Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro
Fratura viscoelástica em modo I e modo II
de ligações coladas em madeira
Dissertação de Mestrado em Engenharia Mecânica
Ana Rita Pereira Sousa
Orientador: José Joaquim Lopes Morais
Coorientador: Fábio André Magalhães Pereira
III
Dissertação apresentada à Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro para obtenção do grau de Mestre em Engenharia Mecânica, realizada sob a orientação científica do Professor Doutor José Joaquim Lopes Morais e coorientação do Doutor Fábio André Magalhães Pereira.
V
Agradecimentos
Um trabalho com esta extensão, só foi possível realizar-se graças à colaboração de diversas pessoas e instituições, às quais gostaria de deixar o meu agradecimento pela sua contribuição.
Ao meu orientador, Professor Doutor José Morais por toda a disponibilidade, paciência e dedicação ao longo de todo este percurso. Por todo o conhecimento transmitido.
Ao meu coorientador, Doutor Fábio Pereira pela sua disponibilidade, transmissão de conhecimentos e pela paciência durante todas as simulações do modelo por elementos finitos.
À Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro pelos meios e condições proporcionados para o desenvolvimento de todo o trabalho.
Aos meus pais, Margarida e Carlos por todo o apoio, força e orgulho transmitidos ao longo de todo este percurso. A eles devo-lhes tudo.
Á minha irmã, Carla, cunhado Rui e sobrinho Guilherme pela amizade e orgulho transmitido e por estarem sempre disponíveis para apoiar e ajudar.
Aos meus queridos avós e restantes familiares também pelo apoio e força ao longo deste percurso.
Por fim gostaria de agradecer aos meus amigos, especialmente aos que ganhei nesta caminhada, pela grande amizade, apoio e carinho.
VII
Resumo
Desde há muito tempo que se usa a madeira em elementos estruturais da construção civil. Apesar dos grandes avanços na ciência e na técnica da colagem em madeira, a caracterização e a modelação da resistência das ligações coladas em madeira é ainda uma questão por resolver. Neste trabalho o principal objetivo foi a caracterização da fratura em modo I e em modo II em ligações coladas em madeira, com um adesivo de poliuretano, contemplando os efeitos viscoelásticos. Para tal, realizámos ensaios experimentais e foi feita uma análise por elementos finitos. A madeira escolhida foi a madeira de Pinus pinaster. O trabalho foi focado no sistema de propagação RL. Para a caracterização da fratura em modo I foi definido o ensaio DCB (double cantilever beam), para a caracterização da fratura em modo II foi escolhido o ensaio ENF (end-notched flexure). Para a determinação das curvas de resistência em modo I foram utilizados os métodos MCEF (método de calibração experimental da flexibilidade) e CBBM (compliance based beam method). Já em modo II recorremos apenas ao método CBBM, tendo sido necessário realizar ensaios de flexão em três pontos, antes da colagem, para as peças de madeira para a determinação do módulo de flexão. A identificação das leis coesivas, tanto em modo I como em modo II, foi feita recorrendo ao método inverso de identificação da lei coesiva unicamente a partir da curva 𝑃 − 𝛿, através de um método de otimização.
IX
Abstract
Wood has been used for a long time in structural elements of civil construction. Despite the great advances in the science and technique of wood gluing, the characterization and the modelling of the wood bonded joints, remains an issue to be solved. In this work the main objective was the characterization of the fracture in mode I and mode II in wood bonded joints, with a polyurethane adhesive, contemplating the viscoelastic effects. For that, we carried out experimental tests and a finite element analysis. The wood chosen was Pinus pinaster wood. The work was focused on the RL propagation system. For the characterization of the fracture in mode I was defined the DCB (double-cantilever beam) test and for the characterization of the fracture in mode II was chosen the ENF (end-notched flexure) test. The resistance curves in mode I were obtained by two methods: the experimental compliance calibration method (ECM) and the compliance based beam method (CBBM). In mode II we used only the CBBM method, however a three points flexion test was performed, before gluing, in order to determine the effective elastic modulus. The identification of cohesive laws, both in mode I and mode II, was made using an inverse method of identifying the cohesive law only from 𝑃 − 𝛿 curve, through an optimization algorithm.
XI
Índice geral
Agradecimentos ... V Resumo ... VII Abstract ... IX Lista de figuras ... XIII Lista de tabelas ... XVII Nomenclatura ... XIX
Capítulo 1
Introdução
1.1. Generalidades ... 1
1.2. Objetivos e organização do trabalho ... 2
Capítulo 2
Revisão bibliográfica
2.1. Introdução ... 32.2. A madeira como material de construção... 3
2.3. Estrutura anatómica da madeira ... 4
2.4. Elasticidade ortotrópica ... 5
2.5. Comportamento mecânico da madeira ... 9
2.6. Conceitos básicos de mecânica da fratura ... 14
2.7. Fratura da madeira e das ligações coladas em madeira ... 16
2.8. Fratura viscoelástica... 18
2.9. Conclusões ... 20
Capítulo 3
Comportamento à fratura em modo I: ensaio DCB
3.1. Introdução ... 213.2. Material e provetes ... 21
XII
3.4. Trabalho experimental ... 25
3.5. Análise por elementos finitos ... 29
3.6. Identificação inversa da lei coesiva em modo I ... 32
3.7. Análise e discussão dos resultados ... 35
3.7.1. Curvas de resistência em modo I pelo método de calibração experimental da flexibilidade (MCEF) ... 35
3.7.2. Curvas de resistência em modo I pelo método CBBM ... 42
3.7.3. Comparação das curvas de resistência em modo I pelos métodos MCEF e CBBM ... 48
3.7.4. Efeito da velocidade do atuador na lei coesiva em modo I ... 52
3.8. Conclusões ... 53
Capítulo 4
Comportamento à fratura em modo II: ensaio ENF
4.1. Introdução ... 554.2. Material e provetes ... 55
4.3. O ensaio ENF ... 56
4.4. Trabalho experimental ... 59
4.5. Análise por elementos finitos ... 62
4.6. Análise e discussão dos resultados ... 65
4.6.1. Módulo de flexão obtido por ensaios de flexão em três pontos ... 65
4.6.2. Curvas de resistência em modo II pelo método CBBM ... 66
4.6.3. Efeito da velocidade do atuador na lei coesiva em modo II ... 74
4.7. Conclusões ... 76
Capítulo 5
Conclusões ... 77XIII
Lista de figuras
Capítulo 2
Figura 2.1 – Esquema tridimensional da estrutura celular (escala micro) das espécies
resinosas (Xavier, 2003). ... 5
Figura 2.2 - Ensaios de tração e de flexão em quatro pontos para a determinação de 𝐸𝐿 (Pereira, 2005). ... 10
Figura 2.3 - Ensaios de tração propostos por Pereira (2005): (a) determinação de 𝐸𝑅 e 𝑣𝑅𝑇; (b) determinação de 𝐸𝑇 e 𝑣𝑇𝐿. ... 11
Figura 2.4 - Esquema do ensaio Iosipescu (Xavier,2003). ... 13
Figura 2.5 - Aspeto geral do ensaio “off-axis”: (a) plano LR, (b) plano LT e (c) plano RT (Garrido 2004). ... 13
Figura 2.6 - Aspeto geral do ensaio de Arcan (Oliveira, 2004). ... 14
Figura 2.7 - Modos de propagação puros (Barreto, 2008). ... 16
Figura 2.8 - Sistemas de propagação de fendas na madeira (da Silva, 2006). ... 16
Capítulo 3
Figura 3.1 - Geometria e dimensões do provete DCB (dimensões em mm). ... 22Figura 3.2 - Esquema do ensaio DCB (Moura et al, 2008). ... 23
Figura 3.3 – Ensaio DCB: (a) vista geral das amarras e do provete no início do ensaio; (b) aspeto do provete fraturado. ... 25
Figura 3.4 – Exemplo de curvas 𝑃 − 𝛿 para a calibração da flexibilidade dos provetes DCB e de curva 𝑃 − 𝛿 para a fratura (provete ensaiado à velocidade do atuador de 5mm/min). ... 26
Figura 3.5 – Curvas 𝑃 − 𝛿 dos ensaios DCB: (a) velocidade do atuador v=0,05mm/min; (b) velocidade do atuador v=500mm/min. ... 27
Figura 3.6 – Relação entre a massa volúmica e a velocidade do atuador dos ensaios DCB. ... 28
XIV Figura 3.8 – Lei coesiva em modo I introduzida no modelo de elementos finitos. ... 29 Figura 3.9 - Deformada do provete DCB e campos dos deslocamentos: (a) ux e (b) uy.
... 30 Figura 3.10 – (a) curva 𝑃 − 𝛿 e (b) correspondente curva de resistência em modo I, obtida pelo método CBBM. ... 31 Figura 3.11 – Aspeto geral da lei coesiva de entrada no modelo numérico. (adaptado de Pereira et al 2017) ... 33 Figura 3.12 – Pontos utilizados para o ajuste no método inverso proposto: (a)
curva 𝑃 − 𝛿 e (b) curva de resistência (adaptado de Pereira et al 2017). ... 33 Figura 3.13 – Fluxograma do algoritmo de bissecção desenvolvido (j = 1, 2, 3, 4 e 5). (adaptado de Pereira et al 2017). ... 34 Figura 3.14 – Comparação entre a lei coesiva introduzida no modelo numérico do ensaio DCB e a lei coesiva identificada pelo algoritmo de otimização. ... 34 Figura 3.15 – Ilustração do método MCEF (velocidade do atuador de 5mm/min): (a) curva 𝑃 − 𝛿 (b) curva de calibração da flexibilidade; (c) curva de resistência em modo I. ... 36 Figura 3.16 – Curvas de resistência em modo I, usando o método MCEF: (a)
velocidade do atuador v=0,05mm/min; (b) velocidade do atuador v=500mm/min. ... 38 Figura 3.17 – Variação da taxa de libertação de energia em modo I (método MCEF) com a velocidade do atuador: (a) taxa inicial; (b) taxa para a força máxima, máxima e crítica. ... 41 Figura 3.18 – Curvas de resistência em modo I, usando o método CBBM: (a)
velocidade do atuador v=0,05mm/min; (b) velocidade do atuador v=500mm/min. ... 43 Figura 3.19 – Variação da taxa de libertação de energia em modo I (método CBBM) com a velocidade do atuador: (a) taxa inicial; (b) taxa para a força máxima, máxima e crítica. ... 46 Figura 3.20 – Variação do módulo de flexão (método CBBM) com a velocidade do atuador. ... 47 Figura 3.21 – Exemplos de comparação das curvas de resistência em modo I, obtidas pelos métodos MCEF e CBBM: (a) velocidade do atuador v=0,05mm/min; (b)
velocidade do atuador v=500mm/min. ... 48 Figura 3.22 – Relação entre a taxa de libertação de energia de iniciação e a massa volúmica: (a) velocidade do atuador v=0,05mm/min; (b) velocidade do atuador
XV Figura 3.23 – Relação entre as taxas de libertação de energia GIPmax, GImax e GIc e a
massa volúmica: (a) velocidade do atuador v=0,05mm/min; (b) velocidade do atuador v=500mm/min. ... 51 Figura 3.24 – Leis coesivas em modo I, para as diferentes velocidades do atuador. .. 52 Figura 3.25 – Variação de GIPmax com a velocidade, para os provetes para os quais
foram identificadas as leis coesivas. ... 53
Capítulo 4
Figura 4.1 - Geometria e dimensões do provete ENF. ... 56 Figura 4.2 - Esquema do ensaio ENF (Silva, 2005). ... 57 Figura 4.3 - Ensaio ENF: (a) vista geral do aparato experimental; (b) aspeto do provete fraturado. ... 59 Figura 4.4 – Curvas 𝑃 − 𝛿 dos ensaios ENF: (a) velocidade do atuador v=0,05mm/min; (b) velocidade do atuador v=500mm/min. ... 60 Figura 4.5 – Relação entre a massa volúmica e a velocidade do atuador, nos ensaios ENF. ... 61 Figura 4.6 – Malha de elementos finitos e condições de fronteira do ensaio ENF. ... 62 Figura 4.7 – Lei coesiva em modo II. ... 62 Figura 4.8 – Deformada do provete ENF e campos dos deslocamentos: (a) ux e (b) uy.
... 63 Figura 4.9 – (a) curva 𝑃 − 𝛿 e (b) correspondente curva de resistência em modo II, obtida pelo método CBBM. ... Erro! Marcador não definido. Figura 4.10 – Variação do módulo de flexão (ensaio de flexão em três pontos) com a velocidade do atuador. ... 66 Figura 4.11 – Curvas de resistência em modo II, usando o método CBBM: (a)
velocidade do atuador v=0,05mm/min; (b) velocidade do atuador v=500mm/min. ... 67 Figura 4.12 – Variação da taxa de libertação de energia em modo II (método CBBM) com a velocidade do atuador: (a) taxa inicial; (b) taxa para a força máxima, máxima e crítica. ... 69 Figura 4.13 - Variação do módulo de flexão (método CBBM) com a velocidade do atuador. ... 71
XVI Figura 4.14 – Relação entre a taxa de libertação de energia de iniciação e a massa volúmica: (a) velocidade do atuador v=0,05mm/min; (b) velocidade do atuador v=500 mm/min. ... 72 Figura 4.15 – Relação entre as taxas de libertação de energia GIIPmax, GIImax e GIIc e a
massa volúmica: (a) velocidade do atuador v=0,05mm/min; (b) velocidade do atuador v=500mm/min. ... 73 Figura 4.16 – Leis coesivas em modo II, para as diferentes velocidades do atuador. . 74 Figura 4.17 – (a) Variação de 1 e (b) variação de GIIc com a velocidade de solicitação,
XVII
Lista de tabelas
Capítulo 3
Tabela 3.1 – Massas volúmicas dos provetes DCB, (kg/m3). ... 28
Tabela 3.2 - Propriedades elásticas da madeira e parâmetros da lei coesiva. ... 30 Tabela 3.3 –Taxa de libertação de energia de iniciação em modo I pelo método MCEF, GIi (N/mm). ... 39
Tabela 3.4 –Taxa de libertação de energia em modo I para força máxima pelo método MCEF, GIPmax (N/mm). ... 40
Tabela 3.5 –Taxa máxima de libertação de energia em modo I pelo método MCEF, GImax (N/mm). ... 40
Tabela 3.6 –Taxa crítica de libertação de energia em modo I pelo método MCEF, GIc
(N/mm)... 40 Tabela 3.7 - Taxa de libertação de energia de iniciação em modo I pelo método CBBM, GIi (N/mm). ... 43
Tabela 3.8 – Taxa máxima de libertação de energia em modo I pelo método CBBM, GIPmax (N/mm). ... 44
Tabela 3.9 – Taxa máxima de libertação de energia em modo I pelo método CBBM, GImax (N/mm). ... 44
Tabela 3.10– Taxa crítica de libertação de energia em modo I pelo método CBBM, GIc
(N/mm)... 45 Tabela 3.11– Módulo de flexão obtido pelo método CBBM, Ef (MPa). ... 47
Tabela 3.12 – Parâmetros da lei coesiva em modo I para as diferentes velocidades do atuador. ... 53
Capítulo 4
Tabela 4.1 - Massas volúmicas dos provetes ENF, (kg/m3). ... 61
XVIII Tabela 4.3 – Módulo de flexão obtido por ensaios de flexão em três pontos, Ef (MPa).
... 65
Tabela 4.4– Taxa de libertação de energia de iniciação em modo II, GIIi (N/mm). ... 68
Tabela 4.5 – Taxa máxima de libertação de energia em modo II, GIIPmax (N/mm). ... 68
Tabela 4.6 – Taxa máxima de libertação de energia em modo II, GIImax (N/mm). ... 68
Tabela 4.7 - Taxa crítica de libertação de energia em modo II, GIIc (N/mm). ... 69
Tabela 4.8 – Módulo de flexão obtido pelo método CBBM, Ef (MPa). ... 71
Tabela 4.9 – Parâmetros da lei coesiva em modo II para as diferentes velocidades do atuador. ... 75
XIX
Nomenclatura
L Direção longitudinal do fio
R Direção radial dos anéis de crescimento
T Direção tangencial aos anéis de
crescimento
Lista das deformações
Lista das tensões
S Matriz de elasticidade 𝐸𝑖 Módulo de elasticidade 𝑣𝑖𝑗 Coeficiente de Poisson 𝐺𝑖𝑗 Módulo de corte 𝑐 cos 𝜃 𝑠 sen 𝜃
𝐸𝐿 Módulo de elasticidade longitudinal
𝐸𝑅 Módulo de elasticidade radial
𝐸𝑇 Módulo de elasticidade tangencial
L Distância entre apoios
H Altura do provete
CDI Correlação digital de imagem
G Taxa de libertação de energia
𝜕Π Variação da energia potencial
𝜕𝐴 Variação da área da fenda
Π Energia potencial de um corpo elástico
𝑈 Energia de deformação interna do corpo
𝑊 Trabalho realizado pelas forças
exteriores
XX
ZPF Zona de processo de fratura
P Força aplicada a um provete
𝐵 Largura de provete
𝐶 Flexibilidade do provete
A Comprimento de fenda
CBBM Compliance-based beam method
DCB Double cantilever beam
MECM Modified experimental compliance
method
ENF End-notched flexure
Jc Energia necessária para criar uma
determinada quantidade de uma nova área de fenda
VTC Compressão térmica viscoelástica
ONF Over-notched flexure
PF Fenol-formaldeído
EP Penetração efetiva
F Força
δ Deslocamento
CCM Compliance calibration method
MCEF Método de calibração experimental da
flexibilidade
𝐺 Módulo de corte no plano de flexão
𝐸𝑓 Módulo de flexão
𝐶0 Flexibilidade inicial
Correção
𝑎0 Comprimento de fenda inicial
𝑎𝑒𝑞 Comprimento de fenda equivalente
XXI
𝐴 Área da secção transversal
𝐼 Momento geométrico de segunda ordem
1
Capítulo 1
Introdução
1.1. Generalidades
A madeira é um dos materiais de construção mais antigos do mundo e cada vez mais tem vindo a ser empregue na construção de infraestruturas modernas, no contexto de um desenvolvimento económico sustentável. O conhecimento sobre o comportamento mecânico da madeira foi evoluindo ao longo dos tempos devido ao interesse da sua utilização em construções cada vez mais complexas, que levaram à necessidade de desenvolvimento de produtos e ligações cada vez mais sofisticados. Tendo em conta os outros materiais de construção, nomeadamente o betão e o aço, a madeira tem a vantagem de ser um material renovável e energeticamente mais eficiente.
Atualmente, os adesivos estruturais desempenham um papel fundamental na indústria da madeira, quer no fabrico dos derivados da madeira, quer no fabrico de componentes estruturais em madeira. Estes oferecem uma grande flexibilidade no projeto e na construção de estruturas inovadoras, que não é possível com peças de madeira maciça. A atual utilização intensiva de adesivos estruturais na construção em madeira fez com que a questão da previsão da resistência das ligações coladas madeira/madeira assumisse uma grande relevância científica e técnica. No entanto, a utilização eficiente e segura da madeira e das ligações coladas em madeira requer um conhecimento profundo do seu comportamento à fratura. Um dos aspetos menos estudados é o dos efeitos viscoelásticos na fratura da madeira e das suas ligações coladas.
2
1.2. Objetivos e organização do trabalho
O objetivo central desta dissertação consiste na caracterização da fratura em modo I e modo II em ligações coladas em madeira, contemplando os efeitos viscoelásticos. Para isso foram realizados ensaios experimentais e foi feita uma análise por elementos finitos.
A madeira escolhida foi a madeira de Pinus pinaster e foi utilizada cola de poliuretano. O trabalho foi focado no sistema de propagação RL. Desde inicio que foi escolhido o ensaio DCB (double cantilever beam) para a caracterização da fratura em modo I e o ensaio ENF (end-notched flexure) para a caracterização da fratura em modo II. O método CBBM (compliance based beam method) foi utilizado para a determinação das curvas de resistência, tanto em modo I como em modo II. Para a identificação das leis coesivas foi empregue um método inverso, que combina a simulação dos ensaios DCB e ENF por elementos finitos e as curvas força-deslocamento fornecidas por esses ensaios, através de um algoritmo de otimização,
O trabalho realizado será apresentado na presente dissertação ao longo de cinco capítulos. No capítulo 2 será feita uma revisão sumária sobre a estrutura anatómica da madeira e sobre o seu comportamento elástico, além de uma breve referência aos conceitos básicos de mecânica da fratura e de uma revisão bibliográfica sobre a fratura da madeira, sobre a fratura de ligações coladas em madeira e sobre a fratura viscoelástica. O capítulo 3 incide sobre o ensaio DCB, onde é feita uma breve descrição do ensaio, a apresentação do trabalho experimental realizado, a análise por elementos finitos e a apresentação e discussão dos resultados obtidos. O capítulo 4 é dedicado ao ensaio ENF, incluindo a descrição dos ensaios, a apresentação do trabalho experimental, a análise por elementos finitos e a apresentação e discussão de resultados é descrita no capítulo 4. Por fim, o capitulo 5 é inteiramente dedicado às conclusões finais sobre todo o trabalho realizado.
3
Capítulo 2
Revisão bibliográfica
2.1. Introdução
Neste capítulo será apresentada a revisão bibliográfica que foi efetuada com o objetivo de enquadrar o presente trabalho, sobre a fratura viscoelástica (em modo I e em modo II) das ligações coladas em madeira. Começamos com uma descrição sucinta da estrutura anatómica da madeira da espécie das resinosas, onde se inclui a espécie Pinus pinaster. Pretendemos com essa descrição realçar a ortotropia da estrutura anatómica da madeira e as suas implicações no comportamento mecânico e à fratura. Seguidamente, passamos em revista os estudos já realizados na UTAD para a caracterização das propriedades elásticas e de fratura da madeira e das ligações coladas em madeira (Pinus pinaster Ait.). Por fim, revimos alguns estudos sobre a fratura viscoelástica.
2.2. A madeira como material de construção
Desde dos tempos mais remotos que a madeira tem sido utlizada como material de construção. Nos dias de hoje, o interesse na utilização de recursos renováveis e recicláveis, como a madeira, está a aumentar a nível mundial devido a razões ambientais e de escassez energética. A madeira é um material energeticamente mais eficiente que os restantes materiais de construção, em todo o ciclo de vida das construções, tendo um papel primordial na concretização do conceito de construção sustentável (Stehn, 2002; Gustavsson e Satre, 2006). É fundamental para o uso da madeira como material estrutural conhecer com rigor as suas leis de comportamento mecânico e de comportamento à fratura (Garrido, 2004; Monteiro, 2013).
4 As ligações coladas têm um lugar importante na construção em madeira, sobretudo no fabrico de madeira lamelada colada (glulam) e nas ligações estruturais. O uso de adesivos não só constitui um meio seguro e eficiente na união de peças de forma definitiva, como permite uma grande flexibilidade na construção de estruturas inovadoras, que não é permitida pelo uso de madeira maciça (Silva, 2011). Além disso, a utilização de adesivos contribui para um melhor aproveitamento dos recursos florestais levando a uma gestão mais eficiente e sustentável da floresta. O atual uso generalizado de adesivos na construção em madeira faz com que a previsão da sua resistência à fratura tenha uma forte relevância cientifica e técnica (Silva, 2011). Há, porém, problemas relativos ao comportamento à fratura de ligações coladas em madeira que ainda estão por resolver. Entre eles está a caraterização e modelação dos efeitos viscoelásticos.
2.3. Estrutura anatómica da madeira
Uma vez que a madeira é um material de origem biológica, apresenta uma elevada variabilidade nas suas características mecânicas. Essa variabilidade observa-se em três níveis: as diferenças entre espécies, as diferenças dentro da mesma espécie e as diferenças que ocorrem no interior de cada árvore. Além dos fatores genéticos, os fatores ambientais, como a exposição solar, o solo e o clima, são determinantes para a variabilidade da madeira.
As árvores podem ser classificadas em dois grupos: gimnospérmicas (ou resinosas) e angiospérmicas (ou folhosas). A madeira que faz parte do grupo das folhosas apresenta uma maior variabilidade estrutural e uma grande complexidade anatómica. A madeira considerada neste trabalho é a madeira da espécie Pinus pinaster, que faz parte do grupo das resinosas, cuja microestrutura está representada na Figura 2.1.
No caso das resinosas, as células podem ser divididas em traqueídos e parênquima (Novais, 2016). As primeiras têm como funções a condução da seiva bruta e o suporte estrutural; as segundas permitem a função de armazenamento das substâncias elaboradas no processo da fotossíntese. As resinosas podem apresentar um outro tipo de tecido: os canais secretores, que são responsáveis pela elaboração e transporte da resina. Em geral, o grupo das resinosas admite elementos vasculares pouco eficientes no que toca ao transporte, mas são elementos de grande resistência (Necho, 2013).
5
Figura 2.1– Esquema tridimensional da estrutura celular (escala micro) das espécies
resinosas (Xavier, 2003).
À escala macro das peças estruturais, a madeira é considerada um material ortotrópico com três direções de simetria: a direção longitudinal do fio (L), a direção radial dos anéis de crescimento (R), e a direção tangencial aos anéis de crescimento (T). Desta forma, é possível distinguir seis sistemas de propagação para cada modo puro de fratura (modo I, modo II e modo III): RL, TL, RT, LR, LT e TR, sendo a primeira letra a direção normal ao plano da fenda e a segunda a direção de propagação da fenda (Dâmaso, 2009; Novais, 2016).
2.4. Elasticidade ortotrópica
Uma das razões para a dificuldade de caracterização do comportamento mecânico da madeira, incluindo até o comportamento elástico, prende-se com o facto de esta ser um material ortotrópico. A lei de Hooke generalizada pressupõe que as deformações num ponto de um meio contínuo são funções lineares das tensões no mesmo ponto, podendo ser assim expressa, na notação contraída de Voigt:
6
S
(2.1)onde
representa a lista das deformações, na notação contraída de Voigt, 6 5 4 3 2 1
(2.2)
representa a lista das tensões, também na notação de Voigt, 6 5 4 3 2 1
(2.3)e
S
representa a matriz de elasticidade, 66 65 64 63 62 61 56 55 54 53 52 51 46 45 44 43 42 41 36 35 34 33 32 31 26 25 24 23 22 21 16 15 14 13 12 11 S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S (2.4)
No caso dos materiais ortotrópicos, a matriz de elasticidade relativa ao referencial de simetria material (ou referencial de ortotropia) é:
7 66 55 44 33 32 31 23 22 21 13 12 11 * 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 S S S S S S S S S S S S S (2.5)
Em termos das chamadas constantes de engenharia, a matriz de elasticidade tem o seguinte aspeto:
12 13 23 3 2 23 1 13 3 32 2 1 12 3 31 2 21 1 *1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
G
G
G
E
E
v
E
v
E
v
E
E
v
E
v
E
v
E
S
(2.6)onde 𝐸𝑖 (𝑖 = 1,2,3) representa o módulo de elasticidade na direção ortotrópica 𝑖,
𝑣𝑖𝑗 (𝑖 = 1,2,3) são coeficientes de Poisson e 𝐺𝑖𝑗 (𝑖, 𝑗 = 1,2,3) são os módulos de corte
no plano de simetria 𝑖𝑗. Atendendo à simetria da matriz de elasticidade, temos:
j ji i ij E v E v (2.7)
Levando em consideração a habitual notação normalmente usada para indicar as direções de ortotropia da madeira (L, R e T), a lei de Hooke generalizada pode exprimir-se da seguinte forma:
8 LR LT RT T R L LR LT RT T R RT L LT T TR R L LR T TL R RL L LR LT RT T R L G G G E E v E v E v E E v E v E v E
1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 (2.8)Seja 𝑅 (𝑂, 𝑒⃗⃗⃗ , 𝑒1 ⃗⃗⃗ , 𝑒2 ⃗⃗⃗ ) o referencial de simetria do material onde a Lei de Hooke 3
tem a forma indicada na Equação 2.8. Designemos por 𝑅′(𝑂, 𝑖′⃗⃗ , 𝑗⃗⃗ , 𝑘′′ ⃗⃗⃗ ) um referencial
arbitrário com a mesma origem de 𝑅. A matriz de transformação em 𝑅 em 𝑅′ é a seguinte matriz:
3 2 1 3 2 1 3 2 1 'n
n
n
m
m
m
l
l
l
T
RR (2.9)onde, 𝑙𝑖, 𝑚𝑖 𝑒 𝑛𝑖 (𝑖 = 1,2,3) são as componentes em 𝑅′ dos versores 𝑒⃗⃗⃗ (𝑖 = 1,2,3). A lei 𝑖
de transformação da lista das tensões (Equação 2.3), na referida mudança de referencial, é:
T
(2.10)ou, de forma explícita
6 5 4 3 2 1 1 3 3 1 2 3 3 2 1 2 2 1 3 3 2 2 1 1 1 3 3 1 2 3 3 2 1 2 2 1 3 3 2 2 1 1 1 3 3 1 2 3 3 2 1 2 2 1 3 3 2 2 1 1 3 1 3 2 2 1 2 3 2 2 2 1 3 1 3 2 2 1 2 3 2 2 2 1 3 1 3 2 2 1 2 3 2 2 2 1 6 5 4 3 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2
n l n l n l n l n l n l n l n l n l n m n m n m n m n m n m n m n m n m m l m l m l m l m l m l m l m l m l n n n n n n n n n m m m m m m m m m l l l l l l l l l (2.11)De forma semelhante, a lei de transformação da lista das deformações (Equação 2.2) é:
9
T
(2.12) ou 6 5 4 3 2 1 1 3 3 1 2 3 3 2 1 2 2 1 3 3 2 2 1 1 1 3 3 1 2 3 3 2 1 2 2 1 3 3 2 2 1 1 1 3 3 1 2 3 3 2 1 2 2 1 3 3 2 2 1 1 3 1 3 2 2 1 2 3 2 2 2 1 3 1 3 2 2 1 2 3 2 2 2 1 3 1 3 2 2 1 2 3 2 2 2 1 6 5 4 3 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2
n l n l n l n l n l n l n l n l n l n m n m n m n m n m n m n m n m n m m l m l m l m l m l m l m l m l m l n n n n n n n n n m m m m m m m m m l l l l l l l l l (2.13)As matrizes de transformação das listas das tensões e das deformações estão relacionadas da seguinte forma
T
T
T
1
(2.14) e TT
T
1
(2.15)Tendo em conta a lei de Hooke generalizada relativa ao referencial de simetria do material 𝑅 (Equação 2.8) e tendo em conta as leis de transformação da lista das tensões (Equação 2.11) e da lista das deformações (Equação 2.12), demonstra-se que a lei de transformação da matriz de elasticidade (Equação 2.5 ou 2.6) é:
T
T
S
T
S
(2.16)2.5. Comportamento mecânico da madeira
Uma vez que a madeira tem uma estrutura ortotrópica é necessário realizar vários ensaios experimentais independentes para a sua caracterização mecânica
10 (Guitard,1987). Por esta razão, os trabalhos publicados sobre a determinação completa das propriedades elásticas da madeira Pinus pinaster são escassos. A propriedade mais caracterizada é o módulo de elasticidade longitudinal (𝐸𝐿) que pode
ser feita através de ensaios de tração (Pereira, 2005), de compressão (Xavier et al, 2012) e de flexão em três (Garrido, 2004; Machado e Cruz, 2005) ou em quatro pontos (Pereira, 2005).
Pereira (2005) comparou o ensaio de tração com o ensaio de flexão em quatro pontos (Figura 2.2), com o objetivo de determinar o módulo de elasticidade 𝐸𝐿, tendo
concluído que a determinação de 𝐸𝐿 através do ensaio de flexão em quatro pontos
requer algum cuidado, uma vez que o eixo neutro dos provetes (Figura 2.2 b), não coincide com o eixo geométrico. A não coincidência do eixo neutro com o eixo geométrico dos provetes deve-se à heterogeneidade da madeira à escala meso (dos anéis de crescimento), que não pode ser ignorada na interpretação dos resultados dos ensaios de flexão.
Garrido (2004) analisou o ensaio de flexão em três pontos, para a determinação de 𝐸𝐿, constatando que em virtude da ortotropia da madeira de Pinus
pinaster é necessário que a relação 𝐿/ℎ (𝐿: distância entre apoios; ℎ: altura do provete) seja superior ou igual a 15 para que 𝐸𝐿 possa ser determinado através da
teoria de vigas Bernoulli-Euler. Machado e Cruz (2005) usaram o ensaio de flexão em três pontos para caracterizar a variabilidade intra-específica do módulo de elasticidade 𝐸𝐿, à escala macro.
Pereira (2005) estudou em detalhe a aplicação do ensaio de tração para determinar os módulos de elasticidade 𝐸𝑅 e 𝐸𝑇, bem como os coeficientes de Poisson
𝑣𝑅𝑇 e 𝑣𝑇𝐿 da madeira Pinus pinaster. Face à estrutura da madeira à escala meso, nos
planos RT e TL, a interpretação dos dados experimentais (força e deformações) dos ensaios de tração que desenvolveu requereu uma análise por elementos finitos. Os resultados obtidos demonstraram a validade dos ensaios de tração que propôs (Figura 2.3).
(a)
Figura 2.2- Ensaios de tração e de flexão em quatro pontos para a determinação de 𝐸𝐿
11 (b)
Figura 2.2 - Ensaios de tração e de flexão em quatro pontos para a determinação de 𝐸𝐿
(Pereira, 2005). (continuação)
(a)
(b)
Figura 2.3- Ensaios de tração propostos por Pereira (2005): (a) determinação de 𝐸𝑅 e
𝑣𝑅𝑇; (b) determinação de 𝐸𝑇 e 𝑣𝑇𝐿.
Xavier et al (2012) estudou a aplicabilidade do ensaio de compressão para a determinação não só de 𝐸𝐿, mas também de 𝐸𝑅 e de 𝐸𝑇, da madeira limpa de Pinus
pinaster. Recorrendo à simulação por elementos finitos e à técnica de correlação digital de imagem (CDI) para a medição dos campos cinemáticos, estes autores
12 colocaram em evidência os problemas associados ao contacto dos provetes com as amarras, nomeadamente na determinação de 𝐸𝑅 e de 𝐸𝑇. No caso do módulo de
elasticidade 𝐸𝐿 não detetaram diferenças significativas entre o módulo de elasticidade
em tração e em compressão, como de resto já tinha sido adiantado por Pereira (2005), a partir de ensaios de flexão em quatro pontos.
Os trabalhos publicados sobre a determinação dos módulos de corte (𝐺𝐿𝑅, 𝐺𝐿𝑇 𝑒 𝐺𝑅𝑇) da madeira de Pinus pinaster são em muito menor número que os
trabalhos sobre a determinação dos módulos de elasticidade (𝐸𝐿, 𝐸𝑅 𝑒 𝐸𝑇) e dos
coeficientes de Poisson (𝑣𝐿𝑅, 𝑣𝐿𝑇 𝑒 𝑣𝑅𝑇). Tal facto deve-se à complexidade dos ensaios
para a determinação dessas propriedades, nos quais o estado de tensão possa ser determinado através da força global aplicada aos provetes (ensaios estaticamente determinados). Xavier (2003) estudou exaustivamente a aplicabilidade do ensaio de Iosipescu (Figura 2.4) para a determinação dos módulos de corte da madeira de Pinus pinaster, em todos os planos de simetria material (𝐺𝐿𝑅, 𝐺𝐿𝑇 𝑒 𝐺𝑅𝑇). Embora tenha
demonstrado que o ensaio de Iosipescu é um ensaio que permite a correta identificação dos módulos de corte, é um ensaio difícil de executar, que requer um sistema de solicitação complexo e que é exigente em termos de fabrico dos provetes. Por estas razões o ensaio de Iosipescu é pouco apropriado para uma caracterização exaustiva da variabilidade dos módulos de corte da madeira.
Garrido (2004) efetuou um trabalho sistemático de análise do ensaio de tração “off-axis”, como alternativa ao ensaio de Iosipescu para a caracterização do comportamento ao corte da madeira de Pinus pinaster. Estes ensaios são de fácil execução, em comparação com os ensaios de Iosipescu, na medida em que não requerem dispositivos específicos para solicitar o provete. De facto, a solicitação nestes ensaios é aplicada através de amarras convencionais de cunhas deslizantes, que em geral equipam as máquinas de ensaios mecânicos (Figura 2.5). Outra vantagem do ensaio de tração “off-axis”, relativamente ao ensaio de Iosipescu, é a maior facilidade no fabrico dos provetes (Figura 2.5). A desvantagem do ensaio de tração “off-axis” é que não permite chegar ao módulo de corte 𝐺𝑅𝑇.
13
Figura 2.4- Esquema do ensaio Iosipescu (Xavier,2003).
(a) (b) (c)
Figura 2.5- Aspeto geral do ensaio “off-axis”: (a) plano LR, (b) plano LT e (c) plano RT
(Garrido 2004).
Oliveira (2004) estudou a utilização do ensaio Arcan para a identificação dos módulos de corte da madeira de Pinus pinaster (Figura 2.6). Este ensaio é, em certa medida, semelhante ao ensaio de Iosipescu e conduz a resultados semelhantes. Mas em comparação, o ensaio Arcan apresenta a vantagem de utilizar provetes de maior dimensão e do dispositivo de solicitação ser mais simples que o dispositivo de solicitação de ensaio de Iosipescu.
14
Figura 2.6- Aspeto geral do ensaio de Arcan (Oliveira, 2004).
2.6. Conceitos básicos de mecânica da fratura
A Mecânica da Fratura tem como grande objetivo a caracterização das propriedades de fratura nos três modos elementares de propagação de uma fenda (modo I, modo II e modo III), bem como a caracterização e modelação da fratura em modo misto. Os trabalhos de Griffith (1921) sobre a fratura de materiais frágeis estão na origem da Mecânica da Fratura, nomeadamente do tratamento energético da fratura. Num corpo elástico com uma fenda, submetido à ação de um sistema de forças exteriores, a taxa de libertação de energia associada à propagação dessa fenda é (Lamaitre e Chaboche, 1988): A G (2.17)
onde, 𝜕Π representa a variação da energia potencial devido à variação 𝜕𝐴 da área da fenda. A energia potencial de um corpo elástico (Π) pode ser definida da seguinte forma:
15
W
U
(2.18)sendo que 𝑈 simboliza a energia de deformação interna do corpo e 𝑊 o trabalho realizado pelas forças exteriores. Para um material frágil ideal, a rutura ocorre quando a taxa de libertação de energia é igual ao valor critico 𝐺𝑐 (Lemaitre e Chaboche, 1988):
c
G
G
(2.19)Orowan (1949), ao incorporar o efeito da plasticidade localizada na extremidade da fenda na taxa crítica de libertação de energia, contribuiu para iniciar o conceito da Mecânica da Fratura Não Linear. Esta nova área tornou-se essencial para o estudo dos materiais denominados de quase-frágeis, onde o processo de iniciação e propagação das fendas envolve o desenvolvimento de uma extensa zona de processo de fratura (ZPF), onde uma parte importante da energia de fratura é dissipada. Foi neste contexto da Mecânica da Fratura Não Linear, e com os trabalhos pioneiros de Dugdale (1960), Barenblatt (1962) e Modeer (1979), que surgiram os modelos coesivos. Os trabalhos de Petersson (1981) e Gustafsson (1985) estenderam esses conceitos à fratura da madeira.
Atualmente, o meio mais eficiente para a resolução de problemas complexos de fratura quase-frágil (Elices et al, 2002), onde estão incluídas a fratura da madeira e a fratura das ligações coladas em madeira (Barreto et al, 2010; de Moura et al, 2011), é através dos modelos coesivos implementados com elementos finitos de interface. A determinação experimental da taxa de libertação de energia, no âmbito da Mecânica da Fratura Não Linear, é baseada na equação de Irwin-Kies (Silva, 2006):
a
C
B
P
G
2
2 (2.20)onde, P é a força aplicada a um provete com espessura B, e C é a sua flexibilidade quando o comprimento da fenda assume o valor de a.
16
2.7. Fratura da madeira e das ligações coladas em
madeira
Para caracterizar completamente o comportamento à fratura dos materiais é necessário conhecer as propriedades de fratura para os três modos simples (ou modos puros) de propagação de fendas ilustrados na Figura 2.7. Cingindo-nos agora à madeira, que é um material ortotrópico, sabemos que para cada um desses modos de fratura há ainda que considerar seis sistemas de propagação distintos (Figura 2.8).
Figura 2.7- Modos de propagação puros (Barreto, 2008).
17 Ao longo dos anos, tem vindo a ser realizado um extenso trabalho que visa o desenvolvimento de métodos adequados para a identificação do comportamento à fratura da madeira em modo I, em modo II e em modo misto I/II, usando a madeira Pinus pinaster como material de referência. A madeira pertence à classe dos materiais quase-frágeis, cuja fratura é antecedida pelo desenvolvimento de uma zona de processo de fratura (ZPF) mais ou menos extensa, que contribui significativamente para a energia dissipada na fratura.
A Mecânica da Fratura Não Linear é a teoria adequada para a identificação do comportamento à fratura desses materiais, nomeadamente através dos modelos coesivos (Elices et al, 2002). Um dos grandes problemas no que toca à identificação das leis coesivas da madeira é a dificuldade na medição rigorosa do comprimento da fenda durante a propagação, devido à formação da ZPF (de Moura et al, 2008). Atualmente este problema já foi ultrapassado, com o desenvolvimento de um método que permite a obtenção das curvas de resistência apenas a partir da curva força-deslocamento (𝑃 − 𝛿), que é facilmente acessível com os meios habitualmente disponíveis nos laboratórios de ensaios mecânicos, designado por CBBM (compliance-based beam method). Este método baseia-se na teoria de vigas de Timoshenko e no conceito de fenda equivalente. Comparando com os métodos convencionais, o CBBM tem a vantagem de não exigir a medição do comprimento da fenda durante a propagação, bem como a realização de ensaios independentes para a determinação das propriedades elásticas. Esse método permite a identificação completa da curva de resistência, que é essencial para a determinação da taxa crítica de libertação de energia em materiais quase-frágeis (Novais, 2016).
O método CBBM foi pela primeira vez aplicado por de Moura et al (2008) para obter a curva de resistência em modo I da madeira de Pinus pinaster, para o sistema de propagação RL, a partir da curva força-deslocamento obtida em ensaios DCB (double cantilever beam). Mais tarde, Dourado et al (2010) validaram experimentalmente o método CBBM, comparando as curvas de resistência em modo I da madeira de Pinus pinaster com as curvas de resistência obtidas através do método modificado de calibração experimental da flexibilidade (MECM: modified experimental compliance method), recorrendo mais uma vez ao ensaio DCB.
Tanto para a madeira como para as ligações coladas em madeira, os trabalhos anteriores demonstram a superioridade dos ensaios DCB. O ensaio DCB é um ensaio de simples execução, que juntamente com o método CBBM forma um método expedito para a obtenção da taxa crítica de libertação de energia da madeira e de ligações coladas em madeira. No entanto, devido à estrutura anatómica da madeira, o ensaio DCB apenas pode ser utlizado nos sistemas de propagação RL e TL.
18 O ensaio ENF (end-notched flexure) é o ensaio mais utilizado para a caracterização do comportamento à fratura em modo II. Silva et al (2006) realizaram um estudo por elementos finitos do ensaio ENF, aplicado aos sistemas de propagação RL e TL da madeira de Pinus pinaster, observando o desempenho dos métodos clássicos de tratamento de dados (método de calibração da flexibilidade e teoria de vigas), bem como o efeito do atrito entre braços do provete e da tensão de rotura coesiva ao corte. Posteriormente, de Moura et al (2006) desenvolveram e validaram o método CBBM para o ensaio ENF, recorrendo à simulação por elementos finitos. O ensaio ENF, juntamente com o método CBBM, foi usado pela primeira vez por de Moura et al (2009) para determinar a taxa crítica de energia da madeira de Pinus pinaster (para o sistema de propagação RL). Nesse trabalho, de Moura et al (2009) validaram o método CBBM comparando as curvas força-deslocamento e as curvas de resistência obtidas experimentalmente com as curvas obtidas por simulação numérica, para todos os provetes ensaiados. Recentemente, Xavier et al (2011) aplicaram o método CBBM para determinar, através do ensaio ENF, a curva de resistência em modo II de ligações coladas em madeira de Pinus pinaster e Araldite®2015. Este
trabalho serviu para validar o método CBBM por comparação com o método clássico MECM (Monteiro, 2013).
Os modelos coesivos, implementados através de elementos finitos de interface, são atualmente um dos principais métodos para a previsão da resistência dos componentes estruturais, mais particularmente naqueles que empregam materiais quase-frágeis. No entanto, existe um problema com esta abordagem que tem a ver com a identificação da lei coesiva. Assim sendo, vários métodos têm sido propostos, podendo classificar-se em duas grandes classes: métodos inversos, que envolvem simulação por elementos finitos e otimização, e métodos diretos, unicamente baseados na experimentação (Novais, 2016).
2.8. Fratura viscoelástica
Rahulkumar et al (2000) estudaram o crescimento da energia de fratura em função da velocidade em ensaios de arrancamento (peel test), para filmes de polímero considerados como um sólido linear viscoelástico padrão. A dissipação de energia máxima é obtida a uma velocidade intermédia, que está relacionada com a espessura do filme e o tempo caraterístico de relaxamento. Estes autores propuseram um modelo coesivo dependente da velocidade de deformação.
19 Oyen-Tiesma e Cook (2001) consideraram o problema da fratura viscoelástica da neocartilagem, em que defendem que será necessário sobrestimar Jc uma vez que
parte da energia relativa à curva força-deslocamento não está disponível na propagação da fenda. Para os tecidos moles sem deformação plástica significativa, a energia total, que pode ser medida experimentalmente, é composta pela soma da energia de fratura e da energia viscoelástica. Koop et al (2003) estudou dois métodos para estimar a energia viscoelástica. Para caracterizar a precisão desses métodos, Koop et al (2003) apresentaram um modelo teórico de propagação de fendas em tecidos moles viscoelásticos recorrendo a um ensaio de tração, a partir do qual a energia viscoelástica foi calculada. Concluíram que para algumas velocidades de deformação mais elevadas, o uso do método Oyen-Tiesma e Cook (2001) pode revelar-se uma maneira razoável de estimar a energia de fratura.
Geibler e Kaliske (2009) apresentaram, para o ensaio de arrancamento de filme (peel test), uma nova extensão viscoelástica para as leis coesivas em modo I. Compararam o desempenho desse modelo com a abordagem baseada na incorporação da velocidade de abertura da fenda nas leis coesivas. Concluíram que apenas o modelo viscoelástico é capaz de incorporar os efeitos de relaxação, de fluência ou de histerese na zona de processo de fratura.
Kutnar et al (2007) estudou a influência da compressão térmica viscoelástica (VTC) da madeira sobre o desempenho de ligações coladas. Para o estudo da fratura em modo II recorreram aos métodos over-notched flexure (ONF) e end-notched flexure (ENF). Foram examinados quatro grupos diferentes: um grupo de controlo e três grupos VTC com três graus diferentes de densificação. Para a junta colada foi usado um adesivo de resina de fenol-formaldeído (PF). Antes do teste de fratura, a ligação colada foi examinada e foi medida a penetração efetiva (EP) do PF na estrutura capilar da madeira. Os resultados mostraram que a EP era maior nos provetes de madeira do grupo de controlo; já no caso dos provetes VTC a EP diminuiu com aumento do grau de densificação. Nos provetes de controlo, a propagação da fenda em modo II ocorreu na interfase, enquanto nos provetes VTC a fenda desviou-se da interfase para a madeira VTC. Concluindo que, a resistência à fratura com adesivo PF em modo II da madeira VTC foi superior à da madeira não tratada.
20
2.9. Conclusões
Da revisão bibliográfica que apresentamos neste capítulo, extraímos as seguintes conclusões:
1. Foram desenvolvidos métodos fiáveis para a identificação direta das propriedades elásticas da madeira. Mas em virtude da ortotropia da madeira, a identificação de todas as constantes elásticas independentes (nove constantes) obriga à realização de, pelo menos seis ensaios independentes: três ensaios para a determinação dos módulos de elasticidade e coeficientes de Poisson; três ensaios para a determinação dos módulos de corte.
2. Estão disponíveis ensaios para a caraterização do comportamento à fratura, quer da madeira quer das juntas coladas em madeira, para os modos puros I e II. Para o modo I destaca-se o ensaio DCB (double cantilver beam), e para o modo II destaca-se o ensaio ENF (end notched flexure). O método CBBM (método de calibração da flexibilidade baseada na teoria de vigas) é a metodologia mais adequada para o processamento dos dados experimentais dos ensaios DCB e ENF, para a determinação das curvas de resistência. 3. Os efeitos viscoelásticos na fratura podem ser importantes para a correta
modelação da fratura de ligações coladas. No caso das ligações coladas em madeira não encontramos quaisquer trabalhos publicados sobre este tópico.
21
Capítulo 3
Comportamento à fratura em modo I: ensaio
DCB
3.1. Introdução
Neste capítulo são apresentados os detalhes do trabalho que foi realizado com o objetivo de caracterizar o comportamento à fratura em modo I de ligações coladas em madeira de Pinus pinaster (Ait.), para diferentes velocidades de solicitação. Em primeiro lugar, é descrito o ensaio DCB (double cantilever beam) e o provete utilizado para a identificação da curva de resistência e da lei coesiva, para o sistema de propagação RL (R é a direção normal ao plano da fenda e L é a direção de propagação da fenda). Depois é apresentada a análise por elementos finitos do ensaio DCB que foi efetuada com vista à validação do método inverso de identificação da lei coesiva em modo I, baseado na curva 𝑃 − 𝛿 e num algoritmo de otimização previamente desenvolvido (Pereira et al 2017). Finalmente são apresentados e discutidos os resultados dos ensaios experimentais, quer em termos do efeito da velocidade de solicitação sobre a taxa critica de libertação de energia, quer em termos do efeito sobre a lei coesiva.
3.2. Material e provetes
Os provetes utilizados foram fabricados a partir de pranchas radiais de madeira de Pinus pinaster. Os provetes foram cortados por forma que o sistema de propagação fosse o sistema RL, sendo L (direção longitudinal das fibras) a direção de propagação da fenda e R (direção radial dos anéis de crescimento) a direção normal ao plano da fenda. Cada provete é constituído por duas peças de madeira, coladas com um adesivo de poliuretano da WURTH (referência 0892 100 170 066). Foi estimada uma
22
Figura 3.1 - Geometria e dimensões do provete DCB (dimensões em mm).
espessura média do adesivo de 0,1mm. Na Figura 3.1 encontram-se a forma e as dimensões dos provetes usados. Para ligar os provetes às amarras da máquina de ensaios mecânicos foram introduzidos furos com o diâmetro nominal de 2mm. Mais adiante, quando descrevermos os ensaios DCB, explicaremos como foram introduzidos esses furos.
3.3. O ensaio DCB
O ensaio DCB (double cantilever beam) tem vindo a ser usado para a caracterização do comportamento à fratura em modo I da madeira e de ligações coladas em madeira, uma vez que garante uma propagação da fenda estável (Silva et al, 2004; Moura et al, 2008). Na Figura 3.2 está representado o esquema desse ensaio: nas extremidades do provete é aplicado um deslocamento monotonamente crescente , ao qual corresponde uma força 𝐹, e que a dada altura provoca a variação 𝑎 − 𝑎0 do comprimento da fenda inicial 𝑎0 (Dâmaso, 2009). A partir dessas grandezas
é determinada a taxa de libertação de energia, recorrendo à equação de Irwin-Kies:
a
C
B
P
G
2
2 (3.1)onde 𝐵 é a largura e 𝐶 é a flexibilidade do provete,
P
23
Figura 3.2 - Esquema do ensaio DCB (Moura et al, 2008).
Há vários métodos para determinar a curva de resistência 𝐺𝐼= 𝐺𝐼(𝑎) a partir
dos resultados experimentais do ensaio DCB. Os mais comuns são o CCM (compliance calibration method) e o CBBM (compliance-based beam method) descritos em Moura et al (2008) e Dourado et al (2010). Estes dois métodos baseiam-se no conceito de comprimento de fenda elástica equivalente (𝑎𝑒), não requerendo a
medição experimental de 𝑎. Porém, o método CCM requer a realização de ensaios adicionais para a calibração da flexibilidade do provete, isto é, para a obtenção da função 𝐶(𝑎0). O método CBBM tem a vantagem de não requerer a referida calibração.
De facto, este método baseia-se na teoria das vigas de Timoshenko e no teorema de Castigliano, para chegar à seguinte expressão para a flexibilidade do provete DCB (Silva, 2011): LR L
BhG
a
Bh
E
a
C
5
12
8
3 3
(3.3)onde 𝐸𝐿 é o módulo de elasticidade longitudinal e 𝐺𝐿𝑅 é o módulo de corte no plano de
flexão. Esta equação não inclui a influência da rotação da secção do provete e da concentração de tensões, na extremidade da fenda. No entanto, pode ser usada para determinar o módulo de flexão 𝐸𝑓, a partir da flexibilidade inicial (𝐶0), considerando a
correção do comprimento da fenda inicial (𝑎0) proposta por Williams (1989),
3 3 0 1 0 0 ) ( 8 5 ( 12 Bh h a BhG h a C E LR f (3.4) onde,
24 2 1 2 3 11 LR f G E (3.5) LR T f
G
E
E
18
,
1
(3.6)sendo, 𝐸𝑇 o módulo de elasticidade transversal ao plano de flexão. Durante a
propagação, a Equação 3.3 continua a ser válida, desde que se substitua 𝐸𝐿 por 𝐸𝑓 e o
comprimento de fenda atual 𝑎 pelo comprimento de fenda equivalente 𝑎𝑒𝑞,
ZPF eq
a
h
a
a
(3.7) de onde resulta LR eq f eq BhG a Bh E a C 5 12 8 3 3 (3.8)A parcela 𝑎𝑍𝑃𝐹 foi introduzida para contemplar o efeito, sobre a flexibilidade, da zona de processo de fratura (ZPF) que se desenvolve na extremidade da fenda durante a propagação. Assim, resulta que
LR f eq IG
h
E
a
h
B
P
G
5
1
2
6
2 2 2 2 (3.9)Em termos experimentais são desconhecidos os valores atuais de 𝑎 e de 𝑎𝑍𝑃𝐹, mas a
Equação 3.7 pode ser utilizada para determinar o comprimento de fenda equivalente (𝑎𝑒𝑞) e o comprimento de fenda efetivo 𝑎𝑒𝑓 = 𝑎𝑒𝑞− ℎ, associados a cada ponto da
curva 𝑃 − 𝛿 experimental. Desta forma obtém-se a curva de resistência ou curva R (Silva, 2011).
25
3.4. Trabalho experimental
Os ensaios mecânicos foram realizados numa máquina universal de ensaios mecânicos INSTRON 5848 (MicroTester). Na Figura 3.3a pode ser apreciado o aspeto geral da montagem experimental e na Figura 3.3b pode ser apreciado o aspeto dum provete num dado instante da propagação da fenda. Foram feitos ensaios para cinco velocidades do atuador: 0,05mm/min, 0,5mm/min, 5mm/min, 100mm/min e 500mm/min. Para cada velocidade foram ensaiados dez provetes. Antes dos ensaios de fratura, para 𝑎0 = 100𝑚𝑚, foram realizados em cada provete ensaios de calibração
da flexibilidade (sem introdução de qualquer dano no provete) considerando os seguintes comprimentos de fenda iniciais: 𝑎0= 160𝑚𝑚 e 𝑎0= 130𝑚𝑚, por esta
ordem. Os furos nos braços do provete para cada um desses comprimentos de fenda inicial (Figura 3.1) foram introduzidos sequencialmente, ensaio após ensaio. Notar que a Figura 3.3a diz respeito ao primeiro ensaio de calibração (para 𝑎0= 160𝑚𝑚) e, por
isso, apenas tem os furos correspondentes. Na Figura 3.4 encontram-se as curvas 𝑃 − 𝛿 de calibração da flexibilidade e a curva 𝑃 − 𝛿 do ensaio de fratura, para um dos provetes ensaiados.
(a)
Figura 3.3 – Ensaio DCB: (a) vista geral das amarras e do provete no início do ensaio;
26 (b)
Figura 3.3 – Ensaio DCB: (a) vista geral das amarras e do provete no início do ensaio;
(b) aspeto do provete fraturado. (continuação)
Figura 3.4 – Exemplo de curvas 𝑃 − 𝛿para a calibração da flexibilidade dos provetes
DCB e de curva 𝑃 − 𝛿para a fratura (provete ensaiado à velocidade do atuador de
5mm/min).
Na Figura 3.5 estão reunidas todas as curvas 𝑃 − 𝛿 para os provetes ensaiados à velocidade do atuador mais baixa (Figura 3.5a) e à velocidade do atuador mais alta (Figura 3.5b), da gama de velocidades considerada neste trabalho. Para as restantes
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 0 1 2 3 4 5 6 7 Fo rça, P (N ) Deslocamento, (mm) a0=130 mm a0=100 mm a0=160 mm
27 velocidades, as curvas 𝑃 − 𝛿são qualitativamente semelhantes e exibem a mesma dispersão que as que constam na Figura 3.5.
(a)
(b)
Figura 3.5 – Curvas 𝑃 − 𝛿 dos ensaios DCB: (a) velocidade do atuador v=0,05mm/min; (b) velocidade do atuador v=500mm/min.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 0 2 4 6 8 10 Fo rça, P (N ) Deslocamento, (mm) 0 20 40 60 80 100 120 0 2 4 6 8 10 12 Fo rça, P (N ) Deslocamento, (mm)
28 Para cada provete, após a execução dos ensaios de fratura, foi determinada a massa volúmica, pelo método gravimétrico. O valor obtido para cada provete é a média da massa volúmica de cada braço, determinada em amostras com as dimensões 20x20x10mm3. A massa de cada uma dessas amostras foi determinada
numa balança analítica KERN, com a resolução de 0,1mg. Na Tabela 3.1 encontram-se os valores obtidos em cada provete, para as diferentes velocidades. Os valores médios das massas volúmicas para cada velocidade estão representados na Figura 3.6, em função do logaritmo da velocidade. Existe uma correlação negativa entre as duas grandezas, que é estatisticamente significativa. Contudo, as duas grandezas não estão fisicamente relacionadas.
Tabela 3.1 – Massas volúmicas dos provetes DCB, (kg/m3).
Provete Velocidade do atuador (mm/min)
0,05 0,5 5 100 500 1 613,1 532,5 582,5 485,3 523,7 2 565,9 541,3 493,8 539,0 533,3 3 525,5 531,3 539,3 537,1 561,1 4 571,1 501,1 484,7 552,4 489,0 5 489,1 492,1 511,8 557,4 509,1 6 553,4 518,5 561,8 554,5 588,6 7 544,6 533,5 548,7 491,9 549,1 8 547,5 611,8 473,3 492,1 506,8 9 500,8 608,3 499,0 500,0 519,0 10 546,8 Média (kg/m3) 545,7 541,2 521,7 523,3 532,6 CV (%) 6,9 7,8 7,3 5,8 5,5
Figura 3.6 – Relação entre a massa volúmica e a velocidade do atuador dos ensaios
DCB. = -4,380Logv + 536,2 R² = 0,456 520 525 530 535 540 545 550 -2 -1 0 1 2 3 (k g /m 3) Log v (mm/min)
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3.5. Análise por elementos finitos
O ensaio DCB foi simulado através do método dos elementos finitos. Para o efeito, foi elaborado um modelo bidimensional (Figura 3.7), com elementos planos de 8 nós (no total de 7680 elementos) e com elementos de interface de 6 nós (no total de 320 elementos). Os elementos de interface foram colocados ao longo da junta adesiva, entre os braços do provete DCB. Aos elementos planos foram atribuídas as propriedades elásticas da madeira que constam na Tabela 3.2. Por sua vez, aos elementos finitos de interface foi associada a lei coesiva em modo I que está representada na Figura 3.8 e cujos parâmetros se encontram na Tabela 3.2; esses parâmetros são representativos do adesivo utilizado no trabalho experimental. As condições de fronteira aplicadas no modelo procuram reproduzir as condições de fronteira em vigor no trabalho experimental (Figura 3.7): o nó A (a meia altura do braço inferior) foi impedido de se deslocar na direção xx (ux=0) e na direção yy (uy=0); no nó
B (a meia altura do braço superior) foi impedido o deslocamento na direção xx (ux=0),
enquanto na direção yy foi aplicado um deslocamento incremental de 0,01*dmax mm.
Foi efetuada uma análise geometricamente não linear.
Figura 3.7 – Malha de elementos finitos e condições de fronteira do ensaio DCB.
Figura 3.8– Lei coesiva em modo I introduzida no modelo de elementos finitos.
0 2 4 6 8 10 0,00 0,05 0,10 0,15 (M P a) w (mm)
