Aritmética complementar, 8ª Edição, (s.d.).

(1)

(2)

■

Kfl.: /

(3)

flRITHMETICA

eOMPlEMENTAR

, • Para os Corsos Priiiiario Complroieotar, Normal e Commrreial

Compléta e desenvolvida coni;endo tambem as not;Oes necessarias

para a resoluçào de pequenos problemas pclas equpçCes

alg-ebricas e urn grande numéro de exercicios e problemas

P O R

TITO CARDOSO DE OLIVEIRA

Cente Cathedratico da Escola Pratica de Commerdo do Para

^ auctor da Arithmetica rudimentar, da Geoinem'a primaria. das

boacias uteis e da collecçâode cadernos de exercicios graduados

para os curses elemenfar e complementar do ensino primario

V I I I E I 3 I Ç A O

TJVRARIA ESCOLAR E OASA EDITORA

PORTO DE OLIVEIRA

Tfavci^a Campos Salles, - i b e l e m — P A R A

(4)

P R E F A G I O

( D& ûi. ^ eâiçâo )

Apoloçista do methodo que manda incluir no estudo da Aritlnne.

tîca pnm.iria algutnas iiovôes nocessaiias p-îia a rcsohK'3'>^do p-equcnos

piobjein ts. pelas equaçôes alpcbricas, sem. entretanto, f^xer se mn

e^tudo directe de Algebra, re^olvemos adaptar A nosaa 'Aritluurlka Coin-plomntai-^ este yantajoso methodo. que embora nâo ^e Ihe qucira

re-coiines.er as militas yautagens que trarâ ao ensino, iiâo se liie riotlerà ' negar o grande scrviço nue prestarâ âs creani;as, desenvolvcndo-lhes a inteHi};eîicia e acostuniando-as a raciocinar corn incthodo

hahitixeoins os alumiios ao emprcgo da Ictra para repre.sentar o

yaior acsconhecido em,suas opérandes ou problcmas arithmeticos cotuo ja îaxeuios uo esiado das proporçôes, regra de 3 etc., sem lîu's talar em Ai>;ebrfc os façanios praticar com as propricdadcs das operaçô-'S

fnn-tiarnentaes qu..-i- corn aîgarismos sdmente como corn estes e a letra x, com o que ja estSo unioem mais ou mènes familiariaados dcsrlc nue estudara-n das operaçoes fundamentaes; exercitemos-ihes iias trans-opera;oes so^e iracçôes ordiuarias. opcraçôes corn

taesis etc.. ora corn algansraos somente e ora com estes e a 1-^tra x

Sd "3! CO® todas as trausformaçôes que uma

eguaî-nç passar para scr rasolvida, e Ihes tctemo.s dado todos

n f para a resoïuçao das equaçôes algebricas do i.o n-,âo a« . " ^ t"riiando-os, portanto, aptes a resoiverem os probicuvis

S"® tenba falado em Aîgerrarnem

fei-to uni estudo dnecfei-to sobre esta materia.

^ outre lauo, o methodo que adoptâmes obrirarâ aos exercirios'

"up«"rS'"'' compreL.sâ2 d/seus eLdn'

Parâ—1919

Tito Cardoso de Oliveira

Todos OS direitos reservados

( Bogisto n.o 3618 )

' fi

P r e l i m i n a r e s

Mathematica é a scienda que tem por objecte a medîda indîrecta das grandezas.

G^ramloza é tudo que é susccptivel de augmente ou

dîmi-n u i ç î t o .

. A s g r a n d e z a s d i v i d e m s e e m m e n s u r a v e i s c i m i t i O B S U

-r a v e i s .

Grandezas mensuraveis sào as que podem sei

medi-das; exemple: uma peça de corda, uma vara, etc.

Grandesas immensuravôis sâo as que nào podem ser

medidas materlalmente; exemple: o talento, a virtude, etc.

A s g r a n d e z a s m e n s u r a v e i s s u b d i v i d e m - s e e m c o n t i n u a s e

û e s c o n t i n u a s .

Grandezas continuas sào as que tèm as partes

intima-mente iigadas entre si; exemplo: uma peça de panne, uma folha de p:ipcl, etc.

Grandezas descontinuas sâo as que têm as partes

se-paradas umas das outras; exemple: um bata^ào, uma ruma de

livros, etc.

Quantidado é a grandeza depois de mcdida; excni}>lo: 50

laraiijas, 4 métros do corda, etc.

As fjuantidaûes podem ser homogeneas ou hceicrogmeas.

Quantidades îiouiog-eneas sào as da mesma cspecie:

cxeinplo; iQ mezas, 5 mezas, B mezas. etc.

Quanticlados iiectorogeneas sào as de especies

diiferen-tes; exemple: 4 çadciras. 3 chapéos, etc.

ITnidade é a grandeza conhecîda que serve de tonne de

(5)

A unidade pnde fpr arbifraria ou determinaia.

tiuuas; O itetprm^nmi, nied;das das gTrandezas

con-grandezas descoudnuas.

anidad'o.'^"®"" ® ° ■"es'-'ltado da comparaçao da grandeza com a

f«" ou grandezas, o numéro podo ser inleiro,

frac-2. i é 0 que se compSe de unidades inteiras

I-racçào é o que consta de parles da unidade:

3 o 1 "

4 S —

îfuuiero mteto é o que consla de intoiros e frac^do:

3

3 — i "

«-4-8 e t c .

simples algarismos que o reprcsentam, é

Huluero simulfkn a ^

ûJfiarismo. J, 4, 9, etc. ^ r'epresentado ixir urn so

i T S " " ' ' ° « ■ »

Humeri par'TT ^ é par r,u impar.

^ Arlthmetica é a pa^rtrd ^ 9.

_{-da, es dos uuu^ros e a}

Numeraçào

. Hunjernçâo i a parte ds

ciar todoa os numéros po^ mdf d''" 1"® ensina a

vras ou signaes. de um pequeno numéro H

— -.« «... it: fit:- ■ »»» -...

NumeragâO falada c a que ensina a dar nome a todos

03 numéros corn uin pequenc' numéro de paîavras.

AlgfttriSlllOS sTio OS signaes com que se escrev<i£n os, nu

m é r o s , e s à o :

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

Os algarismos tern dois valores: aopoluto e 2'elativc.

Valor aljsoluto é o valor que os algarismos t^m per si

r r j c s m o s

Valor relative é o valor que o algarismo passa a ter conforme a ordem que occupa.

0 zero nào tern valor algum e' serve para prehencher as casas onde nSo houver algarismos para escrcver.

Base fie syatoma fie numeraçào é o numéro de uni dades de uma ordem com que se forma uma unidade da ordem immediatamente superior. '

A base do systema geralmente usado é 10; e por isso

cha-ma-se deoiûlâl; formando-se as unidades de cada ordem pelo modo

seguinte ;

Pormaçao das 'anidadoa ro systema decimal

Sendo cada unidade de uma ordem formada por 10 unidades da ordem immediatamente inferior, résulta que;

Bez unidades simples formam uma

B b î s d e z e n a s — ' — D e z c e n t e n a s — — D e s x i n i d a d e s d e m i l h a r — — D e z d e z e n a s d e m i l h a r — — D e s c e n t e u a s d e m i l h a r — — D e z u u i d a d e s d e l a i l h â o — — D e z d e z e n a s d e m i U u i o — — D o c c e n t e n a s d e m i l h â o — —

E assirn por deante.

d e z e u A . o e u t o u a . u n i d a d a d e u i i l î i a r . d e z c ' u a d e l u i l l i w. } ? . c e u t e u a d « m i l l i a r . u n i d a d e d e m i l l i a o . d e s o n a d e u i i l b â o . c o u t e n a d e m i U i e x ) . t m i d a d e d e h i l l i û e .

ORDEM DA3 U1\TIDÂDE5

Em ujn numéro dado, o logar occupado por cada algari.smo

chama-se ,uma CdSd ou 0l'd.6ïli\ e a reuniio de très ordens» con-tadas da direita para a esquerda, formam classes^ com as

se-guintes denoniinaçOes •

(6)

o r d e m Unîdados 2 - ~ _Dczenas 3 = — _Centenas 4 = — _Unidades 5 » — _Dezenas 6 ^ — Gentenas 7 » — _Unidades S ' — _Uezcnas 9 ^ — _Centenas

Classe siir.plss 7=

C l a s s e m i l h a r ^ s 2 *

Classe dos milàCes S*

Etc,, etc.

ESORIPTA DOS NUUEHOS

Os alg-arisinos sào representados dêIo*; 3l<raf;e»v,«-

l-«criptos em linha horizontal a obtdecenCl se^nTn" :

REGRA—Para eserever uni numéro comeca-<iP /tn i

para a direita, occupando a, casas de cadk eZTaZ n

correspondenics e preenchendo com xeros^JZ

nao kouver alpansmos para escrever. ^^asses onde

E X E 3 I P L 0

Escrever o numéro; Ouinhentoc p

tes e sete mh e trezentos e quarenta dois

novecen-pi iH M

IJ? Is? ||f

miihOes milhaics Bimitles

EXERCICIOS

Escrever os numéros:

KLSofe"iroenta"i5ife"r?

_{Oitenta milhôes, trinta e «nidades.}

Seis milhôes e trinta e

LEITÏÏEA DOS NDHEROS

cada ir --<^0 a dat- Utn „o„e a

de très algarisynos, âa direita para a esquerda^ vÂo importando que

a ultima clasfie à esquerda^ fiquc com um ou dois algarnsmos sômente.

Lê-.se, depois, da csquerda para â direita, dando-sc a^a

al-gari/nrm o seu valor relative e a coda classe a sua dononiinaçao.

E S Z M P L O

Seja o numéro 8f>4320937.

Separando-se o numéro em classes de très ooi^qo-algrismos, da direiU para a esquerda, tcra-se:

que se lê; oiiocentos c ciucoenta e qaatro milhôes, frescntos e vmtc md

novc-cefiias e trinia e ffûte

unidades-E X unidades-E R C I C I O S I - o r o s n u m é r o s ; 7 4 3 9 0 0 4 0 5 2 7 3 0 9 9 3 4 5 7 0 5 0 3 3 0 0 7 S 5 4 0 0 5 0 0 0 4 8 0 4 9 0 5 3 0 2

OTMBBAÇÀO DE GlïïAKTIAS

/

Q;aailtia é qualquer importancia em dinheiro. Na

numcra-çâo de quantias brasileiras, a unidade é o T'^al que forma o

plural — réis.

O real é a nossa mener quantia. Nào se divide nem temos moeda que o rqîresente.

Os multiplos do real na nuincraçào falada de quantias recebein os seguintes nomes:

V i n t e m q u e v a l e 2 0 r e i s

T o & t à o » » 5 v i n t e n s o u 1 0 0 > P a t a c a > » 1 6 » > 3 2 0 > C r u z a d o » » 2 0 » > . 4 0 0 » C o n t e » > 5 0 0 0 0 * ^ 1 . 0 0 0 . 0 0 0 >

As denominaç<!>es Pdtaaa e Cpuzado jâ sâ-o pouco usadas

Na numera^ào cscripta de quantias, a primeira classe é de

2*î?Î8; a segunda, de l^lil TSis; a terceira. de COTAo; a quarta,

de niilhar de ccnto^ etc.

Na numeraçào escripta de quantias além do 0 e dos

(7)

- 8 -s e g - u n d a p n ' m e i r a e a d o n u m é r o - ® ^ d e v e r i a e s c r o v o r d e p o i s Assim S2$000 é o 3 6 $ 0 0 0 - e s c r e v e r - s e 5 2 . 0 0 0 r e i s

1 4 5 S 0 0 0 - _ ~ ~ 3 6 O D D —

— — 1 4 5 . 0 0 0 —

reis, quando esta^tem^^de^s?- escrever a classe de

ae ser representada por zeros.

Escrever-se Sag ^

_ 120» _ ®esnio que escrever 64$000

_- _— _— _{1 2 0 $ 0 0 0}

nada âffwemTr '^''P'"'=^entam quantias, em

e. por isso, as regras sào as abstratos e concretes;

As moedas nsadas no Bra,sil sao os segaintes :

£ J D O O B k 3 2 J w 10 reis 2 0 » 4 0 > 20 reis 5 0 » 1 0 0 * 2 0 0 > 4 0 0 >

JIO®AS BEASILEIEAS

500 reis 1$000 2$000 c c "3 u a p 1 o

â

1$00Q 2|;000 51000 l o g o o o

201000^

« JS 3 • 3 a > o s m 2 3 O E m 50S000 ioosi 00 2001000 5008000 10$flOO 20$000 ROMANA

Na nnmeraçao romana

por scte lettaa maiûsculas do no-iso J'^Prcsenfados

deilas um valor convencionado-- ^'Phabcto tende cada uma

I

V

X

n t n c i u c o d e ? .

L

0

c i u c o e n t a c e r a

D

M

quinhentos

Quatre destas letras — I, X. C e M'—représentant uma uni-dade de cada ordem até Tïlil.

ï v a l e u m a i i n i d a d e o u u m X » > d e z e n a d e z C 9 c e n t o n a » c e m M > > m i l b a r > m i l As outras très — V. L e D u n i d a d e s d e c a d a o r d e i n :

representam a reuniâo de ciuco

V v a l e c i n c o u n î d a d e s o u c i n c o L » » d e z e n a s ' c i n c o o n t a

D » ? c e n t e n a s > ç i u i n l i e n t o j î

A luimcraçao romana obedece as segruintes regras;

IIKGRÂ— Cada nma dan Ipinta /, JY, C e pode

net-■rrpt'lifla duas ou tfes vexes pai-a dcsigtiar a retimùo de duas on

ires imUlades kla ordem que cada uma représenta.

I v a l e U m C U " _Dois, c e m » T r è s C G C X » D e z M X X " _M _M X X X " _{M M M} v a l e C e m D u z e n t o s T r e z e n t o s M i l D o i s m i l T r è s m i l

2.a REORA— Qiiando lona îetra esta esertpta à e.squerdade

outra^ de maior tutor, siibtrahc-se desta o numéro de unîdades que

aqiietla représenta

B X E i i P L O S

A Ietra I escrîpta antes de V ou de X diminue uma unida-de no valor déstas.

A letra X escrîpta antes de L ou de C diminue dez " Tidades

no valor destas.

A letra C esciipta antes de D ou de M diminue cem unîda des no valor destas. • ■

Î V . q u a t r e X t q u a r e n t a C D q u a t r o c e n t o s I X n o v e X C u o v e n l a C M n o v e c e a t o s

(8)

1

— 1 0 —

s

j ' i r

2 *

' •

r

-ii/itai â somma dos vaîores do iodas ellas, Tcpiesenta e

E X £ M P L 0 S

VI = 5 -f-1 nu seis

CX= ioo4-10 ou cento e dez

= 50 -f- 5 ou cincoenta e dnco

^CT-ioo-fio+i ou cento e cnze

=1000+5-4-1 ou mile seis

M2J=iooo+io-m ou mil e onze

sobre n.,a ,e<ra

E X E M Î ' TO S

. C

C e n m i l

_{Du'tntns iDil Qaîuhentos mil}

c e _M

Um milhâo I '?r os V C C X C I X BXRJlcrClOS n u m é r o s • M C X I D C X . U C C X I X X C V I U C D X T V m m x x v

Eaprefientûçâo dos nuai^ros ds i até loo

1 I I m I V V V I V J I V I I I I X 2 X I X I I X I I I X I V X V x v r x v i i v a i e ₁ 2 3 4 .0 6 7 8 f) 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 I G 1 7 X V I I I X I X vale . . 1 8 S X y _. _{1 9} X X f y . 2 0

^ 2 X . . *

%y . 2 1 X X X I • 3 0 ^ 2 . . % 3 1 X L I M . 4 0 1 , > . 4 1 L I ' ' y . 5 0 1 ^ 2 L X I > > . 5 1 . 6 0 I r 2 X . 9 > . • 61 I . X X I • 7 0 I - 2 X X . y9 . 7 ! 2 C . 8 0 C y 9 0 * y % 1 0 0 — U —

Os algfarismos R.oQianoe. jâ quasi absolataiTK'Ute em desuso,

sâo ainda ompregndos nos r^ogios, para indkar as horas, nos

ÏM^rfacios c cupitulos de livros servem para desi-^nar os numcros

d v c r d e m . ITUHEECS US CEUSM I P r i m ^ r o I I S è f r n n d o i ï l T C T c e i r o I V Q t ï a r t o V Q u i n t e

^ ' ' I

S e x t o

V n • - S e t i m o V I I i . O i t a v o N o n o ^ D e c i i n o X I D o o i m o p r i r a c i r o X X A H g e s i m o X X X T r i g é s i m o X L Q u a d r a g é s i m o " L Q u i n q u a g é s i m o I J i i S c x a g - é s i m o L X X S e p t u a g : é s î m o L X X X O c t o g c s t m o X C N o n a g é s i m . - J C C e n t é s i m o

Algumas vezos os numéros de ordera ja nâo sâo

reprcscn-tados pelos algarismos romanes e sim peios algarismos arabicos

cendo ao alto da sua direita uma pequena

letra-^ e x e m p t , 0

Pritaeiro que se poderà escrepcr Q a i t t t o — — —

S e t i m n — —

e assim por diaute.

I o u l . * ^

V — 5 , 0

V U — 7 . 0

Alguiis auctores ]a désigna m os seas capîuilos, escrevendo

os numéros de cu'dera por extenso: " Catpitulo Primeiro". ''Capitulo Decinio , etc. Ja nTCsiuo eiu aiguns relo^ios as horas sâo

(9)

- 1 2 —

Signaes Arithmetioos

-

i ï r » ; s x »

i f

-03 03 < D ' O < 3 f t :

Sig-nal de addiçao

~ ~ s u b t r a c ç â o niiiltiplicaçâo d i v i s à o radiciaçâo radiciaçâo r a z â o p r o p o r ç â o ^ î g u a l d a d e desigualdade desigualdade O signal de X

+ que se lê: înaîs

• — î i i e a o s V > <

tambenn se lê: VQZes.

dultiplicado por

dividido par

rais quadrad'a

raiz cubica ostd para assiia coao igual a

maxor do quo

mener do quo

Emprego da letra X nos problemas

anthmeticos

C o n v

_{^ n ç ô e a}

Em todos as operacOes •. ^rc

Iratândo-se da<5 or»

e o divisor ° ProUucto: 3V8~?.'"® '""Itipli.

encontrar.se o qCociTnr;

^96^^5^Pl^^^ESTZM»#se — —

— i ;

o mesmo acontece nas proporçôes quando sâo dados ?» termes

para enconirar-se o quarto: 4:5::8:a;; nas regras de 3, dejuros,

etc.. onde se tera elementos conbccîdos, para determinar-se o des-conhecido; e assira por diante.

D'ahi a necessîdade de lJs^ir^se de um signal qualquer para

represenrar o valor da quantidude ou elemento desconhecido, sem-pre que tivermos de mendonar, pela escripta, uma operaçao a

effectuar-se ou nma questao ou problema a resolver-se-E, a exem

ple do que jâ fazemos nas proporçOes, que usamos da'letra (c

para determinar o'valor da quantidade desconhecida. façamos a

primeira convençâo :

1- Convençào — Todo 7ifwiero oh qua7iHd2(le desconhecida

qrie se Huer de mertewnar em uma operaçao a effecfnar-se ou em

urn prohhma a resolvey-se, sera representado pela letra X.

A letl'a X, portante; cm nossos estudos, nâo sera mais que

um signal para representar o desconhecido, cujo valor, depois de

encontrado. a substituirâ.

Operaçôes a effectuar se Operaçôes effectnadas

4 4 - 3 + 5 — a : 4 + - 3 + 5 ^ 1 2

1 3 — 8 = a : 1 2 — 8 - - = : 4 6 x 9 — a - 6 x : 9 S = 5 4 1 5 H - 5 = : ; t 1 5 + - 5 r = r 3

E X E . \ r P L O

Conforme a questâo a resolver-se. a letra a;, rëpresentando

o desconhecido, podena indicar uma, duas- très vezes etc. o seu

valor; e, para isto terâ antes de si um numéro que indique

quan-tas vezes o valor desconhecido esta representado por a*. Assim :

2 a: indica duas vezes o valor desconhecido

3 a : — t r è s — —

4 a : - _{q u a t r e} — e t c .

ciH„ représenta uma s6 vez o valor

desconhe-subenrenHM ^ ella O numéro 1, ficando este

subentendido. Dahi a segunda convençào :

Toda vex que a letra a:, rc.presentando o

m r d

^

n u m é r o

q u a l q u e r ,

f i ^

(10)

- 1 4 \ —

Hx: Escrever X é o mesmo que escrever

Do iBesmo modo quo dizeiîdo-se, pnr exemple 8 laois fica

cpl.rv, „ . "r ®screver-se entre o numéro e a letra x sip-nal aU

p,ara mfear a n™ltip,;oaçao. D'ahi a terceifa <,or,S

"■ ^ ® " numéro que « precede

subentende-se se}upre,o sdynai <h n,.HltiplU-ar (X)

Ex.: Escrever 8.c e o mesmo que escrever-se 8X ix ou Ij:X8

n o s s o f e r X

^

nhecido, as operaçOes em'que ellaXura^co'L'^®'"'?''"'" °

Ctuadas direcumentc com eila e sim com nZ^/q^^fprî'edfm;

r x e m p i . o

6 a o p e r a ç â o ô x - ^ x = = , 6 c ,

cJ^ ^ somma do numéro ô que ptgc^p v • ®

cella, <;om o numéro 1 que esta t pnmeira

par-SOQda parcella. ^ subenteadido antes d'eila na sL

^

Operaçôes

/

Op6r&çg,o é o mo 'o h» i ■

OperaçÔM direetas sào as „

ia,e,sas sac as T 7""^"'" '

1 5

OporaçÔGS fundamentaes {*)

Operaçôea fiindanseiitaes sa© as que servem de tese a todos os calculos; Ad(lî(;âo, Subtrav^o, Mnltiplica^;âo e Oivisàvi.

Estas operaçôe.s resolvem os segTin^tes casos;

i." Dados dois ou mais numéro», aihar r. s«>*y3it... À-ldicâî

2 . 0 — — — - - a d r f < e r c r K ; a S v b t r a c c î - o

j . o — — — — o p i o d u f ^ o . . H ï i t t p » U v * .

4 . » — — — — q u M i t a . î s e

-z e s o m a i o r c o n l e n i o m e n e r

J L c i d i ç & o

AddiçâiO é a operaç5o que tem por fim lounir dois ou.

m a i s n u m é r o s e m u m s 6 .

Os numéros que se addicionam chamam vs- pt O resultado da operaçâo chama-ae:

BOSattA-Para se praticar nma addiçûo, observa-se a seg^uinte.

REGRÀ G ERA L—-Para se effednar juvia cMiçào,

es-crere-se as parcellas mnas dehctixo das outras, ds modo que as

umdades da tnesmu ordem fiqucin em columna e scyj/imum-se

da dirdla para a esqmrda. Se a sarmià de uma cohmna nâo

for superior a nove esereve-se o resvUado ckbaixû délia; mas

se ex4'cder de .9, for^nam-se nnidude.s do valor da columm

seguinte, para com eila sommarem-sej csof^etulo-se somente

dehaixA) daquella coUcmna us unidades que sobrarem.

E X E M P L O S 3 4 8 5 9 2 4 6 7 1 2 3 5 3 2 4 2 6 8 7 3 9 4 7 4 2 6 2 5 3 4 9 2 8 7 3 2 2 5 2 8 1 8 0 1 3 0

(') Ja estant!"? sufficientemeate cstudadas em nossa Arithmetical Rudiinentar as quatre operaçôes fundamcutaes. occupar-aos-emos ag-ora* somente do que houver de principal sobre as uaesjnis.

(11)

KXERCICTO

Effectuar as seguintes addiçOes ■

4(520 ^ -35709 -f 82 + 9426 535

439C2 + 3-r84537 + 1205 ' '

94325 -h 8532 + 93850 + 4U05

Provas das operaçôes fundamentae

« s n ? s , s , — ■ s s r —

As provas mais usadas sac: real e dos Mmr«a

Ç.0 4~roSÏ.^o opera.

Tira-se os noves um numéro

valores absolutes de seus algarismos doil a •'^onimaiido-se os

em cada somma os noves. p^ar^rmaf^f^e 0^

m o s e g u i n t e . • " c o m o a l g a r i s -H5EMPDJ Tirar os noves d o n u m é r o ; 8 7 7 8 ^ 0 — 9 = 6 . y ^ o m n i a 1 5 , t e m - s e î

^ So_..o.lr5r^Ï

4 + s = 1 2 . S u b t r a b i n d o 9 d o n u m é r o

O resnltado 3 serâ o rSî 12, lem-se : 12 ", ^oha-se

"°^%r.«ca.entetira„..eos ~ os

_{.5, noves ,ôra 6; e 7 "so^a? nres"'J?r° ^}

4. e 8 sao 12, ESHiaciOS

Tirar OS noves aos numéros:

gq^i'

26352 343287

510345 578326₃₂₄₅₇₈

A prova dos noves nem sempre e verdadeira. Em alguns

casos esta prova dâ a operaçào como ceria, quapdo realmente

n à o e s t a .

B X E J I P L O S

j e r - o P ^ r f t ç S o o e r t a

4 n o

4 Resto das parccllas. 724 Reste da vSomma,

OperaçZo errada

ogg 4 Resto das parcellas.

742 4 Resto da somma.

Como se verifica nos exemples acima. a prova dos noves dà como certas ambas as operaçQes, quando a segunda esta

visi-velmente crruda. Como, poretn, este inconveniente nâo é muito communii e so se realiza quando o en'o comtneltido e d e ' 9 o u

multiple de 9 esta prova ainda c bastanie usada. principalmente no commercio, razâo pela quai nos occupâmes deîla tambem.

PHOVAS DA ADDIÇÂO

P R O Y A R E A L

ItFffJiA—Separa-se i/nia dos

par-eellan e somniam-se as resittnies.

Siilira/ie-se a aeffunda somma ânpri-mrira c, se o resto for igu/U à par-eella separada, a operaçao estfarà

c e r t a .

1 2 6 Parcella separada païa. a 2*

s o m m a .

P a r c e l l a s d a 2 » s o m m a ,

4281

789 Somma das 3 parcellas.

6 6 3 S o m m a d a s 2 p a r c e l l a s . 126 Reste das duas .sommas.

A operaçflo estâ certa poique o

resto da suhtracçâo das «sommas

é igup.l â, parcella .separada.

P R O V A S D O S X 0 V 7 S

J Î K Q I Î A ^ T i r a m - s e o s n o v c s d a s

parcellas e o resto cscreve-sc a dù reita 'da operacdo. 'Piram-se dcpois

os «c?rcs aa somma e o rcsio

esn'c-i>ù-se Jarribem d direita. Se os dois re&tos forem- igiiaes, a operaç-ào

es-t a r d c e r i a .

2 3 7

5 4 8 3 6 8 2 1

Tiraudo os noves das parcellas, acha-se o resto 2 que se escreve sobre um traço à direita da ope

r a ç a o

Tirando-se os noves da somma, encontra-se o re.sto 2, que se es

creve debaixo do mesmo traço. A operaçao estâ certa porquc os dois restes sâo iguaes.

_2_Resto das parcellas

2 R e s t o d a s o m m a .

E X E R C I C I O S

1 2 4 5 4 6 8 5 3 8 5 4 5 9

Verificaraexactidâo, pelas duas 3 9 5 2 5 3 9 6 9 5 3 3 2 7

provas, das seguintes operaçOes: 4 7 3 7 2 7 3 8 4 2 6 18 5 1

(12)

— 1 8 —

SYSTEMA ESEBCUL PAEA SPPEOTUAE AS GEANDES

ADÎICÔSS

o p e r a ç

fc nu.ero3dealgarisn,os,s.o enga^ T^â

e m m e i o o u e s t a q u a s i a fi r i a l i s a r - s e . ^

în. ? systema especial que passamos a exoor evif-s Acf«.

gue-ae a regrfse^nî:

REGMA-Somnvxm.se cada columna mriical semrada

^e, eescreve.se a parte os respeetivos resuUados..\sommam.ss

_{OS re^Mxxdxxs de toiap as eolamnas vert^caes 77Z}

sultado sera a somnui total procurada.

1 9 3 0

1 9

EXEPSILOS

h e g r a e s p e c i a l

Somma das unidades

—

d e z e n a s

*

^ — c e n t e n a s '

■ milhares

2 4 3 2 1 9 p f , , ^ d e m i l h a r e s , . 2 1

_{cv-uan o-se a somma, achavemos...""24^19}

^^ECICIOS

Effeetuar pelo systema esneri»!

573954 T,

REGRA GEEAL 48395 3 8 4 7 2 5 6 8 4 5 7 2 8 7 9 5 4 3 1 5 3 8 4 7 9 5 6 8 3 2 9 7 0 5 7 8 3 2 95403 906321 8439 75043 874329 57834 9492 75304 85079 73210 635409 21987 345802 173457 789567 1 9

PBIKOIPIÛS DA ADDIOiO

I.® Principio—A ordem das parcellas nao altera a somrLa

E X E M P L O S

Dc facto se effcctuarmos a addic^io dos numéros 5, 4 e 5, os

porr-do em ordens différantes, o resultaporr-do sera scinprc o mesmo.

5 4 3

4 3 5

3 5 4

1 2 1 2 1 2

Se as parcellas em vez de

se-r e m se-r e p se-r e s e n t a d a s p o se-r n n m c se-r o s

abstractos. fossera representadas por quantidades conhecidas, os

re-s u l t a d o re-s re-s e r i a m o re-s m e re-s m o re-s 4 l a p i s 5 > 5 lapis 4 » 9 l a p i s 9 l a p i s

2.® Principio—So

mesma especie.

Se as parcellas fossetc repre

sentadas por quantidades

desco-n h e c i d a s , v e r i î i c a r - s e - i a a i desco-n d a o s m e s m o s r e s u l t a d o s o X 4 a ; I x 4 j c 3 x 7 x

se pode soromar quantidades da

E X E M P L O S

Se forem todas as parcellas des-coahecidas, tambem podcremos

s o m m a r e a c b a r e m o s

8a;-}-3.i;-|-4£c ~ i5x Se forem todas as parcellas quan

tidades conhecidas, somniaremos

e chcgaremos ao resultado : 5 livros-f-3 livres —8 livros

Se as parcellas porém, indicarem quantidades de especies différentes, nào se podcra sommar; e para resultado tomaremos as mesmas parcellas.

E X E M P L O S

Se as parcellas rcj)Tesentarem

quantidades conhecidas, poreiu diffentes, uao poderemos effee tuar a somma, e o resultado serao as mesmas parcellas

Î Iapis4-3penas=4lapis4-3penas

Se umaa paicellas determinarem

quantidades conhecidas e as ou

tras indicarem quantidades des-conhecidss, tambem nao

somma-r e m o s e o s somma-r e s u l t a d o s s e somma-r a o a s

mesmas parcellas.

5 lapis-L3a; = 5 lapis-î-Sa; Quando em uma somma de muitas parcellas appresentam-se

diversas parcellas conhecidas e diversas desconhecidas, applica-se

(13)

— 2 0 —

ceyarador, pelo signai mais ^-fj. '' " resulfado depots do outro

e x e m p l o

Bflectuar a somma : 4 livres +3,r+5+2x+2 livros-}.S:.+6

Eommando.se.s quaoWades do liv,OS, icremos: 4 livrosJ 2 liv,=6 Hvros'

OS numéros abstratos

-derem'®sm''"mâ°dos resuftoéf """ Por nâo

po-6 livrD34-13:c :

4 l a p i s l a p i s

5-^2a;-j-7a;-f3-L2

ïœ-f-ai I 3a^i_2 EXEECTCIOS

3-i-5-|-2-|-ir-|-4

8-|-3-|-4-|-5a:

^^0?BISDADE DA ADDÎÇÀO

Qualqusr parcella do uma somma é ,qual d diffo,

" total e a somma parl^ ^

ESEifPLOS

5 4 - 3 = S

Se procurarmas a difference

"C a sotmua total fSi #>3 • ^

P^cella (,), teremo^^^^

.1. qae e a segunda parcella.

8 -5—3 Se detcrminarmos a ri,«

entre a somma total

da parcelia (3), vira r l ^

do a primeira parceiu'^®

résulta-8--3:;Ï=5

24-4+3==9

Pnmeira esefrntii ®™™^da3

sultado serd f tercei?"""'"'' " "='

a sommions

Parcellas, o rerult^d ® terceira

r e p r é s e n t a _{egunda parcella}a 4 , q u e

P r. f ( 2 H - 3 ) = . 4

a'somma^das^^^

c e i r a p a r c e l l a s n « ^ e r -^ " e r e p r é s e n t a ? ®_{a pnmeira parcella}

9~(4+3)=.2

— 2 1 —

Baseados ncsta propriedade podemos deduzir d'ella a seguinte

t

REG fix ■ Uma parcella dcsconhctida è ignaî d somma total

menas a parcella conheCida ou vienos a somma dasparccllas conhccidas

Ropresentando por «v a parcelia desconhecida. teieiiios os seguintes

O E i r P L O S

cc-F-J—6

Applicando a regra; a parcella

desconbecida (i) é ignal à somma

total (6) meiios a parcella conliC'

c i d a ( 4 ) , t c r e m o s :

x = e - 4 _{o u < 3 3 = 2}

Suhstituindo, no exemplo dado X pelo sen valor encontr.H{(\ fzl

p a r a v e n f i c a r a e x a c t i d â o d a

iguaJdade, teremos: 2 + 4 = 6

5+a:-f3 = 12

Applicando a regra que a par cella desconhccida (.r) é igual â

scrams total (12) menos a somma

das parcellas conhecidas (5-7-3),

t e r e r a o s ;

x = 1 2 — > 8 o u ; c = 4 Substituindo, 00 exemplo dado. X pelo valor encontrado (4), para vcrificiir a exactidâo da igualdadc,

r e s u i l a r a : o - F 4 F - 3 = 1 2 E X F - l t C I C I O S a + 3 = 8 2+Ô-; x=SO, 4-f ;i-Fa:=J2. o-j-.l+a;=20. Rcsp. «33= 5 „ a : = 2 3 t , £ C = P i i ; = ?

3+r-r0=16 ..Resp. x=?

2+5-J-3+X—24.... ip—p

3 -I-.7.+2+4=30.... r ) 4 - 7 + u ; = 1 5 x = z 7

iJopojs dc bem nxcrcitado o alumno na applicaçâo da pro

priedade de que acnbatuos lU; tratar. o professor deverà dar-Ihc pe

qunnos e faceis. problenias cjue tenhain e^'^lusluaiizeilte relaçào

com cHa, fazcndo o aUimnp radocinar sobre dies, graphal-os e

/esoh'el-os-E X I i M P L O S

Problemn—O numéro de pennas nn#. t^rr,

p 6 pennas de Joaquiin perfaz um total de 20 r»cnm«; com

(14)

m e t î t a l

Si: o total dè CO pctjTîfls rcpre-eocîa a reuciâodas penuar- de Pe dro CÛB3 as 6 pennas de Joaquitu,

é clriTo que se scpararmos das 20

6 de Josquim, sobrarâo as

pen-« a j d e P e d r o .

E, corao 20—6=14 este tiuaie-ro sera a resposta do ptiuaie-robkma :

—Pedro tem 14 penuas.

o r a p h i c o

Reprcsentatido por x o nuuie*

ro de pennes de Pedro, que nos

e dcsconhecido, e somtnando este

valor coin 6 pennas de Joaquim

perfaz o total de 20, c tercmos;

■

E coino uma parcclla desconhe-cida e a somma total mènes û parcelia conhecida, resultaiâ:

20—0 ou j- = 14

t e m

PIÎ0BI.E3IAS (*)

n o c c s t o . - ' — K c i . p . 2 0 . ^ y u ^ n t o s f i g o s c s t à o

tf.m elIe^injof-Ke^r'i.i,' Que. odade

8 ^

- e b c n d o

. u a , s

'inhar-Resp, 2.;. Jono-a... yuantas bonecas RÙa jâ

;;

j o à o . - - R e s p 7 2 . o o u s . ^ Q u a i u a s b o l a s t e m

©ubtraeçâo

mener de omro maior''"""" fim tirer numéro

O nuntero maior. do quel ae subtrahe oh

<=f>=inw-5o sixbtcahaudo.

eutroa eetnelha^pc'^c^ Problenias acima

'J'-Poisprccederporsisé

— 2 3 —

O numéro mcncri que so subtrahe. cha:na-se subtrîictoîf'

O resuitado da operaçîlo, chama-se ^ôStO SKCeSfîO ou

D l x f e r e a ç a .

O resuitado da subtracçâ.o, chama-se l'esto, quando a opc-raçâo é effectuada i>ara dcterminar o que depois de

subtra-l i i d o u m n u m é r o d e o u t r o .

Assim ua subtracç?lo • —-1=3, o numéro 3 montra o que

resta da subtracçâo de < —!•

O resukado da subtracvào chama-sc escosso quaiido tem por fim enconrrar o cxccsso de um numéro sobre outro on de

quantas unidades um tuuncro é maior que

outro-Nesto caso, na subtracçio 6—-4=2 o numéro 2 ^ exceaso

porquc inostra que o numéro cxcede de ^ unidades ao numéro

4, .-u que .o numéro 6 é maior duas unidades que o numéro 4. O resuitado da subtracça.o chama-se diffOi'ôriça quando te-n por fim dcterminar a diffcrença encre dois numéros ou de quantas unidades o numéro mener différé du maior:

Xeste caso, na subtracçiio 8—3—5 o numéro 5 chama-se cîîfrerença porque mostra ser a diffcrença entre os tiuincros 8 e 3,

ou mostra que o numéro 3 différé de 5 unidades do numéro 8. Dêsta forma, com a mcsina operaçclo de subtrahir, podcre-mos responder a 3 problcmas com enunciados ou fins différentes.

E X E M P L O S

j.—Sc de T2 laranjas que temos, comennos 5, com quantas laranjas

f i c a r e œ o s ?

2 Pedro tem 12 annos e José tem 5. De quantos atinos a idade

de Pedro excede a de José.

p~?.Iaria tem 12 pontes para media e Julia tem 5. Quai a diffc rença entre os ponto clas du/is?

Para resolvennos o.s 3 probîemas, efîectuareuios para todosaïues-ma operaçâo, 12—5=7, e o resuitado 7 responderâ ao pnjueiro, moatran-do a Kobra de 7 laranjas; responderà ao segunclo ino.stvarimoatran-do que a ida de dt Pedro excede 7 anuos à idade de Jo.sé; e, responderd ao lerceiro inu.-trando que a differc.nça entre ps i>ontos de Maiia e os pontes ilc Ju

lia é y.

.As.sim, tûd.-i.s as qucstôes scmelhantcs aos probîemas dados, quer'

peçam o rcflo o c-rctwo ou differeim, dcverâo ser sempre graphadas e

(15)

- 2 4

-Pfàtica-se a subtj*i''cà.')

OERAllp

crm-se 0 snbtracior cUaiTdfTn'T' "'btracçSo,

«-wndad^is (la vmsmi ordmi se mJ ' ''^ î™ as

r®;^' a operaçào da direHa parafa '

eprn-f no subtrahe,J 1 Se n alyarimo

ms,na ordem no subtraTorJ°' ° '^Inmmo 1

t^ea-se a subtrac<;âo, consûkrTi V' "" «

pra-Z I - -

_{j'-'f^nioaa casa tmmc.} i-° Kxempio 3462

i£ i^

USo" 26<5 « 5 2 ESEBCICIOS 00 iy 3051 _2«»J5P007

prcvas DA

PïIOVA HEAf, subiraJiendo a f f r f e . « o p c ; - r t ; ^ o c s i a r d jzl£ ^^ubtractor 6hG Resto Exenjpio 50405 27539 22866 3945 1 3 « 4

'JSS Somaa do subtractor .

O r c s t o . ' - o r o

A operaçfio esta « a

SCBTRACÇAO

P^OVa DOS ïfoVES

^'^CfliA —

r-'Iftrah.ud^ 0.V

com O rc:i{o, ScST-^" ^"^^^àtractur

É TrT

686 4 R«to do subtracter com

O resto.

° o " " ; ' " ^ " b t r a

«fo g|4° ^"btra^^

®o traço. ^aroberu dcbaixo

ÊSSZStaas

2 5 —

E S E R C r C I O S

Verificar por meio das duas provas as seg-uintes operaçGes:

9 8 3 4 7 2 S S 5 3 4 3 5 2 7 5 1

2 7 5 2 5 G 4 3 2 9 1 2 3 6 2 8 4

7 0 8 2 1 6 4 5 2 4 3 U 6 4 6 7

PEIWOIPIO DA SÏÏBTEACÇAO

Su se podu subtrahir quantidades da mesma especie.

De facto de duas quantidades da raesma especie conhecîclas ou desconhecîdas poderoinos subtrahir uiria da outra c acharemos o resultado da mesma especie.

E X E i l P L O S

5 livres—3 livros=2 livres

Q i i A f i t i O a d e « c o t i b e c i r t m

3 X—5 x=3 X

Q a a u t ' i i Y d e s d M C o n b e e i d a s

Se porém^ as quantidades forem de especies différentes ou

uma for conhecida e a outra desconhecîda, a subtracçào nâo se

po-den'i effectuar e o resultado sera a propria oî>eraçîlo îiidicada

E X E M P L O S

3 casa.s—2 Cftdeiras=r3 casas—2 cadciras

S — r>x ~ 8 — 5x

PjjoPBIBBABES DA SUBTEACÇÂO

r devemos consîderar duas propriedades:

îsa. subtrcicÇ' QitaîqueJ' sithiracçào o ^ublfa}iendoé

l.'' '^vo'gvleà.%^^^{ o resto.

^9ual à somma do subtract

EXEMPLOS

8 — 3 = - - 3

(16)

2 6

-ve de accordo com a proprie-unde rotniuariMos, o snbtractor 3

com o resto 5. apparecerà para' reswltûdo o siibtrabendo 8.

3 + 5 - - = 8

Somntando-Ge o siibtractor 2,

com o resto 7, tcremos 9 i,,-..ra o rcsultado, que reprcsentu' rcal-Kjc-nte o subtrabftcdo.

2 - } - 7 = 9

deduzir a

sefrainle.-e x b m p l o s

Repr^todo por . O .subtrahendo desconbecido, teremos^

Applicaiulo a tegru, que o sub- ^ 8 =s 12

iratieiido descoubecido, é ijru-^I iio snbîractor 4, rommado com o

resto 6, resultara'.

^ x~4-|-6oux=^ 10

Substuuindo, no exemple dado

n Ï O , p a r a v e r j f i c a r

m o s i g u a k U d e , t e r e

-1 0 - 4 = 6

X - - 8 = 1 2

l.ahendo desconbecido x, é i-^uJ

c o m 0 resvO 12, tereroos;

X —8+12 ou x=20

X D d o d a d o ,

ï e S f W r

i

p a r a

s o - 8 = : 1 2 X — 4 X — i > ~ - 9 x-7 = 12 x ~ 2 = 7 KXETÎCICTOS Resp. X—18 M , = ? — " ) > 1 — - • » B a s c a d o s n a p r o D r i e d a r b » ^ - x — — r

solver tod. s os problomas que Ihos P^derernos

re---."Oil s.-b-irdu^^^Qg i^XtLXPbOS ; l e X X -X X -- ' < ^ • ^ • 3 5 . . . . _ • 9 ^ 2 3 . . . ■ 0=rrU

^ProTjîeiîia 7 iOt/.s lopfs our

.'con CO,n I2..rjnantos //?,t

i t C N T j l L

Se jow depois de dar 9

Upj-a Luu ficou com 12 ^ 0I0

nome o ;°r

M e m , .

' •

p , o .

-JoSo tinha 2i posMwi dai 0 n r ■ J n i î o ? ^ L m x < o i ' ^ ^ v n i c o

infrtj descJJîîy^?'^^^ x o

tiu-""mero os q oue ?

s o b r a r ^ n i _{'-f ••ereoaus;}^ ^ X--- 3—42

resto sotnSÎdo^c^"'^'^ ^

r e s u l t a r â ° s u b i r a -X ~~ 12 4- Q_{- x y o u x =} = 21 ~ 2 ? ~

PKOBLEMAS (♦)

7 — 0 excesso de um numéro sobre S, é 6. Quai é este nu méro?—Resp- M.

g—]vtanoel deu 6 lapis a .losé e ficou com 10. Qtiantos la

pis Maiioel tinha antes de dar os 6 a José?—Resp. 16.

9—A diffcronça entre um cevto numéro e 9 é i5- Quai o n u m é r o ? R e s p 4

-10—Dos figos que estavam na mesa, coînemos 3 e ficaram 7.

Quantos figos estavam na mcsa?~Resp. 10.

11—Julio que te.m ^2 annos, é mais moço 5 annos quo

Pedro. Quai a idadc; de Pedro?—Resp-

J7-12—Se Jorlo que tem 20 bolas tem mais 6 que José,

quan-) o I a s t e m J o s é ? — R e s p . 1 4 ' '

t a s b o l a s

2.* Propriedade—qunlqne.r snhirac^ào 0 subtract-s? â

iguaî d diffcrença enfre 0 snbtrnlundo e 0 rcsio. •

E X E i i r i . 0 3

'8 — 5 = 3

Se de accôrdo coin a pvoprie-dade, siibtrahirmos do subtrabea-do 8. o resto 3, o resultasubtrabea-do sera

o subtractor 5.

8 — 3 — 5

9—7 — 2

Se de accôrdo corn a proprîe-dade subtrabirmos do subtrabcjido 9, o reste 2. o resulltdo sera 7

que é o subtracter: 9 — 2 = 7

Desta propriedade podemos deduzîr a seguiute:

liEQRÂ^'Em uma suhtracçào qimiquer, 0 s^ubfraetor

desca-nhecido é iyml ao sublrahendo 7ne7ios 0 resto.

(♦) O professor, quer uo q'.iadro prête romo em cadernos

apropria-dos, deverâ,e>:ercitar os ahunuos, com prob'emas remeibantes aos exctnplos

dados, e sempre subordinados a propriedade esludaJa. até que elles, çor

si ^o os possam grapbar e resolwer. Os probîeraas aqui fornccidos dc7i?râo servir, apeuas de norma para o professor organisât os seus. fazendo os • alumnos laciocînarcm sobre os enuaciados e bem coœpiebendel-os.

(17)

~ 2 « —

e s e j î r . o s

Representando por ^ os subiractoros desconliecidos teromos

H - x = 5

Applicando a regra que o

sub-tractor X, c jgua] ao subtrahendo a, menos o reste 5,

teremos-X —8 —5 teremos-X —3

Siibstitirtnclo, no ejccranio fla«lo sea valor 3. pcra verificar a exactidâoda igualdade, resultara:

1 2 X i

8 ~ 3

Applicando a r^gra q; e o

sub-t.actoi X. é tpual aosubLralieudo

12, menos o rosto 7, teremos.

X ~ 1 2 - 7 _{o u} _X _{f )}

Substituindo, no exmcnlo dado

1 2 ₇ EXERCTCIOS , 9 8 1 2 X = 5 X ^ 3 x = 3 Resp, X =:r 4 X = ô ^ X = r ; : 2 0 1"; 1 6 - X = ; 1 2 T 5 Resp. X: - X . - I s » X . - X - . : - 1 0 . : ?

lUsranos iia proprledade e rngra ia ^ j

touuH us questOes e problemar. que Ihr-s P'^f^eremos resol-

_{i -s estejam subordinados}

EXKMI'I.OS

P r o b \ < » m a .

Qfc^// a HKoiero que subiraht

do de 25 (ieixa 8 f/ura reslo'i

nFsoixçÀo

fe'^'odo-15 ~x —8 Applicando entilo a o pubtractor x, é

tr=.he.,do ,5. nu-nos^"'

r e m o s ; r ^ s i o 8 , t e

-x-:J5_g n„ 7

K - « f p o n d c n d o

_{0 "mero pracurrdrf;""'^}

. ^robîeiUii

-«"1 "'"T " "

RIC80LL'i;Xt)

MurTal^"u "^rcpresenf ^ ^

^ Srapharemorrm'®\""'

. a questuo assim :

tractilr^^(J"scon\eoM^^

ao sul.tralieiido •>;, mp*' ^ ^2:"a]

t c i e m o s : " ' 0 r e s t o X 2 0 — I I_{b ou Xr=l4} ^«spomUndo

te,:"?.

_ 2 9 —

-PKOSLEMAS ( * )

13—Das 236 penn.ià que José r^ssuc. quantas senam preci se dTP.initir-5c p:»ra sobratwn J 79? Resp.

57-n--A difforença entre os 25 auwis de Pedro e a kiadè de

îosé, V 7. Quanti>s aunos tern José?—Kesp. 52. ■

Linba 1 05 fig"OS e cJeii piirte delies a Ivwria.

fican-do com 72 para si. QuanWs figos deti a Luzia?—Rosp. 43. 16—Dos 90 doces que Alvaro comprou. o pai>

entrefrou-lhc-26 c distribuio os outres pt4os irmàos re Alraro. Quautos foram OS doce.s distribuidos?—Resp- 64.

17—Pedro e José coîheram 82 larunjas; comeram algumas

e levàrani 65 para casa. Quanta.s laranjas comeram?—Resp. 17.

18—Mi^juel cumprou -^2 Hvros por ô.s^ooo; deu o din.heiro que levava e ficou a dever 37|5000; que imjjcrcancia levava Mi

guel?—Resp. 28^^000.

Multiplicaçâo

MuîtipHcûçao é a operaçào que Lem por fim repetir um nu

méro tantas vcttos quantas s?io as unidades dc outre.

O numéro que se inultipHca. chaina-^e;

O numéro r>clo qua! se multiplica. charna-se; aixiltipllca^or.

O resultado da maltiplicaçOo do multiplicande por um

alga-rismo do multiplicador, chama-se: prodtioto

pQrrclal-A somma dos productos parciaes é o prcklucto total. O muiti«>licando e o midtiplicador sào factords do pro-d n c t o t o t a l .

Effectuando-se a multiplicaçâo, observa-se a seguinte

REORA GPJRAL—Para se ^ffecinar a 7>iulftpiieac(io

esereve-sc 0 m.idtipUccJor ;?o/' haixo (k muUiplim-i-hdo de 7nodo

(*) Estes pioblemas deveiao,' apenas, servi.r de norma para o pro fessor organisar outros scmclhantes, sentpre subordinados à propricdade estndacia e em proporvao a.s hahihtaçôes e intelligencia de sects silam-nos, aos quaes fk:verd obrigar a constantes esercicios até que por si mesmo, os comprcbendam. os graphcm e os resolvam.

(18)

- 3 0 - — 3 1 —

qu^ os aîgansms da msrm ordem se eorreapondam, e

subit-n ia-se. Çoy^^a-se^ da direita para a esquerda, muhiplkasubit-ndo-se

r ' " d o m n l t i p l i e a d o r c e s

A % ^ 7 ^ p r i m e i r o a l

-'muliinbrfiArJ^^^ f Wï(?^Wrt coîumna do algarmno do

vS^ofZ ^ «i^ltiplicou. SomnmmJ depois os

pZoTal.^"' ' " ~ ° prodJo totcd

E î E i l P T o 2 7 5 3 6 5 2 9 4 2 6 x 1 3 2 .8565x324 5 5 0 6 1 3 7 6 5 1 6 5 1 8

77?4 9 5 6

k s e r c i c i o s 25351x37 •^6972x45 7 5 4 9 x 1 2 7 9453x258

PROVAS de MULTIPLICAÇAO

R t A L PtEGR 4 TTL

& 0 qucd^u foZ^Z Z

' ar a operaçào estard certa.

ESBMPLO

poPsTTha^^f ' wultiplicaçâo de 2S3

P r o v a . ® " P W d u c t o 8 6 0 2 .

''P'i'ad^Srïr.hT^o P®'"

_{'^3 para quociente.}

«nte d7"wtio^'^ Porqae P

m n l t i p l i e a d o r é ' ' 5

_ao mnllipjicaDdo-2 5 3 3 4 1012 7 5 9 8 6 0 2 1 8 0 1 0 2 0 0 PP.OVA DOS N0V33

REORA'—Tira-se os nores ào MuUipHamâo e cscreve-sf o

resfo d dirntu da aperaçSo. Tiram-se cm seguida os 7îoves ao

MiR-i-iplicadoY €■ 6scr€ve-sc tambcm o rcsto d dii'cita, dcbaixo do primeiro.

MidHplicam-se os dois resfos, liram^sf os not-es do producto e

es-orevc-se d direito- do priineiqo resto, '"^vivi-se -finalmente os notes

do producto total c escrcvc-êe debaSav do fereeiro resta. Se os dois

ultimes restas fonru iqu^s, a rpei'-iÇxo esnird ceria.

E X E M P L O

^ a- Traça-se uma cruz i direita da operaçao._{eS Tirando-se os noves do multiplicando, acha-se o}

«4 Js resto i. que se escreve no anguîo supenor a esquerda

254" 1° ^"^^irando-se os noves ao multiplicador, acha-se o

_{oi" r#»«ito T one se escreve no angulo inferior a esquerda da}

y 5 r a r Î T l a ^ ^ i r n r i - S t O .

1016 — 7 6 2 7

. 5

> • r e i ï L u / , H ' " - - — . . .

^ • cruz por baixo do primeiro reste.

n n i s t

D o r p a i x o a o p n i u c n ^ ^

MultipUcaudo-se os dois restos, e tirando-se os

noves do pr^ucto. acha-se o resto 5. qne se escreve no

8636

..Via -O O resto «î, que se escreve no ultimo angulo da cruz,

^ Vi „tâ certa. porque os dois restos finaes

* s â o i g u a e s - '

EXBBCICIOS

Verificar pelas duas provas as seguintes operaçôes:

2426 X 32 — 77632 9592 X 25 — 239800

457 X54.^24678 325X72- 23400

HULTIPLICAÇÂO CONTINUADA

ffiEultlplicaçâo conUniiada é a operaçào de multiplicar

em que se eac.&ntK:Ba mais de dois tactores.

EXEM'PLO ^

7 X 5 ]X 4 X 3 = 420 é uma muldplîcaçào continuada.

EXBBCIGIOS 5 X 3 X 9 X 2 = ? 7 X 5 X 8 X 5 — ? 7 X 3 X 4 X 7 — ?

8X3X2X5.-=?

8 X 5 X 4 X 9 = ? 7 X 3 X 2 X 4 = ?

(19)

— 3 2 . — TABOÂDA BE PITHAGOBAS 1 2 3 4 5 ( î 7 8 9 1 0 I ! _{1 2 ;} 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6 1 8 2 0 2 2 24: ! 3 6 9 _{1 2} _{1 5} _{1 8} _{2 1} _{2 4} _{2 7} 3 0 3 3

36 '

4 8 _{1 2} _{1 6} ' 20 _{2 4} _{2 8} 3 2 3 6 1 0 4 4 4 8 5 1 0 _{1 5} _{2 0} _{2 5} _{3 0} _{3 5} _{4 0} 4 5 5 0 0 0 6 0 ; 6 1 2 _{IS .} _{2 1} _{3 0} _{3 6} _{4 2} _{4 8} 5 4 6 0 6 6 7 2 7 1 4 _{2 1} _{2 8} _{3 5} _{1 2} _{4 9} o fi 6 3 _{7 0} _{7 7}

84 1

8 _{1 6} _{2 4} 3 2 4 0 _{4 8} _{5 6} _{6 1} _{7 2} 8 0 8 8 96 i y _{1 8} _{2 7} _{3 6} _{4 5} 5 4 ( i 3 7 2 S I _{9 0} _{9 9}

_{108 !}

1 0 _{2 0} _{3 0} _{4 0} _{5 0} 6 0 _{7 0} _{8 0} _{9 0} 100 110

_I20|

u 2 2 _{3 3} _{4 4} _{5 5} _{6 6} 7 7 8 8 91) _{n o} _{1 2 1} _132: 1 2 2 4 3 6 4 8 6 0 7 2 _{8 4} _{9 6} 1 0 8 _{1 2 0} _{1 3 2}

1441

Para se enconlrar nesta tabonfî;i

procura-sc o primeiro destes numéros na f numéros,

segundo na columna vertical \o l-iorizontal e o

se encouirarem estarâ o product nrn, ' ^-oiumnas

na columna hnrizonial e 5 na ru\umn^ ■' ,tomandp 8

se encontram no quadro que marea Tque ellas

te o producto de 0 X8=:^ 40. 40, que é

realmen-PEOPRIEDADSS DA MTJLTIPLICAQiO

Na multiplicaçio devemos considérer H

Proprleaade A do. /„ ,

_{dos faciore, altera o producto}

EXEMPLOS 8X5 = 40

qne' na^'SipUcaçâo

v e r i fi e r

0, iactor^s 8 n. f

3 3 —

do sera senipre o tnesmo 40, quer se multipliqvie 8 por 5 ou 5 per 8.

8 X 5 - 4 0 o u 5 X S — 4 0

dp sera sempre o racsmoS x, quer se mnltipîique 8 por x ou x por 8, — ou .'cX8 —8..C 2.® 3?ropri©dad6—Qaalqner factor' de nma multipJlcnçào «

ignal ao quorienie da diviiùo do prôdtudn total prlr. outro factor.

E X E M T L O S

6

2 X 3

Se, de accordo com a proprie-dade, dividirtiios o producto total 6 pt'lo factor o quocientc

mos-t r a r û o o u mos-t r o f a c mos-t o r 2 .

^ i - ^ 3 = = 2

Dt, raesiuo modo, se dividirmos

o producto total 6, pelo factor 2

o resuUarto sera o factor 3.

— 3

12X4 — 48

Se, dividirmos o producto total

48 peio factor 4, o quocienté

mos-I r a r â 0 f a c t o r 1 2 . 4 8 - V . 4 — 1 2

Se, dividirmos o producto tota[

48 pelo factor 12, o re.sultado sera

o f a c t o r 4 .

4 8 - 7 - 1 2 = ^ 4 Desta propriedade podemr^s deduzir a segninte:

UEO HA—Para se encontrnr 0 valor de um factor desconheci-do, hasta dk-idir 0 producto pelo factor conhecido.

Representando por o factor desconhecido, teremos:

E X E M P L 0 8

œ X 4 = 3 f l

Applicando a regra, que o fa ctor desconhecido x é igiial. ao producto 36 dividido pelo factor

conliecido 4, teremos :

. - r ~ - 0 o u x — 9 Substituindo, no esemplo dado, a letra x pelo seu valor encon-trado 9, resultarà :

9 X 4 — 3 6

8 X ^ = 24

Applicando a regra, que b fa ctor desconhecido x é igual ao producto 24. dividido pelo factor

conhecido 8, teremos:

iC = ^ — 3 ou X — 3

Substituindo no exeropio dado

a l e t r a x p e l o v a l o r e n c o t i t r a d o 3, resuîtârd: 3X8 = 24 R X E B 0 I C I 0 6 8 a ; = ; 4 0 . . . 5a: = 20 ... 2 œ = : 1 6 . . • Resp. :m D < œ — ? « s o ~ f 2 j : = 1 0 . 5 x = i r > . 9 a î ~ 5 4 . Resp. r > ?

(20)

Easeados na propried6:^e e estudadas, poderemos

re-suboTdînâ^as ptt/blenzas que se Ihes appresentem

ESSRCTCTOS

PK>bl6ma-p^,.o disiribuiii. igualmenie, entre seus irmSos, 90

««.(«», cabendo 18 a ■m,ia um. Qnantoe eram oe innSos de Pedro?

M E N T A L

Se Pedro distribuiu go maçâs por seus irmàos dando i8 a cada um, é claro que procuraudo se saber o uumero de vezes que go contem 18, este numéro sera o dos irmâos de Pedro.

E c o m o

yo-r 18 — 5 ■

S responderd ao pro-Pedro teœ 5 irmâos.

O R A P i l l c o

Representando-se por

xonume-ro desconhecido dos irmâos de ®dro, e sabendo-se que as i8

maças de cada uni, multîplicadas por este numéro é ifjuaî a oo,

te-r e m o s : • y '

18a:=:90

factor desconheci-uelo fn?? ao Producto dividido pelo factor conhecido.

resultarâ-X : 9 0

I K o u C C = ; a

PROBLEMAS (*)

cbte™!:?orrL" ° ~ t. pa.a

Resp. 11 lue rppetido 15 produz 1(15?—

MOEO DE AEEEVIAE A WULTIPLICAÇÀO (*)

Em diverses casos é possivel ahr^ ■

____ sswel abreviar uma multipUcaçao:,

(*) Alem dos casos; iia

-«U^licaçào, e:ci3t.^ oTSlT^' a

1. CASO—Quando o multiplicador for a unîdade seguîda.

de zeros, isto é quando o multiplicador for 10, IQO, 1000, etc., Tîûo se effectua a mulii2Mcaçao e basta eserever d direita do mul~

tiplicando o mesmo nume7'o de zet'os coniidos 7io multiplicador.

48X10 = 480 E X R i I P L O S 226XlOO==22GOO 45X1000 = 45000 72X 10 = ? 28 X 10 = ? E X E R C I C I O S 84XlOO = ? 1 3 6 X 1 0 0 = ? 152X1000 = ? 329X1000 = ?

2. ÇASO Quando um dos factores, ou mesmo ambos,

ter-mmarcm por zeros, effectua-se a multiplicaçâo dos demais algarisu

tnos e a dvcnta do producto escreve7ruse entào os ■xe7-os.

36(00 2 4 1 4 4 7 2 8 6 4 0 0 - 450 X 23 = ? 1080 x 45 = ? E X E M P L O S 1 4 3 25(0 7 1 5 ^ 8 6 35750 EXERCICIOS 8363X20 = ? 952X 130 = ? 42(00 34[0 1 6 8 . 1 2 6 1 4 2 8 0 0 0 3 5 0 0 0 X 1 6 0 = ? 2 6 4 0 0 X 3 0 0 = ?

cador\scivCT^?prJenmda™nnr.^^^ intermediarias do

multipli-vorrespondente a ella;- e o producto parcml

rismo da direita fique na mltmJ Ji que o primeiro alga.

cer 0 producto, <^olum7iQ da ordem a qué pertetu

4 3 5 2 5 0 8 3 4 8 1 6 2 1 7 6 0 2 2 1 0 8 1 6 EXEifPLOS 3 4 2 6 2 0 0 4 1 3 7 0 4 6 8 5 2 6 8 6 5 7 0 4

(21)

S5aXG09 —? 1246X504 — ? E X E B a C I O S 62r>X20n —? 053X507:3.-:? '3953 X 9006 —? 5320 ;-r 3025 =: ?

^ ^ASO-Ouandu o muUipIicando p o multiplicadnr fomii

numéros fo.-mados pnr dois rd^arismos. -sundo iguacs as d.zenas,

e a somma das unidados fOr 10.

nmnA-MulHplmmi.se. ns uhjurismos das mndadss e,

Z)a-'/ r'"'

^ e ! 7 ' ' ' T « » « ' y n k l a d c . K s

-1

" ■

e

o

numuo assim formado serci o yroiuHo provurado. '

F.xî:.Mpr.o

Seja 04X50 em que os algarismos das dezenas f5t in

■guaes, e a somma das unidades (4+0, ^ i.ual a lo '

d a s

MuUiplican<lo-se. em see-uiri-, i 9V4=pS;4

âas dev.ea«s s. por si Z.'5 ' °

-uma unidade/serâ... ^ugmentado de

Kscrevendo-se éntâo, o seeim.i ,

30 a esquerda do primeim producto !" Cuu"'

o—30=. o p:;;:::;:

EXERClfJiOS 4 3 4 7 5 1 5 9 _{3 4}3 6 4 4 4 6 7 2_{7 8} 7 9 7 1 8 1_{8 9} 2 8 2 2

rri"™'"'"" raultiplicador forera

- das deaenas for lT

I^EGRÀ—MuHipliMvi-se os algaris^nos das unidaaes sc-. paradammie, forma-sc 0 pi-oducto das dexenas sommando^se depois a este dos alyaHsmos das zimdades. dCscrevem-se este rest/Ua-do d csqucrda rest/Ua-do primeiro e 0 nnmero assim fonnarest/Ua-do serd 0

pro-ducio procurado.

E X E I Q ' L O

Seja 65 X 45 em que os aJgarismos das

iguaes, e a somma das dezenas (6-1-4) é igual

Multipticando sc. entre si. os

algaria-mos das unidades, 5, viré

Multiplicendo-se em seguida os

aîgar i s m o s d a s d e z e n a s ( 6 0 4 ) 0 s o m -m a n d o - s e d e p o t s o a l g a r i s -m o s d a itniclades (5) vira

Escrevcudo-se entSo, o resultado (29) i esqueida do primeiro (25)

re-s u l t a r a : unidades (5) sic a 10 5 X 5 — 25 •6X4 4-5=:29 2 9 2 5

Sendo 2925 o producto procurado de 65 X 45

6 5 4 5 8 4 2 4 E S E H C I C I O S 6 3 4 3 3 6 7 6 2 7 8 7 9 8 1 8 7 1 3 1 9 3 1 3

6.® CASO—Quando o multiplicador é composto 56 de novcs. "REGHA—Eserevcm-sp à dircita do atuUiplicando, tantos zeros

■ qtuinios for em os naves do muUiplkad^jr : e, do numéro asshn

for-rnado, snhtrahe-sc 0 multiplicando. Q resto serâ 0 producto pro^

c u r a d o

B X E M P L O

852X399 Escrevendo-se i dircita do mitltiplicando (852) très zeros, por serem très os novea do mul

t i p l i c a d o r , t e r e m o s 8 5 2 0 0 0 Siibtraliindo-se do numéro assim formado

(852000), o multiplicando 802, virâ ••'S52000—852=951148

0 numéro 851.148, représenta o producto de S52X969

E X E E C I C I O S

'625X99

3 2 4 X 9 958X999 5 6 2 X 9 9

3426X999

2è5i X 999

_{5 8 3 7 X 9 9}4264 X 09 Comp 2 A

(22)

— 3 8 —

/•'*XASO—Quando o multiplicando for um numéro

forma-Qo por dois al^ansmos c o multiplicador for 11.

Este caso subdivide-se em

dois-i n f e r dois-i o r ^

d o

m u l t i p l i c a n d o

f o r

REORA—Summan-sc os algarismos. r. escrer^-s'i esta

ZaZ'^sêT T"'"' «Igarwnos. 0 nmmro assim

for-viuclo seta o producto prociirado

E X E M F L O

2 5 X 1 1 ^

eandoft«em\f

o numéro 275 é o producto de

25X11-Quando a somma dos alcari^mn- ^ ^

-escTOc-sc enln estes mZmos°ll,mfumos'^ multiplicando, e

dades da somvm, tench ZLZZ ° ''^S^rism. das'

uni-mo das dezcnas do multiplieAndo. ^

algar's-EXEMFLO

78X11

multipU-mos algarismultipU-mos^7

«îcs-unidade o numéro 7, ficarâ de uma

O numéro 85s éoprod^ct^de'^SXu

1

' + 8 = 1 5 8 5 8 ^■SEHdCIOS

■'«Xfl 83X11 I8V1,

«X" -xu .xu ::j:; ==xn

8 5 x 1 1 3 9

8." CASO—Quando 0 multiplicador for 11 e o

multiplican"-do um numéro

qualquer-HEOIiA—Escrev6.s6 0 prtmeiro algat^isino da direita do

muUipliemido 0 d csquerda deîle vae se escrevendo a somma do

jyrimGiro algarismo mais 0 scgtindo; do segundo mats 0

ter-cmro do ierceiro mais 0 quarto e assivi por diante;

escreven-do'se-finahnvnte'0 idtimo algarismo^ aesquerda do multiplicando,'

E X E i t P L O

Seja: 235 X 11

Escrevendo-se o ultimo algarismo (5) do

m u l t i p l i c a n d o v i r a

E s c r c v e n d o - s e â s u a e s q u e r d a a s o m m a

do primeiro algarismo (5) com o segundo (3) vira... Escreveudo-sc â sua esquerda ^ somma do segundo algarismo (3) com oterceiro (2)'vira

Escrevendo-se fiualmcnte 0 ultimo algaris mo (2), resultara

Sendo 2585 o producto procurodo

3245 X 11 4283 X 11 E X E H C I C I O S 35321X 11 45234 X 11 5 S 5 2 5 8 5 5323 X 11 4852X31

9-*= CASO—Quando ambos os factores sâo numéros

oroxi-m o s d e 1 0 0 , l o o o , e t c - '

REGRA—MiiUiplicamse entre si os compkmenios dos

faclores e escreve.se 0 resultado preenc/icndo coin xeros as ca.

sas das dexenas e cenienas qwmdo 0 producto eiicontrado for

inferior a 10 ou inferior a 100. Frocura-se depots a

diffe-ren^a entre um das factores e 0 compltmento do outro c

es-creve-se esta differençu d esquerda do producto jd escripto

E X E i l P L C

Seja 68X95.

( P r o x i m o a l O i ) ^ Procurando-seos camplementos de 92 e 05 acha-se: Comp. de 98=2 Multiplicande se os dois

com-Seja 993X996 (Proximo de lOOO) Procurando.se os complementos de 993 e 996 acha-se: Comp. de 993 = 7 • » 9 9 6 = 4

(23)

corn-- 4 0 —

plementosf^ e 5) entresi Ureinos: 2X5 = 10

Procurando-se a differcnça en

tre o faclor 98 e o coaiplemento

do factor 95 acha-sc: 98—5=93

Hscrevendo-ï^ entâo. este

se-^ndo resnaudo (93) d esquerda

do pnmeu-o 10, resuUara-o s i resuUara-o

P r o c u .

® entre si c pieen-chendo com zero a casa das

cen-tenas, vira:

7X4 = 028

P^oeurando-se a differcnça entre

® coiapîemento {7) do oatro factor

eucontra-se-,, 995 — 7 = 989

iiscrevendo-se este sceuikIo

re-sni^ado (9S9) à esquerda do

pri-mciro (02S) rcsultani: ^

î)8rjOL>8 0 r e s u l t a d o

proem ado de 990 >',993.

9 3 X 9 7 93X06 liXEKCiaoS

998X995

997X993 9 1 X 9 8_{9 7 X 9 5}^ * r \

25, ° muItipUcador tor 5 o„ potencias

a mema 'pôlneS"'S'"q^T5 - P°'' ^0 ehvado

p " ' ^

O que quer dizcr:

in ^ multiplicador for 5 1*2

t-° * a p d o p o r

e a s s i r a p o r d i a n t e . ' 1 0 0 0 0 « . .8434X^0

do 8434%^r

8 4 3 4 0 0 ■ ,10 r , . . . . o r i o ^ U U p o r n . . . " 1 0 8 5 0

'^lAP.Pro'tucto de

«>434X25==2I0850

4«36X5 roo. _®™®CI0S

287x5 7^6x25 ®®18xt25 394»..

2349X125 - , 9 8 6 5 X 1 2 5

Por'?l!„Ttl= «^"uUipOcan.

d; ., 3865000

8> resijtarï-'" P^°dncto por

483125

. _ 4 1 —

Foi'iisaçâo, elo doliro, tripio, ete.,

Û O S m i m e r o s

O dobro cle um numéro représenta o numéro 2 vezos ou

d u a s v e z e s m a i o r.

-O dobro de 4 é 8 porqiie .S~4-f-4

O trlwlo de um numéro représenta o numéro tornade 3 ve

z e s o u i r e s v e z e s m a i o r

-O triplo de 3 é 9 porque 9—3-f3-[-3

O riiiadniplo de um numéro représenta o numéro 4 veze.s maior- E asslni por dîante.

Como repetir os numéros 2, 3, 4, vezes, etc., é o mesmo que

multiplical-os, respiectivamente; por 2, 4, etc., seguo-se qrie para

formar o diipîo, triploi quadruple, etc., dos numéros devc-se miil-tiplical-os, respexîtivaniente, por 2, 3, 4, etc.

EXEMPr.OS

O dobro de -5 é 10 porque 5x:2=10

M » 3 é G 3 x 2 — ~ G

O t r i p l o d e 4 é 1 2 4 x - 3 _ 4 2

6 _{2 x 3 — 6}

Do mesnio modo que podemos determinar o dobro,, o trîplo

etc., do um numéro conhecido qualquer, tambem podemos, e pela

mesma regra, representar o dobro, triplo, etc., de um numéro ou

de uma quantidade desconbecîda repre.sentada por 22.

E X I i M P î a D S

O d o b r o d e u m r u r n c r o d e s c o n h e c i d o . 11

O dobro dos laranja.»? que estâo un înesa. 't?.

O dobro da icîade de Jorge ' ^ repieaeutado por 2a:

> . • - V f U D l A i U M j a r k t

O dobro da icîade de Jorge

litc., etc.

O Iriplo de nui immero de.sconhecîdo O triplo dos lapis que Joâo possue. O triplo da idade de meu irmâo.

Etc., etc

4 vezes de minha casâao collegio. \

4 vezes um numéro qualquer desconbecido [ R'

4 vezes o comprituento de uma rua. Ktc., etc.

E assiw por diacte.

.E' repre.^eutado por 3x

(24)

— 4 2 —

E^RCICIOS (*)

/

Como se represent» o dohro da idade de Pedro?

numéro qualqner ?

' » triple (Ins aceis de minha prima ?

rrobUma_o dobro da idx^U de Juf-M ^70 rUn t

t e i n

J u l i a ?

é

i j ,

Q u a u t o s

a n n o s

m e n t a l

d/d/dïo' q^e ?e

î2-f.2 = 3G

Wen.ar"° '"P^^erâ ao

pro-Julia tem 36 tnnos.

O E A P m c o

Representa12do.se por X a idade

dejalia, e

sabendo-2X=^.72

é ' a c t o r d e s c o n k s c i d o

factor

^actor conhecido, resultani:

X

T o u 3 6

PB0BLEM19 (=)=*)

^ v e n d o ^ r e v e r e m 9 6 0 l i n h a s

cada unir—Resp. 320 e G40. ^uantas linhas escreveu

- Œ r iî --"a e Hcou

2:'-QuaI o numéro one r» r-r > ''"'na f-Resp. f,0

-Res^^^DO -Petrdo 8 ,, ^

HndUa^^errS Hnd.a-é 3B.

tripio é iguari°20?'.r|^^^%»n>«>ado com o seu duplo e o seu

A • • ^ ) Scn(io iDuiffx M

— 43 —

E m p r e g o d o p a p e n t f e e s i s

Oa parenthesis s5o empreg-ados na Arithmetica para

en-cerrarom operaçûes tndtcadas e que so considéra effectuadas.

Os parenthesis tomam o nome dos resultados das

ope-raçôes que nelles estao cncerradas.

Se OS parenthesis encerram as parcellas de uma addiçâo

chamam-se: Somma; si encerram os termes de uma subtracçâo!

chamam-se: Differença; si encerram os factorcs de uma

multi-p l i c a ç a o , c h a m a r a - s e : P r o d u c t o .

E X E M P L O S

Em vez dc se dizer uma addîçâo se dîz : ITma aoiama.

/«•w-rr * » » > > > subtracçâo > > Hma di&erença

^ ^ ' > » > > , multiplicaçao > » "Cm prodnoto.

^ ® ® " s a m o s p a r e n t h o s i s p a r n i n d i c a r o q u o c i e n -offoctuadn, devendo