FGV/EPGE Escola Brasileira de Economia e Finanças Macroeconomia I
Professor: Rubens Penha Cysne Lista de Exercícios 1
Funções de Produção, Modelo de Solow e Modelo AK
Obs. Utilizam-se aque as de…nições apresentadas no livro texto Modern Economic Theory, de D. Acemoglu.
1- Acemoglu (p. 33) escreve que a função de produção F(K,L,A) satisfaz FK(K; L; A) > 0; FKK(K; L; A) < 0 (1)
FL(K:L:A) > 0; FLL(K; L; A) < 0; (2)
é homogênea de grau 1 em K e L: para qualquer A e para a não negativo: F (aK; aL; A) = aF (K; L; A) (3) e satisfaz às condições de Inada:
lim
K!0FK = L!0lim FL=1 (4)
lim
K!1FK = L!1lim FL = 0 (5)
Depois escreve, ainda como parte de sua "Assumption 2", na página 33: "Moreover, F (0; L; A) = 0 for all L and A".
Errata: Prove que esta hipótese adicional feita por Acemoglu na verdade pode ser deduzida das condições de Inada e da homogeneidade e grau 1 de F.
Sugestão: Calcule o limite de Y/K (ou Y/L) quando K (ou L) tende a in…nito. Em seguida, use a homogeneidade de grau 1 de F.
2 - Com respeito à função de produação CES de…nida para K > 0 e : Y = [aK 1 + (1 a)L
1
] 1; 0 < a < 1
a) Mostre que a elasticidade de substituição é constante e igual a : b) (Errata, Acemoglu página 55, primeiro parágrafo): Mostre que valem (1), (2) e (3).
c) Mostre que a CES se torna linear quando ! 1; Cobb Douglas quando ! 1 e Leontief (proporções …xas) quando ! 0:
Sugestão. O primeiro caso é imediato. No segundo caso, tome o limite do log de Y e use L’Hôpital. No último caso, considere inicialmente K > L e calcule o limite de F (K; L)=L. Depois suponha K < L e calcule o limite de F (K; L)=K.
d) Mostre que as condições de Inada (4) e (5) apenas valem quando ! 1 (caso Cobb-Douglas).
Sugestão: Trabalhe com FK ou FL; mas separadamente, com > 1 e
< 1: Pode-se a…rmar que limK!1FK > 0 no caso > 1?
3- (Errata página 45). Considere a Demonstração estabilidade global do item 2 do Corolário 2.1 em Acemoglu. A sequência fxtg1t=1é necessariamente
crescente? Você poderia dar um contra-exemplo a este fato com jg0(x)j < 1
para todo x? Como voce reescreveria a Demonstração?
4- (Homogeneidade e Teorema de Euler). Para uma função f (x; y; z) com x e y em R e z em Rk; de…na homogeneidade de grau m. Enuncie e prove o
teorema de Euler sobre funções homogêneas de grau m. Prove também que se f (x; y; z) é homogênea de grau m em x e y então fx e fy são homogêneas
de grau m-1 nestas variáveis.
5 - (Modelo AK): Considere o modelo de Solow com crescimento demográ-…co à taxa n, mas sem progresso técnico (A constante). Relaxe as hipóteses 1 e 2 fazendo F = AK. Mostre que neste caso pode haver crescimento sus-tentado de k (de…nido como K=L) e y (de…nido como Y/L) (com ambos crescendo à taxa sA n + ), sem progresso tecnológico, bastando para isto que os parâmetros do modelo sejam tais que sA > n + : Este modelo é compatível com os fatos empíricos?
6- Considere o modelo de Solow com uma função de produção CES, logo sem necessariamente valerem as condições de Inada.
a) Mostre que, estabelecendo uma contradição com o modelo onde valem tais condições (apresentado no livro), mesmo sem crescimento tecnológico exógeno pode-se ter crescimento de longo prazo (k(t) ! 1).
Sugestão: Calcule f (k)=k: Em seguida, tome o caso > 1 e assuma que os parâmetros do modelo são tais que se estabelece um tipo de desigualdade entre (usando as de…nições do Acemoglu) limk!1 (f (k)=k) e +ns :
b) Qual a intuição para este resultado? Como pode a economia crescer inde…nidamente se, de acordo com sua resposta ao exercício 2b, os retornos
marginais para o capital são cada vez menores? A análise do modelo AK no exercício anterior pode lhe ajudar na intuição para esta questão? Como?
7 - (Obtenção da Equação Fundamental do Modelo de Solow Através do Funcionamento de Mercados). Ao invés de proceder como na seção 2.4.2, modi…que o modelo de Solow apresentado no livro texto. Veja-o agora sob o ponto de vista do consumidor representativo, que vende trabalho pelo salário de mercado e adquire ativos (A). Neste contexto tem-se:
dA=dt = rA + wL C
ou, em termos per capita (com letras minúsculas para ativos e consumo):
da=dt = (r n)a + w c (6)
Substitua em (6) as expressões relativas a w(k) e r(k) determinadas pela …rma maximizadora de lucro (2.15 em Acemoglu). Lembre que por arbi-tragem r = FK e que, em equilíbrio, como se trata de um a economia
fechada sem governo, a = k. Obtenha desta forma indireta a equação funda-mental do Modelo de Solow 2.33:
dk=dt = sf (k) (n + )k (7)
8- Deduza e explique o signi…cado econômico da chamada "regra de ouro" da acumulação:
f0(k) = + n
Existe alguma justi…cativa para a utilização do termo "regra de ouro"? 9- (Política Econômica) Suponha que um governante de uma economia que se comporte como o modelo de Solow sem inovação tecnológica deseje elevar o capital per capital de equilíbrio k : Quais seriam as suas alternativas? 10- (Convergência Absoluta e Relativa): mostre, a partir de (7) e das demais hipóteses do modelo de Solow, que:
d dk( 1 k dk dt) < 0
Este resultado implica que economias com menores k tenderão a apresen-tar taxasa de crescimento mais elevadas, desta forma gerando convergência de renda per capita? Explique.
11- Descreva o modelo de Solow usual (valendo as hipóteses usuais sobre a função de produção) com crescimento demográ…co e crescimento tecnológico à taxa constante g (A = egt). De…na agora k como K=LA e y como Y =LA
e mostre que a equação de equilíbrio de estado estacionário se escreve com o investimento sf (k ) igualando não mais + n; mas sim + n + g: No caso, f (k) = F (K; AL)=AL = F (k; 1).
Este modelo é compatível com os dados empíricos convencionais abaixo? Quais as suas desvantagens em explicar os fatos do mundo real?
Obs: Fatos Empíricos Convencionais (Stylized Facts)
a) Produto per capita cresce ao longo do tempo e tal crescimento não tende a diminuir
b) K/L cresce ao longo do tempo
c) R (taxa de retorno do capital) é aproximadamente constante ao longo do tempo
d) K/Y é aproximadamente constante
d) As parcelas do capital e da renda no produto são aproximadamente constantes
e) A taxa de crescimento da renda per capita difere substancialmente entre países
12- (Velocidade de Convergência e Log Linearização):
Considere a equação fundamental do Modelo de Solow com crescimento tecnológico exógeno (A) à taxa g:
_k=k = sf (k) (n + g + )k k
Trabalhe com a versão Cobb Douglas do modelo, quando então f (k) = Ak ; 0 < < 1:
Tem-se:
_k=k = sAk 1 (n + g + ) (8)
Pede-se:
a) De…na a velocidade de convergência v como o quanto o crescimento cai quando o estoque de capital per capita per produtividade se eleva:
v = d(log k)=dt d log k a1) Obtenha a expressão para esta velocidade.
a2) Mostre que o valor de v depende de k a cada momento.
a3) Mostre que quando se aproxima o valor desta velocidade pelo valor de k no estado estacionário (k ) obtém-se o valor constante:
v = (n + g + )(1 ) (9)
a4) Mostre que a aproximação da velocidade dada por (9) correponde exatamente à derivada:
d(log k)=dt log(k=k )
da equação (8) aproximada por log linearização. Com base nisto, inter-prete a aproximação (9).
Sugestão: Seja o sistema _x = f (x) com f (x ) = 0: De…na h(t) como x (t ) x : Este sistema pode então ser escrito _h = f (x) f (x ) + f0(x )h:
Como pela de…nição de estado estacionário f (x ) = 0; temos:
_x f0(x )h (10)
O arrazoado acima dá uma receita para linearização em torno do estado estacionário. Para log linearizar (8), temos que reescrever a equação difer-encial original usando
u = logk (11)
e depois aplicar o arrazoado acima. Temos então: _u = sAe( 1)u (n + g + ) Usando (10), com f (u) = sAe( 1)u
(n + g + ): _u sAe( 1)u ( 1)(u u ) Usando (11):
_k=k sAk ( 1)( 1)(log k
k ) (12)
Mas sabemos que sAk ( 1) = (n + g + ): Daí obtém-se (12):
13- No exercício anterior, para y = Ak ; mostre que a equação diferencial para a relação capital mão de obra:
d(log k)=dt = vd log(k=k )
implica outra da mesma forma para a relação produto mão de obra: d(log y)=dt = vd log(y=y )
a) Resolva a equação diferencial acima.
Sugestão: Faça z = logk e obtenha, como solução da equação diferencial linear correspondente:
z(t) = (z(0) z )e vt+ z
b)* Suponha em (9) que = 1=3; n = 0:015; g = 0; 025 e = 0; 04 estes três últimos valores em unidades de ano 1 :Calcule o valor de v (também em unidades de ano 1) até a terceira casa decimal. Quanto tempo demora para
o desvio de hiato de produto (log (y(t)=y )) se reduzir à metade? E para chegar a um quinto do seu valor inicial? Explicite seus cálculos.
