3. Fundamento de Mecânica quântica
A teoria básica foi proposta por Louis Victor de Broglie, em 1924. A analogamente à dualidade da luz (onda e corpúsculo), Broglie propôs que a matéria também apresenta comprimento de onda dado por:
=ℎ =
ℎ
Essa teoria de Broglie foi confirmada por experiências de difração de elétrons em redes cristalinas. A obtenção experimental de difratogramas de elétrons comprova que estes apresentam comportamento ondulatório. Outra comprovação experimental do comportamento dual dos elétrons como partícula e como onda é dada pelo funcionamento do microscópio eletrônico de varredura. Nesse tipo de microscópio, manipula-se um feixe de elétrons por meio da aplicação dos campos elétricos e magnéticos, seguindo o modelo de partícula de massa me e carga –q. por outro lado, a imagem que gerada pelo microscópio apresenta um limite de resolução dada pela teoria ondulatória e proporcional ao inverso do comprimento de onda; ou seja, quanto maior a tensão de aceleração do feixe de elétrons, maior a velocidade deles e menor o comprimento de onda. Isso por sua vez aumenta a resolução da imagem.
Esse dois fatos experimentais evidenciam o comportamento ondulatório do elétron, que pode então ser visto como um pacote de onda com freqüência centrada em , com energia dada por:
= ℎ.
Portanto, o elétron pode às vezes se comportar como uma partícula e às vezes como onda. Dado o caráter ondulatório do elétron, necessitamos de uma descrição matemática também ondulatória para ele. Erwin Schrodinger propôs uma equação, em 1925, que permite resolver uma função de onda do elétron, dada por:
− ℏ
2∇ψ+ V ψ = iℏ ψ Onde ψ = função de onda
Fig. 1: Poço de paredes infinitas
V é o potencial elétrico a que o elétron está submetido
Como conseqüência a probabilidade ou a integral |ψ| sobre todo o espaço deve ser 1, ou seja: ∫|ψ|dV= 1, onde V representa o volume nesse caso.
Essa equação deve ser vista como um postulado, que deve ser aceito assim como aceita as leis de Isaac Newton. Estas são aceitas pelo único fato de seu resultados coincidem com observações da natureza.
Um outro fundamento da mecânica quantica foi o principio de incerteza proposto por Werner Heisenberg, em 1926. Segundo esse principio, é impossível determinar com precisão a velocidade e a posição de uma partícula. Ele demonstrou que a imprecisão do produto da quantidade de movimento e posição são sempre maior que o valor da constante de Planck, ou matematicamente:
∆p. ∆x ≥ h Onde p=m.v
Suponha que o elétron do átomo de hidrogênio fosse parar junto ao seu núcleo. Nessa situação, teríamos uma precisão muito grande na posição. Conseqüentemente, teríamos uma enorme imprecisão no valor da velocidade do elétron, que não poderia estar, portanto, parado no
núcleo; ou seja, o principio de Heisenberg demonstra que o elétron no núcleo do átomo não pode ser uma solução aceitável.
Segundo a mecânica quântica, partículas não podem ter separadamente posição e velocidade bem definidas, que possam ser observada. Em vez disso, elas têm estados quânticos permitidos, que são uma combinação de posição e velocidade. De forma geral a mecânica quântica não prevê um resultado definitivo para uma observação. Pelo contrario, ele prevê as possíveis soluções e a probabilidade de ocorrer cada uma delas. Portanto, a mecânica quântica descreve o comportamento dos elétrons em termos estatísticos, e o que interessa em geral é o efeito médio de inúmeros elétrons no sistema.
3.1 Aplicações de mecânica quântica para os materiais elétricos
A) Um elétron livre movendo-se em direção a uma barreira de potencial, como ilustrado na Figura 2.
Fig. 2: Barreira de potencial infinita.
Supondo que o elétron tenha energia cinética maior que a barreira de potencial (E > V0):
• Pela física clássica: o elétrons continuará seu caminho, passando sobre a barreira de potencia com uma energia de E2=E1-qV0;
• Pela mecânica quântica: similar a teoria de ondas, teremos tanto reflexão como transmissão da função de onda do elétron, ou seja, o elétron irá refletir com uma dada probabilidade ou passar sobre a barreira com a probabilidade complementar.
• Pela física clássica: o elétron não passará sobre a barreira;
• Pela mecânica quântica: teremos reflexão da função de onda do eletron, bem como uma transmissão da função de onda. A solução da função de onda transmitida será uma função cuja amplitude cai exponencialmente com x para x maior que a posição da barreira de potencial. Assim o elétron terá uma certa probabilidade de penetrar uma certa distância na barreira de potencial.
b) Um elétron livre caminhando em direção a uma barreira de potencial de largura finita d, como mostrado na Figura 3.
Fig. 3: Barreira de potencial infinita.
Supondo que a energia cinética do elétron seja maior que a altura da barreira de potencial (E > V0):
• Pela física clássica: o elétron passará por cima da barreira de potencial;
• Pela mecânica quântica: a função de onda será transmitida, mas apresentará reflexões nas duas interfaces da barreira de potencial.
Supondo agora que a energia cinética do elétron seja menor que a altura da barreira de potencial: • Pela física clássica: o elétron não passará através da barreira;
• Pela mecânica quântica: assim como no caso a, a função de onda terá uma componente que penetrará na barreira, decaindo exponencialmente com distância. Como a barreira é finita. Portanto, a mecânica quântica mostra que um elétron pode atravessar uma barreira de potencial mesmo com energia menor que a altura da barreira, bastando que largura da barreira seja estreita.
4. Estrutura da Matéria
Basicamente existem três estruturas cristalinas que podem ser subdivididas em monocristalina, policristalina e amorfa. Na estrutura monocristalina, todos os átomos ocupam posições regulares no espaço, que se repetem indefinidamente, como ilustrados na Fig. 4a. Quando átomos ocupam posições regulares sem se repetirem indefinidamente, mas apenas em pequenas regiões, temos uma estrutura policristalina. Em material policristalino temos um agregado de pequenos grãos, cuja estrutura interna é cristalina, sendo que a direção do arranjo cristalino de um grão não apresenta relação com a direção dos seus vizinhos, como indicado na Fig. 4b. Aumentando o grau de desordem ao extremo temos o que é chamado de material amorfo. Neste caso, não há regularidade nenhuma nas posições ocupadas pelos átomos, como ilustrado na Fig. 4c. Assim, podemos classificar os sólidos em materiais monocristalinos, policristalinos e amorfos. Os materiais utilizados em engenharia elétrica podem estar em uma destas estruturas. Essencialmente todos os metais, parte relevante das cerâmicas e certos polímeros cristalizam-se quando são solidificados.
(a) (b) (c)
Fig. 4: Estrutura monocristalina (a), policristalina (b), amorfo (a).
4.1 Arranjos atômicos
As propriedades de alguns materiais estão diretamente associadas à sua estrutura cristalina (ex:magnésio e berílio que têm a mesma estruturas e deformam muito menos que ouro
e prata que têm outra estrutura cristalina). Além disso, Explica a diferença nas propriedades de materiais cristalinos e não cristalinos de mesma composição (materiais cerâmicos e poliméricos não-cristalinos tendem a ser opticamente transparentes enquanto cristalinos não).
4.2 Células unitárias
Consiste num pequeno grupos de átomos que formam um modelo repetitivo ao longo da estrutura tridimensional (analogia com elos da corrente). A célula unitária é escolhida para representar a simetria da estrutura cristalina, como mostrado no exemplo abaixo.
Fig. 5: Unidade básica repetitiva da estrutura tridimensional ou Célula Unitária.
4.3 Estrutura cristalina dos Metais
Como a ligação metálica é não-direcional não há restrições quanto ao número e posição dos vizinhos mais próximos. Então, a estrutura cristalina dos metais têm geralmente um número grande de vizinhos e alto empacotamento atômico. Três são as estruturas cristalinas mais comuns em metais: Cúbica de corpo centrado (CCC), cúbica de face centrada (CFC) e hexagonal compacta face compacta (HCC). Cabe acrescenta que existem diversas outras estruturas para cristalização. Na seqüência serão mostradas algumas dessas estruturas.
4.3.1 Estrutura CS
Apenas 1/8 de cada átomo cai dentro da célula unitária, ou seja, a célula unitária contém apenas 1 átomo. Essa é a razão que os metais não cristalizam na estrutura cúbica simples (devido ao baixo empacotamento atômico). Na estrutura CS os átomos se tocam na face e seu parâmetro de rede (a) é = 2 . Cada átomo de uma estrutura CS o número de coordenação é 6, ou seja, o número de vizinho.
Fig. 6. Parâmetro de rede da estrutura CS.
Fator de empacotamento atômico
Fator de empacotamento atômico (FEA) que é a relação entre o volume dos átomos no interior da célula unitária pelo volume total da célula de uma estrutura CS é:
= !"#$ %!& á!!& %' (é"#"' #)*á+*' !"#$ !'" %' (é"#"'
Para uma estrutura CS o FEA é:
= 4 3 .+/ (2+)/ O FEA da estrutura CS é portanto = 0,52
4.3.2 Estrutura CCC
Na estrutura CCC cada átomo dos vértices do cubo é dividido com 8 células unitárias. Já o átomo do centro pertence somente a sua célula unitária e os átomos se tocam ao longo vértice, como mostrado na Fig. 7a. Cada átomo de uma estrutura CCC é cercado por 8 átomos adjacentes. Há 2 átomos/célula unitária na estrutura CCC. O Fe(α), Cr, W, V, Nb, Mo cristalizam em CCC. O parâmetro de rede e o raio atômico estão relacionados nesse sistema por:
'222 =4. + √3
Fig. 7: Estrutura CCC e seu parâmetro de rede.
N° de átomos no interior do reticulado: 2 (8 x 1/8 + 1)
Prove que o FEA é 0,68 (68% do volume da célula é ocupado por átomos).
4.3.3 Estrutura CFC
Na estrutura CFC cada átomo dos vértices do cubo é dividido com 8 células unitárias. já os átomos das faces pertencem somente a duas células unitárias. Nessa estrutura há 4 átomos/célula unitária na estrutura CFC. é o sistema mais comum encontrado nos metais (Al, Ni,
Fe(δ), Cu, Ag, Pb, Au, Pt). O parâmetro de rede e o raio atômico estão relacionados para este sistema por:
'242= 4.
√2 = 2 √2
Fig. 8: Estrutura CFC e relação entre do raio e parâmetro de rede. - N° de coordenação: 12
- N° de átomos no interior do reticulado: 4 (8 x 1/8 + 6 x 1/2)
- Fator de empacotamento atômico: 0,74 (74% do volume da célula é ocupado por átomos). Demonstre que o FEA é = 0,74????
4.4 Cálculo da Densidade
Sabendo-se qual é a estrutura cristalina permite o calculo da densidade (ρ) por meio da formula que segue:
5 = ) 267 n= número de átomos da célula unitária
A= peso atômico
Vc= Volume da célula unitária
4.5 Definições de planos e direções cristalográficas
Os átomos de um cristal definem uma série de planos. Tomemos por exemplo uma rede cristalina cúbica, como ilustrado na Fig. 9. O plano dos átomos da face do cubo forma o plano batizado de (100) (Fig. 9a), o plano passando pela diagonal vertical do cubo forma o plano batizado de (110) (Fig. 9b) enquanto que um plano passando pela diagonal inclinada do cubo como na Fig. 9cc define o plano chamado (111).
Fig. 9: Ilustração dos planos cristalográficos a) (100), b) (110) e c) (111).
O conhecimento dos planos de cristais é importante, dado que, muitas das propriedades dos materiais variam conforme o plano usado para medir a propriedade. Como exemplo de propriedade que varia conforme o plano, temos os chamados planos de clivagem dos cristais, conhecido empiricamente desde os primórdios da humanidade. Os cristais podem ser clivados com maior facilidade ao longo de certos planos cristalográficos. Esta propriedade está relacionada com o número de ligações químicas e as forças destas ligações perpendiculares ao plano em questão. Quanto menor este número e/ou menor as intensidades das ligações, mais fácil a separação do cristal ao longo deste plano.
Os planos são identificados por um conjunto de três números constituindo os índices de Miller do plano. Estes índices são formados pela seguinte regra:
• calcula-se as distâncias à origem dos pontos das interseções do plano com os eixos x, y e z, em número de unidades de parâmetros de rede, a. Assim, relativo ao plano da Fig. 10. temos as seguintes distâncias: a) no eixo x, OA = 2; b) no eixo y, OB = 2 e no eixo z, OC = 1.
• toma-se os inversos dos valores encontrados acima, no caso temos: 1/OA = 1/2, 1/OB = 1/2 e 1/OC = 1.
• reduz-se agora as frações acima a números inteiros que guardam entre si as mesmas relações. No nosso exemplo teremos que multiplicar todos por 2, obtendo-se os índices 1,1,2. Desta forma, o plano fica definido como o plano (1,1,2).
Fig. 10: Ilustração do plano (1,1,2) como exemplo da definição dos índices de Miller.
Analogamente podemos definir direções cristalográficas. Estes são expressos também por três números inteiros que mantém a mesma relação que os componentes de um vetor na direção considerada. Os componentes de um vetor são dados como múltiplos dos vetores de base da rede geométrica, como indicado na Fig. 11. Por exemplo, a direção da diagonal de um paralelepípedo tem as componentes 1a, 1b e 1c. Como conseqüência, esta direção é definida com [1,1,1].
Fig. 11: Representação das direções dos vetores da base de uma rede cristalina.
Enquanto um plano é definido pelos índices de Miller indicados entre parênteses, os índices da direção são expressos entre colchetes. É simples demonstrar a seguinte propriedade dos índices que é válido para as redes cúbicas: a direção [l,m,n] é perpendicular ao plano (l,m,n). É imediato ver por exemplo que a direção [1,0,0] é perpendicular ao plano (1,0,0). Do ponto de vista cristalográfico, existem várias direções e planos que são equivalentes, cuja ordem dos índices de Miller só dependeram da escolha arbitrária da origem e dos eixos x, y e z. Desta forma, as direções [1,0,0], [0,1,0] e [0,0,1] são cristalograficamente equivalentes. Estas direções equivalentes devem ser expressas entre os símbolos < e >. No caso das três direções equivalentes citadas, devemos escrever direções <1,0,0>. Analogamente, como exemplo de planos cristalograficamente equivalentes temos os planos (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1). Planos cristalográficos equivalentes devem ser expressos entre parênteses. No caso dos três planos equivalentes citados, devemos escrever planos {1,0,0}. No caso, os planos {1,0,0} englobam os planos formados pelas seis faces do cubo como ilustrado na Fig. 12.
Fig. 12: Ilustração do conjunto de planos equivalentes {1,0,0} incluindo os seis planos da faces do cubo.
Referências
1. CALLISTER, W. D. Ciência e engenharia de materiais: uma introdução. Rio de Janeiro: LTC, 5.ed. 2002
2. VAN VLACK, L.H. Principio de Ciência dos Materiais. São Paulo: ed. Edgard Blucer, 1970. 3. Jacobus W. Swart, Semicondutores, Fundamentos, técnicas e aplicações, Editora
UNICAMP, 2008.
4. Elétron confinado num poço de potencial e num potencial periódico <http://sweet.ua.pt/~f764/trab8.pdf> acesso 28/08/09.
