Matemática Básica. Múltiplo e Divisores

(1)

ENEM

(2)

Múltiplo e Divisores

Matemática Básica

Devido as chuvas na região Norte, em especial no estado do Amazonas, as populações ribeirinhas sofrem com a falta de água potável e comida. Uma ONG arrecadou 72 fardos d’água e 108 cestas básicas que serão distribuídas entre as famílias de um vilarejo as margens do Rio Solimões. A distribuição será feita de modo que o maior número possível de famílias sejam contempladas e todas recebam o mesmo número de fardos d’água e o mesmo número de cestas básicas, sem haver sobra de qualquer um deles.

Nesse caso, quantas famílias podem contempladas? E quantos fardos d’águas e quantas cestas básicas cada família receberá?

Resolução:

Você procura um número comum ?

Sua resposta é número maior ou menor ? Múltiplo ou divisor ? MMC OU MDC ? 72, 108 36, 54 18, 27 6, 9 2, 3 2 2 3 3 MDC: 2.2.3.3 = 36

Famílias: 36 Fardos d’água: 2 Cestas básicas: 3

(3)

Médias

Matemática Básica

A tabela abaixo abresenta uma pesquisa quanto ao n° de jovens que ouvem música enquanto praticam exercício na academia.

Resolução: Idade Jovens 14 5 16 4 18 8 20 2 TOTAL 28 14.5 +16.4 +18.8 + 20.2 X = 5 + 4 + 8 + 2 Posição da mediana:

n +1

2 →

19 +1

= 10ª

2

Idade Modal: M_o= 18 Rol: 14, 14, 14, 14, 14, 16, 16, 16, 16, 18, 18, 18, 18, 18, 18, 18, 18, 20, 20. 318 = 19 = 16, 73

Com base nesses dados calcule a média, a idade modal e a mediana das idades dos jovens da pesquisa.

(4)

Porcentagem

Matemática Básica

Uma rede de postos de combustíveis anunciou um aumento de 25% no preço do álcool, justificando o elevado preço da matéria prima. Com o aumento as vendas desse combustível caíram drasticamente o que fez com que a rede tomasse a decisão de voltar a praticar o preço anterior ao aumento. Qual deve ser o desconto que a empresa deve anunciar para que o preço do álcool volte a ser o mesmo de antes do aumento?

Resolução:

1,25

.

x = 1

x = 0,8

DESCONTO DE 20%

1 1,25 0, -1000 0 100 0 125 8

(5)

Trigonometria

Uma pessoa encontra-se no ponto A e observa a ponta de uma torre, no ponto T sob um ângulo de 30°, conforme desenho abaixo. A altura da torre em metros é:

Triângulo Retângulo e Qualquer

Resolução: A T C B 60° 45° 20√2m 30° x ˆ = ˆ a b senA senB = o o 20 2 x sen45 sen60 20 2 x = 2 3 2 2 x = 20 3m o y tg30 = 20 3 y 3 y = 3 20 3 y = 20m 20 . y = 3 3 3

(6)

Trigonometria

0 2 6 10 3 6 9 12

A quantidade de animais de uma determinada espécie em extinção pode ser descrita, simplificadamente, pela função seno f(t) = 6 + 4.sen(

π

.t/6), em que t é

o tempo em meses e f(t) a quantidade de animais passados t meses do início das observações. Assinale quantas proposições são corretas .

I. A quantidade mínima de animais é 2.

II. O momento da observação em que ocorreu a função máxima foi no 3°mês. III. O período de variação é de 12 meses.

IV. O momento da observação em que a quantidade de animais é igual à 8 ocorreu no 1°e 5°mês.

D_f = R

P_f =

2π

m

= 12

Paridade = Sem paridade

Im_f = [6 - 4, 6 + 4] = [2, 10]

2π

=

π 6

Função Trigonométrica

Resolução:

(7)

Trigonometria

IV. Correto f(t) = 6 + 4.sen(π.t/6 ) 8 = 6 + 4.sen(π.t/6 ) 1/2 = sen(π.t/6 )

+

-

π.t/6 = π/6 t = 1 π.t/6 = 5π/6 t = 5 150º 30º

(8)

Um professor lançou um desafio aos seus alunos de sabendo que

três números que estão em P.A. Crescente, a soma destes números é 18 e o seu

produto 120. Qual o número deve ser somado a cada um dos termos extremos e subtraído do termo médio desta PA, para que passe a ser uma PG

Solução:

Sejam ( x – r ), x, ( x + r ) os números em PA. ( x – r ) + x + ( x + r ) = 18

x = 6

( 6 – r ) . ( 6 + r ) . 6 = 120 36 - r2_{= 20}

r = ± 4

Logo, os números são 2, 6 e 10

(2 + a, 6 - a, 10 + a ) b2_{= a.c} (6 - a)2 _{= (2 + a).(10 + a)} 36 - 12a + a2 _{= 20 + 2a + 10a +a}2 16 = 24a a = 2/3

P.A. – P.G.

(9)

Num terreno, na forma de um triângulo retângulo com catetos com

medidas 20 e 30 metros, deseja-se construir uma casa retangular de

dimensões x e y, como indicado na figura adiante.

a) Exprima a área da casa retangular

em função de x.

(10)

30 = 20

30-x y

3y=60-2x

y= 60-2x

3 A= b . H

A=x . y

( )

A= x . 60 – 2x

3 A= -2x

2

_{+ 60x}

3 3

A= -2x

2

_{+ 20x}

3 Geometria Plana

(11)

5) No Parque de Bonsanto há um grande lago artificial de

forma circular que tem a meio uma ilha também circular. É

possível alugar barcos a remos e o dono dos barcos garante

que é possível remar 160 m em linha reta. Qual é a área do

lago?

(12)

ÁREA DO LAGO = ÁREA DE UMA COROA CIRCULAR

R = RAIO DA CIRCUNFERÊNCIA MAIOR

r = RAIO DA CIRCUNFERÊNCIA MENOR

ÁREA COROA =

П.R

2

–

П.r

2

ÁREA COROA =

П.( R

2

_{– r}

2

₎

ÁREA COROA = 6400

П m

2

o

r

80 R

(CENTRO DA ILHA)

PITÁGORAS:

R

2

= r

2

+ 80

2

R

2

– r

2

= 6400

→

Geometria Plana

(13)

Três cilindros de vidro, todos com um metro de diâmetro,

estão empilhados como mostra a figura.Um inseto pousou

sobre o cilindro superior. A que altura se encontra o inseto?

Geometria Plana

(14)

→

2R

_h

A

B

_C

→

PITÁGORAS:

(2R)

2

= (R)

2

+ h

2

4R

2

– R

2

= h

2

3.(1/2)

2

= h

2

3/4 = h

2

h =

√3/2

H = h + 2.R R R

ALTURA QUE SE ENCONTRA O INSETO : H = h + 2.R

ALTURA QUE SE ENCONTRA O INSETO : H = (√3/2 + 1) m

(15)

Um terreno possui o formato retangular,

Após um aumento de 30% em sua base e

um redução de 30% em sua altura, quanto

iria afetar a sua área ?

• A) não se altera

• B) aumento de 30%

• C) redução de 30%

• D) aumento de 9%

• E) redução de 9%

Geometria Plana

(16)

b

h

A = b . h

1,3.b

0,7h

A = 1,3b . 0,7h

A = 0,91.b.h

1 – 0,91 = 0,09

0,09 . 100 = 9% de redução

Geometria Plana

(17)

Solução :

Diagonais que não passam pelo centro : diagonais – diagonais passam centro

d = d – dc

d = n.(n – 3)/2 - n/2

30 = (n

2

– 3n – n)/2

60 = n

2

_{– 4n}

0 = n

2

_{– 4n – 60}

n`= 10 e n``= - 6

DECÁGONO

Um cliente encomendou a um joalheiro um pingente

especial, sendo a sua unica exigencia, apenas o fato de

ser um polígono regular e possuir 30 diagonais que não

passam pelo centro. O formato do pingente seria

exatamente qual poligono regular

(18)

Geometria Espacial

Um cristal de rocha foi achado e o seu valor varia de acordo com o

número de vértices que ele possui. Sabendo que este cristal é formado por seis faces quadrangulares e duas faces hexagonais e que cada vértice representa um ganho de R$ 50,00, calcule o seu valor.

6 F4

2 F6

F = 8

+

6(4) + 2(6)

A =

2 A = 18

V + F = A + 2

V

+

8 =

18 2

+

V = 12

24 + 12

A =

2

50.12 R$600,00

(19)

Uma batida de maracujá, foi preparada num copo cuja

forma é um cone circular reto, com um raio de 4cm e uma

altura de 16cm. Qual a altura de vodka que deve colocar

para que a sua quantidade ocupe a oitava parte do

volume do copo?

a) 2

b) 3

c) 4

d) 8

e) 12

Geometria Espacial

(20)

v

V

=

8

3













=

h

H

v

V

3 3

16

8 h

v

v =

3 3

16 .

8 h

=

3 3

8

16 =

h

2

16 =

h

8 =

h

v

7v

Geometria Espacial

(21)

Uma panela cilíndrica de 20 cm de diâmetro está

completamente cheia de massa para doce sem exceder sua altura

de

16 cm. O número de doces em formato de bolinhas de 2

cm

de raio que se pode obter com toda a massa é:

V_ci = π 102_{. 16 = 1600}π cm3

3 r

.

4 π

3

=

Vesfera

V

_esfera

= 4.π.2

3

_/3

V

_esfera

= 32.π/3

DOCES = (

1600

π) / 32

.π/3

DOCES = (

1600

π).3/32

.π

DOCES = 150

Geometria Espacial

(22)

Geometria Espacial

Um recipiente, que tem o formato de um cilindro reto de raio 4cm foi enchido com água por 6 copos no formato de um cone invertido (vértice voltado para baixo) com geratriz 5cm e altura 4cm. Em seguida colocou-se uma esfera de raio 2cm dentro do recipiente cilíndrico, fazendo com que a altura da água do recipiente tenha xcm. Calcule x.

Resolução:

5

3

4

b C

A .h

V =

3

2

π.r .h

=

3

2 C

π.3 .4

V =

3

= 12π cm

6copos

V

π . 6

= 12

_{= 72π}

h

₁

4 V = A

_b

.h

= π. r². h

V = π. 4². h

₁

= 16πh

₁

72π = 16πh

₁

9 = 2h

₁

h

₁

= 9/2cm

(23)

Geometria Espacial

Um recipiente, que tem o formato de um cilindro reto de raio 4cm foi enchido com água por 6 copos no formato de um cone invertido (vértice voltado para baixo) com geratriz 5cm e altura 4cm. Em seguida colocou-se uma esfera de raio 2cm dentro do recipiente cilíndrico, fazendo com que a altura da água do recipiente tenha xcm. Calcule x.