Integração de funções vetoriais

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(1)Universidade Federal de Santa Catarina Curso de P´ os-Gradua¸ c˜ ao em Matem´ atica e Computa¸ c˜ ao Cient´ıfica. Integra¸ c˜ ao de Fun¸ c˜ oes Vetoriais. Patricia Hess Orientador: Prof. Dr. Ruy Exel. Florian´ opolis Fevereiro de 2003.

(2) Universidade Federal de Santa Catarina Curso de P´ os-Gradua¸ c˜ ao em Matem´ atica e Computa¸ c˜ ao Cient´ıfica. Integra¸ c˜ ao de Fun¸ c˜ oes Vetoriais. Disserta¸ c˜ ao apresentada ao Curso de P´ osGradua¸ c˜ ao em Matem´ atica e Computa¸ c˜ ao Cient´ıfica, do Centro de Ciˆ encias F´ısicas e Matem´ aticas da Universidade Federal de Santa Catarina, para a obten¸ c˜ ao do grau ´ de Mestre em Matem´ atica, com Area de Concentra¸ c˜ ao em An´ alise.. Patricia Hess Florian´ opolis Fevereiro de 2003.

(3) Integra¸ c˜ ao de Fun¸ c˜ oes Vetoriais por Patricia Hess Esta Disserta¸cão foi julgada para a obten¸cão do T´ıtulo de “Mestre”, ´ Area de Concentra¸caõ em Análise, e aprovada em sua forma final pelo Curso de Pós-Gradua¸cão em Matemática e Computa¸cão Cient´ıfica.. Igor Mozolevski (Coordenador) Comissão Examinadora. Prof. Dr. Ruy Exel (UFSC-Orientador). Prof. Dr. Adalberto Panobianco Bergamasco (UFSCar). Prof. Dr. Antonio Carlos Gardel Leitão (UFSC). Prof. Dr. Igor Mozolevski (UFSC). Florian´ opolis, Fevereiro de 2003.. ii.

(4) ` Deus A ` minha mãe, Marta A Ao meu pai, Anilson ` minha irmã, Dayse A. iii.

(5) Agradecimentos Agrade¸co aos meus pais e à minha irmã, que são tudo o que eu mais amo. Ao meu namorado Márcio, que me apoiou em todos os momentos e sempre estava pronto a me ajudar. Aos meus amigos Lucicléia, Danilo, Aline, Gilberto, Rafael, Edson e Divane pelos bons momentos de alegria e pelo apoio nas horas dif´ıceis. Ao professor Ruy Exel, que é um exemplo de pessoa e de profissional a ser seguido por todos. ` CAPES(Coordena¸cão de Aperfei¸coamento de Pessoal de N´ıvel Superior) A pelo suporte financeiro.. iv.

(6) Abstract In this work, we consider a measure space (S, Σ, µ), a Banach space X and functions f : S −→ X. For these functions, we define the Bochner, Pettis and Dunford integrals. From this basis, we present the inconditional integrability theory, and prove that it can be seen as the Pettis integrability theory, thus establishing a clear link between them.. v.

(7) Resumo Neste trabalho consideraremos um espa¸co de medida (S, Σ, µ), X um espa¸co de Banach e fun¸cões f : S −→ X. Para estas fun¸cões vamos definir as integrais de Bochner, de Pettis e de Dunford. A partir do conhecimento destas integrais, vamos apresentar a teoria de integra¸cão incondicional. Vamos demonstrar que esta teoria pode ser vista como a teoria de integra¸cão de Pettis.. vi.

(8) Conte´ udo. Introdu¸ c˜ ao. 1. 1 Integral de Bochner. 2. 1.1. Teorema de Pettis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2. 1.2. Fun¸cões Bochner integráveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8. 2 S´ eries. 16. 2.1. Convergência incondicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16. 2.2. Teorema de Orlicz-Pettis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20. 3 Integrais de Pettis e Dunford. 25. 4 Integra¸ c˜ ao Incondicional. 30. vii.

(9) Introdu¸c˜ ao Iniciamos este trabalho apresentando o conceito e alguns resultados sobre a integral de Bochner. Para isso, vamos trabalhar com fun¸cões simples, fraca e fortemente mensuráveis num espa¸co de Banach, já que falar apenas em mensurabilidade não é suficiente. Em seguida, procuramos mostar alguns resultados sobre convergência incondicional de séries e então demonstrar o Teorema de Orlicz-Pettis. Além disso, vamos apresentar mais duas integrais vetoriais, a integral de Pettis e a de Dunford, e procurar saber quais as rela¸cões entre estas integrais. Por u ´ltimo, com base no artigo Unconditional integrability for dual actions, Ruy Exel, apresentamos a teoria de integra¸cão incondicional, a qual generaliza a teoria de Bochner. Com isso, alcan¸camos o nosso objetivo que é demonstrar a igualdade de duas no¸cões de integra¸cão, a integra¸cão de Pettis e a integra¸cão incondicional.. 1.

(10) Cap´ıtulo 1. Integral de Bochner Neste trabalho vamos considerar um espa¸co de medida (S, Σ, µ) com S completo1 e X um espa¸co de Banach. Vamos denotar por X ∗ o dual topológico de X. Este cap´ıtulo dá in´ıcio ao estudo de integra¸cão de fun¸cões vetoriais. Para isto, vamos definir alguns tipos de fun¸cões e apresentar o Teorema de Pettis. A primeira integral vetorial que vamos definir será a integral de Bochner. Apresentaremos também o Teorema de Bochner e o Teorema da Convergência Dominada para fun¸cões Bochner integráveis.. 1.1. Teorema de Pettis. Defini¸ c˜ ao 1.1 Dizemos que f : S −→ X é uma fun¸c˜ ao 1. fracamente mensur´ avel se para todo x∗ ∈ X ∗ , a fun¸c˜ ao x∗ ◦ f é mensur´ avel. 2. simples se existem vetores f1 , · · · , fn de X e conjuntos E1 , · · · , En de Σ, disjuntos n X dois a dois, com µ(Ei ) < ∞ quando fi 6= 0 tais que f (s) = fi χEi (s) para todo i=1. s ∈ S, sendo χE a fun¸c˜ ao caracter´ıstica do conjunto E ⊆ S. 3. fortemente mensur´ avel se existe uma seq¨ uência de fun¸c˜ oes simples que converge 1. S é completo se dado um conjunto A ⊆ S mensur´ avel de medida nula, qualquer que seja B ⊆ A temos. que B é mensur´ avel.. 2.

(11) pontualmente para f q.s.2 em S.. n [. que. Sem perda de generalidade, no caso em que f é simples podemos assumir n n X [ Ei = S. De fato, se f = fi χEi , então f (s) = 0 para todo s ∈ S \ Ei , portanto. i=1. i=1 n [. chamando En+1 = S \. i=1. Ei e fn+1 = 0, temos S =. i=1. n+1 [. Ei e f =. i=1. n+1 X. fi χEi .. i=1. Para facilitar a prova do teorema de Pettis, vamos primeiro demonstrar os lemas seguintes. 0. Lema 1.2 Sejam f, f : S −→ R e Z ⊆ S um conjunto mensur´ avel de medida nula tal 0. 0. que f = f fora de Z. Se f é mensur´ avel, ent˜ ao f é mensur´ avel. Prova.. Sejam a ∈ R e Z o conjunto da hipótese (que tem medida zero).. Então, f. 0 −1. (a, ∞) = (f. Como (f. 0 −1. 0 −1. (a, ∞) ∩ Z) ∪ (f. 0 −1. (a, ∞) ∩ Z) ⊆ Z, então (f. também é mensurável e f. 0 −1. (a, ∞) ∩ Z c ) = (f. 0 −1. 0 −1. (a, ∞) ∩ Z) ∪ (f −1 (a, ∞) ∩ Z c ).. (a, ∞) ∩ Z) é mensurável. Logo, (f −1 (a, ∞) ∩ Z c ). (a, ∞) é mensurável. . Lema 1.3 Seja X um espa¸co de Banach separ´ avel. Ent˜ ao existe {x∗n }n em X ∗ com kx∗n k = 1 tal que, para todo x ∈ X, kxk = sup |x∗n (x)|. n∈N. Prova.. Seja {xn }n denso em S(0, 1) = {x ∈ X : kxk = 1}. Pelo teorema. de Hahn-Banach ([6], pg 223, teorema 4.3-3), para cada n existe um x∗n ∈ X ∗ tal que |x∗n (xn )| = kxn k = 1 e kx∗n k = 1. Considere então a seq¨ uência {x∗n }n . Dado x ∈ X, é óbvio que sup |x∗n (x)| ≤ kxk. n∈N. x. Seja > 0. Então existe um n ∈ N tal que kxk − xn < . Assim. 2. quase sempre ([9], pg 15). 3.

(12) |x∗n (x)| = |x∗n (x + kxkxn − kxkxn )| ≥ |x∗n (kxkxn )| − |x∗n (x − kxkxn )| ≥ kxk|x∗n (xn )| − kx∗n kkx − kxkxn k = kxk − kx − kxkxn k ≥ kxk − kxk = kxk(1 − ). Temos então que kxk(1 − ) ≤ sup |x∗n (x)| ≤ kxk, o que implica sup |x∗n (x)| = kxk. n∈N. n∈N. Lema 1.4 Seja G o conjunto das fun¸c˜ oes g =. ∞ X. xi χBi , com xi ∈ X, Bi ∈ Σ para todo. i=1. i e Bi ∩ Bj = ∅ para i 6= j. 1. Se g ∈ G ent˜ ao g é fortemente mensur´ avel. n→∞. 2. Suponha que existe uma seq¨ uência {gn }n em G tal que gn −→ f uniformemente. Ent˜ ao, f é fortemente mensur´ avel. Prova. 1. Seja g =. ∞ X. xi χBi ∈ G. Fa¸ca, para cada k ∈ N,. i=1. xk (s) =.    xi ,   0,. se s ∈ Bi (i = 1, · · · , k) S se s 6∈ ki=1 Bi. Temos então que {xk }k é uma seq¨ uência de fun¸cões simples e que obviamente converge para g pontualmente. 2. Dado > 0, sabemos que existe h ∈ G tal que kf − hk < (notemos que esta é a norma do supremo). Em particular, tomando = 1, existe h1 ∈ G tal que kf − h1 k < 1. Tomando = processo, dado =. 1 2n ,. 1 2. existe h2 ∈ G tal que kf − h2 k < 12 . Continuando este. n ∈ N, existe hn+1 tal que kf − hn+1 k <. 1 2n .. Sejam g1 = h1 e gn = hn − hn−1 para todo n ≥ 2 (podemos observar que G é um espa¸co vetorial e portanto gn ∈ G), então kf − g1 − · · · − gn k < 4. 1 , 2n−1.

(13) e, portanto, X. n→∞. gk −→ f. k=1. uniformemente. ∞ X. Afirma¸cão:. gn converge absolutamente.. n=2. Para n ≥ 2, kgn k = kf − g1 − · · · − gn − (f − g1 − · · · − gn−1 )k < =⇒. ∞ X. kgn k ≤. n=2. Sendo gi =. ∞ X. ∞ X n=2. 3. 1 2n−1. +. 1 2n−2. 3. =. =⇒. 2n−1. < ∞.. 2n−1. xi,j χB i para cada i, com Bji1 ∩ Bji2 6= ∅ para j1 6= j2 , vamos escrevêj. j=1. la da forma gi =. ∞ X. gi,j com gi,j = xi,j χB i . Então, para cada s ∈ S, j. j=1 ∞ X ∞ X. ∞ X. gi (s) =. i=2. gi,j (s) também é absolutamente convergente. Para concluir isso, observe que. i=2 j=1. para todo i ∞ X j=1. X. ∞. gi,j (s) kgi,j (s)k = = kgi (s)k, j=1. pois para cada s ∈ S, o conjunto {j : gi,j (s) 6= 0} tem no máximo um elemento. Desta forma, ∞ X ∞ X. kgi,j (s)k =. i=2 j=1. ∞ X i=2. kgi (s)k ≤. ∞ X. kgi k < ∞.. i=2. Sejam {An }n a seq¨ uência de conjuntos definida por An = {1, · · · , n} × {1, · · · , n} X ´ fácil ver que fn é uma fun¸cão simples. para todo n e fn (s) = gi,j (s). E (i,j)∈An n→∞. Afirma¸cão: fn (s) −→ f (s) para todo s. Sejam s ∈ S e > 0. Então existe um n0 tal que para todo n > n0 ,. ∞ X i=n. kgi (s)k < . 2. Para i = 1, existe um u ńico j1 tal que s ∈ Bj11 , para i = 2, existe um u ńico j2 tal que s ∈ Bj22 , . . . , para i = n0 , existe um u ńico jn0 tal que s ∈ Bjnn0 . Seja 0. m = max{n0 , j1 , · · · , jn0 }. Então, para todo n > m,. 5.

(14) X X n ∞ X ∞ X X. n X. kfn (s) − f (s)k = gi,j (s) − gi,j (s) = gi,j (s) − gi,j (s). (i,j)∈An. i=1 j=1. (i,j). i=1 j=1. n0 n. n n ∞ X ∞ X X X X X. = gi,j (s) + gi,j (s) − gi,j (s). i=1 j=1. i=n0 +1 j=1. i=1 j=1. X. n ∞ ∞ X X n X. = gi,j (s) − gi,j (s). ≤. ≤. i=n0 +1 j=1 n n X X. i=n0 +1 j=1 ∞ ∞ X X. kgi,j (s)k +. i=n0 +1 j=1 n X. kgi (s)k +. i=n0 +1. kgi,j (s)k. i=n0 +1 j=1 ∞ X. kgi (s)k ≤ 2. i=n0 +1. ∞ X. kgi (s)k < .. i=n0 +1. Teorema 1.5 (Pettis) Uma fun¸c˜ ao f : S −→ X é fortemente mensur´ avel se e somente se 1. f é fracamente mensur´ avel; 2. existe um conjunto mensur´ avel E em S, com µ(E) = 0, tal que f (S \ E) é um subconjunto separ´ avel de X. Prova.. Supondo que f é fortemente mensurável, então existe uma n→∞. seq¨ uência {fn }n de fun¸cões simples tal que fn (s) −→ f (s) q.s. Seja x∗ ∈ X ∗ , ent˜ ao para todo n, x∗ ◦ fn é também uma fun¸cão simples e, portanto, mensurável. Assim, fn é n→∞. fracamente mensurável para todo n. Como fn (s) −→ f (s) q.s. e x∗ é cont´ınuo, ent˜ ao n→∞. n→∞. x∗ (fn (s)) −→ x∗ (f (s)) q.s., isto é, existe um Z ⊆ S com µ(Z) = 0, tal que x∗ (fn (s)) −→ n→∞. x∗ (f (s)) para todo s ∈ S \ Z. Seja q = χS\Z , então q(s)x∗ (fn (s)) −→ q(s)x∗ (f (s)) para todo s ∈ S. Como qx∗ ◦ fn é mensurável, qx∗ ◦ f também o é. Assim, x∗ ◦ f = qx∗ ◦ f q.s. e pelo Lema 1.2, x∗ ◦ f é mensurável e, portanto, f é fracamente mensurável. Sabemos que fn (S) é um conjunto finito para todo n, então A =. ∞ [. fn (S). n=1. é um conjunto enumerável e, portanto, A é separável. Como f (S \ Z) ⊆ A, então f (S \ Z) é separável.. 6.

(15) Vamos supor agora que f é fracamente mensurável. Sem perda de generalidade, podemos assumir que X é separável. Pelo Lema 1.3, dado y ∈ X existe uma seq¨ uência {x∗n }n ⊆ X ∗ , com kx∗n k = 1 para todo n, tal que kf (s) − yk = sup |x∗n (f (s) − y)|. n∈N. Como X é separável, dado n ∈ N, X pode ser coberto por um conjunto enumerável de. conjunto Bj,n. 1 n.. Como kf (s) − xj,n k é mensurável, o ∞ [ = {s ∈ S : f (s) ∈ Dj,n } é mensurável e S = Bj,n . Definamos. bolas abertas Dj,n centradas em xj,n e de raio. j=1. gn (s) = xi,n. se. 0. s ∈ Bi,n = Bi,n −. i−1 [. Bj,n .. j=1. S∞ 0 Então S = ˙ j=1 Bj,n e, portanto, kf (s) − gn (s)k < n1 para todo s ∈ S. Como ∞ X gn = xi,n χB 0 para todo n e f é limite uniforme da seq¨ uência {gn }n , pelo Lema i=1. i,n. 1.4, f é fortemente mensurável. Corol´ ario 1.6 Seja uma seq¨ uência {fn }n de fun¸c˜ oes fortemente mensur´ aveis.. Se. n→∞. fn (s) −→ f (s) q.s., ent˜ ao f é fortemente mensur´ avel. Prova.. ´ fácil ver que f é fracamente mensurável. Basta então saber se E. sua imagem é separável. Como cada fn é fortemente mensurável, vamos assumir sem perda de generalidade que a sua imagem é separável. Seja Dn = {dn1 , dn2 , · · · , dnk , · · ·} um conjunto ∞ [ denso em fn (S) para todo n. De fato, D = Dn é enumerável pois π : N × N −→ D n=1. definida por π(n, m) = dm e uma sobreje¸cão. Então D é separável. n ´ ∞ [ Afirma¸cão: F = fn (S) ⊆ D. n=1. Seja y ∈ F então existe um n0 tal que y ∈ fn0 (S). Dado > 0, existe k tal que ky − dnk 0 k < . Portanto, y ∈ Dn0 donde y ∈ D. Então F é separável. Como f (S) ⊆ F , então f (S) é separável. . 7.

(16) 1.2. Fun¸ c˜ oes Bochner integr´ aveis. Seja f uma fun¸cão simples, igual ao vetor yi 6= 0 em Bi ∈ Σ para todo n [ Bi . Definimos i = 1, 2, · · · , n, com Bi ∩ Bj = ∅ se i 6= j e µ(Bi ) < ∞, e f (s) = 0 em S \ i=1. a integral de Bochner de f sobre um conjunto mensurável E por Z f dµ =. n X. E. yi µ(Bi ∩ E).. i=1. Lema 1.7 Seja f : S −→ X uma fun¸c˜ ao simples. Ent˜ ao para todo E ∈ Σ Z Z. f dµ ≤ kf (s)kdµ(s).. E. E. Prova.. Seja f =. n X. yi χBi . Então, para todo E ∈ Σ. i=1. n Z. X. f dµ = . y µ(E ∩ B ) i i. E. i=1. n X. ≤. kyi kµ(E ∩ Bi ) =. n Z X. i=1. i=1. kyi kχBi dµ =. Z X n. kyi kχBi dµ. E i=1. E. Z ≤. kf (s)kdµ(s). E. Podemos observar que se f e g são fun¸cões simples, f + g também é simples e Z. Z (f + g) dµ =. S. Z f dµ +. S. g dµ. S. Vamos então verificar a igualdade acima já que é fácil ver que f + g é simples. Sejam n m X X f= xi χBi e g = yj χDj , então i=1. j=1. Z. Z X n. (f + g)dµ = S n X m X i=1 j=1. S. xi χBi +. i=1. (xi + yj )µ(Bi ∩ Dj ) =. m X. yj χDj dµ =. (xi + yj )χBi ∩Dj dµ =. S i=1 j=1. j=1 n X. Z X n X m. xi µ(Bi ) +. i=1. m X j=1. Z. Z. g dµ.. f dµ +. yj µ(Dj ) = S. S. Agora, para as fun¸cões que não são simples temos a seguinte defini¸cão.. 8.

(17) Defini¸ c˜ ao 1.8 Uma fun¸c˜ ao f definida num espa¸co de medida (S, Σ, µ) com valores num espa¸co de Banach X é Bochner integr´ avel se existe uma seq¨ uência de fun¸c˜ oes simples {fn }n tal que lim kfn (s) − f (s)k = 0 q.s. e n→∞. Z lim. n→∞ S. kf (s) − fn (s)kdµ(s) = 0.. (1.1). Para qualquer conjunto B ∈ Σ, a integral de Bochner de f sobre B é definida por Z. Z f dµ = lim. n→∞ B. B. fn dµ.. (1.2). Observa¸c˜ ao: Devemos justificar tal defini¸cão. Primeiro, podemos notar que a integral de Bochner só está definida para fun¸cões fortemente mensuráveis. Pelo Teorema de Pettis 1.5, a fun¸cão kfn (s)−f (s)k é mensurável, por isso a integral na condi¸cão (1.1) faz sentido. Para justificar a igualdade (1.2), dada uma seq¨ uência {fn }n de fun¸cões simples que satisfaz as Z condi¸cões da defini¸cão, considere a seq¨ uência fn dµ . Sejam n, k n´ umeros inteiros, B. n. então Z Z Z Z. . fk dµ −. fn dµ = fk − fn dµ kfk (s) − fn (s)kdµ(s) ≤. ≤ B. B. B. B. Z ≤. Z kfk (s) − f (s)kdµ(s) +. B. kf (s) − fn (s)kdµ(s). B. Como esta u ´ltima soma converge para zero quando n e k são suficientemente grandes, Z então a seq¨ uência fn dµ é de Cauchy e, portanto, convergente em X. Desta forma, B n Z existe o lim fn dµ. n→∞ B. Além disso, temos que mostrar que este limite independe da seq¨ uência escolhida, ou seja, qualquer que seja a seq¨ uência de fun¸cões simples que satisfa¸ca (1.1), o limite será o mesmo. Sejam {fn }n e {gn }n seq¨ uências de fun¸cões simples tais que n→∞. n→∞. 1. kfn (s) − f (s)k −→ 0 e kgn (s) − f (s)k −→ 0 q.s., Z. Z 2. lim. n→∞ S. kf (s) − fn (s)kdµ(s) = lim. n→∞ S. kf (s) − gn (s)kdµ(s) = 0.. 9.

(18) Seja n um n´ umero natural qualquer. Z Z. Z. . fn dµ −. gn dµ. ≤ (fn − gn ) dµ ≤ B. B. B. Z. Z. ≤. kfn (s) − f (s)kdµ(s) +. kf (s) − gn (s)kdµ(s). B. B. Esta u ´ltima soma converge para zero quando n → ∞, portanto Z lim. n→∞ B. Z fn dµ = lim. n→∞ B. gn dµ.. Teorema 1.9 (Bochner) Uma fun¸c˜ ao f fortemente mensur´ avel é Bochner integr´ avel se e somente se, kf (s)k é integr´ avel. Prova. Suponha que f é Bochner integrável. Então existe uma seq¨ uência Z n→∞ {fn }n de fun¸cões simples tal que fn (s) −→ f (s) q.s. e lim kf (s) − fn (s)kdµ(s) = 0. n→∞ S. Como kf (s)k ≤ kfn (s)k + kf (s) − fn (s)k, basta mostrar que kfn (s)k e kf (s) − fn (s)k s˜ ao mn mn X X integr´ aveis. De fato, kfn (s)k é integrável pois se fn = fi χBi , então kfi kµ(Bi ) < ∞. i=1 i=1 Z Além disso, kf (s) − fn (s)k também é integrável. Claro, se lim kf (s) − fn (s)kdµ(s) = 0 n→∞ S Z kf (s) − fn (s)kdµ(s) < ∞. Então, kf (s)k então existe um n0 tal que para todo n > n0 , S. é integrável. Por outro lado, seja {fn }n uma seq¨ uência de fun¸cões simples tal que n→∞. fn (s) −→ f (s) q.s. Fa¸ca. gn (s) =.    fn (s), se kfn (s)k ≤ 3 kf (s)k 2  . Então,. 0, se kfn (s)k > 32 kf (s)k. a seq¨ uência {gn }n de fun¸cões simples satisfaz kgn (s)k. ≤. 3 2 kf (s)k. e. lim kf (s) − gn (s)k = 0 q.s. Além disso, kf (s) − gn (s)k é integrável. De fato,. n→∞. 3 5 kf (s) − gn (s)k ≤ kf (s)k + kgn (s)k ≤ kf (s)k + kf (s)k = kf (s)k 2 2 e como kf (s)k é integrável, ent˜ ao kf (s) − gn (s)k é integrável. Pelo Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue ([7], pg 321, teorema 11.32) Z lim. n→∞ S. Z kf (s) − gn (s)kdµ(s) =. lim kf (s) − gn (s)kdµ(s) = 0.. S n→∞. 10.

(19) Portanto, f é Bochner integrável. Vamos considerar agora, uma fun¸cão f : N −→ X e µ a medida de contagem ∞ X em N. Neste caso f é Bochner integrável se e somente se f (n) converge absolutamente. n=1. Usando o Teorema de Bochner, a demostra¸cão é imediata. Primeiro, é fácil ver que f é fortemente mensurável. Então, Z f é Bochner integrável ⇐⇒. kf (n)kdµ < ∞. N. Como. ∞ X. Z kf (n)k =. kf (n)kdµ < ∞, então vale a afirma¸cão. N. n=1. Corol´ ario 1.10 Se f : S −→ X é Bochner integr´ avel, ent˜ ao para todo B ∈ Σ Z Z. i. kf (s)kdµ(s); f dµ ≤ B. B. Z ii. F : Σ −→ X, dada por F (B) =. f dµ, é σ-aditiva. B. Prova. n→∞. i. Seja {gn }n uma seq¨ uência de fun¸cões simples tal que gn (s) −→ f (s) q.s. e, assim como no Teorema de Bochner 1.9, podemos assumir que kgn (s)k ≤ 32 kf (s)k. Ent˜ ao n→∞. kgn (s)k −→ kf (s)k q.s. Pelo teorema da convergência dominada de Lebesgue, para todo B ∈ Σ, Z lim. n→∞ B. Z kgn (s)kdµ(s) =. kf (s)kdµ(s). B. Da´ı Z . Z. Z. . f dµ = lim. gn dµ = lim gn dµ. n→∞ ≤ n→∞ B B B Z Z ≤ lim kgn (s)kdµ(s) = kf (s)kdµ(s). n→∞ B. B. ii. Note que F é aditiva. De fato, sejam B =. m [. Bi tal que Bi ∈ Σ para todo. i=1. i = 1, · · · , m e Bi ∩ Bj = ∅ para i 6= j, e ainda {fn }n uma seq¨ uência de fun¸c˜ oes Z n→∞ simples tal que fn (s) −→ f (s) q.s. e lim kf (s) − fn (s)kdµ(s) = 0. Então, n→∞ S. Z. Z. Z. f dµ = lim Sm. i=1. Bi. n→∞ Sm B i=1 i. 11. fn dµ = lim. n→∞ S. fn χSm dµ = i=1 Bi.

(20) Z lim. n→∞ S. fn. X m. m Z X χBi dµ = lim fn χBi dµ = n→∞. i=1. m X. Z lim. fn χBi dµ =. n→∞ S i=1. S. i=1. m Z X. f dµ.. Bi. i=1. Como f é Bochner integrável, então kf (s)k é integrável. Dados k ∈ N e B =. ∞ [. Bi ,. i=1. com Bi ∈ Σ disjuntos dois a dois, temos Z. Z S∞. i=1. f dµ + Sk. Bi. k Z X. Z. f dµ = i=1. Bi. S∞. Bi. i=k+1. ∞ [. Considerando Ek =. f dµ =. i=1. Z f dµ +. S∞. Bi. i=k+1. f dµ. Bi. Bi , temos que. i=k+1. Z. Ek. Z. f dµ ≤. k→∞. kf (s)kdµ(s) −→ 0. Ek. (ver [5],teorema 10.5). Portanto, k Z X. Z S∞. i=1. f dµ = lim. k→∞. Bi. lim. i=1. k Z X. k→∞. i=1. !. Z f dµ +. Bi. S∞. i=k+1. f dµ =. Bi. ∞ Z X i=1. f dµ. =. Bi. f dµ.. Bi. Corol´ ario 1.11 Sejam X e Y espa¸cos de Banach e T : X −→ Y um operador linear limitado. Se f é uma fun¸c˜ ao Bochner integr´ avel com valores em X, ent˜ ao T ◦ f é uma fun¸c˜ ao Bochner integr´ avel com valores em Y e Z. Z T ◦ f dµ = T. f dµ B. B. para todo B ∈ Σ. n→∞. Prova. Seja {fn }n uma seq¨ uência de fun¸cões simples tal que fn (s) −→ Z f (s) q.s. e lim kf (s) − fn (s)kdµ(s) = 0. Aplicando T em cada elemento da seq¨ uência, n→∞ S. a nova seq¨ uência {T ◦ fn }n também é uma seq¨ uência de fun¸cões simples e, portanto, integráveis.. 12.

(21) Pela linearidade e continuidade de T, Z Z T ◦ fn dµ = T fn dµ e lim T (fn (s)) = T lim fn (s) = T (f (s)) q.s. B. n→∞. B. n→∞. e, portanto, T ◦ f é uma fun¸cão fortemente mensurável. Como kf (s)k é integrável e T é limitada, kT (f (s))k também é integrável. Pelo Teorema de Bochner 1.9, T ◦ f é Bochner integrável. Além disso, Z Z lim kT (f (s)) − T (fn (s))kdµ(s) ≤ lim kT kkf (s) − fn (s)kdµ(s) =. n→∞ S. n→∞ S. Z kT k lim. n→∞ S. kf (s) − fn (s)kdµ(s) = 0.. Então, Z. Z T ◦ f dµ = lim. n→∞ B. B. Z. Z. T ◦ fn dµ = lim T. fn dµ = T. n→∞. B. f dµ. B. Com este corolário, fica fácil mostrar que se f e g são Bochner integráveis, então f + g também o é e Z. Z (f + g)dµ =. S. Z f dµ +. S. g dµ. S. ´ fácil ver que f + g é Bochner integrável. Dado x∗ ∈ X ∗ , E Z Z Z Z Z ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ x (f + g)dµ = x ◦ (f + g)dµ = (x ◦ f + x ◦ g)dµ = x ◦ f dµ + x∗ ◦ gdµ = S. S. S. x∗. Z S. f dµ + x∗. Z. S. g dµ = x∗. S. Z. Z f dµ +. S. S. g dµ. S. Defini¸ c˜ ao 1.12 Dizemos que µ : Σ −→ X é uma medida vetorial se → − i. µ(∅) = 0 ∈ X; ii. µ é σ-aditiva. Defini¸ c˜ ao 1.13 Seja µ : Σ −→ X uma medida vetorial. Dizemos que µ é de varia¸c˜ ao limitada sobre E ∈ Σ se X n n [ |µ|(E) = sup kµ(Ei )k : E = Ei , Ei ∩ Ej = ∅ para i 6= j, n ∈ N < ∞. i=1. i=1. |µ|(E) é chamada varia¸c˜ ao total de µ sobre E. 13.

(22) Teorema 1.14 Sejam f uma fun¸c˜ ao Bochner integr´ avel e F : Σ −→ X dada por Z Z kf kdµ para todo E ∈ Σ. F (E) = f dµ. Ent˜ ao F é de varia¸c˜ ao limitada e |F |(E) = E. E. Prova.. Seja E =. n [. Ei com Ei ∈ Σ disjuntos dois a dois, então. i=1 n X i=1. n Z X. kF (Ei )k =. n Z X. f dµ ≤. Ei. i=1. Z kf kdµ =. Ei. i=1. kf kdµ < ∞. E. Z Portanto F é de varia¸cão limitada e |F |(E) ≤. kf kdµ. E. Seja > 0. Como f é Bochner integrável, considere {fn }n uma seq¨ uência Z n→∞ de fun¸cões simples tal que fn (s) −→ f (s) q.s. e lim kf (s) − fn (s)kdµ(s) = 0. Fixe n0 n→∞ S Z 0 tal que kf (s) − fn0 (s)kdµ(s) < e escolha uma parti¸cão {Ej } para E tal que S. Z. Z. fn0 dµ =. 0. Ej. 0. kfn0 kdµ.. Ej. De fato, esta parti¸cão existe. Sendo fn0 =. m X. 0. yj χFj , tome cada conjunto Ej como sendo. j=1. Fj ∩ E para cada j = 1, · · · , m. Portanto, m Z X. j=1. 0. Ej. Z. fn0 dµ kfn0 kdµ. = E. Escolha agora uma parti¸cão E =. p [. Bj que é um refinamento da anterior,. j=1. tal que |F |(E) −. p Z X. j=1. Bj. f dµ < .. Z p Z X. = Mesmo com esta nova parti¸cão, podemos notar que f dµ kfn0 kdµ. n 0. B E j j=1

(23)

(24)

(25)

(26) Usando a desigualdade

(27) kxk − kyk

(28) ≤ kx − yk, temos

(29) p

(30) Z X

(31)

(32)

(33) j=1. Bj.

(34)

(35). Z p Z p Z

(36) X. X. fn0 dµ

(37) ≤ f dµ − fn0 dµ ≤ kf − fn0 kdµ =.

(38) Bj Bj Bj Bj. Z . f dµ −. j=1. j=1.

(39)

(40)

(41) Z Z p Z

(42)

(43)

(44) X

(45).

(46)

(47)

(48). fn0 dµ kfn0 kdµ

(49) =

(50) |F |(E) − kf − fn0 kdµ < =⇒

(51) |F |(E) −

(52)

(53) < 2 =⇒.

(54) Bj E E j=1 Z Z kf kdµ. kfn kdµ = |F |(E) = lim n→∞ E. E. 14.

(55) Z Corol´ ario 1.15 Se f e g s˜ ao fun¸c˜ oes Bochner integr´ aveis e. Z f dµ =. E. g dµ para cada E. E ∈ Σ, ent˜ ao f = g q.s. Z Prova.. Seja F : Σ −→ X dada por F (E) =. (f − g) dµ. Então, E. F (E) = 0 para todo E ∈ Σ. Portanto, |F |(E) = 0 para todo E ∈ Σ. Mas ent˜ ao Z 0 = |F |(S) = kf − gk dµ ⇒ kf − gk = 0 q.s. Isto acontece somente se f = g S. q.s. Teorema 1.16 (Teorema da Convergˆ encia Dominada) Sejam (S, Σ, µ) um espa¸co de medida finita e {fn }n uma seq¨ uência de fun¸c˜ oes Bochner integr´ aveis definidas em S com valores num espa¸co de Banach X. Se lim fn (s) = f (s) q.s. e existe uma fun¸c˜ ao g n→∞. integr´ avel com valores reais definida em S tal que kfn (s)k ≤ g(s) q.s., ent˜ ao f é Bochner Z Z integr´ avel e lim fn dµ = f dµ para todo E ∈ Σ. n→∞ E. Prova.. E. Como fn é fortemente mensurável para todo n, então f também. é fortemente mensurável pelo Corolário 1.6. Para mostrar que f é Bochner integrável, basta mostrar que kf k é integrável. n→∞. n→∞. Sabemos que fn (s) −→ f (s) q.s., então kfn (s)k −→ kf (s)k q.s., o que implica kf (s)k ≤ g(s) q.s. Portanto, kf (s)k também é integrável, o que implica que f é Bochner integrável. Além disso, kf (s)−fn (s)k ≤ kf (s)k+kfn (s)k ≤ 2 g(s), isto é, kf (s)−fn (s)k é integrável. Usando o Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue, temos Z. Z lim. n→∞ E. kf (s) − fn (s)kdµ(s) =. lim kf (s) − fn (s)kdµ(s) = 0, ∀ E ∈ Σ.. E n→∞. Portanto, para todo E ∈ Σ, Z. Z f dµ = lim E. n→∞ E. fn dµ. . 15.

(56) Cap´ıtulo 2. S´ eries Neste cap´ıtulo vamos relembrar de algumas defini¸cões que nos serão u ´teis. Vamos apresentar o conceito de “net”e sua condi¸cão de convergência e, estudar a convergência incondicional de séries. Além disso, vamos demonstrar o Teorema de Orlicz-Pettis, o qual será de grande importância, usando os teoremas de Pettis e o de Bochner vistos no cap´ıtulo 1.. 2.1. Convergˆ encia incondicional Antes de falarmos em convergência incondicional, vamos apresentar algu-. mas defini¸cões. Defini¸ c˜ ao 2.1 Um conjunto dirigido I é um conjunto com uma rela¸c˜ ao de ordem “≤” tal que, dados i, j ∈ I, existe k ∈ I tal que i, j ≤ k. Defini¸ c˜ ao 2.2 Dizemos que um net em X é uma fam´ılia {xi }i∈I de elementos de X indexada por um conjunto dirigido I. Defini¸ c˜ ao 2.3 Dado I um conjunto dirigido, dizemos que o net {xn }n∈I em X converge se existe y ∈ X tal que, dado > 0 existe i0 tal que para todo i ≥ i0 , kxi − yk < . Defini¸ c˜ ao 2.4 Dizemos que um net {xn }n∈I , em X é de Cauchy se dado > 0 existe i0 ∈ I tal que para todos i > j > i0 , tem-se kxi − xj k < . 16.

(57) Podemos notar que todo net convergente é de Cauchy. Considere o conjunto F = {F ⊆ N : F é finito}. Notemos que F é um conjunto dirigido por inclusão de conjuntos pois, dados E, H ∈ F, podemos encontrar F ∈ F tal que F ⊇ E, H. ∞ X Defini¸ c˜ ao 2.5 Dizemos que uma série xn em X converge incondicionalmente para n=1 X y ∈ X se o net xn converge para y. F ∈F. n∈F. Proposi¸ c˜ ao 2.6 Todo net de Cauchy converge em X. Sejam I um conjunto dirigido e {xn }n∈I um net de Cauchy em. Prova.. X. Seja = 1, então existe n1 tal que, para todo n, m ≥ n1 , kxn − xm k < 1. Chame 0. 0. y1 = xn1 . Seja = 21 , então existe n2 tal que, para todo n, m ≥ n2 , kxn − xm k < 12 . Seja 0. n2 ≥ n2 , n1 e chame y2 = xn2 . Continuando esse processo, dado = 0. 1 k. 0. vai existir nk tal. 0. que para todo n, m ≥ nk , kxn − xm k < k1 . Seja nk ≥ nk , nk−1 e chame yk = xnk . Desta forma, construimos a seq¨ uência {yk }k . Afirma¸cão: {yk }k é de Cauchy. Sejam > 0 e k0 ∈ N tal que. 1 k0. < . Para todos k, l ≥ k0 , temos que. nk , nl ≥ k0 . Logo, kyk − yl k = kxnk − xnl k <. 1 < . k0. Portanto {yk }k converge em X. Seja y = lim yk . Dados > 0 e k0 tal que k→∞. 2 k0. < , se n ≥ nk0 , então kxn − yk ≤ kxn − xnk0 k + kxnk0 − yk <. 1 1 2 + = < . k0 k0 k0 . Teorema 2.7 (Condi¸ c˜ ao de Cauchy) A série. ∞ X. xn converge incondicionalmente se. n=1. e somente se dado > 0 existe F ∈ F tal que, para todo H ∈ F disjunto de F, temos. X . xn . < . n∈H. 17.

(58) ∞ X Prova. Suponha que a série xn convirja incondicionalmente, ent˜ ao n=1 X converge e portanto é de Cauchy. Seja > 0, então existe F ∈ F o net xn F ∈F n∈F. X X. tal que para todos E, G ⊇ F em F, xn − xn < . Seja H ∈ F disjunto de F. n∈E. n∈G. Considerando os conjuntos E = H ∪ F e G = F que são finitos e contêm F,. . X X X. xn = xn − xn . < . n∈H. n∈E. n∈G. Provando a rec´ıproca, seja > 0. Então existe F ∈ F tal que para todo. X . H ∈ F disjunto de F tem-se xn < 2 . Sejam E, G ⊇ F em F. Considere os conjuntos 0. n∈H. 0. E = E \ E ∩ G e G = G \ E ∩ G que estão em F e além disso, disjuntos de F. Então. . X X X X X X. x − x = x − x ≤ x + x n n n n n n < .. n∈E. Assim o net. n∈E 0. n∈G. X. n∈G0. n∈E 0. n∈G0. xn. é de Cauchy e portanto convergente. Logo, a série F ∈F. n∈F. ∞ X. xn. n=1. converge incondicionalmente. Proposi¸ c˜ ao 2.8 Se uma série. ∞ X. xn em X é absolutamente convergente, ent˜ ao. n=1. ∞ X. xn. n=1. converge incondicionalmente. Prova.. Como X é de Banach, a série. ∞ X. xn converge. Seja > 0, ent˜ ao. n=1. existe k0 tal que para todo k > k0 ,. ∞ X n=k. k. X kxn k < . Se y = lim xn , então para todo k→∞ 2 n=1. k > k0 , k ∞. ∞ X X X. . xn − y = xn ≤ kxn k < .. 2 n=1. n=k+1. n=k+1. X X. k0. . Seja F = {1, · · · , k0 }. Então, xn − y = xn − y < 2 . Considere n∈F. n=1. G ⊇ F finito, então X X. X X. X . X . xn − y ≤ xn − xn + xn − y = xn + xn − y . < n∈G. n∈G. X n∈G\F. n∈F. kxn k +. n∈F. n∈G\F. ∞ X < kxn k + < + < . 2 2 2 2 n=k0 +1. 18. n∈F.

(59) Portanto,. ∞ X. xn converge incondicionalmente para y ∈ X.. n=1. A rec´ıproca desta proposi¸cão não é verdadeira, por isso vamos dar um exemplo de uma série que converge incondicionalmente mas não converge absolutamente. Exemplo 1 : Seja xn ∈ l2 tal que na coordenada n tem valor. 1 n. e zero em. todas as outras. ∞ X. A série. kxn k =. n=1. converge. Portanto, a série. ∞ X. ∞ X 1 é a série harmônica que já sabemos que n˜ ao n. n=1. xn não converge absolutamente.. n=1. Afirma¸cão:. ∞ X. xn converge incondicionalmente para y =. . 1,. 1 1 2, · · · , n, · · ·. .. n=1. X ∞ 2 1 ∞ X 2 1 1 Primeiro, y ∈ l2 pois < ∞. Seja > 0. Como conn n2 n=1 n=1 ∞ X 1 2 verge, então existe n0 tal que < . Seja F = {1, 2, · · · , n0 } e considere G ⊇ F n2 n=n0 +1. finito. Então, 2. X 1 X 1 X. = x − y ≤ = n. n2 n2 n6∈G. n∈G. Proposi¸ c˜ ao 2.9 A série se e somente se. ∞ X. ∞ X. n6∈F. ∞ X n=n0 +1. 1 < 2 . n2. xπ(n) converge em X para toda fun¸c˜ ao π : N −→ N bijetora. n=1. xn converge incondicionalmente.. n=1. Prova.. Suponha que. ∞ X. xn não convirja incondicionalmente. Então,. X . xn existe > 0 tal que, para todo F ∈ F , existe G ∈ F disjunto de F tal que ≥ . n∈G. X . Seja F0 = {n1 = 1}, então existe F1 = {n2 , · · · , nk } disjunto de F tal que xn ≥ . n=1. n∈F1. Seja F2 = {nk+1 = min{n ∈ N \ (F ∪ F1 )}}. Então, existe F3 = {nk+2 , · · · , nl } disjunto. X S3. de F0 ∪ F1 ∪ F2 tal que xn ≥ . Seja agora F4 = {nl+1 = min{n ∈ N \ i=0 Fi }}. n∈F3. Então, existe F5 = {nl+2 , · · · , np } disjunto de. 4 [ i=0. esse processo, é fácil ver que N =. ∞ [. Fn .. n=1. 19. X . Fi tal que xn ≥ . Continuando n∈F5.

(60) Seja π : N −→ N definida por π(p) = np . Pela hipótese,. ∞ X. xnp converge,. p=1. X. i. então existe um N tal que, para todos i > j > N, tem-se xnp < . Seja k ∈ N tal p=j. X. que nN ∈ Fk e seja Fm um conjunto tal que xn ≥ e m ≥ mim{n ∈ N : n > k}. n∈Fm. i. X. Escolha j = min{p ∈ N : np ∈ Fm } e i = max{p ∈ N : np ∈ Fm }. Então, xnp = p=j. X. xnp . ≥ , o que é um absurdo. Então a série converge incondicionalmente. np ∈Fm. X Sejam > 0 e y = lim xn . Então, existe F ∈ F tal que, para todo F ∈F n∈F. X. 0. G ⊇ F em F, xn − y < . Seja π : N −→ N bijetora, então existe F ∈ F n∈G. X 0 0 0. xπ(n) − y tal que π(F ) = F e < . Seja m0 = max{n : n ∈ F } e considere G = n∈F 0. m0. X X. {1, 2, · · · , m0 }. Então, G = π(G ) ⊇ F é finito e, portanto, xn −y = xπ(n) −y < n=1 n∈G X. m. . Logo, para todo m > m0 , xπ(n) − y < . 0. n=1. . 2.2. Teorema de Orlicz-Pettis Antes de demonstrar o Teorema de Orlicz-Pettis, vamos apresentar os. seguintes lemas. Lema 2.10 Seja. ∞ X. xn uma série em X. A série. ∞ X. xn converge incondicionalmente. n=1. n=1. se e somente se para cada seq¨ uência crescente de inteiros positivos {kj }j , a seq¨ uência X n xkj converge em norma. j=1. n. Prova. Seja. ∞ X. xn incondicionalmente convergente, então vale a condi¸c˜ ao. n=1. de Cauchy. Seja > 0, então existe F ∈ F tal que para todo E ∈ F disjunto de F,. X . xn uência crescente de inteiros positivos. Seja. < . Seja {kn }n uma seq¨ n∈E. m =. max{n ∈ N : kn ∈ F }, então para todos p > q > m podemos definir. 20.

(61) p. X. X . E = {kq , kq+1 , · · · , kp }, que é finito e disjunto de F. Então xkn = xn < . n=q. Logo. ∞ X. n∈E. xkn é de Cauchy em X e portanto convergente.. n=1. Suponha que. ∞ X. xn não converge incondicionalmente, então existe n=1. X > 0 tal que para todo F ∈ F, existe E ∈ F disjunto de F tal que xn . ≥ . n∈E. X. 1 1 1. Então existe E1 = {n1 < n2 < · · · < nk1 } tal que xn ≥ . Agora, fazendo n∈E1. F = {n ∈ N : n ≤. n1k1 },. {n21. existe E2 =. <. n22. < ··· <. n2k2 }. X. xn tal que ≥ . n∈E2. Continuando esse processo, constru´ımos uma seq¨ uência crescente de inteiros positivos ∞ ∞ X X m , · · ·}. Ent˜ m {n11 , · · · , n1k1 , · · · , nm , · · · , n a o a s´ e rie x converge. A s´ e rie ym , com nk 1 km m. m=1. ym =. km X. m=1. xnm , também converge pois a sua seq¨ uência de somas parciais é uma subseq¨ uência j. j=1. da seq¨ uência das somas parciais de. ∞ X. . Portanto a seq¨ uência {ym }m converge para xnm k m. m=1. 0. Isto é um absurdo, pois kym k ≥ > 0 para todo m. Z Lema 2.11 Se f : S −→ X é Bochner integr´ avel, ent˜ ao. f dµ : E ∈ Σ. é relativa-. E. mente compacto em X. Prova.. Suponha primeiro que f é uma fun¸cão simples, isto é, Z f= f dµ : fi χBi com fi ∈ X, Bi mensurável e Bi ∩ Bj = ∅ para i 6= j. O conjunto E i=1. Z Z. ≤ E ∈ Σ é limitado pois f dµ kf kdµ < ∞ e, ainda, o span{f1 , f2 , · · · , fn } tem. n X. E. S. dimensão finita. Como Z. f dµ : E ∈ Σ. ⊆ span{f1 , f2 , · · · , fn } ⊆ X,. E. Z. f dµ : E ∈ Σ. então. é compacto em X.. E. Sejam > 0 e f uma fun¸cão Bochner integrável qualquer. Escolha uma Z Z fun¸cão simples g tal que kf (s) − g(s)kdµ(s) < . Então, dado x ∈ f dµ : E ∈ Σ , 2 S E Z Z f dµ para existe um y ∈ g dµ : E ∈ Σ tal que kx − yk < 2 . Claro, se x = E. E. 21.

(62) Z. Z algum E, basta tomar y =. g dµ : E ∈ Σ. g dµ com o mesmo E. O conjunto E. é. E. totalmente limitado em X pois é relativamente compacto. Então, existe uma 2 -rede finita Z g dµ : E ∈ Σ . Seja E ∈ Σ. Então, existe x1 ∈ M tal que ([6], pg 412) M para E Z. g dµ − x1 < . Então,. 2 E Z Z. Z Z. f dµ − x1 ≤ f dµ −. g dµ. + g dµ − x1 < 2 + 2 = . E E E E Z Z Portanto, M é uma -rede finita para f dµ : E ∈ Σ . Então, f dµ : E ∈ Σ é E. E. totalmente limitado e, como X é Banach, é relativamente compacto. Teorema 2.12 (Orlicz-Pettis) Seja. ∞ X. xn uma série em X. Suponha que para cada. n=1. seq¨ uência crescente de inteiros positivos {ki }i , a seq¨ uência mente. Ent˜ ao a série. ∞ X. X n i=1. xki. convirja fracan. xi converge.. i=1. Prova.. Suponha que exista uma seq¨ uência crescente de inteiros positivos X n {ki }i tal que a seq¨ uência xki não é de Cauchy em X. Então, existe > 0 tal que n. i=1. X. p. para todo n ∈ N existem p > q > n tal que x uências crescentes ki ≥ . Sejam duas seq¨. i=q. ln. X. xki de inteiros positivos {jn }n e {ln }n , com j1 < l1 < j2 < l2 < · · · , satisfazendo ≥ i=jn. para todo n. A série. ∞ X. yn , formada por yn =. n=1. ln X. xki , converge fracamente em X. De. i=jn. fato, considere a seq¨ uência crescente de inteiros positivos {kj1 , · · · , kl1 , · · · , kjn , · · · , kln , · · ·} e seja {sp }p a seq¨ uência das somas parciais dos elementos xki , i = jn , · · · , ln , n ∈ N, que X m converge fracamente. Como ym é uma subseq¨ uência da seq¨ uência {sp }p , ent˜ ao n=1. m. esta também converge fracamente. Portanto, a seq¨ uência {yn }n converge fracamente para zero e ainda, kyn k ≥ para todo n.. 22.

(63) Seja Ω = {−1, 1}N o espa¸co métrico1 compacto das seq¨ uências = (n )n com n = ±1. Seja Σ a σ-álgebra de Borel ([8], pg 13) e µ a medida produto2 em Ω. n X Seja f : Ω −→ X uma fun¸cão dada por f ((n )) = weak lim k yk . Para n→∞. cada i ∈ N, é fácil ver que a fun¸cão fi : Ω −→ X dada por fi ((n )) =. i X. k=1. k yk , é simples,. k=1 i→∞. portanto x∗ ◦ fi é mensurável para todo x∗ ∈ X ∗ . Como x∗ ◦ fi −→ x∗ ◦ f pontualmente para todo x∗ ∈ X ∗ , então x∗ ◦ f é mensurável e, portanto, f é fracamente mensurável em Ω. A imagem de f está contida no fecho do span{y1 , y2 , · · ·}. De fato, seja y ∈ f (Ω) e suponha que y 6∈ span{y1 , y2 , · · ·}. Então, por Hahn-Banach existe um x∗ ∈ X ∗ tal que x∗ (y) = 1 e x∗ (z) = 0 para todo z ∈ span{y1 , y2 , · · ·}. Como y ∈ f (Ω), então existe n n X X ∗ ∗ (n ) ∈ Ω tal que lim k x (yk ) = x (y), mas k x∗ (yk ) = 0 para todo n e x∗ (y) = 1. n→∞. k=1. k=1. Então, y ∈ span{y1 , y2 , · · ·} e, portanto, f (Ω) é separável. Pelo Teorema de Pettis, f é fortemente mensurável.. B =. X. Além disso, a imagem de f está contida no fecho fraco do conjunto k yk : ∆ ⊆ N é finito , k = ±1 para k ∈ ∆ . Se y ∈ f (Ω), então existe. k∈∆. (n ) ∈ Ω tal que para todo x∗ ∈ X ∗ , x∗ (y) = lim. n→∞. então x∗ (y) = lim. n→∞. X. n X. k x∗ (yk ). Fazendo ∆n = {1, · · · , n},. k=1. k x∗ (yk ) e, portanto, y pertence ao fecho fraco de B.. k∈∆n. Seja x∗ ∈ X ∗ . Fa¸ca para cada k ∈ N,. k =.   . 1,.   −1, Então,. ∞ X k=1. k x∗ (yk ) =. ∞ X. se x∗ (yk ) ≥ 0 se. x∗ (y. k). .. <0. |x∗ (yk )|. Como existe weak lim. n→∞. k=1. n X. k yk , então. k=1. ∞ X. |x∗ (yk )| <. k=1. ∞. Assim, para todo ∆ ⊆ N finito,

(64)

(65) ∞ X

(66) X

(67) X ∗ ∗

(68)

(69) x (y ) ≤ | x (y )| ≤ |x∗ (yk )| < ∞, k k

(70) k k

(71) k∈∆. 1 2. k∈∆. k=1. 0. Podemos considerar aqui a métrica d((n ), (n )) =. P∞. n=1. 0. |n − n | 21n. µ(Ω) = 1 e dados Fn ⊆ N com n elementos e En = {(n )n : j = xj ∀ j ∈ Fn }, com xj ∈ {±1},. µ(En ) =. 1 2n. 23.

(72) isto é, B é fracamente limitado. Então, f (Ω) é fracamente limitada e, portanto, limitada. Como a medida µ(Ω) é finita, então f é Bochner integrável. Z yn Afirma¸cão: f dµ = para En = { ∈ Ω : n = 1}. 2 En Dados 1 , · · · , k ∈ {−1, 1}, seja Ω1 ···k = {x ∈ Ω : x1 = 1 , · · · , xk = k }. [ ˙ Note que µ(Ω1 ···k ) = 21k e Ω = Ω1 ···k . Então, para todo x∗ ∈ X ∗ , 1 ···k ∗. Z. x. Z. ∗. lim x. k→∞. k→∞. En. ∗. k X X 1 ···k. Z. x ◦ f dµ = lim x. f dµ = En. ∗. ∗. fk dµ = lim x k→∞. En. . i yi µ(En ∩ Ω1 ···k ) = lim x k→∞. ∗. lim x. k→∞. . k−1. 2. 1 yn k 2. . i :n =1 ∗. =x. 1 ···k. k X X. ∗. i=1. X Z. . fk dµ =. En ∩Ω1 ···k. i yi µ(Ω1 ···k ) =. i=1. yn . 2. A seq¨ uência {yn }n converge fracamente para zero e pertence ao conjunto Z f dµ : E ∈ Σ , que é relativamente compacto pelo Lema 2.10. Segue que existe 2 E Z uma subseq¨ uência {ynk }k convergente para zero em norma em 2 f dµ : E ∈ Σ , mas E. isso contradiz o fato de que kyn k ≥ para todo n. . 24.

(73) Cap´ıtulo 3. Integrais de Pettis e Dunford Como vimos no primeiro cap´ıtulo, a integral de Bochner está definida apenas para fun¸cões fortemente mensuráveis, e além disso, se a sua norma não for integrável, não podemos falar na integral de Bochner desta fun¸cão. Agora, vamos definir para fun¸cões fracamente mensuráveis mais duas integrais. Lema 3.1 (Dunford) Suponha que f : S −→ X é uma fun¸c˜ ao fracamente mensur´ avel ∗∗ e que x∗ ◦ f é integr´ avel para cada x∗ ∈ X ∗ . Ent˜ ao, para cada E ∈ Σ, existe x∗∗ E ∈ X. satisfazendo ∗ x∗∗ E (x ). Z =. x∗ ◦ f dµ,. E. para todo x∗ ∈ X ∗ . Prova.. Seja E ∈ Σ. Defina T : X ∗ −→ L1 (E). 1. por T (x∗ ) = x∗ ◦ (χE f ). n→∞. Então, T é fechado. De fato, sejam {x∗n }n uma seq¨ uência em X ∗ tal que x∗n −→ x∗ n→∞. em X ∗ e T (x∗n ) −→ g, com g ∈ L1 (E). Então, existe uma subseq¨ uência {T (x∗nk ) = k→∞. n→∞. x∗nk ◦ (χE f )}k tal que T (x∗nk ) −→ g q.s. ([1], pg 58, teorema IV.9). Como x∗n −→ x∗ , n→∞. então x∗n ◦ (χE f ) −→ x∗ ◦ (χE f ) pontualmente. Logo, g = x∗ ◦ (χE f ) = T (x∗ ). 1. L1 (S) =. Z φ : S −→ R : φ mensur´ avel , |φ| dµ < ∞ S. 25.

(74) Pelo teorema do gráfico fechado, T é cont´ınuo. Então, ∗. kx (χE f )kL1 (E).

(75) Z

(76)

(77)

(78) ∗

(79) =

(80) x (f )dµ

(81)

(82) ≤ kT kkx∗ k. E. Portanto, dado E ∈ Σ, é fácil ver que a fun¸cão. X∗. 3. x∗. Z 7−→. x∗ (f )dµ ∈ R. E ∗∗ é um funcional linear cont´ınuo, isto é, define x∗∗ E ∈X .. Com a ajuda deste lema, podemos definir a integral de Dunford. Defini¸ c˜ ao 3.2 Se f : S −→ X é uma fun¸c˜ ao fracamente mensur´ avel tal que x∗ ◦ f é integr´ avel para todo x∗ ∈ X ∗ , dizemos que f é Dunford integr´ avel. A integral de Dunford Z ∗∗ tal que x∗∗ (x∗ ) = de f sobre E ∈ Σ é definida pelo elemento x∗∗ ∈ X x∗ ◦ f dµ para E E E Z ∗∗ ∗ ∗ todo x ∈ X . Escrevemos (D)f dµ = xE . E. Defini¸ c˜ ao 3.3 Seja f : S −→ X uma fun¸c˜ ao fracamente mensur´ avel tal que x∗ ◦ f é integr´ avel para todo x∗ ∈ X ∗ . Dizemos que f é Pettis integr´ avel se, para cada E ∈ Σ, Z existe um y ∈ X tal que x∗ (y) = x∗ ◦ f dµ para todo x∗ ∈ X ∗ , e a integral de Pettis de EZ f sobre E ∈ Σ é denotada por (P)f dµ = y. E. Notemos que, pelo Corolário 1.11, toda fun¸cão Bochner integrável é Pettis integrável e que as duas integrais coincidem. Podemos ainda definir uma fun¸cão Pettis integrável como sendo uma fun¸c˜ ao Dunford integrável tal que a integral de Dunford da fun¸cão perten¸ca a X e neste caso, a integral de Pettis é a própria integral de Dunford. Como vimos, toda fun¸cão Pettis integrável é Dunford integrável, mas a rec´ıproca não é verdadeira. Vamos então dar um exemplo de uma fun¸cão Dunford integrável que não é Pettis integrável. Exemplo 2 : Defina f : [0, 1] −→ c0 por f (t) = (χ(0,1] (t), 2χ(0, 1 ] (t), · · · , nχ(0, 1 ] (t), · · ·) 2. 26. n.

(83) para t ∈ [0, 1]. Se x∗ = (α1 , · · · , αn , · · ·) ∈ c∗0 = l1 , então x∗ ◦f =. ∞ X. αn nχ(0, 1 ] é integrável. n. n=1. De fato, Z Z ∗ |x ◦ f (s)|dµ(s) =.

(84) X

(85) Z

(86) ∞

(87)

(88)

(89) αn nχ(0, 1 ] (s)

(90) dµ(s) ≤

(91) n. [0,1] n=1. [0,1]. ∞ Z X n=1 [0,1]. ∞ X. [0,1] n=1. |αn nχ(0, 1 ] (s)|dµ(s) = n. ∞ X. |αn nχ(0, 1 ] (s)|dµ(s) = n. |αn | < ∞. n=1. (a pen´ ultima igualdade pode ser encontrada em [7], pg 320, teorema 11.30). Portanto, f é Dunford integrável. Vamos agora calcular a sua integral. Primeiro vamos mostrar Z que dada f (t) = (f1 (t), f2 (t), · · ·), então para todo E mensurável em [0, 1], (D)f dµ = E Z Z f1 dµ, f2 dµ, · · · . E E Z Sejam e∗n = (0, · · · , |{z} 1 , 0, · · ·) ∈ l1 e (D)f dµ = (a1 , a2 , · · ·) ∈ l∞ . E. n. Então . . Z. Z. ∗. (D)f dµ (x ) = x∗ ◦ f dµ =⇒ E E Z Z an = (D)f dµ (e∗n ) = e∗n ◦ f dµ. E E Z Como e∗n ◦ f = fn , então fn dµ = an . E Z Então, (D)f dµ = (1, 1, 1, · · ·) que pertence a l∞ \ c0 . [0,1]. Vamos agora apresentar alguns resultados para estas fun¸cões. Lema 3.4 Se uma medida υ : Σ −→ X é fracamente σ-aditiva, ent˜ ao υ é σ-aditiva. Prova.. Seja {En }n uma seq¨ uência de conjuntos em Σ disjuntos dois a. dois. Então, para todo x∗ ∈ X ∗ ∗. x. υ. [ ∞. ∞ X. ! En. =. n=1. Então. ∞ X. x∗ υ(En ) .. n=1. υ(En ) é uma série fracamente convergente e, para toda seq¨ uência {kn }n de. n=1. inteiros positivos,. ∞ X. υ(Ekn ) também é fracamente convergente pelo mesmo argumento.. n=1. Pelo Teorema de Orlicz-Pettis 2.11, a série. ∞ X. υ(En ) converge. Portanto,. n=1. υ. [ ∞. En. =. ∞ X n=1. n=1. 27. υ(En ),.

(92) ou seja, υ é σ-aditiva. Teorema 3.5 (Pettis) Se f : S −→ X é Pettis integr´ avel, ent˜ ao F : Σ −→ X dada por Z F (E) = (P)f dµ é uma medida σ-aditiva. E. Seja {En }n uma seq¨ uência de conjuntos mensuráveis em S dis-. Prova.. juntos dois a dois. Então, ∗. x. . Z f dµ = S. Z (P)-. S∞. n=1. En. ∗. ∞ n=1. x (f )dµ = En. ∞ Z X. ∗. x (f )dµ =. n=1 En. ∞ X. ∗. x. . . Z (P)-. f dµ . En. n=1. Portanto, F é fracamente σ-aditiva. Pelo lema (3.4), F é σ-aditiva. Para uma fun¸cão Dunford integrável, pode não valer a σ-aditividade da medida F. Vamos ver um exemplo disto. Exemplo 3 : Seja f : [0, 1] −→ c0 a fun¸cão definida no Exemplo 2. Como j´ a Z Z Z mostramos, para todo E ∈ Σ, (D)f dµ = f1 dµ, f2 dµ, · · · . Então, para todo E. E. E. n ∈ N, Z. Z (D)-. f dµ = 1 (0, n ]. 1 2 n n+1 f1 dµ, · · · , fn dµ, · · · = , ,···, , ,··· . n n n n+1 (0, 1 ] (0, 1 ] Z. n. Z. Portanto, (D)-. 1 (0, n ]. f dµ. n. = 1 para todo n ∈ N.. l∞ (0, n1 ]. para todo n ∈ N. Suponha que F : Σ −→ X ∗∗ dada por ∞ \ n→∞ F (E) = (D)f dµ é σ-aditiva. Como En+1 ⊆ En e En = ∅, então F (En ) −→ 0, E n=1. Z. mas isso contradiz o fato de que f dµ (D) = 1. Seja En =. Z. 1 (0, n ]. l∞. Corol´ ario 3.6 Seja (S, Σ, µ) um espa¸co de medida σ-finito, ou seja, existe uma seq¨ uência ∞ [ {Sn }n de conjuntos mensur´ aveis com µ(Sn ) < ∞ para todo n, tal que S = Sn . Seja f n=1. uma fun¸c˜ ao fortemente mensur´ avel e Dunford integr´ avel. Ent˜ ao f é Pettis integr´ avel se e Z somente se F : Σ −→ X ∗∗ dada por F (E) = (D)f dµ é σ-aditiva. E. 28.

(93) Z Prova.. Se f é Pettis integrável, então (P)-. Z f dµ = (D)-. E. f dµ para E. todo E ∈ Σ. Pelo Teorema 3.5, F é σ-aditiva. Para provarmos a rec´ıproca, escolha uma seq¨ uência {En }n crescente em ∞ [ Σ tal que S = En e cada χEn f é limitada. Podemos escolher para cada n ∈ N, n=1. En = {s ∈ S : kf (s)k ≤ n}. De fato En é mensurável, pois f é fortemente mensurável e como demonstramos no Teorema de Pettis 1.5, kf (s)k é mensurável.. S =. ∞ [. Seja {Sn }n uma seq¨ uência crescente em Σ, com µ(Sn ) < ∞, tal que ∞ [ Sn . Então, S = (En ∩ Sn ). De fato, se s ∈ S, então existe um n tal que. n=1. n=1. s ∈ Sn e existe um m tal que s ∈ Em . Tomando k =max{n, m}, então s ∈ Sk e s ∈ Ek e, portanto, s ∈ Ek ∩ Sk . Chamemos Ln := En ∩ Sn para n ∈ N. Z Se E ∈ Σ, então a integral de Bochner f dµ existe para cada n. De E∩Ln. fato, seja n ∈ N. Logo, Z. Z kf (s)kdµ(s) ≤. E∩Ln. Z Z. Como Z f dµ = (P)-. kf (s)kdµ(s) ≤ nµ(Ln ) < ∞. Ln. ∗. ∗. Z. f dµ para todo x∗ ∈ X ∗ , ent˜ ao. x ◦ f dµ = x. E∩Ln. E∩Ln. f dµ e, portanto, as integrais de Dunford, Pettis e Bochner. E∩Ln. E∩Ln. coincidem. Z Como F é σ-aditiva, então lim (D)f dµ existe em X. Para todo n→∞ E∩LZn Z Z Z ∗ ∗ ∗ ∗ x ∈ X , lim x ◦f dµ = x ◦f dµ. Então, (D)f dµ = lim f dµ ∈ X n→∞ E∩L n. E. E. n→∞ E∩L n. para todo E ∈ Σ. Portanto, f é Pettis integrável. . 29.

(94) Cap´ıtulo 4. Integra¸c˜ ao Incondicional Neste u ´ltimo cap´ıtulo, vamos apresentar uma nova teoria de integra¸cão. Baseado no artigo Unconditional integrability for dual actions, a teoria de integra¸cão incondicional se assemelha a teoria de convergência incondicional vista em séries. Devemos então definir um net, agora trabalhando com integrais e não mais com somatórios, e discutir a sua convergência. Depois deste estudo, vamos demonstrar a equivalência entre esta teoria e a integral de Pettis, vista no Cap´ıtulo 3. Defini¸ c˜ ao 4.1 Dado um espa¸co de medida (S, Σ, µ), dizemos que um subconjunto L ⊆ Σ é uma fam´ılia local se i. L é fechado por uni˜ oes finitas, ii. dado L ∈ L e B um subconjunto mensur´ avel de L, ent˜ ao B ∈ L. Além disso, chamamos de conjunto local a todo conjunto que pertence a uma fam´ılia local. Dado o espa¸co (S, Σ, µ), fixemos uma fam´ılia local L. Defini¸ c˜ ao 4.2 Dizemos que um espa¸co de medida (S, Σ, µ) com uma fam´ılia local L fi∞ [ xada é σ-local se existe uma seq¨ uência {Ln }n de conjuntos locais tal que S = Ln . n=1. Denotemos este espa¸co por (S, L).. 30.

(95) Defini¸ c˜ ao 4.3 Uma fun¸ca õ f : S −→ X é dita localmente integr´ avel (com respeito a L) se f é Bochner integr´ avel sobre todo conjunto local. Podemos perceber que uma fam´ılia local L é um conjunto dirigido, ordenado pela inclusão de conjuntos. Então, dada uma fun¸cão f localmente integrável, Z podemos formar o net f dµ . L. L∈L. Defini¸ c˜ ao 4.4 Uma fun¸ca õ f : S −→ X localmente integr´ avel é dita incondicionalmente integr´ avel (com respeito a L) se o net acima converge na topologia da norma em X. Neste caso, escrevemos Z (U ). Z f dµ := lim. L∈L L. S. f dµ.. Proposi¸ c˜ ao 4.5 (Condi¸ c˜ ao de Cauchy) A fun¸c˜ ao f : S −→ X é incondicionalmente integr´ avel se e somente se, para todo > 0, existe um L0 em L tal que, dado qualquer D Z. em L disjunto de L0 , tem-se f dµ < . D. A prova desta proposi¸cão é análoga a prova da Condi¸cão de Cauchy vista no Cap´ıtulo 2. Proposi¸ c˜ ao 4.6 Sejam X e Y espa¸cos de Banach e T : X −→ Y um operador linear limitado. Se f : S −→ X é incondicionalmente integr´ avel, ent˜ ao T ◦f é incondicionalmente integr´ avel e Z. Z T ◦ f dµ = T (U ). (U ) S. f dµ. S. Prova. Z. f dµ. L. Seja f uma fun¸cão incondicionalmente integrável. Então, o net Z converge. Como T é cont´ınuo, o net T ◦ f dµ também converge. L. L∈L. L∈L. Portanto, T ◦ f é incondicionalmente integrável e Z. Z T ◦ f dµ = lim. (U ) S. L∈L L. Z. Z T ◦ f dµ = lim T L∈L. f dµ = T lim L. L∈L L. Z f dµ = T (U ). f dµ. S. . 31.

(96) Defini¸ c˜ ao 4.7 Dizemos que uma fun¸c˜ ao f : S −→ X localmente integr´ avel é pseudo integr´ avel se Z. sup f dµ < ∞.. L∈L. L. Notemos que toda fun¸cão f incondicionalmente integrável é pseudo inZ tegrável. De fato, sejam = 1 e (U ) f dµ =: I. Então existe L0 ∈ L tal que, para todo S Z. L ⊇ L0 em L, f dµ − I < 1. Seja E ∈ L. Então, L. Z Z Z . f dµ = f dµ + . Z. L0 ∪E. f dµ −. L0 \E. E. E. Z. Z . f dµ − I +. L0 \E. L0 \E. Z. f dµ + kIk < 1 +. f dµ + I − I ≤. kf (s)kdµ(s) + kIk < ∞. L0. Z. =⇒ sup f dµ < ∞. E∈L. E. A rec´ıproca não é verdadeira. Vamos então dar o seguinte exemplo. Exemplo 4 : Sejam X = c0 e (N, Σ, µ) o espa¸co de medida com µ a medida de contagem em N e L = {E ⊆ N : E finito}. Considere a fun¸cão f : N −→ X definida por f (n) = en 1 . Seja E ∈ L, . Z X X. f dµ = en f (n) = ≤ 1 =⇒ . E. n∈E. n∈E. Z. sup f dµ < ∞.. E∈L. E. Portanto f é pseudo integrável. Suponha que f é incondicionalmente integrável. Então vale a condi¸cão de Cauchy para f. Dado > 0, existe E0 ∈ L tal que para todo E ∈ L disjunto de E0 , Z X . . f dµ = < . e n. . E. n∈E. X . Mas, para E 6= ∅, en = 1. Então, f não é incondicionalmente integrável. n∈E. No caso de fun¸cões pseudo integráveis com valores escalares temos o seguinte lema. Lema 4.8 Se f : S −→ R é pseudo integr´ avel, ent˜ ao Z sup. |f (s)|dµ(s) < ∞.. L∈L L 1. vetor de ordem n da base canˆ onica. 32.

(97) Prova..

(98) Z

(99)

(100)

(101)

(102) Seja M = sup

(103) f dµ

(104)

(105) . Dado L ∈ L, sejam L+ = {s ∈ L : L∈L. L. f (s) ≥ 0} e L− = {s ∈ L : f (s) < 0}. Como f é localmente integrável, em particular f é mensurável quando restrita a conjuntos locais. Da´ı, tanto L+ quanto L− são conjuntos mensuráveis contidos em L e, portanto, são conjuntos locais. Então,

(106) Z

(107)

(108) Z

(109) Z Z Z

(110)

(111)

(112)

(113)

(114)

(115)

(116) |f (s)|dµ(s) = f dµ − f dµ =

(117) f dµ

(118) +

(119) f dµ

(120)

(121) ≤ 2M. L L+ L− L+ L− Z Portanto, sup |f (s)|dµ(s) < ∞. L∈L L. Ainda para fun¸cões escalares, temos o seguinte teorema. Teorema 4.9 Sejam (S, L) um espa¸co σ-local e f : S −→ R uma fun¸c˜ ao. S˜ ao equivalentes as seguintes afirma¸c˜ oes: a. f é pseudo integr´ avel; b. f é incondicionalmente integr´ avel; c. f é integr´ avel.2 Z Z Neste caso, (U ) f dµ = f dµ. S. S. Prova.. Primeiramente vamos mostrar que a afirma¸cão a implica c. Seja ∞ [ {En }n uma seq¨ uência crescente de conjuntos locais tal que En = S. Para todo n ∈ n=1 Z N, |f (s)|dµ(s) < ∞, pois f é pseudo integrável. Defina para cada n, yn := |χEn f |. En. Então, yn ≤ yn+1 e Z. Z. Z |f (s)|dµ(s) < ∞.. |χEn (s)f (s)|dµ(s) =. yn dµ =. En. S. S. Além disso, para cada s ∈ S, existe k ∈ N tal que s ∈ Ek e, portanto, n→∞. yn (s) = |χEn f (s)| −→ |f (s)|. Pelo Teorema da Convergência Monótona ([7], pg 318, Z Z Z n→∞ |f (s)|dµ(s) < ∞, então |f (s)|dµ(s). Como sup yn dµ −→ teorema 11.28), S. E∈L E. S. Z |f (s)|dµ(s) < ∞. S 2. Enfatizando aqui que ao usarmos a palavra integr´ avel, estamos nos referindo a Lebesgue integr´ avel.. 33.

(122) Vamos agora demonstrar que c implica b. Seja f integrável. Como f é uma fun¸cão real, existe uma seq¨ uência de fun¸cões simples que converge pontualmente para f ([7], pg 313, teorema 10.20). Então, f é uma fun¸cão fortemente mensurável. Pelo Teorema de Bochner, f é Bochner integrável e, portanto, f é incondicionalmente integrável. A demonstra¸cão de que b implica a já foi feita anteriormente. Basta Z Z mostrarmos então que (U ) f dµ = f dµ. Dada uma seq¨ uência {En }n como acima, SZ S Z notemos que f dµ = lim f dµ. Dado > 0, tome n tal que n→∞ E n. S.

(123) Z Z

(124)

(125) f dµ −

(126) S.

(127) Z

(128) f dµ

(129)

(130) ≤. |f (s)|dµ(s) < .. S\En. En. Seja E ∈ L tal que E ⊇ En . Então,

(131) Z

(132) Z Z

(133)

(134)

(135) f dµ − f dµ

(136)

(137) ≤

(138) S. E. Z |f (s)|dµ(s) ≤. S\E. |f (s)|dµ(s) < . S\En. Portanto Z. Z f dµ = lim. S. E∈L E. Z f dµ = (U ). f dµ. S. A partir da próxima proposi¸cão, será citado o espa¸co L∞ (S), que é o espa¸co das fun¸cões mensuráveis e limitadas em S com valores escalares, equipado com a norma do supremo essencial3 . Proposi¸ c˜ ao 4.10 Seja f : S −→ X uma fun¸c˜ ao pseudo integr´ avel. Ent˜ ao existe uma constante positiva N tal que, para todo φ em L∞ (S) e para todo L em L,. Z. φf dµ ≤ N kφk.. L. Prova.. Seja x∗ um funcional linear cont´ınuo em X. Então x∗ ◦ f é uma. fun¸cão pseudo integrável em S com valores escalares. De fato, como f é pseudo integrável,. Z. então sup f dµ < ∞. L∈L. 3. kf k =. L. inf. E∈Σ µ(E)=0. sup |f (s)| s6∈E. 34.

(139)

(140) Z

(141)

(142) Z

(143) Z.

(144)

(145)

(146)

(147). ∗

(148) x∗ ◦ f dµ

(149) =

(150) x∗

(151) =⇒ f dµ ≤ kx k f dµ

(152)

(153)