Avaliação de métodos de interpolação de variáveis climatológicas para a Bacia Hidrográfica do Rio Doce.
Eliana Elizabet dos Santos1 Elpídio Inácio Fernandes Filho2
Eliana de Souza3
1,2,3
Universidade Federal de Viçosa - UFV Avenida Peter Henry Rolfs, s/n
36570-000 Viçosa – MG 1 eliana.santos@ufv.br 2 elpidio.solos@gmail.com 3 elianadsouza@yahoo.com.br
Abstract. The knowledge of the physical characteristics of a watershed is essential for their management and conservation. In this aspect, rainfall plays an important role in understanding the process of recharge and water availability. This study aimed to evaluate the kriging interpolation method, and the method of cokriging using altitude data for spatial rainfall in Doce River Basin. The Doce River Basin has an area of 83,400 km2, where 86% of its territory belong to Minas Gerais 14% to the Espírito Santo. We used data of from 95 rainfall stations of the National Water Agency-ANA and the National Institute of Meteorology-INMET. The series was 16 years (1975 to 2005) data have consisted, and 9 those from winter gapes that were filled using the Regional Weighting method. Two densities were measured sampling points of altitude and is 9850 points with one another and with 6450 points. The data presented with normal distribution, and the rainfall showed anisotropy and second order, while the altitude of the first order. The interpolator cokriging in simple exponential model, with the use of 9850 points of altitude, performed better than kriging and cokriging with the lower density of points (6435). For evaluation of errors, cross-validation was more appropriate given the amount of rain gauge stations in the area
Palavras-chave: Geostatistical interpolation, interpoladores geoestatísticos, krigagem, cokrigagem geoprocessing, geoprocessamento.
1. Introdução
A Bacia Hidrográfica do Rio Doce (BHRD) possui atualmente um mosaico de problemas hídricos e ambientais, pela diversidade de usos presente em seu território. A Bacia sofre com problemas sazonais de inundação, que têm sua origem natural agravada por ações antrópicas, especialmente vinculadas ao uso da terra. Além disso, a atividade mineraria, em alguns casos, pode causar rebaixamento do nível freático, podendo afetar segmentos importantes da bacia. Em função da perda de qualidade dos recursos hídricos superficiais, vem ocorrendo uma busca crescente de águas de aquíferos profundos na BHRD, sem um conhecimento seguro de sua recarga e sustentabilidade a longo prazo.(SCHAEFER et.al, 2009)
O conhecimento da capacidade hídrica da bacia é imprescindível para uma avaliação consistente de sua disponibilidade para diferentes segmentos como o abastecimento público, a agricultura, as atividades minerarias e industriais, especialmente em zonas de conflito de interesses. Uma fonte de informação necessária ao entendimento desses processos na bacia refere-se aos dados climatológicos, os quais são considerados confiáveis para fins de predição a longo tempo. Entretanto, o número de estações distribuídas ao longo de uma área podem não ser suficientes para permitir realizar análises e entender fenômenos como, por exemplo, a recarga de água no lençol freático. (SCHAEFER et.al, 2009)
Tradicionalmente, o monitoramento da precipitação é realizado em postos de coleta pontuais. (Mello et al., 2003; Cecílio &Pruski, 2003; Carvalho & Assad, 2005). Neste sentido, obter estes dados para toda área de estudo torna-se essencial no âmbito do
entendimento dos processos de degradação da bacia e para a proposição de medidas adequadas de manejo visando a sustentabilidade do uso das águas na e outros recursos, especialmente no manejo nas unidades das bacias hidrográfica. Uma das alternativas utilizadas para estimar os dados onde estes são ausentes, é a modelagem espacial por meio de algoritmos de interpolação.
Interpolar significa determinar valores desconhecidos ou não amostrados de um atributo, usando valores conhecidos ou amostrados. Os interpoladores têm por função atribuir valores a novos pontos inseridos num campo de valores já existente (SURFER, 1999). Para tanto, a interpolação está diretamente relacionada à estatística (clássica e espacial), descrevendo medidas de média, desvio padrão, variância. (MIRANDA, 2005).
O interpolador krigagem vem se destacando como melhor interpolador estatístico, por apresentar a menor variabilidade associada as estimativas; e por sua funcionalidade nas mais diferentes áreas para dados pouco amostrados por meio de sua extensão multivariada denominada cokrigagem (ISAAKS,1997), que em casos onde há poucos pontos amostrados, introduz uma segunda variável mais densamente amostrada que possua correlação espacial com a variável principal. Se tratando de análise geoestatística, é necessária realizar alguns procedimentos para correção e ajuste das variáveis, que aqui se trata da precipitação média e da altitude. Estes métodos são descritos a seguir.
1.1 Preenchimento de falhas
O método da Ponderação Regional utilizado para o preenchimento de séries mensais ou anuais de precipitações toma por base os registros pluviométricos de pelo menos três estações climaticamente homogêneas (com um mínimo de dez anos de dados) e localizadas o mais próximo possível da estação que apresenta falha nos dados de precipitação. (Barbosa, 2006)
Designando por x a estação que apresenta falhas e por a, b e c as estações vizinhas, pode-se determinar a precipitação desta estação através da equação 1:
(1) Onde:
Px - É a variável que guardará os dados corrigidos Mx - Média aritmética da estação com falha
Ma, Mb e Mc - Média aritmética das estações vizinhas Pa, Pb e Pc - É o dado da estação vizinha, ao posto com falha, do mesmo ano que utilizamos para preencher a falha. (Barbosa, 2006) 1.2 Krigagem
Este modelo elaborado pelo Engenheiro de Minas Daniel G. Krige é tido como o melhor estimador linear não tendencioso, pois procura minimizar o erro residual médio e almeja a minimização da variância dos erros (MIRANDA, 2005).
Este método leva em consideração a continuidade que existe entre os valores dos pontos amostrados e os não amostrados para o qual se pretende obter a estimativa. (Santos 2008). Desta forma a krigagem pode ser considerada como estimados linear por que a estimativa para um ponto não amostrado, é obtida por uma combinação linear dos valores observados em pontos amostrados, para i = 1;n conforme a Equação 2.
(2) Pode-se afirmar ainda que a Krigagem é um método de estimação não-viesado pois, a
soma dos pesos, atribuídos aos valores observados nos pontos amostrados é igual a um. O método assume que a distância ou direção entre amostras de pontos refletem uma correlação espacial que pode ser utilizada para explicar variações na superfície.
Algumas áreas das ciências agrárias, como a ciência do solo, frequentemente apresentam situações em que existe a correlação espacial entre duas variáveis e, a estimativa de uma delas pode ser feita usando-se informações de ambas expressas no semivariograma cruzado e no método chamado cokrigagem (Vieira, 2000). Neste caso, os dados pluviométricos, são relacionados com variáveis de altitude. Todo o rigor matemático do processo de cokrigagem pode ser encontrado em detalhes em Goovaerts (1997) e Fenille& Cardim (2004).
A aplicação da cokrigagem torna-se bastante evidente quando duas ou mais variáveis são amostradas nos mesmos locais dentro de um mesmo domínio espacial e apresentam significativo grau de correlação. Valores ausentes não se tornam problemáticos, pois o método deve ser usado exatamente quando uma das variáveis apresenta-se sub-amostrada em relação às demais (Landim et al., 2002).
A estimativa de uma variável Z* para qualquer local x
0 deve ser uma combinação linear de
Z
1 e Z2, ou seja:
(3)
Em que n
1 e n2 são os número de vizinhos medidos de Z1 e Z2, respectivamente, e λ1 e
λ
2 são os ponderadores associados a Z1 e Z2 os quais são distribuídos de acordo com a
dependência espacial de cada uma das variáveis entre si e com a correlação cruzada entre elas.
1.3 Krigagem ordinária x krigagem simples
A krigagem ordinária utiliza médias locais ou tendências locais estimadas a partir dos elementos amostrais vizinhos, ao invés de uma única média estacionária, como ocorre em um algoritmo de interpolação simples (Barbosa et al, 2001).
A krigagem simples assume que as médias locais são relativamente constantes e de valor muito semelhante à média da população que é conhecida. A média da população é utilizada para cada estimação local, em conjunto com os pontos vizinhos estabelecidos como necessários para a estimação (Barbosa et al, 2001).
1.4 Modelos estatísticos de semivariogramas (Guimarães, 2004): Modelo exponencial:
E utilizado quando a autocorrelação espacial decresce exponencialmente com o incremento da distância. Apresenta patamar sendo este o valor para o qual o variograma tende assinoticamente. O valor da amplitude é a distância em que o modelo atinge 95% do patamar. (Equação 4)
Modelo esférico
A forma esférica é a mais utilizada, possui patamar, e limite superior para oqual tendem os valores do variograma com o aumento dos valores de h, e a amplitude de h=a. A amplitude mede a distância a partir do qual os valores de Z(x) deixam de estar correlacionados. (Equação 5).
Modelo Gaussiano
Apresenta um comportamento parabólico na origem. Tal como o modelo exponencial, a amplitude é a distancia para a qual o modelo atinge 95% do patamar.
Anisotropia
Segundo Isaaks&Srivastava (1989), em alguns conjuntos de dados os valores dos dados são mais contínuos ao longo de certas direções do que em outras, essa variação da continuidade espacial é denominada de anisotropia Após detectar a anisotropia, é necessário informar esta condição na interpolação para que seja ajustada a equação de krigagem.
Normalidade
Se a amostra tiver sido retirada de uma população com distribuição normal, o gráfico de normalidade deve assemelhar-se a um conjunto de pontos mais ou menos dispostos sobre uma reta, qualquer desvio dos pontos da reta representa um desvio da normalidade (Moreira, et.al, 2012).
Correlação
A correlação indica a força e a direção do relacionamento linear entre duas variáveis aleatórias.
Avaliação dos erros:
Erro médio (EM): corresponde à média da soma dos erros para cada valor estimado, pelo
que se calcula dividindo a soma dos erros pelo número de observações.
Erro médio quadrático(RMS); calcula-se fazendo a raiz quadrada da soma dos erros a
dividir número de observações.
Erro médio absoluto (MAE): É a média da diferença absoluta entre predito e mensurado
em módulo.
Erro médio quadrático padronizado: (EMQP); calcula-se fazendo a raiz quadrada da
somados erros a dividir pela variância da população.
Avaliação dos métodos de interpolação
Para a análise da modelagem quantitativa foi utilizado os métodos de validação cruzada e validação com subconjunto de amostras não usadas na modelagem. A validação cruzada, de acordo com Isaaks e Srivastava, (1989) é bastante simples, bastando remover algumas amostras do conjunto de dados e, após observar o erro de estimação obtido no cruzamento entre as amostras removidas e aquelas separadas para estimar, utiliza o conjunto total para interpolar. O erro da estimação pode ser calculado pela diferença entre o valor real e o estimado, sendo repetido para cada local amostrado.
No método de validação, por outro lado, utilizam-se dois conjuntos de dados, um para interpolar e outro para validar, sendo empregado quando o número de pontos é grande o suficiente para dividir o conjunto em dados para interpolar e para validar.
2. Metodologia de Trabalho
A Bacia Hidrográfica do Rio Doce (BHRD) possui uma área total de 83.400 km2, dos quais 86% encontram-se em território mineiro e 14% no Espírito Santo (Figura 1). A população chega a 3,5 milhões de habitantes distribuídos em mais de 230 municípios nos dois estados (ANA, 2010).
Segundo a classificação de Köppen o clima da região é dividido em três tipos, a saber: Cwb- clima tropical de altitude com chuvas de verão e verões frescos, Cwa- clima tropical de altitude com chuvas de verão e verões quentes, e, Aw - clima quente com chuvas de verão (PEELet al., 2007).
O período determinado em que se tinha maior quantidade de dados sem muitas falhas consecutivas foi de 16 anos para o período de 1985 a 2000. Foram observadas dentro desta faixa 95 estações de um total de 126. Todas as estações compreendidas neste intervalo possuiu consistência 2, portanto, não foi necessário realizar análise de consistência para este conjunto de dados posteriormente ao preenchimento de falhas. A figura 1 mostra a área real e a área interpolada da bacia, técnica que permite a minimização dos erros de borda.
Os dados obtidos pela ANA são dados diários de precipitação, portanto, foi necessário fazer média aritmética dos dados para a série. Para a interpolação pelo método da cokrigagem, foi utilizada a altitude como segunda variável. Os dados de altitude foram extraídos da imagem do radar SRTM da NASA. Estas foram extraídas em dois diferentes conjuntos aleatórios, um contendo 6.435 e 9.580 respectivamente.
Figura 1: Localização da BHRD e área real x área interpolada
Para validação dos métodos de interpolação, foi extraído aleatoriamente 15% da amostra com a ferramenta Subset Feature-(Geostatisical Analyst), ou seja 14 pontos. Este procedimento foi repetido três vezes, de maneira que se obteve 3 conjuntos de 14 pontos aleatórios diferentes (amostragem 1;2;3). O restante (81 pontos) foi submetido a uma nova interpolação (krigagem e cokrigagem simples e ordinária nos três diferentes modelos: exponencial gaussiano e esférico). Através da ferramenta GA Layers to Points-Geostatisical Analyst (ArcGis 10.0), foi validado os dois conjuntos de pontos, (os submetidos à novas análises (81 pontos) e as três amostras retirados do conjunto).
3. Resultados e Discussão Preenchimento de falhas
Das 95 estações utilizadas 9 possuiam falhas que foram preenchidas segundo o método da Ponderação Regional descrito anteriormente.
Pré-análise dos dados
Os dados apresentaram-se normais, ou seja, obteve-se a distribuição normal da variável chuva. Para tanto foi utilizado o QQPlot do programa ArcGis onde apresenta um gráfico que confronta a amostra e sua distribuição (Figura 2).
A análise de tendência mostrou-se de 2° ordem para os dados, demonstrado pela curvatura da reta sobre o eixo x,y,z. Quanto mais obliqua maior a tendência dos dados, ou seja, há diferenças das médias dos dados em determinadas direções o que mostra o comportamento da variável (Figura 2).
Figura 2: Teste De Normalidade dados de pluviosidade e análise de tendência
Krigagem
A Tabela 1 apresenta os melhores resultados das interpolações para a krigagem. O interpolador krigagem ordinária com o modelo exponencial apresentou os menores valores de erro quando comparado com a krigagem simples nos três diferentes modelos e que a krigagem ordinária no modelo esférico e gaussiano. A função de regressão mais satisfatória para este
modelo foi gerada na interpolação com divisão de 4 setores de 45° assim com o (RMS). Avaliar o (EM) pode não ser a melhor opção, pois como existem valores negativos e positivos referentes aos erros, estes podem se anularem ao se fazer o cálculo da média. Portanto, foi calculado o (MAE), que desconsidera os valores negativos usando o módulo do valor. O menor MAE foi encontrado na divisão de 4 setores de 90°.
Tabela 1: Resultado krigagem
EM – Erro médio; MP – Erro médio padronizado; RMS – Erro Médio Quadrático; EMQP -Erro médio quadrático padronizado; MAE – Erro Absoluto Médio.
Cokrigagem 1° conjunto (6.435 pontos)
Análise de normalidade-General QQPlot e correlação
A análise de normalidade para cokrigagem é realizada com as duas variáveis simultaneamente. Os dados apresentam-se com distribuição normal, uma vez que se distribuem uniformemente. Os dados apresentam-se com tendência de segunda ordem e apresentam correlação espacial.
Na tabela 2 a variação da cokrigagem simples no modelo exponencial obteve maior desempenho em detrimento da cokrigagem ordinária no modelo exponencial, esférico.
Observando o método da validação cruzada, o erro médio menor em relação a krigagem (tabela 1), assim como o MP o RMS para a divisão de 4 setores de 90° graus.
Tabela 2: Resultado da Cockrigagem
Cokrigagem 2° conjunto
Para análise da cokrigagem com 9.580 pontos de altitude, os dados também apresentam correlação espacial com de precipitação. A distribuição da altitude é próxima à normal com tendência de ordem 1.
Para este conjunto, a cokrigagem ordinária apresentou melhor desempenho que a cokrigagem Simples com o modelo exponencial (Tabela 3). Observa-se um MAE e MP mais baixos que os demais métodos. O RMS e o EMQP apresentam valores mais elevados, porém, novamente o MAE apresenta o menor valor de todas as interpolações.
Krigagem Ordinária
Modelo exponencial
Model: 0*Nugget+21191*Exponential(124190,41799,12,1)
Setores Função de Regressão EM MP RMS EMQP MAE
1 setor 0,8083 * x + 219,2645 3,1267 0,0170 132,8500 1,0088 95,42 4 setores (45°) 0,7314 * x + 317,6659 2,8170 0,0156 131,0960 1,0061 93,30 4 setores (90°) 0,7467 * x + 300,0184 4,4135 0,0280 131,9140 1,0108 92,96 CoKrigagem Simples Modelo exponencial Model: 5284,6*Exponential(104320,42931,16,3)
Setores Função de Regressão EM MP RMS EMQP MAE
1 setor 0,7356 * x + 306,4129 -2,2500 -0,0170 130,1800 1,0001 91,84
4 setores (45°) 0,7391 * x + 302,8118 -1,6800 -0,0130 129,8040 0,9970 91,21
Tabela 3: Resultado da validação cruzada para a cokrigagem com o 2° conjunto.
Validação de subconjuntos de pontos independentes Krigagem
Para a krigagem ordinária, modelo exponencial na amostragem de número 3 o valor de todos os erros da validação cruzada apresenta melhor resultado do que aqueles da validação com amostras independentes. (Tabela 4)
Tabela 4: Validação krigagem
EMVC – Erro médio da validação cruzada; EMV – Erro Médio da Validação com pontos independentes; MAEV – Erro Médio Absoluto da validação com pontos independentes; RMSV – Erro Quadrático Médio da validação com pontos independentes.
Cokrigagem 1° conjunto
Para a interpolação com 6.435 pontos de altitude a cokrigagem simples no modelo exponencial apresentou os menores erros na validação cruzada para a amostragem 2.(tabela 5)
Tabela 5: Validação cokrigagem 1° conjunto
Cokrigagem 2° conjunto
A tabela 6 mostra os erros da validação para a cokrigagem com a utilização de 9.580 pontos de altitude com a amostra 1.
Tabela 6: Erros cokrigagem 2 conjunto
Mapeamento da pluviosidade para melhor interpolador
A figura 11 mostra a distribuição da cockrigagem simples para o modelo exponencial, sendo que este interpolador apresentou os menores erros médios e absolutos comparados com os demais interpoladores. A pluviosidade varia de 742 a 1.624mm.
O mapa de erro é apresentado na figura 12 o menor erro apresentado é de 24 mm enquanto o maior erro é de 144 mm. As áreas mais claras representam os menores erros
Cokrigagem Simples Modelo exponencial Model : 5001,3*Exponential(103720,45899,16,5) Setores Função deRegressão EM MP RMS EMQP MAE 1 setor 0,7315 * x +312,704 -1,226 -0,0104 130,613 0,9632 91,50 4 setores(45°) 0,6064 * x 456,7471 -1,025 -0,0086 130,008 1,0307 90,62 4 setores(90°) 0,6297 * x 427,9373 -1,081 -0,0090 130,061 1,0250 90,67
Amostragem Setores Krigagem Modelo EMVC EV MAEV RMSV
3 4 setores (45°) Ordinária Exponencial 3,01 -7,93 76,89 95,51
Amostragem Setores Cokrigagem-6.435 Pontos Modelo EMVC EMV MAEV RMSV
2 4 setores (90°) Simples Exponencial 1,64 3,79 136,62 176,87
Amostragem Setores Cokrigagem-9.580 Pontos Modelo EMVC EMV MAEV RMSV
estimados enquanto as áreas mais escuras são aquelas que o interpolador obteve menor desempenho, fato este justificado pela menor quantidade de pontos pluviométricos. Desta forma, quanto maior a densidade amostral, melhor o resultado da interpolação.
Figura 12: Mapa de erro do interpolador cokrigagem-Bacia do Rio Doce
4.0 Conclusões
O Interpolador cokrigagem simples no modelo exponencial e utilização de 9.850 pontos de altitude apresentou melhor desempenho que a krigagem e que a cokrigagem com menor densidade de pontos (6.435).
A validação cruzada apresentou erros menores quando comparada a validação com amostras independentes. Este fato vem confirmar a necessidade de uma amostragem mais significativa em quantidade, para que se obtenham resultados de validação confiáveis.
A interpolação sobre diferentes quadrantes mostrou valores bem variados, o que torna um bom critério para obter o melhor modelo geoestatístico de interpolação.
Agradecimentos
Ao Centro Nacional de Apoio à Pesquisa (CNPQ) pelo apoio financeiro, e ao Professor Elpídio Inácio Feranandes Filho pela orientação da presente pesquisa.
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