Nova prova de resultados clássicos de percolação

Texto

(1)Universidade Federal do Rio Grande do Norte Centro de Ciências Exatas e da Terra Programa de Pós-Graduação em Matemática Aplicada e Estatística Mestrado em Matemática Aplicada e Estatística. Nova Prova de Resultados Clássicos de Percolação. Antônio Djackson Alves da Silva. Natal-RN Julho de 2017.

(2) Antônio Djackson Alves da Silva. Nova Prova de Resultados Clássicos de Percolação. Trabalho apresentado ao Programa de PósGraduação em Matemática Aplicada e Estatística da Universidade Federal do Rio Grande do Norte, em cumprimento com as exigências legais para obtenção do título de Mestre. Área de Concentração: Probabilidade e Estatística. Linha de Pesquisa: Percolação. Orientador(a). Prof. Dr. Roberto Teodoro Gurgel de Oliveira. Universidade Federal do Rio Grande do Norte – UFRN Programa de Pós-Graduação em Matemática Aplicada e Estatística – PPGMAE. Natal-RN Julho de 2017.

(3) Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN Sistema de Bibliotecas - SISBI Catalogação de Publicação na Fonte. UFRN - Biblioteca Setorial Prof. Ronaldo Xavier de Arruda - CCET. Silva, Antônio Djackson Alves da. Nova prova de resultados clássicos de percolação / Antônio Djackson Alves da Silva. - Natal, 2017. 57f.: il. Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Centro de Ciências Exatas e da Terra. Programa de PósGraduação em Matemática Aplicada e Estatística. Orientador: Roberto Teodoro Gurgel de Oliveira.. 1. Modelo de percolação - Dissertação. 2. Parâmetro crítico Dissertação. 3. Transição de fases - Dissertação. I. Oliveira, Roberto Teodoro Gurgel de. II. Título. RN/UF/CCET. CDU 551.579.5(043.3).

(4) Dissertação de Mestrado sob o título Nova Prova de Resultados Clássicos de Percolação apresentada por Antônio Djackson Alves da Silva e aceita pelo Programa de PósGraduação em Matemática Aplicada e Estatística da Universidade Federal do Rio Grande do Norte, sendo aprovada por todos os membros da banca examinadora abaixo especificada:. Prof. Dr. Roberto Teodoro Gurgel de Oliveira Orientador(a) Departamento de Matemática Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Prof. Dr. Bruno dos Santos Gois Departamento de Matemática Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Profa. Dra. Débora Borges Ferreira Departamento de Matemática Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Profa. Dra. Gislene Micarla Borges de Lima Departamento de Ciências Exatas, Tecnológicas e Humanas Universidade Federal Rural do Semi-Árido. Natal-RN, 21 de julho de 2017..

(5) Em memória de Hudson Hallyson Bezerra da Silva, meu amado irmão..

(6) Agradecimentos Primeiramente, agradeço imensamente ao bondoso Deus da vida por me permitir alcançar essa conquista e por manter viva a esperança do novo céu e da nova terra. Agradeço, em especial, a minha família, minha mãe Joselene Alves e meu pai José Hilton e minhas irmãs Dayana Karla e Yasmyn Silva, por ser a minha base, por todo apoio e pelo amor imensurável. Também a Vânia Pereira pelo carinho e atenção. Agradeço a minha namorada Danielle Barbosa de Melo por todo suporte, apoio, carinho, cuidado, paciência e principalmente pela fonte inesgotável de amor, e por entender que mesmo quando estávamos juntos, precisava trabalhar na dissertação. Amo você! Também, ao meu sogro e minha sogra, Neudo e Cléia, por toda a acolhida e carinho. Agradeço a Luciano Inácio e Manoel Paloma fundadores do grupo cultural Art d’Rua, e a todos os membros do grupo, pelos ensinamentos durante minha infância e adolescência. Também sou grato a vocês por ter me tornado o homem que sou. Também à todos/as os/as integrantes do movimento Hip Hop potiguar que me apoiaram nesses anos. Agradeço aos amigos e amigas de caminhada da Pastoral da Juventude (PJ), em especial a Leonardo Gabriel, Anderson Luiz e Adiene Oliveira, por compartilhar comigo a fé no ressuscitado e me tornar um jovem apaixonado pela vida. Agradeço imensamente ao meu amigo e orientador profo . Dr. Roberto Teodoro pelos ensinamentos, pela atenção, disponibilidade, compreensão e paciência, e por ter me apresentado à belíssima e intrigante teoria de percolação. Serei eternamente grato. Agradeço aos amigos e amigas, Paulinho Ventura, Cledwilson Souza, Bryan Adams, Ronaldo Freire Lima, Giselle Costa de Sousa, Paulo Maia, Josimara Tatiane, Ruan Barbosa, Nildo Simões, Renato Silvestre, Daniel Tomaz, Adailton Souza, João Paulo Oliveira, Fernando Lucas, Jaob Willian, Joziel Almeida, Tércio Moreira, Bruno Luiz, Juan Ramon, Elizabth Policarpo, Isabelle Silva e Milklei Leite. Por fim, agradeço a CAPES pelo apoio financeiro..

(7) A teoria da aleatoriedade é fundamentalmente uma codificação do bom senso. Leonard Mlodinow - O andar do bêbado..

(8) Nova Prova de Resultados Clássicos de Percolação. Autor: Antônio Djackson Alves da Silva Orientador(a): Prof. Dr. Roberto Teodoro Gurgel de Oliveira. Resumo Um processo de percolação modela o fenômeno da distribuição ou transporte de fluidos em um meio poroso. A variação de um parâmetro do modelo revela a existência de, geralmente, duas fases, uma fase dita subcrítica e outra fase dita supercrítica. Essas fases possuem características globais distintas e a transição de uma dessas fases à outra se dá em um valor crítico do parâmetro do modelo. O presente trabalho tem como objetivo apresentar novas demonstrações para resultados clássicos no modelo de percolação Bernoulli de elos, a saber: o decaimento exponencial do raio de um aglomerado aberto na fase subcrítica e a cota inferior da probabilidade de percolação. Palavras-chave: Modelo de percolação, parâmetro crítico, transição de fases..

(9) New Proofs of Classical Results in Percolation Theory. Author: Antônio Djackson Alves da Silva Advisor: Prof. Dr. Roberto Teodoro Gurgel de Oliveira. Abstract A percolation process models the distribution and transport of fluids in porous media. The variation of a model parameter reveals the existence of, generally, two phases, one called subcritical and the other called supercritical. These phases bear distinct global characteristics and the transition between phases takes place at a critical value for the model parameter. The present work aims at presenting new proofs for some classical results of Bond Bernoulli Percolation, namely: exponential decay of the radius of the cluster at the origin in subcritical phase and a lower bound on probability of percolation. Keywords: Percolation model, critical parameter, phase transitions..

(10) Lista de figuras 1. Representação de um grafo G = (V, E) com conjunto de vértices V = {a, b, c, d, e} e conjunto de arestas E = {ab, ad, be, bc}.. 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Λ2 = {x ∈ Z2 : ||x|| ≤ 2} é a bola de raio 2 centrada na origem com a métrica do máximo em L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Λ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 31. Existência de um circuito fechado de arestas em L2d contendo em seu interior um caminho caminho aberto de L2 .. 8. p. 26. Um trecho de L2 (linhas cheias) e seu grafo dual L2d (linhas tracejadas) na métrica do máximo.. 7. p. 24. Representação de um caminho aberto (em azul) partindo da origem até x 2 inteiramente contido em Λ2 . Ou seja, 0 ←→ x ocorre. . . . . . . . . . . . .. 6. p. 24. Um resultado do processo. As linhas cheias são as arestas presentes e as linhas tracejadas representam as arestas ausentes no processo. . . . . . . . . . . .. 5. p. 23. As arestas de ∆Λ2 em tonalidade azul. Os vértices de ∂Λ2 são os vértices de Λ2 extremos às arestas de ∆Λ2 .. 4. p. 20. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 31. Acredita-se que esse é o possível comportamento gráfico da função θ(p), pois ainda não se sabe o valor de pc para toda dimensão d e se a função θ(p) é contínua em pc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 33. 9. Um trecho da árvore binária Tb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 36. 10. Exemplo de um conjunto S finito contendo a origem em Ld e todas as possíveis arestas em ∆S que podem ser alcançadas por caminhos abertos. . . . . . . .. p. 38.

(11) Sumário. 1 Introdução 1.1. Organização do trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2 Conceitos Preliminares. p. 11 p. 12 p. 14. 2.1. Álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 14. 2.2. Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 15. 2.3. Grafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 19. 3 Percolação de elos em Ld. p. 22. 3.1. O modelo de percolação Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 22. 3.2. O Parâmetro Crítico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 29. 3.3. Um Novo Parâmetro Crítico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 35. 4 Resultados Auxiliares. p. 40. 4.1. Ocorrência Disjunta e Desigualdade BK . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 40. 4.2. Pivotalidade e Fórmula de Russo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 43. 5 Fases Subcrítica e Supercrítica. p. 47. 5.1. Decaimento exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 47. 5.2. Cota Inferior da Probabilidade de Percolação . . . . . . . . . . . . . . .. p. 50. 5.3. Em Grafos Mais Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 54. 6 Considerações finais. p. 56. Referências. p. 57.

(12) 11. 1. Introdução. A teoria de percolação foi fundada em 1957 por J. M. Hammersley e S. R. Broadbent. Em seu artigo intitulado Percolation processes: Crystals and mazes I [7] eles propuseram um modelo matemático para entender a distribuição de um fluido através de um meio poroso - um meio consistindo de poros e canais microscópicos que ligam alguns desses poros. Sendo assim, a percolação pode ser definida como um processo aleatório que modela a distribuição ou transporte de um fluido através de um meio poroso. O modelo considerado por Hammersley e Broadbent é resultado da interação entre a teoria de grafos e a probabilidade. De fato, cada resultado do processo aleatório fornece um grafo aleatório ω em que seus vértices representam os poros do meio e as arestas (ou elos) representam os canais que conectam alguns desses poros, sendo que cada aresta está presente com probabilidade p ou está ausente com probabilidade complementar 1 − p. Por fim, o fluido terá atravessado completamente o meio poroso (ou se distribuído completamente através do meio) se existir um caminho infinito composto por arestas que são duas a duas adjacentes1 no grafo aleatório ω. Desde o inicio começaram a surgir alguns resultados não triviais da teoria, dentre as quais destacamos a existência de um parâmetro critico 0 < pc < 1 que caracterizam duas fases globais distintas do modelo, uma fase em que não há percolação, dita subcrítica, e outra fase em que há percolação, dita fase supercrítica do modelo. O parâmetro pc é chamado de probabilidade crítica (ou ponto crítico) e o seu valor depende da dimensão d do processo. Outro resultado não trivial da teoria foi provado por Hammersley ainda em 1957. Tal resultado afirma que se considerarmos à fase subcrítica do modelo, a probabilidade de que haja percolação decai exponencialmente rápido para zero. Assim como em outros ramos da matemática, a teoria de percolação possui alguns problemas em aberto que tem chamado atenção de muitos matemáticos nas ultimas décadas, em especial o problema de determinar o valor pc ou se a probabilidade de que há 1. Duas arestas são adjacentes se eles possuem um vértice extremo em comum..

(13) 12. percolação é uma função contínua em pc para toda dimensão d. Destacamos que em 1980 Kesten provou que se d = 2, então pc = 21 , usando argumentos de Russo e Harris. Além disso, Kesten também foi o responsável pela prova de que limd→∞ pc (d)2d = 1 em 1990. Da década de 90 até os dias atuais esses problemas têm sido atacados utilizando argumentos de renormalização propostos por Grimmett, David Barsky e Newman no artigo intitulado Percolation in half-spaces: Equality of critical densities and continuity of the percolation probability publicado em 1991. O presente trabalho apresentou uma ferramenta interessante e poderosa que possibilitou reescrever o ponto crítico, e fazer novas demonstrações de resultados clássicos de percolação (o decaimento exponencial da probabilidade de percolação e da existência de uma cota inferior para essa probabilidade) nas fases subcrítica e supercrítica, respectivamente. Essas considerações e demonstrações são devidas a Hugo Duminil-Copin e Vincent Tassion no artigo intitulado A new proof of the sharpness of the phase transition for Bernoulli percolation and the Ising model [2].. 1.1. Organização do trabalho. O primeiro capítulo deste trabalho é destinado a uma pequena introdução que apresenta alguns dos fatos históricos mais interessantes e relevantes para teoria de percolação. Além disso, nele apresentamos nosso objetivo com o trabalho. No segundo capítulo há alguns conceitos que são básicos para o estudo da teoria de percolação, na seguinte ordem: álgebra, probabilidade e grafos. O terceiro capítulo traz o modelo de percolação Bernoulli de elos em Ld , bem como alguns dos mais importantes resultados da teoria, que por sua vez, servem como base para os principais resultados do trabalho. Optamos por exibir essas considerações em Ld , uma vez que são mais intuitivas devido à geometria do mesmo. O quarto capítulo destina-se à apresentação das ferramentas que são fortemente utilizadas na teoria, e essas são: Desigualdade BK e Fórmula de Russo. Essas ferramentas serão úteis para a demonstração dos resultados principais, que já foram mencionados. Para mais detalhes, ver [6] e [12]. Finalmente, o último capítulo é mais importante, pois nele estão contidas as novas provas do decaimento exponencial e da cota inferior da probabilidade de percolação. Primeiramente, serão feitas em Ld e posteriormente as discutiremos em grafos infinitos.

(14) 13. localmente finitos e vértice-transitivos..

(15) 14. 2. Conceitos Preliminares. Neste capítulo fixamos a notação e revisamos alguns conceitos básicos que usaremos no decorrer do texto.. 2.1. Álgebra. Nesta seção relembramos a definição de grupo, ação de grupo e algumas propriedades. Essa estrutura será particularmente importante uma vez que a invariância por translação em nosso espaço de percolação será definida através de uma ação de grupo. Definição 1. Uma relação de equivalência R no conjunto A é uma relação que satisfaz as seguintes propriedades: i. aRa, ∀ a ∈ A (reflexão); ii. Se aRb =⇒ bRa, ∀ a, b ∈ A (simetria); iii. Se aRb e bRc =⇒ aRc, ∀ a, b, c ∈ A (transitividade). Considere um conjunto X 6= ∅. Uma operação binária em X é uma aplicação da forma ∗ : X × X → X. Uma estrutura algébrica é um par (X, ∗), em que ∗ simboliza uma operação binária em X. Definição 2. Seja (G, ∗) uma estrutura algébrica. Então, tal estrutura é chamada de grupo, se satisfizer as seguintes propriedades: i. a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c, ∀ a, b, c ∈ G; ii. Existe e ∈ G tal que a ∗ e = e ∗ a = a, ∀ a ∈ G; iii. ∀ a ∈ G existe a−1 ∈ G tal que a ∗ a−1 = a−1 ∗ a = e..

(16) 15. Proposição 1. Os elementos “e” e “a−1 ” em G são únicos. Exemplo 1. O par (Z, +) é um grupo aditivo. Vê-se facilmente que a operação +, que é a operação adiação nos números inteiros satisfaz as propriedades. Exemplo 2. Considere o conjunto M = {1, 2, . . . , n}. Definimos o conjunto Sn como sendo o grupo de todas as permutações dos elementos de M , com a operação binária de composição de funções. Definição 3. Seja (G, ∗) um grupo. Uma ação (à esquerda) do grupo G num conjunto X é uma operação externa :G×X →X (g, x) → g x tal que i. ∀ g, g 0 ∈ G, ∀x ∈ X, g (g 0 x) = (g ∗ g 0 ) x; ii. ∀ x ∈ X, e x = x. Além disso, diremos que G age transitivamente sobre o conjunto X, se para todos x, y ∈ X, existir g ∈ G tal que g x = y. Equivalentemente, poderíamos dizer que a ação é transitiva se X = O(x), onde O(x) = {g x : g ∈ G} é a órbita de x. Exemplo 3. Considere (G, ∗) um grupo arbitrário. A translação (à esquerda) é uma ação do grupo G nele mesmo, e é definida pela lei τ :G×G→G (g, g˜) → gτ g˜ := g ∗ g˜. Note que a translação τ satisfaz as condições para que seja uma ação de grupo.. 2.2. Probabilidade. Consiramos agora algumas definições e resultados da teoria de probabilidades. A probabilidade é um ramo da matemática que estuda o fenômeno da incerteza. Sendo assim,.

(17) 16. no estudo da probabilidade quantificamos a chance de ocorrência de um determinado experimento. Historicamente ela surge com o intuito de se compreender e descrever os jogos de azar, mas através da história essa teoria vem ganhando “corpo” e despertando interesse dos matemáticos. Apenas no século XX é definida de forma axiomática tomando como base a teoria da medida. Apresentamos aqui as considerações do ponto de vista axiomático, uma vez que desejamos construir de modo formal o espaço de percolação. Seguem os resultados. Definição 4. Considere um conjunto Ω 6= ∅, o qual denominaremos de espaço amostral. Denotamos por P (Ω) ao conjunto das partes de Ω. Uma família S ⊂ P (Ω) é dita um semi-anel se satisfaz: i. Se A, B ∈ S =⇒ A ∩ B ∈ S; ii. Se A, B ∈ S e B ⊆ A =⇒ Existem C1 , . . . , Cn ∈ S disjuntos tal que A−B =. n [. Ci .. i=1. Definição 5. Uma família A0 ⊂ P (Ω) é dita ser uma álgebra se: i. Ω ∈ A0 ; ii. Se A ∈ A0 =⇒ Ac ∈ A0 ; iii. Se A, B ∈ A0 =⇒ A ∪ B ∈ A0 . Além disso, a coleção A ⊂ P(Ω) é dita uma σ-álgebra se é uma álgebra e vale a seguinte ∞ [ propriedade: se Ai ∈ A, ∀ i = 1, 2, . . . =⇒ Ai ∈ A. Denominamos os elementos de i=1. A por eventos, e ao par (Ω, A) de espaço mensurável. Assim, fará sentido definir uma medida que atribua um característico numérico para os elementos A. Exemplo 4. Seguem alguns exemplos de σ-álgebra. i. Seja Ω um conjunto qualquer. Então {∅, Ω} é uma σ-álgebra; ii. P(Ω) também é uma σ-álgebra; iii. Seja Ω = {a, b, c}. Então, {∅, Ω, {a}, {b, c}} é uma σ-álgebra. Definição 6. Seja M ⊂ P (Ω) uma coleção de subconjuntos de Ω. Definimos a σ-álgebra gerada por M como sendo G(M) =. \ F ⊂Ui. onde Ui são σ-álgebras em Ω.. Ui ,.

(18) 17. Exemplo 5. Considere (Ω, τ ) um espaço topológico. A σ-álgebra gerada pelos abertos (fechados) de Ω, denotada por B(Ω), é dita a σ-álgebra de Borel. E assim, B(Ω) = M({Abertos de Ω}). Definição 7. Seja (Ω, A) um espaço mensurável. Uma medida de probabilidade é uma função P : A → [0, 1] que satisfaz as seguintes propriedades: i. P(Ω) = 1; ii. Se (Ai )∞ i=1 ⊂ A é uma coleção tal que Ai ∩ Aj = ∅, ∀ i 6= j, então ! ∞ ∞ [ X P Ai = P(Ai ). i=1. i=1. Dessa maneira, podemos definir o espaço de probabilidade consistindo do espaço amostral Ω, cujo os elementos são denotados por ω, da σ-álgebra de eventos A e da medida de probabilidade P, e assim, será representado pela tripla (Ω, A, P). Proposição 2. Seja (Ω, A, P) um espaço de probabilidade. Então, valem as seguintes propriedades: i. P(∅) = 0; ii. Se A, B ∈ A, então P(A ∪ B) = P(A) − P(B) + P(A ∩ B); iii. A ⊆ B, então P(A) ≤ P(B); iv. Se Ai ∈ A, ∀i = 1, 2, . . . , então P. ∞ [ i=1. ! Ai. ≤. ∞ X. P(Ai ).. i=1. Definição 8. Definimos a função indicadora IA do conjunto A 6= ∅ por  1, se ω ∈ A IA (ω) = · 0, se ω ∈ /A Em particular, durante o texto estaremos interessados em funções indicadoras de eventos. Definição 9. Dizemos que dois eventos A, B ∈ A são independentes se P(A ∩ B) = P(A) · P(B)..

(19) 18. Nesse sentido podemos generalizar essa propriedade da seguinte maneira: dizemos que A1 , . . . , An ∈ A são independentes se dado I ⊂ {1, . . . , n} temos ! \ Y P Ai = P(Ai ). i∈I. i∈I. Definição 10. Considere (Ω, A) um espaço mensurável e (R, B(R)) o espaço Borel mensurável. Dizemos que a função X : Ω → R é uma variável aleatória se X −1 (B) = {ω : X(ω) ∈ B} ∈ A, ∀B ∈ B(R). Exemplo 6. Considere o experimento que consiste na escolha de um número ao acaso no intervalo [0, 1]. Sendo Ω = [0, 1], considere a função X : Ω → R que associa o resultado da escolha ao seu quadrado, ou seja, X(ω) = ω 2 . A função definida dessa forma é uma variável aleatória. Exemplo 7. Um outro exemplo simples de variável aleatória é uma função indicadora IA , com A ∈ A. Definição 11. Uma variável aleatória é dita discreta se assume um número finito ou enumerável de valores. Ou seja, uma função X : Ω → R é uma variável aleatória discreta, se existe um conjunto {x1 , x2 , x3 , . . . } ⊂ R tal que P(ω : X(ω) ∈ {x1 , x2 , x3 , . . . }) = 1 com ω ∈ Ω. Definição 12. Seja X uma variável aleatória discreta definida no espaço de probabilidade (Ω, A, P), e seja p(xi ) = P(X = xi ). O valor esperado ou esperança de X é dada por E(X) =. ∞ X. xi · P(X = xi ),. i=1. onde {X = xi } = {ω ∈ Ω : X(ω) = xi }, ∀ i ∈ N. Podemos definir independência para variáveis aleatórias da seguinte forma: duas variáveis aleátorias X e Y são independentes se, para A, C ∈ B(R) quaisquer, temos P(X ∈ A, Y ∈ C) = P(X ∈ A) · P(Y ∈ C). Dada uma variável aleatória X : Ω → R definida sobre o espaço mensurável (Ω, A). Definimos a σ-álgebra gerada por X como sendo a menor σ-álgebra tal que X é mensurável, e a denotamos por σ(X). Podemos estender essa definicão do seguinte modo: dada uma sequência (Xn )n∈N de variáveis aleatórias definidas sobre o espaço mensurável (Ω, A),.

(20) 19. definimos a σ-álgebra gerada por X1 , X2 , . . . como sendo a menor σ-álgebra em que cada Xi é mensurável ∀ i ∈ N, a que denotaremos por σ(X1 , X2 , . . . ). Definição 13. Seja também (Xn )n∈N uma família de variáveis aleatórias definidas num espaço de probabilidade (Ω, A, P). Sejam σ(Xn , Xn+1 , . . . ) as σ-álgebras geradas pelas variáveis Xn , Xn+1 , . . . então, F=. \. σ(Xn , Xn+1 , . . . ). n≥1. é chamada σ-álgebra assintótica. Definição 14. Um acoplamento entre duas medidas de probabilidade µ e γ é um espaço de probabilidade (Ω, A, P) em que há duas variáveis aleatórias X e Y tais que X tem distribuição µ e Y tem distribuição γ. A técnica de acoplamento é bastante poderosa e útil, pois por ela podemos estudar medidas de probabilidade através da relação entre variáveis aleatórias que têm as distribuições desejadas. Para um estudo mais detalhado ver Peres [3].. 2.3. Grafos. Finalmente, vejamos um pouco sobre teoria de grafos. A noção de grafo torna-se essencialmente importante, pois nosso espaço será constituido de grafos que são construídos aleatoriamente. Os conceitos apresentados estão em Diestel [4]. Definição 15. Um graf o G é um par (V, E), em que V é um conjunto não vazio finito ou infinito enumerável e E ⊂ V (2) , onde V (2) = {xy : x 6= y, x, y ∈ V }. Escrevemos G = (V, E). Os elementos de V são chamados de vértices (ou pontos), enquanto que os elementos de E são chamados de arestas (ou elos). Assim, sendo G um grafo, denotaremos por V (G) e E(G) o seu conjunto de vértices e seu conjunto de arestas, respectivamente. Logo, escreveremos G = (V (G), E(G)). No entanto, quando V e E estiverem subentendidos, utiliza-se apenas a letra G para representar o grafo em questão. Fixados o grafo G = (V, E) e x, y ∈ V , então a aresta composta por x e y será representada simplesmente por xy. Nesse caso, dizemos que a aresta xy incide em x e em y, e x e y são vizinhos. A representação de um grafo é feita através de uma figura composta por pontos (vértices) e curvas que ligam esses pontos (arestas)..

(21) 20. e c. b a d. Figura 1: Representação de um grafo G = (V, E) com conjunto de vértices V = {a, b, c, d, e} e conjunto de arestas E = {ab, ad, be, bc}.. Definição 16. Sejam G = (V, E) e G0 = (V 0 , E 0 ) dois grafos. Dizemos que G e G0 são isomorfos, e denotamos por G ' G0 , se existe uma bijeção φ : V → V 0 tal que xy ∈ E ⇔ φ(x)φ(y) ∈ E 0 para todos x, y ∈ V . Tal aplicação é chamada isomorfismo, e se G = G0 , φ será chamada automorfismo. Proposição 3. Seja G = (V, E) um grafo, e Aut(G) o conjunto de todos os automorfismos de G, então (Aut(G), ◦) é um grupo. Definição 17. Dado um grafo G = (V, E). Um subgrafo de G é um grafo G0 = (V 0 , E 0 ) em que V 0 ⊆ V e E 0 ⊆ (V 0 × V 0 ) ∩ E. Definição 18. Um caminho é um grafo C = (V, E) tal que V = {v0 , v1 , . . . , vk } e E = {v0 v1 , v1 v2 , . . . , vk−1 vk }, onde todos os vi ’s são distintos, com i = 0, . . . , k. Se C é um caminho e se o par {xk , x0 } é uma aresta, então C +xk x0 = ({v0 , v1 , . . . , vk }, {v0 v1 , v1 v2 , . . . , vk−1 vk , xk x0 }) é chamado de circuito. Logo, dado um grafo G = (V, E), um caminho em G é um subgrafo descrito de acordo com a definição anterior. Dizemos que um grafo G é conexo se, dados quaisquer x, y ∈ G, existe um caminho de vértices em G conectando x a y. Uma componente conexa H de G é um subgrafo conexo maximal contido em G. Ou seja, não existe outro subgrafo conexo H 0 de G tal que H é subgrafo próprio de H 0 . Definição 19. Um grafo G = (V, E) é dito vértice-transitivo se, dados dois vértices quaisquer x, y ∈ V , existe um automorfismo f : G → G tal que f (x) = y. Ou seja, um grafo é vértice-transitivo se o seu grupo de automorfismos age transitivamente nos seus vértices. Dessa maneira, cada vértice do grafo pode ser mapeado em qualquer outro vértice através do automorfismo. Grafos com essa propriedade apresentam.

(22) 21. uma certa regularidade quanto a sua representação gráfica. Analogamente, um grafo é aresta-transitivo se o seu grupo de automorfismos age transitivamente nas suas arestas. Definição 20. Dados um grafo G = (V, E) e um vértice x ∈ V , definimos o grau de x como sendo o número de vértices do grafo que são vizinhos de x em G. Denotando esse número por dG (x), temos dG (x) = #{y ∈ V : xy ∈ E}. Um grafo G = (V, E) em que V = {v0 , v1 , v2 , . . . } e E = {v0 v1 , v1 v2 , . . . } é chamado de grafo infinito. Dizemos que o grafo é localmente finito, se dG (x) < ∞, ∀ x ∈ V , i.e., se todos os seus vértices possuírem grau finito. Fixado um conjunto V com n elementos, digamos V = {0, . . . , n − 1}. Nosso objetivo é tornar o conjunto G de todos os possíveis grafos sobre V um espaço amostral, e logo, construir um espaço de probabilidade. Faremos assim: para cada e ∈ V (2) consideremos o espaço de amostral Ωe := {0, 1}, a σ-álgebra P(Ωe ) e definimos a medida de probabilidade Pe tal que Pe ({1}) := p e Pe ({0}) := 1 − p. Dessa forma, podemos construir um espaço de probabilidade (Ω, F, P) consistindo do espaço amostral Ω :=. Y e∈V. Ωe ,. (2). a σ-álgebra F gerada pelos cilindros finitos, i.e., gerada pelos conjuntos que dependem apenas de arestas em subconjuntos finitos de Ω e também a medida produto P :=. Y. Pe .. e∈V (2). Cada possível grafo G será identificado por ω, com o conjunto de arestas E(G) = {e : ω(e) = 1}, e é chamado de grafo aleatório em V , onde as arestas estão presentes com probabilidade p e ausentes com probabilidade 1 − p..

(23) 22. Percolação de elos em Ld. 3. Neste capítulo apresentamos o reticulado1 hipercúbico d-dimensional e o modelo de percolação Bernoulli, bem como algumas de suas propriedades e resultados importantes. Como já foi mencionado, os principais resultados desse trabalho valem também para grafos mais gerais, a saber, grafos infinitos vértice-transitivos localmente finitos. Isso pode ser visto no texto base o trabalho de Hugo Duminil-Copin e Vincent Tassion, intitulado A new proof sharpness of the phase transition and Ising models [2]. No entanto, iremos nos focar no reticulado, uma vez que as ideias são mais intuitivas.. 3.1. O modelo de percolação Bernoulli. Considere Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . . } o conjunto de todos os números inteiros. Dado d ≥ 2, considere também Zd o conjunto dos vetores d-dimensionais com coordenadas inteiras, ou seja, Zd = {x = (x1 , . . . , xd ) : xi ∈ Z, 1 ≤ i ≤ d}. Se x ∈ Zd , denotamos por xi a i-ésima coordenada do vetor x. Definição 21. Dados x, y ∈ Zd definimos a distância de x a y por δ(x, y) :=. d X. |xi − yi |.. i=1. Note que a função definida acima é uma métrica em Zd . Ou seja, satisfaz as seguintes propriedades: i. δ(x, y) = 0 ⇔ xi = yi , ∀ i = 1, . . . , d; 1. Um diagrama de Hasse é a representação de um conjunto parcialmente ordenado finito na forma de um grafo transitivo. Um reticulado é um diagrama de Hasse em que todo par de vértices possui um supremo e um ínfimo..

(24) 23. ii. δ(x, y) = δ(y, x), ∀ x, y ∈ Zd ; iii. δ(x, z) ≤ δ(x, y) + δ(y, z), ∀ x, y, z ∈ Zd . Nessas condições, denotaremos a distância da origem até x por δ(0, x). Em alguns momentos, quando necessário, iremos utilizar uma outra métrica em Zd , que por sua vez é dada por kx − yk := max |xi − yi |. i∈{1,...,d}. Note que valem as seguintes desigualdades max |xi − yi | ≤. i∈{1,...,d}. d X. |xi − yi | ≤ d · max |xi − yi | i∈{1,...,d}. i=1. =⇒ kx − yk ≤ δ(x, y) ≤ d · kx − yk. Nessa métrica, a distância de x à origem é denotada por ||x||. Considere o grafo composto pelo par (Zd , Ed ), chamado reticulado hipercúbico ddimensional e denotado por Ld . O conjunto Ed é composto por todos os pares {x, y} tais que δ(x, y) = 1, com x, y ∈ Zd , que são as arestas ou elos do grafo. Quando δ(x, y) = 1 dizemos que x e y são adjances ou vizinhos e, nesse caso, denotamos a aresta de x a y por xy ou hx, yi, além disso, uma aresta e incide em x se x é um vértice extremo de e. Considere B(n) = {−n, n}d = {x ∈ Zd : δ(x, 0) ≤ n} e Λn = [−n, n]d = {x ∈ Zd : ||x|| ≤ n} a bolas de raio n centradas na origem nas métricas da soma e do máximo, respectivamente.. 0. Figura 2: Λ2 = {x ∈ Z2 : ||x|| ≤ 2} é a bola de raio 2 centrada na origem com a métrica do máximo em L2 .. Definimos a fronteira de vértices (ou superfície) de Λn por ∂Λn = {x ∈ Λn : xy ∈ Ed para algum y ∈ / Λn }..

(25) 24. Além disso, definimos a fronteira de arestas de Λn como sendo ∆Λn = {xy ∈ Ed : x ∈ Λn e y ∈ / Λn }. De modo análogo, definimos as fronteiras de vértices e de arestas para qualquer subconjunto A de Ld .. 0. Figura 3: As arestas de ∆Λ2 em tonalidade azul. Os vértices de ∂Λ2 são os vértices de Λ2 extremos às arestas de ∆Λ2 .. Fixado o grafo Ld = (Zd , Ed ) e p ∈ [0, 1], o modelo de Percolação Bernoulli no conjunto Ed é composto por uma família (Xe )e∈Ed de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.) tais que Xe tem distribuição Bernoulli de parâmetro p, isto é, µ(Xe = 1) = p e µ(Xe = 0) = 1 − p. Isso significa que tomamos um processo que gera um subgrafo aleatório de Ld , em que cada aresta estará presente com probabilidade p e estará ausente com probabilidade complementar 1 − p.. 0. Figura 4: Um resultado do processo. As linhas cheias são as arestas presentes e as linhas tracejadas representam as arestas ausentes no processo.. Cada resultado do processo é um subgrafo aleatório, composto por Zd e o conjunto de todas as arestas abertas, que é representado por uma sequência ω de 0’s e 1’s, e.

(26) 25. será chamado de configuração. Tais configurações são os elementos do espaço amostral d. Ω = {0, 1}E . Formalmente, escrevemos ω = (ω(e) : e ∈ Ed ), onde cada ω(e) é projeção de ω na aresta e, i.e., ω(e) é o resultado do processo observando a aresta e. Se ω(e) = 0 dizemos que a aresta e está fechada, caso contrário, se ω(e) = 1, dizemos então que e está aberta. Dada uma configuração ω, um conjunto é um cilindro finito se for caracterizado por uma quantidade finita de arestas. Sendo assim, temos a seguinte definição. d. Definição 22. Seja E ⊂ Ed finito, um cilindro finito é um subconjunto de Ω = {0, 1}E da forma C(ω, E) = {˜ ω∈Ω:ω ˜ (e) = ω(e), ∀ e ∈ E}.. Iremos considerar a σ-álgebra dos subconjuntos de Ω gerada pelos cilindros finitos, que será denotada por A. Sua construção é feita da seguinte maneira: seja C(ω, E) um cilindro finito, esses conjuntos formam um semi-anel que denotaremos por S. Seja também µ : S → [0, 1] uma medida σ-finita, onde µ(C(ω, E)) =. Y. p. ω ˜ (e)=1. Y. (1 − p).. ω ˜ (e)=0. Vamos agora enunciar um importante resultado que dará consistência à nossa definição. A sua demonstração pode ser encontrada em Bartle [1]. Teorema 1 (Extensão de Hahn-Kolmogorov). Considere A0 um semi-anel de subconjuntos de Ω e µ : A0 → [0, 1] uma medida σ-finita. Então, existe uma única extensão de µ em σ(A0 ). Pelo teorema da extensão de Hahn-Kolmogorov, existe um espaço de probabilidade (Ω, A, Pp ), onde A = σ(S) e Pp é a extensão da medida µ em A, i.e., Pp (A) = µ(A), ∀A ∈ S. Note que Pp =. Y. µe. e∈Ed. é a medida produto, onde cada µe é uma medida de Bernoulli em {0, 1}, dada por µe (ω(e) = 1) = p e µe (ω(e) = 0) = 1 − p, para cada e ∈ Ed . Portanto, fica definido o d. espaço de probabilidade da percolação Bernoulli como sendo a tripla ({0, 1}E , σ(S), Pp ). Nesse contexto, usaremos a notação Ep para representar o valor esperado. Definição 23. Um caminho no reticulado Ld é uma sequência de vértices distintos v0 , e0 , v1 , e1 , . . . , en−1 , vn e as arestas são ei = vi vi+1 , ∀ i = 1, . . . , n − 1..

(27) 26. Dizemos que o caminho é aberto se todos os seus elos estão abertos, i.e., se ω(ei ) = 1, ∀ i = 1, . . . , n−1. Dado ω ∈ Ω, dois vértices x, y ∈ Zd estão conectados por um caminho aberto em ω, escrevemos x ∼ y, se existir n ∈ N e um caminho aberto tal que v0 = x e vn = y. Nesse caso, denotamos esse evento por {x ↔ y}. Quando x está conectado a y por S. um caminho aberto inteiramente contido em S ⊂ Ld , então denotamos por {x ←→ y}. Além disso, podemos estender essa definição no seguinte sentido, se A, B ⊂ Ld , então {A ↔ B} é o evento em que existe um caminho aberto γ ligando algum vértice de A a algum vértice de B. x. 0. Figura 5: Representação de um caminho aberto (em azul) partindo da origem até x inteiramente Λ. 2 contido em Λ2 . Ou seja, 0 ←→ x ocorre.. Note que “ ∼ ” define uma relação de equivalência em Ld . De fato, vamos mostrar que as propriedades de relação de equivalência são válidas. i. x ∼ x é trivial; ii. Se x ∼ y, então {x ↔ y} ocorre. Assim, {y ↔ x} claramente ocorre, ou seja, y ∼ x; iii. Se x ∼ y e y ∼ z, então existem m, n ∈ N e γ = {v0 , . . . , vn }, γ 0 = {u0 , . . . , um } tais que v0 = x e vn = y e u0 = y e um = z. Dessa forma, temos que λ = {v0 , . . . , vn = u0 , . . . , um } é caminho tal que v0 = x e um = z, e logo {x ↔ z} ocorre. Portanto, x ∼ z. Seja o subgrafo aleatório de Ld composto por Zd e o conjunto de todas as arestas abertas. As classes de equivalência, considerando a relação “ ∼ ”, constituem uma partição do espaço, e essas classes são as componentes conexas do subgrafo. Tais componentes conexas são chamadas de aglomerados ou clusters abertos, e usamos a notação Cω (x) para o aglomerado aberto contendo o vértice x na configuração ω. Logo, Cω (x) = {y ∈ Zd : x ∼ y em ω}..

(28) 27. Ou seja, Cω (x) é o conjunto de todos os vértices do reticulado que são conectados a x por caminhos abertos. Note que o reticulado é invariante por translação, que é uma ação de grupo. Além disso, a medida de probabilidade Pp também é invariante por translação, e assim, a distribuição de Cω (x) é independente da escolha de x. Logo, sua distribuição coincide com a de Cω (0), o aglomerado aberto da origem, que aqui denotaremos apenas por C. O lema a seguir garante a mensurabilidade dos eventos em que existe conectividade entre vértices ou conjuntos. Lema 1. Sejam x, y ∈ Zd . Então, I{x↔y} é uma variável aleatória. Em particular, |Cω (x)| é uma variável aleatória para todo x ∈ Zd . Demonstração. Vamos assumir sem perda de generalidade que x = 0. Agora, defina a função em que fy,n = 1, se existir um caminho aberto de comprimento n conectando a origem a y, e fy,n = 0 caso contrário. Note que, quando n → ∞ temos fy,n ↑ I{0↔y} . Assim, basta mostrar que cada fy,n é mensurável. Sejam Λn := [−n, n]d e En := {e ∈ Ed : e∩Λn 6= ∅}. Então, definindo o vetor aleatório Yn := (Xe : e ∈ En ), temos que Yn : Ω → {0, 1}En é mensurável, pois cada uma de suas coordenadas é mensurável. Contudo, note ainda que fy,n é uma função de Yn , i.e., podemos escrever fy,n = gy,n ◦ Yn para alguma aplicação gy,n : {0, 1}En → {0, 1}. Portanto, pelo teorema da composição de funções mensuráveis, segue que fy,n é mensurável. A pergunta que é crucial, e que nos levará à principal quantidade de interesse em nosso estudo, é se há algum cluster aberto infinito no nosso reticulado, isto é, se |Cω (x)| = ∞, para algum x ∈ Zd , onde d. |C· (x)| : {0, 1}E → N ∪ {∞} tal que ω 7→ |Cω (x)|, é uma variável aleatória, pois |Cω (x)| =. X. I{x↔y} (ω), e a soma das. y∈Zd. variáveis aleatórias I{x↔y} (ω) é uma variável aleatória, sendo |Cω (x)| o volume do cluster, que é a cardinalidade do conjunto dos seus vértices. Novamente usando o fato do reticulado e a medida de probabilidade serem invariantes por translação, estamos interessados em saber se |C| = ∞, ou seja, se o cluster aberto da origem é infinito. Note que se existir um caminho infinito partindo da origem, então concluímos naturalmente que |C| = ∞, uma vez que temos a igualdade {0 ↔ ∞} = {|C| = ∞}..

(29) 28. Agora, para todo n ∈ N, considere An o conjunto dos vértices do reticulado que são conectados à origem por pelo menos um caminho aberto de tamanho n. Note que {An+1 6= ∅} ⊂ {An 6= ∅} , ∀ n ∈ N. Concluímos que a sequência é monótona decrescente, e também temos 0 ≤ Pp (An+1 6= ∅) ≤ Pp (An 6= ∅) ≤ 1, e assim é uma sequência limitada, logo lim Pp (An 6= ∅) existe. Pela propriedade de continuidade da medida de n→∞ ! \ probabilidade2 , temos que lim Pp (An 6= ∅) = Pp An . Finalmente, sabendo que n→∞ n∈N ! \ T { n∈N An } = {|C| = ∞}, temos Pp An = Pp (|C| = ∞), e assim segue a definição. n∈N. Definição 24. Definimos a probabilidade de percolação θ(p) como sendo θ(p) := Pp (|C| = ∞). A função θ(p) pode ser vista como a densidade média do cluster infinito. Note que a existência de um cluster aberto infinito depende do parâmetro p escolhido. Dessa forma, um resultado que será importante em nosso estudo, e que é de fundamental importância para a existência de parâmetro crítico nos valores de p, é a seguinte proposição. Proposição 4. θ(p) é uma função não-decrescente de p. Para provar esse resultado iremos utilizar a técnica de acoplamento. Demonstração. Seja (Ze )e∈Ed uma família de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas (i.i.d) com distribuição comum uniforme no intervalo [0, 1]. Considere também P a medida de probabilidade que consiste do produto de medidas uniformes no intervalo [0, 1]. Dizemos que um elo e ∈ Ed é p-aberto se Ze ≤ p. Caso contrário, diremos que o elo é p-fechado. Agora, sendo Cp o cluster aberto da origem definido a partir do modelo acima, temos que θ(p) = P(|Cp | = ∞). Sejam p1 , p2 ∈ [0, 1] tais que p1 < p2 , desse modo obtemos que Cp1 ⊂ Cp2 , uma vez que um elo p1 -aberto é necessariamente p2 -aberto. Logo,. θ(p1 ) = P(|Cp1 | = ∞) ≤ P(|Cp2 | = ∞) = θ(p2 ).. 2. Sejam (An )n∈N , A ∈ A tal que An ↓ A quando n → ∞, então Pp (An ) ↓ Pp (A)..

(30) 29. 3.2. O Parâmetro Crítico. Como vimos a função θ(p) é monótona não-decrescente em p. Além disso, se p = 0, as arestas estarão abertas com probabilidade 0, implicando que θ(0) = 0. Caso contrário, se p = 1, então as arestas estarão abertas com probabilidade 1, implicando que θ(1) = 1. Desse modo, deverá existir um valor crítico de p, denotado aqui por pc (d), onde d representa a dimensão do processo, tal que para valores de p maiores de pc (d) temos que θ(p) > 0. Sendo assim, sigamos com a seguinte definição. Definição 25. O número pc (d) é chamado de probabilidade crítica e é definido formalmente por pc (d) = sup{p : θ(p) = 0}. Provemos que em dimensão 1, temos pc (1) = 1. De fato, se d = 1, então temos que {0 ↔ ∞} ⊂ {0 ↔ n} ∪ {0 ↔ −n}. Logo, Pp (0 ↔ ∞) ≤ Pp (0 ↔ n) + Pp (0 ↔ −n). Além disso, note que o cálculo da probabilidade de que a origem está conectada a n ou −n é simples, pois Pp (0 ↔ n) = Pp (0 ↔ −n) = pn . Assim, Pp (0 ↔ ∞) ≤ 2pn . Se p < 1, então temos que 2pn → 0 quando n → ∞. Logo, θ(p) = 0, ∀ p ∈ [0, 1) ∴ pc (1) = 1. Agora, veremos o primeiro resultado não-trivial da teoria de percolação, que estabelece uma transição de fase no modelo para todo d ≥ 2. Teorema 2. (Broadbent e Hammersley, 1957) Em Ld , ∀ d ≥ 2, ∃ pc (d) ∈ (0, 1) tal que  = 0, se p < pc θ(p) . > 0, se p > p c. Dividiremos a sua demonstração em dois lemas que, junto a monotonicidade da função θ(p), constituem essa prova. Lema 2. Em Ld , ∀ d ≥ 2, ∃ p˜ > 0 tal que ∀ p < p˜, tem-se θ(p) = 0. Demonstração. Inicialmente note que Ep [|C|] =. ∞ X. n · Pp (|C| = n) + ∞ · Pp (|C| = ∞). n=1. uma vez que |C| : Ω → N ∪ {∞} é uma variável aleatória enumerável. Logo, observe que para mostrar que θ(p) = 0, basta mostrar que Ep |C| < ∞, pois se θ(p) > 0, temos Ep |C| = ∞..

(31) 30. Agora, mostremos que o volume do cluster aberto da origem é finito com probabilidade X 1 para p suficientemente pequeno. De fato, sabendo que |C| = I{0↔x} , onde I{0↔x} é x∈Zd. a função indicadora do conjunto {0 ↔ x}, temos que " # X Ep [|C|] = Ep I{0↔x} x∈Zd. =. X. Ep [I{0↔x} ]. x∈Zd. =. X. Pp (0 ↔ x). x∈Zd. ! ≤. X. Pp. γ. x∈Zd. ≤. XX x∈Zd. =. =. Pp (γ caminho aberto de 0 até x). γ. ∞ X X n=1 γ |γ|=n ∞ XX n=1. [ [γ caminho aberto de 0 até x]. γ |γ|=n. Pp (γ caminho aberto). n. p =. ∞ X. pn σ(n). n=1. onde σ(n) é o número de caminhos de comprimento n partindo da origem. Note que, para qualquer d, um caminho aberto de tamanho n partindo da origem tem 2d direções possíveis. Escolhido o vértice que formará a primeira aresta, como na nossa definição os caminhos são auto-evitantes (arestas distintas) então não poderemos retornar à origem, sendo assim, temos (2d − 1) direções possíveis. Utilizando esse fato para todas as demais n − 2 arestas, temos que uma cota superior para σ(n) é (2d)(2d − 1)n−1 . Logo, ∞ X. n. p σ(n) ≤. n=1. ∞ X. n. n−1. p (2d)(2d − 1). n=1. ∞ X = (2pd) (p(2d − 1))n−1 . n=1. ∞ X Mas, note que (p(2d − 1))n−1 é a série geométrica de razão (p(2d − 1)), e que converge n=1. se, e somente se, a razão é menor que 1, i.e., (p(2d − 1)) < 1 =⇒ p < Corolário 1. pc (d) ≥. 1 . 2d − 1. 1 · 2d − 1. Lema 3. Em Ld , ∀d ≥ 2, ∃ pˆ < 1 tal que ∀p > pˆ, tem-se θ(p) > 0. Antes de provar o lema, vamos introduzir uma importante ferramenta que será útil para o desenvolvimento da prova..

(32) 31. Definição 26. Considere o grafo L2 = (Z2 , E2 ). Definimos o grafo dual de L2 como sendo o par L2d = (Z2d , E2d ), onde Z2d = {x+( 21 , 12 ) : x ∈ Z2 } e E2d = {xy : x, y ∈ Z2d e δ(x, y) = 1}.. 0. Figura 6: Um trecho de L2 (linhas cheias) e seu grafo dual L2d (linhas tracejadas) na métrica do máximo.. Note que existe uma correspondência biunívoca entre os vértices e as arestas de L2 e L2d . Além disso, temos que L2 e L2d são isomorfos, pois cada vértice em Z2d é uma translação de um vértice em Z2 e cada elo e de L2 é cortado por um único elo ed de L2d . Dessa maneira, poderemos definir um modelo de percolação induzido em L2d , declarando cada elo da rede dual aberto, se seu elo correspondente em L2 é aberto. Analogamente, declaramos os elos fechados em L2d do mesmo modo. Segue um resultado de fundamental importância para o estudo de percolação em L2 , cuja prova desse resultado pode ser encontrada em Kesten [11]. Proposição 5. Seja G um subgrafo conexo finito de L2 . Existe um único circuito CG em L2d contendo G em seu interior com a propriedade de que toda aresta e de CG corta uma aresta de ∆G.. 0. Figura 7: Existência de um circuito fechado de arestas em L2d contendo em seu interior um caminho caminho aberto de L2 ..

(33) 32. Considere o argumento de Peierls 3 , que afirma: Ep |C| < ∞ se, e somente se, com probabilidade 1 a origem de L2 pertence ao interior de um circuito fechado em L2d . Feitas essas considerações, vamos à prova do lema. Demonstração. Vejamos inicialmente que basta mostrar para d = 2, pois se existe cluster infinito em L2 , então ∀ d ≥ 3, Ld possui um cluster infinito, uma vez que contém o cluster infinito de L2 . Considere o evento A = {Existe circuito fechado em L2d em torno da origem de L2 }. Logo, Pp (|C| < ∞) = Pp (A) = Pp (Existe circuito fechado em L2d em torno da origem de L2 ) ! [ ≤ Pp [γ circuito fechado] γ. ≤. X. ≤. X X. Pp (γ circuito fechado). γ. Pp (γ circuito fechado). n≥4 γ circuito |γ|=n. =. X X. (1 − p)n. n≥4 γ circuito |γ|=n. =. X. λ(n)(1 − p)n. n≥4. onde λ(n) é o número de circuitos de comprimento n na rede dual em torno da origem. Semelhantemente à estimativa de σ(n), podemos estipular uma cota superior para λ(n) da seguinte forma: qualquer circuito de comprimento n ao redor de 0 no grafo dual deve cruzar algum elo no grafo original que una os vértices da forma (0, k) e (0, k+1), com k ∈ N e − n2 ≤ k ≤ n2 . Sendo assim, sabendo que o circuito não repete elos, temos 3 possibilidades de escolha para o próximo elo do circuito. Logo, para o primeiro elo temos n possibilidades e 3 possibilidades para cada um dos demais n − 1 elos. Portanto, λ(n) ≤ n3n−1 . Logo, X X X (1 − p)n λ(n) ≤ (1 − p)n n3n−1 = (1 − p) n(3(1 − p))n−1 . n≥4 ∞ X. n≥4. n≥4. α s se |α| < 1, fazendo α = 3(1 − p), temos que a série (1 − α)2 n=1 2 acima converge se, e somente se, |3(1 − p)| < 1 =⇒ 3(1 − p) < 1 ⇔ p > . Além disso, 3. Sabendo que. 3. n · αn =. Rudolf Peierls (1907 - 1995) foi um físico britânico que se dedicou ao modelo de Ising. Teve um importante trabalho publicado em 1936 intitulado On Ising’s Model of Ferromagnetism..

(34) 33. como (1 − p). X. n(3(1 − p))n−1 = (1 − p) ·. n≥1. 3(1 − p) 3(1 − p)2 = . (1 − 3(1 − p))2 (3p − 2)2. Note que a função limite da série acima é contínua no intervalo ( 23 , 1], uma vez que é a razão de duas funções polinomiais, que são contínuas, e essa se anula em p = 1. Concluímos assim, que se p é próximo de 1, temos Pp (|C| < ∞) < 1. Portanto, para esses valores de p, obtemos Pp (|C| = ∞) > 0. 2 Corolário 2. pc (d) ≤ · 3 Do teorema anterior concluímos que para d ≥ 2 há uma transição de fase pois, 0<. 2 1 ≤ pc (d) ≤ < 1. 2d − 1 3. Dessa forma, estão caracterizadas duas fases do modelo, e estas possuem comportamentos globais distintos. A fase em que p < pc (d) é denominada de fase subcrítica, e é caracterizada pela propriedade de que todos os clusters abertos são quase certamente finitos. A fase em que p > pc (d) é denominada de fase supercrítica, e caracteriza-se pela propriedade de que existe pelo menos um cluster aberto infinito. Em Grimmett [10] está provado que se p > pc , então existe um único cluster infinito, quase certamente.. Figura 8: Acredita-se que esse é o possível comportamento gráfico da função θ(p), pois ainda não se sabe o valor de pc para toda dimensão d e se a função θ(p) é contínua em pc .. Para a demonstração do próximo teorema, precisaremos de mais um importante e conhecido fato da teoria de probabilidade. Tal resultado é atribuído a Kolmogorov4 , e sua demonstração pode ser vista em Durrett [5]. 4. Andrei Kolmogorov (1903 -1987) foi o matemático soviético que formalizou a teoria de probabilidade sob o rigor da teoria da medida..

(35) 34. Teorema 3 (Lei 0-1 de Kolmogorov). Considere F a σ-álgebra assintótica gerada por σ-álgebras independentes e A ∈ F. Então, temos P(A) = 0 ou P(A) = 1. Teorema 4. A probabilidade ψ(p) de que existe algum cluster aberto infinito satisfaz  0, se θ(p) = 0 ψ(p) = . 1, se θ(p) > 0 Demonstração. Note que o evento em que Ld contém um cluster aberto infinito depende dos estados de um número infinito de arestas. Logo, esse é um evento assintótico. Pela lei 0 − 1 de Kolmogorov a probabilidade da existência de um cluster aberto infinito é 0 ou 1. Dessa forma, se θ(p) = 0, então ! ψ(p) = Pp. [. {|Cω (x)| = ∞}. x∈Zd. ≤. X. Pp (|Cω (x)| = ∞). x∈Zd. =. X. θ(p) = 0.. x∈Zd. Entretanto, se θ(p) > 0, então ! ψ(p) = Pp. [. {|Cω (x)| = ∞}. x∈Zd. ≥ Pp (|C| = ∞) = θ(p) > 0. Portanto, como ψ(p) > 0, temos pela lei 0 − 1 de Kolmogorov que ψ(p) = 1. Por fim, vejamos um exemplo de aplicação do modelo de percolação Bernoulli na descrição do fenômeno físico de distribuição de fluido. Exemplo 8. Emergirmos uma rocha porosa em um recipiente com água, e queremos saber se a água chega ao centro da rocha. Note que a rocha possui poros e canais que ligam alguns desses poros, e assim, para se chegar ao centro a água deverá percorrer um caminho formado por canais que ligam esses poros. Esse fenômeno pode ser estudado através de um processo de percolação. De fato, representando a rocha por meio de um grafo em que os vértices do grafo são os poros e suas arestas são os canais que ligam poros vizinhos, vamos construir um modelo aleatório em que cada canal da rocha pode estar aberto à passagem da água ou estar obstruindo a passagem. Seja p ∈ [0, 1] o parâmetro desse modelo. Assim,.

(36) 35. um canal está aberto com probabilidade p e fechado com probabilidade complementar 1−p. Ou seja, estamos considerando um modelo de percolação Bernoulli de elos. Considere o centro da rocha como a origem do grafo, e assim teremos que a água partir da borda da rocha e chegar ao centro é equivalente à existência de um caminho de vértices e arestas que conectam a origem até a superfície do grafo. No caso em que a rocha é muito grande, consideraremos a existência do caminho aberto da origem até o infinito. Note que quando p varia em [0, 1] estamos considerando diversos modelos, e assim, podemos modelar diversos meios através desse processo.. 3.3. Um Novo Parâmetro Crítico. Agora introduzimos as quantidades e as condições que serão necessárias para demonstração dos resultados que seguem nos próximos capítulos. As considerações que aqui faremos têm como base fundamental o artigo intitulado A new proof Sharpness of the phase transition and the Ising models, de autoria de Hugo Duminil-Copin e Vincent Tassion [2] e publicado em 2016 no Journal of Mathematical Physics. Definição 27. Sejam p ∈ [0, 1] e 0 ∈ S ⊂ Ld finito. Definimos ϕp (S) = p. X. S. Pp (0 ←→ x).. xy∈∆S. De acordo com a definição anterior, ϕp (S) pode ser vista como o número esperado de arestas na fronteira de elos de S que estão conectadas à 0 por caminhos abertos inteiramente contidos em S. Essa definição é de extrema importância para a demonstração dos principais resultados contidos nesse trabalho, pois damos uma nova definição para o parâmetro crítico, que por sua vez depende de ϕp (S). A principio duas questões são pertinentes com relação a função ϕp (S). São elas: i. Qual a importância função ϕp (S)? ii. Por que definir desta maneira? Começamos respondendo a primeira dessas questões, mas no decorrer do Capítulo V, durante as demonstrações, continuaremos a ver sua utilidade e importância. Note que ϕp (S) está bem definida, uma vez que pela transitividade no conjunto de vértices Zd , dados dois vértices quaisquer, digamos x e y, então existe um automorfismo φ : Zd → Zd tal que φ(x) = y. Além disso, para d finito, Ld é localmente finito, e sendo assim, estamos lidando.

(37) 36. com conjuntos finitos de vértices que possuem grau finito. Para responder o segundo questionamento, seguimos com a definição do novo parâmetro crítico. Definição 28. Considere a seguinte quantidade p˜c = sup{p ∈ [0, 1] : ϕp (S) < 1 para algum 0 ∈ S ⊂ Ld finito}. O número p˜c é o supremo dos parâmetros p ∈ [0, 1] tal que ϕp (S) é menor que 1, sendo S um subgrafo finito de Ld contendo a origem. Agora, o nosso intuito é fazer uma investigação sobre a função ϕp (S) e porquê da escolha de p˜c como parâmetro crítico. Definição 29. Uma árvore binária, a qual denotaremos por Tb , é um grafo conexo que não possui circuitos. ∅. 0. 1. 00 000. 01 001. 010. 10 011. 100. 11 101. 110. 111. Figura 9: Um trecho da árvore binária Tb . A raiz de Tb será representada por ∅ e cada vértice é uma justaposição de 0’s e 1’s, e a algum vértice na n-ésima geração é representada por λn . De modo análogo, podemos constuir um modelo de percolação Bernoulli em Tb declarando cada aresta de Tb aberta com probabilidade p ou fechada com probabilidade 1−p. Sendo assim, dada uma família de variáveis aleatórias com distribuição Bernoulli de parâmetro p, analisamos se a sub-árvore aleatória é infinita. Além disso, note que uma árvore binária Tb é isomorfa a algum Ld quando d → ∞, assim um vértice λn em Tb é um vértice x = (x1 , . . . , xn , 0, 0, . . . ) em Ld quando d → ∞. A principal vantagem de se estudar percolação em árvores é que nesses grafos o valor do parâmetro crítico pTd é sabido. Consideramos um processo de ramificação de Galton-Watson5 , que é um processo que 5. Francis Galton (1822-1911) foi um matemático e estatístico inglês que iniciou o estudo sobre extinção de populações. Henry Watson (1827-1903) foi um sacerdote e matemático inglês que apresentou, junto a Galton, o processo de ramificação de Galton-Watson..

(38) 37. modela aleatoriamente a descendência de um indivíduo ou a extinção do sobrenome de uma família. Segue sua definicão formal. Definição 30. Seja (Wn,m )n,m≥1 uma sequência de variáveis aleatórias de valores inteiros independentes e identicamente distribuídas tal que P(Wn,m = k) = pk . Um processo de ramificação de Galton-Watson com distribuição (pn ) de descendência é definido pela sequência de variáveis aleatórias (Xn ), satisfazendo X0 = 1, e resolvendo recursivamente Xn+1.  Wn+1,1 + · · · + Wn+1,X , se Xn > 0, n = 0, c.c.. O comportamento de tal processo depende crucialmente do valor m=. X. npn = Ep (ramificações). n≥0. que é interpretado como o número médio de descendentes ou o número médio de ramificações do processo. De fato, para justificar essa afirmação temos válido o seguinte resultado. Teorema 5. Se m ≤ 1, então q = P(Xn = 0 quando n → ∞|X0 = 1) = 1. Por outro lado, se m > 1 então P(Xn → ∞ quando n → ∞|X0 = 1) = 1 − q > 0, onde q é a menor raiz da equação f (s) =. X. p n sn .. n≥0. O teorema anterior afirma que se m ≤ 1 então com probabilidade 1 o processo se estingue. Caso contrário, se m > 1, então a probabilidade de extinção q é estritamente menor que 1, implicando que com probabilidade positiva o processo se ramifica infinitamente. Para um pouco mais de detalhes sobre processos de ramificação ver Athreya e Lahiri [8] e sua relação com a percolação em árvores em Lyons e Peres [9]. Note que podemos estabelecer uma relação entre um processo de ramificação de.

(39) 38. Galton-Watson e um processo de percolação na árvore binária do seguinte modo: A raiz de Tb é o pai e esse dá origem a dois filhos, cada um de seus filhos dão origem a outros dois, e assim sucessivamente. Existir uma sub-árvore infinita no modelo de percolação é equivalente a dizer que com probabilidade positiva o processo de Galton-Watson se ramifica indefinidamente. Sendo assim, podemos reescrever o ponto crítico do modelo em Tb fazendo uso de m e do teorema. Logo, = sup{p : Ep (ramificações) < 1}. pc = sup{p : θ(p) = 0} ↔ párv c Interpretando a função ϕp (S) como sendo o número médio de ramificações de um conjunto S finito contendo a origem de Ld . Veja que ao invés de observar a ramificação de um vértice em particular, estamos considerando de um conjunto. Isso faz sentido, uma vez que não estamos a possibilidade de vértices adjacentes à um vértice x fixado, mas sim sobre todos os caminhos partindo da origem até a fronteira de elos de S. Nesse sentido, podemos utilizar o teorema anterior para motivar os resultados de percolação em Ld .. S 0. Figura 10: Exemplo de um conjunto S finito contendo a origem em Ld e todas as possíveis arestas em ∆S que podem ser alcançadas por caminhos abertos.. De fato, sabendo que Tb é isomorfo a algum Ld quando n → ∞ e considerando Xn o número de vértices das componentes conexas de tamanho n, temos que (Xn )n∈N é um processo de ramificação de Galton-Watson. Reescrevendo o ponto crítico do modelo em Ld , assim como fizemos na árvore binária, temos que pc = sup{p : θ(p) = 0} ↔ p˜c = sup{p ∈ [0, 1] : ϕp (S) < 1 para algum 0 ∈ S ⊂ Ld finito}. Assim, se p < p˜c então com probabilidade 1 a ramificação do cluster da origem se extingue, ou seja, é finito. No entanto, se p > p˜c , então com probabilidade positiva o cluster da origem se ramifica infinitamente, ou seja, é infinito. Com isso, concluímos a motivação da função ϕp (S) e do parâmetro p˜c ..

(40) 39. Na definição de p˜c o conjunto dos parâmetros p tais que existe um conjunto finito 0 ∈ S ⊂ Ld com ϕp (S) < 1 é um subconjunto aberto de [0, 1], i.e., um conjunto da forma A ∩ [0, 1] onde A é um aberto da reta. Logo, p˜c não pertence a esse conjunto e, assim, obtemos que o tamanho esperado do cluster aberto da origem satisfaz, para p > p˜c ! X X X X Λn ϕp (Λn ). E[|C|] = Pp (0 ↔ x) ≥ p Pp (0 ←→ x) = x∈Zd. n≥0. xy∈∆Λn. n≥0. No entanto, notemos que se p > p˜c , então ϕp (Λn ) ≥ 1. Como estamos somando quantidaX des ≥ 1 infinitas vezes, temos que ϕp (Λn ) = +∞. Portanto, E|C| = +∞. Isso implica n≥0. que estamos na fase supercrítica do modelo, e assim p˜c ≥ pc . A desigualdade contrária ficará provada quando demonstrarmos que a função θ(p) decai exponencialmente com raio da bola Λn na fase subcrítica..

(41) 40. 4. Resultados Auxiliares. Os conceitos que apresentamos nesse capítulo têm importância fundamental no estudo de percolação, pois servem como ferramentas muito poderosas para a demonstração de alguns resultados, bem como para a construção de algumas ideias fundamentais dessa teoria. A primeira dessas ferramentas é a Desigualde BK, provada por Van Der Berg e Kesten [6] em modelos definidos em Rd . No texto não iremos apresentar sua demonstração pois, além de fugir da nossa proposta, é bastante técnica. A segunda ferramenta que apresentaremos é a Fórmula de Russo [12].. 4.1. Ocorrência Disjunta e Desigualdade BK d. Considere (Ω, A) o espaço mensurável. O espaço amostral Ω = {0, 1}E é parcialmente ordenado do seguinte modo: ω≤ω ˜ ⇔ ω(e) ≤ ω ˜ (e), ∀ e ∈ Ed . Assim, um evento A ∈ A é dito crescente se ω∈Aeω≤ω ˜ =⇒ ω ˜ ∈ A, e descrescente se ω∈Aeω ˜ ≤ ω =⇒ ω ˜ ∈ A. Note que se A é crescente, então seu complementar Ac = Ω\A é decrescente. Intuitivamente, dizemos que dois eventos A e B ocorrem disjuntamente, e escrevemos A ◦ B, se dada uma configuração ω ∈ Ω, então existem conjuntos disjuntos de arestas abertas com a propriedade de que o primeiro desses conjuntos garante a ocorrência de A e o segundo garante a ocorrência de B. Considere o seguinte exemplo..

(42) 41. Exemplo 9. Considere os seguintes eventos A = {Existe γ caminho aberto de y até z} e B = {Existe γ 0 caminho aberto de y até w}. Se tomarmos o caminho de y até z por baixo e o caminho de y até w também por baixo, então os eventos A e B não ocorrem disjuntamente, uma vez que ambos os caminhos possuem arestas em comum. No entanto, se considerarmos o caminho de y até z por cima e o caminho de y até w por baixo, então os eventos A e B ocorrem disjuntamente, pois não possuem arestas em comum (mesmo tendo o vértice w comum a ambos os caminhos).. y. 0 z. w. Formalmente, para ω ∈ Ω e F ⊂ Ed finito, lembremos que o cilindro finito C(ω, F ) gerado por ω em F é dado por C(ω, F ) = {˜ ω∈Ω:ω ˜ (e) = ω(e), ∀e ∈ F }. Assim, dados A, B ∈ A, denotemos por AB o conjunto (evento) de todos os ω para os quais existe F ⊂ Ed finito tal que C(ω, F ) ⊂ A e C(ω, Ed \ F ) ⊂ B. No caso em que A e B são crescentes, temos que C(ω, F ) ⊂ A ⇔ ωF ∈ A, onde  ω(e), se e ∈ F ωF (e) = . 0, se e ∈ /F Nesse caso, temos a seguinte igualdade AB = A ◦ B, onde A ◦ B = {ω ∈ Ω : ∃ F ⊂ Ed finito tal que ωF ∈ A e ωEd /F ∈ B} é o evento em que há ocorrência disjunta de A e B. Seguem duas propriedades importantes sobre ocorrência disjunta..

(43) 42. i. Se A, B ∈ A são eventos crescentes, então A ◦ B é crescente; ii. Se A, B, C ∈ A são eventos crescentes, então A ◦ (B ◦ C) = (A ◦ B) ◦ C. Definida a ocorrência disjunta entre dois eventos, e sendo Pp a medida produto em A com densidade p ∈ [0, 1], isto é, Pp =. Y. µe ,. e∈Ed. onde µe (ω(e) = 0) = 1 − p e µe (ω(e) = 1) = p com e ∈ Ed , então vale o seguinte resultado. Teorema 6 (Desigualdade BK). Para subconjuntos A, B ∈ A crescentes, temos que Pp (A ◦ B) ≤ Pp (A) · Pp (B) A desigualdade BK pode ser generalizada combinando as propriedades (i) e (ii) da seguinte maneira: Sejam A1 , . . . , Ak ∈ A eventos crescentes, então Pp (A1 ◦ A2 · · · ◦ Ak ) ≤. k Y. Pp (Ai ).. i=1 S. Exemplo 10. Considere um subgrafo S ⊂ Ld , e seja o evento {x ←→ y}, i.e., o evento em que existe um caminho aberto de arestas conectando os vértices x e y inteiramente contido S. S. em S. Assim, {x ←→ y} ◦ {u ←→ v} é o evento em que existem dois caminhos abertos de arestas disjuntos em S, sendo que o primeiro conecta os vértices x e y e o segundo S. S. conecta os vértices u e v. Desejamos saber a probabilidade Pp ({x ←→ y} ◦ {u ←→ v}) S. supondo que {x ←→ y} ocorre. Esse condicionamento fornece a informação de ocorrência de arestas abertas para a construção de um caminho conectando u a v, onde não podemos utilizar as arestas abertas do caminho que conecta x a y. A partir dessas considerações, temos que S. S. S. S. Pp ({x ←→ y} ◦ {u ←→ v}|{x ←→ y}) ≤ Pp ({u ←→ v}). S. =⇒. S. S. Pp ({x ←→ y} ◦ {u ←→ v} ∩ {x ←→ y}) S. Pp ({x ←→ y}) S. S. S. S. ≤ Pp ({u ←→ v}). S. =⇒ Pp ({x ←→ y} ◦ {u ←→ v}) ≤ Pp ({x ←→ y}) · Pp ({u ←→ v})..