexidade, o erro não desaparece (e continua aumentando com o prazo de vencimento). Porém, a corre¸cão para convexidade diminui bastante o erro. Poder´ıamos usar mais uma medida de corre¸cão, baseada na terceira derivada da fun¸cão pre¸co. Porém, o ganho na aproxima¸cão não é tão significativo. Prazo r = 10% r = 12, 2% Cv ∆P (D + Cv) Erro 1 R$ 909,09 R$ 891,27 1 -1,96% 0,04% 2 R$ 826,45 R$ 794,35 3 -3,88% 0,08% 3 R$ 751,31 R$ 707,98 6 -5,76% 0,13% 4 R$ 683,01 R$ 631,00 10 -7,60% 0,20% 5 R$ 620,92 R$ 562,39 15 -9,40% 0,29% 6 R$ 564,47 R$ 501,24 21 -11,16% 0,38% 7 R$ 513,16 R$ 446,74 28 -12,88% 0,49% 8 R$ 466,51 R$ 398,16 36 -14,56% 0,62% 9 R$ 424,10 R$ 354,87 45 -16,20% 0,76% 10 R$ 385,54 R$ 316,28 55 -17,80% 0,92%

Observe na tabela acima que os valores para a convexidade são todos números inteiros. Para t´ıtulos sem cupom, podemos simplificar a fórmula da convexidade, já que o t´ıtulo faz um único pagamento, do principal, na data do vencimento do t´ıtulo.

Referˆ

encias

Bodie, Z., Kane, A., & Marcus, A. (2013). Investiments (10th edition). McGraw Hill-Artmed. Elton, E., Gruber, M., Brown, S., & Goetzmann, W. (2003). Moderna teoria de carteiras e