Aula 00 Curso: Raciocínio Lógico Quantitativo Professor: Custódio Nascimento

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Aula 00

Curso: Raciocínio Lógico Quantitativo Professor: Custódio Nascimento

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Prof. Custódio Nascimento - Aula 00

Caros alunos e alunas,

Bem vindos ao curso online preparatório para o cargo de Analista de

Planejamento e Orçamento do Ministério do Planejamento, Orçamento

e Gestão.

Primeiramente, segue uma breve apresentação. Meu nome é Custódio Nascimento, sou Engenheiro de Fortificação e Construção pelo Instituto Militar de Engenharia, com Mestrado em Engenharia de Transportes pela mesma escola. Fui militar por mais de 15 anos no Exército Brasileiro, antes de resolver estudar para um concurso público no meio civil.

No mundo dos concursos, minhas principais conquistas até o momento foram:

• Em 2013, fui aprovado na prova escrita do concurso para Perito da Polícia Federal, na área de Engenharia Civil, com menos de 3 meses de estudo, e convocado para as demais etapas do concurso, das quais optei por não participar, por motivos de cunho pessoal;

• Também em 2013, fui aprovado em 2º lugar no concurso para Especialista em Regulação da Agência Nacional de Transportes Terrestres, na área de Engenharia Civil, com cerca de 4 meses de estudo;

• Fui aprovado, ainda, nos concursos para Analista do Ministério Público da União, na área de Perícia/Engenharia Civil, e para Engenheiro Civil do Ministério da Saúde.

Vale ressaltar que consegui tais conquistas em tão pouco tempo, mesmo tendo que conciliar o trabalho (40 horas semanais), a família (esposa e 2 filhos) e o lazer sempre necessário.

Para quem se interessar, meu depoimento está disponível no site do Exponencial Concursos.

No meu entendimento, isso serve de estímulo para todos. Se você trabalha, tem família e (ou) pouco tempo para estudar, saiba que há maneiras de você aproveitar sua experiência de vida e, com uma preparação objetiva, baseada em um material de qualidade, conseguir a sua aprovação no tão sonhado concurso público.

Por outro lado, se você é jovem, recém-formado e (ou) conta com o apoio dos seus pais para poder estudar muitas horas por dia, aproveite bem o seu tempo com uma preparação de excelência, para não se perder no excesso de conteúdo que qualquer edital é capaz de ter. Caso não saiba por onde começar, ou qual caminho trilhar, nós estamos aqui para ajudar.

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Prof. Custódio Nascimento - Aula 00 E é justamente por isso que a equipe do Exponencial Concursos está aqui, para fornecer o “atalho” que todo concurseiro deseja para atingir seus objetivos.

Este curso será de Teoria e Exercícios de Raciocínio Lógico Quantitativo, com base no edital publicado para o concurso de 2015.

A carreira de Analista de Planejamento e Orçamento do Ministério do Planejamento, Orçamento e Gestão é uma ótima opção, com um subsídio inicial de R$ 15.003,70, desde janeiro/2015. O cargo exige diploma de nível superior em qualquer área, com jornada de trabalho de 40 horas semanais.

A banca será a ESAF, uma banca muito tradicional, que já conduziu vários concursos para carreiras do Executivo Federal. Raciocínio Lógico é uma matéria muito cobrada nos concursos da ESAF, e o nosso objetivo será abordar todo o conteúdo do edital, com exceção do item 10 (Conceitos básicos de probabilidade e estatística), que é assunto inerente ao conteúdo de Estatística.

Por ser um curso de Teoria e Exercícios, procuraremos fazer um paralelo entre teoria e questões de provas. A parte teórica será abordada de forma objetiva, concisa e esquematizada. O conteúdo não estará voltado ao ensino da disciplina, nos moldes acadêmicos tradicionais, mas sim, trará objetivamente os conceitos necessários e suficientes à resolução das questões. Segundo o edital, as questões de Raciocínio Lógico Quantitativo serão cobradas junto com as de Estatística, na Prova 1 (P1), com 10 questões de peso 1, representando 8,3% da P1 e 3,4% das provas objetivas. É importante lembrarmos que a pontuação mínima a ser atingida é de 40% em cada prova e 50% no conjunto das provas. Portanto, você não pode deixar de estudar nenhuma disciplina.

O nosso curso terá mais de 200 questões comentadas, com prioridade para as questões da ESAF cobradas em provas recentes. Sempre que for necessário complementar o entendimento do assunto tratado, serão utilizadas questões de outras bancas, tais como CESPE, FGV e FCC.

Daremos prioridade, também, para as questões de provas de concursos de nível superior, já que este é o nível exigido na prova para a qual estamos nos preparando.

Além disso, teremos mais de 30 esquemas para que você ative sua memória visual, aprenda com facilidade, revise o conteúdo rapidamente e memorize de forma natural.

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Analisamos as últimas provas de APO (2009 e 2008), para tentarmos traçar um histórico recente da cobrança de questões sobre cada assunto. Ambas foram conduzidas pela ESAF e, apesar de terem sido baseadas em editais um tanto diferentes, a análise continua sendo válida. Os assuntos foram distribuídos conforme quadro abaixo:

Provas APO / MPOG (2009 e 2008)

Assunto Quantidade 2009 2008 Estruturas lógicas 2 - Lógica de argumentação 2 2 Diagramas lógicos - - Trigonometria * 1 Matrizes e Determinantes * 1 Álgebra elementar * 2

Combinações, arranjos e permutação 1 1

Probabilidade 4 1

Geometria Básica * 2

Compreensão e elaboração da lógica das situações por meio de: raciocínio matemático; raciocínio sequencial; orientação espacial e temporal; formação de conceitos; discriminação de elementos

1 -

Total de itens na prova 10 10

(*) Estes assuntos não estavam presentes no edital de 2009.

Vejamos, então, qual será o cronograma do nosso curso.

Aula Assunto Data

00 Razões e proporções. Regras de três simples e compostas

Disponível

01 Estruturas lógicas 13/07/2015

Histórico e análise das provas de Raciocínio Lógico

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02 Lógica de argumentação 20/07/2015

03 Diagramas lógicos 27/07/2015

04 Álgebra básica. Números inteiros, racionais e reais. Sistema legal de medidas. Porcentagens

03/08/2015

05 Equações e inequações de 1º e de 2º graus 10/08/2015

06 Funções e gráficos 17/08/2015

07 Sequências numéricas. Progressões aritméticas e geométricas

24/08/2015

08 Geometria básica 31/08/2015

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Assunto Página

1. Razões e proporções 7

2. Regra de três simples e composta 12

3. Questões comentadas 18

4. Resumo da aula 41

5. Questões apresentadas na aula 43

6. Gabarito 51

Por entendermos que a esquematização das aulas é um facilitador da aprendizagem, listamos a seguir os esquemas presentes nesta aula:

Esquema 1 – Extremos e meios de uma proporção ... 7

Esquema 2 – Termos de uma proporção ... 7

Esquema 3 – Termos antecedentes e consequentes em uma proporção ... 8

Esquema 4 – Grandezas diretamente proporcionais ... 10

Esquema 5 – Grandezas inversamente proporcionais ... 11

Esquema 6 – Sequência de resolução de uma regra de três composta ... 18

Prepare o seu plano de estudo, siga os seus horários de concentração e de descanso e comprometa-se com o seu objetivo, que é o de passar no concurso tão almejado. E vamos em frente!

Um forte abraço,

Custódio Nascimento

“Sempre que você vir uma pessoa de sucesso, você sempre verá as glórias, nunca os sacrifícios que os levaram até ali.”

Vaibhav Shah Aula 00 – Razões e proporções. Regras de três simples e compostas

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1. Razões e proporções

1.1 – Razão

A razão é a forma mais comum e prática de se fazer a comparação relativa entre duas grandezas. Para isto, é necessário que ambas estejam na mesma unidade de medida. Por exemplo: uma loja tem 100m² de área construída e 400m² de área livre. Qual é a razão da área construída para a área livre?

Para resolvermos a questão, aplicamos a razão entre a área construída e a área livre, dividindo uma pela outra:

á í

á =100 400 = 14

Ou seja, isto significa que a área construída representa 1/4 = 0,25 ou 25% da área livre.

1.2 – Proporções com números

Quatro números racionais A, B, C e D, todos diferentes de zero, formam nessa ordem uma proporção quando:

=

Essa mesma proporção pode ser indicada da seguinte maneira: ∶ = ∶

Os números A, B, C e D são denominados termos, sendo que A e D são os extremos, enquanto que B e C são os meios, conforme o esquema a seguir:

∶ = ∶

Esquema 1 – Extremos e meios de uma proporção

Os números A, B, C e D são chamados, respectivamente, 1º, 2º, 3º e 4º termos:

=

Esquema 2 – Termos de uma proporção

meios

extremos

1º termo 3º termo

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Prof. Custódio Nascimento - Aula 00 Os números A e C são os antecedentes e os números B e D são os consequentes:

=

Esquema 3 – Termos antecedentes e consequentes em uma proporção

Constante de proporcionalidade

A divisão entre A e B e a divisão entre C e D, é uma constante k, denominada constante de proporcionalidade dessa razão:

= =

1.3 – Propriedades das proporções

Propriedade fundamental

A propriedade fundamental das proporções é que o produto dos meios

é igual ao produto dos extremos, isto é:

= ⟹

∙

=

∙

Propriedade da soma ou da diferença

A soma ou a diferença entre os dois primeiros termos de uma proporção está para o primeiro termo, assim como a soma ou a diferença entre os dois últimos está para o terceiro termo, isto é:

+

= +

− ₌ −

A soma ou a diferença entre os dois primeiros termos de uma proporção está para o segundo termo, assim como a soma ou a diferença entre os dois últimos está para o quarto termo, isto é:

+ ₌ +

−

= −

antecedentes

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Prof. Custódio Nascimento - Aula 00 Vamos a um exemplo de como podemos empregar tal propriedade em uma questão de prova:

(ESAF/ Engenheiro - Ministério da Fazenda / 2013) Em uma secretaria do Ministério da Fazenda, trabalham 63 pessoas. A razão entre o número de homens e o número de mulheres é igual 4/5. A diferença entre o número de mulheres e o número de homens que trabalham nessa secretaria é igual a: a) 8 b) 7 c) 6 d) 9 e) 5 Resolução:

Sendo H e M a quantidade de homens e mulheres na repartição, podemos escrever os dados da questão:

Na secretaria trabalham 63 pessoas:

% + & = 63

A razão entre o número de homens e o número de mulheres é igual 4/5: %

& =45

Para resolver a questão, vamos empregar a propriedade da soma entre os dois primeiros termos:

% + &

& =4 + 55

Ora, sabemos que % + & = 63, então podemos substituir tal valor na equação anterior:

63

& = 4 + 55 ⟹ 63& = 95 Aplicando a propriedade fundamental, ficamos com:

63 ∙ 5 = 9 ∙ & ⟹ & =63 ∙ 5₉ Simplificando por 9, temos:

& = 7 ∙ 5 = 35

% + & = 63 ⟹ % + 35 = 63 ⟹ % = 63 − 35 = 28

Logo, temos que há 35 mulheres e 28 homens na secretaria, o que significa que a diferença entre o número de mulheres e o número de homens é de:

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Prof. Custódio Nascimento - Aula 00 & − % = 35 $ 28 7

A alternativa B é a resposta correta.

Propriedade da soma ou diferença dos antecedentes e consequentes

A soma ou a diferença entre os antecedentes está para a soma ou a diferença entre os consequentes, assim como cada antecedente está para o seu consequente, isto é:

# # $ $ # # $ $

Esta propriedade será muito importante na resolução das questões de grandezas diretamente e inversamente proporcionais, como veremos a seguir.

1.4 – Grandezas direta e indiretamente proporcionais

Grandezas diretamente proporcionais

Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra também aumenta na mesma proporção, ou, diminuindo uma delas, a outra também diminui na mesma proporção.

Esquema 4 – Grandezas diretamente proporcionais

Se duas grandezas X e Y são diretamente proporcionais, os números que expressam essas grandezas variam na mesma razão, isto é, existe uma constante K tal que:

Aumenta

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.

/ =

Grandezas Inversamente Proporcionais

Duas grandezas são inversamente proporcionais quando,

aumentando uma delas, a outra diminui na mesma proporção, ou, diminuindo uma delas, a outra aumenta na mesma proporção.

Esquema 5 – Grandezas inversamente proporcionais

Se duas grandezas X e Y são inversamente proporcionais, os números que expressam essas grandezas variam na razão inversa, isto é, existe uma constante K tal que:

. ∙ /

Vejamos como isso costuma ser cobrado em prova:

(ESAF / Assistente Técnico Administrativo – Ministério da Fazenda / 2014) O lucro da empresa de Ana, Beto e Carina é dividido em partes diretamente proporcionais aos capitais que eles empregaram. Sabendo-se que o lucro de um determinado mês foi de 60 mil reais e que os capitais empregados por Ana, Beto e Carina foram, respectivamente, 40 mil reais, 50 mil reais e 30 mil reais, calcule a parte do lucro que coube a Beto.

a) 20 mil reais b) 15 mil reais c) 23 mil reais d) 25 mil reais e) 18 mil reais

Aumenta

Diminui

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Prof. Custódio Nascimento - Aula 00 Resolução: Sejam A, B e C o lucro que Ana, Beto e Carina receberam, respectivamente. A questão afirma que os capitais empregados por Ana, Beto e Carina foram, respectivamente, 40 mil reais, 50 mil reais e 30 mil reais, e que o lucro será dividido proporcionalmente a tais capitais, o que significa que temos a seguinte relação:

40000 = 50000 = 30000

Podemos simplificar a proporção anterior por 10000, ficando com:

4 = 5 = 3

Para resolver a questão, empregamos a propriedade da soma dos antecedentes e consequentes:

4 = 5 = 3 = 4 + 5 + 3+ +

Como a soma dos lucros foi dada no enunciado, + + = 60000, e como

4 + 5 + 3 = 12, podemos substituir os valores:

4 = 5 = 3 =6000012 = 5000

Agora, podemos calcular o valor do lucro de Beto:

5 = 5000 ⟹ = 5 ∙ 5000 = 25000 A alternativa D é a resposta correta.

2. Regra de três simples e composta

Regra de três é um processo de resolução de problemas que envolvem três valores conhecidos relacionados a uma variável. O objetivo do processo é determinar o valor dessa variável.

Há dois tipos de regra de três: a simples e a composta.

Em qualquer dos tipos, um passo fundamental para a resolução das questões é descobrir a relação entre os valores dados e a grandeza procurada, isto é, descobrir se são direta ou inversamente proporcionais. Para tanto, temos que fazer tal verificação em cada problema que formos resolver, como mostraremos nas questões.

2.1 – Regra de três simples

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Prof. Custódio Nascimento - Aula 00 Uma regra de três simples direta é uma forma de relacionar grandezas diretamente proporcionais. Vejamos um exemplo:

(ESAF / Especialista em Políticas Públicas e Gestão Governamental – Ministério do Planejamento, Orçamento e Gestão / 2009) Uma picape para ir da cidade A para a cidade B gasta dois tanques e meio de óleo diesel. Se a distância entre a cidade A e a cidade B é de 500 km e neste percurso ele faz 100 km com 25 litros de óleo diesel, quantos litros de óleo diesel cabem no tanque da picape?

A) 60 B) 50 C) 40 D) 70 E) 80

Resolução: Primeiramente, calculamos a quantidade de combustível gasta no percurso de A para B. Para tanto, empregamos uma regra de três, cuja estrutura básica é:

km litros

100 25

500 x

Agora temos que perceber se a relação entre as grandezas estudadas (distância percorrida e combustível gasto) é de proporcionalidade direta ou indireta. Ora, é fácil perceber que, se um veículo precisa percorrer uma distância maior, ele gastará mais combustível. Isso significa que a relação é diretamente proporcional.

Como a proporção é direta, mantemos a estrutura básica, ficando com: km litros

100 25

500 x

Antes de fazermos as contas, podemos simplificar a primeira coluna por 100, e ficamos com:

km litros

1 25

5 x

Agora, basta fazermos a “multiplicação cruzada”: km litros

1 25

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Prof. Custódio Nascimento - Aula 00 0 = 5 ∙ 25 125

Já sabemos que a picape gasta 125 litros de combustível no percurso de A até B, e que isso equivale a dois tanques e meio da picape, conforme o enunciado da questão. Logo, para sabermos a capacidade do tanque, basta uma nova regra de três:

tanque litros 2,5 125

1 y

Como a relação de proporcionalidade é direta, basta fazermos a “multiplicação cruzada”: tanque litros 2,5 125 1 y 2,5 ∙ 2 1 ∙ 125 ⟹ 2 125 2,5 50

Logo, o tanque tem capacidade de 50 litros. A alternativa B é a resposta correta.

Regra de três simples inversa

Uma regra de três simples inversa é uma forma de relacionar grandezas inversamente proporcionais.

A maneira mais fácil de se resolver tais problemas é com uma inversão do posicionamento das variáveis, para posterior aplicação do método diretamente proporcional. Exemplificaremos com uma questão de prova:

(FCC / Aprendiz – Companhia de Saneamento Básico de São Paulo / 2012) Um automóvel faz certo percurso em 5 horas com velocidade média de 72 km/h. Se a velocidade média fosse de 90 km/h, esse mesmo percurso seria feito em

A) 6 horas. B) 4 horas. C) 3,5 horas. D) 3 horas. E) 2,5 horas. Resolução:

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Prof. Custódio Nascimento - Aula 00 A estrutura básica da regra de três deixa a questão da seguinte maneira:

velocidade tempo

72 5

90 x

No entanto, ao analisarmos a relação entre a velocidade do veículo e o tempo de deslocamento, notamos que, quando a velocidade aumenta, o tempo diminui. Dessa forma, tais grandezas são inversamente proporcionais:

velocidade tempo

72 5

90 x

Assim, temos que inverter a posição dos números da coluna que possui proporção inversa, ficando com:

90 5

72 x

Feito isso, podemos aplicar a “multiplicação cruzada”:

90 5

72 x

90 ∙ 0 = 72 ∙ 5 ⟹ 0 =72 ∙ 5_{90 = 4} Logo, o tempo será de 4 horas.

2.2 – Regra de três composta

Regra de três composta é um processo de relacionamento de grandezas diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou uma mistura dessas situações.

Explicaremos o método de resolução com o estudo de uma questão de prova:

(CESPE / Analista Administrativo - Ciências Contábeis – ANTAQ / 2009) Se 10 barcos, com capacidade de transportar 80 toneladas cada um, fazendo o percurso entre dois portos, à velocidade de 10 nós, durante 5 dias, podem transportar carga total de 1.000 toneladas, desprezando-se eventuais atrasos decorrentes da chegada e da partida dos portos, então, nas mesmas condições, 8 barcos precisarão ter uma capacidade

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Prof. Custódio Nascimento - Aula 00 acima de 65 toneladas para transportar, entre os mesmos portos, carga total de 900 toneladas, à velocidade de 12 nós, durante 6 dias.

Resolução:

O método funcional para resolver um problema dessa ordem é montar uma tabela com duas linhas, sendo que a primeira linha indica as grandezas relativas à primeira situação enquanto que a segunda linha indica os valores conhecidos da segunda situação. É importante deixarmos a variável “x” na última coluna, pois isso facilitará a resolução:

barcos ton/barco velocidade dias ton

10 80 10 5 1000

8 65 12 6 x

O próximo passo é verificarmos quais grandezas são direta ou indiretamente proporcionais à variável que contém o “x”. Ora, vemos que a quantidade, a capacidade, a velocidade dos barcos e o tempo são diretamente proporcionais à quantidade transportada. Assim, temos:

barcos ton/barco velocidade dias ton

10 80 10 5 1000

8 65 12 6 x

Logo, não precisamos fazer qualquer ajuste na tabela. Vamos fazer uma linha de separação entre as primeiras colunas e a última:

10 80 10 5 1000

8 65 12 6 x

Podemos simplificar cada coluna pelos múltiplos (a primeira coluna por 2; a segunda coluna por 5; a terceira por 2):

5 16 5 5 1000

4 13 6 6 x

O próximo passo é multiplicar todas as colunas que ficaram à esquerda da linha, e ficamos com:

5 ∙ 16 ∙ 5 ∙ 5 = 2000 1000

4 ∙ 13 ∙ 6 ∙ 6 = 1872 x

Neste ponto, recaímos em uma regra de três simples, e fazemos a “multiplicação cruzada”:

2000 1000

1872 x

2000 ∙ 0 = 1872 ∙ 1000 ⟹ 0 = 936 Item errado.

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Vejamos, agora, um exemplo com aplicação de uma grandeza inversamente proporcional:

(ESAF / Analista Tributário – Receita Federal do Brasil / 2012) Para construir 120 m2_{de um muro em 2 dias, são necessários 6} pedreiros. Trabalhando no mesmo ritmo, o número de pedreiros necessários para construir 210 m2_{desse mesmo muro em 3 dias é igual a}

a) 2. b) 4. c) 3. d) 5. e) 7. Resolução:

Como vimos, começamos montando as linhas com as informações, deixando o “x” na última coluna:

Área (m²) Prazo (dias) pedreiros

120 2 6

210 3 x

O próximo passo é verificarmos quais grandezas são direta ou indiretamente proporcionais à quantidade de pedreiros. Ora, vemos que, quando aumentamos a área do muro a ser construída, precisamos de mais pedreiros. Logo, a área e os pedreiros são diretamente proporcionais. Porém, quando aumentamos o prazo para a contrução do muro, necessitamos de menos pedreiros. Logo, o prazo e os pedreiros são inversamente proporcionais.

Área (m²) Prazo (dias) pedreiros

120 2 6

210 3 x

Assim, temos que inverter a segunda coluna, e ficamos com:

120 3 6

210 2 x

Podemos simplificar os valores da primeira coluna por 30, e ficamos com:

4 3 6

7 2 x

Multiplicando as colunas, temos:

inv dir

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4 ∙ 3 = 12 6

7 ∙ 2 = 14 x

12 6 14 x

12 ∙ 0 = 6 ∙ 14 ⟹ 0 =6 ∙ 14_{12 =}6 ∙ 7_{6 = 7} Logo, são necessários 7 pedreiros.

A alternativa E é a resposta correta.

Esquema 6 – Sequência de resolução de uma regra de três composta

3. Questões comentadas

3.1 – Múltipla escolha

01. (ESAF / Assistente Técnico Administrativo – Ministério da Fazenda / 2014) Em 18 horas, 2 servidores analisam 15 processos. Trabalhando no mesmo ritmo, o número de servidores necessários para analisar 10 processos em 6 horas é igual a

a) 4. b) 6. c) 5. d) 3. e) 7 Resolução:

Começamos montando as linhas com as informações, deixando o “x” na última coluna:

ATENÇÃO!!! Para resolver uma questão de regra de três composta, devemos seguir a sequência:

1) Listar os dados em colunas, deixando o “x” na última; 2) Avaliar se são direta ou indiretamente proporcionais; 3) Inverter as colunas indiretamente proporcionais; 4) Realizar a multiplicação em linha;

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Prof. Custódio Nascimento - Aula 00 tempo (h) processos servidores

18 15 2

6 10 x

O próximo passo é verificarmos quais grandezas são direta ou indiretamente proporcionais à quantidade de servidores.

Vemos que, quando aumentamos o tempo de análise, precisamos de menos pedreiros. Logo, o tempo e os servidores são inversamente proporcionais. Porém, quando aumentamos a quantidade de processos, necessitamos de mais servidores. Logo, os processos e os servidores são diretamente proporcionais.

tempo (h) processos servidores

18 15 2

6 10 x

Assim, temos que inverter a primeira coluna, e ficamos com:

6 15 2

18 10 x

Podemos simplificar os valores da primeira coluna por 6 e os da segunda coluna por 5, e ficamos com:

1 3 2

3 2 x

1 ∙ 3 = 3 2

3 ∙ 2 = 6 x

3 2

6 x

3 ∙ 0 = 2 ∙ 6 ⟹ 0 =2 ∙ 6_{3 =}12_{3 = 4} Logo, são necessários 4 servidores.

A alternativa A é a resposta correta.

02. (ESAF / Analista de Finanças e Controle – Secretaria do Tesouro Nacional / 2013) Um país distante está enfrentando uma epidemia bastante grave que precisa de um lote de comprimidos EPIDEM, de modo a minimizar

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Prof. Custódio Nascimento - Aula 00 os efeitos devastadores da doença. Contudo, a produção do EPIDEM é feita sob encomenda por apenas dois laboratórios: LAB1 e o LAB2.

As autoridades públicas, preocupadas com a grande demanda por esse medicamento, precisam saber em quanto tempo receberão o determinado lote, uma vez que foram informadas que, para a fabricação de um lote de EPIDEM, o LAB1 precisa de 4 dias e o LAB2 precisa de 6 dias para a fabricação do mesmo lote de EPIDEM. Para o rápido atendimento da demanda, as autoridades públicas solicitaram aos dois laboratórios para trabalharem em conjunto. Desse modo, o número de dias ─ considerando-se até duas casas decimais ─ necessários para que os 2 laboratórios, trabalhando em conjunto, produzam o lote de EPIDEM é, em valor aproximado, igual a:

a) 2,4 b) 2,16 c) 3,64 d) 10 e) 24,4 Resolução:

A questão afirma que o laboratório LAB1 precisa de 4 dias para produzir um lote completo do medicamento. Logo, com uma regra de três simples podemos calcular qual é a produção diária nesse laboratório:

1 lote 4 dias x1 1 dia

Como vimos, para resolvermos a regra de três, basta fazermos a multiplicação cruzada:

1 lote 4 dias x1 1 dia 03∙ 4 = 1 ∙ 1 ⟹ 03 = 1₄ Logo, o laboratório LAB1 produz 1/4 de lote por dia.

Empregando o mesmo raciocínio para o laboratório LAB2, temos: 1 lote 6 dias

x2 1 dia 0 ∙ 6 = 1 ∙ 1 ⟹ 0 =1₆ Ou seja, o LAB2 produzirá 1/6 de lote por dia.

Se os laboratórios trabalharem em conjunto, podemos supor que a produção diária do conjunto será a soma das produções diárias de cada um. Logo, a produção diária será:

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Prof. Custódio Nascimento - Aula 00 03+ 0 =1_{4 +}1₆

Para somar as frações, empregamos o MMC (4;6) = 12. 03+ 0 =1_{4 +}1_{6 =}3 + 2_{12 =}₁₂5

Assim, trabalhando em conjunto, os laboratórios LAB1 e LAB2 produzirão 5/12 de lote por dia.

Com isso, basta aplicarmos a regra de três simples para descobrirmos o tempo necessário para a produção de 1 lote completo:

5/12 lote 1 dia 1 lote y

2 ∙_{12 = 1 ∙ 1 ⟹ 2 =}5 12_{5 = 2,4} A alternativa A é a resposta correta.

03. (FCC / Escriturário – Banco do Brasil / 2013) Uma empresa obteve um lucro líquido de R$ 263.500,00. Esse lucro será dividido proporcionalmente às cotas da sociedade que cada um dos seus quatro sócios possui. O sócio majoritário detém 9 das cotas e os outros três sócios possuem, respectivamente, 1, 3 e 4 cotas da sociedade. A quantia, em reais, que o sócio que possui 3 cotas receberá nessa divisão é igual a

A) 15.500,00. B) 139.500,00. C) 46.500,00. D) 62.000,00. E) 31.000,00. Resolução:

Chamaremos o valor recebido por cada sócio como A, B, C e D. Considerando as cotas que cada um possui, temos a seguinte relação:

9 = 1 = 3 = 4

Além disso, temos que + + + = 263500. Logo, podemos empregar a propriedade da soma dos antecedentes e consequentes, ou seja:

9 = 1 = 3 = 4 = 9 + 1 + 3 + 4 =+ + + 26350017 = 15500 Agora é só calcular o valor de C (3 cotas):

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Prof. Custódio Nascimento - Aula 00 3 = 15500 ⟹ = 46500

A alternativa C é a resposta correta.

04. (ESAF / Auditor-Fiscal – Receita Federal do Brasil / 2012) A taxa cobrada por uma empresa de logística para entregar uma encomenda até determinado lugar é proporcional à raiz quadrada do peso da encomenda. Ana, que utiliza, em muito, os serviços dessa empresa, pagou para enviar uma encomenda de 25kg uma taxa de R$ 54,00. Desse modo, se Ana enviar a mesma encomenda de 25kg dividida em dois pacotes de 16kg e 9kg, ela pagará o valor total de

a) 54,32. b) 54,86. c) 76,40. d) 54. e) 75,60. Resolução:

O enunciado afirma que a taxa de entrega é proporcional à raiz quadrada do peso da encomenda. Isso significa que a constante de proporcionalidade k será calculada da seguinte maneira:

0

45 = 6

Com os dados do enunciado, é possível calcular o valor da constante de proporcionalidade k, pois a questão afirma que Ana pagou R$ 54,00 para enviar uma encomenda de 25kg. Assim, temos:

54

√25= 6 ⟹ 6 =

54

5 = 10,8

Ao dividir a encomenda em dois pacotes, de 16kg e 9kg, ela pagará uma taxa para cada pacote, sendo que ambas obedecerão à seguinte relação:

0

45 = 10,8

Assim, para o pacote de 16kg, temos:

0 3

√16 = 10,8 ⟹

0 3

4 = 10,8 ⟹ 0 3 = 4 ∙ 10,8 = 43,20

Já para o pacote de 9km temos: 0

√9 = 10,8 ⟹

0

(23)

Prof. Custódio Nascimento - Aula 00 Logo, a taxa total paga por Ana foi:

0 ₃+ 0 = 43,20 + 32,40 = 75,60

05. (FCC / Analista Ministerial – Área Arquitetura – Ministério Público Estadual / 2012) O dono de uma obra verificou que, com o ritmo de trabalho de 15 trabalhadores, todos trabalhando apenas 4 horas por dia, o restante de sua obra ainda levaria 12 dias para ser encerrado. Para terminar a obra com 9 dias de trabalho o dono da obra resolveu alterar o número de horas de trabalho por dia dos trabalhadores. Com a proposta feita, cinco trabalhadores se desligaram da obra. Com o pessoal reduzido, o número de horas de trabalho por dia aumentou ainda mais e, mesmo assim, houve acordo e as obras foram retomadas, mantendo-se o prazo final de 9 dias. Após três dias de trabalho nesse novo ritmo de mais horas de trabalho por dia, cinco trabalhadores se desligaram da obra. O dono desistiu de manter fixa a previsão do prazo, mas manteve o número de horas de trabalho por dia conforme o acordo. Sendo assim, os trabalhadores restantes terminaram o que faltava da obra em uma quantidade de dias igual a

A) 42. B) 36. C) 24. D) 8. E) 12. Resolução:

Como o enunciado é longo, vamos separar as informações:

• Situação original: com 15 trabalhadores, trabalhando 4 horas por dia, a obra levaria 12 dias para ser encerrada;

• Situação intermediária: 10 trabalhadores (pois 5 deixaram a obra), trabalhando x horas por dia, para terminar em 9 dias.

• Situação final (após 3 dias da primeira alteração): 5 trabalhadores (pois outros 5 desistiram), trabalhando x horas por dia, para terminar em y dias.

• O que o problema quer saber: o valor de y.

Percebemos que, para saber o valor de y, deveremos fazer duas regras de três compostas, como mostraremos a seguir. A primeira regra de três envolve a situação original e a situação intermediária:

Trabalhadores dias horas/dia

15 12 4

(24)

Prof. Custódio Nascimento - Aula 00 Neste caso, podemos perceber que ambos os valores são inversamente proporcionais ao número de horas por dia:

Trabalhadores dias horas/dia

15 12 4

10 9 x

Logo, temos que inverter as colunas:

10 9 4

15 12 x

Simplificando as colunas (a primeira por 5 e a segunda por 3), temos:

2 3 4

3 4 x

Multiplicando as duas primeiras colunas, temos:

2 ∙ 3 6 4

3 ∙ 4 12 x

Aplicando a regra de três, ficamos com:

6 ∙ 0 12 ∙ 4 ⟹ 0 12 ∙ 4

6 8

Ou seja, houve 3 dias de trabalho (de um total de 9 previstos) com 10 trabalhadores, trabalhando 8 horas por dia. Sendo assim, percebemos que eles cumpriram 3 98 18 do total do trabalho. Ou seja, restou, para a situação ₃ final, 2 38 do trabalho a ser feito.

Agora, só nos resta fazer a segunda regra de três composta, com as situações intermediária e final:

Trabalhadores horas/dia Trabalho dias

10 8 1 9

5 8 2/3 y

Como não há modificação na quantidade de horas por dia, podemos desprezar tal coluna, ficando com:

Trabalhadores Trabalho dias

10 1 9

5 2/3 y

O número de trabalhadores é inversamente proporcional ao número de dias, mas o montante do trabalho é diretamente proporcional, ou seja:

Trabalhadores Trabalho dias inv

(25)

10 1 9

5 2/3 y

Invertendo a primeira coluna, temos:

5 1 9

10 2/3 y

Multiplicando as duas primeiras colunas, temos:

5 ∙ 1 5 9

10 ∙2 3

20

3 y

Aplicando a regra de três, ficamos com:

5 ∙ 2 20

3 ∙ 9 60 ⟹ 2

60

5 12

Logo, a obra foi terminada 12 dias depois. A alternativa E é a resposta correta.

06. (ESPP / Técnico Bancário – Banpará / 2012) Um trabalhador, para ganhar R$ 2.400,00 em 2 meses, trabalhou 8 horas por dia. Se tivesse trabalhado 10 horas por dia durante 5 meses, então teria que receber o valor de: a) R$ 7.500,00 b) R$ 6.800,00 c) R$ 7.680,00 d) R$ 7.800,00 e) R$ 7.200,00 Resolução:

Como vimos, começamos montando as linhas com as informações, deixando o “x” na última coluna:

meses horas/dia R$

2 8 2400

5 10 x

Posteriormente, identificamos se a relação entre as grandezas envolvidas se dá de forma direta ou indiretamente proporcional.

Neste caso, vemos que tanto o número de meses como a quantidade de horas por dia são diretamente proporcionais ao salário:

meses horas/dia R$

(26)

2 8 2400

5 10 x

Logo, não precisamos fazer qualquer ajuste na tabela. Vamos fazer uma linha de separação entre as primeiras colunas e a última:

2 8 2400

5 10 x

Multiplicamos a primeira e a segunda colunas, ficando com:

2 ∙ 8 = 16 2400

5 ∙ 10 = 50 x

16 2400

50 x

16 ∙ 0 = 50 ∙ 2400 ⟹ 0 =50 ∙ 2400₁₆ = 7500 Logo, o pagamento deveria ser de R$ 7.500,00.

07. (FCC / Técnico Judiciário – Tecnologia da Informação – TRT-4 / 2011) Sabe-se que Julião tem 30 anos de idade e Cosme tem 45 e que ambos são Técnicos Judiciários de uma mesma Unidade do Tribunal Regional do Trabalho da 4ª Região há 6 e 15 anos, respectivamente. Certo dia, Julião e Cosme foram incumbidos de arquivar alguns documentos e dividiram o total entre si na razão inversa de suas respectivas idades. Considerando que os dois executaram a sua parte da tarefa com a mesma capacidade operacional, então, se Julião levou 2 horas e 30 minutos para arquivar a sua parte, Cosme arquivou a sua em:

A) 2 horas e 40 minutos. B) 2 horas e 10 minutos. C) 1 hora e 50 minutos. D) 1 hora e 40 minutos. E) 1 hora e 30 minutos. Resolução:

Sejam A e B os tempos gastos por Julião e Cosme para realizar a tarefa. Quando a questão nos diz que ambos possuem a mesma capacidade operacional, podemos concluir que o tempo gasto no trabalho foi proporcional

(27)

Prof. Custódio Nascimento - Aula 00 à quantidade de trabalho que cada um recebeu. Logo, se a questão afirma que o trabalho foi dividido na proporção inversa de suas idades, temos que o tempo gasto segue a mesma proporção, o que significa que temos a seguinte relação:

1

30 = 145

⟹ 30 ∙ = 45 ∙

A questão nos diz que o tempo de Julião foi de 2h30min (150 min), logo temos:

= 2,5 ⟹ 30 ∙ 150 = 45 ∙ ⟹ = 100 = 1ℎ 40

A alternativa D é a resposta correta.

08. (ESAF/ Analista Técnico – Superintendência de Seguros Privados / 2010) Um pai deseja dividir uma fazenda de 500 alqueires entre seus três filhos, na razão direta da quantidade de filhos que cada um tem e na razão inversa de suas rendas. Sabendo-se que a renda do filho mais velho é duas vezes a renda do filho mais novo e que a renda do filho do meio é três vezes a renda do mais novo, e que, além disso, o filho mais velho tem três filhos, o filho do meio tem dois filhos e o filho mais novo tem dois filhos, quantos alqueires receberá o filho do meio?

a) 80 b) 100 c) 120 d) 160 e) 180

Resolução:

Primeiramente, vamos organizar as informações do enunciado, a respeito de cada filho:

mais velho do meio mais novo proporcionalidade

nº de filhos 3 2 2 diretamente

renda 2 3 1 inversamente

Como a questão afirma que a divisão deve ser diretamente proporcional à quantidade de filhos e inversamente proporcional à renda, temos que fazer com que ambos os critérios sejam seguidos.

Para tanto, a maneira mais fácil de fazer é transformar ambos os critérios em um só. Fazemos isso multiplicando o valor diretamente proporcional pelo inverso do valor inversamente proporcional, o que faremos em duas etapas: Primeiro, invertemos os valores que são inversamente proporcionais (e assim eles viram grandezas diretamente proporcionais):

(28)

renda 18₂ 18₃ 1 diretamente

Em seguida, multiplicamos tais valores, criando uma nova grandeza:

nº de filhos 3 2 2 diretamente

renda 18₂ 18₃ 1 diretamente

3 ∙1_{2 =} 3₂ 2 ∙1_{3 =}2₃ 2 ∙ 1 = 2 diretamente

Em outras palavras, o que a questão afirma é que a área da fazenda deve ser dividida entre os filhos mais velho, do meio e mais novo, respectivamente, em tamanhos diretamente proporcionais a 38 , 2 3₂ 8 e 2. Logo, sendo A, B e C, as área dos filhos mais velho, do meio e mais novo, respectivamente, temos:

3₈₂= 2₈₃= 2

3₈₂= 2₈₃ = 2 = 3+ +

2 +23 + 2

O enunciado afirma que + + = 500. Temos, ainda, que 3

2 +23 + 2 =9 + 4 + 126 =256 Assim, ficamos com:

3 2 8 = 28₃= 2 = 500 25 6 = 500 ∙_{25 = 20 ∙ 6 = 120}6

Como a questão quer o valor recebido pelo filho do meio (B), temos:

2 3

= 120 ⟹ =2_{3 ∙ 120 = 80}

09. (ESAF/ Agente de Fazenda - Secretaria Municipal de Fazenda – Rio de Janeiro / 2010) Dois trabalhadores, trabalhando 8 horas por dia cada um, durante 15 dias, colhem juntos 60 sacos de arroz. Três outros trabalhadores, trabalhando 10 horas por dia cada um, colhem juntos 75 sacos

(29)

Prof. Custódio Nascimento - Aula 00 de arroz em 10 dias. Em média, quanto um trabalhador do primeiro grupo é mais ou menos produtivo que um trabalhador do segundo grupo?

a) O trabalhador do primeiro grupo é 10% menos produtivo. b) O trabalhador do primeiro grupo é 10% mais produtivo. c) O trabalhador do primeiro grupo é 25% mais produtivo.

d) As produtividades dos trabalhadores dos dois grupos é a mesma. e) O trabalhador do primeiro grupo é 25% menos produtivo.

Resolução:

Para calcularmos a produtividade do trabalhador, devemos calcular quantos sacos de arroz ele colhe por hora.

Para o primeiro grupo, temos um total de horas trabalhadas de:

2 : 9 ∙ 89/ ∙ 15 240 : 9 ∙ 9

Como este grupo colheu 60 sacos de arroz, temos que a produtividade do grupo foi:

60

240 /< : 9 ∙ 9 = 0,25 /< : 9 ∙ 9 =

Já para o segundo grupo, temos um total de horas trabalhadas de:

3 : 9 ∙ 109/ ∙ 10 300 : 9 ∙ 9

Como este grupo colheu 75 sacos de arroz, temos que a produtividade do grupo foi:

75

300 /< : 9 ∙ 9 = 0,25 /< : 9 ∙ 9 =

Logo, temos que a produtividade de ambos os grupos é a mesma. A alternativa D é a resposta correta.

10. (ESAF / Especialista em Políticas Públicas e Gestão Governamental – Ministério do Planejamento, Orçamento e Gestão / 2009) Dois pintores com habilidade padrão conseguem pintar um muro na velocidade de 5 metros quadrados por hora. A Se fossem empregados, em vez de dois, três pintores com habilidade padrão, os três pintariam:

a) 15 metros quadrados em 3 horas. b) 7,5 metros quadrados em 50 minutos. c) 6 metros quadrados em 50 minutos. d) 7,5 metros quadrados em 30 minutos.

(30)

Prof. Custódio Nascimento - Aula 00 e) 5 metros quadrados em 40 minutos.

Resolução:

Vamos listar as informações:

pintores taxa (m2_/h)

2 5

3 x

Vemos que, quando aumentamos o número de pintores, aumentamos a taxa de pintura (área pintada por hora). Logo, são grandezas diretamente proporcionais.

2 5

3 x

Aplicamos, então, a multiplicação cruzada:

2 5

3 x

2 ∙ 0 3 ∙ 5 ⟹ 0 7,5 /9

Agora, temos que testar as alternativas: a) 15 metros quadrados em 3 horas. Em 3 horas, temos a área pintada igual a:

7,5 ∙ 3 22,5

Item errado.

b) 7,5 metros quadrados em 50 minutos.

Primeiramente, temos que transformar os minutos em horas:

50 50 60 9 5 6 9 7,5 ∙5 6 6,25 Item errado.

c) 6 metros quadrados em 50 minutos.

Vimos no item anterior que a área pintada em 50 min foi de 6,25 m2_{. Item} errado.

d) 7,5 metros quadrados em 30 minutos. dir

(31)

Prof. Custódio Nascimento - Aula 00 30 = 30_{60 ℎ =}1_{2 ℎ}

7,5 ∙1_{2 = 3,75} Item errado.

e) 5 metros quadrados em 40 minutos.

40 = 40_{60 ℎ =}2_{3 ℎ} 7,5 ∙2_{3 = 5}

Item correto.

11. (ESAF/ Assistente Técnico-Administrativo - Ministério da Fazenda / 2009) Existem duas torneiras para encher um tanque vazio. Se apenas a primeira torneira for aberta, ao máximo, o tanque encherá em 24 horas. Se apenas a segunda torneira for aberta, ao máximo, o tanque encherá em 48 horas. Se as duas torneiras forem abertas ao mesmo tempo, ao máximo, em quanto tempo o tanque encherá?

a) 12 horas b) 20 horas c) 16 horas d) 24 horas e) 30 horas Resolução:

Sendo V o volume total do tanque, temos as seguintes vazões de cada torneira:

Vazão da 1ª torneira: >

?

Vazão da 2ª torneira: >

?@

Abrindo ambas as torneiras, as vazões serão somadas, logo a vazão será: A

24 +48 =A 2A + A48 =3A48 =16A Logo, para enchermos o tanque todo com a vazão de >

3B, precisamos de 16

horas.

(32)

12. (ESAF/ Assistente Técnico-Administrativo - Ministério da Fazenda / 2009) Com 50 trabalhadores, com a mesma produtividade, trabalhando 8 horas por dia, uma obra ficaria pronta em 24 dias. Com 40 trabalhadores, trabalhando 10 horas por dia, com uma produtividade 20% menor que os primeiros, em quantos dias a mesma obra ficaria pronta?

a) 30 b) 16 c) 24 d) 20 e) 15 Resolução:

Começamos montando as linhas com as informações, deixando o “x” na última coluna. Vamos tratar a questão da produtividade como uma coluna, em que os primeiros trabalhadores possuem produtividade 100%, enquanto que os últimos têm produtividade 80%:

trabalhadores produtividade h/dia dias

50 100 8 24

40 80 10 x

O próximo passo é verificarmos quais grandezas são direta ou indiretamente proporcionais à grandeza avaliada.

Vemos que, quando aumentamos o número de trabalhadores, precisamos de menos dias. Logo, são grandezas inversamente proporcionais. Analogamente, quando aumentamos a produtividade dos trabalhadores, precisamos de menos dias, o que indica que são inversamente proporcionais. Por fim, se aumentamos a carga horária diária, necessitamos de menos dias, o que os torna inversamente proporcionais.

trabalhadores produtividade h/dia dias

50 100 8 24

40 80 10 x

Assim, temos que inverter todas as colunas, e ficamos com:

40 80 10 24

50 100 8 x

Podemos simplificar os valores da primeira coluna por 10, os da segunda por 20 e os da terceira por 2, e ficamos com:

4 4 5 24

(33)

5 5 4 x

4 ∙ 4 ∙ 5 = 80 24

5 ∙ 5 ∙ 4 = 100 x

80 24 100 x

80 ∙ 0 = 24 ∙ 100 ⟹ 0 =24 ∙ 100₈₀ = 24 ∙ 5_{4 = 6 ∙ 5 = 30} Logo, são necessários 30 dias.

13. (ESAF / Técnico do MPU - Área Transporte – Ministério Público da União / 2004) Um carro percorre 75% da distância entre as cidades A e B a uma velocidade média constante de 50 km por hora. O carro percorre, também a uma velocidade média constante, V, o restante do trajeto até B. Ora, a velocidade média para todo o percurso de A até B foi igual a 40 km por hora. Logo, a velocidade V é igual a

A) 20 km por hora B) 10 km por hora C) 25 km por hora D) 30 km por hora E) 37,5 km por hora. Resolução:

A maneira mais simples de resolvermos esta questão é adotarmos um valor para a distância entre as cidades A e B. Em função dos valores dados na questão, adotaremos tal distância igual a 100km. Sendo assim, o carro percorrerá 75 km a uma velocidade de 50 km/h, e os demais 25 km a uma velocidade V.

Lembrando que a fórmula de cálculo da velocidade média é o quociente entre a distância percorrida e o tempo gasto (

= 8

), temos:

Chamaremos de t1 o tempo para percorrer os primeiros 75 km, e de t2 o tempo gasto para percorrer os 25 km restantes. Sendo assim, o tempo total será = ₃+ .

(34)

Prof. Custódio Nascimento - Aula 00 3 = 3 3 = 75 50 1,5 9 75 # 25 40 100 40 2,5 9

Mas como ₃# , temos que $ 3, logo:

$ 3 2,5 $ 1,5 1 9

Logo:

25

1 25 6 /9

Assim, concluímos que a velocidade do carro no segundo trecho é de 25 km/h. A alternativa C é a resposta correta.

14. (ESAF / Contador – Prefeitura Municipal de Recife - PE / 2003) Parte do produto da venda de um bem de uma empresa é mantida como capital de giro e a parte restante é distribuída proporcionalmente aos proprietários de acordo com a participação de cada um no capital da empresa. Dado que um proprietário com 40% das quotas de capital da empresa tem direito a receber 16% do produto da venda do bem, deseja-se saber que proporção a mais ele receberia pela venda do bem caso adquirisse mais 25% das quotas de capital da empresa.

A) 10% B) 8% C) 5% D) 4% E) 2% Resolução:

Vamos aplicar a regra de três simples com os dados da questão. Primeiramente, o sócio tem 40% e recebe 16% do produto da venda. Na hipótese de ele adquirir mais 25% das cotas (ficando com 65%), queremos calcular quanto ele receberá:

cotas participação

40% 16%

65% x

Podemos simplificar a primeira coluna por 5, e ficamos com: cotas participação

(35)

13% x

Como são grandezas diretamente proporcionais, aplicamos a multiplicação cruzada:

cotas participação

8 16

13 x

8 ∙ 0 = 16 ∙ 13 ⟹ 0 =16 ∙ 13₈ = 2 ∙ 13 = 26 %

Como a questão pergunta quanto ele receberia a mais do que antes, temos que diminuir o que ele já recebia:

D = 26% − 16% = 10% A alternativa A é a resposta correta.

15. (ESAF / Analista de Finanças e Controle – Controladoria-Geral da União / 2001) Uma pessoa foi da localidade A para B a uma velocidade média de 75 Km por hora (Km/h); após, retorna de B para A a uma velocidade média de 50 Km/h. Considerando todo o percurso de ida e volta, a velocidade média, em Km/h foi de:

A) 50 B) 60 C) 62,5 D) 70 E) 72,5 Resolução:

A maneira mais simples de resolvermos esta questão é adotarmos um valor para a distância entre as cidades A e B. Em função dos valores dados na questão, adotaremos tal distância igual a 150km.

Sendo assim, o tempo gasto na ida foi de:

3 = 3 =

150 75 = 2 ℎ Analogamente, o tempo gasto na volta foi de:

= =150_{50 = 3 ℎ}

Logo, a viagem de ida e volta durará 5 h. Como a distância de ida e volta é de 300 km, temos que a velocidade média será:

(36)

= =300₅ 60 6 /9

2.2 – Certo ou errado

(CESPE / Analista de Atividades do Meio Ambiente - Área Analista Administrativo – Instituto Brasília Ambiental / 2009) Para fazer a reforma de um edifício, a empresa responsável contratou duas equipes de trabalhadores, propondo pagá-las proporcionalmente ao número de dias homens que cada equipe empregaria na reforma. A tarefa foi realizada da seguinte maneira: a primeira equipe, com 12 homens, trabalhou durante 6 dias; a segunda, com 7 homens, trabalhou durante 4 dias. Ao final da reforma, a empresa pagou R$ 60.000,00 às duas equipes. Considerando essa situação, julgue os itens a seguir.

16. Considerando que as equipes sejam igualmente eficientes, então a segunda equipe realizou menos de 20% do trabalho.

Resolução:

Conforme afirma o enunciado, o pagamento foi feito proporcionalmente ao número de “dias homens” de cada equipe. Tal conceito se refere ao esforço oriundo da quantidade de homens, ao trabalhar uma quantidade de dias.

Vamos calcular tal esforço para cada equipe:

• Primeira equipe: 12 homens, 6 dias: 12 ∙ 6 72 homens.dia

• Segunda equipe: 7 homens, 4 dias: 7 ∙ 4 28 homens.dia

Logo, temos que o percentual do trabalho total realizado pela segunda equipe foi de: 28 72 # 28 28 100 28% Item errado.

17. Se a segunda equipe tivesse um homem a menos, mas trabalhasse os mesmos 4 dias e se a quantia paga a cada equipe fosse dividida igualmente entre seus trabalhadores, então cada trabalhador da segunda equipe teria recebido R$ 2.500,00.

Resolução:

Nesta situação, temos o seguinte esforço para cada equipe:

(37)

• Segunda equipe: 6 homens, 4 dias: 6 ∙ 4 = 24 homens.dia Agora, temos que calcular o montante recebido por cada equipe:

72 = 24 ⟹ 3 = 1

Além disso, temos que + = 60000. Logo, podemos empregar a propriedade da soma dos antecedentes e consequentes, ou seja:

3 = 1 = 3 + 1 =+ 600004 = 15000

Assim, a equipe B recebeu R$ 15.000. Como havia 6 homens, cada um recebeu R$ 2.500.

Item certo.

(CESPE / Analista Judiciário - Área Administrativa – Supremo Tribunal Federal / 2008) Em um tribunal, há 210 processos para serem analisados pelos juízes A, B e C. Sabe-se que as quantidades de processos que serão analisados por cada um desses juízes são, respectivamente, números diretamente proporcionais aos números a, b e c. Sabe-se também que a + c = 14, que cabem ao juiz B 70 desses processos e que o juiz C deverá analisar 80 processos a mais que o juiz A. Com relação a essa situação, julgue os itens seguintes.

18. c < 10. Resolução:

Vamos aos dados da questão:

= : = + = 14 = 70 = 80 + + + = 210 Se + + = 210 e = 70, então + = 210 − 70 = 140.

Assim, temos a equação:

E + = 140_{= 80 + ⟹ + <80 + = = 140 ⟹ 2 = 60 ⟹ = FG ⟹ = HHG}

(38)

Prof. Custódio Nascimento - Aula 00 30 =110= 30 + 110₊ =140_{14 = 10} Logo, temos: 110 = 10 ⟹ I = HH Item errado.

(CESPE / Perito Criminal Especial – Polícia Civil – ES / 2011) Um perito criminal examinou 2 cadáveres, encontrados simultaneamente, e concluiu que a soma dos tempos decorridos entre as datas das mortes e a data em que os cadáveres foram encontrados é de 21 dias e que a razão entre esses tempos é igual a 3/4. A respeito dessa situação, julgue o próximo item.

19. Uma morte ocorreu a menos de 4 dias da outra. Resolução:

Sendo A e B os tempos decorridos para cada cadáver, podemos escrever os dados da questão:

A soma dos tempos decorridos é de 21 dias: + = 21 A razão entre os tempos é igual a 3/4:

=3₄

Para resolver a questão, vamos empregar a propriedade da soma entre os dois primeiros termos:

+ ₌ 3 + 4

4

Ora, sabemos que + = 21, então podemos substituir tal valor na equação anterior:

21₌ 3 + 4

4 ⟹ 21= 74

Aplicando a propriedade fundamental, ficamos com:

21 ∙ 4 = 7 ∙ ⟹ = 21 ∙ 4₇

Simplificando por 7, temos:

= 3 ∙ 4 = 12

(39)

Prof. Custódio Nascimento - Aula 00 Logo, temos que uma morte ocorreu há 9 dias, enquanto a outra aconteceu há 12 dias.

Item certo.

(CESPE / Assistente em Administração – Fundação Universidade de Brasília / 2008) Considerando que as idades de 3 pessoas sejam números diretamente proporcionais aos números 13, 17 e 19 e sabendo que a soma das idades dessas 3 pessoas é igual a 98, julgue os itens subseqüentes.

20. A soma das idades das duas pessoas mais jovens é inferior a 62. Resolução:

Sejam A, B e C as idades das 3 pessoas. Quando a questão nos diz que tais idades são diretamente proporcionais aos números 13, 17 e 19, isso significa que temos a seguinte relação:

13 = 17 = 19

13 = 17 = 19 =13 + 17 + 19+ +

Como a soma das idades foi dada no enunciado, + + = 98, e como 13 +

17 + 19 = 49, podemos substituir os valores:

13 = 17 = 19 = 9849 = 2 Agora, podemos calcular o valor de cada variável:

13 = 2 ⟹ = 2 ∙ 13 = 26 17 = 2 ⟹ = 2 ∙ 17 = 34 19 = 2 ⟹ = 2 ∙ 19 = 38

Logo, a soma das idades dos dois mais jovens é 26 + 34 = 60. Item certo.

21. A diferença entre a idade do mais velho e a do mais moço é superior a 14.

Resolução:

(40)

Prof. Custódio Nascimento - Aula 00 38 − 26 = 12

Item errado.

22. (CESPE / Analista de Atividades do Meio Ambiente - Área Contador – Instituto Brasília Ambiental / 2009) Considerando que o salário de um operário seja proporcional à quantidade de dias trabalhados, se ele recebe R$ 840,00 por 14 dias de trabalho, então, por 20 dias ele deverá receber R$ 1.200,00.

Resolução:

A primeira coisa a fazer é montar a estrutura básica da regra de três: dias salário

14 840

20 x

Agora temos que perceber se a relação entre as grandezas estudadas (dias trabalhados e salário) é de proporcionalidade direta ou indireta. Ora, é fácil perceber que, se um operário trabalha por mais dias, ele deve receber um salário maior. Isso significa que a relação é diretamente proporcional.

Como a proporção é direta, mantemos a estrutura básica, e fazemos a “multiplicação cruzada”:

dias salário

14 840

20 x

14 ∙ 0 = 20 ∙ 840 ⟹ 0 =20 ∙ 840₁₄ = 1200 Logo, o salário por 20 dias de trabalho deve ser de R$ 1.200,00. Item certo.

(41)

4. Resumo da aula

Constante de proporcionalidade

= =

Propriedade fundamental das proporções

= ⟹

∙

=

∙

Outras propriedades das proporções

+ = + − ₌ − + = + − = − + + = = −− + + = = −−

Grandezas diretamente proporcionais

.

/ =

(42)

Grandezas Inversamente Proporcionais

. ∙ /

Sequência para resolver uma questão de regra de três composta

1) Listar os dados em colunas, deixando o “x” na última; 2) Avaliar se são direta ou indiretamente proporcionais; 3) Inverter as colunas indiretamente proporcionais; 4) Realizar a multiplicação em linha;

5) Resolver a regra de três simples.

Aumenta

(43)

5. Questões apresentadas na aula

01. (ESAF / Assistente Técnico Administrativo – Ministério da Fazenda / 2014) Em 18 horas, 2 servidores analisam 15 processos. Trabalhando no mesmo ritmo, o número de servidores necessários para analisar 10 processos em 6 horas é igual a

a) 4. b) 6. c) 5. d) 3. e) 7

02. (ESAF / Analista de Finanças e Controle – Secretaria do Tesouro Nacional / 2013) Um país distante está enfrentando uma epidemia bastante grave que precisa de um lote de comprimidos EPIDEM, de modo a minimizar os efeitos devastadores da doença. Contudo, a produção do EPIDEM é feita sob encomenda por apenas dois laboratórios: LAB1 e o LAB2.

As autoridades públicas, preocupadas com a grande demanda por esse medicamento, precisam saber em quanto tempo receberão o determinado lote, uma vez que foram informadas que, para a fabricação de um lote de EPIDEM, o LAB1 precisa de 4 dias e o LAB2 precisa de 6 dias para a fabricação do mesmo lote de EPIDEM. Para o rápido atendimento da demanda, as autoridades públicas solicitaram aos dois laboratórios para trabalharem em conjunto. Desse modo, o número de dias ─ considerando-se até duas casas decimais ─ necessários para que os 2 laboratórios, trabalhando em conjunto, produzam o lote de EPIDEM é, em valor aproximado, igual a:

a) 2,4 b) 2,16 c) 3,64 d) 10 e) 24,4

03. (FCC / Escriturário – Banco do Brasil / 2013) Uma empresa obteve um lucro líquido de R$ 263.500,00. Esse lucro será dividido proporcionalmente às cotas da sociedade que cada um dos seus quatro sócios possui. O sócio majoritário detém 9 das cotas e os outros três sócios possuem, respectivamente, 1, 3 e 4 cotas da sociedade. A quantia, em reais, que o sócio que possui 3 cotas receberá nessa divisão é igual a

(44)

Prof. Custódio Nascimento - Aula 00 B) 139.500,00.

C) 46.500,00. D) 62.000,00. E) 31.000,00.

04. (ESAF / Auditor-Fiscal – Receita Federal do Brasil / 2012) A taxa cobrada por uma empresa de logística para entregar uma encomenda até determinado lugar é proporcional à raiz quadrada do peso da encomenda. Ana, que utiliza, em muito, os serviços dessa empresa, pagou para enviar uma encomenda de 25kg uma taxa de R$ 54,00. Desse modo, se Ana enviar a mesma encomenda de 25kg dividida em dois pacotes de 16kg e 9kg, ela pagará o valor total de

a) 54,32. b) 54,86. c) 76,40. d) 54. e) 75,60.

05. (FCC / Analista Ministerial – Área Arquitetura – Ministério Público Estadual / 2012) O dono de uma obra verificou que, com o ritmo de trabalho de 15 trabalhadores, todos trabalhando apenas 4 horas por dia, o restante de sua obra ainda levaria 12 dias para ser encerrado. Para terminar a obra com 9 dias de trabalho o dono da obra resolveu alterar o número de horas de trabalho por dia dos trabalhadores. Com a proposta feita, cinco trabalhadores se desligaram da obra. Com o pessoal reduzido, o número de horas de trabalho por dia aumentou ainda mais e, mesmo assim, houve acordo e as obras foram retomadas, mantendo-se o prazo final de 9 dias. Após três dias de trabalho nesse novo ritmo de mais horas de trabalho por dia, cinco trabalhadores se desligaram da obra. O dono desistiu de manter fixa a previsão do prazo, mas manteve o número de horas de trabalho por dia conforme o acordo. Sendo assim, os trabalhadores restantes terminaram o que faltava da obra em uma quantidade de dias igual a

A) 42. B) 36. C) 24. D) 8. E) 12.

(45)

06. (ESPP / Técnico Bancário – Banpará / 2012) Um trabalhador, para ganhar R$ 2.400,00 em 2 meses, trabalhou 8 horas por dia. Se tivesse trabalhado 10 horas por dia durante 5 meses, então teria que receber o valor de: a) R$ 7.500,00 b) R$ 6.800,00 c) R$ 7.680,00 d) R$ 7.800,00 e) R$ 7.200,00

07. (FCC / Técnico Judiciário – Tecnologia da Informação – TRT-4 / 2011) Sabe-se que Julião tem 30 anos de idade e Cosme tem 45 e que ambos são Técnicos Judiciários de uma mesma Unidade do Tribunal Regional do Trabalho da 4ª Região há 6 e 15 anos, respectivamente. Certo dia, Julião e Cosme foram incumbidos de arquivar alguns documentos e dividiram o total entre si na razão inversa de suas respectivas idades. Considerando que os dois executaram a sua parte da tarefa com a mesma capacidade operacional, então, se Julião levou 2 horas e 30 minutos para arquivar a sua parte, Cosme arquivou a sua em:

A) 2 horas e 40 minutos. B) 2 horas e 10 minutos. C) 1 hora e 50 minutos. D) 1 hora e 40 minutos. E) 1 hora e 30 minutos.

08. (ESAF/ Analista Técnico – Superintendência de Seguros Privados / 2010) Um pai deseja dividir uma fazenda de 500 alqueires entre seus três filhos, na razão direta da quantidade de filhos que cada um tem e na razão inversa de suas rendas. Sabendo-se que a renda do filho mais velho é duas vezes a renda do filho mais novo e que a renda do filho do meio é três vezes a renda do mais novo, e que, além disso, o filho mais velho tem três filhos, o filho do meio tem dois filhos e o filho mais novo tem dois filhos, quantos alqueires receberá o filho do meio?

a) 80 b) 100 c) 120 d) 160 e) 180

(46)

09. (ESAF/ Agente de Fazenda - Secretaria Municipal de Fazenda – Rio de Janeiro / 2010) Dois trabalhadores, trabalhando 8 horas por dia cada um, durante 15 dias, colhem juntos 60 sacos de arroz. Três outros trabalhadores, trabalhando 10 horas por dia cada um, colhem juntos 75 sacos de arroz em 10 dias. Em média, quanto um trabalhador do primeiro grupo é mais ou menos produtivo que um trabalhador do segundo grupo?

a) O trabalhador do primeiro grupo é 10% menos produtivo. b) O trabalhador do primeiro grupo é 10% mais produtivo. c) O trabalhador do primeiro grupo é 25% mais produtivo.

d) As produtividades dos trabalhadores dos dois grupos é a mesma. e) O trabalhador do primeiro grupo é 25% menos produtivo.

10. (ESAF / Especialista em Políticas Públicas e Gestão Governamental – Ministério do Planejamento, Orçamento e Gestão / 2009) Dois pintores com habilidade padrão conseguem pintar um muro na velocidade de 5 metros quadrados por hora. A Se fossem empregados, em vez de dois, três pintores com habilidade padrão, os três pintariam:

a) 15 metros quadrados em 3 horas. b) 7,5 metros quadrados em 50 minutos. c) 6 metros quadrados em 50 minutos. d) 7,5 metros quadrados em 30 minutos. e) 5 metros quadrados em 40 minutos.

11. (ESAF/ Assistente Técnico-Administrativo - Ministério da Fazenda / 2009) Existem duas torneiras para encher um tanque vazio. Se apenas a primeira torneira for aberta, ao máximo, o tanque encherá em 24 horas. Se apenas a segunda torneira for aberta, ao máximo, o tanque encherá em 48 horas. Se as duas torneiras forem abertas ao mesmo tempo, ao máximo, em quanto tempo o tanque encherá?

a) 12 horas b) 20 horas c) 16 horas d) 24 horas e) 30 horas