Identificação do modelo dinâmico e controlo da motorização de um Robot móvel

CONTROLO DAMOTORIZAÇODE UM

ROBOT MÓVEL

André Gustavo S olariCon eição

∗,1

Paulo José Cerqueira Gomesda Costa

∗

Antonio Paulo Gomes Mendes Moreira

∗

∗

Fa uldade de Engenharia,Universidade do Porto,

Portugal

Resumo: A sintetização de equações dinâmi as de um robot móvel podem ser

difí eiseprovavelmenteine azes,quandonãosepossuiumaquanti açãoexa ta

de ara terísti asfísi asdorobot.Além disso,aarquite tura me âni adorobot

podeprovo arnãolinearidadesnomodelodomesmo,provenientesdeperturbações

omo folgase atritos,di ultandoainda maisatarefade equa ionarummodelo

paraumrobotmóvel.Estetrabalhoabordaráaidenti açãodeummodeloparao

pro esso(motor+redução+en oder)deumrobotmóvel.Serãousadasté ni as

baseadasemestimadoresMínimosQuadradosesuavarianteVariávelInstrumental

paraestimar arespe tivafunçãodetransferên ia.

Keywords:Robotmóvel,modelodinâmi o, ontrolodigital.

1. INTRODUÇO

Neste trabalho será abordada a identi ação do

modelo dis reto do pro esso representado na

gura2,quetem afunçãoderela ionaratensão

apli adaaosmotoresmotores, omasvelo idades

e a elerações do mesmo. Trata-se de um robot

omnidire ional, na gura 1 pode-se veri ar a

disposiçãodosquatromotores.

O sistema dinâmi o dis reto da gura 2 vai ser

modelizado omoumsistema omumaentradae

umasaída,equenãosofreinuên iasigni ativa

de perturbações. Sendo assim, para representar

a dinâmi a do sistema vai ser onsiderado um

modelolineardis reto,eparaadeterminaçãodos

oe ientesdestemodeloserãoutilizadasté ni as

de estimação, omo mínimos quadrados e sua

1

ComoapoiodoProgramaAl

β

an,Programadebolsasde

altoníveldaUniãoEuropeia paraAméri a Latina,bolsa

o

Figura1.RobotMóvel-motores.

variante Variável Instrumental. A identi ação

de um modelo para este pro esso possibilitará

proje tar e simular ontroladores de uma forma

maise ienteparatarefasdenavegaçãodorobot,

omo por exemploo PID dis retoimplementado

no mi ro ontrolador do robot. A partir deste

trabalho também será possível partir para um

modelodinâmi o ompletodorobotmóvel.

Orobotpossuiumaestruturade ontroloe

Figura2.Sistemadinâmi odis reto.

Figura3.Arquiteturade ontroloe omuni ação.

O PC ontrola todas as a ções do robot. A

o-muni ação omomi ro ontroladoréfeitaatravés

da porta série (RS232), que gera os sinais de

ontrolodosmotores.Osmotoressão ontrolados

porsinaisdePWM(PulseWidthModulator)que

apartirdeumDrivedepotên iageraas tensões

na gama de 0 a 24 volts para o fun ionamento

dos mesmos.O software de ontrolo no PC,

tra-balha em uma adên ia baseada na frequên ia

da âmara, 25 Hz, resultando em uma taxa de

pro essamentodastarefasdorobotde

40ms

.

En-tretanto, no rmware do mi ro ontrolador está

implementado um PID dis reto que ontrola a

velo idade dos motores, om uma frequên ia de

amostragem de

100Hz

, resultando num ontrole

maise az.

2. MODELODETERMINÍSTICOEMÍNIMOS

QUADRADOS

Em geral, sistemas dinâmi os lineares dis retos

invariantesnotempopodemserrepresentadospor

uma equação linear às diferenças de ordem

n

,

rela ionandoasaída dosistema omas entradas

e saídas dos instantes anteriores. Des revendo o

sistema por um modeloentrada-saída(Moreiraet

al.,2002)(Carvalho,1993)(Va aro,1995)tem-se

y(k) = −

na

X

i=1

a

i

y(k − i) +

nb

X

i=0

b

i

u(k − i),

(1)

sendo

y(k)

asequên iadesaída,

u(k)

asequên ia

deentradae

k

avariáveldetempodosistema.

Apli andoatransformada

Z

àequaçãoàs

diferen-ças(1)obtém-se

U (z)

Y (z)

=

(1 + a

1

z

−1

+ ... + a

n

z

−n

)

(b

o

+ b

1

z

−1

+ ... + b

n

z

−n

)

,

(2)

multipli ando ambos os lados por

z

n

e

reorgani-zandoaequação,obtém-seafunçãode

transferên- ia de sistemas dis retos no tempo representada

por

H(z) =

Y (z)

U (z)

=

b

o

z

n

+ b

1

z

n−1

+ ... + b

n

z

n

_{+ a}

1

z

n−1

+ ... + a

n

,

(3)

sendo o numerador e o denominador denidos

respe tivamente omo

B(z) = b

o

z

n

+ b

1

z

n−1

+ ... + b

n

,

(4)

A(z) = z

n

_{+ a}

1

z

n−1

+ ... + a

n

.

(5)

Emsistemas ontroladosdigitalmente,osmodelos

des ritospelaequação(1)sãogeralmente

utiliza-dosparades revero omportamentodinâmi odo

pro essoa ontrolarentreaentradado onversor

D/A e a saída do onversor A/D, mostrado na

gura2.

Para a estimação de sistemas dinâmi os vamos

onsiderar o modelo esto ásti o da equação(6),

onforme(Goodwin and Payne, 1997)(Moreiraet

al.,2002)

y(k) = H

1

(z)u(k) + H

2

(z)ξ(k),

(6)

onde

y(k)

e

u(k)

são as sequên ias de saída e

entrada respe tivamente, e

ξ(k)

é a sequên ia

de ruído bran o gaussiano om variân ia

σ

2

e

média nula. Considerandoasituação onde

H

1

(z)

e

H

2

(z)

são parametrizados omo

B(z)

A(z)

e

1

A(z)

respe tivamente, onformeas equações(4)e (5),

omodelodaequação(6)podeserexpresso omo

A(q

−1

_{)y(k) = B(q}

−1

_{)u(k) + ξ(k)}

(7) em que

q

−1

é o operador de atraso

q

−1

_{y(k) =}

y(k − 1)

,então

y(k) = −a

1

y(k − 1)... − a

na

y(k − na) + ...

b

0

u(k)... + b

nb

u(k − nb) + ξ(k)

= x(k)

T

_{θ + ξ(k)}

(8)

onde

θ

T

= (a

1

, ..., a

na

, b

0

, ..., b

nb

)

(9)

x(k)

T

= (−y(k − 1), ..., −y(k − na)...

u(k), ..., u(k − nb)).

(10)

A equação 8pode ser es ritana forma ve torial

para

N

amostras, omo

Y = Xθ + Ξ

(11)

Y

T

_{= [y(1), ..., y(N )],}

(12)

X

T

= [x(1), ..., x(N )],

(13)

Ξ

T

= [ξ(1), ..., ξ(N )].

(14)

A equação (11) sugere a apli ação do estimador

mínimos quadrados(Goodwin and Payne, 1997),

sendooestimadorresultantepara

θ

,

b

θ = [X

T

_X]

₋₁

_X

T

_Y.

(15)

3. APLICANDOMÍNIMOS QUADRADOS

Numa primeira etapa apli ou-se o sinal de

ex i-taçãodagura4nopro esso,obtendo-sea urva

de velo idade do motor 1(frente) em metros por

segundo, onformeagura5.

0

50

100

150

200

250

300

350

0

50

100

150

200

250

amostras

PWM − 0 a 255

Figura4.RuídoBran oGaussiano.

0

50

100

150

200

250

300

350

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

amostras

velocidade[m/s]

Figura5.Curvadevelo idadedomotor1.

Veri a-senagura5omomentoemqueoruído

do sinalde ex itação omeça aa tuarna

velo i-dadedomotor,apartirdaamostra50.Notam-se

também perturbações e algum ruído de medida

na etapa anterior à amostra 50, tal deve-se ao

fa to do sistema estar em malha aberta e

qual-quer irregularidadedo pisoou rodasinuen iam

avelo idade.

Antesdeapli arosmínimosquadradoséne essário

retirar o valor médio da entrada e da saída de

modo aqueuma entrada nulaorigine uma saída

De posse de todas as informações ne essárias

para efe tuar a estimação dos mínimos

quadra-dos, partiu-se para uma segunda etapa, om o

obje tivo estimar os oe ientes de funções de

transferên ia que representem as ara terísti as

dopro esso.Foirealizadaaestimaçãopara8tipos

defunçõesdetransferên ia(FT),degrau1até6.

Natabela3apresenta-seoresultadodaestimação

paraas diferentesfunçõesdetransferên ia,assim

omooerrodaestimaçãoeosvaloresdosganhos,

pólosezeros.

Nagura6apresenta-seosinalmedidoda

velo i-dadedomotor1doroboteavelo idadeestimada

omafunção detransferên iadotipo

F T b

,

on-forme a tabela 3. O erro apresentado na tabela

3 é al ulado pelo MSE (Mean Square Error),

denido omo

M SE() =

P

N

1

[(b

Φ − Φ)

2

]

N

,

(16)

que al ula a média do quadrado da diferença

entreo onjuntodevelo idadesestimadas(

Φ

b

)

b

Φ = [b

y(1), ..., b

y(N )]

T

,

e o onjunto de velo idadesmedidas(

Φ

) dos

mo-tores,

Φ = [y(1), ..., y(N )]

T

_.

sendo

N

onumerodeamostras.

0

50

100

150

200

250

300

−0.2

−0.15

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

samples

Vel. medida

Vel. Estimada

Figura6.Velo idademedidaeestimada om

F T b

-motor1.

3.1 Validaçãoda Estimativa

Para a validação e es olha do modelo deve-se

apli arumsinaldeex itaçãodiferentenopro esso

e na função de transferên ia estimada om o

primeiro onjunto de dados, e al ular o MSE

do erro entre as duas urvas de velo idade

re-sultantes. Sendo assim, na tabela 1 e na gura

7 apresentam-se os erros de validação para as

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

x 10

−3

MSE(erro)

Tipo

a

b

c

d

e

Figura 7. Resultados da validação para as

difer-entes FTs.

TipoFT Grau MSE(erro)

F T a

1 0.0042402

F T b

2 0.0010013

F T c

2 0.00099887

F T d

3 0.00099609

F T e

4 0.00099436

F T f

5 0.00099183

F T g

6 0.00099442

Tabela1.Resultadosdavalidação para

as diferentesFTs.

as urvasdevelo idademedidaesimuladaparaa

funçãodetransferên iadotipo

F T b

.

A partir dos erros apresentados na validação,

veri a-seque afunção de transferên ia do tipo

F T b

,degrau2,poderepresentarumaboa

aproxi-maçãodopro esso.Esseresultadotem oerên ia,

sendoqueosistema apresentadonagura2

pos-sui um atraso devido ao "loop"de omuni ação,

representadopelopólonaorigem.Opro esso om

um motor DC pode ser aproximado por um

sis-temadeprimeiraordem,poispode-sedesprezara

indutân iadomotor devidoa onstante elé tri a

ser muito pequena omparada om a onstante

me âni adomesmo(Carvalho,1993).AFTmais

indi ada seria a do tipo

F T g

, pois apresentouo

menorerro, eapartirda

F T h

oerro omeçoua

aumentar.Maslevando-se em ontaquea

F T b

é

umsistemamaissimples,fa ilitandoo ál ulode

ontroladoresem geral,equeadiferençadoerro

entrea

F T g

e a

F T b

é muitopequena, optou-se

pela

F T b

.

A

F T a

nãoapresentouumresultadosatisfatório.

A

F T d

foi testada para veri ar omo se

om-portariaaestimação omdoisatrasos(2pólosna

origem), mas na estimação veri ou-se um erro

maiorqueaFT omumatraso.

4. VARIÁVELINSTRUMENTAL

Um estimador mínimos quadrados pode não

ser onsistente aso o ruído da equação (8)

não seja bran o, também pode ser difí il

tes-tar a sua onsistên ia para um fun ionamento

generalizado. Outros estimadores onsiderados

onsistentes(Goodwin and Payne, 1997)(Moreira

0

50

100

150

200

250

300

−0.2

−0.15

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

samples

Vel. Medida

Vel. Simulada

Figura8.Velo idademedidaeestimada om

F T b

(Validação).

demonstrar maispropriedadesdosistema e

tam-bém ter um parâmetro para omparação om o

estimador mínimos quadrados. Nesta se ção vão

serapresentados os resultadosdo estimador om

variávelinstrumental,que omparando-se omos

mínimosquadradossubstitui-se

θ

b

por

θ

,sendo

θ = [Z

T

_X]

−1

_Z

T

_Y

onde amatriz Z pode ser onstruída usandoum

modeloauxiliar

Z(k)

T

= [−b

y(k − 1), −b

y(k − 2), ...

(17)

−b

y(k − n), u(k), u(k − 1), ..., u(k − n)]

(18)

onde

b

A(z)b

y(k) = b

B(z)u(k)

e

A(z)

b

,

B(z)

b

são polinómios ujos parâmetros

podemserobtidosatravésdemínimosquadrados

numa primeira iteração. Nas iterações seguintes

utiliza-se oresultadoda estimativaanteriorpara

re al ular

Z(k)

e assim su essivamente. Este

al-goritmo tem a ara terísti a de onvergir om

pou asiterações.

Na tabela 2 sãoapresentados resultados do

esti-madorvariávelinstrumental(VI)e a omparação

om mínimos quadrados(MQ) para a função de

transferên ia do tipo

F T b

. Com 3 iterações já

houveuma onvergên ia,estabilizandoos valores

dopóloedoganho. FTs MQ VI

3

a

Iteração

b1

0.00081626

0.00081538

z(z + a1)

z(z − 0.6827)

z(z − 0.7051)

M SE(erro)

0.0010013

0.00098799

Tabela2.ValoresEstimados.

Atravésdaauto orrelaçãodoerro al ulado

on-forme(19)e(20),veri a-seabran ura dos

resí-duos.Nagura9apresentam-seaauto orrelação

paraaestimativa omosMínimosQuadradosea

b

y(k) = −c

a1y(k − 1) + b

b1u(k − 2),

(19)

Erro

r

(k) = b

y(k) − y(k).

(20)

Sendo

y(k)

b

a saída estimada,

y(k)

a saída

me-dida e

u(k)

osinal de entrada. A média do erro

Erro

r

(k)

daequação (20)paraMínimos

quadra-dosfoi

5.2879e − 4

epara variáveisinstrumentais

5.2554e − 4

, veri a-se que houve uma pequena

melhora.Veri a-setambémqueaauto orrelação

do erro

Erro

r

para os mínimos quadrados já é muito típi o de ruído bran o, por este motivo

não houve uma melhora muito signi ativa om

VariáveisInstrumentais. 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Lag

Sample Autocorrelation

Sample Autocorrelation Function (ACF)

(a)MínimosQuadrados

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Lag

Sample Autocorrelation

Sample Autocorrelation Function (ACF)

(b)VariávelInstrumental

Figura9.Auto orrelaçãodoerro.

5. RESULTADOS COMOSMOTORES

RESTANTES

Nas se ções anteriores foi detalhado o

pro edi-mento para estimar osistema do motor 1,agora

serão apresentados resultados referentes aos

ou-tros 3 motores do robot. Na tabela 4 estão os

resultadosestimadosparaos4motoresdorobot,

utilizando o estimador Mínimos Quadrados e o

estimadorVariávelInstrumental.

Asrodaslaterais(motores2e4) possuem

diâme-tros maiores que das rodas dianteira(motor 1) e

traseira(motor 3), onforme a tabela 4 os

gan-hosdosmotores2e 4eviden iamestadiferença.

Também deve-se levar em onta que existe uma

distribuição irregular do peso na base do robot.

Essas ara terísti as faz om que as funções de

transferên iastenhamdiferençasentresi.No

mo-tor 4veri a-seum pólo mais lento, issodeve-se

ao maior peso sobre esta roda, devidoà posição

dasbateriasnabasedorobot.

Nas guras 10 e 11 apresentam-se grá os om

sinais reais das velo idadesdos motores eas

ve-lo idadesestimadas omasfunçõesde

transferên- iadotipo

F T b

.

6. SINTONIADEUMCONTROLADORPID

PARA OROBOT

A partir da denição de um modelo para o

0 50 100 150 200 250 300 −0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 Vel. Medida Vel. Estimada

(a)Motor1-rodadianteira

0 50 100 150 200 250 300 −0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 Vel. Medida Vel. Estimada

(b)Motor3-rodatraseira

Figura10.Motores1e3doRobot.

0 50 100 150 200 250 300 −0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 Vel. Medida Vel. Estimada

(a) Motor 2 - roda lateral

esquerda 0 50 100 150 200 250 300 −0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 Vel. Medida Vel. Estimada

(b) Motor 4 - roda lateral

direita

Figura11.Motores2e4doRobot.

ontrolador PID implementado no

mi ro ontro-lador do robot. Um ontrolador do tipo

propor- ional, integral e derivativo,geralmente

denomi-nadoPID,podeserdes rito onforme(Astrõmand

Hãgglund,1995),

u(t) = K

c



e(t) +

1

T

i

t

Z

0

e(τ )dτ + T

d

de(t)

dt





(21)

Considerandoumsistemaemmalhafe hada

on-forme a gura 12. A variável

u(t)

representa o

sinalde ontroloeavariável

e(t)

representaosinal

deerro(

e(t) = yref (t) − y(t)

).Osinalde ontrolo

é al ulado pela soma de três termos: o termo

P(no qualépropor ional aoerro), otermoI (no

qualépropor ionalaointegraldoerro)eotermo

D(noqualépropor ionalàderivadadoerro).Os

parâmetrosde ontrolosãooganhopropor ional

K

c

, o tempo integral

T

i

e o tempo derivativo

T

d

. Para a sintonia do ontrolador PID foi uti-lizado o pro edimento de posi ionaros pólos em

malha fe hada do sistema baseado no protótipo

deBessel(Va aro,1995).

Figura12.Sistema ontínuoemmalhafe hada.

Ofunçãodetransferên iaes olhidaparaopro esso

foi obtida através do estimador Variável

Instru-mental onformease ção4,

G(z) =

0.00081538

(z − 0.7051)

=

b1

z − a1

(22)

trans-dorobot.

Pode-se al ularoequivalente ontínuodopro esso

daequação(22),

G(s) =

K

τ s + 1

,

usandoaseguinterelação(Va aro,1995)

K =

b1

1 + a1

τ =

1

|ps|

pz = e

T ps

_.

Sendo

ps

opólonoplano

S

,e

pz

opólonoplano

Z

.Naequação(23)apresenta-seafunção ontínua resultante,enagura13umarespostaaodegrau

dosdoispro essos,dis retoe ontínuo.

G(s) =

0.002765

0.1145s + 1

(23)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

x 10

−3

tempo[seg]

Amplitude

Figura13.Respostaaodegraudosistemadis reto

e ontínuo.

A função de transferên ia do ontrolador,

on-formeaequação(24)representaaequaçãodeum

ontrolador PI. Es olheu-se um ontrolador PI,

eliminando-se a par ela derivativa om

T d = 0

,

devidoàs ara terísti asdopro esso(primeira

or-dem). Aa çãointegral

T i

faz omque osistema

sigaumaentradadevalor onstante omerronulo

emregime permanente.Aa çãopropor ional

K

c

temumimpa toimediatonarapidezderesposta

dosistema.

Gc(s) =

K

c

(T is + 1)

T is

(24)

A partir da função de transferên ia do sistema

em malha fe hada, que resultou num sistema

de segunda ordem e após alguns testes om o

robot, posi ionou-se os pólos do ontrolador PI

de forma a obter um tempo de estabele imento

emtornode

0.6seg

paraumarespostaaodegrau,

malhaaberta

G

M A

estádes ritonaequação(25),

G

M A

(s) = G

c

(s).G(s) =

K

c

(T is + 1)

T is

.

K

τ s + 1

(25)

Cal ulandoosistemaemmalhafe hada om

rea-limentaçãounitáriade

G

M A

(s)

obtem-se,

G

M F

(s) =

KK

c

T

i

τ

+

KK

c

s

τ

s

2

₊

(1+KK

c

)s

τ

+

KK

c

T

i

τ

(26)

Considerando atabela dos polinómios de Bessel

(Va aro,1995),paraumsistema desegunda

or-dem omtempodeestabele imentode

1seg

os

pó-lossão

p

1s

= −4.0530 ± j2.3400

.Paraotempode

estabele imento desejado (

0.6seg

), basta dividir

p

1s

por

0.6

,resultandoempólos

p

0.6s

= −6.7550±

j3.9000

. Paraobter os valoresde

K

c

e

T

i

, basta

igualar o polinómio do denominadorda

G

M F

(s)

omopolinómiodaequação(27),

(s − p1)(s − p2) = s

2

− (p1 + p2)s + p1p2

(27)

então,paraobter

K

c

,

−(p

1

+ p

2

) =

(1 + K ∗ K

c

)

τ

K

c

=

−τ ∗ (p

1

+ p

2

) − 1

K

(28) eparaobter

T

i

,

(p

1

p

2

) =

KK

c

T

i

τ

T

i

=

KK

c

τ p

1

p

2

(29)

AFTresultanteéapresentadanaequação(30)

G

M F

(s) =

4.775s + 0.3747

s

2

_{+ 13.51s + 60.84}

(30)

Naequação(31)apresenta-seafunçãodo

ontro-lador PIenaequação(32)oequivalentedis reto

invariante narespostaaodegrau(ZOH-zero-order

hold)(Franklin et al., 1997), para uma taxa de

amostragemde

10ms

.

Gc(s) =

197.68(0.07848s + 1)

0.07848s

(31)

Gc(z) =

197.68(z − 0.8726)

(z − 1)

(32)

Testou-seos parâmetrosno ontroladorPIno

ro-bot,obtendo-searespostadagura14,veri a-se

que om

0.6seg

atingiu-se areferên ia, omuma

resposta transitória satisfatória. Para melhorar

estaresposta,introduziu-senosistemaemmalha

do sistema, pois não altera os pólos em malha

fe hada. Entretanto, o ganho Feedforward

me-lhora a resposta transitória do sistema(Va aro,

1995). Na gura15 veri a-se amelhora na

res-posta transitória om

f = 200

, este valor foi

baseado em simulações. A entrada de referên ia

foiumdegraudeamplitude

0.6(m/s)

.Diferenças

entre a simulação e as velo idades medidas são

a eitáveis neste aso, tendoem onta a

simpli i-dade do modelo es olhido(primeira ordem) e as

aproximações ometidas.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6

0.65

Tempo[seg]

Velocidade[m/s]

Simulada

Medida

Figura 14. Sistema em malha fe hada sem

Feed-forward.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6

0.65

Tempo[seg]

Velocidade[m/s]

Simulada

Medida

Figura 15. Sistemaem malha fe hada om

Feed-forward.

Figura 16. Sistema ontínuo em malha fe hada

omFeedforw ard.

7. CONCLUSÕESETRABALHOS FUTUROS

Neste trabalho o obje tivoprin ipal foi a

mode-lização dopro esso motor+ redução+en oder,

onforme a gura 2, de um robot móvel.

Usou-se té ni as baseadas em estimadores Mínimos

Quadrados e sua variante Variável Instrumental

ontroladorPID dorobot. Comos ontroladores

PID sintonizadospara os quatro motores do

ro-bot pode-separtirpara uma segunda etapa,que

abordará a modelização da dinâmi a do robot

onsiderando o mesmo omo um sistema

multi-variávelenglobandoospro essosmodelizados

an-teriormente.

REFERÊNCIAS

Astrõm, Karl J. and Tore Hãgglund (1995).

PID ontrollers:Theory,design,andtuning .

International So iety for Measurement and

Con.

Carvalho,J.L.MartinsDe(1993).Dynami al

Sys-temsandAutomati Control. Prenti eHall.

Franklin, Gene F., J.David Powell and Mi hael

Workman(1997).Digital ontrol of dynami

systems. Addison WeleyLongman,In .

Goodwin,G.C.andR.L.Payne(1997).Dinami

SystemIdenti ation.A ademi Press.

Moreira, A. P. G. M., P. J. G. Costa and

P. J. Lopes dos Santos (2002).

Intro-dução à Identi ação de Modelos Dis retos

para Sistemas Dinâmi os. Sebenta FEUP.

www.fe.up.pt/amoreira.

Va aro, R.J. (1995).Digital Control - A

grau

1

2

2

3

b1

b2

b1z + b2

b2z + b3

z

+ a1

z(z + a1)

z(z + a1)

z

2

(z + a1)

ganho,zero,

−5.73e − 6

8.16e − 4

7.58e − 6(z + 107.7)

8.12e − 4(z − 0.1077)

polo

(z − 0.7033)

z

(z − 0.6827)

z

(z − 0.6823)

z

2

(z − 0.7295)

MSE(erro) 0.0034488 0.00036275 0.00036142 0.00036471 FTs FTe FTf grau

3

4

b1z

2

+ b2z + b3

b1z

3

+ b2z

2

+ b3z + b4

z(z

2

+ a1z + a2)

z(z

3

+ a1z

2

+ a2z + a3)

ganho,zero,

6.25e − 6(z + 129.6)(z + 0.2702)

5.28e − 6(z + 153.5)(z

2

+ 0.206z + 0.053)

polo

z

(z − 0.7541)(z + 0.4024)

z

(z − 0.6946)(z + 0.457)(z − 0.183)

MSE(erro) 0.00035635 0.00032468 FTs FTg grau

5

b1z

4

+ b2z

3

+ b3z

2

+ b4z + b5

z(z

4

+ a1z

3

+ a2z

2

+ a3z + a4)

ganho,zero,

5.6e − 6(z + 143.8)(z − 0.1982)(z

2

+ 0.4159z + 0.1107)

polo

z(z − 0.6526)(z − 0.4272)(z

2

+ 0.6709z + 0.1383)

MSE(erro) 0.00031945 FTs FTh grau

6

b1z

5

+ b2z

4

+ b3z

3

+ b4z

2

+ b5z + b6

z(z

5

+ a1z

4

+ a2z

3

+ a3z

2

+ a4z + a5)

ganho,zero,

9.50e − 6(z + 84.98)(z

2

− 0.6704z + 0.2717)(z

2

+ 0.8872z + 0.3613)

polo

z(z − 0.6577)(z

2

− 0.728z + 0.2254)(z

2

+ 0.9745z + 0.3502)

MSE(erro) 0.00031737

Tabela3.Resultadosdaestimaçãoparadiferentes FTs omMínimosQuadrados.

MinimosQuadrados Motor1 Motor2 Motor3 Motor4

Dianteira Lateralesquerda Traseira Lateraldireita

b1

0.0008163 0.00044521 0.00075587 0.00037482

z(z + a1)

z(z-0.6827) z(z-0.6425) z(z-0.677) z(z-0.7448)

Variável Motor1 Motor2 Motor3 Motor4

Instrumental Dianteira Lateralesquerda Traseira Lateraldireita

b1

0.00081538 0.00044513 0.00075507 0.0003748

z(z + a1)

z(z-0.7051) z(z-0.6734) z(z-0.6953) z(z-0.7565)

Tabela4.ValoresEstimados omMínimosQuadradoseVariávelInstrumentalpara