Matemática Volume 4.pdf

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1. Introdução

Em Matemática, um limite intuitivamente é um

Em Matemática, um limite intuitivamente é um valor para o qual umavalor para o qual uma função

função f f (( x x ) se aproxima, quando) se aproxima, quando x x fica per fica perto de determinado valorto de determinado valor.. Neste assunto, estudaremos funções cujos domínios são intervalos Neste assunto, estudaremos funções cujos domínios são intervalos ou uniões de intervalos e cujos contradomínios são o conjunto dos ou uniões de intervalos e cujos contradomínios são o conjunto dos números reais. números reais.

2. Definições

2.1 Limite em um ponto

Sendo

Sendo f f uma função, lim uma função, lim_x_x →_→_a_a f f (( x x ) ) == L L significa que conforme significa que conforme x x sese aproxima de

aproxima de a a,, f f (( x x ) fica cada vez ) fica cada vez mais próximo demais próximo de L L. Formalmente, temos. Formalmente, temos que lim

que lim_x_x →_→_a_a f f (( x x ) =) = L L se, e somente se, para todo se, e somente se, para todoεε > 0, existir > 0, existirδδ > 0 tal que > 0 tal que 0 <

0 < || x x – – a a| <| <δδ ⇒⇒ | | f f (( x x ) –) – L L| | <<εε (isto quer dizer exatamente que conforme (isto quer dizer exatamente que conforme x

x se aproxima de se aproxima de a a,, f f (( x x ) fica cada vez ) fica cada vez mais próximo demais próximo de L L).). Vejamos agora um exemplo:

Vejamos agora um exemplo: Ex.:

Ex.: Calcule Calculelimlim_x_x x x

x x → → − − − − 11 22 ₁₁ 11.. Solução:

Solução:SejaSeja f f x x x x (x) (x)== − − − − 22 ₁₁ 11 definida em definida em – {1}. – {1}. Calcularemos, inicialmente, alguns valores:

Calcularemos, inicialmente, alguns valores: f f (1,1),(1,1), f f (1,01),(1,01), f f (1,001). Em(1,001). Em seguida, calcularemos

seguida, calcularemos f f (0,9),(0,9), f f (0,99),(0,99), f f (0,999).(0,999).

TTemos queemos que f f (1,1) = 2,1, f (1,1) = 2,1, f (1,01) = 2,01 e(1,01) = 2,01 e f f (1,001) = 2,001. Além disso,(1,001) = 2,001. Além disso, f

f (0,9) = 1,9,(0,9) = 1,9, f f (0,99) = 1,99 e(0,99) = 1,99 e f f (0,999) = 1,999. Veja então que quando(0,999) = 1,999. Veja então que quando x

x fica muito próximo de 1, f fica muito próximo de 1, f (( x x ) fica muito próximo de 2. Isso quer dizer) fica muito próximo de 2. Isso quer dizer intuitivamente, que o limite buscado é 2.

intuitivamente, que o limite buscado é 2. Para tornar tudo mais claro, podemos ver que

Para tornar tudo mais claro, podemos ver que f f (( x x ) =) = ((x x ))((x + + x ))−−

− − 1 1 11 11 x x = = x x + + 1, se

1, se x x ≠ 1. Agora, é bastante evidente que quando ≠ 1. Agora, é bastante evidente que quando x x →→ 1, 1, x x + 1 + 1→→ 2 e, 2 e, portanto, lim

portanto, lim_x_x →_→₁₁ f f (( x x ) =) = 2 2.. Comentário:

Comentário: a rigor, deveríamos formalizar o argumento com épsilons a rigor, deveríamos formalizar o argumento com épsilons

e deltas. Entretanto, neste material, optamos por uma abordagem com e deltas. Entretanto, neste material, optamos por uma abordagem com ênfase menor em demonstrações.

ênfase menor em demonstrações.

2.2 Limite lateral à

2.2 Limite lateral à direita

direita

Sendo

Sendo f f uma função, lim uma função, lim_x_x →_→ a_a++ f f (( x x ) =) = L L significa que conforme significa que conforme x x se se

aproxima de

aproxima de a a pela direita (de maneira que pela direita (de maneira que x x é sempre maior que é sempre maior que a a e, e, por isso, a aproximação é pela direita), f(

por isso, a aproximação é pela direita), f( x x ) fica cada vez mais próximo) fica cada vez mais próximo de

de L L. Formalmente, temos que lim. Formalmente, temos que lim_x_x →_→_a_a++ f f (( x x ) =) = L L se, e somente se, para se, e somente se, para

todo

todoεε > 0, existir > 0, existirδδ > 0 tal que > 0 tal que a a < < x x < < a a + +δδ ⇒⇒ | | f f (( x x ) –) – L| L| < <εε (isto (isto quer dizer exatamente que conforme

quer dizer exatamente que conforme x x se aproxima de se aproxima de a a pela direita, pela direita, f

f (( x x ) fica cada vez mais próximo de) fica cada vez mais próximo de L L).). Ex.:

Ex.:SejaSeja f f x x x x x x x x x x ( ( )) == + + ≥≥ − − <<    2 2 1 1 33 1 1 33 se se se

se . Temos que lim. Temos que lim x x →→33++ f f (( x x ) =) = 7 7 , pois para, pois para x

x > 3, temos que f > 3, temos que f (( x x ) = 2 x ) = 2 x + 1 e, desta forma, + 1 e, desta forma, quandoquando x x se aproxima de se aproxima de 3 pela direita, 2

3 pela direita, 2 x x + 1 se aproxima de 2 · + 1 se aproxima de 2 · 3 + 1 = 7.3 + 1 = 7.

2.3 Limite lateral à esquerda

Sendo

Sendo f f uma função, lim uma função, lim_x_x →_→ a_a – – f f (( x x ) ) == L L significa que conforme x significa que conforme x sese

aproxima de

aproxima de a a pela esquerda (de maneira que pela esquerda (de maneira que x x é sempre menor que é sempre menor que a a e, e, por isso, a aproximação é

por isso, a aproximação é pela esquerda),pela esquerda), f f (( x x ) fica cada vez mais próximo) fica cada vez mais próximo de

de L L. Formalmente, temos que lim. Formalmente, temos que lim_x_x →_→_a_a – – f f (( x x ) =) = L Lse, e somente se, para todose, e somente se, para todo

εε > 0, existir > 0, existir δδ > 0 tal que > 0 tal que a a – – δδ < < x x < < a a⇒⇒ | f | f (( x x ) –) – L L| <| <εε(isto quer(isto quer dizer exatamente que conforme

dizer exatamente que conforme x x se aproxima de se aproxima de a a pela esquerda, pela esquerda, f f (( x x ) fica) fica cada vez mais próximo de

cada vez mais próximo de L L).).

Ex.:

Ex.:SejaSeja f f x x x x x x x x x x ( ( )) == + + ≥≥ − − <<    2 2 1 1 33 1 1 33 se se se

se . Temos que lim. Temos que lim x x →→33 – – f f (( x x ) = 2, pois para) = 2, pois para x x < 3, temos que

< 3, temos que f f (( x x ) =) = x x – 1 e, desta forma, quando – 1 e, desta forma, quando x x se aproxima de 3 se aproxima de 3 pela esquerda,

pela esquerda, x x – 1 se aproxima de 3 – 1 se aproxima de 3 – 1 = 2.– 1 = 2.

2.4 Limites no infinito

Sendo

Sendo f f uma função, lim uma função, lim_x_x →∞_→∞ f f (( x x ) =) = L L significa que à medida que significa que à medida que x x fica fica um número real cada vez maior,

um número real cada vez maior, f f (( x x ) fica cada vez mais próximo de) fica cada vez mais próximo de L L.. Formalmente, temos que lim

Formalmente, temos que lim_x_x →∞_→∞ f f (( x x ) =) = L L se, e somente se, para todo se, e somente se, para todoεε > 0, > 0, existir

existir A A tal que tal que x x > > A A⇒⇒ | f | f (( x x ) –) – L L| <| <εε.. Ex.:

Ex.: SejaSeja f f x x x x x x ( ( ))== −− + + 11

11. Temos que lim. Temos que lim x x →∞→∞ f f (( x x ) = 1. De fato, temos que) = 1. De fato, temos que

f f x x x x ( ( ))= = −− + + 11 22

11. Quando. Quando x x → ∞→ ∞, temos que, temos que

22 11

x

x ++ →→ 0 e, desta forma, 0 e, desta forma, f

f (( x x ) se aproxima de 1 – 0 ) se aproxima de 1 – 0 = 1.= 1.

2.5 Limites infinitos

2.5.1 Limite infinito em um ponto

Sendo

Sendo f f uma função, lim uma função, lim_x_x →_→ a_a f f (( x x ) =) =∞∞significa que à medida quesignifica que à medida que x x se se aproxima de

aproxima de a a,, f f (( x x ) fica um número real cada vez maior. Formalmente,) fica um número real cada vez maior. Formalmente, temos que lim

temos que lim_x_x →_→ a_a f f (( x x ) =) =∞∞ se, e somente se, para todo A se, e somente se, para todo A > 0, existir > 0, existirδδ tal tal que 0 < |

que 0 < | x x – – a a| <| <δδ ⇒⇒ | | f f (( x x )| >)| > A A..

2.5.2 Limite infinito no infinito

Sendo

Sendo f f uma função, lim uma função, lim_x_x →∞_→∞ f f (( x x ) =) =∞∞ significa que à significa que à medida quemedida que x x fica fica um real cada vez maior,

um real cada vez maior, f f (( x x ) também fica ) também fica um número real cada um número real cada vez maiorvez maior.. Formalmente, temos que lim

Formalmente, temos que lim_x_x →∞_→∞ f f (( x x ) =) =∞∞ se, e somente se, para todo A se, e somente se, para todo A,, existir

existir B B > 0 tal que > 0 tal que x x > > A A⇒⇒ | | f f (( x x )| >)| > B B..

2.6 Função contínua

Sendo

Sendo f f uma função e uma função e a a um ponto do domínio de um ponto do domínio de f f , dizemos que, dizemos que f f é é contínua em

contínua em a a se lim se lim_x_x →_→_a_a f f (( x x ) =) = f f (( a a). Se). Se f f é contínua em todos os pontos de é contínua em todos os pontos de seu domínio, dizemos que

seu domínio, dizemos que f f é contínua. é contínua.

2.7 Condições de

continuidade em um ponto

I.

I. a a função função deve deve existir existir no no pontoponto⇒⇒$$ f f (( a a););

II.

II. a função a função deve deve ter lter limite no imite no pontoponto⇒⇒$$ lim lim_x_x →_→_a_a f f (( x x ););

III.

III. esses valores esses valores devem devem ser iguaisser iguais⇒⇒ lim lim_x_x →_→ a_a f f (( x x ) =) = f f (( a a).). Obs.:

Obs.:

•

• se uma se uma dessas trdessas três condiçõês condições não es não for satisfeifor satisfeita, dizemta, dizemos que os que a funçãoa função é descontínua no ponto; é descontínua no ponto; 111 111 AFA-EFOMM AFA-EFOMM

Limites

Matemática I Matemática I A ASSUNTOSSUNTO

6

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•

• uma uma função função é é contínua contínua em em um um intervalo [intervalo [ a a,, b b], quando ela é contínua], quando ela é contínua em cada ponto do interior desse intervalo e lim

em cada ponto do interior desse intervalo e lim_x_x →_→ a_a++ f f (( x x ) ) == f f (( a a) ) ee

lim

lim_x_x →_→ b_b–– f f (( x x ) =) = f f (( b b).).

3. Propriedades

I.

I. Se Se limlim_x_x →_→_a_a f f (( x x ) =) = L L e lim e lim_x_x →_→_a_a g g(( x x ) =) = M M , então:, então: a.

a. limlim_x_x →_→ a_a[[ f f (( x x ) +) + g g(( x x )] =)] = L L + + M M b.

b. limlim_x_x →_→ a_a[[ f f (( x x ) ·) · g g(( x x )] =)] = L L · · M M c.

c. limlim_x_x →_→ a_a f f x x

g g x x ( ( )) ( ( ))       = = L L / / M M ( ( M M ≠ 0) ≠ 0) d.

d. Se Se limlim_x_x →_→_a_a f f (( x x ) =) = L L > 0 e lim > 0 e lim_x_x →_→_a_a g g(( x x ) = M ) = M , então lim, então lim_x_x →_→_a_a f f (( x x )) g g(( x x ))₌_= L_L M M _..

II.

II. Se Se limlim_x_x →_→_a_a f f (( x x ) ) == L L e lim e lim_y →_y_→ L_L g g(( y y ) ) == M M , com, com M M == g g(( L L), então), então lim

lim_x_x →_→_a_a g g(( f f (( x x )) =)) = M M (regra da substituição) (regra da substituição) Obs.:

Obs.:

•

• As As propriedades propriedades acima acima valem valem se se os os limiteslimites L L,, e M e M existem e são finitos. existem e são finitos. III.

III. Teorema Teorema do do sanduícsanduíchehe Se

Se limlim_x_x →_→_a_a f f (( x x ) = lim) = lim_x_x →_→_a_a g(( x g x ) =) = L L e e f f (( x x ) <) < h h(( x x ) <) < g g(( x x ), numa vizinhança), numa vizinhança de

de a a, então lim, então lim_x_x →_→_a_a h h(( x x ) =) = L L..

4. Casos de indeterminação

Nos seguintes casos, devemos buscar outra alternativa para o Nos seguintes casos, devemos buscar outra alternativa para o cálculocálculo do limite (a principal será a regra de L’Hôspital a ser vista no próximo do limite (a principal será a regra de L’Hôspital a ser vista no próximo assunto): assunto): I.I. ∞∞––∞∞ II. II. 0 0 ··∞∞ III. III. 00 00 IV. IV. °° VV. . 0000 VI. VI. ∞∞00 VII. 1 VII. 1∞∞

5. Limites fundamentais

I. lim

I. lim_x_x →_→₀₀sensen_x_x x x = 1 = 1 II. lim II. lim_nn_→∞_→∞  11++ 11       n n n n = =ee ee k k k k = = ==             = = ∞ ∞

∑

2 718281828459 2 718281828459 11 0 0 ,, !!   Obs.: Obs.: • lim • lim_n_n→∞_→∞  11++11       + + n n n n k k = = ee,, k k ∈∈ • lim • lim_n_n→∞_→∞ 11++ 11 + +         n n k k n n = = ee,, k k ∈∈ • lim • lim_n_n→∞_→∞  11++11       ⋅⋅ n n k k nn = = ee k k _,, k_k_∈_∈__

6. Descontinuidades

6.1 Descontinuidade evitável

Caracteriza-se pela existência do limite no ponto, diferente do valor Caracteriza-se pela existência do limite no ponto, diferente do valor da função nesse ponto (ou se

da função nesse ponto (ou se a função não for definida nesse ponto).a função não for definida nesse ponto). Ex.: Ex.: •• f f (( x x ) =) = x x _x_x x x x x 2 2 4 4 2 2 22 5 5 22 − − − − ≠≠ = =      se se se se lim

lim_x_x_→_→₂₂ f f (( x x ) = 4 e) = 4 e f f (2) = 5(2) = 5⇒⇒ lim lim_x_x →_→₂₂ f f (( x x ) ≠) ≠ f f (2), a descontinuidade seria(2), a descontinuidade seria evitada se fosse definido

evitada se fosse definido f( f( 2) = 4.2) = 4. •

• f(f( x x ) =) = sen3sen3 x x x x não

não existeexiste f f (0) e lim(0) e lim_x_x →_→₀₀ f f (( x x ) = 3) = 3⇒⇒ f f é descontínua evitável para é descontínua evitável para x x = 0, = 0, a descontinuidade seria evitada se

a descontinuidade seria evitada se f f (0) = 3.(0) = 3.

6.2 Descontinuidade de 1

aa

_espécie

Caracteriza-se pela existência dos limites laterais

Caracteriza-se pela existência dos limites laterais diferentes no pontodiferentes no ponto (portanto não existe limite no ponto). Nas descontinuidades de 1

(portanto não existe limite no ponto). Nas descontinuidades de 1aa_espécie_espécie

dizemos que a função apresenta um salto cuja

dizemos que a função apresenta um salto cuja amplitude é igual ao móduloamplitude é igual ao módulo da diferença dos limites laterais no ponto.

da diferença dos limites laterais no ponto. Ex.: Ex.: •• f f (( x x ) =) = x x x x x x x x 2 2 2 2 5 5 22 se se se se ≤ ≤ + + >>    

f f (2) = 4; lim(2) = 4; lim_x_x →_→_22–– f f (( x x ) = 4 e lim) = 4 e lim_x →_x_→₂₂₊+ f f (( x x ) = 7;) = 7; f f é descontínua de 1 é descontínua de 1aa

espécie para

espécie para x x = 2, com salto de amplitude 3. = 2, com salto de amplitude 3. •• f f (( x x ) =) = x x  (função parte inteira) (função parte inteira)

f

f (( n n) =) = n n; lim; lim_x_x →_→ n_n–– f f (( x x ) = n – 1 e lim) = n – 1 e lim_x_x →_→ n_n++ f f (( x x ) =) = n n;; f f é descontínua de 1 é descontínua de 1aa

espécie para

espécie para n n∈∈, com salto de amplitude 1., com salto de amplitude 1.

6.3 Descontinuidade de 2

aa

_espécie

Caracteriza-se pela não existência de um

Caracteriza-se pela não existência de um dos dois limites laterais oudos dois limites laterais ou por outros casos não

por outros casos não enquadrados anteriormente.enquadrados anteriormente. Ex.:

Ex.:

•• f f (( x x ) = sen) = sen_x_x

(($$)) f f (0); ((0); ($$)lim)lim_x_x →_→_00–– f f (( x x ) e ) e (($$)lim)lim_x_x →_→₀₀₊+ f f (( x x );); f f é descontínua de 2 é descontínua de 2aa espécie espécie

para para x x = 0. = 0. •• f f (( x x ) =) = 11 0 0 se se se se x x QQ x x QQ ∈ ∈ ∉ ∉  

 (função de Dirichlet) (função de Dirichlet)

((∀∀ a a∈∈)(()(($$)lim)lim_x_x →_→ a_a f f (( x x ));)); f f é descontínua de 2 é descontínua de 2aa espécie espécie∀∀ a a∈∈ •• f f (( x x ) = log|) = log| x x ||

(($$)) f f (0); lim(0); lim_x_x →_→_00–– f f (( x x ) = –) = –∞∞ e lim e lim_x_x →_→₀₀₊₊ f f (( x x ) = –) = –∞∞ ⇒⇒ lim lim_x_x →_→₀₀ f f (( x x ) = –) = –∞∞; f; f é descontínua de 2

é descontínua de 2aa_{espécie para}_{espécie para x}_x_{= 0}_{= 0}

7. T

7. Teorema do

eorema do valor intermediário

valor intermediário

Matemática I – Assunto 6

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01

01Calcule o limite limCalcule o limite lim_x_x →_→₂₂ x x

x x 22 ₄₄ 22 −− −− .. Solução:

Solução:Veja que a expressão não está definida paraVeja que a expressão não está definida para x x = 2. Portanto, = 2. Portanto,

precisamos fazer alguma manipulação algébrica que elimine essa precisamos fazer alguma manipulação algébrica que elimine essa indeterminação (esta é do tipo

indeterminação (esta é do tipo 00

00). Fatorando o numerador, temos). Fatorando o numerador, temos que que x x x x x x x x x x 22 ₄₄ 22 2 2 22 22 − − − − = = + + −− − − (

( ))( ( ))₌_= x_x_{+ 2. Daí, segue que lim}_{+ 2. Daí, segue que lim}

x x →→22 x x x x 22 ₄₄ 22 −− −− = = lim lim_x_x →_→₂₂(( x x + 2) = 2 + + 2) = 2 + 2 = 4.2 = 4. 02

02Calcule o limite limCalcule o limite lim_x_x →_→₁₁ 2 2 22

3 3 22 x x x x − − + + −− .. Solução: Solução:

Neste caso, também temos uma indeterminação do tipo Neste caso, também temos uma indeterminação do tipo00

00. Aqui, para. Aqui, para retirarmos a indeterminação, precisamos racionalizar o denominador retirarmos a indeterminação, precisamos racionalizar o denominador da expressão dada. Veja que

da expressão dada. Veja que 2 2 22 3 3 22 2 1 2 1 3 3 22 3 3 2 2 3 3 22 x x x x x x x x x x x x − − + + −− = = − − + + ++ + + − − + + ++ ( ( ))( ( )) ( ( ))(( ))

e, após simplificar o denominador, a expressão é igual e, após simplificar o denominador, a expressão é igual aa 2 2 1 1 3 3 22 11 2 2 3 3 22 ( ( ))( ( )) ( ( )) ( ( )) x x x x x x x x − − + + ++ − − = = + + ++ . D a í , s e g u e q u e. D a í , s e g u e q u e lim lim_x_x →_→₁₁ = = x x x x − − + + −− 1 1 3 3 22 limlim x x →→11(2(2 x x ++33 + 4) = 4 + 4 = 8. + 4) = 4 + 4 = 8. 03

03Calcule o limite limCalcule o limite lim_x_x →∞_→∞2 2 3 3 55

5 5 77 2 2 2 2 x x x x x x x x + + ++ − − ++ .. Solução:

Solução: Agora, a indeterminação é do tipo Agora, a indeterminação é do tipo _°° . A ideia em limites de. A ideia em limites de

funções racionais com

funções racionais com x x tendendo ao infinito é evidenciar o maior tendendo ao infinito é evidenciar o maior grau: grau: 2 2 3 3 55 5 5 77 2 2 3 3 55 5 5 1 1 77 2 2 3 3 55 5 5 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + + ++ − − ++ == + + ++         − − ++         = = + + ++ − − − − +1 1 + 77 2 2 x x x x . Repare que as . Repare que as

parcelas que possuem

parcelas que possuem denominadordenominador x x tendem a zero. Portanto, o valor tendem a zero. Portanto, o valor do limite é

do limite é 22

5 5..

04

04 Calcule limCalcule lim_x_x →_→₀₀(1 + 2(1 + 2 x x ))1/ 1/ x x _..

Solução:

Solução:Neste caso, a indeterminação é da forma 1Neste caso, a indeterminação é da forma 1∞∞_{. Veja que esse}_{. Veja que esse}

limite é muito similar a um limite fundamental: lim

limite é muito similar a um limite fundamental: lim_x_x →_→₀₀(1 +(1 + t t ))1/ 1/ t t ₌_{= ee..}

Então, no limite original, faremos uma mudança de variáveis Então, no limite original, faremos uma mudança de variáveis 22 x x == t t , ou seja,, ou seja, x x == t t

22. Repare que ao. Repare que ao x x →→ 0, temos 0, temos t t →→ 0. Então, 0. Então, te

temos mos limlim_x_x →_→₀₀(1+2 x (1+2 x ))1/ 1/ x x _{= lim}_{= lim}

t t →→00(1+(1+t t ))2/ 2/ t t = lim = limt t →→00[(1 +[(1 + t t ))1/ 1/ t t ]]22 ==

[lim

[lim_t t →_→₀₀(1 +(1 + t t ))1/ 1/ t t _]]22₌_{= ee}22_..

05

05 Determine o valor de a para que a Determine o valor de a para que a funçãofunção f f (( x x ) =) =

sen sen se se se se 3 3 5 5 00 1 1 00 x x x x x x a a x x ,, ,, ≠ ≠ + + ==    

seja contínua. Caso a função não seja contínua, de que tipo será a seja contínua. Caso a função não seja contínua, de que tipo será a descontinuidade?

descontinuidade? Solução:

Solução:ParaPara x x ≠ 0, a função já é contínua, pois é o quociente entre ≠ 0, a função já é contínua, pois é o quociente entre duas funções contínuas (com o denominador não nulo). Resta forçar a duas funções contínuas (com o denominador não nulo). Resta forçar a continuidade no ponto

continuidade no ponto x x = 0. Para isso, precisamos ter lim = 0. Para isso, precisamos ter lim_x_x →_→ f f ₀₀(( x x ) =) = f f (0).(0). Para o cálculo do limite, utilizaremos um limite fundamental. Fazendo Para o cálculo do limite, utilizaremos um limite fundamental. Fazendo a mudança de variáveis 3

a mudança de variáveis 3 x x = = t t , ou seja,, ou seja, x x = = t t

33. Repare que ao. Repare que ao x x →→ 0, 0, temos

temos t t →→ 0. Portanto, lim 0. Portanto, lim_x_x →_→₀₀ f f (( x x ) = lim) = lim_x_x →_→₀₀sen3sen3

5 5 x x x x = lim = limt t →→00 sen sent t t t 5 5 3 / / 3 = = 3 3 5 5 · · lim

lim_t t →_→₀₀sensent t t t = =

3 3 5

5 (usamos o limite fundamental lim (usamos o limite fundamental limt t →→00

sen sent t

t t = 1). Como = 1). Como lim

lim_x_x →_→₀₀ f f (( x x ) =) = f f (0), segue que(0), segue que a a + 1 = + 1 =33

5

5, o que nos dá, o que nos dá a a = = 2 2 5 5..

Caso a função não seja contínua, temos uma descontinuidade evitável Caso a função não seja contínua, temos uma descontinuidade evitável (ou removível).

(ou removível). EXERCÍCIOS

EXERCÍCIOS RESOLRESOLVIDOSVIDOS

EXERCÍCIOS NÍVEL 1

02

02 Calcule os limites abaixo:Calcule os limites abaixo:

a. a. limlim_x_x x x x x → → − − − − 3 3 2 2 9 9 3 3 b. b. limlim_x_x x x x x →∞ →∞ + + 11−− 3 3 3 3 c. c. limlim ( ( )) x x x x x x x x → → − − ++ − − 11 22 33 33 22 2 2 11 11 d. d. limlim_x_x x x x x xx x x →∞ →∞ + + ++ 01

01Calcule os limites abaixo:Calcule os limites abaixo:

a. a. limlim_x_x x x x x → → − − − − 22 22 ₄₄ 22 b. b. limlim_x_x x x x x x x xx x x →∞ →∞ − − ++ + + + + −− 2 2 5 5 22 7 7 4 4 3 3 11 3 3 3 3 22 c. c. limlim_x_x x x x x → → − − − − 11 11 11 d. d. limlim_x_x x x x x x x →−∞ →−∞ + + 2 2 3 3 Limites Limites

(6)

Cancel Anytime.

(7)

Cancel Anytime.

03

03 Calcule os seguintes limites:Calcule os seguintes limites:

a.

a. limlim_x_x sensen x x

x x → →00 3 3 b.

b. limlim_x_x sensen x x

x x → →00 2 2 5 5 4 4 c.

c. limlim tantan sen sen x x →→00 x x _x_x 3 3 4 4 d.

d. limlim coscos sen sen x x x x x x → → − − 0 0 ₂₂ 1 1 22 e. e. limlim ccoos s ccooss c coos s ccooss x x →→ x x_x_x x x _x_x − − − − 0 0 2 2 5 5 77 04

04Uma funçãoUma função f f é definida como: é definida como: f f x x x x x x cc ax ax b b x x cc ( ( ))== sensen ≤≤ + + >>    Determine, em função de

Determine, em função de b b,, cc (c ≠ 0) os possíveis valores de (c ≠ 0) os possíveis valores de a a para os para os quais a função

quais a função f f é contínua em é contínua em..

05

05SeSe cc é uma constante real não nula, encontre o valor de é uma constante real não nula, encontre o valor de a a para o qual para o qual

f

f é contínua, onde: é contínua, onde: f f x x

x x x x cc ax ax x x cc ( ( ))== cocos s ,, ≤≤ + + >>     22 10 10 22 06 06SejaSeja f f (( x x ) ) == x x x x x x a a 22 aa 44 3 3 33 22 ₁₁ 33 22 − − ++ + + −−        

.. . Para que valores de. Para que valores de a a

lim

lim_x_x →∞_→∞ f f (( x x ) é finito?) é finito?

EXERCÍCIOS NÍVEL 2

01

01 Para cada número naturalPara cada número natural n n, seja, seja F F _n_n a figura plana composta de a figura plana composta de

quadradinhos de lados iguais a quadradinhos de lados iguais a 11

n

n, dispostos da seguinte forma:, dispostos da seguinte forma:

11 n n F

F _n_n é formada por uma fila de é formada por uma fila de n n quadradinhos, mais uma fila de quadradinhos, mais uma fila de (( n n – 1) quadradinhos, mais uma fila de ( – 1) quadradinhos, mais uma fila de ( n n – 2) quadradinhos e assim – 2) quadradinhos e assim sucessivamente, sendo a última fila composta de um só quadradinho sucessivamente, sendo a última fila composta de um só quadradinho (a figura ilustra o caso

(a figura ilustra o caso n n = 7). = 7). Calcule o limite da área de

Calcule o limite da área de F F _n_n quando quando n n tende a infinito. tende a infinito.

02

02Divide-se um segmento de medidaDivide-se um segmento de medida a a em em n n partes iguais, e em cada partes iguais, e em cada

uma delas constrói-se um triângulo isósceles de ângulos iguais a 45° uma delas constrói-se um triângulo isósceles de ângulos iguais a 45° tendo cada uma

tendo cada uma dasdas n n partes do segmento AB partes do segmento AB — — como base. Demonstrar como base. Demonstrar que o limite do perímetro da linha quebrada formada, diferencia-se da que o limite do perímetro da linha quebrada formada, diferencia-se da medida do segmento AB

medida do segmento AB — — , , embora, no limite, a linha quebrada “fusione-se embora, no limite, a linha quebrada “fusione-se geometricamente com o segmento AB

geometricamente com o segmento AB — —.. 03

03Achar as constantesAchar as constantes a a e e b b da equação: da equação:limlim_x_x ax ax bb x x x x →∞ →∞ + + −− − − + +             = = 3 3 2 2 1 1 1 1 0 0..

Dê uma interpretação geométrica para a

Dê uma interpretação geométrica para a igualdade.igualdade. 04

04Certo processo químico decorre de tal forma que o aumento daCerto processo químico decorre de tal forma que o aumento da

quantidade de substância, em cada intervalo de tempo

quantidade de substância, em cada intervalo de tempo ττ, da sucessão, da sucessão infinita de intervalos (

infinita de intervalos ( i i ττ, , (( i i + + 1)1)ττ), ), (( i i = 0, 1, 2...) é proporcional à quantidade = 0, 1, 2...) é proporcional à quantidade disponível de substância, que se tem no início desse intervalo e proporcional disponível de substância, que se tem no início desse intervalo e proporcional à grandeza do intervalo. Pressupondo-se que no momento inicial de tempo à grandeza do intervalo. Pressupondo-se que no momento inicial de tempo a quantidade de substância era igual a

a quantidade de substância era igual a QQ₀₀, determinar a quantidade de, determinar a quantidade de substância Q

substância Q_i_i(( n n))_{no intervalo de tempo}_{no intervalo de tempo t t , se o aumento da quantidade de}_{, se o aumento da quantidade de}

substância ocorre a cada

substância ocorre a cada n n-parte do intervalo de tempo-parte do intervalo de tempo τ τ ==

t t n

n. Achar e. Achar e

QQ_t t = lim = lim_n_n→∞_→∞QQ_i_i(( n n))_..

RASCUNHO

RASCUNHO Matemática I – Assunto 6

(8)

Cancel Anytime.

(9)

Cancel Anytime.

1. Conceito

Chama-se derivada de um função

Chama-se derivada de um função y y == f f (( x x ) ao limite da razão) ao limite da razão incremental (

incremental (∆∆ y y / / ∆∆ x x ) quando o incremento) quando o incremento ∆∆ x x da variável independente da variável independente tende a zero. Indica-se por

tende a zero. Indica-se por f f ’(’( x x );); ou seja: ou seja: f f x x y y x x f f x x x x f f x x x x x x x x ''( ( ) ) lliim = = m _∆_∆_→_→ ∆∆ == lliimm_∆_∆ _→_→ ( ( + + ) ) ( −− ( )) ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ 0 0 00

2. Interpretação geométrica

f f (( x x++∆∆ x x )) x x++∆∆ x x f f (( x x )) P P R R QQ x x ββ ββ αα y = f y = f (( x x ))

Inclinação da reta secante

Inclinação da reta secante m m RQRQ PR PR y y x x PQ PQ = = tan tanββ= = = →= → ∆ ∆ ∆

∆ razão incrementalrazão incremental

Inclinação da reta tangente em

Inclinação da reta tangente em P P:: m m y y f f x

x x x

P

P = = tan tanαα= = lliimm∆∆x x →→ == ''(( ))

∆ ∆ ∆ ∆ 0 0 Obs.:

Obs.: A derivada de uma função em um ponto nos dá a inclinação da A derivada de uma função em um ponto nos dá a inclinação da

reta tangente à curva neste ponto, ou seja:

reta tangente à curva neste ponto, ou seja:_f_{f x}_x f f x f x f x x

x x x x x x x x ''( ( ) ₀₀) lliimm ₀₀ ( ( ) ) ( ( ))00 0 0 = = − − − − → →

3. Cálculo das derivadas

I.I. f f x x k k k k y

y k k y y y y k k y y k k y y y y k k k k ( ( )) = = ∈∈ ℜℜ = = ++ == ⇒⇒ == −− ⇒⇒ ⇒ ⇒ = = −− ee ,, ∆ ∆ ∆∆ ∆ ∆ === = = = == = = → → ee logo: logo: 0 0 00 00 0 0 0 0 ' '(( )) lliimm '('( )) f f x x x x f f x x x x ∆ ∆ ∆ ∆ Obs.:

Obs.: A expressão A expressão y y ++ ∆∆ y y corresponde ao f corresponde ao f (( x x ++ ∆∆ x x ), de modo que), de modo que ∆ ∆ y y = = f f (( x x + +∆∆ x x ) –) – f f (( x x ).). II. II. f x f x x x n n N N y y x x y y y y x x x x y

y y y nn x x x x

n n n n nn n n k k k k n n ( ( ))     = = ∈∈ = = + + = = + + ⇒⇒ ⇒ ⇒ + + −− ,, ( ( )) ee ∆ ∆ ∆∆ ∆ ∆

∑

∆∆ → → − − ( ( ))         ++ = = ₀₀ 11 11 ∆ ∆ ∆ ∆ x x nn x x f f x x _x_x n n e e ' ' lliimm (( n nnn x x x x x x x x n n x x n n x x f f x x n n nn n n nn 22 11 2 2 11 1 1 11         + + ++ ₌₌ = =        = = ⋅⋅ = = − − −− − − −− ∆ ∆ ∆∆ ∆ ∆   ₎₎ l l ''( ( )) n n x nn⋅⋅x n n−−11 III. III. f f x x x x y

y x x y y y y y

y y y y y

x x x x x x x x x x x x ( ( )) + + ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ + + ++ − − = = = = + + == = = −− ⇒⇒ == − − − − ee 11 11 11 11 11 11 ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ _x_x_x_x f f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⇒ ⇒ = = ++ − − = = = = − − −− + + = = → → → → →→ ee ''(( )) lliimm lim

lim (( )) limlim

∆ ∆ ∆ ∆ ∆∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ 00 00 11 11 0000 00 22 22 11 11 11 − − + + ⋅ ⋅ == = = −− + + = = − − = = −− = = −− → → − − − − ∆ ∆ ∆ ∆ ∆∆ ∆ ∆ ∆ ∆ x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f f x x x x x x (( )) lim lim (( )) llogo:ogo: ''(( )) 2222 IV. IV. f f x x x x y y x x y y y y x x x x y

y x x x x y y

( ( )) ⇒ ⇒ −− = = = = ++ == ++ ⇒⇒ = = + + ⇒⇒ sen sen sseenn e e sseenn s seenn (( )) (( )) ∆ ∆ ∆∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆∆∆ ∆ ∆∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆∆ ∆ ∆ ∆∆ y y x x x x x x y y y y x x x x x x x x x x x x = = + + −− ⇒ ⇒ == = = + + −− ⋅⋅ + + ++ ⇒⇒ ⇒ ⇒ sseenn sseenn sen sen (( )) sseenn ccooss 22 22 22 22 x x x x x x f f x x x x x x x x x x x x x x x x 22 22 22 22 22 00 cos cos ee (( ))

''(( )) lliimm sseenn // ccooss(( / )/ )

lim lim + + ⇒⇒ = = ⋅ ⋅ ++ == = = → → ∆ ∆ ∆ ∆ ∆∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ →→→ → ⋅ ⋅ →→ + + == = = 00 00 22 22 22 sseenn / / /

/ lliimm ccooss(( // )) ccooss ''(( )) ccooss ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ x x x x x x x x x x f f x x x x x x logo: logo: VV.. f f x x x x y y x x y y y y x x x x y

y x x x x y y

( ( )) == = = ++ == ++ ⇒⇒ = = ++ −− ⇒⇒ cos cos ccooss e e ccooss ccooss (( )) (( )) ∆ ∆ ∆∆ ∆ ∆ ∆∆ ₍₍ ₎₎ sseenn sseenn ∆ ∆ ∆∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆∆ ∆ ∆ y y x x x x x x y y y y x x x x x x x x x x x x c == cooss ++ −− ccooss⇒⇒ ⇒ ⇒ == ⇒ ⇒ = = −− + + ++ ⋅⋅ + + −− →→ 22 22 22 2222 22 22 ⋅ ⋅ _sseenn∆ ∆ x x ⋅ ⋅ _sseenn₍₍_x_x ++∆∆x x ₎₎→→

Derivadas

Matemática I Matemática I A ASSUNTOSSUNTO

7

(10)

Cancel Anytime.

(11)

Cancel Anytime. VI. VI. f f x x a a aa y y a a y y y y a a y y y y a a aa x x x x x x x x x x ( ( ) ) = = ∈ ∈ −−{ { }} = = ++ == ⇒⇒ ++ == ⋅⋅ + + + + ee ,, (( )) R R 11 ∆ ∆ ∆ ∆ ∆∆ ∆∆∆∆ ∆ ∆ ∆∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆∆ ∆ ∆ x x x x x x x x x x x x x x x x y y a a a a y y y y a a a a aa y y a a a ((a )) f f '' ⇒ ⇒ = ⋅ = ⋅ − − → → = ⋅ = ⋅ −− ⇒ ⇒ = = −− → → ee 11 (((( )) lliimm (( )) lliimm lliimm llnn ll x x a a aa x x a a aa x x a a aa x x x x x x x x x x x x x x x x = = −− == = = ⋅ ⋅ −− == ⋅⋅ → → → → →→ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ 00 00 00 11 11 og oggo:go: f f x ''(( ))x = = a a x x ⋅⋅llnnaa

4. Propriedades

I.I. f f = = uu + + v v →→ f f ’ =’ = uu’ +’ + v v ’’ Com efeito, Com efeito, f f x x u u x x v v x x f f x x u u x x x x v v x x x x u u x x v v x x ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( )) + + ++ ++ −− ++ = = ++ ⇒⇒ == = = _→_→ '' lim lim∆∆ ( ( ( ( ) ( ) ( ))) ) ( ( ( ( ) () ( ∆ ∆ ∆∆ 0 0 x x x x x x u u x x x x u u x x x x v v x x x x v v x x x x u u x x x x x x ) ) ) ) lim

lim ( ( ) ) ( ( )) limlim ( ( ) ) ( ( )) '( '( )) ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆∆ = = = = + + −− ++ + + −− == = = → → ₀₀ →→₀₀ + + + +v v x _'(_{'( ))}x generalizando: generalizando:f f f = + = f f + + f + + + f f _n_n → → f f f = = + +f f + +f f f _nn 1 1 22   ' ' ' 11' ' 22'  '' Obs.:

Obs.: f = u – v f = u – v⇒⇒ f’ = u’ – v f’ = u’ – v ’’ II.

II. f = u f = u⋅⋅ v v⇒⇒ f’= u’ f’= u’⋅⋅ v + u v + u·· v’ v’ Com

Com efeito,efeito,

f f u u x x x x v v x x x x u u x x v v x x u u x x v v x x f f x x x x ( ( ) ) ( ( ))⋅⋅ ₍_{( )}_{) (}_{( ))} + + ⋅⋅ ++ −− ⋅⋅ = = ⇒ ⇒ == = = → → '' lim lim∆∆ ( ( ( ( ) ) ( ( ))) ) ( ( ( ( ) ) (( ∆ ∆ ∆∆ 0 0 x x x x x x u u x x x x v v x x x x u u x x x x v v x x u u x x x x v v x x uu x x ) ) ) ) lim lim ( ( ) ) ( ( ) ( ) ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( )) ∆ ∆ ∆ ∆ ∆∆ ∆∆ ∆∆ ∆ ∆ = = = = ++ ⋅⋅ ++ ++ ++ ⋅⋅ −− ++ ⋅⋅ −− → →₀₀ ((( ( ) ) ( ( )) lim lim ( ( ))( ( ( ( ) ( ) ( ))) ( ) ( ))( ( ( ( ) () ( x x v v x x x x u u x x x x v v x x x x v v x x v v x x u u x x x x u u x x x x ⋅⋅ = = = = _→_→ ++ ++ −− ++ ++ −− ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆∆ ∆ ∆ ₀₀ )))) )) lliim m ( ( )) ( ( ) ( ))) ( lliim m ( ( )) ( ( ) ( ) ( )) ∆ ∆ ∆ ∆ ∆∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆∆ x x u u x x x x v v x x x x v v x x x x v v x x u u x x x x u u x x x x x x = = ++ + + −− ++ + + −− → → 0 0 →→00 _∆_∆_∆_∆_x_x == ' ' '' = = uu’(’( x x ) ·) · v v (( x x ) +) + uu(( x x ) ·) · v v ’(’( x x )) generalizando: generalizando: f f f f f f == f f _n_n ⇒⇒ f f ==f f f f f f _n_n++f f f f f f _n_n++ ++f f f f f f _nn 1 1· · · 22· · · ' ' ' ' 11 · · · 2 2· · · 11· ''· · 22·   11· · · 22· · · '' Obs.: Obs.: f f (( x x ) =) = k k ⋅⋅uu ( ( x x ))⇒⇒ f’ f’(( x x ) = 0) = 0⋅⋅v v (( x x ) +) + k k ⋅⋅v v ’(’( x x ))→→ f f ’(’( x x ) = k ) = k ⋅⋅v v ’(’( x x ),), k k ∈∈ R R III. III. f f uu v v f f u u v v uuv v v v = = ⇒ ⇒ == − − '' ' ' ₂₂ '' Com efeito, Com efeito, f f x x u u x x x x v v x x x x u u x x v v x x x x u u x x x v x v x x x x x x ''( ) ( ) lliimm ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) lim lim ( ( ) ) (( = = + + + + −− = = = = + + ⋅⋅ → → → → ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ 0 0 0 0 ))) ( ) ( ) ) ( ( )) ( ( ) ) ( ( )) − − ⋅ ⋅ ++ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ++ == u u x v x v x x x x x x v v x x v v x x x x ∆ ∆ ∆ ∆ ∆∆

5. Regra da cadeia

Se

Se y y = = f f ((uu),), uu = = g g(( x x ) e as derivadas) e as derivadas f f ’(’(uu) e) e g g’(’( x x ) existem, então a função) existem, então a função composta definida por

composta definida por y y = fog( = fog( x x ) tem derivada dada por y ) tem derivada dada por y ’ =’ = f f ’(’(uu) ·) · g g’(’( x x )) Demonstração: Demonstração: Com efeito, Com efeito, ∆ ∆ ∆∆ ∆ ∆ ∆∆ ∆∆ ∆∆ y y f f g g x x x x f f g g x x u u g g x x x x g g x x g g x x x x g g x x uu = = + + −− = = + + − − ⇒ ⇒ + + = = + + == ( ( ))

( (

))

( ( ) ) ( ( )) ( ( ( ( )))) ( ( )) (( )) uuu u uu f f uu g g x x y y uu uu x x f f x x uu x x x x + + = = = =       ( ( )) ( ( )) = = → → → → → → ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ '' '' lim lim lim lim ''( ) ( ) lliimm 0 0 0 0 0 00 0 00 0 0 00 0 0 ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆∆ y y x x y y uu uu x x y y uu uu x x x x x x x x x x = = ⋅ ⋅ == = = ⋅⋅ → → → → → → →→ lim lim lliim m lliimm

sse e eenntt tão tão ee

logo: logo: g g x x x x g g x x uu f f x x y y uu uu u u x x ( ( )) ''( ( ) ) lliim m lliimm + + → → _{( ( ))} →→ = = _→_→ ⋅⋅ _→_→ ∆ ∆ ∆∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆∆ 0 0 0 0 00 _x_x_x_x= = f f u ''( ( ) u g ) ''( )⋅⋅g x ( )x Ex.: Ex.: y y x x y y u u y y uu u u x x u u x x f f x x u u y y = = ++ = = → → == = = + + → =→ =       = = ⋅ ⋅ == ( ( )) (( )) '' '' '' '' '' 22 33 33 22 22 11 33 11 22 33 ⋅⋅⋅ ⋅ +

(

( )

x x 22+ ⋅ 11

)

22⋅ = 22x x = ⋅ 66x x x ⋅ +

( ))

(

x 22+1122 generalizando: generalizando: f f = = ff of of o o of of _n_n ⇒ ⇒ f f ==f f f _n_n f _n_n f f − − 1 1 22   ' ' ''. . ''. . 11. . '' 11 Obs.:

Obs.: Seja Seja f f uma função cuja derivada é uma função cuja derivada é f f ’ e inversa é’ e inversa é f f – – 11_{. Então,}_{. Então,} f f x x f f oo f f x x − − − − ( ( ))== 11 11 11 '' ' ' ( ( )) Ex.:

Ex.: f f x ₍₍x ₎₎₌₌ a a x x f f − − ₍₍x x ₎₎₌₌ _a_ax x _⇒_⇒f f x ₍₍x ₎₎₌₌ a a x x a a _⇒_⇒f f of of −− ₍₍x x ₎₎₌₌aa aa x x _⋅⋅

lloogg llnn

e

e 11 '' '' 11 loglog IIInIn a a

f f x x x x aa ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ −−11''( ( ))== 11 ln ln logo:

logo: y y = log = log_a_a x x ⇒⇒ y y x x aa '' ln ln == 11

6. Derivadas sucessivas

6.1 Conceito

Derivando a derivada primeira obtemos a derivada segunda

Derivando a derivada primeira obtemos a derivada segunda da função;da função; derivando a derivada segunda obtemos a derivada terceira da função e derivando a derivada segunda obtemos a derivada terceira da função e assim sucessivamente. Indica-se por:

assim sucessivamente. Indica-se por: f f ’(’( x x ),), f f ’’(’’( x x ),), f f ’’’(’’’( x x ),), f f (4)(4)_(( x_x_{), ... ,}_{), ... , f}_f(( n n))_(( x_x₎₎

Ex.:

Ex.: f f (( x x ) =) = ee22 x x

y

y ’ = 2e’ = 2e22 x x _;; y_y_{” = 4}_{” = 4ee}22 x x _;; y_y_{’’’ = 8}_{’’’ = 8ee}22 x x _{; ...;}_{; ...; y}_y(( n n))_{= 2}_{= 2} n n_ee22 x x

6.2 Regra de Leibniz

f f u v u v f f n n nn u u n n k k v v k k n n = = ⋅ ⋅ → → (( ))==

∑

 _ _ (( −− ))⋅⋅ (( )) Matemática I – Assunto 7 Matemática I – Assunto 7

(12)

Cancel Anytime.

(13)

Cancel Anytime.

Ex.:

Ex.: f f (( x x ) =) = ee ax ax _· · x_x22

uu(( x x ) =) = ee ax ax _⇒_⇒_{uu’(’( x}_x_{) = a}_{) =}_a_⋅⋅_ee ax ax _⇒_⇒_uu”(_”( x_x_{) =}_{) = a}_a22_⋅⋅_ee ax ax _⇒_⇒_uu’’’(_{’’’( x}_x_{) =}_{) = a}_a33_⋅⋅_ee ax ax _⇒_⇒

...

...⇒⇒uu(( n n) () ( x x ) =) = a a n n_⋅⋅_ee ax ax

v

v (( x x ) =) = x x 22_⇒_⇒_v_v_’(’( x_x_{) = 2 x}_{) = 2}_x_⇒_⇒_v_v_”(_”( x_x_{) = 2}_{) = 2}_⇒_⇒_v_v_’’’(_{’’’( x}_x_{) = 0}_{) = 0}_⇒_⇒_..._..._⇒_⇒_v_v(4)(4)_(( x_x_{) =}_{) =}

v

v (5)(5)_(( x_x_{) = ... =}_{) = ... = v}_v(( n n))_(( x_x_{) = 0}_{) = 0}

f

f (( n n))_(( x_x_{) ) =}_= a_a n n _⋅⋅ _ee ax ax _⋅⋅_x_x22 ₊₊ n n

11         ⋅⋅aa n n– 1– 1 _⋅⋅ _ee ax ax _⋅⋅ _22 x_x +₊ n n 22         a a n n– 2– 2 _⋅⋅ _ee ax ax _⋅⋅ _{2 =}_{2 =} a

a n n – 2 – 2_⋅⋅_ee ax ax _⋅⋅_(( a_a22_⋅⋅_x_x22_{+ 2}_{+ 2}_⋅⋅_n_n_⋅⋅_a_a_⋅⋅_x_x₊_+ n_n_⋅⋅_(( n_{n – 1))}_{– 1))}

7. Derivação de funções implícitas

Funções implícitas são aquelas que se apresentam sob a forma Funções implícitas são aquelas que se apresentam sob a forma F

F (( x x ,, y y ) = 0, onde) = 0, onde y y = = f f (( x x )) Exs.:

Exs.:

I.I. x x y y x x y y y y y y x x y y y y x x y y 3 3 33 22 22 2 2 2 2 2 2 2 2 9 9 00 33 33 00 33 3 3 + + −− == ⇒⇒ ++ == ⇒⇒ == − − ⇒ ⇒ == − − ' ' ' ' '' II. II. ( ( ) ) ( ( )) ( ( ))( ( '') ) ( ( ))( ( '') ) '' x x y y x x y y x x y y x x y y y y x x y y y y x x y y y y + + −− −− == ++ ⇒⇒ ⇒ ⇒ ++ ++ −− −− −− == ++ →→ ⇒ ⇒ 2 2 22 44 44 3 3 33 2 2 11 22 11 44 44 222 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 44 4 4 4 4 4 44 3 3 33 33 x x y y xy xy yy yy x x y y xy xy yy yy x x y y y y y

y y y x x y y

+ + ++ ++ −− ++ ++ −− == ++ ⇒ ⇒ −− == −− ' ' '' '' '' '' ''(( )) 4444 44 44 33 33 33 33 33 x

x y y y y x x y y x x

y

y x x y y x x y y ⇒ ⇒ == − − − − ⇒ ⇒ == − − − − '' ( ( )) ( ( )) ''

8. Taxas relacionadas

Sejam

Sejam x x = = f f ((t t ) e) e y y = g = g((t t ) duas funções diferenciáveis e) duas funções diferenciáveis e F F (( x x ,, y y ) = 0) = 0 uma função

uma função y y = = f f (( x x ) na forma implícita. As derivadas) na forma implícita. As derivadas dx dx / / dt dt e e dy dy / / dt dt nesta nesta função implícita chamam-se taxas relacionadas da função.

função implícita chamam-se taxas relacionadas da função. Ex.:

Ex.: Uma escada de 5 m de comprimento está apoiada em uma parede Uma escada de 5 m de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Se a base da escada é arrastada horizontalmente da parede a vertical. Se a base da escada é arrastada horizontalmente da parede a 3 m/s, a que velocidade desliza a parte superior da escada ao longo da 3 m/s, a que velocidade desliza a parte superior da escada ao longo da parede, quando a base encontra-se a 3 m da parede ?

parede, quando a base encontra-se a 3 m da parede ? x x y y x x dx dx dt dt y y dy dy dt dt dy dy dt dt x x dx dx dt dt y y x x y y dx dx dt dt 2 2 22 ₂₅₂₅ 2 2 2 2 00 2 2 2 2 3 3 4 4 3 3 2 2 2255 + + == + + == ⇒⇒ == − − = = − − = = − − ⋅ = ⋅ = −− , , mmm/sm/s

10. Funções crescentes e

decrescentes

Se

Se f f (( x x ) é uma função contínua no intervalo [) é uma função contínua no intervalo [ a a,, b b] e derivável no] e derivável no intervalo

intervalo (a, b) (a, b) tem-se:tem-se:

I.I. f f ’(’( x x ) > 0,) > 0,∀∀ x x ∈∈ ( ( a a,, b b))→→ f f é crescente em [ é crescente em [ a a,, b b]] II.

II. f f ’(’( x x ) < 0,) < 0,∀∀ x x ∈∈ ( ( a a,, b b))→→ f f é decrescente em [ é decrescente em [ a a,, b b]]

11. Máximos e mínimos

11.1 Conceito

Seja uma função

Seja uma função f f derivável no intervalo ( derivável no intervalo ( a a,, b b) e seja) e seja x x ₀₀ um ponto desse um ponto desse intervalo. Dizemos que

intervalo. Dizemos que f f apresenta um máximo relativo ou local no apresenta um máximo relativo ou local no pontoponto x

x ₀₀, se, se∀∀ x x ∈∈V V (( x x ₀₀),), f f (( x x ))≤≤ f f (( x x ₀₀); analogamente, dizemos que); analogamente, dizemos que f f (( x x ) apresenta) apresenta um mínimo relativo ou local em um ponto

um mínimo relativo ou local em um ponto x x ₀₀ se se∀∀ x x ∈∈V V (( x x ₀₀),), f f (( x x ))≥≥ f f (( x x ₀₀)) Obs.:

Obs.: Para determinarmos os extremos de uma função, devemos pesquisar Para determinarmos os extremos de uma função, devemos pesquisar

os valores de

os valores de x x em que a derivada primeira se anula e os pontos onde em que a derivada primeira se anula e os pontos onde a derivada primeira não existe. Esses pontos críticos da função são os a derivada primeira não existe. Esses pontos críticos da função são os possíveis extremantes da função.

possíveis extremantes da função.

11.2 Teste da segunda derivada

Seja

Seja x x ₀₀ um ponto crítico de uma função um ponto crítico de uma função f f (( x x ) no qual) no qual f f ’(’( x x ) = 0 e) = 0 e f f ’(’( x x )) existe em uma vizinhança de

existe em uma vizinhança de x x ₀₀. Se. Se f f ”(”( x x ) existe, então:) existe, então: I.I. f f ”(”( x x ₀₀) < 0) < 0→→ x x ₀₀ ponto de máximo ponto de máximo

II.

II. f f ”(”( x x ₀₀) > 0) > 0→→ x x ₀₀ ponto de mínimo ponto de mínimo

12. Concavidade

Seja

Seja y y == f f (( x x ) a equação de ) a equação de uma curva, ouma curva, onde nde f(f( x x ) ) é é uma uma funçãofunção contínua, com derivadas contínuas:

contínua, com derivadas contínuas:

I.I. f f ”(”( x x ) > 0) > 0→→ a curva tem a concavidade voltada para cima (função a curva tem a concavidade voltada para cima (função convexa)

convexa) II.

II. f f ”(”( x x ) < 0) < 0→→ a curva tem a concavidade voltada para baixo (função a curva tem a concavidade voltada para baixo (função côncava)

côncava) Obs.:

Obs.: O ponto onde a c O ponto onde a curva muda de concavidade é chamado de ponto urva muda de concavidade é chamado de ponto dede

inflexão da curva. Nesse ponto, a

inflexão da curva. Nesse ponto, a derivada segunda se anula.derivada segunda se anula.

Derivadas Derivadas

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Cancel Anytime.