PROF. AMADO LEITE PROF. AMADO LEITE
Conteúdo da aula... Var iáveis:
Decisão, Folga, Básic a (VB), Não-Básica (VNB);
“dic ionário” (VNB);
Mais utilizados par a pr oblemas que apr esentam de var iáveis
Mais utilizados par a pr oblemas var iáveis;
que apr esentam mais de 2
Nec essar iamente, o pr oblema de pr ogr amaç ão deve na Nec essar iamente, o pr oblema de na pr ogr amaç ão
for ma padr ão.
linear , deve estar for ma padr ão.
Exemplo de modelo na for ma padr ão: Exemplo de modelo na for ma padr ão:
Função Objetivo : Max Z
60x
140x
2Função Objetivo : Max Z
60x
140x
210x
110x
2Sujeito a : 3x
7x
42
100
Sujeito a : 3x
17x
242
x
1, x
20
x
1, x
20
INÍCIO INÍCIO
Deter mine uma soluç ão viável. soluç ão viável.
SIM Soluç ão ótima? SIM Soluç ão
ótima? FIM
NÃO
Deter mine uma Deter mine uma nova soluç ão viável.
Existe um valor
c
não-negativo,
chamado de folga da inequaç ão.
Introduzimos Var iável Folga
chamado de folga da inequaç ão.
Introduzimos a Var iável
de Folga
Introduzimos a Var iável
de Folga
para
uma
transfor mar a inequação ( ) em
equaç ão (=).
10x1 + 10x2 100 3x1 + 7x2 42
10x1 + 10x2 + x3 = 100 3x1 + 7x2 + x4 = 42 10x1 + 10x2 + x3 = 100 3x1 + 7x2 + x4 = 42
Para c ada restr iç ão existe
uma var iável de folga diferente.
uma var iável de folga diferente.
Isolar as var iáveis de folga em c ada equação
Isolar as var iáveis de folga em c ada equação: 10x1 + 10x2 + x3 = 100 10x1 + 10x2 + x3 = 100 x = 100 - 10x - 10x x3 = 100 - 10x1 - 10x2 3x1 + 7x2 + x4 = 42 2 x4 = 42 - 3x1 - 7x2
Max Z 60x 40x MaxZ 60x 40x Max Z 60x1 40x2 MaxZ 60x1 40x2 10x1 1 10x22 100 x33 100 10x1 10x2 x4 1 2 S.a : 3x1 7x2 42 42 3x1 7x2 x1, x2 0 x1, x2, x3, x4 0 x1, x2 0 x1, x2, x3, x4 0
x , x => var iáveis de folga x3, x4 => var iáveis de folga
São as var iáveis que se encontr am do lado da .
São as var iáveis que se encontr am do lado ESQUERDO da igualdade.
Inic ialmente são as pr ópr ias var iáveis de (x x
Inic ialmente são x4)
as pr ópr ias var iáveis de folga (x3 e
Dic ionár io Inic ial:
x3 = 100 - 10x1 - 10x2 VB = x3 e x4 x3 x4 = 100 - 10x1 - 10x2 = 42 - 3x1 - 7x2 Z = 60x1 + 40x2 VB = x3 e x4 Z = 60x1 + 40x2 x1, x2, x3, x4 0
São as var iáveis que se encontr am do lado da .
São as var iáveis que se encontr am do lado DIREITO da igualdade.
Inic ialmente são as pr ópr ias var iáveis de (x x .
Inic ialmente são as pr ópr ias var iáveis de dec isão (x1 e x2).
Dic ionár io Inic ial: x3 x4 = = 100 - 10x1 - 10x2 42 - 3x1 - 7x2 1 2 x4 Z = = 42 - 3x1 - 7x2 60x1 +40x2 x , x , x , x 0 VNB = x1 e x2 x1, x2, x3, x4 0
A c ada nova soluç ão (novo c ic lo), as var iáveis e - se A c ada nova soluç ão (novo c ic lo), as se var iáveis básic as e não-básic as
alter nam tr oc ando de posiç ão uma c om outr a, que soluç ão
alter nam tr oc ando de que
posiç ão uma c om a outr a, até a soluç ão do pr oblema seja encontr ado. (Solução
pr oblema seja encontr ado. (Solução Trivial)
Soluç ão: as var iáveis não-básic as iguais a zer o (VNB = 0).
Essa é a do iguais a zer o (VNB = 0).
Essa deter minaç ão é feita ou
a par tir do Dic ionár io Inic ial do Novo Dic ionár io
ou Dic ionár io
Dic ionár io.
Soluç ão Viável: x3 = 100 - 10x1 - 10x2 x 42 3 - x x3 x4 = = 100 - 10x1 - 10x2 42 - 3x1 - 7x2 VNB = 0, x = 0 e x = 0 x1 = 0 e x2 = 0 Z = 60x1 + 40x2 x1, x2, x3, x4 0 x1, x2, x3, x4 0
Se x
1= 0 e x
2= 0, deter minar emos os
valor es das var iáveis x
3e x
4e o valor
valor es das var iáveis x
3e x
4e o valor
da funç ão
Dic ionár io
objetivo (Z ).
Inic ial:
x 100 10 0 10 0 100 Dic ionár io Inic ial:
x3 = 100 10×0 - 10×0 = 100 x4 Z = = 42 - 3×0 - 7×0 = 42 60×0 + 40×0 = 0 Z Z = = 60×0 + 40×0 = 0 60×0 + 40×0 = 0
A soluç ão enc ontr ada após o dic ionár io inic ial :
A soluç ão enc ontr ada após o dic ionár io inic ial foi:
x
1= 0
A soluç ão enc ontrada
x
2= 0
não ser á ótima sex 100
x
2x
3=
=
0
100
não ser á ótima se houver c oefic ientes positivos multiplic ando
x = 42
FUNÇÃO BJETIVO (Z).
positivos multiplic ando as var iáveis na
x
4= 42
Z = 0
FUNÇÃO BJETIVO (Z).FUNÇÃO BJETIVO (Z).Z = 0
FUNÇÃO BJETIVO (Z).No Dic ionár io Inic ial temos:
No Dic ionár io Inic ial temos:
Z = 60x
1+ 40x
2Z = 60x
1+ 40x
2A soluç ão enc ontrada não é ótima,
pois c oefic iente positivo
pois existe c oefic iente positivo
multiplic ando as var iáveis em Z.
A soluç ão enc ontrada não é ótima,
Esc olha da var iável par a deixar de ser NÃO-BÁSICA. Podemos a que NÃO-BÁSICA. Podemos apr esenta
esc olher a var iável que o MAIOR c oefic iente positi-vo Z Veja
apr esenta o MAIOR coeficiente positi-vo em Z. Veja:
Z = 60x + 40x
Z = 60x
1+ 40x
2A variável x
1apresenta o maior coeficiente
positivo na equação de Z,
A variável x
1apresenta o maior coeficiente
positivo na equação de Z,
Esc olha da var iável par a deixar de ser BÁSICA: temos que esc olher a var iável
1
BÁSICA: temos que esc olher a var iável que tr oc ar á de lugar c om x1: pode ser x3 ou x4.
x3 ou x4.
Essa esc olha se dá atr avés de um estudo das equaç ões dessas estudo
var iáveis.
Dic ionár io Inic ial: x3 = 100 - 10x1 - 10x2 x 42 3 - x Z = 60x + 40x x3 = 100 - 10x1 - 10x2 x4 = 42 - 3x1 - 7x2 Z = 60x1 + 40x2 x1, x2, x3, x4 0 x1, x2, x3, x4 0
x = 100 - 10x - 10x x3 = 100 - 10x1 - 10x2
Sabemos que x
330 e x
22= 0 (x
22é VNB).
100 - 10x1 - 10x2 0 Lembrando x2 = 0 100 - 10x1 - 10×0 0 1 100 - 10x1 - 10×0 0 0 100 - 10x1 - 10x1 -100 ×(-1) 10 1 100 - 10x1 10x1 -100 100 ×(-1) x 10 x1 10x = 42 - 3x - 7x x4 = 42 - 3x1 - 7x2
Sabemos que x
40 e x
2= 0 (x
2é VNB).
Sabemos que
42 - 3x1 - 7x2 4 2 2VNB).
Lembrando x2 = 0 0 42 - 3x1 - 7×0 0 42 3 1 0 42 - 3x1 - 7×0 0 0 42 - 3x1 -3x1 -42 ×(-1) 3 1 42 -3x1 3x1 -42 ×(-1) 42 x 14 x1 14Na equaç ão do x3, x1 10. J á na equaç ão do x4, x1 14. 3 J á na equaç ão do x4, x1 14. Em x4)
qual dessas duas r estr iç ões (x3 ou o r igor de x1 á maior ? x4) o r igor de x1 á maior ? x1 10 Equaç ão do x Equaç ão do x3 1 x 4 x1 14 Equaç ão do x4 1
Logo, o valor que x1 pode assumir par a atender as duas r estr iç ões ao mesmo atender as duas r estr iç ões ao mesmo tempo é x1 10 (impõe
var iável
a maior r estr i-ç ão). Por tanto, a var iável x3 tr oc ar á de ç ão).
lugar
Por tanto, a x3 tr oc ar á de c om a var iável x1.
Em out r as palavr as, a var iável x3 deixar á de ser básic a (VB) par a ser não-básic a de ser básic a (VB) par a ser não-básic a (VNB) .
Pr ec isamos agor a r eesc r ever todo o pr oblema par a obter um dic ionár io
atualizado. atualizado.
Podemos expr essar x1 (agor a var iável x3 (var iá-básic a - VB) c omo funç ão de x3 (var
iá-básic a - VB) c omo funç ão de
vel que passou a ser não-básic a - VNB), ou seja, vamos isolar a var iável x1 na ou seja, vamos isolar a var iável x1 na novo equaç ão do x3 par a obter mos o
dic ionár io. Obser ve: dic ionár io. Obser ve:
Dicionário Inicial: x = 100 - 10x - 10x x3 = 100 - 10x1 - 10x2 10x = 100 - 10x - x x ( - x x 10 10x1 x1 x = = = 100 - 10x2 - x3 (100 - 10x2 - x3)/10 10 - x - 0,1x x1 = 10 - x2 - 0,1x3 Novo Dicionário: x 10 x 0 1 Novo Dicionário: x1 = 10 - x2 - 0,1x3
A par tir de agor a é só substituir a expr essão de x1 ob t ida ant er ior -ment e expr essão de x1 ob t ida ant er ior -ment e nas demais r estr iç ões e na funç ão objetivo (Z) par a c ompletar o novo objetivo (Z) par a c ompletar o novo dic ionár io:
Dic ionár io Inic ial: Sabemos que: x = 42 - 3x - 7x x 10 x 0 1 Sabemos que: x1 = 10 - x2 - 0,1x3 x4 = 42 - 3x1 - 7x2 0,1x3) - 7x2 x4 x4 = = 42 42 -3×(10 - x2 30 + 3x2 + -0,3x3 - 7x2 x = - x + , x x4 x4 = = 42 12 -30 + 3x2 + 0,3x3 - 7x2 4x2 + 0,3x3
Novo Dic ionár io:
x 12 4 + , x
x4 = 12 - 4x2 + 0,3x3 Novo Dic ionár io:
Dic ionár io Inic ial: Sabemos que: Z = 60x1 +40x2 x 10 x 0 1 Sabemos que: x1 = 10 - x2 - 0,1x3 Z = 60x1 +40x2 2 +40x2 Z Z = 60×(10 - x2 - 0,1x3) = 600 - 60x2 - 6x3 + 40x2 Z 600 20 - x Z Z = 600 - 60x2 - 6x3 + 40x2 = 600 - 20x2 - 6x3
Novo Dic ionár io:
Z 600 20 - x
Z = 600 - 20x2 - 6x3 Novo Dic ionár io:
Novo Dic ionár io:
Dic ionár io Inic ial:
x = 100 - 10x - 10x x = 10 - x - 0,1x = - x 7 x3 x4 Z = = 100 - 10x1 - 10x2 42 - 3x1 - 7x2 x1 = 10 - x2 - 0,1x3 x4 = 12 - 4x2 + 0,3x3 Z = 60x1 + 40x2 Z = 600 - 20x2 - 6x3 x1, x2, x3, x4 0 x1, x2, x3, x4 0 x1, x2, x3, x4 0
Soluç ão Viável:
x1, x2, x3, x4 0 VNB 0 = , = ) Soluç ão VNB = 0 Viável: (x2 = 0 , x3 = 0)
Se x = 0 e x = 0, det er minar emos os valor es var iáveis e e
Se x2 = 0 e x3 = 0, det er minar emos os valor es d as var iáveis x1 e x4 e t amb ém o valor da função objetivo (Z ).
o valor da função objetivo (Z ). Novo Dic ionár io:
x x1 = 10 - 0 - 0,1×0 = 10 x4 = 12 - 4×0 + 0,3×0 = 12 x4 Z = 12 - 4×0 + 0,3×0 = 600 - 20×0 - 6×0 = 12 = 600 x1, x2, x3, x4 0 x1, x2, x3, x4 0
A soluç ão enc ontr ada após o novo
dic ionár io :
A soluç ão
dic ionár io
enc ontr ada
foi:
após o novo
x
1= 10
A soluç ão enc ontradax
2= 0
não ser á ótima sex 0
x
2x
3=
=
0
0
não ser á ótima se houver c oefic ientes positivos multiplic ando
x
FUNÇÃO BJETIVO (Z).
positivos multiplic ando as var iáveis na
x
4= 12
Z = 600
FUNÇÃO BJETIVO (Z).FUNÇÃO BJETIVO (Z).Z = 600
FUNÇÃO BJETIVO (Z).No Novo Dic ionár io temos:
No Novo Dic ionár io temos:
Z = 600 - 20x
2- 6x
3Z = 600 - 20x
2- 6x
3A soluç ão enc ontrada é ótima,
pois c oefic iente positivo
pois não existe c oefic iente positivo
multiplic ando as var iáveis em Z.
A soluç ão enc ontrada é ótima,
multiplic ando as var iáveis em Z.
A soluç ão ótima enc ontrada para soluc ionar o problema foi:
A soluç ão ótima enc ontrada para soluc ionar o problema foi:
