3 Percolação de elos em L d
3.2 O Parâmetro Crítico
Como vimos a função θ(p) é monótona não-decrescente em p. Além disso, se p = 0, as arestas estarão abertas com probabilidade 0, implicando que θ(0) = 0. Caso contrário, se p = 1, então as arestas estarão abertas com probabilidade 1, implicando que θ(1) = 1. Desse modo, deverá existir um valor crítico de p, denotado aqui por pc(d), onde d
representa a dimensão do processo, tal que para valores de p maiores de pc(d) temos que
θ(p) > 0. Sendo assim, sigamos com a seguinte definição.
Definição 25. O número pc(d) é chamado de probabilidade crítica e é definido formal-
mente por
pc(d) = sup{p : θ(p) = 0}.
Provemos que em dimensão 1, temos pc(1) = 1. De fato, se d = 1, então temos que
{0 ↔ ∞} ⊂ {0 ↔ n} ∪ {0 ↔ −n}. Logo, Pp(0 ↔ ∞) ≤ Pp(0 ↔ n) + Pp(0 ↔ −n). Além
disso, note que o cálculo da probabilidade de que a origem está conectada a n ou −n é simples, pois Pp(0 ↔ n) = Pp(0 ↔ −n) = pn. Assim, Pp(0 ↔ ∞) ≤ 2pn. Se p < 1, então
temos que 2pn→ 0 quando n → ∞. Logo, θ(p) = 0, ∀ p ∈ [0, 1) ∴ p
c(1) = 1.
Agora, veremos o primeiro resultado não-trivial da teoria de percolação, que estabelece uma transição de fase no modelo para todo d ≥ 2.
Teorema 2. (Broadbent e Hammersley, 1957) Em Ld, ∀ d ≥ 2, ∃ p
c(d) ∈ (0, 1) tal que θ(p) = 0, se p < pc > 0, se p > pc .
Dividiremos a sua demonstração em dois lemas que, junto a monotonicidade da função θ(p), constituem essa prova.
Lema 2. Em Ld, ∀ d ≥ 2, ∃ ˜p > 0 tal que ∀ p < ˜p, tem-se θ(p) = 0.
Demonstração. Inicialmente note que
Ep[|C|] = ∞
X
n=1
n · Pp(|C| = n) + ∞ · Pp(|C| = ∞)
uma vez que |C| : Ω → N ∪ {∞} é uma variável aleatória enumerável. Logo, observe que para mostrar que θ(p) = 0, basta mostrar que Ep|C| < ∞, pois se θ(p) > 0, temos
Agora, mostremos que o volume do cluster aberto da origem é finito com probabilidade 1 para p suficientemente pequeno. De fato, sabendo que |C| = X
x∈Zd
I{0↔x}, onde I{0↔x} é
a função indicadora do conjunto {0 ↔ x}, temos que
Ep[|C|] = Ep " X x∈Zd I{0↔x} # = X x∈Zd Ep[I{0↔x}] = X x∈Zd Pp(0 ↔ x) ≤ X x∈Zd Pp [ γ
[γ caminho aberto de 0 até x] !
≤ X
x∈Zd X
γ
Pp(γ caminho aberto de 0 até x)
= ∞ X n=1 X γ |γ|=n Pp(γ caminho aberto) = ∞ X n=1 X γ |γ|=n pn = ∞ X n=1 pnσ(n)
onde σ(n) é o número de caminhos de comprimento n partindo da origem. Note que, para qualquer d, um caminho aberto de tamanho n partindo da origem tem 2d direções possíveis. Escolhido o vértice que formará a primeira aresta, como na nossa definição os caminhos são auto-evitantes (arestas distintas) então não poderemos retornar à origem, sendo assim, temos (2d − 1) direções possíveis. Utilizando esse fato para todas as demais n − 2 arestas, temos que uma cota superior para σ(n) é (2d)(2d − 1)n−1. Logo,
∞ X n=1 pnσ(n) ≤ ∞ X n=1 pn(2d)(2d − 1)n−1 = (2pd) ∞ X n=1 (p(2d − 1))n−1.
Mas, note que
∞
X
n=1
(p(2d − 1))n−1 é a série geométrica de razão (p(2d − 1)), e que converge
se, e somente se, a razão é menor que 1, i.e., (p(2d − 1)) < 1 =⇒ p < 1 2d − 1. Corolário 1. pc(d) ≥
1 2d − 1·
Lema 3. Em Ld, ∀d ≥ 2, ∃ ˆp < 1 tal que ∀p > ˆp, tem-se θ(p) > 0.
Antes de provar o lema, vamos introduzir uma importante ferramenta que será útil para o desenvolvimento da prova.
Definição 26. Considere o grafo L2 = (Z2, E2). Definimos o grafo dual de L2 como sendo o par L2d= (Z 2 d, E 2 d), onde Z 2 d= {x+( 1 2, 1 2) : x ∈ Z 2 } e E2 d = {xy : x, y ∈ Z 2 d e δ(x, y) = 1}. 0
Figura 6:Um trecho de L2 (linhas cheias) e seu grafo dual L2
d (linhas tracejadas) na métrica do
máximo.
Note que existe uma correspondência biunívoca entre os vértices e as arestas de L2 e L2d. Além disso, temos que L2e L2dsão isomorfos, pois cada vértice em Z2dé uma translação
de um vértice em Z2 e cada elo e de L2 é cortado por um único elo e
dde L2d. Dessa maneira,
poderemos definir um modelo de percolação induzido em L2
d, declarando cada elo da rede
dual aberto, se seu elo correspondente em L2 é aberto. Analogamente, declaramos os elos fechados em L2
d do mesmo modo. Segue um resultado de fundamental importância para
o estudo de percolação em L2, cuja prova desse resultado pode ser encontrada em Kesten
[11].
Proposição 5. Seja G um subgrafo conexo finito de L2. Existe um único circuito CG em
L2d contendo G em seu interior com a propriedade de que toda aresta e de CG corta uma
aresta de ∆G.
0
Figura 7: Existência de um circuito fechado de arestas em L2d contendo em seu interior um
Considere o argumento de Peierls3, que afirma: Ep|C| < ∞ se, e somente se, com
probabilidade 1 a origem de L2 pertence ao interior de um circuito fechado em L2d. Feitas
essas considerações, vamos à prova do lema.
Demonstração. Vejamos inicialmente que basta mostrar para d = 2, pois se existe cluster infinito em L2, então ∀ d ≥ 3, Ld possui um cluster infinito, uma vez que contém o clus- ter infinito de L2. Considere o evento A = {Existe circuito fechado em L2
d em torno da
origem de L2}. Logo,
Pp(|C| < ∞) = Pp(A)
= Pp(Existe circuito fechado em L2d em torno da origem de L 2) ≤ Pp [ γ [γ circuito fechado] ! ≤ X γ Pp(γ circuito fechado) ≤ X n≥4 X γ circuito |γ|=n Pp(γ circuito fechado) = X n≥4 X γ circuito |γ|=n (1 − p)n = X n≥4 λ(n)(1 − p)n
onde λ(n) é o número de circuitos de comprimento n na rede dual em torno da origem. Semelhantemente à estimativa de σ(n), podemos estipular uma cota superior para λ(n) da seguinte forma: qualquer circuito de comprimento n ao redor de 0 no grafo dual deve cruzar algum elo no grafo original que una os vértices da forma (0, k) e (0, k+1), com k ∈ N e −n2 ≤ k ≤ n
2. Sendo assim, sabendo que o circuito não repete elos, temos 3 possibilidades
de escolha para o próximo elo do circuito. Logo, para o primeiro elo temos n possibilidades e 3 possibilidades para cada um dos demais n − 1 elos. Portanto, λ(n) ≤ n3n−1. Logo,
X n≥4 (1 − p)nλ(n) ≤ X n≥4 (1 − p)nn3n−1= (1 − p)X n≥4 n(3(1 − p))n−1. Sabendo que ∞ X n=1 n · αn = α
(1 − α)2s se |α| < 1, fazendo α = 3(1 − p), temos que a série
acima converge se, e somente se, |3(1 − p)| < 1 =⇒ 3(1 − p) < 1 ⇔ p > 2
3. Além disso,
3Rudolf Peierls (1907 - 1995) foi um físico britânico que se dedicou ao modelo de Ising. Teve um importante trabalho publicado em 1936 intitulado On Ising’s Model of Ferromagnetism.
como (1 − p)X n≥1 n(3(1 − p))n−1 = (1 − p) · 3(1 − p) (1 − 3(1 − p))2 = 3(1 − p)2 (3p − 2)2.
Note que a função limite da série acima é contínua no intervalo (23, 1], uma vez que é a razão de duas funções polinomiais, que são contínuas, e essa se anula em p = 1. Concluímos assim, que se p é próximo de 1, temos Pp(|C| < ∞) < 1. Portanto, para esses valores de
p, obtemos Pp(|C| = ∞) > 0.
Corolário 2. pc(d) ≤
2 3·
Do teorema anterior concluímos que para d ≥ 2 há uma transição de fase pois, 0 < 1
2d − 1 ≤ pc(d) ≤ 2 3 < 1.
Dessa forma, estão caracterizadas duas fases do modelo, e estas possuem comportamentos globais distintos. A fase em que p < pc(d) é denominada de fase subcrítica, e é caracterizada
pela propriedade de que todos os clusters abertos são quase certamente finitos. A fase em que p > pc(d) é denominada de fase supercrítica, e caracteriza-se pela propriedade de
que existe pelo menos um cluster aberto infinito. Em Grimmett [10] está provado que se p > pc, então existe um único cluster infinito, quase certamente.
Figura 8: Acredita-se que esse é o possível comportamento gráfico da função θ(p), pois ainda não se sabe o valor de pcpara toda dimensão d e se a função θ(p) é contínua em pc.
Para a demonstração do próximo teorema, precisaremos de mais um importante e conhecido fato da teoria de probabilidade. Tal resultado é atribuído a Kolmogorov4, e sua demonstração pode ser vista em Durrett [5].
4Andrei Kolmogorov (1903 -1987) foi o matemático soviético que formalizou a teoria de probabilidade sob o rigor da teoria da medida.
Teorema 3 (Lei 0-1 de Kolmogorov). Considere F a σ-álgebra assintótica gerada por σ-álgebras independentes e A ∈ F . Então, temos P(A) = 0 ou P(A) = 1.
Teorema 4. A probabilidade ψ(p) de que existe algum cluster aberto infinito satisfaz
ψ(p) = 0, se θ(p) = 0 1, se θ(p) > 0 .
Demonstração. Note que o evento em que Ld contém um cluster aberto infinito depende dos estados de um número infinito de arestas. Logo, esse é um evento assintótico. Pela lei 0 − 1 de Kolmogorov a probabilidade da existência de um cluster aberto infinito é 0 ou 1. Dessa forma, se θ(p) = 0, então
ψ(p) = Pp [ x∈Zd {|Cω(x)| = ∞} ! ≤ X x∈Zd Pp(|Cω(x)| = ∞) = X x∈Zd θ(p) = 0. Entretanto, se θ(p) > 0, então ψ(p) = Pp [ x∈Zd {|Cω(x)| = ∞} ! ≥ Pp(|C| = ∞) = θ(p) > 0.
Portanto, como ψ(p) > 0, temos pela lei 0 − 1 de Kolmogorov que ψ(p) = 1.
Por fim, vejamos um exemplo de aplicação do modelo de percolação Bernoulli na descrição do fenômeno físico de distribuição de fluido.
Exemplo 8. Emergirmos uma rocha porosa em um recipiente com água, e queremos saber se a água chega ao centro da rocha. Note que a rocha possui poros e canais que ligam alguns desses poros, e assim, para se chegar ao centro a água deverá percorrer um caminho formado por canais que ligam esses poros. Esse fenômeno pode ser estudado através de um processo de percolação. De fato, representando a rocha por meio de um grafo em que os vértices do grafo são os poros e suas arestas são os canais que ligam poros vizinhos, vamos construir um modelo aleatório em que cada canal da rocha pode estar aberto à passagem da água ou estar obstruindo a passagem. Seja p ∈ [0, 1] o parâmetro desse modelo. Assim,
um canal está aberto com probabilidade p e fechado com probabilidade complementar 1−p. Ou seja, estamos considerando um modelo de percolação Bernoulli de elos. Considere o centro da rocha como a origem do grafo, e assim teremos que a água partir da borda da rocha e chegar ao centro é equivalente à existência de um caminho de vértices e arestas que conectam a origem até a superfície do grafo. No caso em que a rocha é muito grande, consideraremos a existência do caminho aberto da origem até o infinito. Note que quando p varia em [0, 1] estamos considerando diversos modelos, e assim, podemos modelar diversos meios através desse processo.
3.3
Um Novo Parâmetro Crítico
Agora introduzimos as quantidades e as condições que serão necessárias para demons- tração dos resultados que seguem nos próximos capítulos. As considerações que aqui fare- mos têm como base fundamental o artigo intitulado A new proof Sharpness of the phase transition and the Ising models, de autoria de Hugo Duminil-Copin e Vincent Tassion [2] e publicado em 2016 no Journal of Mathematical Physics.
Definição 27. Sejam p ∈ [0, 1] e 0 ∈ S ⊂ Ld finito. Definimos
ϕp(S) = p X xy∈∆S Pp(0 S ←→ x).
De acordo com a definição anterior, ϕp(S) pode ser vista como o número esperado
de arestas na fronteira de elos de S que estão conectadas à 0 por caminhos abertos inteiramente contidos em S. Essa definição é de extrema importância para a demonstração dos principais resultados contidos nesse trabalho, pois damos uma nova definição para o parâmetro crítico, que por sua vez depende de ϕp(S).
A principio duas questões são pertinentes com relação a função ϕp(S). São elas:
i. Qual a importância função ϕp(S)?
ii. Por que definir desta maneira?
Começamos respondendo a primeira dessas questões, mas no decorrer do Capítulo V, durante as demonstrações, continuaremos a ver sua utilidade e importância. Note que ϕp(S) está bem definida, uma vez que pela transitividade no conjunto de vértices Zd, dados
dois vértices quaisquer, digamos x e y, então existe um automorfismo φ : Zd→ Zdtal que
com conjuntos finitos de vértices que possuem grau finito. Para responder o segundo questionamento, seguimos com a definição do novo parâmetro crítico.
Definição 28. Considere a seguinte quantidade ˜
pc= sup{p ∈ [0, 1] : ϕp(S) < 1 para algum 0 ∈ S ⊂ Ld finito}.
O número ˜pc é o supremo dos parâmetros p ∈ [0, 1] tal que ϕp(S) é menor que 1,
sendo S um subgrafo finito de Ld contendo a origem. Agora, o nosso intuito é fazer uma
investigação sobre a função ϕp(S) e porquê da escolha de ˜pc como parâmetro crítico.
Definição 29. Uma árvore binária, a qual denotaremos por Tb, é um grafo conexo que
não possui circuitos.
∅ 0 00 000 001 01 010 011 1 10 100 101 11 110 111
Figura 9: Um trecho da árvore binária Tb.
A raiz de Tb será representada por ∅ e cada vértice é uma justaposição de 0’s e 1’s,
e a algum vértice na n-ésima geração é representada por λn. De modo análogo, podemos
constuir um modelo de percolação Bernoulli em Tb declarando cada aresta de Tb aberta
com probabilidade p ou fechada com probabilidade 1−p. Sendo assim, dada uma família de variáveis aleatórias com distribuição Bernoulli de parâmetro p, analisamos se a sub-árvore aleatória é infinita.
Além disso, note que uma árvore binária Tb é isomorfa a algum Ld quando d → ∞,
assim um vértice λn em Tb é um vértice x = (x1, . . . , xn, 0, 0, . . . ) em Ld quando d → ∞.
A principal vantagem de se estudar percolação em árvores é que nesses grafos o valor do parâmetro crítico pT
d é sabido.
Consideramos um processo de ramificação de Galton-Watson5, que é um processo que
5Francis Galton (1822-1911) foi um matemático e estatístico inglês que iniciou o estudo sobre extinção de populações. Henry Watson (1827-1903) foi um sacerdote e matemático inglês que apresentou, junto a Galton, o processo de ramificação de Galton-Watson.
modela aleatoriamente a descendência de um indivíduo ou a extinção do sobrenome de uma família. Segue sua definicão formal.
Definição 30. Seja (Wn,m)n,m≥1uma sequência de variáveis aleatórias de valores inteiros
independentes e identicamente distribuídas tal que P(Wn,m = k) = pk.
Um processo de ramificação de Galton-Watson com distribuição (pn) de descendência é
definido pela sequência de variáveis aleatórias (Xn), satisfazendo X0 = 1, e resolvendo
recursivamente Xn+1 = Wn+1,1+ · · · + Wn+1,Xn, se Xn> 0, 0, c.c.
O comportamento de tal processo depende crucialmente do valor
m =X
n≥0
npn = Ep(ramificações)
que é interpretado como o número médio de descendentes ou o número médio de ra- mificações do processo. De fato, para justificar essa afirmação temos válido o seguinte resultado.
Teorema 5. Se m ≤ 1, então
q = P(Xn = 0 quando n → ∞|X0 = 1) = 1.
Por outro lado, se m > 1 então
P(Xn → ∞ quando n → ∞|X0 = 1) = 1 − q > 0,
onde q é a menor raiz da equação
f (s) =X
n≥0
pnsn.
O teorema anterior afirma que se m ≤ 1 então com probabilidade 1 o processo se estingue. Caso contrário, se m > 1, então a probabilidade de extinção q é estritamente menor que 1, implicando que com probabilidade positiva o processo se ramifica infini- tamente. Para um pouco mais de detalhes sobre processos de ramificação ver Athreya e Lahiri [8] e sua relação com a percolação em árvores em Lyons e Peres [9].
Galton-Watson e um processo de percolação na árvore binária do seguinte modo: A raiz de Tb é o pai e esse dá origem a dois filhos, cada um de seus filhos dão origem a outros
dois, e assim sucessivamente. Existir uma sub-árvore infinita no modelo de percolação é equivalente a dizer que com probabilidade positiva o processo de Galton-Watson se rami- fica indefinidamente. Sendo assim, podemos reescrever o ponto crítico do modelo em Tb
fazendo uso de m e do teorema. Logo,
pc= sup{p : θ(p) = 0} ↔ párvc = sup{p : Ep(ramificações) < 1}.
Interpretando a função ϕp(S) como sendo o número médio de ramificações de um
conjunto S finito contendo a origem de Ld. Veja que ao invés de observar a ramificação
de um vértice em particular, estamos considerando de um conjunto. Isso faz sentido, uma vez que não estamos a possibilidade de vértices adjacentes à um vértice x fixado, mas sim sobre todos os caminhos partindo da origem até a fronteira de elos de S. Nesse sentido, podemos utilizar o teorema anterior para motivar os resultados de percolação em Ld.
0 S
Figura 10: Exemplo de um conjunto S finito contendo a origem em Ld e todas as possíveis arestas em ∆S que podem ser alcançadas por caminhos abertos.
De fato, sabendo que Tb é isomorfo a algum Ld quando n → ∞ e considerando Xn
o número de vértices das componentes conexas de tamanho n, temos que (Xn)n∈N é um
processo de ramificação de Galton-Watson. Reescrevendo o ponto crítico do modelo em Ld, assim como fizemos na árvore binária, temos que
pc= sup{p : θ(p) = 0} ↔ ˜pc= sup{p ∈ [0, 1] : ϕp(S) < 1 para algum 0 ∈ S ⊂ Ld finito}.
Assim, se p < ˜pcentão com probabilidade 1 a ramificação do cluster da origem se extingue,
ou seja, é finito. No entanto, se p > ˜pc, então com probabilidade positiva o cluster da
origem se ramifica infinitamente, ou seja, é infinito. Com isso, concluímos a motivação da função ϕp(S) e do parâmetro ˜pc.
Na definição de ˜pc o conjunto dos parâmetros p tais que existe um conjunto finito
0 ∈ S ⊂ Ld com ϕp(S) < 1 é um subconjunto aberto de [0, 1], i.e., um conjunto da forma
A ∩ [0, 1] onde A é um aberto da reta. Logo, ˜pc não pertence a esse conjunto e, assim,
obtemos que o tamanho esperado do cluster aberto da origem satisfaz, para p > ˜pc
E[|C|] = X x∈Zd Pp(0 ↔ x) ≥ X n≥0 p X xy∈∆Λn Pp(0 Λn ←→ x) ! =X n≥0 ϕp(Λn).
No entanto, notemos que se p > ˜pc, então ϕp(Λn) ≥ 1. Como estamos somando quantida-
des ≥ 1 infinitas vezes, temos queX
n≥0
ϕp(Λn) = +∞. Portanto, E|C| = +∞. Isso implica
que estamos na fase supercrítica do modelo, e assim ˜pc ≥ pc. A desigualdade contrária
ficará provada quando demonstrarmos que a função θ(p) decai exponencialmente com raio da bola Λn na fase subcrítica.