MODELAGEM MATEMÁTICA E A EDUCAÇÃO BÁSICA: UM
PASSEIO PELAS DIFERENTES SÉRIES
Rodolfo Eduardo Vertuan1 Universidade Estadual de Londrina – UEL
rodolfovertuan@uel.br Lourdes Maria Werle de Almeida2 Universidade Estadual de Londrina - UEL
lourdes@uel.br
Resumo
Este trabalho – proposto em forma de mini-curso – tem por objetivo discutir a inserção da Modelagem Matemática na Educação Básica por meio de atividades teóricas e práticas. Pretende-se refletir sobre possíveis encaminhamentos que os alunos podem dar a uma atividade de Modelagem frente aos interesses que têm e aos conhecimentos matemáticos que possuem, os quais dependem, em parte, dos conteúdos que são abordados nas diferentes séries da Educação Básica. Por isso, neste texto, apresenta-se uma atividade sobre o consumo mundial de cigarros – tema polêmico e necessário de ser discutido nas salas de aula, por meio, inclusive, do ferramental matemático. Pretende-se, ainda, levar os participantes do mini-curso a relacionarem os conteúdos matemáticos utilizados nos encaminhamentos dados de acordo com as séries, com as representações que podem ser utilizadas e as ligações que podem ser estabelecidas entre estas representações.
Palavras-chave: Modelagem Matemática; Educação Matemática; Educação Básica.
Introdução
Entendemos que a atividade de Modelagem Matemática consiste em partir de um fato real, preferencialmente do cotidiano dos alunos, e criar, por meio da coleta, análise e organização dos dados coletados, uma expressão em linguagem matemática que possa servir de parâmetro para descrição e compreensão da realidade. Neste sentido, o modelo matemático construído é, na verdade, uma representação da realidade sob a ótica daqueles que investigam a situação.
1 Aluno de doutorado do programa de Pós Graduação em Ensino de Ciências e Educação Matemática da Universidade Estadual de Londrina – UEL.
2 Professora do programa de Pós Graduação em Ensino de Ciências e Educação Matemática da UEL e orientadora do outro autor deste texto.
Isso implica no fato de que diferentes grupos de alunos podem construir representações distintas de uma mesma realidade, ou seja, de uma mesma situação. Logo, se estudada em diferentes séries do Ensino Básico, uma mesma situação pode tomar encaminhamentos distintos. É intenção discutir com os participantes os possíveis encaminhamentos que os alunos podem dar a uma atividade de Modelagem – com um mesmo tema e/ou uma mesma problemática – frente aos interesses que têm e aos conhecimentos matemáticos que possuem. Pretende-se, também, levar os participantes a relacionarem os conteúdos matemáticos utilizados nos possíveis encaminhamentos, bem como as várias representações que podem ser utilizadas e as ligações que podem ser estabelecidas entre estas representações.
O mini-curso propõe-se, então, de modo geral, a apresentar e discutir atividades de Modelagem1 que contemplam conteúdos abordados nas diferentes séries da
Educação Básica e relacionar tais conteúdos. Neste sentido, apresentamos, inicialmente, algumas considerações sobre a Modelagem Matemática e sobre possibilidades de sua implementação no currículo escolar. Em seguida, desenvolvemos uma atividade relacionada ao consumo de cigarros por habitante no mundo, em um ano. Nesta atividade, idéias relacionadas à “função exponencial” são exploradas tomando como referência o ensino fundamental de 5ª a 8ª séries e o Ensino Médio. No mini-curso, “lixo jogado nas ruas da cidade” e “lei seca” também são assuntos discutidos.
1. Modelagem Matemática na perspectiva da Educação Matemática
No âmbito da Educação Matemática a Modelagem Matemática surge como uma alternativa pedagógica para o ensino e a aprendizagem da Matemática que possibilita a construção de conhecimentos pelos alunos, via a reflexão de situações do cotidiano do interesse dos alunos e via a análise dos conceitos matemáticos e das representações utilizados para a reflexão desta situação. Trata-se, de modo geral, da “[...] arte de transformar problemas da realidade em problemas matemáticos” (BASSANEZI, 2002, p.24).
Ao discutir situações da realidade e verificar a aplicabilidade da matemática em diferentes contextos, os alunos podem entender melhor a realidade que os cerca, procurando meios para agir sobre ela e transformá-la. Para Almeida e Dias (2004) a Modelagem pode
Proporcionar aos alunos oportunidades de identificar e estudar situações-problema de sua realidade, despertando maior interesse e desenvolvendo um conhecimento mais crítico e reflexivo em relação aos conteúdos matemáticos.
(ALMEIDA e DIAS, 2004, p. 25)
Barbosa (2003), ao abordar este conhecimento mais crítico e reflexivo, defende a idéia de que “devemos reconhecer a necessidade de as pessoas se sentirem capazes de intervir em debates baseados em matemática” (Barbosa, 2003, p.6). São muitas as ocasiões em que a Matemática é utilizada como forma de inibir a participação das pessoas nas discussões e inibir os questionamentos e dúvidas. Tornar estas pessoas mais aptas e confiantes frente a tais situações implica, enquanto professores, em se pensar a sala de aula como um espaço de “aula oficina”, na qual os alunos tenham a possibilidade de exercer cidadania ao refletir e questionar assuntos do seu cotidiano.
A sala de aula deve tornar-se, então, um “laboratório de cidadania” e a Modelagem Matemática é uma alternativa para isso (SILVA, 2005).
Neste contexto, a Modelagem Matemática pode contribuir para o que Bassanezi (2002) chama de um “novo modelo de educação menos alienado e mais comprometido com as realidades dos indivíduos e sociedades” (BASSANEZI, 2002, p.15).
No entanto, são muitas as ferramentas por meio das quais podemos procurar compreender e interpretar as situações cotidianas que circundam nossa sala de aula, tais como a Filosofia, a Biologia e, no caso específico deste texto, a Matemática. Utilizar lentes críticas e matemáticas para olhar para diferentes situações implica, na perspectiva da Educação Matemática, em se ensinar e aprender Matemática. Logo, a Matemática não pode ser tomada apenas como instrumento de análise das situações, mas como objeto de estudo em si mesmo e, neste sentido, aprender Matemática, relacionar os diferentes conceitos e as ligações entre estes conceitos, assim como suas representações, são atribuições ligadas à atividade de Modelagem Matemática. Compreender e agir sobre a realidade viabiliza ao aluno a possibilidade de atribuir sentido e construir significados para os conceitos matemáticos com que se defronta nas aulas de matemática (ALMEIDA e BRITO, 2005).
Neste mini-curso, estamos interessados em ilustrar como a Modelagem Matemática possibilita a integração entre conteúdos curriculares das diferentes séries da Educação Básica e entre as representações utilizadas para estes conteúdos. Além disso, pretendemos discutir como um mesmo tema e/ou uma mesma problemática podem
originar atividades de Modelagem distintas frente às séries que são desenvolvidas, aos interesses dos alunos destas séries e aos conceitos matemáticos pertinentes às séries em questão.
2. A Modelagem Matemática na sala de aula
Os Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática apontam aspectos da investigação e compreensão em Matemática que devem ser contempladas no ensino:
“identificar o problema; procurar, selecionar e interpretar informações relativas ao problema; formular hipóteses e prever resultados; selecionar estratégias de resolução de problemas; fazer e validar conjecturas, experimentando, recorrendo a modelos, esboços, fatos conhecidos, relações e propriedades”.
(BRASIL, 1999, p. 259)
Tais aspectos são comuns à atividade de Modelagem Matemática, a qual, segundo as Orientações Curriculares para o Ensino Médio, leva o aluno a mobilizar uma variedade de procedimentos, tais como:
“selecionar variáveis que serão relevantes para o modelo a construir; problematizar, ou seja, formular o problema teórico na linguagem do campo matemático envolvido; formular hipóteses explicativas do fenômeno em causa; recorrer ao conhecimento matemático acumulado para a resolução do problema formulado, o que, muitas vezes, requer um trabalho de simplificação quando o modelo originalmente pensado e matematicamente muito complexo; validar, isto é, confrontar as conclusões teóricas com os dados empiricos existentes; e eventualmente ainda, quando surge a necessidade, modificar o modelo para que esse melhor corresponda a situação real”.
(BRASIL, 2006, p. 85).
Diversas experiências de Modelagem Matemática têm sido realizadas em salas de aula (BARBOSA, 1999; BORBA e BIZZELI, 1999; FRANCHI, 1993; MALHEIROS, 2005; ALMEIDA e DIAS, 2004; BRITO e ALMEIDA, 2005; BORSSOI e ALMEIDA, 2005; KEHLE e CUNNINGHAM, 2002; KEHLE e LESTER, 2003), entre muitos outros e o modo como são conduzidas estas experiências reflete, muitas vezes, a necessidade de adequação ao contexto escolar.
As atividades de Modelagem podem ser integradas às aulas de Matemática sob a forma de projetos extensos (com duração de semanas ou meses) e/ou de situações que podem requerer uma ou duas aulas, apenas. De qualquer modo, a Modelagem pode
servir como motivação para introduzir novos conceitos e/ou aplicar conceitos já adquiridos.
De modo geral, os alunos estão acostumados com ambientes de aprendizagem que constituem aulas discursivas e expositivas, nas quais existe pouca interação entre professor e aluno e entre alunos, bem como pouca discussão acerca de situações e de problemas que poderiam ser relacionados com a Matemática.
Levando em consideração esta situação, é adequado que o envolvimento dos alunos com a Modelagem Matemática seja um processo gradativo, aumentando no decorrer das atividades. Desse modo, os estudantes se acostumam, aos poucos, com o ambiente de Modelagem na sala de aula. Assim,
[...] na medida em que o aluno vai realizando as atividades nos diferentes momentos [...]a sua compreensão acerca do processo de Modelagem, da resolução dos problemas em estudo e da reflexão sobre as soluções encontradas vai se consolidando.
(ALMEIDA e DIAS, 2004, p. 26)
Neste sentido, alguns autores sugerem que as atividades de ensino por meio da Modelagem podem atravessar três momentos ou casos (ALMEIDA e DIAS, 2004; BARBOSA, 2003).
Em um primeiro momento o professor desenvolve com os alunos um trabalho de Modelagem já estruturado. Para isso, apresenta a descrição da situação-problema e o problema formulado, bem como os dados qualitativos e quantitativos necessários para a resolução do mesmo. Neste caso, cabe aos alunos a resolução do problema, sendo o professor um orientador do trabalho de resolução.
Não se trata de apresentar aos alunos um trabalho de Modelagem pronto, mas de construir com os mesmos tanto as idéias necessárias para a resolução do problema quanto o modelo em si, atentando para todas as etapas de uma atividade de Modelagem Matemática. Como a atenção do aluno também deve estar voltada para as etapas presentes no desenvolvimento de uma Modelagem, é preferível, neste primeiro momento, a escolha por trabalhos não muito complexos (BORSSOI, 2004).
No segundo momento, o professor traz para a sala de aula uma situação-problema já estruturada (no contexto não matemático), além de um conjunto de informações sobre ela. Neste caso, cabe aos alunos, em grupo, a seleção das variáveis consideradas essenciais para a resolução do problema, a formulação de hipóteses, a
dedução do modelo, sua validação e a interpretação das respostas encontradas diante da situação inicial.
Finalmente, também distribuídos em grupos, os alunos são incentivados a desenvolverem uma atividade de Modelagem Matemática desde a escolha do problema até a obtenção de uma resposta para o problema.
Em todos estes momentos, o professor é concebido como “colaborador” e “participante” do processo de investigação dos alunos, uma vez que seu papel é dialogar com eles acerca de seus procedimentos e orientá-los quando preciso. Malheiros (2005) considera que nas atividades de Modelagem Matemática, o professor atua como um “mediador” do processo de aprendizagem.
3. A abordagem de uma atividade de Modelagem Matemática nas diferentes séries
Tema presente nas rodas de amigos, nas conversas em família e, felizmente, nas salas de aula (não com tanta incidência quanto merecia), “drogas” tem se constituído um tema muito comum frente aos malefícios que provoca à saúde e ao uso crescente e precoce por jovens e até crianças.
Dentre os tipos de drogas existentes, as mais usadas, inclusive dentre os alunos, talvez por serem legalizadas, são o álcool e os cigarros de nicotina.
Por terem sua produção e venda liberadas pelo governo, as bebidas alcoólicas e o cigarro acabam sendo mais tolerados na maioria dos ambientes. Assim, fica muito mais fácil para os estudantes ter acesso a esses produtos, que são igualmente nocivos: fazem a pessoa perder a concentração e mudar o comportamento, desconcentrar-se e, em conseqüência, atrapalhar a aula.
(DIDONÊ e MUTTINI, 2007, p.38)
No gráfico abaixo é possível observar quais as drogas mais consumidas entre os jovens. As informações utilizadas na construção do gráfico são resultado de uma pesquisa feita com 48 mil alunos da rede pública, da 5ª série ao Ensino Médio, realizada pelo Centro Brasileiro de Informações sobre Drogas Psicotrópicas (Cebrid/Unifesp).
Figura 1 – As drogas mais consumidas Fonte: Revista Nova Escola, setembro de 2007, p.34
É preocupante que, mesmo diante de recomendações e de informações sobre os malefícios do uso de drogas, muitos jovens ainda se aventuram em experimentá-las, seja para fazer parte de um grupo ou simplesmente para satisfazer uma curiosidade.
A mais recente pesquisa do Centro Brasileiro de Informações sobre Drogas Psicotrópicas, realizada com 48 mil estudantes de colégios públicos, comprova: dois em cada 3 jovens já beberam aos 12 anos de idade – e um em cada quatro já experimentou cigarros. No entanto, boa parte da comunidade escolar ainda reluta em admitir que isso é parte da realidade.
(DIDONÊ e MUTTINI, 2007, p.34)
Dentre as doenças causadas pelo uso de cigarros estão o câncer e outras doenças cardiovasculares. O desenvolvimento destas doenças depende, em parte, da quantidade que a pessoa fuma e da idade em que começa a fumar. Segundo matéria da revista Veja – Edição Especial “Sua Saúde”,
Quanto mais cigarros uma pessoa queima, maior a probabilidade de ela desenvolver o mal [câncer]. Mas é um equívoco pensar que fumar pouco é um seguro-saúde. As estatísticas mostram que o consumo de uma a nove unidades por dia aumenta o risco de morte por câncer de pulmão em quatro vezes em relação ao não-fumante. As pesquisas apontam ainda que, quanto mais cedo se começa a tragar, pior. A ação danosa do cigarro sobre o organismo é prolongada. São necessários quinze anos para que um ex-fumante volte ao patamar de risco de doenças cardiovasculares de um não-fumante.
(VEJA, n.12, ano 34)
A começar pelas propagandas, pode parecer atrativo o uso de cigarros e álcool. Por isso, levar nossos alunos a refletirem sobre os malefícios dos cigarros e do álcool
pode contribuir para que os mesmos saibam tomar suas escolhas baseados nas reflexões que realizam sobre estes assuntos. Acreditamos que a Matemática pode ser um caminho por meio do qual os alunos passem a olhar com olhos críticos o uso de cigarros e álcool.
Neste sentido, apresentaremos possíveis maneiras de se trabalhar com a Modelagem Matemática diante de um destes assuntos, no caso, “cigarros”. Mais especificamente, trataremos da quantidade média de cigarros anuais consumidos por habitante no mundo. Para isso, tomamos como referência um gráfico da revista Super Interessante de agosto de 2009 sobre a quantidade de cigarros consumidos anualmente por habitante no mundo.
Figura 2 – Cigarros anuais por habitante no mundo Fonte: Revista Super Interessante, agosto de 2009, p.35
É possível observar na figura anterior que desde a década de 90 o consumo de cigarros anuais por habitante no mundo, tem diminuído. Considerando que isso seja uma tendência para as próximas décadas, tem-se a problemática:
Frente à tendência do consumo de cigarros nas últimas décadas, qual a tendência de consumo para as décadas que seguem? A quantidade de cigarros anuais consumidos por habitante no mundo tende a um número específico?
Como hipótese é possível considerar intervalos iguais de 10 anos. Neste caso, em vez de 2007, consideramos a aproximação para 2010, ficando com:
Ano tempo (t) Cigarros anuais por habitante no mundo
1990 0 1062
2000 1 916
2010 2 844
Como um dos objetivos do ensino fundamental de 5ª a 8ª séries é levar os alunos a buscar regularidades, os mesmos podem investigar a diminuição de consumo de uma década para outra, encontrando os valores 146 e 72.
Ano tempo (t) Cigarros anuais por habitante no mundo
Diferença entre o consumo de cigarros de um ano e do ano seguinte
1990 0 1062 ---
2000 1 916 146
2010 2 844 72
Como um destes valores é aproximadamente a metade do outro (72 e 146), os alunos podem supor que a diminuição no consumo anual de cigarro por habitante no mundo diminui a metade do que diminuiu na década imediatamente anterior. Neste caso, podem construir a seguinte tabela:
tempo (t)
Cigarros anuais por habitante no mundo
Diferença entre o consumo de cigarros de um ano e do ano seguinte
0 1062 --- 1 916 146 2 844 72 3 808 36 4 790 18 5 781 9 6 776,5 4,5 7 774,25 2,25 8 773,125 1,125 9 772,5625 0,5625 10 772,28125 0,28125
Da análise da tabela construída, os alunos podem escrever a seguinte relação, em língua natural:
A quantidade de cigarros anuais consumidos por habitante no mundo, de acordo com uma determinada década, pode ser encontrado tomando a década de 1990 como tempo inicial zero e considerando que a, aproximadamente, cada 10 anos, diminui 146 cigarros, 72 cigarros e assim por diante, ou seja, diminui sempre a metade que diminuiu na década anterior.
Outro modo de escrever o mesmo raciocínio, em se tratando de alunos de 7ª e 8ª séries – turmas nas quais o uso de símbolos para representar variáveis é mais comum – pode ser: 3 3 4 2 2 3 1 2 0 1 0 2 146 2 146 2 146 1 146 − = − = − = − = a a a a a a a a a
Em se tratando do Ensino Médio esta idéia pode ser generalizada utilizando as equações de recorrência já indicadas acima. Desse modo, obtemos:
− = + − = − − = − = − = + − = − − = − = − = + − = − − = − = − = − = 3 0 3 2 0 3 2 0 3 3 4 2 0 2 0 2 0 2 2 3 0 0 0 1 2 0 0 0 1 0 2 15 . 146 2 1 2 7 . 146 2 146 2 7 . 146 2 146 2 7 . 146 2 1 2 3 . 146 2 146 2 3 . 146 2 146 2 3 . 146 2 1 1 . 146 2 146 1 146 2 146 2 1 . 146 1 146 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
Para encontrar uma expressão que represente a situação para uma década t, é necessário pensar sobre os valores que variam em cada uma das linhas acima. Além das
potências de 2 nos denominadores das frações, temos nos numeradores os números 1, 3, 7, 15 e assim por diante, os quais são antecessores de 2, 4, 8 e 16, respectivamente. Disso, segue-se que:
− − = − = − = − = − = −1 0 3 0 4 2 0 3 0 2 0 0 1 0 2 1 2 . 146 2 15 . 146 2 7 . 146 2 3 . 146 2 1 . 146 t t t a a a a a a a a a a a M
Como conhecemos a0, substituímos este termo por 1062 na expressão acima,
obtendo: − − = −1 2 1 2 . 146 1062 ) ( t t t f
Cuja representação gráfica é
Em se tratando do Ensino Superior, por exemplo, podemos, ainda, a partir do resultado encontrado, investigar qual a tendência dos dados para um tempo t infinitamente grande. Para isso, calculamos o lim f(t)
t→∞ . 770 2 . 146 1062 2 1 lim . 146 1062 2 2 1 1 2 2 lim . 146 1062 2 2 1 1 2 2 lim . 146 1062 2 1 2 lim . 146 1062 lim 2 1 2 . 146 1062 lim ) ( lim 1 1 1 1 1 = − = − = − − = − − = − − = − − = − ∞ → − ∞ → − ∞ → − ∞ → ∞ → − ∞ → ∞ → t t t t t t t t t t t t t t t t t t f t
Logo, se a diminuição da quantidade de cigarros consumidos anualmente por cada habitante no mundo seguir a tendência estabelecida pela hipótese inicial, a quantidade para a qual tende os dados para uma quantidade de décadas infinitamente grande será de 770 cigarros ao ano. Valor este que poderia ser encontrado, ao menos intuitivamente, a partir do quadro construído inicialmente, até mesmo pelos alunos do Ensino Fundamental de 5ª a 8ª séries, os quais não conhecem o conteúdo matemático “limite” formalmente.
4. Possíveis relações
Um dos objetivos do mini-curso é levar os participantes a relacionar os conteúdos matemáticos utilizados nos possíveis encaminhamentos, bem como as várias representações que podem ser utilizadas e as ligações que podem ser estabelecidas entre estas representações.
Na situação do consumo de cigarros descrita no item 3, são atividades próprias da atividade de Modelagem tanto o estabelecimento de hipóteses, quanto a definição do
problema e das variáveis necessárias para se resolver este problema. Tomando como premissa que as hipóteses consideradas pelos alunos de diferentes séries sejam as mesmas, o problema pode ser abordado considerando diferentes formas de generalização e obtenção de respostas.
A primeira generalização, presente na abordagem pensada para turmas de 5ª a 8ª séries, está na representação “língua natural” – a quantidade de cigarros anuais consumidos por habitante no mundo, de acordo com uma determinada década, pode ser encontrado tomando a década de 1990 como tempo inicial zero e considerando que a, aproximadamente, cada 10 anos, diminui 146 cigarros, 72 cigarros e assim por diante, ou seja, diminui sempre a metade que diminuiu na década anterior – e na representação aritmética, uma vez que é por meio de cálculos para diferentes décadas que os alunos podem chegar à conclusão expressa em língua natural.
Para alunos de 7ª e 8ª séries, apresentamos o modelo representado por várias equações (para tempos específicos). Esta representação pode ser entendida como tradução da análise conjunta do texto em língua natural e dos cálculos (aritmética), tal como no esquema a seguir:
Figura 3 – Raciocínio empregado na obtenção das equações
Faltou, no entanto, escrever uma expressão matemática considerando um tempo t geral. Este tipo de atividade pode ser realizado por alunos do Ensino Médio, os quais passam, possivelmente, também, pelas etapas pensadas para outras séries da Educação Básica. Nesse caso, é possível encontrar como modelos para a situação, o gráfico e a expressão − − = −1 2 1 2 . 146 1062 ) ( t t t f
Em se tratando do Ensino Superior é possível, ainda, fazer uso do conceito de “limite” para encontrar o valor específico para o qual tende o número de cigarros anuais
consumidos por habitante no mundo. Já em turmas da Educação Básica, tal valor – 770 – pode ser estimado por meio da análise do gráfico da função ou, ainda, por meio da reflexão sobre os cálculos realizados para até a décima década.
São diferentes representações que se complementam na medida em que são utilizadas e, como conseqüentemente, possibilitam a compreensão dos conceitos matemáticos, estes, por sua vez, utilizados tanto como ferramentas para a interpretação do consumo mundial de cigarros, quanto como objetos em si.
A atividade sobre o consumo de cigarros poderia ser classificada como o segundo momento da Modelagem Matemática apresentado no item 2. Embora as informações possam ser levadas pelo professor à sala, o problema, o levantamento de hipóteses, a seleção de variáveis e a resolução do problema como um todo, é atribuição dos alunos, sendo o professor um importante mediador.
Para ilustrar outras possibilidades de implementação da Modelagem no ensino regular, nas diferentes séries e de acordo com os diferentes momentos da Modelagem Matemática, discutiremos no mini-curso, ainda, os temas “lixo jogado nas ruas da cidade” e “lei seca”.
Considerações Finais
Acreditamos que as atividades de Modelagem Matemática levam os alunos a verem a Matemática como uma ferramenta para analisar, investigar e interpretar a realidade. Ao desenvolverem uma atividade deste tipo, utilizam vários conceitos matemáticos em problemas reais e se obrigam, inclusive, a conhecerem melhor outras áreas do conhecimento. Logo, a Modelagem não só é uma alternativa para o ensino e a aprendizagem de conteúdos matemáticos, como também é uma alternativa para a formação critica dos alunos, os quais vivem numa sociedade em constante mudança.
Os modelos matemáticos encontrados para a situação do consumo mundial de cigarros, em suas diferentes representações (língua natural, aritmética, tabular, algébrica, gráfica), tratam de uma mesma situação, de uma mesma problemática e utilizam as mesmas informações e hipóteses. No entanto, a abordagem pensada para cada uma das séries é distinta e busca possibilitar aos alunos atividades de investigação, tanto matemáticas quanto extra-matemáticas.
Este mini-curso espera, então, discutir alternativas de trabalho com conteúdos matemáticos pertinentes a diferentes séries, tomando como ponto de partida temas gerais, tais como o consumo mundial de cigarros discutido neste texto.
Criar espaços de discussão sobre as potencialidades da Modelagem Matemática nas diferentes séries, seja abordando diferentes assuntos ou não, é uma das atribuições deste mini-curso. Faz-se importante, a nosso ver, colaborar com a formação de pessoas capazes de intervir conscientemente na sociedade em que vivem. Isso é potencializado quando os professores, em suas aulas, buscam aproximar a matemática cultural da matemática escolar – atividade freqüente quando se utiliza como alternativa pedagógica a Modelagem Matemática.
Referências Bibliográficas
ALMEIDA, Lourdes M. W e BRITO, Dirceu; O conceito de função em situações de Modelagem Matemática. Zetetiké, Campinas, v.12, n.23, jan/jun, 2005.
ALMEIDA, Lourdes M. W.; DIAS, Michele R. Um estudo sobre o uso da Modelagem Matemática como estratégia de ensino e aprendizagem. Bolema, ano 17, n. 22, p. 19 – 35, 2004.
BARBOSA, Jonei C. Uma perspectiva de Modelagem Matemática. In: III CONFERÊNCIA NACIONAL SOBRE MODELAGEM MATEMÁTICA, 2003. Piracicaba. Anais eletrônicos do III CNMEM. Piracicaba, 2003, 1 CD.
_________________ O que pensam os professores sobre a modelagem matemática?
Zetetiké, Campinas, v.7, n.11, jan/jun. 1999.
BASSANEZI, Rodney Carlos. Ensino – aprendizagem com Modelagem Matemática. Editora Contexto. São Paulo, 2002. 389 p.
BORBA, Marcelo C. BIZELLI, Maria H. S. S. O conhecimento matemático e o uso de softwares gráficos. Educação Matemática em revista, Rio Claro, Ano 6, n.7, p.45-54. jul. 1999.
BORSSOI, Adriana H. A Aprendizagem Significativa em Atividades de Modelagem
Matemática como Estratégia de Ensino. 2004. Dissertação (Mestrado em Ensino de
Ciências e Educação Matemática), Universidade Estadual de Londrina, Londrina. BORSSOI, Adriana H. e ALMEIDA, Lourdes M. W. Modelagem Matemática e aprendizagem significativa: uma proposta para o estudo de equações diferenciais ordinárias. Educação Matemática Pesquisa, São Paulo, v.6, nº 2, jan/jun, 2005.
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Basica. Orientações
Curriculares para o ensino médio – Volume 2: Ciências da Natureza, Matemática e
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Média e Tecnológica.
Parâmetros curriculares nacionais: ensino médio – Ciências da Natureza, Matemática e
suas tecnologias. Brasília, 1999.
Dá pra vencer: o maior culpado é o cigarro. Veja Especial – Sua Saúde, São Paulo - SP, n.12, ano 34.
DIDONÊ, Débora; MUTTINI, Rúbia. Drogas: Só a escola não quer ver. Nova Escola, São Paulo – SP, setembro de 2007, n.205, ano XXII.
FRANCHI, Regina H.O.L. Modelagem Matemática como estratégia de aprendizagem
do Cálculo Diferencial e Integral nos Cursos de Engenharia, 1993. Dissertação
(Mestrado). Instituto de Geociências e Ciências Exatas. UNESP, Rio Claro.
KEHLE, Paul; CUNNINGHAM, Donald J. Semiotics and mathematical modeling.
International Journal of Applied Semiotics, n.3, p.113-129, 2002.
KEHLE, Paul; LESTER, Frank K, Jr. A semiotic look at modeling behavior. In: Lesh, D. & Doerr, H., Beyond constructivism: Models and Modeling Perspectives on Mathematics Problem Solving, Learning, and Teaching. Hillsdale, N.J.: Erlbaum, 2003, p.97-122.
MALHEIROS, Ana P. Produção matemática dos alunos em um ambiente de
modelagem. 2005. Dissertação (Mestrado). Instituto de Geociências e Ciências
Exatas. Unesp, Rio Claro.
SILVA, André G. Modelagem Matemática: uma perspectiva voltada para a educação matemática crítica. 2005. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências e Educação Matemática) – Universidade Estadual de Londrina, Londrina.
VERSIGNASSI, Alexandre. Até a última ponta. Super Interessante, São Paulo – SP, edição 268, agosto de 2009.
_________________________________________________
Agradecemos à CAPES pelo apoio financeiro para a realização da pesquisa que, em parte, originou a proposta de mini-curso.
Agradecemos também ao Grupo de Pesquisas sobre Modelagem Matemática e Educação Matemática – GRUPEMMAT – do programa de pós graduação em Ensino de Ciências e Educação Matemática da Universidade Estadual de Londrina - UEL.
