Explorando a incerteza no modelo de insumo-produto: aplicações para o Brasil 2000/2005

Texto

(1)UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE PRODUÇÃO. EXPLORANDO A INCERTEZA NO MODELO DE INSUMO-PRODUTO: APLICAÇÕES PARA O BRASIL 2000/2005. DISSERTAÇÃO SUBMETIDA À UFPE PARA OBTENÇÃO DE GRAU DE MESTRE POR. FELIPE FERNANDO PEREIRA DE SOUZA. ORIENTADOR: PROF. FRANCISCO DE SOUSA RAMOS, DOCTEUR. RECIFE, JULHO / 2010.

(2) S729e. Souza, Felipe Fernando Pereira de. Explorando a incerteza no modelo de insumo-produto: aplicações para o Brasil 2000/2005 / Felipe Fernando Pereira de Souza. - Recife: O Autor, 2010. x, 52f., il : grafs., tabs. Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal de Pernambuco. CTG. Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Produção, 2010. Orientador: Prof. Dr: Francisco de Sousa Ramos Inclui bibliografia, Anexo e Apêndice 1. Engenharia de Produção. 2. Modelo insumo-produto. 3. Multiplicadores. 4. Incerteza. I. Título.. 658.5 CDD (22.ed.). UFPE/BCTG/2010-147.

(3)

(4) “Esta dissertação é dedicada à minha mãe, Telma (in memoriam).”. ii.

(5) AGRADECIMENTOS. Ao término desta etapa, sou grato a muitas pessoas. Neste curto espaço, quero agradecer a: • aos meus pais, irmãos e família; • aos professores Isaac Xavier Jr., Luciano Lins, Adiel Teixeira, Danielle Morais e especialmente a Francisco Ramos; • aos meus amigos Felippe, Eduardo, Humberto, Raquel, Elaine, Suzana e Isis; • a Juliane, Bárbara e Salete; • ao CNPq, pelo apoio financeiro.. iii.

(6) RESUMO. O modelo insumo-produto constitui-se num instrumento importante na avaliação dos efeitos diretos e indiretos de políticas econômicas. Com base em uma teoria geral da produção, ele descreve o fluxo circular de renda entre os diversos setores produtivos da economia. Tal modelo tem sido utilizado nos mais diversos estudos de economia aplicada: mensuração do consumo de energia, poluição ambiental, políticas regionais, etc. A obtenção da base de dados que serve à construção dos coeficientes técnicos é complexa, incorporando uma aleatoriedade na forma de erros nos coeficientes, com o consequente impacto nos resultados. Entretanto, tais coeficientes são geralmente tratados com precisão infinita. Diferentemente dos estudos realizados no Brasil, este trabalho explora a inserção da incerteza no modelo, considerando os coeficientes técnicos como variáveis aleatórias. Como aplicação, os multiplicadores de produção, valor adicionado, emprego e renda para a economia brasileira nos anos de 2000 e 2005 são apresentados de forma não usual, com seus respectivos intervalos de confiança.. PALAVRAS-CHAVE: modelo insumo-produto, multiplicadores, incerteza.. iv.

(7) ABSTRACT. The input-output model is an important tool in evaluation of direct and indirect effects of economic policies. Based on a general theory of production, it describes the circular flow of income among the various productive sectors of the economy. This model have been used in several studies of applied economics: measurement of energy consumption, environmental pollution, regional policies, etc. The data base obtaining process, that serves the construction of the coefficients, is technically complex, incorporating a randomness in the form of errors in coefficients, with a consequent impact on results. However, such coefficients are usually treated with infinite precision. Unlike studies done in Brazil, this work explores the role of uncertainty in the model, considering the technical coefficients as random variables. As an application, the output, income, employment and value-added multipliers for the Brazilian economy in 2000 and 2005 are presented in unusual way, with its respective confidence intervals.. KEYWORDS: input-output model, multipliers, uncertainty.. v.

(8) SUMÁRIO. DEDICATÓRIA. ii. AGRADECIMENTOS. iii. RESUMO. iv. ABSTRACT. v. LISTA DE FIGURAS. viii. LISTA DE TABELAS. ix. LISTA DE ABREVIATURAS. x. 1 INTRODUÇÃO. 1. 1.1. Apresentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1. 1.1.1. O modelo de insumo-produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1. 1.1.1.1. Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2. 1.2. Justificativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3. 1.3. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4. 1.3.1. Objetivo Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4. 1.3.2. Objetivos Específicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4. 1.4. Organização da dissertação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4. 1.5. Ferramentas de suporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5. 2 ANÁLISE DE INSUMO-PRODUTO. 6. 2.1. Interdependência Econômica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6. 2.2. Tabela de Transações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8. 2.3. Formulação matemática do modelo de insumo-produto . . . . . . . . . . . . .. 10. vi.

(9) 2.3.1. 2.3.2. O modelo puro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 10. 2.3.1.1. Tecnologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 12. O modelo em valor monetário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 14. 2.3.2.1. Modelo Fechado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 16. 2.3.2.2. Multiplicadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 17. 3 A INCERTEZA NO MODELO INSUMO-PRODUTO 3.1. 21. Considerando a incerteza nos coeficientes técnicos diretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 21. 3.1.1. Razões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 21. 3.1.2. Revisão da literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 22. 3.1.2.1. 33. Quadro de resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4 RESULTADOS. 34. 4.1. Matrizes brasileiras de insumo-produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 34. 4.2. Multiplicadores: modelo tradicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 36. 4.3. Multiplicadores: modelo estocástico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 39. 4.3.1. 42. Exemplo: inclusão de uma medida de variabilidade na decisão . . . . .. 5 CONSIDERAÇÕES FINAIS. 44. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS. 45. ANEXO A. 49. APÊNDICE A. 51. vii.

(10) LISTA DE FIGURAS. 2.1. Visão simplificada das Relações na Cadeia de Suprimentos. . . . . . . . . . . .. 7. 2.2. Modelo completo de economia aberta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8. 2.3. Isoquantas da função de produção do tipo Leontief. . . . . . . . . . . . . . . .. 13. 4.1. Matriz dos coeficientes técnicos para o Brasil 2000. . . . . . . . . . . . . . . .. 35. 4.2. Matriz dos coeficientes técnicos para o Brasil 2005. . . . . . . . . . . . . . . .. 35. 4.3. Multiplicadores de impacto normalizados para o Brasil 2000. . . . . . . . . . .. 38. 4.4. Multiplicadores de impacto normalizados para o Brasil 2005. . . . . . . . . . .. 38. viii.

(11) LISTA DE TABELAS. 1.1. Multiplicadores de produção, renda, valor adicionado e emprego. . . . . . . . .. 2. 2.1. Modelo de uma Tabela de Transações (aberto). . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 9. 2.2. Tabela de Transações de uma economia simples. . . . . . . . . . . . . . . . . .. 10. 2.3. Modelo de uma Tabela de Transações (fechado). . . . . . . . . . . . . . . . . .. 16. 2.4. Resumo das fórmulas de cálculo dos multiplicadores. . . . . . . . . . . . . . .. 20. 3.1. Resumo dos trabalhos desenvolvidos sobre a incerteza no modelo insumo-produto. 33. 4.1. Numeração das 12 atividades/setores da economia brasileira. . . . . . . . . . .. 4.2. Multiplicadores simples de produção, valor adicionado, renda e emprego para o Brasil em 2000. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4.3. 34. 36. Multiplicadores simples de produção, valor adicionado, renda e emprego para o Brasil em 2005. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 37. 4.4. Intervalos de confiança dos multiplicadores para o Brasil em 2000. . . . . . . .. 40. 4.5. Intervalos de confiança dos multiplicadores para o Brasil em 2005. . . . . . . .. 41. 4.6. Novo ranking dos multiplicadores de produção para o Brasil 2005. . . . . . . .. 42. ix.

(12) LISTA DE ABREVIATURAS. CGE. Computable General Equilibrium - Equilíbrio Geral Computável. DM. Durbin’s Method. IBGE. Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística. IIOA. International Input-Output Association. OLS. Ordinary Least Squares. TSLS. Two-stage least squares. WBM. Wald-Bartlett Method. x.

(13) Capítulo 1. Introdução. 1 INTRODUÇÃO. 1.1. Apresentação. A Economia contemporânea faz largo uso de modelos matemáticos. Pode-se conceituar um modelo matemático como sendo um conjunto de variáveis relacionadas entre si através de equações matemáticas que descrevem um fenômeno específico. Segundo Dornbusch et al [1, p. 13]: “Os modelos são representações simplificadas do mundo real. Um bom modelo explica precisamente os comportamentos que são mais importantes para nós e omite detalhes relativamente irrelevantes.” Os modelos econômicos podem ser classificados quanto a presença de dois componentes importantes: (i) tempo e (ii) incerteza. O primeiro componente, quando presente, caracteriza-o como um modelo dinâmico em oposição à classificação de modelo estático, quando este componente está ausente. A presença do segundo componente determina o aspecto probabilístico ou determinístico do modelo, quando, respectivamente, o componente incerteza está presente ou ausente. O que determina a qualidade de um modelo é sua capacidade de explicar adequadamente a realidade e responder às perguntas que foram formuladas pelo investigador. No entanto, esperase que modelos que possuam aspectos probabilísticos e/ou dinâmicos consigam abraçar uma área maior da realidade e com isso responder a um conjunto maior de questionamentos. Ou seja, de maneira geral, a presença de aspectos probabilísticos e/ou dinâmicos tornam um modelo econômico mais completo.. 1.1.1. O modelo de insumo-produto. A análise de insumo-produto se insere dentro da abordagem econômica matemática chamada de Equilíbrio Geral, todavia, com preços fixos. Esta abordagem tenta descrever uma economia como um sistema fechado e interrelacionado, onde variáveis endógenas (por exemplo, quantidades e preços) são determinadas através da resolução simultânea de um conjunto de equações. Mais especificamente, o modelo de insumo-produto é um modelo de Equilíbrio Geral Computável (CGE - Computable General Equilibrium) por fazer uso de dados econômicos.. 1.

(14) Capítulo 1. Introdução. Historicamente, a idéia inicial de representar a economia de uma forma sistêmica é atribuida a François Quesnay, quando da publicação de seu livro Tableau Économique [2] em 1758. Mas a formulação esquemática dos fluxos financeiros e físicos de uma economia contida no trabalho de Quesnay só veio receber uma roupagem matemática a partir do artigo original de Leontief [3] em 1936. A partir daí, uma série de desenvolvimentos tanto no âmbito da formulação matemática quanto na organização e produção de dados que alimentassem o modelo foram realizados ao longo de todo o século XX. Divide-se a economia em n setores (ou atividades) econômicos dependentes uns dos outros e considera-se a demanda final (em valores monetários) por produtos como sendo um elemento exógeno ao sistema. Sendo assim, é possível encontrar o ponto de equilíbrio, determinando quanto cada setor deve produzir para satisfazer todas as demandas setorizadas: x = (I − A)−1 f onde I é a matriz identidade de dimensão n, A a matriz dos coeficientes técnicos, f o vetor (n × 1) composto pela demanda final agregada para cada setor e x o vetor (n × 1) de produção total. A análise dos multiplicadores permite determinar, por exemplo, a quantidade de emprego, renda, valor adicionado e produção (output) quando ocorrem pertubações nos componentes da demanda final. Um resumo dos multiplicadores é dado na tabela 1.1 , onde i0 , hR 0 , w0 e va0 são vetores linha apropriados. Tabela 1.1: Multiplicadores de produção, renda, valor adicionado e emprego. Multiplicador Expressão Produção i0 (I − A)−1 Renda hR 0 (I − A)−1 Emprego w0 (I − A)−1 Valor Adicionado va0 (I − A)−1. 1.1.1.1. Aplicações. A aplicação do modelo de insumo-produto mostrou-se bem sucedida e difundiu-se entre o meio acadêmico, orgãos governamentais de planejamento e desenvolvimento econômico, e até mesmo entre analistas da iniciativa privada. Em 1988 foi fundada a Associação Internacional de Insumo-Produto [4] (International Input-Output Association-IIOA), uma entidade sem fins 2.

(15) Capítulo 1. Introdução. lucrativos, cujo objetivo é a expansão do conhecimento da análise de insumo-produto. Novas técnicas sempre surgem e são incorporadas ao modelo base. Dentre as inúmeras aplicações estão, por exemplo: (i ) avaliação dos efeitos multiplicativos na economia quando ocorrem mudanças na demanda de certo setor, (ii ) previsão de resposta produtiva das atividades econômicas no curto prazo, (iii ) instrumento de apoio a decisão para políticas públicas de desenvolvimento, (iv) análises de exeqüibilidade, ou seja, a questão da possibilidade de alcançar metas agregadas de produção, emprego e renda estudando-se os gargalos do sistema econômico quando se deseja alcançar certos níveis de desenvolvimento em dado intervalo de tempo, (v) estudo do papel da energia como insumo para os setores econômicos, (vi ) definição de políticas de combate e controle da poluição, etc.. A análise de insumo-produto é comumente aplicada na sua forma estática e ausente de qualquer tipo de incerteza. Embora as versões que incluam os componentes de tempo ou incerteza tenham sido formuladas e estudadas, são muito pouco frequentes na literatura especializada quando comparadas com a grande quantidade de trabalhos produzidos. O modelo dinâmico não será tratado neste trabalho, pois o que se propõe é explorar a inserção da incerteza no modelo.. 1.2. Justificativa. Os coeficientes técnicos são geralmente tratados como tendo uma precisão infinita, muito embora a obtenção da base de dados e a construção destes coeficientes seja uma tarefa complexa, onde a aleatoriedade na forma de erros está presente. Disto resulta que os multiplicadores, calculados a partir de operações não-lineares dos coeficientes, deveriam ser também apresentados com uma medida de incerteza associada a dado valor numérico. O caráter estático e determinístico do modelo inicial básico tem sido bastante utilizado em detrimento de trabalhos que façam uso da incorporação da dinâmica e da incerteza. Para se ter um ideia, dos 261 trabalhos publicados na XVII International Input-Output Conference realizada no ano de 2009 pela IIOA, apenas 3 trabalhos estavam relacionados a questão dinâmica e 1 ao aspecto estocástico. Disto conclui-se que, mesmo mundialmente, os erros presentes nos multiplicadores não são levados em conta quando decisões em planejamento econômico são tomadas com o suporte do modelo de insumo-produto. O presente trabalho é, pois, pertinente.. 3.

(16) Capítulo 1. 1.3 1.3.1. Introdução. Objetivos Objetivo Geral. Investigar e explorar a inserção da incerteza no modelo de insumo-produto, bem como, através da utilização de dados para a economia brasileira nos anos de 2000 e 2005, apresentar os multiplicadores com seus respectivos intervalos de confiança.. 1.3.2. Objetivos Específicos. Com o intuito de alcançar o objetivo geral, os objetivos específicos seguintes se fazem necessários: • Estudar a formulação básica do modelo; • Revisar a literatura sobre o modelo de insumo-produto com caráter estocástico; • Utilizar o modelo de insumo-produto para calcular os multiplicadores para a economia brasileira em 2000 e 2005. • Visualizar e descrever as matrizes brasileiras de coeficientes técnicos em 2000 e 2005; • Calcular os multiplicadores para a economia brasileira em 2000 e 2005 considerando a incerteza como um aspecto presente no modelo.. 1.4. Organização da dissertação. Afora este primeiro capítulo introdutório, esta dissertação está organizada da seguinte maneira: Capítulo 2: A formulação básica do modelo de insumo-produto é apresentada; Capítulo 3: Faz-se uma revisão da literatura quando o componente de incerteza está presente no modelo; Capítulo 4: Neste capítulo é realizada uma análise da economia brasileira através do cômputo dos multiplicadores de produção, renda, valor adicionado e emprego, a partir dos dados disponibilizados pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE). Os principais resultados deste trabalho são apresentados. Os multiplicadores calculados para o Brasil são recalculados de forma a incorporar intervalos de confiança para cada um deles; 4.

(17) Capítulo 1. Introdução. Capítulo 5: Neste último capítulo, faz-se um sumário das principais contribuições desta dissertação, assim como comentários sobre as principais limitações e a necessidade de continuação de pesquisas nesta área.. 1.5. Ferramentas de suporte. Nesta dissertação, duas ferramentas de suporte foram utilizadas: os cálculos, bem como gráficos e figuras foram feitos em MATLAB e a edição de textos em LATEX.. 5.

(18) Capítulo 2. Análise de Insumo-Produto. 2 ANÁLISE DE INSUMO-PRODUTO O modelo de insumo-produto é um modelo de equilíbrio geral aplicado baseado na idéia de interdependência econômica. A partir de uma tabela de transações e de um ferramental analítico matemático, procura-se caracterizar o comportamento do sistema econômico através da análise das interrelações entre os diversos setores e indústrias de uma economia. Dessa forma, podese avaliar como o sistema reage a mudanças causadas por fatores externos, capturar os efeitos advindos de mudanças de produção e consumo em determinado setor ou indústria, determinar níveis de produção, etc.. 2.1. Interdependência Econômica. No mundo contemporâneo, a produção e consumo de bens e serviços apresenta uma intrincada rede de relações entre diversos agentes econômicos. Uma evidência disso é, por exemplo, a crescente importância dada pelas empresas à Gestão da Cadeia de Suprimentos como uma forma de melhorar a integração e sincronização de suas atividades produtivas para com seus fornecedores e clientes. A figura 2.1 mostra de forma simplificada as relações numa cadeia de suprimentos do ponto de vista de uma empresa base. Esta possui fornecedores de insumos Fk em três níveis (k = 1, 2, 3), fonecedores de serviços FS e clientes Ck em dois níveis. Torna-se muito difícil, até mesmo para uma única empresa, representar todos os agentes em todos os níveis da sua cadeia de suprimentos. Por essa razão, faz-se o uso da agregação como forma de viabilizar o estudo de sistemas de maior complexidade. Poderia-se, por exemplo, representar as relações na cadeia de suprimentos da figura 2.1 de uma forma mais agregada, considerando-se apenas o primeiro nível de clientes e fornecedores. Assim também acontece com frequência na Economia, quando do estudo de sistemas econômicos. O nível de agregação a ser usado depende tão somente dos recursos (dados, pessoal, etc) disponíveis, do tempo concedido à análise e dos seus objetivos. Em tese, quanto maior for a desagregação, mais rica é a análise do sistema. Entretanto, os custos associados aumentam consideravelmente. Constitui-se assim um trade-off importante, que deve ser ponderado pelo analista. Caminhando-se no sentido de aumento da agregação, pode-se considerar como sistema toda a economia nacional, regional ou estadual. Segundo Rossetti [6], quando se lida com o sistema ecônomico de todo um país, a Macroeconomia classifica quatro principais grupos de agentes 6.

(19) Capítulo 2. Análise de Insumo-Produto. C2. C2. C2. C1. C2 C1. C1. FS. FS Companhia Base. FS. FS FS. FS. F1. F1. F2. F1. F1. F1. F1 F3. F2. F2 F3. Fonte: Moreira [5, p. 428] Figura 2.1: Visão simplificada das Relações na Cadeia de Suprimentos.. econômicos: • Unidades Familiares: representa todos os indivíduos que participam dos resultados da produção processada na forma de aquisição de bens e serviços; • Empresas: engloba todas a unidades produtivas que atendem às necessidades de consumo e acumulação da sociedade; • Governo: entidade de coordenação central e prestação de bens e serviços, cuja receita é adquirida a partir do sistema de tributação nacional, que arrecada compulsoriamente impostos das empresas e famílias; • Resto do mundo: conjunto de empresas, governos e famílias que não se situam em território nacional e que mantem com os agentes nacionais fluxos de trocas de bens, serviços e pagamentos monetários. A partir desse nível de agregação, pode-se representar toda a economia nacional de uma forma esquemática onde os fluxos de pagamentos, bens e serviços sejam mostrados. A figura 2.2 mostra um modelo completo de economia aberta.. 7.

(20) Capítulo 2. Análise de Insumo-Produto. Empresas. Unidades Familiares. Governo. Fluxo de exportações. Pagamentos Transfepor serviços rências prestados enviadas por residentes no país. Recebimentos por serviços prestados. Transferências recebidas por residentes no país. Fluxo de importações. Resto do Mundo (Unidades familiares, empresas e governos de outros países). Fonte: Rossetti [6, p. 57] Figura 2.2: Modelo completo de economia aberta.. 2.2. Tabela de Transações. É possível obter um nível de agregação intermediário entre os esquemas das figuras 2.1 e 2.2 de maneira que se possa estudar as relações intersetoriais. A formulação básica do modelo [7–11] parte da elaboração de uma tabela de transações intersetoriais, interindustriais ou entre atividades econômicas, a depender do grau de agregação desejado (o sentido de maior agregação é o seguinte: empresa → indústria → atividade econômica → setor econômico). No âmbito nacional, a tabela de transações é uma ferramenta contábel do Sistema de Contas Nacionais (SCN). No Brasil, o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) [12] é o orgão federal responsável pelo SCN e tem a atribuição de coordenar a coleta, organização e publicação dos dados referentes à economia, provendo assim estatísticas ecônomicas fundamentais para a análise e entendimento do sistema econômico nacional. A tabela 2.1 é um exemplo genérico de uma tabela de transações. As entradas da tabela representam a quantia monetária (em bilhões de Reais, por exemplo) realizada nas transações entre dois componentes da tabela. Do lado esquerdo estão localizados dois setores (a palavra 8.

(21) Capítulo 2. Análise de Insumo-Produto. Atividade 2. Atividade 3. Atividade n. Exportações. Consumo. Investimento. Governo. PBT. Insumo/produto Atividade 1 Atividade 2 Atividade 3 Atividade n Importações Valor adicionado DBT. Atividade 1. Tabela 2.1: Modelo de uma Tabela de Transações (aberto).. z11 z21 z31 zn1 m1 v1 y1. z12 z22 z32 zn2 m2 v2 y2. z13 z23 z33 zn3 m3 v3 y3. z1n z2n z3n znn mn vn yn. e1 e2 e3 en. c1 c2 c3 cn. i1 i2 i3 in. g1 g2 g3 gn. x1 x2 x3 xn. setor aqui é usada sem conexão alguma com o conceito de setor econômico): • Setor de Processamento: composto pelas atividades econômicas Ai (i = 1, ..., n), contém as atividades produtoras de bens e serviços. Este é o setor de processamentos visto do ponto de vista da produção; • Setor de Pagamentos: composto pela linhas de importações de países estrangeiros e valor adicionado (salários, juros, aluguéis, lucros, contribuições sociais, impostos, subsídios). Da mesma forma, na parte superior, dois setores estão representados: • Setor de Processamento: composto pelas atividades A j ( j = 1, ..., n), contém as atividades consumidoras de bens e serviços. Este é o setor de processamentos visto do ponto de vista do consumo; • Setor Demanda Final: composto pela colunas de exportações, consumo das famílias, investimentos e compras governamentais. A tabela é construida de maneira que zi j (i = 1, ..., n; j = 1, ..., n) representa a quantidade monetária de insumos consumida pela atividade j adivinda da atividade i ou, fazendo-se uma leitura inversa: a quantidade monetária de produtos da atividade i destinada a atividade j. Define-se fi como a demanda final agregada, ou seja: fi = ei + ci + ii + gi. 9. (2.1).

(22) Capítulo 2. Análise de Insumo-Produto. Dessa forma o Produto Bruto Total (PBT) xi , da atividade i, pode ser escrito como: n. xi =. ∑ zi j + fi. (2.2). j=1. De forma análoga, define-se o pagamento final agregado como sendo: dj = mj +vj. (2.3). e dessa forma o Desembolso Bruto Total (DBT) y j , da atividade j, pode ser escrito como: n. y j = ∑ zi j + d j. (2.4). i=1. Uma identidade fundamental no sistema de entradas e saídas de Leontief é aquela que diz que os Desembolsos Brutos Totais são iguais aos Produtos Brutos Totais para cada atividade, isto é, xi = y j para i = j.. 2.3 2.3.1. Formulação matemática do modelo de insumo-produto O modelo puro. Considere uma economia simples composta de três setores i, i = 1, 2, 3 (para mais detalhes, ver Dorfman et al. [13, cap. 9 e 10] e Hansen [14, cap. 14]). Cada setor produz apenas um único produto nas quantidades Qi (medidas em alguma unidade física), tem como fornecedores de insumos os outros setores e faz proveito também do trabalho de seus empregados, representados por q0 j (número de empregados) ( j = 1, 2, 3). O consumo de cada produto feito pelas famílias dos empregados é dado por Fi . Poderia-se então construir a tabela 2.2 de transações em quantidades físicas. Tabela 2.2: Tabela de Transações de uma economia simples. Insumos/Produtos Setor 1 Setor 2 Setor 3 Empregados. Setor 1 q11 q21 q31 q01. Setor 2 q12 q22 q32 q02. Setor 3 q13 q23 q33 q03. 10. Consumo final F1 F2 F3. Saída Total Q1 Q2 Q3.

(23) Capítulo 2. Análise de Insumo-Produto. Suponha que cada setor utilize proporções fixas de insumos e mão-de-obra para produzir uma certa quantidade de output Qi . Então pode-se escrever: ti j =. qi j = constante Qj. (2.5). As seguintes identidades são válidas: 3. Qi =. ∑ qi j + Fi. i = 1, 2, 3. (2.6). j=1. Substituindo-se (2.5) em (2.6), reorganizando os termos e escrevendo o sistema de equações lineares por extenso, obtem-se: (1 − t11 )Q1 − t12 Q2 − t13 Q3 = F1 (2.7). −t21 Q1 + (1 − t22 )Q2 − t23 Q3 = F2 −t31 Q1 − t32 Q2 + (1 − t33 )Q3 = F3 Escrevendo-se o sistema (2.7) na forma matricial: .     (1 − t11 ) −t12 −t13 Q F    1  1       −t21 (1 − t22 ) −t23  Q2  = F2       Q3 F3 −t31 −t32 (1 − t33 ) {z } | {z } | {z } | Q. (I−T). (2.8). F. Dado o vetor F de consumo final é possível obter-se o vetor Q de quantidades produzidas por cada setor, satisfazendo assim o consumo final bem como o consumo intermediário entre os setores. Para isto, multiplica-se ambos os lados da equação (2.8) por (I − T)−1 , onde I é a matriz identidade de ordem 3. Tem-se então a solução: Q = (I − T)−1 F. (2.9). Uma particularidade do sistema apresentado nesta sub-seção é que 0 ≤ ti j < 1 (por definição), assim uma condição necessária e suficiente para que uma cesta de consumo final F ≥ 0 possa ser produzida (Q ≥ 0) é que todos os menores principais de (I − T) sejam estritamente positivos. Estas condições são chamadas de condições de Hawkins e Simon. Para o caso 3 × 3 apresentado 11.

(24) Capítulo 2. Análise de Insumo-Produto. as condições de Hawkins e Simon seriam: (menores principais de 1a ordem) |1 − t11 | > 0. |1 − t22 | > 0. |1 − t33 | > 0. (2.10). (menores principais de 2a ordem)

(25)

(26)

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(28)

(29) 1 − t22 −t23

(30)

(31)

(32) >0

(33)

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(35) −t32 1 − t33

(36).

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(40)

(41) 1 − t11 −t13

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(43)

(44) >0

(45)

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(47) −t31 1 − t33

(48).

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(50)

(51)

(52)

(53) 1 − t11 −t12

(54)

(55)

(56) >0

(57)

(58)

(59) −t21 1 − t22

(60). (2.11). (menor principal de 3a ordem)

(61)

(62)

(63)

(64)

(65) (1 − t11 ) −t12 −t13

(66)

(67)

(68)

(69)

(70)

(71) −t21 (1 − t22 ) −t23

(72) > 0

(73)

(74)

(75)

(76)

(77) −t31 −t32 (1 − t33 )

(78). (2.12). Existe uma outra forma de se conseguir chegar à solução descrita em (2.9). O sistema (2.7) é equivalente (possui a mesma solução) ao seguinte problema de programação linear [13, p. 228]: min Rt01 Q1 + Rt02 Q2 + Rt03 Q3. Q1 ,Q2 ,Q3. s.a : (1 − t11 )Q1 − t12 Q2 − t13 Q3 ≥ F1. (2.13). −t21 Q1 + (1 − t22 )Q2 − t23 Q3 ≥ F2 −t31 Q1 − t32 )Q2 + (1 − t33 )Q3 ≥ F3 onde R é o salário pago ao empregado. Ou seja, para se produzir a cesta Q, a sociedade resolve o problema de minimizar o custo total (somatório dos salários pagos) sujeito às restrições que a tecnologia impõe. 2.3.1.1. Tecnologia. Poderia-se definir tecnologia, no contexto da produção de bens e serviços, simplesmente como uma combinação ou conjunto de máquinas, equipamentos, técnicas e conhecimento capaz de produzir a partir de uma certa quantidade de insumos determinada quantidade de output em um intervalo específico de tempo. Na Microeconomia, especificamente na Teoria da Produção, a tecnologia usada por uma 12.

(79) Capítulo 2. Análise de Insumo-Produto. firma pode ser representada através da sua função de produção, esta relaciona o nível máximo de produção possível de ser atingido dado as quantidades dos insumos (inputs) disponíveis. No caso dos setores descritos no exemplo acima pode-se escrever que: Q j = f (q1 j , q2 j , q3 j , q0 j ). (2.14). onde f (·) define a forma da função. A hipótese de proporções fixas feita em (2.5) é representada quando se escolhe f (·) como sendo uma função que escolhe o valor mínimo entre os valores qi j /ti j para i = 1, 2, 3 (não considerando a contribuição de q0 j ). Ou seja, . q1 j q2 j q3 j Q j = min , , t1 j t2 j t3 j. (2.15). Esta forma da função de produção é conhecida como função de produção de Leontief e possui as seguintes propriedades [15, cap. 1]: 1. A tecnologia representada é monotônica, convexa e regular; 2. Admite a não substituição entre quaisquer pares de insumos; 3. Apresenta retornos constantes de escala. Ou seja, ganhos de escala não são considerados. A figura 2.3 exibe uma representação gráfica da função de produção de Leontief através das isoquantas em duas dimensões. q2 j t. inclinação = t21 jj. Qj = 2 Qj = 1. q1 j. Figura 2.3: Isoquantas da função de produção do tipo Leontief.. Na teoria de insumo-produto, a tecnologia do sistema é totalmente definida pela matriz. 13.

(80) Capítulo 2. Análise de Insumo-Produto. tecnológica   t t t  11 12 13    T = t21 t22 t23    t31 t32 t33. (2.16). onde os ti j são nomeados de coeficientes técnicos diretos, construídos neste caso a partir de relações entre quantidades físicas. No entanto, a construção de matrizes de insumo-produto é realizada com base numa tabela de transações, onde cada entrada é medida em valores monetários, como na seção seguinte.. 2.3.2. O modelo em valor monetário. Dada a evidente impossibilidade de tratar um sistema econômico complexo com o modelo insumo-produto em quantidades físicas, as tabelas de transações intersetoriais são computadas em valores monetários. Mas, assim como no modelo puro, as seguintes hipóteses são consideradas [7, p. 277 (adaptado)]: • Homogeneidade: parte-se do princípio de que cada produto, ou grupo de produtos, é fornecido por uma única atividade i (i = 1, 2, ..., n). Ou seja, faz-se uma partição do conjunto de atividades segundo seus produtos. • Proporcionalidade: os valores monetários dos insumos consumidos por cada atividade são função linear do nível (também em valor monetário) de produção dessa atividade. Reescrevendo a definição (2.5) em termos dos valores monetários, tem-se que o coeficiente técnico direto é ai j =. zi j xj. (2.17). A Função de Produção de Leontief em (2.15) é também reescrita como: . z1 j z2 j zn j x j = min , , ..., a1 j a2 j an j. 14. (2.18).

(81) Capítulo 2. Análise de Insumo-Produto. Combinando (2.2) e (2.17) e expandindo o sistema, chega-se ao sistema de Leontief : . (1 − a11 ).    −a21  ..   .    −ai1   ..  .  −an1 |. −a12. ···. −a1i. ···. +(1 − a22 ) · · · .. ... .. −a2i .. .. ··· .... −ai2 .. .. · · · +(1 − aii ) · · · .. .. .. . . .. −an2. ···. −ani. ···. {z.     f x   1  1     −a2n  x2   f2      ..   ..   ..   .   .  .   =       −ain   xi   fi        ..   ..  ..  .   .  .     fn xn +(1 − ann ) } | {z } | {z } −a1n. x. (I−A). (2.19). f. A interdependência econômica entre as atividades faz com que existam efeitos diretos e indiretos causados pela variação de uma variável exógena ao sistema, como, por exemplo, a demanda final f. A solução do sistema de Leontief (2.19) é dada por: x = (I − A)−1 f | {z }. (2.20). L. onde I é a matriz identidade de dimensões (n × n), A (n × n) é a matriz dos coeficientes técnicos, L = (I − A)−1 (n × n) é a matriz inversa de Leontief, f o vetor (n × 1) composto pela demanda final agregada para cada atividade e x é o vetor (n × 1) de produção total. O resultado final é que o nível de produção de cada indústria pode ser determinado a partir de mudanças na demanda final. Este nível de produção contabiliza os efeitos diretos e indiretos causados pelas relações de interdependência entre as atividades. Isto fica bastante evidente quando se observa a solução (2.20) explicitamente como segue: xi = li1 f1 + li2 f2 + · · · + li j f j + · · · + lin fn. i = 1, 2, ..., n. (2.21). onde li j são os elementos da matriz de Leontief L. O nível de produção na atividade i depende linearmente daquilo que é requerido não só em i ( fi ) como também em todas outras atividades, indicadas por −i ( f−i ). Note-se que li j = ∂ xi /∂ f j , isto é, li j é a taxa de variação em xi quando ocorre uma mudança em f j .. 15.

(82) Capítulo 2. 2.3.2.1. Análise de Insumo-Produto. Modelo Fechado. Na análise de insumo-produto apresentada até aqui, foi considerada a forma do modelo aberto, isto é, o setor famílias faz parte da demanda final bem como do setor de pagamentos, tratandose assim de um elemento exógeno ao setor de processamento. Uma outra forma de conceber o sistema é aquela que insere a linha e a coluna referente a famílias para dentro do setor de processamento, tornando famílias um elemento endógeno ao sistema. Sendo assim, o modelo será capaz de considerar não apenas os efeitos diretos e indiretos, mas também os efeitos induzidos pelo consumo das famílias. A tabela 2.3 mostra a forma esquemática da tabela de transações para o caso do modelo fechado.. Atividade n. Famílias. Exportações. Investimento. z12 z22 z32 zn2. z13 z23 z33 zn3. z1n z2n z3n znn. z1,n+1 z2,n+1 z3,n+1 zn,n+1. e1 e2 e3 en. i1 i2 i3 in. zn+1,1 m1 v∗1 x1. zn+1,2 m2 v∗2 x2. zn+1,3 m3 v∗3 x3. zn+1,n mn v∗n xn. zn+1,n+1 mn+1 v∗n+1 xn+1. en+1. in+1. g1 g1 g1 g1 gn+1. PBT. Atividade 3. z11 z21 z31 zn1. Governo. Atividade 2. Insumo/produto Atividade 1 Atividade 2 Atividade 3 Atividade n Famílias Importações Valor adicionado DBT. Atividade 1. Tabela 2.3: Modelo de uma Tabela de Transações (fechado).. x1 x2 x3 xn xn+1. A nova matriz de coeficientes técnicos de dimensões (n + 1 × n + 1) é denotada por:  ¯ = A. A hR. hC 0. h.  . (2.22). onde hC é o vetor (n × 1) dos coeficientes zi,n+1 /xn+1 representando a parcela da demanda final que é devida as famílias; hR 0 o vetor linha (1 × n) dos coeficientes an+1, j = zn+1, j /x j representando a parcela do setor de pagamentos que cabe aos salários pagos às famílias; h o escalar zn+1,n+1 /xn+1 como sendo o coeficiente que define a transferência entre as famílias. Identifica-se por x¯ o vetor de produção total para as n + 1 atividades e por f¯ o vetor demanda. 16.

(83) Capítulo 2. Análise de Insumo-Produto. final, retirada a parcela de consumo das famílias ci : .  x1      ..   .  x =  x¯ =     xn  xn+1   xn+1.  f1∗      ..  ∗  .  f   ¯f =    ∗ = ∗  fn  fn+1   ∗ fn+1 . (2.23). De maneira semelhante, a solução do sistema de Leontief, considerando o modelo fechado com respeito as famílias é dada por: ¯ −1 ¯f = L ¯ ¯f x¯ = (I − A). (2.24). Ou a solução (2.24) pode ser reescrita como: ∗ xi = l¯i1 f1∗ + l¯i2 f2∗ + · · · + l¯i j f j∗ + · · · + l¯i,n+1 fn+1. i = 1, 2, ..., n + 1. (2.25). sendo válidas as mesmas interpretações anteriores da solução (2.21). 2.3.2.2. Multiplicadores. O conceito multiplicador é uma das principais ferramentas de análise oferecidas pelo modelo insumo-produto. Seu objetivo é quantificar o impacto causado em certas variáveis (produção total, renda, valor adicionado, empregos, etc) pelo aumento de uma unidade no consumo final de determinada atividade. Este impacto advém da combinação de três efeitos, a saber: (i) efeitos diretos pelo próprio aumento da demanda naquela atividade, (ii) efeitos indiretos oriundos da interdependência entre as atividades econômicas e (iii) efeitos induzidos quando se trata famílias como uma atividade. Existem basicamente dois tipos de multiplicadores, são eles: - Multiplicadores Simples: consideram apenas os efeitos diretos e indiretos decorrentes de uma variação unitária da demanda final da atividade j na variável investigada. O modelo aberto é a base para o cálculo desse tipo de multiplicador; - Multiplicadores Totais: leva em conta os efeitos diretos, indiretos e induzidos pelo consumo das famílias que são decorrentes de uma variação unitária da demanda final da atividade j. O modelo fechado é a base para o cálculo desse tipo de multiplicador.. 17.

(84) Capítulo 2. Análise de Insumo-Produto. A seguir, são descritas as formas de cálculo de quatro multiplicadores: multiplicadores de produção, renda, emprego e valor adicionado.. Multiplicadores de Produção (Output Multipliers): soma dos valores incrementais da produção em cada atividade quando do aumento unitário da demanda final para a atividade j. Caso a demanda final da atividade A1 aumente em uma unidade, teria-se:     1 l    11      0 l21     ∆x(1) = L∆f(1) = L   ..  =  ..  .  .      0 ln1. (2.26). Isto para o caso j = 1. Então, por definição, o multiplicador de produção simples da atividade j é dado por: n. m(o) j = i0 ∆x( j) = ∑ li j. (2.27). i=1. onde i0 é o vetor linha com entradas unitárias de dimensão n. Por exemplo, se houver um choque de demanda na economia de tal forma que apenas a demanda da atividade A3 aumente em 1 milhão de Reais com as outras demandas permanecendo inalteradas, o multiplicador m(o)3 fornecerá a soma (em milhões de Reais) dos novos valores de produção total x j para que esta nova demanda seja atendida. De forma semelhante, quando se deseja considerar o efeito-renda induzido a partir do uso do modelo fechado, tem-se o multiplicador de produção total: n+1. m(o) ¯ j=. ∑ l¯i j. (2.28). i=1. Caso se deseje comparar este com o multiplicador simples, deve-se usar a forma truncada do n ¯ multiplicador total m[o(t)] ¯ j = ∑i=1 li j . Assim, apenas os efeitos nas n atividades originais do. modelo aberto são considerados.. Multiplicadores de Renda (Income Multipliers): soma em todas atividades da renda adicional gerada pelo incremento unitário na demanda final da atividade j. O multiplicador de renda. 18.

(85) Capítulo 2. Análise de Insumo-Produto. simples, fazendo famílias como um elemento exógeno, é calculado como segue: n. m(h) j = ∑ an+1,i li j. (2.29). i=1. O multiplicador total, fazendo famílias como um elemento endógeno, é: n+1. m(h) ¯ j=. ∑ an+1,il¯i j = l¯n+1, j. (2.30). i=1. Assim como no caso dos multiplicadores de produção, o multiplicador de renda truncado seria n ¯ calculado como m[h(t)] ¯ j = ∑i=1 an+1,i li j .. Na literatura são considerados ainda dois tipos de multiplicadores de renda: Tipo I e Tipo II. Os multiplicadores de renda tipo I e II surgem a partir da liberdade de escolha com relação ao que se considera como o efeito inicial da nova demanda final. Nos cálculos dos multiplicadores de renda descritos aqui o efeito inicial foi considerado como sendo a unidade $1. Ao se definir agora o efeito inicial como sendo o elemento an+1, j , obtém-se os chamados multiplicadores de renda tipo I e tipo II da seguinte forma: m(h)Ij e m(h) ¯ IIj =. ∑ni=1 an+1,i li j = an+1, j. ¯ l¯n+1, j ∑n+1 i=1 an+1,i li j = an+1, j an+1, j. (2.31). (2.32). Note-se que o termo tipo I está relacionado ao termo simples, enquanto que o termo tipo II ao termo total. Entretanto, estes não serão utilizados neste trabalho.. Multiplicadores de Emprego (Employment Multipliers): medem o total de emprego adicional gerado na economia quando do choque unitário na demanda final da atividade j. Para seu cálculo é necessário dispor do vetor linha w0 = (w1 , w2 , ..., wi , ..., wn ) composto pelos coeficientes que representam o número de trabalhadores por valor unitário da produção para cada atividade econômica. O multiplicador de emprego simples é: n. m(e) j = ∑ wi li j i=1. 19. (2.33).

(86) Capítulo 2. Análise de Insumo-Produto. E o multiplicador de emprego total é dado por: n+1. m(e) ¯ j=. ∑ wil¯i j. (2.34). i=1. Para os multiplicadores de emprego valem, assim como nos multiplicadores anteriores, as formas truncadas e dos tipos I e II analogamente.. Multiplicadores de Valor Adicionado (Value-Added Multipliers): medem o incremento total de valor adicionado na economia que decorre do choque unitário na demanda final da atividade j. Seu cálculo é conduzido com o auxílio do vetor linha va0 = v0b x−1 composto pelos coeficientes v j /x j do valor adicionado para cada atividade j. O multiplicador de Valor Adicionado Simples é escrito de forma equivalente como: n. m(va) j = ∑ vai li j. (2.35). i=1. Novamente, o multiplicador de Valor Adicionado Total é: n+1. m(va) ¯ j=. ∑ va∗i l¯i j. (2.36). i=1. onde va∗i = v∗i /xi (coeficiente de valor adicionado descontando-se o coeficiente das famílias an+1, j ).. Os multiplicadores expostos acima podem ser resumidos e reescritos a partir de operações matriciais simples como as listadas a seguir: Tabela 2.4: Resumo das fórmulas de cálculo dos multiplicadores. Multiplicador Produção Renda Emprego Valor Adicionado. Simples Total i0 L i0 L¯ ¯ hR 0 L hR 0 L w0 L w0 L¯ 0 va L (va∗ )0 L¯. Note-se que a forma i0 L representa como resultado um vetor linha com n entradas, cada uma representando o multiplicador de produção simples para cada atividade. O mesmo vale para os demais multiplicadores. 20.

(87) Capítulo 3. A incerteza no modelo insumo-produto. 3 A INCERTEZA NO MODELO INSUMO-PRODUTO Este capítulo faz uma revisão da literatura considerando os principais trabalhos como aqueles que mais agregam para o desenvolvimento dos objetivos desta dissertação. Uma revisão semelhante e mais abrangente, porém até 1989, pode ser encontrada em Miller et al [16, cap 15]. Todavia, são raros os livros de insumo-produto que possuem texto referente à abordagem estocástica. Exceção feita, por exemplo, a ten Raa [17, cap 14].. 3.1. Considerando a incerteza nos coeficientes técnicos diretos. 3.1.1. Razões. Os coeficientes técnicos diretos são função da tecnologia usada e do nível de preços relativos na economia, ou seja: ai j = f (tecnologia, nível de preços relativos). (3.1). Portanto, existem basicamente dois motivos para se pensar em inserir a incerteza no modelo de insumo-produto. São eles: 1. Erros nos coeficientes: as metodologias de construção de matrizes de insumo-produto envolvem hipóteses simplificadoras e uma vasta base de dados originais [18]. No entanto, usualmente as matrizes de insumo-produto são publicadas sem a definição de onde os erros associados aos coeficientes técnicos diretos estão localizados. Os coeficientes técnicos diretos são apresentados como tendo uma precisão infinita. 2. Variação dos coeficientes ao longo do tempo: variações nos preços relativos e mudanças tecnológicas (quantidades transacionadas entre as atividades) fazem com que ocorram variações nos valores dos coeficientes técnicos diretos. Todos os artigos revistos nesta seção têm questões fundamentais relacionadas, direta ou indiretamente, a um ou ambos motivos descritos acima. Diferem no problema específico proposto e na abordagem para resolvê-lo. Outra observação é que no capítulo anterior foi adotada a 21.

(88) Capítulo 3. A incerteza no modelo insumo-produto. notação utilizada em Miller & Blair [10] por ser um livro recente, completo e amplamente consultado. Neste capítulo serão usadas as notações contidas em cada um dos trabalhos citados, cabendo assim ao leitor fazer a correta associação com a notação precedente.. 3.1.2. Revisão da literatura. O trabalho pioneiro é o de Evans [19] em 1954. A principal questão que Evans se propunha a responder era a da propagação de erros através dos cálculos para o cômputo da matriz inversa de Leontief. Para isso, ele primeiramente assume que os erros contidos na matriz de coeficientes técnicos diretos são não aleatórios e aditivos, ou seja, A∗ = A + D. (3.2). onde A representa a “verdadeira"matriz de coeficientes técnicos e D é a matriz de erros associada a A. Além disso, considera que D é nula, a exceção de uma linha genérica i, isto é, .  0 ··· ··· ··· 0   ..   ..  . .      D = di1 · · · di2 · · · din     .. ..   . .    0 ··· ··· ··· 0. (3.3). Assim, pode-se chegar a uma expressão explícita para o erro em cada entrada da matriz inversa de Leontief, B = (I − A)−1 : b∗jk − b jk = b ji ∑ dir brk /(1 − ∑ dir bri ) r. (3.4). r. A partir de mais algumas considerações, Evans conclui que os erros eventualmente presentes são não apenas não cumulativos mas também apresentam um efeito compensatório. Dessa forma, os erros de arredondamento presentes não precisariam mais serem tratados como um problema na área de insumo-produto. Esta seria mais uma característica positiva do modelo: a capacidade de minimizar efeitos indesejáveis provenientes de erros nos dados que o servem de base. Fazendo-se uso de uma série de aproximações, Babbar [20] deduz analiticamente a dis22.

(89) Capítulo 3. A incerteza no modelo insumo-produto. tribuição de probabilidade para a solução para um sistema do tipo: (B + b)X = (Q + ε). (3.5). onde B é uma matriz não-singular m × m de constantes conhecidas, b é uma matriz m × m de erros aleatórios, Q é um vetor coluna de constantes conhecidas de dimensão m e ε é um vetor coluna de erros aleatórios de dimensão m. Note-se que o sistema (3.5) é semelhante ao sistema de Leontief quando b → 0 e ε → 0. A partir da distribuição encontrada, 2 2 2 2 1 [β σk2 − ∂k σBk ] + xk [∂k σB2 − β σBk ] f (xk )dxk = √ × e−1/2[(xk β −∂k ) /σk −2σBk xk +σB xk ] × dxk 2 2 2 3/2 [σk − 2σBk xk + σB xk ] 2π (3.6). onde β , σk2 , ∂k , σBk e σB são parâmetros advindos da formulação do problema, Babbar constrói intervalos de confiança para a solução, faz uma aplicação no contexto da análise de insumoproduto e ressalta a importância que uma abordagem probabilística tem nos problemas de programação linear e em particular na análise de relações inter-industriais. Para ele, existe uma considerável vantagem em tratar os coeficientes de insumo-produto com uma certa flexibilidade, permitindo que pequenas variações aconteçam em torno dos valores médios. Briggs [21] examina a questão da incerteza no modelo de insumo-produto de uma outra perspectiva. Trata do problema de estimar de forma eficiente os coeficientes técnicos a partir de uma série de observações. Y denota a matriz de transações de ordem n e l 0 o vetor de inputs primários não inclusos na matriz de transações (isto é, o modelo é aberto). Escreve-se: . . Y     y0 = i0 · · ·   l0. (3.7). B = Yˆy−1. (3.8). e. onde i0 é o vetor de unidades de ordem n + 1, yˆ a matriz diagonal formada por y0 e B a matriz de coeficientes técnicos diretos. Dois modelos são considerados. No primeiro, assume-se B fixa e Y uma matriz aleatória: Y = Bˆy + E. 23. (3.9).

(90) Capítulo 3. A incerteza no modelo insumo-produto. onde E é uma matriz aleatória que assume valores segundo uma distribuição normal de média zero. No segundo modelo, a aleatoriedade de Y é atribuida à aleatoriedade em B: Y = B∗ yˆ = (B + E)ˆy. (3.10). Dois métodos de estimação são utilizados por Briggs, a saber: (i) mínimos quadrados e (ii) máxima verossimilhança. Sobre certas circunstâncias o método dos mínimos quadrados apresenta maior viés e subestimação. Além disso os resultados obtidos pelos dois métodos diferem mais quanto maior for o grau de interdependência e maior for a importância relativa da variação residual nos modelos. Dois artigos escritos por Quandt e publicados em 1958 e 1959 vieram adicionar novas formas de se tratar a incerteza nos coeficientes técnicos. No primeiro [22], com relação aos valores esperados de matrizes aleatórias, os seguintes teoremas são enunciados: Teorema 1 Dada uma matriz P com elementos independentemente distribuidos, o valor esperado de P, E(P), é a matriz formada pelos valores esperados de cada um dos elementos. Teorema 2 Sejam P e Q duas matrizes para as quais P + Q está definida. Então E(P + Q) = E(P) + E(Q). Teorema 3 Se C é uma matriz constante, E(C)=C. Teorema 4 Se K é uma constante escalar e P uma matriz, E(KP) = KE(P). Teorema 5 Sejam P e Q duas matrizes para as quais o produto PQ é definido. Se P e Q são independentemente distribuidas, E(PQ) = E(P)E(Q). Teorema 6 Seja T a matriz “verdadeira” e TX = Y. Seja o sistema observado dado por PX = Y, tal que E(P) = T. Então a esperança da solução do sistema probabilístico PX = Y não é geralmente igual a solução do sistema verdadeiro. Este último, quando aplicado ao sistema de Leontief, estabelece que o valor esperado da solução do sistema de Leontief com coeficientes aleatórios não é necessariamente igual a solução do sistema “verdadeiro”. Além disso, Quandt explora os coeficientes ai j como variáveis aleatórias e encontra analiticamente a esperança, variância e covariâncias dos elementos da matriz inversa de Leontief para o sistema em duas dimensões. Considerando que (a) os erros nos coeficientes 24.

(91) Capítulo 3. A incerteza no modelo insumo-produto. são independentemente distribuidos, (b) os erros têm média zero e (c) as funções de densidade dos erros são simétricas, obtêm-se: h  h i i b22 b21 R R 2 2 b11 1 + K + D2 − b11 D E(h22 ) b12 1 + K + D2 + b12 D E(h12 ) i h i E[(I − A − H)−1 ] =  h b21 1 + K + DR2 + bb2112D E(h221 ) b22 1 + K + DR2 − bb2211D E(h211 ) (3.11) onde H é a matriz de erros, bi j os elementos de (I − A)−1 , D = |I − A|, K = b211 E(h211 ) + b222 E(h222 ) + b221 E(h212 ) + b212 E(h221 ) e R = E(h211 )E(h222 ) + E(h212 )E(h222 ). A variância do elemento b11 da matriz (I − A − H)−1 e a covariância de b11 e b12 , por exemplo, são dadas por: var(b11 ) = b211. E(h222 ) 2b22 R 2 K+ 2 + 2 2 − E(h22 ) D b11 D b11 D. (3.12). e b22 b21 R 2 2 E(h22 ) + E(h12 ) covar(b11 , b12 ) = b11 b12 K + 2 − D b11 D b12 D. (3.13). Quandt termina este primeiro artigo fazendo um exemplo numérico no qual calcula a solução do sistema de Leontief X0 = (x1 , x2 ) através de quatro maneiras distintas, a saber: 1. Valores exatos obtidos calculando-se a solução exata; 2. Aproximação baseada na matriz da equação (3.11); 3. Solução a partir de uma matriz inversa média, calculada atráves do sorteio de 50 matrizes A segundo a distribuição de erros associada; 4. Solução a partir do cálculo das médias e variâncias para as soluções dos 50 sistemas (matrizes) sortiados seguindo a distribuição dos erros considerada; Conclui que as aproximações analíticas são razoavelmente boas, que é plausível assumir a consistência das soluções e que, de forma geral, a solução não possui um estimador sem viés. O segundo artigo de Quandt [23] tem o objetivo de estudar experimentos computacionais onde matrizes aleatórias com os coeficientes técnicos diretos (matrizes A) são geradas segundo a distribuição de probabilidade dos erros. Neste ponto, é interessante notar que realizar experimentos computacionais na década de 1950 exigia um grande esforço, dada a indisponibilidade de softwares e máquinas como as dos dias de hoje. Assim como no artigo anterior, assume-se que o vetor de demanda final é conhecido com certeza, ou seja, não está sujeito a erros. A 25.

(92) Capítulo 3. A incerteza no modelo insumo-produto. partir de cada matriz de ordem três gerada no processo, a inversa de Leontief é obtida, a solução X = (I − A)−1 Y é calculada e assim momentos das ditribuições dos elementos da inversa e da solução podem ser analisados. Alguns detalhes dos experimentos são os seguintes: (i) foram consideradas onze distribuições discretas para os erros; (ii) para cada distribuição 100 matrizes aleatórias foram geradas; (iii) a matriz perturbada pelos erros foi a matriz (I − A); (iv) as distribuições dos erros foram especificadas de tal forma que ai j + ei j ≥ 0 e ∑i (ai j + ei j ) < 1, isto garante que o determinante |I − A − E| 6= 0, ou seja, nenhum sistema singular é gerado no processo. As duas principais conclusões feitas por Quandt foram que a assimetria da distribuição dos erros tende a ser transmitida para a solução do sistema e que esta solução pode ser adequadamente descrita como uma distribuição do tipo lognormal. Depois de uma década de relativa escassez de trabalhos que envolvessem a incerteza, em 1973, Park [24] investiga a propagação de erros dos coeficientes técnicos para os multiplicadores. O estudo é realizado de forma analítica, assumindo erros aditivos e não aleatórios nos seguinte elementos: matriz de coeficientes técnicos diretos (A), vetor de coeficientes de emprego (h0 ), vetor de coeficientes de consumo das famílias (k) e o coeficiente escalar de consumo entre as famílias (a). Segue-se então que: A = A∗ + E 0. h0 = h∗ + u0 k = k∗ + s. (3.14). a = a∗ + t onde os elementos com asterisco representam os valores “verdadeiros” e os termos adicionais denotam os erros. Park mostra que o componente de erro na expressão final dos multiplicadores pode ser separado do valor “verdadeiro” do multiplicador (o valor calculado quando os erros não estão presentes). Este componente de erro total pode ser escrito pela adição de duas parcelas. A primeira parcela é um vetor de erro obtido quando os erros estão presentes apenas nos coeficientes técnicos e a segunda parcela é um vetor de erro associado à presença de erros tanto na matriz A quanto nos vetores do setor famílias. Outro achado é que os multiplicadores tipo II são múltiplos dos multiplicadores tipo I e seus erros também são relacionados pela mesma constante multiplicadora. Logo após o trabalho de Park, um resultado importante é encontrado por Simonovits [25] e 26.

(93) Capítulo 3. A incerteza no modelo insumo-produto. enunciado a seguir na forma de teorema. Teorema (Simonovits) 7 Se os elementos da matriz A são aleatórios, independentes e simetricamente distribuidos, então o valor esperado da inversa de Leontief é subestimado pela inversa de Leontief do valor esperado de A: E[(I − A)−1 ] ≥ (I − E[A])−1. (3.15). A igualdade é válida se, e somente se, todos os elementos de A forem determinísticos. O teorema naturalmente estimula a exploração do comportamento estocástico dos multiplicadores e isto será mostrado mais adiante. Antes, porém, mais alguns estudos serão descritos. Assim como fez Briggs [21], Gerking [26] ataca o problema de estimar os coeficientes técnicos com a ajuda de quatro métodos de regressão, a saber: Mínimos quadrados ordinários (OLS), método de Wald-Bartlett (WBM), método de Durbin (DM) e Mínimos quadrados em dois estágios (TSLS). Com o uso de dados, cada destes métodos de regressão é aplicado à equação: Zi j (r) = αi j X j (r) + θi j (r). (3.16). onde Zi j representa o valor de bens transferidos do setor i para o setor j, X j é o valor total de produção do setor j, αi j é o coeficiente técnico e θi j o erro que é assumido ser idêntico e igualmente distribuido com média zero para todo r (index referente a r-ésima firma do setor j). As aplicações sugerem que existem diferenças consideráveis em relação à eficiência dos quatro estimadores. Em termos gerais, os métodos OSL e TSLS têm erros padrões menores que os métodos WBM e DM. O autor ainda sugere que o estimador em forma de razão (αi j = Zi j /X j ) seja substituído por uma técnica de regressão e que o grau de incerteza observado num dado coeficiente técnico seja medido pelo erro padrão do estimador escolhido. Hanseman & Gustafson [27] criticam e reformulam o trabalho de Gerking, argumentando que o conjunto de equações simultâneas no modelo está mal especificada. Assim, o uso de TSLS não seria mais necessário. Mais dois trabalhos merecem destaque na segunda metade dos anos setenta. Bullard & Sebald [28] investigam meios de avaliar e mitigar os efeitos da incerteza nos coeficientes técnicos. Os principais objetivos eram quantificar a incerteza na solução do modelo e identificar os coeficientes que são a causa dessa incerteza. O primeiro resultado é uma desigual-. 27.

(94) Capítulo 3. A incerteza no modelo insumo-produto. dade relacionada a questão de estabelecer um teto (bounds), em termos do determinante, para os erros na matriz de Leontief associados aos erros na matriz de coeficientes técnicos diretos:

(95)

(96) |∆A|

(97) [I − (A + ∆A)]−1 − [I − A]−1

(98) M |I−A| ≤ |∆A| |[I − A]−1 | 1 − M |I−A|. (3.17).

(99)

(100)

(101)

(102) desde que

(103) [I − A]−1

(104) · |∆A| < 1 e onde M = |I − A| ·

(105) [I − A]−1

(106) . Este tipo de resultado da equação (3.17) era especialmente últil quando não se dispunha de recursos computacionais como os dos dias de hoje. O segundo resultado trata de um método para identificação dos coeficientes mais importantes, no sentido de alterar significativamente a saída de uma função importância (importance function) g da forma: J = g[(I − A)−1 , Y]. (3.18). onde J pode ser um escalar, um vetor ou uma matriz de ordem menor ou igual a de (I − A)−1 . Dado uma pertubação de erro ∆A, pode-se avaliar a importância de ai j com respeito a J a partir da seguinte expressão:. ∑ ∑ φmn. (3.19). m n. onde: φmn =.   ν =. ∆Jmn τ.  0. se τ ≥ 1. (3.20). caso contrário. e τ é o limite de importância. Deste modo um ranking dos elementos mais importantes de A pode ser obtido. Os autores fazem também aplicações destes resultados e terminam por concluir que criar uma ordem por importância relativa dos coeficientes técnicos fornece informação para (i) estabelecer prioridades na aquisição de dados usados na atualização dos coeficientes, (ii) construir tabelas de insumo-produto mais acuradas e (iii) identificar tecnologias em que pequenas mudanças têm grande impacto nos objetivos das políticas adotadas. Goicoechea & Hansen [29] apresentam um modelo-insumo produto onde os coeficientes técnicos e a demanda final são variáveis aleatórias que seguem uma distribuição exponencial com função densidade de probabilidade do tipo: f (ai j ) = λi j e−λi j ai j. 28. (3.21).

(107) Capítulo 3. A incerteza no modelo insumo-produto. onde λi j = 1/E(ai j ). O caso em que existem apenas dois setores na economia é tratado no e trabalho. O sistema de Leontief é escrito como: Prob[(a11 − 1)x1 + a12 x2 + a13 ≤ 0] = 1 − α1 e e e Prob[a21 x1 + (a22 − 1)x2 + a23 ≤ 0] = 1 − α2 e e e. (3.22). onde a11 , a12 , a21 e a22 são os coeficientes técnicos aleatórios segundo (3.21) e, da mesma e e e e forma, a13 e a23 são os componentes da demanda final (apesar da notação, não são “coefie e cientes”). Assim, αi define a probabilidade (1 − αi ) de que a demanda intersetorial (ai1 x1 + e ai2 x2 ) mais a demanda final (ai3 ) seja menor ou igual à quantidade produzida pelo setor i (xi ). e e Para encontrar a solução do sistema (3.22) os autores, a partir de desenvolvimentos analíticos, encontram o sistema equivalente determinístico não linear e resolvem para x1 e x2 numericamente com o método de Newton-Raphson. Os resultados mostram que, quanto maior αi (α1 = α2 ), menor serão x1 e x2 . Na aplicação numérica, tem-se que para α1 = α2 = 0.4 a solução tem o mesmo valor que a solução encontrada no sistema de Leontief tradicional (determinístico). O exemplo mostra que a incerteza de não satisfazer a demanda é reduzida ao se exigir níveis maiores de produção para cada setor. Em 1982, Wibe [30] ressalta que os coeficientes fornecidos por tabelas de insumo-produto são “médias industriais” (industrial averages), no sentido de que dentro de um setor ou indústria é considerada uma grande quantidade e diversidade de empresas. Isto implica que empresas de um mesmo setor reagem de forma diferente a variações na demanda final. Dado este fato, Wibe estuda a questão da distribuição dos coeficientes técnicos a partir de uma grande base de dados elaborada pelo Escritório Central de Estatística da Suécia (Sweden´s Central Bureau of Statistics) em 1979. Os resultados do estudo mostraram que existe uma grande dispersão entre os coeficientes técnicos das empresas (ou fábricas) dentro de uma mesma indústria e empresas com coeficientes de emprego pequenos possuem também pequenos coeficientes de insumos intermediários. Em um trabalho mais detalhado que o primeiro [27], novamente Hanseman [31] revisa e critica o trabalho de Gerking [26] e procura avaliar o desempenho dos estimadores dos coetot ficientes técnicos através dos métodos de estimador de razão (αi j = Zitot j /X j ), OLS, WBM,. DM e TSLS para o caso de pequenas amostras através do uso de simulações computacionais (Monte Carlo study). As conclusões são: (i) geralmente o melhor estimador é o OLS, à exceção. 29.