Problemas estacionários e de explosão para equações de Schrödinger semilineares

Universidade de Lisboa

Faculdade de Ciências

Departamento de Matemática

Problemas Estacionários e de Explosão

para Equações de Schrödinger

Semilineares

Simão Fernandes Correia

Dissertação

Mestrado em Matemática

Universidade de Lisboa

Faculdade de Ciências

Departamento de Matemática

Problemas Estacionários e de Explosão

para Equações de Schrödinger

Semilineares

Simão Fernandes Correia

Dissertação

Mestrado em Matemática

Dissertação elaborada sob a orientação do Professor Doutor Mário

Sequeira Rodrigues Figueira, Professor Catedrático do Departamento

de Matemática da Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa

2013

v

Resumo

Neste trabalho, procede-se ao estudo de questões de existência global e explosão para equa-ções de Schrödinger semilineares. Numa primeira parte, são deduzidas a partir das invari-âncias da equação as respectivas leis de evolução e são obtidos os resultados clássicos. No segundo capítulo, são estudadas as soluções periódicas em tempo de iut+∆u+|u|p−1u = 0 e

as propriedades qualitativas das soluções de acção mínima (ground states). O caso com po-tencial é também abordado. Estuda-se ainda o fenómeno de concentração L2 _{e estima-se a} velocidade de explosão para dados iniciais numa vizinhança do ground state no caso crítico. Por fim, generalizamos os resultados obtidos para a equação com termo de amortecimento, provando em particular a explosão no caso crítico para pequenos amortecimentos.

Palavras-chave: Schrödinger não-linear, explosão, ground state, amortecimento Classificação AMS 2010: 35Q55, 35A01, 35A15, 35B06, 35B33, 35B44

Abstract

In this work, we study global existence and blowup for semilinear Schrödinger equations. In a first part, we deduce laws of evolution using the associated invariances of the equation and the classical results are obtained. In the second chapter, we study the time-periodic so-lutions of iut+∆u+|u|p−1u = 0 and the qualitative properties of those with minimal action

(ground states). The potential case is also approached. We also study the L2-concentration phenomenon and we estimate the explosion speed for initial data in a neighbourhood of the ground state in the critical case. Finally, the results are generalized for the damped nonlinear Schrödinger equation, proving in particular explosion in the critical case for small dampings.

Keywords: Nonlinear Schrödinger, blowup, ground state, damping 2010 AMS classification: 35Q55, 35A01, 35A15, 35B06, 35B33, 35B44

vii

Agradecimentos

A conclusão deste trabalho não seria possível sem o apoio de várias pessoas e institui-ções. Agradeço ao Prof. Mário Figueira, orientador desta tese de mestrado, pelo tema interessante que me apresentou e por toda a atenção que me foi dada. Às fundações Ca-louste Gulbenkian e Eugénio de Almeida, agradeço o apoio e a confiança depositada ao me aceitarem como seu bolseiro. Agradeço ainda a Darwich Mohamad, que se disponibilizou a esclarecer várias questões sobre o seu trabalho. Finalmente, agradeço especialmente à minha família e à Andreia, por toda a paciência e apoio que me deram ao longo de todo o mestrado.

Conteúdo

0 Introdução 1

1 Resultados preliminares e leis de evolução 3

1.1 Motivação física: óptica não-linear . . . 3

1.2 Definições e resultados básicos . . . 6

1.3 Invariâncias e leis de evolução . . . 10

1.4 Resultados básicos de existência global e explosão . . . 21

2 Ground-states e teoria qualitativa 23 2.1 Princípio de compacidade por concentração . . . 24

2.2 Existência e unicidade de ground states . . . 30

2.3 Resultados qualitativos . . . 38

3 Estimativas sobre a velocidade de explosão 57 3.1 Minoração da velocidade de explosão . . . 58

3.2 Majoração da velocidade de explosão . . . 58

4 A equação amortecida 75 4.1 Leis de evolução . . . 76

4.2 Resultados qualitativos . . . 77

4.3 Explosão no caso crítico . . . 83

4.4 A equação com amortecimento não homogéneo . . . 89

5 Bibliografia 95

Introdução

A equação de Schrödinger não-linear

iut+ ∆u + λ|u|p−1u = 0, 1 < p < 1 + 4/(N − 2),

para além das diversas aplicações físicas, como a óptica não-linear, tem interesse puramente matemático, por ser representativa de vários fenómenos associados à classe das equações dispersivas. Neste trabalho, concentraremos a atenção nos fenómenos explosivos e em resultados de existência global. Tendo em conta que o caso λ ≤ 0 não admite soluções explosivas, reduzir-nos-emos à família

iut+ ∆u + |u|p−1u = 0.

A relação entre o expoente da não-linearidade e a dimensão espacial influencia decisiva-mente os resultados que se irão obter, podendo mesmo conduzir à inexistência de fenómenos explosivos.

Uma classe de soluções que tem especial relevância são as soluções periódicas no tempo. De entre estas soluções, será seleccionada uma que minimiza o funcional de acção. As suas propriedades irão permitir um estudo local do fluxo gerado pela equação e a obtenção de resultados mais finos,

No final do trabalho, será ainda considerada a equação amortecida

iut+ ∆u + |u|p−1u + iau = 0,

onde a > 0. Será feito um prolongamento dos resultados obtidos anteriormente a esta situação.

O estudo realizado divide-se em quatro capítulos:

• No primeiro capítulo, após uma breve motivação física e alguns resultados básicos de Análise Funcional, serão deduzidas a partir das invariâncias da equação as respectivas leis de evolução. A existência destas leis permite imediatamente obter os resultados clássicos sobre existência global e explosão de soluções da equação. A sua importância será perceptível até ao último capítulo;

• No segundo capítulo, serão estudadas as soluções periódicas no tempo. Inicialmente, será apresentado o princípio de compacidade por concentração, que nos permitirá obter a demonstração de existência de tais soluções no caso com potencial

iut+ ∆u + V u + |u|p−1u = 0,

onde V : RN → R. As hipóteses colocadas sobre o potencial são, no nosso conheci-mento, mais fracas do que as habituais: em particular, não é exigida a existência de limite quando |x| → ∞.

Na última secção, serão expostos os resultados sobre a estabilidade de soluções pe-riódicas, o perfil explosivo no caso crítico e o fenómeno de concentração L2. A demonstração deste último é diferente do artigo original, baseando-se somente numa aplicação exaustiva do princípio de compacidade por concentração;

• No terceiro capítulo, serão apresentadas as ideias presentes no artigo [12]. A exposição feita não pretende demonstrar detalhadamente todos os passos, mas sim possibilitar uma compreensão mais clara da técnica.

• No último capítulo, será estudada a equação com amortecimento, onde serão obti-dos resultaobti-dos presentes em [18] (notamos que a prova do resultado de existência global no caso subcrítico é diferente da aí apresentada) e a prova de explosão no caso crítico. Este problema, aberto durante vários anos, foi resolvido em 2012 por Darwich Mohamad, usando a técnica desenvolvida no capítulo anterior. A exposi-ção deste resultado no artigo publicado não é, no nosso ponto de vista, clara e de fácil compreensão. Assim sendo, apresentamos uma demonstração original, baseada numa das ideias apresentadas por Mohamad Darwich. Esta demonstração é depois generalizada para englobar a equação com amortecimento não-homogéneo, problema que estava em aberto.

Resultados preliminares e leis de

evolução

1.1 Motivação física: óptica não-linear

Nesta secção, motivamos o estudo da equação de Schrödinger não-linear através do desenvolvimento de algumas ideias relacionadas com óptica não-linear (ver [7]). Em li-nhas gerais, considere-se um feixe luminoso de alta intensidade propagando-se num meio homogéneo (tipicamente, um feixe laser). Então dois fenómenos têm particular relevância:

• Difracção: o feixe luminoso tende a espalhar-se pelo espaço;

• Refracção: a passagem do feixe altera o índice de refracção do meio por onde passa. Caso o índice de refracção aumente, então o feixe poderá reflectir-se sobre ele mesmo, o que resulta na auto-focalização do feixe. No entanto, devido à presença da difracção, estes dois efeitos podem contrabalançar-se, dando origem à auto-colimação (self-trapping).

As equações que descrevem um campo electroestático são ∇ × E = 0, ∇ · E = 4πρ,

onde E é a intensidade do campo eléctrico e ρ a densidade de carga. No caso em que nenhuma carga é introduzida no meio, então existe um vector de polarização P tal que

ρ = −∇ · P.

Definindo a indução eléctríca D = E + 4πP , temos ∇ · D = 0. Em meios dieléctricos isótropos, a indução e a intensidade estão relacionadas através da permeabilidade eléctrica

:

D = E.

Assim sendo, temos ρ = −∇ · P = −∇ · _{ − 1} 4π D  = −D 4π· ∇  − 1  = − E 4π· ∇, e portanto ∇ · E = −E  · ∇. (1.1)

Recordemos as equações de Maxwell, que descrevem as propriedades dum campo elec-tromagnético num meio dieléctrico isótropo:

∇ · B = 0, ∇ × E = −1 c ∂B ∂t, ∇ · D = 0, ∇ × H = 1 c ∂D ∂t, onde

• H é a intensidade do campo magnético e B é a indução magnética, relacionados por B = νH, sendo ν a permeabilidade magnética (que pode ser considerada como identicamente igual a 1);

• c é a velocidade da luz no meio considerado. Consideremos campos monocromáticos, ou seja,

E = ˜Ee−iωt, H = ˜He−iωt,

com ˜E, ˜H funções independentes do tempo. Caso a permeabilidade eléctrica seja constante

em tempo, obtemos ∂D ∂t == −iωE, ∂B ∂t = −iωH e portanto iωH = c∇ × E, iωE = −c∇ × H.

Resolvendo em ordem a E, obtemos ∆ ˜E + ω

2

c2E − ∇(∇ · ˜˜ E) = 0. Supondo que ∇ é desprezável, obtemos de (1.1)

∆ ˜E + ω 2

c2E = 0.˜ (1.2)

Escrevendo √ = n + ia, diremos que n é o índice de refracção do meio e a o coeficiente de

extinção (que é proporcional ao coeficiente de absorção do meio). Sendo 0a permeabilidade dielétrica do meio antes do contacto com o feixe, definimos n0= Re

√

1.1. MOTIVAÇÃO FÍSICA: ÓPTICA NÃO-LINEAR 5 Suponhamos agora que ˜E é da forma

˜

E(x, y, z) = (0, 0, φ(x, y, z)eiω2C2n0z),

onde φ varia lentamente na variável z. Substituindo em (1.2),

∂2φ ∂z2 + ∆xyφ + 2i ω2 c2n0 ∂φ ∂z + ω2 c2φ( − n 2 0) = 0, com ∆xy = ∂ 2 ∂x2 + ∂ 2

∂y2. Desprezando o primeiro termo (devido à hipótese sobre φ), obtemos

2iω 2 c2n0 ∂φ ∂z + ∆xyφ + ω2 c2φ(n 2_{− n}2 0− a2+ 2ina) = 0. Sendo δn= n − n0, temos, aproximadamente,

2iω 2 c2n0 ∂φ ∂z + ∆xyφ + 2n0δn ω2 c2φ − a 2ω2 c2φ + 2in0a ω2 c2φ = 0.

A variação do índice de refracção δn depende de vários fenómenos, como a variação

da temperatura e/ou pressão. Pode calcular-se a variação nestes casos: δn = λ|φ|2, com

λ ∈ R. No caso em que a = 0, eliminando constantes desnecessárias, obtemos i∂φ

∂z + ∆xyφ + λ|φ|

2_{φ = 0,}

que é a equação de Schrödinger não-linear1. Como iremos ver neste capítulo, o fenómeno de auto-focalização só pode aparecer com λ > 02_{, caso que será objecto de estudo na maior} parte deste trabalho.

Podemos ainda considerar o caso a 6= 0. Nesta situação, desprezando o termo com a2, obtemos

i∂φ

∂z + ∆xyφ + λ|φ|

2_{φ + iaφ = 0.}

O novo termo é designado termo de amortecimento (damping) e é responsável pela absorção do meio.

O fenómeno de auto-focalização irá traduzir-se matematicamente no fenómeno de ex-plosão da solução da equação de Schrödinger não-linear. Atentamos para o facto de que, segundo a definição de expoente crítico do final deste capítulo, o modelo considerado insere-se no caso crítico. Daremos especial relevância a esta situação.

1

Em vez de uma variável temporal, tem-se uma direcção espacial mais relevante, z, direcção de propa-gação do feixe.

2

1.2 Definições e resultados básicos

Nesta secção, introduzimos as definições e os resultados básicos de Análise Funcional necessários para o desenvolvimento do trabalho. Para mais pormenores, consulte-se [5] e [3]. Ao longo de todo o trabalho, os elementos dos espaços funcionais considerados tomam valores complexos.

Definição 1.1. Seja Ω ⊂ RN um aberto.

• D(Ω) := C_c∞(Ω) representa o espaço das funções de classe C∞com suporte compacto em Ω. O dual deste espaço, D0(Ω), é chamado o espaço das distribuições. Neste espaço, está bem-definido o operador de derivação;

• Para cada 1 ≤ p < ∞ e k ∈ N, definimos o espaço de Sobolev

Wk,p(Ω) := {u ∈ Lp(Ω) : Dαu ∈ Lp(RN), ∀|α| ≤ k}. É um espaço de Banach para a norma

kuk_Wk,p_(Ω)=   X |α|≤k kDαukp_Lp_(Ω)   1 p ;

• W₀k,p(Ω) := D(Ω) para a norma de Wk,p_{(Ω). É sabido que, no caso Ω = R}N_,

W₀k,p(RN) = Wk,p_(RN); • Defina-se Hs_(RN_{) = {u ∈ S}0

(RN) : 1 + |ξ|2
k/2

ˆ

u ∈ L2(RN)}, com s ∈ R, em que S0_(RN) é o espaço das distribuições temperadas (dual do espaço de Schwartz) e ˆ

u = F u é a transformada de Fourier de u. Mostra-se que H−s(RN) =Hs(RN)) e que, para s ∈ N, Hk(RN) = Wk,2_(RN).

Nota 1.1. Por motivos de simplicidade, escrevemos kukp = kukLp_(RN₎e kuk_Hs := kuk_Hs_(RN₎.

Nota 1.2. Os espaços L2(Ω) e H1(Ω) são espaços de Hilbert, munidos, respectivamente, do produto interno (u, v) = Re Z Ω u(x)v(x)dx, (u, v)_H1_(Ω) = Re Z Ω u(x)v(x) + ∇u(x) · ∇v(x)dx.

Os três teoremas que se seguem são resultados centrais sobre interpolação e mergulho dos espaços de Sobolev nos espaços Lp.

1.2. DEFINIÇÕES E RESULTADOS BÁSICOS 7

Teorema 1.1 (Desigualdade de Gagliardo-Nirenberg). Sejam 1 ≤ p, q, r ≤ ∞ e j, m

inteiros tais que 0 ≤ j < m. Se

1 p = j N + a ₁ r − m N  + (1 − a) q

para algum a ∈ [j/m, 1] (a < 1 se r > 1 e m − j − N_r = 0), então existe uma constante C

tal que, para quaisquer α, β ∈ \N com |α| = j e |β| = m,

kDαukp ≤ CkDβukarkuk1−aq , u ∈ D(RN).

Teorema 1.2 (Injecções de Sobolev). Seja Ω ⊂ RN um aberto com fronteira Lipschitziana. 1. Se 1 ≤ p < N , então W1,p(Ω) ,→ Lq(Ω) para cada q ∈ [p, p∗], com p∗ = _{N −p}N p ;

2. Se p = N > 1, então W1,p(Ω) ,→ Lq(Ω) para cada q ∈ [p, ∞);

3. Se p = N = 1, então W1,p(Ω) ,→ Lq(Ω) para cada q ∈ [p, ∞];

4. Se p > N , então W1,p(Ω) ,→ L∞(Ω).

Teorema 1.3 (Teorema de Compacidade de Rellich). Se Ω é limitado e tem fronteira

Lipschitziana,

1. Se 1 ≤ p ≤ N , então a injecção W1,p(Ω) ,→ Lq(Ω) é compacta para cada q ∈ [p, p∗);

2. Se p > N , então a injecção W1,p(Ω) ,→ L∞(Ω) é compacta.

Definição 1.2. Se X for um espaço de Banach e I for um intervalo, definimos

Ck(I, X) := {u : I → X contínuas , max

|α|≤ksup_t∈Iku(t)kX < ∞},

munido da norma kuk_Ck_(I,X)= max_|α|≤ksup_t∈Iku(t)k_X. Para cada 1 ≤ p < ∞, seja

Lp(I, X) := {u : I → X mensuráveis,

Z

I

ku(t)kp_Xdt < ∞},

munido com a norma kuk_Lp_(I,X)= (R_Iku(t)kp_Xdt)

1

p_{. Definimos ainda}

L∞(I, X) := {u : I → X mensuráveis, supess

I

ku(t)k_X < ∞},

munido da norma kuk_L∞_(I,X) = supess_Iku(t)k_X. Com estas normas, os espaços Lp(I, X)

Consideremos o operador i∆ : H1_(RN) → H−1_(RN). Este operador define um grupo unitário {S(t)}_t∈R em H−1_(RN) de tal forma que, para cada u₀ ∈ H1_(RN_{), u(t) = S(t)u}

0 é a única solução em C(R, H1(RN)) ∩ C1_{(R, H}−1_(RN)) do problema de valores iniciais

(

idu_dt + ∆u = 0, t ∈ R

u(0) = u0

.

Nota 1.3. O grupo {S(t)}t∈R satisfaz S∗(t) = S(−t).

A particularidade de o domínio ser todo o RN possibilita o uso de ferramentas como a transformada de Fourier. Neste contexto, é possível explicitar o grupo {S(t)}_t∈R:

Proposição 1.4. Se φ ∈ D(Ω), para t 6= 0, S(t)φ = Kt∗ φ, Kt(x) = 1 (4π|t|)N/2e i|x|2 4t .

Em particular, para cada p ∈ [2, ∞], S(t) pode ser prolongado a um operador linear contínuo de Lp0_(RN) para Lp_(RN) e kS(t)k_L(Lp0_(RN_),Lp_(RN₎₎≤ 1 (4π|t|)N 12− 1 p
, t > 0. (1.3)

Quando passamos para o problema não-homogéneo

(

idu_dt + ∆u = f, f : [0, T ] → H1_(RN), t ≥ 0

u(0) = u0

,

sobre algumas hipóteses sobre f , a solução pode ser escrita através da fórmula de Duhamel (ou fórmula da variação das constantes):

u(t) = S(t)u0+

Z t

0

S(t − s)f (s)ds.

As estimativas da proposição anterior, quando aplicadas ao estudo do termo não-homogéneo da fórmula de Duhamel, resultam nas estimativas de Strichartz:

Definição 1.3. Para cada f ∈ L1((0, T ), H−1_(RN)), defina-se Φ_f(t) =

Z t

0

S(t − s)f (s)ds, ∀ t ∈ [0, T ].

Definição 1.4 (Par admissível). Um par de números positivos (q, r) é um par admissível se

1.2. DEFINIÇÕES E RESULTADOS BÁSICOS 9

2. 2_q = N1₂ −1_r.

Resulta da definição que q > 2.

Proposição 1.5 (Estimativas de Strichartz). Se (γ, ρ) for um par admissível, existe uma

constante C = C(γ, ρ) tal que:

1. dado f ∈ Lγ0((0, T ), Lρ0_(RN)), Φf ∈ Lq((0, T ), Lr(RN)) e sup (q,r) admissíveis kΦ_fk_Lq_{(]0,T [,L}r_(RN₎₎≤ Ckf k_Lγ0_{(]0,T [,L}ρ0_(RN₎₎. 2. dado φ ∈ L2_(RN_{), S(t)φ ∈ L}q_{((0, T ), L}r_(RN_{)) e} kS(t)φk_Lγ_{(]0,T [,L}ρ_(RN₎₎≤ Ckφk₂.

Para a demonstração da primeira estimativa, um dos pontos essenciais é provar a desi-gualdade para (q, r) = (γ, ρ): pela estimativa da proposição 1.4,

kΦf(t)kρ≤ Z t 0 kS(t − s)f (s)kρds ≤ Z T 0 |t − s|−N 12− 1 ρ
kf (s)k_ρ0ds ≤ Z T 0 |t − s|−2qkf (s)k ρ0ds.

O caso (q, r) = (γ, ρ) é agora uma consequência elementar do seguinte lema sobre potenciais de Riesz, que se pode encontrar em [19]:

Lema 1.6. Seja 1 < p < ∞. Dado f ∈ Lp_{((0, T ), R) e 0 < α < 1, defina-se}

Iα[f ](t) =

Z T

0

|t − s|α−1f (y)dy.

Se q é tal que 1/q = 1/p − α, então Iα[f ] ∈ Lq((0, T ), R) e

kI_α[f ]k_Lq_{((0,T ))}≤ C_p,qkf k_Lp_{(0,T )}.

As estimativas de Strichartz são muito úteis no estudo do problema de valores iniciais

(

idu_dt + ∆u + g(u) = 0, ∀ t ≥ 0

u(0) = u0

, (1.4)

onde g : H1_(RN) → H1_(RN). Por exemplo, é com base nestas estimativas que se obtém o seguinte resultado de existência local, unicidade e dependência contínua obtido por T. Kato e que se pode encontrar em [4]:

Teorema 1.7 (Existência local e unicidade). Seja f : C → C contínua tal que

• f (0) = 0;

• |f (u) − f (v)| ≤ L(K)|u − v|, para quaisquer u, v ∈ C tais que |u|, |v| ≤ K, com

L : [0, ∞) → [0, ∞) satisfazendo

(

L contínua se N = 1

L(t) ≤ C(1 + tα), 0 ≤ α < _{N −2}4 se N ≥ 2.

Para cada u ∈ H1_(RN), defina-se g(u)(x) = f (u(x)). Se f for de classe C1 (quando considerada como função de R2_{), então existe uma função T : H}1_(RN_{) → (0, ∞] com as}

seguintes propriedades:

1. Para cada u₀ ∈ H1_(RN_{), existe u ∈ C([0, T (u}

0)); H1(RN))∩C1([0, T (u0)), H−1(RN)) solução única de (1.4);

2. Alternativa de explosão: Se T (u₀) < ∞, então

ku(t)k_H1_(RN₎→ ∞, t → T (u₀);

3. Para cada M > 0, existe C(M ) > 0 tal que T (u0) > C(M ), para qualquer u0 com ku₀k_H1 ≤ M ;

4. Se u0 ∈ H2(RN), u ∈ C([0, T (u0)); H2(RN)) ∩ C1([0, T (u0)), L2(RN)).

Nota 1.4. 1. Seja 1 < p < 1 + 4/(N − 2). Então f (x) = λ|x|p−1x, com λ ∈ R, está nas condições do teorema acima e portanto o problema de valores iniciais em H1_(RN₎

para a equação

iut+ ∆u + λ|u|p−1u = 0 (1.5)

está bem-posto.

2. É também possível considerar o caso f (x) = |x|p−1x + iax, com a > 0. A equação

resultante será o objecto de estudo do último capítulo.

1.3 Invariâncias e leis de evolução

Uma das ferramentas básicas para o estudo de equações diferenciais da forma

du

dt(t) = Au(t), t ∈ R

onde u : R → H e A : H → V , com H e V espaços vectoriais normados, é a obtenção de leis de conservação, ou seja, encontrar funcionais Φ : H → R tais que, sempre que u seja solução da equação, Φ(u) seja constante.

1.3. INVARIÂNCIAS E LEIS DE EVOLUÇÃO 11 No entanto, a hipótese de Φ(u) ser constante é demasiado restritiva. O que é importante é que seja conhecida a evolução ao longo do tempo de Φ(u), o que, com hipóteses de regularidade, se traduz numa equação diferencial (a qual se chamará lei de evolução):

dΦ(u)

dt = Ψ(u), Ψ : H → R.

A obtenção de tais leis permite estudar certas propriedades de soluções de equações diferenciais com valores em espaços de Banach (como é o caso de (1.5)) usando um sistema

finito de equações diferenciais ordinárias, cuja análise poderá revelar-se mais simples (como

será exempliflicado na última secção deste capítulo). É portanto interessante encontrar técnicas que permitam a obtenção de leis de evolução.

Uma dessas técnicas tem como ideia principal o teorema de Noether, onde se afirma, de forma genérica, que, dado um Lagrangiano L, toda a invariância de L (transformação que preserva o Lagrangiano) origina uma lei de conservação correspondente à solução da equação de Euler-Lagrange para L. Portanto, caso a equação a estudar possa ser conside-rada como a equação de Euler-Lagrange para um determinado Lagrangiano, poder-se-ão encontrar leis de conservação procurando as respectivas invariâncias.

Lema 1.8. Considere-se o Lagrangiano L : (RN × R) × C2_{× (C}2_{× C}2N_{) → C} L(x, t, u, ¯u, ∂tu, ∂tu, ∇u, ∇¯¯ u) = i 2(¯u ∂tu − u ∂tu) − ∇u · ∇¯¯ u + 2λ p + 1(u¯u) p+1 2 (1.6)

cujas equações de Euler-Lagrange são

( iut+ ∆u + λ(u¯u) p−1 2 u = 0 i¯ut+ ∆¯u + λ(u¯u) p−1 2 u = 0¯ . (1.7)

Se u : RN × R → C é solução de (1.5), (u, ¯u) é solução das equações de Euler-Lagrange (1.7).

Nas próximas páginas, será exposto o método de obtenção das leis de evolução para (1.5), e cuja generalização a outras equações será evidente. É necessária uma observação importante: para os argumentos que irão ser usados, será sempre suposto que a solução é tão regular quanto aquilo que seja necessário. Depois, ter-se-á de observar quais as condições sobre a solução que podem ser enfraquecidas de forma a que lei ainda seja válida. A utilidade deste método é a indicação de possíveis leis referentes a esta equação, que terão de ser confirmadas a posteriori.

Consideremos as aplicações T : RN× R × C → C e τ : RN_{× R → R}N_{× R, sendo τ uma}

bijecção. No que se segue, o par (T, τ ) será designado por transformação de (1.5).

Definição 1.5. Define-se invariância de (1.5) como uma transformação de (1.5) (T, τ ) verificando a seguinte propriedade: para cada s, t ∈ R, se u : RN × [t, s] → C é solução de (1.5), v : τ (RN × [t, s]) → C, então v(x, t) = T (τ−1(x, t), u(τ−1(x, t))) é solução de (1.5).

Lema 1.9 (Invariâcias de (1.5)). Para cada θ ∈ R, os seguintes pares são invariâncias de

(1.5):

• Invariância por translacções no espaço-tempo: Tθ(x, t, u) = u e τθ(x, t) = (x + θx0, t+ θt0), com t0∈ R, x0 ∈ RN;

• Invariância por mudança de fase: T_θ(x, t, u) = eiθu e τθ(x, t) = (x, t);

• Invariância galileana: T_θ(x, t, u) = e2iθv·(x+θvt)−

i

4θ 2_|v|2_t

u e τθ(x, t) = (x + θvt, t);

• Invariância por dilatação: T_θ(x, t, u) = e−p−12θ _{u e τ}

θ(x, t) = (xeθ, te2θ);

No caso p − 1 = 4/N , temos ainda

• Invariância pseudo-conforme: Tθ(x, t, u) = (1 + θt)N/2e− i 4 θ|x|2 1+θt_{u e τθ(x, t) =}  _x 1 + θt, t 1 + θt  .

Nota 1.5. Os pares acima satisfazem T0(x, t, u) = u e τ0(x, t) = (x, t). Nota 1.6. Fixados x, t e u, Tθ(x, t, u) e τθ(x, t) são funções regulares em θ.

Suponhamos que {(T_θ, τθ)}θ∈R é uma família a um parâmetro de transformações de

(1.5), regulares em θ, e tal que T0(x, t, u) = u e τ0(x, t) = (x, t), quaisquer que sejam x ∈ RN, t ∈ R e u ∈ C. Seja u : RN × R → C uma solução regular de (1.5). Defina-se

uθ(x, t) = Tθ(τθ−1(x, t), u(τ

−1

θ (x, t))) e

Lθ(x, t) = L(x, t, uθ(x, t), ¯uθ(x, t), ∂tuθ(x, t), ∂tu¯θ(x, t), ∇uθ(x, t), ∇¯uθ(x, t)).

Então, escrevendo t = x₀, como (u, ¯u) é uma solução das equações de Euler-Lagrange de L, ∂Lθ ∂θ = ∂L ∂u ∂uθ ∂θ + ∂L ∂ ¯u ∂ ¯uθ ∂θ + N X i=0  _∂L ∂(∂xiu) ∂(∂xiuθ) ∂θ + ∂L ∂(∂xiu)¯ ∂(∂xiu¯θ) ∂θ  = ∂L ∂u ∂uθ ∂θ + ∂L ∂ ¯u ∂ ¯uθ ∂θ + N X i=0  _∂L ∂(∂xiu) ∂(∂θuθ) ∂xi + ∂L ∂(∂xiu)¯ ∂(∂θu¯θ) ∂xi  = ∂L ∂u − N X i=0 ∂xi  _∂L ∂(∂xiu) !_∂u θ ∂θ + ∂L ∂ ¯u − N X i=0 ∂xi  _∂L ∂(∂xiu)¯ !_{∂ ¯u} θ ∂θ + N X i=0 ∂xi  _∂L ∂(∂xiu) ∂uθ ∂θ + ∂xi ∂L ∂(∂xiu)¯ ∂ ¯uθ ∂θ  =

1.3. INVARIÂNCIAS E LEIS DE EVOLUÇÃO 13 = N X i=0 ∂xi  _∂L ∂(∂xiu) ∂uθ ∂θ + ∂xi ∂L ∂(∂xiu)¯ ∂ ¯uθ ∂θ 

Dado Ω ⊂ R × RN, define-se a acção Sθ de uθ sobre τθ(Ω) como

Sθ:= Z τθ(Ω) Lθ(x, t)dxdt Então dSθ dθ    θ=0= Z Ω ∂Lθ ∂θ    θ=0dxdt + d dθ Z τθ(Ω) L(x, t)dxdt !    θ=0 = Z Ω N X i=0 ∂xi  _∂L ∂(∂xiu) ∂uθ ∂θ    θ=0+ ∂xi ∂L ∂(∂xiu)¯ ∂ ¯uθ ∂θ    θ=0  dxdt + d dθ Z τθ(Ω) L(x, t)dxdt !    θ=0

Para Ω = RN × [s₁, s2], e supondo que os termos de fronteira no infinito são nulos, tem-se dSθ dθ    θ=0= " Z RN ∂L ∂(∂tu) ∂uθ ∂θ    θ=0+ ∂L ∂(∂tu)¯ ∂uθ ∂θ    θ=0dx #s2 s1 + d dθ Z τθ(Ω) L(x, t)dxdt !    θ=0. (1.8) Por outro lado, pelo teorema de mudança de variáveis,

Sθ= Z Ω Lθ(τθ(x0, t0))|Jθ(x0, t0)|dx0dt0, Jθ(t0, x0) = det ∂τ_θi ∂xj ! 0≤j≤N Portanto, caso se tenha

Lθ(τθ(x0, t0))|Jθ(x0, t0)| = L(x0, t0), (x0, t0) ∈ Ω, (1.9)

então S_θ = S0, ∀θ∈R e portanto dSdθθ

_θ=0= 0.

Apliquemos o argumento exposto a cada uma das invariâncias apresentadas no lema 1.9.

• Invariância de fase:

Como J_{θ(x, t) = 1, ∀(x, t) ∈ Ω∀θ ∈ R e dado que, por (1.6),}

Lθ(τθ(x, t)) =

i

2



eiθ_u∂

teiθu − eiθu∂teiθu



− ∇eiθ_{u · ∇e}iθ_{u +} 2λ

p + 1(e

o primeiro membro de (1.8) é nulo. Visto que ∂uθ ∂θ    θ=0 (x, t) = iu(x, t), e que d dθ Z τθ(Ω) L(x, t)dxdt !    θ=0= 0 obtemos Z RN _{i¯u(x, t)} 2  iu(x, t) + _{−iu(x, t)} 2  (−i¯u(x, t))dx s2 s1 = 0, isto é, Z RN |u(x, s₂)|2dx − Z RN |u(x, s₁)|2dx = 0

Obtemos assim a lei da conservação da massa. • Invariância por translacções no espaço-tempo:

Neste caso, temos J_{θ(x, t) = 1, ∀(x, t) ∈ Ω ∀θ ∈ R e, como L não depende} de (x, t), Lθ(τθ(x, t)) = Lθ(x, t), ∀(x, t) ∈ Ω. Temos ainda ∂uθ ∂θ    θ=0 (x, t) = −t₀∂tu(x, t) − x0· ∇u(x, t) e d dθ Z τθ(Ω) L(x, t)dxdt !    θ=0= d dθ Z s2+θt0 s1+θt0 L(x, t)dxdt !    θ=0= t0 Z RN L(x, t)dx s2 s1 . Logo, para t0 = 1 e x0 = 0, Z RN _{i¯u(x, t)} 2  (−∂tu(x, t)) + _{−iu(x, t)} 2  (−∂tu(x, t))dx +¯ Z RN L(x, t)dx s2 s1 = 0, ou seja, Z RN |∇u(x, t)|2₋ 2λ p + 1|u(x, t)| p+1_dxs2 s1 = 0

que é a lei de conservação da energia; para t₀= 0 e x₀ = e_i, com 1 ≤ i ≤ N ,

Z RN _{i¯u(x, t)} 2  (−∂xiu(x, t)) + _{−iu(x, t)} 2  (−∂xiu(x, t))dx¯ s2 s1 = 0 e portanto Im Z RN u(x, s1)∇¯u(x, s1)dx = Im Z RN u(x, s2)∇¯u(x, s2)dx

Esta lei denomina-se lei da conservação do momento linear. • Invariância galileana:

1.3. INVARIÂNCIAS E LEIS DE EVOLUÇÃO 15 Lθ(τθ(x, t)) = i 2  ¯ u∂tu + ¯u iθ2|v|2 4 u ! + ¯u∇u · (−θv) − u∂tu − u¯ −iθ2_|v|2 4 u¯ ! − u∇¯u · (−θv) −1

4(iθvu + ∇u) · (−iθv ¯u + ∇¯u) + 2λ p + 1|u| p+1_{(x, t)} = L(x, t), Como ∂uθ ∂θ    θ=0(x, t) = −tv · ∇u(x, t) + iu(x, t) 2 v · x e d dθ Z τθ(Ω) L(x, t)dxdt !    θ=0= d dθ Z Ω L(x, t)dxdt    θ=0= 0, temos, por (1.8),  Z RN i 2u(x, t)¯  −tv · ∇u(x, t) +iu 2(x, t)v · x  − i 2u(x, t)  −tv · ∇¯u(x, t) − i¯u 2 (x, t)v · x  dx s2 s1 = 0. Escolhendo v = ei, com 1 ≤ i ≤ N , Z RN x|u(x, t)|2dx + 2t Im Z RN u∇¯u(x, t)dx s2 s1 = 0 Equivalentemente, pela lei de conservação do momento linear,

d dt Z RN x|u(x, t)|2dx = Im Z RN u∇¯u(x, t0)dx

à qual se chama lei de evolução do centro de massa. Esta lei afirma que o centro de massa

R

RNx|u(x, t)|

2_{dx se move de forma rectilínea uniforme ao longo do tempo.}

• Invariância por dilatação:

É fácil verificar que

|J_θ(x, t)|L_θ(τ_θ(x, t)) = e(N +2)θe−(p−14 +2)θ_{L(x, t) = e} N − 4 p−1
θ L(x, t), ∀(x, t) ∈ Ω.

Assim sendo, a condição (1.9) só é verificada para p − 1 = 4/N . Tem-se

∂uθ ∂θ    θ=0(x, t) = − 2

e d dθ Z τθ(Ω) L(x, t)dxdt !    θ=0 =  2t Z RN L(x, t)dx s2 s1 .

Tendo em conta a lei de conservação da energia, calculemos o segundo membro de (1.8):

 Z RN i¯u(x, t) 2  − 2

p − 1u(x, t) − 2t∂tu(x, t) − x · ∇u(x, t)



−iu(x, t) 2



− 2

p − 1u(x, t) − 2t∂¯ tu(x, t) − x · ∇¯¯ u(x, t)

 + 2tL(x, t)dx s2 s1 =  Z RN

Re (−i¯u(x, t)x · ∇u(x, t)) dx − 4tE(u)

s2 s1 . Logo, Im Z RN ¯ u(x, s2)x · ∇u(x, s2)dx − Im Z RN ¯

u(x, s1)x · ∇u(x, s1)dx = 4E(u)(s2− s1).

Escrevendo a equação na forma diferencial, obtemos, para o caso p − 1 = 4/N ,

d dtIm

Z

RN ¯

u(x, t)x · ∇u(x, t)dx = 4E(u)

O facto de não se ter (1.9) para p − 1 6= 4/N não é impeditivo para a obtenção de leis de evolução: simplesmente será necessário calcular o membro esquerdo de (1.8).

dSθ dθ    θ=0= d dθ Z Ω |J_θ(x, t)|L_θ(τ_θ(x, t))dxdt  θ=0 =d dθ Z Ω e N −p−14
θ L(x, t)dxdt  θ=0=  N − 4 p − 1  Z Ω L(x, t)dxdt e portanto, de (1.8), Im Z RN ¯ u(x, s2)x · ∇u(x, s2)dx − Im Z RN ¯ u(x, s1)x · ∇u(x, s1)dx = 4E(u)(s₂− s₁) +  N − 4 p − 1  Z s2 s1 Z RN L(x, t)dxdt.

Além disso, é ainda possível obter outra lei de evolução (que será equivalente à anterior) considerando a transformação

Tθ(x, t, u) = e−

N θ

1.3. INVARIÂNCIAS E LEIS DE EVOLUÇÃO 17 (note-se que, para p − 1 = 4/N , esta é a invariância por dilatação). Os cálculos do membro direito de (1.8) são análogos ao caso anterior. Calculemos o membro esquerdo de (1.8):

dSθ dθ    θ=0= d dθ Z Ω |Jθ(x, t)|Lθ(τθ(x, t))dxdt    θ=0 = d dθ Z Ω  L(x, t) + 2λ p + 1  e−N2(p+1)θ− e−(N +2)θ  |u(x, t)|p+1  dxdt  θ=0 = 2λ p + 1  N + 2 − N (p + 1) 2  Z Ω |u(x, t)|p+1dxdt Obtemos assim Im Z RN ¯ u(x, s2)x · ∇u(x, s2)dx − Im Z RN ¯ u(x, s1)x · ∇u(x, s1)dx = 4E(u)(s2− s1) + 2λ p + 1  N + 2 − N (p + 1) 2  Z s2 s1 Z RN |u(x, t)|p+1dxdt

o que implica a lei de evolução (na sua forma mais usual)

d dtIm

Z

RN ¯

u(x, t)x · ∇u(x, t)dx = 4E(u) + λ

_{2N + 4} p + 1 − N  Z RN |u(x, t)|p+1 • Invariância pseudo-conforme:

A condição (1.9) é verificada por esta transformação: de facto, como

uθ(x, t) = 1 (1 − θt)N/2e −i 4 θ|x|2 1−θt_u  _x 1 − θt, t 1 − θt  temos ∂tuθ(x, t) = 1 (1 − θt)N/2e −i 4 θ|x|2 1−θt _N 2 θ 1 − θtu  _x 1 − θt, t 1 − θt  + −i 4 θ2|x|2 (1 − θt)2 ! u  _x 1 − θt, t 1 − θt  + ∇u  _x 1 − θt, t 1 − θt  ·  _θx (1 − θt)2  +  ₁ (1 − θt)2  ∂tu  _x 1 − θt, t 1 − θt   .

Portanto, Lθ(τθ(x, t)) = (1 + θt)N _i¯u 2 N 2θ(1 + θt)u(x, t) − i 4θ 2_|x|2_{u(x, t)} + (1 + θt)∇u(x, t) · x + (1 + θt)2∂tu  −iu 2 N 2 θ(1 + θt)¯u(x, t) + i 4θ 2_|x|2_{u(x, t) + (1 + θt)∇¯¯ u(x, t) · x + (1 + θt)}2_∂ tu(x, t)¯  −  −i 2θxu(x, t) + (1 + θt)∇u(x, t)  · _i 2θx¯u(x, t) + ∇¯u(x, t)  + 2λ p + 1(1 + θt) 2_{|u(x, t)|}p+1_{= (1 + θt)}N +2_{L(x, t) = |J} θ(x, t)|−1L(x, t) Como duθ dθ    θ=0(x, t) = N 2 tu(x, t) − i 4|x| 2_{u(x, t) + t∇u(x, t) · x + t}2_∂ tu(x, t), a aplicação directa de (1.8) dá  Z RN i¯u 2(x, t) _N 2tu − i 4|x| 2_{u + t∇u · x + t}2_∂ tu  (x, t) −iu 2(x, t) _N 2 t¯u + i 4|x| 2_{u + t∇¯¯ u · x + t}2_∂ tu¯  (x, t)dx s2 s1 + d dθ Z τθ(Ω) L(x, t)dxdt !    θ=0 = 0, ou seja,  Z RN 1 4|xu(x, t)|

2_{− t Im(¯u(x, t)x · ∇u(x, t))dx + 2t}2_E(u)

s2

s1

= 0

Tendo em conta a lei de evolução obtida através da invariância por dilatação, obtém-se

d dt Z RN |xu(x, t)|2dx = 4 Im Z RN ¯ u(x, t)x · ∇u(x, t)dx

e a identidade de Virial (na forma diferencial):

d2 dt2

Z

RN

|xu(x, t)|2_{dx = 16E(u)}

Nota 1.7. Por vezes, a quantidade R_RN|xu(x, t)|2dx é denominada de variância e

1.3. INVARIÂNCIAS E LEIS DE EVOLUÇÃO 19

Nota 1.8. Das leis de evolução obtidas no caso p = 1 + 4/N , é fácil ver que

d dt Z RN |xu(x, t) − 2it∇u(x, t)|2− 8t 2 p + 1|u(x, t)| p+1_dx ! = 0.

Esta lei de conservação é especialmente importante para o estudo do comportamento as-simptótico de soluções globais.

É ainda possível aplicar a transformação pseudo-conforme mesmo para p − 1 6= 4/N . Nesse caso, será necessário calcular dSθ

dθ   θ=0: dSθ dθ    θ=0= d dθ Z Ω |J_θ(x, t)|L_θ(τ_θ(x, t))dxdt  θ=0 = d dθ Z Ω  L(x, t) + 2λ p + 1  (1 + θt)N (p+1)/2−N −2− 1|u(x, t)|p+1  dxdt  θ=0 = 2λ p + 1 _{N (p + 1)} 2 − N − 2  Z Ω t|u(x, t)|p+1dxdt

Assim sendo, obtemos

 Z

RN 1

4|xu(x, t)|

2_{− t Im(¯u(x, t)x · ∇u(x, t))dx + 2t}2_E(u)

s2 s1 = − λ _{2N + 4} p + 1 − N  Z s2 s1 Z RN |u(x, t)|p+1dxdt

o que corresponde, na forma diferencial, a

d dt Z RN |xu(x, t)|2dx = 4 Im Z RN ¯ u(x, t)x · ∇u(x, t)dx e d2 dt2 Z RN |xu(x, t)|2dx = 16E(u) + 4λ _{2N + 4} p + 1 − N  Z RN |u(x, t)|p+1

As leis de evolução até agora exibidas têm um valor formal, no quadro da física-matemática. Do ponto de vista matemático, exige-se uma demonstração rigorosa no âmbito da Análise Funcional. O seguinte lema justifica as leis apresentadas no quadro do espaço de Sobolev H1_(RN).

Lema 1.10. Dado u0 ∈ H1(RN), a solução de (1.5) com dado inicial u0 satisfaz, para cada 0 < t < T (u0):

• ku(t)k2 = ku0k2;

• Sendo E(u) = 1₂k∇uk2

2−p+1λ kuk p+1

• ImR

RNu(x, t)∇¯u(x, t)dx = Im

R

RNu0(x)∇¯u0(x)dx.

Além disso, se u₀ ∈ Σ = {u ∈ H1_(RN_{) : xu ∈ L}2_(RN_{)}, então u(t) ∈ Σ e verificam-se as}

seguintes leis de evolução:

• _dtd R RNx|u(x, t)| 2_{dx = Im}R RNu∇¯u(x, t)dx; • _dtd R RN|xu(x, t)| 2_{dx = 4 Im}R RNu(x, t)x · ∇u(x, t)dx;¯ • _dtd ImR

RNu(x, t)x · ∇u(x, t)dx = 4E(u) + λ¯

 2N +4 p+1 − N  R RN|u(x, t)| p+1_.

Demonstração. Faremos somente um esboço para algumas das leis referidas. Para mais

pormenores, remetemos para [5]. Formalmente, a ideia é multiplicar a equação (1.5) por elementos apropriados, integrar e tomar a parte real. Como a equação é satisfeita em

H−1(RN), isto significa aplicar a equação a elementos particulares. A dificuldade está nos casos em que o elemento ao qual queremos aplicar a equação não está em H1_(RN). Nesses casos, ou se consideram dados iniciais em H2_(RN) e depois aplica-se um argumento de densidade, ou regulariza-se o elemento particular e obtém-se a lei de evolução por uma passagem ao limite.

• Para obter a lei da conservação da massa, basta reparar que 0 = hiu_t+ ∆u + λ|u|p−1u, i¯ui_H−1_×H1 = −

Z RN 1 2 ∂ ∂t|u(x, t)| 2_dx = −1 2 d dt Z RN |u(x, t)|2dx;

• Formalmente, a conservação da energia obtém-se escolhendo como elemento particu-lar ¯ut, que não está necessariamente em H1. No entanto, considerando {un0}n∈N ⊂

H2(RN) tal que un₀ → u₀em H1_(RN) e designado por unas soluções correspondentes, temos

0 = hiun_t + ∆un+ λ|un|p−1un, ¯utiL2_×L2

= −1 2 d dt Z RN |∇un_{(x, t)|}2_{dx + λ} 1 p + 1 d dt Z RN |un_{(x, t)|}p+1_dx

e portanto é válida a conservação da energia E(un(t)) = E(un₀), ∀0 < t < T (un₀). Como un → u em C([0, T ]; H1_(RN_{)) para qualquer T < T (u}

0), por passagem ao limite, obtemos a conservação da energia para dados iniciais em H1_(RN). A conser-vação do momento linear obtém-se analogamente usando como elemento particular ∇¯u.

1.4. RESULTADOS BÁSICOS DE EXISTÊNCIA GLOBAL E EXPLOSÃO 21

1.4 Resultados básicos de existência global e explosão

Na secção anterior, foram obtidas diversas leis de evolução. É agora possível obter resultados preliminares de existência global ou explosão de soluções para a equação (1.5):

Teorema 1.11. Fixado u0 ∈ H1(RN), se se tiver uma das seguintes condições: • λ ≤ 0; • λ > 0 e p − 1 < 4/N ; • λ > 0, p − 1 = 4/N e ku0kH1_(RN₎ < _p+1 2C N/4

, onde C é a constante optimal da desigualdade de Gagliardo-Nirenberg;

então T (u₀) = ∞ (ou seja, a solução de (1.5) com dado inicial u₀ é global). Demonstração. No caso em que λ ≤ 0, pela conservação da energia,

k∇u(t)k2₂ ≤ 2E(u(t)) = 2E(u0), 0 < t < T (u0)

e portanto a alternativa de blow-up não se pode verificar. Consequentemente, T (u₀) = ∞. Se λ > 0 e p − 1 < 4/N , pela desigualdade de Gagliardo-Nirenberg, temos

ku(t)kp+1≤ Cku(t)k1−a2 k∇u(t)ka2, 0 < t < T (u0),

onde a = N (p−1)_2(p+1). Usando a conservação da energia e da massa,

E(u0) = 1 2k∇u(t)k 2 2− 1 p + 1ku(t)k p+1 p+1≥ 1 2k∇u(t)k 2 2− C p + 1ku(t)k (1−a)(p+1) 2 k∇u(t)k a(p+1) 2 =k∇u(t)ka(p+1)₂ ₁ 2k∇u(t)k 2−a(p+1) 2 − C p + 1ku0k (1−a)(p+1) 2  .

Como 2−a(p+1) > 0, não se pode ter k∇u(t)k2 → ∞ quando t → T (u0). Logo T (u0) = ∞. Finalmente, se λ > 0 e p − 1 = 4/N , da estimativa acima resulta que

E(u0) ≥ k∇u(t)ka(p+1)2

₁ 2 − C p + 1ku0k p−1 2  , 0 < t < T (u0).

Logo, se _p+1C ku0kp−12 < 12, obtemos novamente que k∇u(t)k2 é limitada em [0, T (u0)) e portanto T (u₀) = ∞.

Como a alternativa de explosão nunca se verifica para λ ≤ 0, concentraremos o estudo sobre o caso λ > 0. Multiplicando u por um escalar apropriado, pode-se reduzir este caso a

Proposição 1.12. Sejam p − 1 > 4/N e u0 ∈ Σ tal que E(u0) < 0. Então a solução de (NLS) com dado inicial u₀ explode em tempo finito (ou seja, T (u₀) < ∞).

Demonstração. Como p − 1 > 4/N , 2N +4_p+1 − N ≤ 0. Portanto, usando a identidade de Virial (cf. lema 1.10), d2 dt2 Z RN |xu(x, t)|2_{dx ≤ 16E(u} 0)

e integrando duas vezes, obtemos, para algumas constantes A, B ∈ R, 0 ≤

Z

RN

|xu(x, t)|2dx ≤ 8E(u0)t2+ At + B, ∀0 < t < T (u0),

desigualdade que não é válida para todo o t ∈ R+_{, pois o membro da direita é negativo} para t grande. Logo T (u0) < ∞.

A conjunção dos resultados acima justifica a seguinte nomenclatura:

• Se p − 1 < 4/N , diremos que estamos no caso subcrítico. Nesta situação, qualquer solução do problema de Cauchy associado a (NLS) é global;

• Se p − 1 = 4/N , diremos que estamos no caso crítico. Nesta situação, dados iniciais com norma pequena em H1_(RN) dão origem a soluções globais, enquanto que dados iniciais em Σ com energia negativa resultam em soluções do problema de Cauchy associado a (NLS) explosivas. É importante notar que é neste caso que se tem a invariância pseudo-conforme;

• Se p − 1 > 4/N , diremos que estamos no caso supercrítico. Tal como no caso crítico, certos dados iniciais originam soluções do problema de Cauchy associado a (NLS) explosivas.

Ground-states e teoria qualitativa

Neste capítulo, procedemos ao estudo de algumas propriedades qualitativas de uma classe de soluções de (NLS) especialmente importantes no quadro da física-matemática: soluções do tipo u(x, t) = eiωtφ(x). Trata-se, desde logo, de mostrar a existência de tais

soluções (periódicas em tempo) e depois ver qual o comportamento do fluxo gerado por (NLS) em torno dessas soluções particulares.

Para tal, necessitaremos de uma ferramenta que nos permite extrair subsucessões for-temente convergentes em Lp+1_(RN) a partir de sucessões fracamente convergentes em

H1_(RN_{), dificuldade que surge devido a R}N _{ser um domínio ilimitado (para domínios}

Ω limitados, sabemos que a injecção H1(Ω) ,→ Lp+1(Ω) é compacta). Essa ferramenta, designada por princípio de compacidade por concentração, foi desenvolvida por P.L.Lions, e pode encontrar-se em [10] e [11]. Aqui expomos os resultados-chave associados a esse princípio.

O princípio de compacidade por concentração permite provar a existência de soluções periódicas em tempo, mesmo em contextos mais gerais que (NLS), facto ilustrado na se-gunda secção. De entre a família das soluções periódicas, iremos seleccionar as soluções que minimizam o funcional de acção introduzido no capítulo anterior. Essas soluções são únicas a menos de invariâncias, e denominam-se ground states.

Na terceira secção, serão enunciados e demonstrados vários resultados qualitativos sobre o fluxo gerado por (NLS). Alguns, como os resultados de estabilidade de ground states, têm um carácter local. No entanto, as propriedades dos ground states têm implicações sobre

todo o fluxo, como é o caso do fenómeno de concentração L2 e a quantificação da massa mínima de explosão.

2.1 Princípio de compacidade por concentração

Definimos, para cada R > 0, B_{R:= {x ∈ R}N : |x| < R}.

Lema 2.1 (Princípio de compacidade por concentração). Seja {pn}n∈Numa sucessão em

L1(RN) tal que

pn≥ 0 e

Z

RN

pndx = λ > 0, ∀n ∈ N

Então existe uma subsucessão {p_nk} satisfazendo uma das seguintes propriedades:

1. Compacidade: existem yk∈ RN tais que

∀ > 0∃R > 0 Z yk+BR pnkdx ≥ λ −  2. Evanescência: lim k→∞_y∈RsupN Z y+BR pnkdx = 0, ∀R > 0 3. Dicotomia:

Existe α ∈]0, λ[ tal que, para qualquer  > 0, existem k_{0 ∈ N e p}1_k, p2_k ∈ L1_(RN_{) tais}

que, para qualquer k ≥ k0, • p1 k, p2k≥ 0; • pnk ≥ p 1 k+ p2k; • kpnk − (p 1 k+ p2k)k1≤ ; •   R RNp 1 kdx − α  ≤  e   R RNp 2 kdx − (λ − α)  ≤ ; • ∃R > 0 ∃y_{k∈ R}N _{: supp p}1 k ⊂ yk+ BR; • dist(supp p1 k, supp p2k) → ∞ quando k → ∞;

• sup_y∈RNR_y+B Rp

2

kdx ≤ kp1kk1+ .

Demonstração. Defina-se, para cada n ∈ N e t ≥ 0, Qn(t) = sup

y∈RN

Z

y+Bt

pndx

Então Q_n é não-decrescente e não-negativa; Q_n(t) ≤ λ; e lim_t→∞Qn(t) = λ. Então

{Qn}n∈Né limitada em BV (0, ∞) e portanto, extraindo uma subsucessão {Qnk}k∈N, existe

Q ∈ BV (0, ∞) tal que Qnk(t) → Q(t) p.p. t ≥ 0. Podemos supor que Q(t) é

não-decrescente (alterando possivelmente num conjunto de medida nula) e não-negativa. Defina-se α = limt→∞Q(t). Como Qn(t) ≤ λ, ∀t ≥ 0, n ∈ N, Q(t) ≤ λ, ∀t ≥ 0 e portanto

2.1. PRINCÍPIO DE COMPACIDADE POR CONCENTRAÇÃO 25 1. Se α = λ, considere-se ν > λ/2. Como Q(t) → λ, para R grande, Q(R) > ν. Por outro lado, como Qnk(R) → Q(R), existe k0 a partir do qual Qnk(R) > ν.

Tomando agora {R_k}_1≤k≤k0 tal que Q_nk(R_k) > ν para cada 1 ≤ k ≤ k₀, defina-se

R(ν) = max1≤k≤k0{R, Rk}. Como {Qnk}k∈N são funções crescentes, Qnk(R(ν)) > ν

para qualquer k ∈ N. Assim sendo, existem yk(ν) ∈ RN tais que

Z

yk(ν)+BR(ν)

pnkdx > ν

Definam-se y_k:= y_k(λ₂). Então, para cada k, temos necessariamente |y_k(ν) − y_k| ≤ R(λ

2) + R(ν) :

caso contrário, y_k(ν)+B_R(ν)e y_k+BR(λ₂) seriam conjuntos disjuntos, o que implicaria que λ = Z RN pnkdx ≥ Z yk(ν)+BR(ν) pnkdx + Z yk+B_{R( λ} 2) pnkdx = λ 2 + ν > λ, o que é absurdo.

Fazendo R0(ν) = R(λ₂) + 2R(ν), temos y_k(ν) + B_R(ν)⊂ y_k+ B_R0_(ν) e portanto

Z yk+BR0(ν) pnkdx ≥ Z yk(ν)+BR(ν) pnkdx > ν

o que prova a possibilidade de compacidade;

2. Se α = 0, então Q ≡ 0, e portanto Q_nk(t) → 0 para qualquer t > 0, o que prova a possibilidade de evanescência;

3. Finalmente, se α ∈ (0, λ), vejamos que a possibilidade de dicotomia é válida: sejam

 > 0 e R > 0 tal que Q(R) > α − . Como Qnk(R) → Q(R), α −  < Qnk(R) < α + 

para k grande. Sejam y_{k∈ R}N tais que

Z

yk+BR

pnkdx ∈]α − , α + [.

Sejam Rk > 0 tais que Rk → ∞ e Qnk(Rk) ≤ α + : se não existissem Rk nestas

condições, ter-se-ia, para algum M > 0 e para alguma subsucessão de {Qnk}k∈N,

Qnk(t) > α + , ∀t > M , o que implicaria que Q(t) ≥ α + , ∀t > M , o que é absurdo.

Definam-se p1_k = pnk1yk+BR e p 2 k= pnk1RN\(yk+B_Rk. Então p 1 k, p2k≥ 0, pnk ≥ p 1 k+ p2k,

dist(supp p1_k, supp p2_k) → ∞ quando k → ∞ e  R RNp 1 kdx − α  ≤ . Além disso, Z RN (pnk− p 1 k− p2k)dx = Z R≤|x−yk|≤Rk pnkdx ≤

≤ Z yk+B_Rk pnkdx − Z yk+BR pnkdx ≤ (α + ) − (α + ) = 2 e   R RNp 2 kdx − (λ − α)  ≤ 3. Por fim, sup y∈RN Z y+BR p2_kdx ≤ sup y∈RN Z y+BR pnkdx ≤ α +  ≤ kp 1 kk1+ 2

o que conclui a demonstração do caso dicotómico.

Corolário 2.2 (Príncipio de compacidade por concentração em H1). Sejam 2 ≤ q < 2∗ e

{u_n}_n∈N uma sucessão limitada de elementos de H1_(RN) tais que ku_nkq

q = λ, para algum

λ > 0.

Então existe uma subsucessão {unk}k∈N satisfazendo uma das seguintes propriedades:

1. Compacidade: existem y_{k∈ R}N tais que

∀ > 0∃R > 0 Z yk+BR |unk| q_{dx ≥ λ − } 2. Evanescência: lim k→∞_y∈RsupN Z y+BR |unk| q_{dx = 0, ∀R > 0} 3. Dicotomia:

Existe α ∈]0, λ[ tal que, para qualquer  > 0, existem k_{0∈ N e u}1

k, u2k∈ H1(RN) tais

que, para qualquer k ≥ k0,

• |unk| ≥ |u 1 k| + |u2k|; • ku_nk − (u1 k+ u2k)kq≤ ; •   R RN|u 1 k|qdx − α  ≤  e   R RN|u 2 k|qdx − (λ − α)  ≤ ; • R RN|∇unk| 2_{dx ≥}R RN|∇u 1 k|2dx + R RN|∇u 2 k|2dx − ; • ∃R > 0 ∃y_{k∈ R}N _{: supp u}1 k ⊂ yk+ BR; • dist(supp u1 k, supp u2k) → ∞ quando k → ∞; • sup_y∈RN R y+BR|u 2 k|qdx ≤ ku1kkqq+ .

Demonstração. Sejam pn = |un|q. Então, pelo lema anterior, existe uma subsucessão

{p_nk}_k∈Nsatisfazendo uma de três possibilidades: compacidade, evanescência ou dicotomia. A compacidade (resp. evanescência) da subsucessão {pnk}k∈N é equivalente à compacidade

2.1. PRINCÍPIO DE COMPACIDADE POR CONCENTRAÇÃO 27 implica a dicotomia de {unk}k∈N. Para isso, em vez de usarmos como cutoffs funções

características, usaremos funções suaves. A propriedade não trivial será a desigualdade envolvendo as normas L2 dos gradientes, a qual verificaremos detalhadamente.

Na notação do lema anterior, sendo

Qn(t) = sup y∈RN Z y+Bt |un|qdx, temos Qnk(t) → Q(t) quando n → ∞, _t→∞lim Q(t) = α ∈]0, λ[.

Sejam  > 0 e R > 0 tal que Q(R) > α − . Então, para k ≥ k₀, existem y_{nk ∈ R}N tais que

Z

yn+BR

|un|qdx > α − .

Por outro lado, existem R_k > 0, com Rk → ∞, tais que Qnk(Rk) < α + . Sejam

ξ, φ : RN → [0, 1] funções suaves tais que • supp ξ ⊂ B2 e ξ ≡ 1 em B1;

• φ ≡ 0 em B_{1 e φ ≡ 1 em R}N_{\ B}

2.

Definam-se ξk(x) = ξ(x−y_Rk) e φk(x) = φ(2x−y_Rkk). Então

   Z RN ξ2_k|∇u_nk|2_{dx −}Z RN |∇ξ_kunk| 2_dx  =  Z yk+B2R\BR 2(∇ξ_k· ∇u_nk)ξ_kunk+ |∇ξk| 2_u2 nkdx    =  Z yk+B2R\BR 1 R  2(∇ξ · ∇unk)ξkunk+ |∇ξ| 2_u2 nk  dx ≤ C R < 

se R grande o suficiente. Da mesma forma,

   Z RN φ2_k|∇u_nk|2_{dx −}Z RN |∇φ_kunk| 2_dx ≤ C Rk < 

para k grande. Assim sendo, definindo u1_k= ξ_kunk e u

2 k= φkunk, tem-se Z RN |∇unk| 2_{dx ≥}Z RN |∇u1_k|2dx + Z RN |∇u2_k|2dx − 2.

As restantes propriedades verificam-se analogamente à demonstração do lema anterior. Passamos agora à demonstração de um lema que pode tornar a verificação do caso evanescente mais fácil:

Lema 2.3 (Lema eliminador do caso evanescente). Seja 1 < r ≤ ∞, 1 ≤ q < ∞, com

q 6= r∗ se r < N . Suponhamos que {un}n∈N é limitada em Lq(RN), {∇un}n∈N é limitada

em Lr_(RN) e que sup y∈RN Z y+BR |un|qdx → 0, para algum R > 0.

Então u_n→ 0 em Ls_(RN_{), para qualquer s entre q e r}∗_.

Demonstração. Suponhamos, em primeiro lugar, que {un}n∈N é limitada em L∞(RN).

Então, para ∞ > β > q, sup y∈RN Z y+BR |u_n|β_{dx ≤ sup} y∈RN ku_nkβ−q ∞ Z y+BR |u_n|q_{dx ≤ ku} nkβ−q∞ sup y∈RN Z y+BR |u_n|q_{dx → 0}

Seja agora ¯q tal que ¯q > max{q, r∗} e ∞ > (¯q − 1)r0 > q. Usando a desigualdade de Hölder,

sup y∈RN Z y+BR |un|q−1¯ |∇un|dx ≤ sup y∈RN Z y+BR |un|(¯q−1)r 0 dx !1 r0 k∇unkrr → 0

Pela injecção de Sobolev, temos, para cada y ∈ RN, W1,1(y + BR) ,→ Lγ(y + BR), com

γ ∈]1,_{N −1}N [. Logo Z y+BR (|u_n|q¯₎γ_{dx ≤ C}Z y+BR |u_n|q¯_{+ |∇|u} n|q¯|dx γ ≤ C Z y+BR |u_n|q¯_{+ ¯q|u} n|q−1¯ |∇un|dx γ ≤ γ−1_n Z y+BR |un|q¯+ ¯q|un|q−1¯ |∇un|dx,

onde n → 0. Cubra-se RN com bolas da forma yi+ BR, yi ∈ RN, i ∈ N de forma a que

cada ponto de RN pertença a m bolas no máximo (onde m é um natural fixado). Então

Z RN |un|qγ¯ dx ≤ X i∈N Z yi+BR |un|qγ¯ dx ≤ X i∈N γ−1_n Z y+BR |un|q¯+ ¯q|un|q−1¯ |∇un|dx ≤ mγ−1 n Z y+BR |u_n|¯q_{+ ¯q|u} n|q−1¯ |∇un|dx ≤ Cγ−1 → 0

Assim sendo, como ¯qγ > r∗, q, por interpolação entre min{r∗, q} e ¯qγ, obtemos un→ 0 em

Lα(RN), para qualquer α entre q e r∗.

Passando agora para o caso geral, dado C > 0, vn= min{|un|, C} satisfaz as condições do

caso anterior. Logo, dado α entre q e r∗, vn→ 0 em Lα(RN).

Seja β entre q e r∗ tal que β > α. Então

Z RN |un|αdx ≤ Z RN |vn|αdx + Z RN |un|α1{|un|≥C}dx

2.1. PRINCÍPIO DE COMPACIDADE POR CONCENTRAÇÃO 29 ≤ Z RN |vn|αdx + 1 Cβ−α Z RN |un|βdx

Como ∇u_n é limitada em Lr_(RN), por Gagliardo-Nirenberg, u_n é limitada em Lr∗_(RN). Logo, por interpolação, existe a ∈ [0, 1] tal que

Z RN |un|βdx ≤ kunkaβr∗ku_nkβ(1−a)_q < K < ∞. Assim sendo, lim sup Z RN |u_n|αdx ≤ K Cβ−α.

O resultado segue-se fazendo C → ∞.

O princípio de compacidade por concentração, quando aplicado a uma sucessão cuja norma não seja constante, ainda pode fornecer informação relevante.

Corolário 2.4. Sejam 2 ≤ q < 2∗ e {un}n∈N uma sucessão limitada de elementos de

H1(RN). Sendo λn= kunkqq, suponhamos que existe constantes A, B > 0 tais que A < λn<

B. Então existe uma subsucessão {unk}k∈N satisfazendo uma das seguintes propriedades:

1. Compacidade: existem y_{k∈ R}N tais que

∀ > 0∃R > 0 Z yk+BR |unk| q_{dx ≥ λ} n−  2. Evanescência: lim k→∞_y∈RsupN Z y+BR |u_nk|qdx = 0, ∀R > 0 3. Dicotomia:

Existe α ∈]0, 1[ tal que, para qualquer  > 0, existem k_{0 ∈ N e u}1_k, u2_k ∈ H1_(RN_{) tais}

que, para qualquer k ≥ k0, • |unk| ≥ |u 1 k| + |u2k|; • kunk − (u 1 k+ u2k)kq≤ ; •   R RN|u 1 k|qdx − λkα  ≤  e   R RN|u 2 k|qdx − (λk− αλk)  ≤ ; • R RN|∇unk| 2_{dx ≥}R RN|∇u 1 k|2dx + R RN|∇u 2 k|2dx − ; • ∃R > 0 ∃yk∈ RN : supp u1k ⊂ yk+ BR; • dist(supp u1 k, supp u2k) → ∞ quando k → ∞; • sup_y∈RN R y+BR|u 2 k|qdx ≤ ku1kkqq+ . Demonstração. Sendo v_n= un λ1/qn

, podemos aplicar o princípio de compacidade por concen-tração em H1. Em seguida, multiplicando cada desigualdade por λ_k e usando a limitação