An´ alise Matem´ atica II, turmas TP2 e TP3

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An´ alise Matem´ atica II, turmas TP2 e TP3

Gil Bernardes

Atendimento:

I Esta semana:

ter¸ca, 17h30-19h30, gab. 2.1 (DEI) quinta, 17h30-18h30, gab. 2.1 (DEI) quarta, 15h00-18h00, gab. 6.9 (DMUC)

I No in´ıcio de cada semana (Domingo) o hor´ario de atendimento dessa semana estar´a no inforestudante

I [email protected]

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Controlo de presen¸cas:

I Para os alunos em1â inscri¸cão, para fazer a disciplina por frequência é necessário umm´ınimo de 30 presen¸cas(75%)

I A folha de presen¸cas ser´a recolhida a partir das 13h30(TP2)/15h30(TP4)

I Varia¸c˜oes nas assinaturas (ainda que detectadas a posteriori) equivalem a faltas

I Poder´a ser feita chamada a qualquer momento, em especial se as entradas e sa´ıdas na sala perturbarem a aula

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Fun¸cão: correspondência que a cada elemento de um conjuntoD (“dom´ınio” da fun¸cão) associa um único elemento de outro conjunto (“conjunto de chegada”).

Paradefinir uma fun¸c˜ao precisamos assim de saber:

(1) qual ´e o seudom´ınioe

(2)como associara cada elemento do dom´ınio um ´unico elemento do conjunto de chegada.

Em An´alise I foi estudado o caso em queD⊆ReB =R.

Em An´alise II estudaremos os casos em queD⊆Rⁿ (n= 2 ou 3) e B=R.

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Pode definir-se uma fun¸cão só com uma fórmula, desde que se use a conven¸cão: caso não se indique o dom´ınio, supõe-se que é o “maior”

conjunto onde a f´ormula pode ser utilizada.

Exerc´ıcio:

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C´ onicas:

Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F = 0

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Qu´ adricas:

Ax²+Bxy+Cy²+Dxz+Eyz+Fz²+Gx+Hy +Iz+J= 0

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Para as fun¸cões reais (as imagens estão emR)de variável real(o dom´ınio,D, é subconjunto deR) o gráfico é uma curva plana que permite “ver” a fun¸cão e algumas das suas propriedades.

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Para as fun¸cões reaisde duas variáveis reais(D⊆R²) o gráfico é uma

“superf´ıcie” que em geral não é plana: precisamos de três dimensões.

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A dificuldade na representa¸c˜ao destas superf´ıcies no quadro ou no papel pode ser evitada usandocurvas de n´ıvel: conjuntos de pontos do dom´ınio da fun¸c˜ao onde esta tem valor constante.

Exerc´ıcio:

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Para fun¸cões reais de três variáveis reaisprecisar´ıamos de quatro dimensões para representar o seu gráfico. Mas três dimensões chegam para representar algumas das suas “superf´ıcies de n´ıvel”.

Exerc´ıcio:

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Assim como a fórmulaf(x) = 2017 define uma fun¸cão (constante) em R, as fórmulas

f(x,y) = 2017, f(x,y) =x, f(x,y) =y definem fun¸c˜oes deduasvari´aveis.

Como serão o gráfico e as curvas n´ıvel de uma fun¸cão de duas variáveis que depende só dex? (Por exemplo,f(x,y) = 1−x².)

O gráfico será uma união de retas paralelas ao eixo dosyy; as curvas de n´ıvel serão sempre retas paralelas ao eixo dosyy.

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Diz-se quef tende paraL quandoP tende paraP0(ou que L´e o limite def quandoP tende paraP0), e escreve-se lim

P→P0

f(P) =L, quando o valor def, f(P), se aproxima deLquandoP se aproxima deP0.

´E evidente (?) como se pode calcular o limite, em qualquer ponto, das fun¸c˜oes definidas por

f(x,y) = 2017 (ouf(x,y) =k, para outra qualquer constantek).

f(x,y) =x f(x,y) =y f(x,y,z) =x, etc.

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Se lim

P→P₀f(P) =a e lim

P→P₀g(P) =b, pode provar-se que:

I lim

P→P0

f(P) +g(P)

=a+b

I lim

P→P0

f(P)g(P)

=ab

I lim

P→P0

f(P) g(P) = a

b (seb6= 0)

I lim

P→P₀φ f(P)

=c quando lim

P→P0

f(P) =t0, lim

t→t0

φ(t) =c eφ´e cont´ınua emt0

São estes resultados que permitem calcular limites de fun¸cões definidas (usando opera¸cões e fun¸cões de uma variável elementares) a partir das fun¸cõesf(x,y) =x,f(x,y) =y e f(x,y) = constante

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Há propriedades de fun¸cões reais de variável real (ser crescente, o valor da fun¸cão aumentarD unidades quandox aumenta 1 unidade) quesó fazem sentido quando tanto o dom´ınio como o conjunto de chegada são conjuntos ordenados.

Embora seja poss´ıvel definir rela¸c˜oes de ordem emR², estas tˆem

propriedades indesejáveis que fazem com que não as utilizemos no estudo de fun¸cões de duas variáveis.

Uma técnica muito utilizada no estudo destas fun¸cões éusar várias fun¸cões de uma variável para perceber o comportamento da nossa fun¸cão.

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Exemplo: n˜ao podemos aplicar a Regra de Cauchy para estudar lim

(x,y)→(0,0)

x²−y²

x²+y², mas, fixando um vector~u, podemos estudar os limites de fun¸c˜oes do tipo lim

t→0

(tu1)²−(tu2)² (tu₁)²+ (tu₂)².

Exerc´ıcio:

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Uma fun¸c˜ao diz-secont´ınua num ponto,P0, do seu dom´ıniose ambas as seguintes condi¸c˜oes se verificarem:

(1) Existe lim

P→P0

f(P).

(2) lim

P→P0

f(P) =f(P0).

Os teoremas sobre limites d˜ao origem a teoremas sobre continuidade de somas, produtos, quocientes e compostas de fun¸c˜oes cont´ınuas.

Exerc´ıcio:

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Dada uma fun¸cãof(x,y) e um ponto (a,b) do seu dom´ınio, podemos falar nataxa varia¸cão def quandox variaa partir de a ey se mantém constante, y=b. Isso é o mesmo que falar na taxa de varia¸cão da fun¸cãoφb(t) =f(t,b) nas vizinhan¸cas det=a.

Aφ⁰_b(a) chama-se derivada parcial (em ordem ax) def em (a,b).

Nota¸c˜ao: ∂f

∂x(a,b), ou fx(a,b), ou D1f(a,b).

Assim ∂f

∂x(a,b) = lim

h→0

f(a+h,b)−f(a,b)

h .

Para calcular ∂f

∂x(x,y) ´e assim suficiente derivarφy(x), ou seja, derivarf(x,y) tratandoy como constante.

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A` taxa varia¸c˜ao def quandoy variaa partir deb ex se mant´em constantee igual a achama-se derivada parcial (em ordem ay) def em (a,b).

Nota¸c˜ao: ∂f

∂y(a,b), ou f_y(a,b), ou D₂f(a,b).

Tem-se ∂f

∂y(a,b) = lim

h→0

f(a,b+h)−f(a,b)

h .

Para calcular ∂f

∂y(x,y) é suficiente derivarψ_x(y) =f(x,y), ou seja, derivarf(x,y) tratandox como constante ey como única variável.

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Para uma fun¸cão de duas (resp. três) variáveis há duas (resp. três) derivadas parciais de primeira ordem. Cada uma destas fun¸cões tem duas (resp. três) derivadas parciais, logo há quatro (resp. nove) derivadas parciais de segunda ordem.

Exerc´ıcio:

Teorema de Clairaut(ou de Schwartz): sef é uma fun¸cão com derivadas parciais de segunda ordem cont´ınuas, então

∂²f

∂x∂y = ∂²f

∂y∂x

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“Gradiente” (de uma fun¸cão num ponto): é umvector, constru´ıdo com as derivadas parciais de primeira ordem (da fun¸cão nesse ponto).

Esse vector, f_x(a,b),f_y(a,b)

ou ^∂f_∂x(a,b),^∂f_∂y(a,b)

no caso de duas vari´aveis, representa-se porgradf(a,b)ou∇f(a,b).

Exerc´ıcio:

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Para um vectorunitáriouˆ= (u1,u2), define-sederivada direccional na direçcão(e sentido) de û (de uma fun¸cãof no ponto (a,b)) como

Duˆf(a,b) = lim

t→0

f(a+tu1,b+tu2)−f(a,b) t

Definindoφ(t) =f(a+tu1,b+tu2), podemos escrever Duˆf(a,b) = lim

t→0

φ(t)−φ(0)

t−0 , pelo queDuˆf(a,b) =φ⁰(0) Quando ˆu= (1,0) tem-seDuˆf(a,b) = ^∂f_∂x(a,b)

Exerc´ıcio:

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Teorema: se f tem derivadas de 1^a ordem cont´ınuas numa bola aberta contendoP0, ent˜ao Duˆf(P0) =∇f(P0)·uˆ

(Umabola abertade centroP0∈Rⁿ(n= 2 oun= 3) e raioδ´e um conjunto do tipo {P∈Rⁿ: kP−P0k< δ})

Exerc´ıcio:

Para resolver (b), (c) e (d) observe-se que

∇f(P₀)·uˆ=k∇f(P₀)k kˆuk

|{z}1

cos](∇f(P₀),u)ˆ

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Exerc´ıcio:

“Aproxima¸cão linear” def no ponto (a,b) é a fun¸cão que tem por gráfico o plano tangente ao gráfico def no ponto a,b,f(a,b)

.

A equa¸c˜ao desse plano ´e:

z−f(a,b) = (x−a)f_x(a,b) + (y−b)f_y(a,b)

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Fun¸cões de três variáveis

I Em cada ponto há três derivadas parciais de 1â ordem:

h→0lim

f(a+h,b,c)−f(a,b,c)

h lim

h→0

f(a,b+h,c)−f(a,b,c) h

h→0lim

f(a,b,c+h)−f(a,b,c) h

I Nas condi¸cões do Teorema de Clairaut há igualdade entre três pares das 9 derivadas parciais de segunda ordem

I O gradiente ´e um vetor com trˆes coordenadas

I Nas derivadas direccionais o vetor unitário û tem três coordenadas

I Ainda se verificaDuˆf(P0) =∇f(P0)·uˆse as derivadas de 1^a ordem forem todas cont´ınuas emP₀

I Não faz sentido falar de plano tangente ao gráfico, mas continua a fazer sentido falar de aproxima¸cão linear

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Exerc´ıcio: