Universidade Federal de Minas Gerais - UFMG
Instituto de Ciências Exatas - ICEx
Departamento de Matemática
Um modelo de mínimos quadrados para a
audição humana
Deise Nunes de Arruda
Orientadora: Cristina Marques
AGRADECIMENTOS
A Deus, que está sempre presente iluminando e abençoando meu caminho.
Aos meus amados pais, Maria e Israel, que tornaram possível a concretização de todos os meus sonhos.
Ao meu noivo Marcelo, pela sua compreensão e seu amor.
A todos os meus amigos, pela força, dedicação e companheirismo.
E de uma forma especial agradeço à minha orientadora Cristina Marques, pela paciência e carinho.
INDICE
Introdução ... 4
1 Espaços vetoriais com produto interno ... 6
1.1 Espaço Vetorial ... 6
1.1.1 Espaço Vetorial das Funções Reais Contínuas ... 7
1.2 Produto Interno ... 8
1.2.1 Produto Interno para o Espaço Vetorial das Funções Reais Contínuas ... 9
2 Projeções Ortogonais em Espaços com Produto Interno ... 11
3 Aproximação por Mínimos Quadrados ... 13
4 Polinômios Trigonométricos e a Série de Fourier ... 15
5 Aproximação de Mínimos Quadrados a uma Onda Sonora ... 19
INTRODUÇÃO
A percepção musical humana tende a combinar informações sonoras de acordo com o contexto sonoro de formas muito variadas. Por exemplo, se duas notas musicais são similares e tocadas muito próximas, o cérebro apenas percebe uma delas. Também se dois sons são diferentes, mas um muito mais forte que o outro, o cérebro humano não notará o som mais fraco. Essa percepção do que é captado ou não pelo ouvido humano ainda pode variar de pessoa para pessoa. O estudo desse fenômeno é chamado psicoacústica, que utiliza modelos matemáticos para representar padrões da audição humana, descritos em tabelas e quadros.
O ouvido consiste em 3 partes básicas - o ouvido externo, o ouvido médio, e o ouvido interno. Cada parte serve para uma função específica para interpretar o som. O ouvido externo serve para coletar o som e o levar por um canal ao ouvido médio. O ouvido médio serve para transformar a energia de uma onda sonora em vibrações internas da estrutura óssea do ouvido médio e finalmente transformar estas vibrações em uma onda de compressão ao ouvido interno. O ouvido interno serve para transformar a energia da onda de compressão dentro de um fluido em impulsos nervosos que podem ser transmitidos ao cérebro. As três partes do ouvido podem ser vistas na figura 1.
Figura 1
Pode-se afirmar, com um grau razoável de exatidão, que o ouvido humano é um sistema linear. Isso quer dizer que se uma onda sonora complexa é uma soma finita de componentes senoidais de diferentes amplitudes, freqüências e ângulos de fase, digamos
)
(
...
)
(
)
(
t
A
A
sen
t
A
sen
t
q
então a resposta do ouvido consiste de impulsos nervosos ao longo dos mesmos caminhos que seriam estimulados pelos componentes individuais.
Figura 2
O objetivo desse trabalho é mostrar uma aplicação da Álgebra Linear à audição humana. Aproximaremos uma onda sonora complexa a uma onda sonora do tipo serra que produz o mesmo estímulo sonoro para o ouvido, a fim de calcularmos as freqüências de seus componentes senoidais.
CAPÍTULO 1 - ESPAÇOS VETORIAIS COM PRODUTO INTERNO
1.1 - ESPAÇO VETORIAL
Seja K um corpo e V um conjunto não vazio com operações de adição e multiplicação por escalar que determinam para qualquer u e v V uma soma u + v V e para qualquer u V e k K um produto kv V. Então V é chamado de espaço vetorial sobre K (e os elementos de V são chamados vetores) se os seguintes axiomas são verdadeiros:
1) u + v = v + u
2) Para quaisquer u, v, w V, (u+v)+w = u+(v+w)
3) Existe um vetor em V, denotado 0 e chamado elemento neutro, tal que u+0 = 0+u = u para cada u V .
4) Para cada u em V, existe um vetor –u, chamado simétrico de u, tal que u+(-u) = (-u)+u = 0.
5) Para qualquer escalar k K e quaisquer vetores u,v V, k(u+v) = ku+kv. 6) Para quaisquer a,b K e u V (a+b)u = au + bu e (ab)u = a(bu).
1.1.1 Espaço Vetorial das funções reais contínuas
Se V é o conjunto das funções reais contínuas definidas na reta real (-,), com a soma de duas funções quaisquer f e g em V sendo a função f + g em V definida por
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
e o produto de um escalar kK e de uma função f V sendo a função kf definida por (kf)(x) = kf(x)
então V é um espaço vetorial.
O espaço vetorial das funções reais contínuas é denotado por F(- , + ), sendo o vetor 0 a função constante identicamente nula para todos os valores de x e o vetor negativo de f a função - f = - f (x).
Demonstração
Considere f, g e h funções reais quaisquer em V e k, a e b escalares quaisquer em K.
1) (f + g)(x) = f(x) + g(x) = g(x) + f(x) = (g + f)(x)
2) [(f + g) + h](x) = (f + g)(x) + h(x) = f(x) + g(x) + h(x) = f(x) + (g + h)(x) = [f + (g+h)](x)
3) 0 é a função constante identicamente nula para todo xR. (0 + f)(x) = 0(x) + f(x) = f(x)
(f + 0)(x) = f(x) + 0(x) = f(x)
4) [f + (-f)](x) = f(x) + (-f(x)) = 0 [(-f) + f ](x) = -f(x) + f(x) = 0
5) k.(f + g)(x) = k.[f(x) + g(x)] = k.f(x) + k.g(x)
(a.b.f)(x) = (ab)f(x) = a[b.f(x)] = a(b.f)(x)
7) 1.f(x) = f(x) , para toda f(x) em V.
Estudar espaços vetoriais mais gerais, que não sejam o euclidiano, fornece uma ferramenta poderosa para estender a visualização geométrica a uma larga classe de importantes problemas matemáticos, nos quais normalmente não poderíamos contar com a intuição geométrica. É razoável usar produtos internos generalizados para definir as noções de comprimento, distância e ângulo em espaços vetoriais arbitrários.
1.2. PRODUTO INTERNO
Um produto interno em um espaço vetorial real V é uma função que associa um número real denotado por <u,v> a cada par de vetores u e v em V de tal maneira que os seguintes axiomas são satisfeitos por quaisquer vetores u,v e w de V e qualquer escalar k:
1) <u,v> = <v,u>.
2) <u+v,w> = <u,w> + <v,w>
3) <ku,v> = k<u,v>
4) <u,u> ≥ 0
<u,u> = 0 se, e somente se, u = 0
Como dito anteriormente, o produto interno permite que se crie uma geometria num espaço vetorial qualquer. Observe a seguinte definição:
Se V é um espaço vetorial com produto interno então a norma ou comprimento de um vetor u de V é denotada por ||u|| e definida por
||u|| = <u,u>1/2
A distância entre dois vetores u e v é denotada por d(u,v) e definida por
d(u,v) = ||u-v||
E ainda pode-se definir um ângulo entre u e v tal que
, 0 || || . || || , cos v u v u
1.2.1 Produto interno para o espaço vetorial das funções reais contínuas
Sejam f = f(x) e g = g(x) duas funções contínuas em [a,b] e defina
Essa fórmula define um produto interno em C[a,b] pois satisfaz todos os axiomas de produto interno.
Demonstração
Considere f, g e h funções reais quaisquer em V e k escalar em K.
1) f g
f x g x dx
g x f x dxg f b a b a , ) ( ). ( ) ( ). ( , 2)
b a b a b a dx x h x f dx x h x g x h x f dx x h x g x f h g f , ( ( ) ( )). ( ) [ ( ). ( ) ( ). ( )] ( ). ( )
b a dx x g x f g f, ( ) ( )
g x h x dx f hg h b a , , ) ( ). ( 3) kf g
kf x g x dxk
f x g x dxk f g b a b a , . ) ( ). ( . ) ( ). ( , 4) f,f
f(x).f(x)dx
[f(x)]2dx 0 b a b aw2 w1 u W u-projWu projWu u w u - w W
CAPÍTULO 2 - PROJEÇÕES ORTOGONAIS EM ESPAÇOS COM PRODUTO INTERNO
Se W é um subespaço de dimensão finita de um espaço vetorial com produto interno V, então cada vetor u V pode ser expresso precisamente de uma única maneira como
u = w1 + w2
onde w1 está em W e w2 está em W (figura 3).
Figura 3
O vetor w1 é chamado de projeção ortogonal de u em W e denotado por projWu. O vetor w2 é
chamado componente de u ortogonal a W e é denotado por proj u
W .
A projeção de u em W é a melhor aproximação de u por vetores de W, ou seja,
w u u proj
u W
para qualquer w W (figura 4).
Figura 4
Se considerarmos {v1, v2, ..., vr} uma base ortonormal de W então teremos:
r r
Wu u v v u v v u v v
Lembramos que se W não possuir uma base ortonormal podemos utilizar o processo de Gram-Schmidt para tornar seus vetores ortogonais e depois dividi-los pelo valor de sua norma para normalizá-los.
CAPÍTULO 3 - APROXIMAÇÃO POR MÍNIMOS QUADRADOS
Imaginemos a seguinte situação problema:
Encontre a “melhor aproximação possível” de uma função f, contínua em [a,b], dentre todas as funções de um subespaço W específico de C[a,b].
Para resolvermos esse problema precisaremos de uma maneira de medir o erro que resulta quando uma função contínua é aproximada por outra sobre [a,b]. Se nossa preocupação fosse aproximar f(x) somente num único ponto x0, então o erro causado por uma aproximação g(x)
seria simplesmente ) ( ) (x0 g x0 f
que pode ser chamado de desvio entre f e g em x0 (figura 5).
Figura 5
Mas, nesse momento, surge uma dúvida: será que a função g é a melhor aproximação da função f em todos os pontos do intervalo? E se não for, como escolher, ou encontrar, a melhor aproximação?
Vamos observar o gráfico das duas funções (figura 6):
A diferença entre f e g pode ser vista como a área entre os gráfico de f(x) e g(x). Ou melhor
b a dx x g x f erro | ( ) ( )|Matemáticos e cientistas costumam favorecer uma medida alternativa do erro total, chamado erro quadrático médio (e.q.m)
dx x g x f m q e b a
2 )] ( ) ( [ . .O erro quadrático médio é mais vantajoso, entre outras coisas, por nos permitir utilizar a teoria dos espaços vetoriais com produto interno. Vejamos como.
Suponha que f seja uma função contínua em [a,b] e queremos aproximá-la por uma função g em algum subespaço W de C[a,b] que tem o produto interno sendo
b a dx x g x f g f, ( ) ( )Teremos então erro quadrático médio igual a
dx x g x f b a
2 )] ( ) ( [ Mas
b a dx x g x f g f g f g f ||2 , [ ( ) ( )]2 ||Logo minimizar o erro quadrático médio será o mesmo que minimizar ||f - g||2.
Portanto a função g, que responde a pergunta feita no início deste capítulo, será a função em W que minimiza ||f - g||2.
Mas vimos no capítulo 2 que a melhor aproximação de f em W será a sua projeção ortogonal, então:
f proj
CAPÍTULO 4 - POLINÔMIOS TRIGONOMÉTRICOS E A SÉRIE DE FOURIER
Uma função da forma:
) ( ... ) ( ) cos( ... ) 2 cos( ) cos( ) (x c0 c1 x c2 x c nx d1sen x d sen nx t n n
é chamado de polinômio trigonométrico. Se cn e dn não são simultaneamente nulos, dizemos
que t(x) é de ordem n.
Polinômios trigonométricos de ordem n ou menor são as várias combinações lineares possíveis de ) ( ),..., ( ), cos( ),..., cos( , 1 x nx sen x sen nx
Essas 2n+1 funções são linearmente independentes e, portanto, para qualquer intervalo [a,b], formam uma base de um subespaço (2n+1) dimensional de C[a,b].
Demonstração
Vamos provar que as funções acima citadas são linearmente independentes mostrando que elas são ortogonais.
Considere m e n números naturais quaisquer com m n.
i)
0 2 2 0 2( ) ) ( ) ( 2 ) ( ) cos( ). cos( ) cos( ), cos( n m n m sen n m x n m sen dx nx mx nx mx 0 ) ( 2 ) cos( ) ( ) cos( ) ( ) ( 2 ) cos( ) ( ) cos( ) ( 0 2 n m mx nx sen nx mx sen n m mx nx sen nx mx sen .ii)
0 2 ) ( 2 ) ( ) ( 2 ) ( ) ( ). ( ) ( ), ( 2 0 n m x n m sen n m x n m sen dx nx sen mx sen nx sen mx sen 0 2 ) ( 2 ) cos( ). ( ) cos( ). ( ) ( 2 ) cos( ). ( ) cos( ). ( n m mx nx sen nx mx sen n m mx nx sen nx mx sen = 0.Logo, sen(mx) sen(nx).
iii) 1,cos( ) 1.cos( ) ( ) 0
0 2 2 0
m mx sen dx mx mx Logo, 1cos(mx). iv) 1, ( ) 1. ( ) cos( ) 0 0 2 2 0
m mx dx mx sen mx sen Logo, 1 sen(mx).Vamos considerar o problema de encontrar a aproximação de mínimos quadrados de uma função f(x) contínua sobre o intervalo [0,2] por polinômios trigonométricos de ordem n ou menor. Como já vimos a aproximação de f em W é a projeção ortogonal de f sobre W.
Para encontrar essa projeção vamos, primeiramente, encontrar uma base ortonormal para W. Utilizaremos para tal o produto interno de duas funções contínuas (1.2.1):
b a f x g x dx g f, ( ). ( ) Isto nos dá: 2 || 1 || , || || , || cos || nx sen nxPortanto uma base ortonormal para W é: ) ( 1 ...., , 1 ), cos( 1 ...., , cos 1 , 2 1 2 1 1 0 g x g nx g senx g sen nx g n n n Logo n n n n n n W g g f g g f g g f g g f g g f g g f f proj 2 2 1 1 2 2 1 1 0 0 , ... , , ... , , , Se introduzirmos a notação:
E substituirmos na equação acima obteremos:
Onde:
Ou seja,
A projW f dada por
) ... ( ) cos ... cos ( 2 1 1 0 a x a nx bsenx b sennx a f projW n n n n n n n n g f b g f g f b g f a g f a g f a 2 2 2 1 1 1 1 0 0 , 1 ..., , , 1 b , , 1 , , 1 ..., , , 1 , , 2 2 ) ... ( ) cos ... cos ( 2 1 1 0 nx sen b x sen b nx a x a a f projW n n
2 0 2 0 2 0 2 0 1 2 0 2 0 0 cos ) ( 1 cos ) ( 1 cos ) ( 1 cos ) ( 1 ) ( 1 2 1 ). ( 2 2 dx nx x f nx x f a dx x x f x x f a dx x f dx x f a n
2 0 2 0 2 0 2 0 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 dx nx sen x f dx nx sen x f b dx x sen x f dx x sen x f b n
2 0 2 0 ) ( 1 k cos ) ( 1 dx kx sen x f b dx x x f ak kpode ser reescrita agora como
n k k k W a kx b senkx a f proj 1 n 1 k 0 cos 2Os números ak e bk são conhecidos como coeficientes de Fourier de f.
A aproximação por mínimos quadrados melhora à medida que aumenta o número de termos do polinômio trigonométrico aproximante.
Isso quer dizer que quando n o erro quadrático médio 0. Portanto podemos considerar
n k k k kt b senkt a a t f 1 n 1 k 0 cos 2 ) ( .CAPÍTULO 5 – APROXIMAÇÃO DE MÍNIMOS QUADRADOS A UMA ONDA SONORA
Vamos, agora, através do processo de aproximação de mínimos quadrados visto no capítulo anterior, calcular as freqüências dos componentes senoidais de uma onda sonora complexa utilizando uma onda sonora do tipo serra que produz o mesmo estímulo sonoro para o ouvido.
Seja p(t) uma onda do tipo serra, com freqüência básica de 5000 cps (figura 7) .
Figura 7
Suponha que a amplitude máxima da onda seja A. O período básico da onda é T=1/5000=0,0002 segundo.
De t = 0 a t = T, a função p(t) tem a equação
T t T A t p 2 2 ) (
Então, para solucionar o problema, calcularemos o polinômio trigonométrico que mais se aproxima de p(t), ou seja, aquele que minimiza o erro quadrático médio. Como p(t) está definida em [0,T] e não em [0,2] (como vimos no capítulo 4) temos os seguintes coeficientes de Fourier como resultado da mudança de escala:
T k T k t dt T k sen t f T b dt t T k t f T a 0 0 2 ) ( 2 e 2 cos ) ( 2 . Logo, 0 0 2 2 2 2 0 cos ) ( 2 2 0 0
T T At At T dt t T T A T dt t p T T T 0 a
0 0 2 cos 2 4 2 2 4 2 . . 2 cos 2 2 2 . 2 cos ). ( 2 2 0 0
T t T k k A t T k sen T k At t T k sen k A dt T t k t T T A T dt T t k t p T T T k a
k A T t T k sen k A t T k T k At t T k k A dt t T k sen t T T A T dt t T k sen t p T T T 2 0 2 2 4 2 cos 2 4 2 cos 2 2 2 2 2 ) ( 2 2 0 0
k bAgora nós podemos investigar como a onda sonora p(t) é percebida pelo ouvido humano.
Observe que 4/T = 20.000 cps (uma vez que T = 0,0002 segundo) , de modo que basta avançar até k = 4 nas equações anteriores.
Portanto, o polinômio trigonométrico que melhor se aproxima de p(t) é dado por
T sen T sen T sen T sen A t q 8 4 1 6 3 1 4 2 1 2 2 ) (
Os termos senoidais têm freqüências de 5.000, 10.000, 15.000 e 20.000
BIBLIOGRAFIA
[1] HOWARD, A.; RORRES, C. Álgebra Linear com aplicações. 8 Ed. Porto Alegre: Bookman, 2001.
[2] LEITHOLD, L. O cálculo com geometria analítica. 3 Ed.São Paulo: Editora Harbra, 1994.
[3] GUYTON, A.C.; HALL, J, E. Tratado de fisiologia médica. 9 Ed. Rio de Janeiro: Guanabara Koogan, 1997.
[4] BERTULANI C.A. O ouvido humano. Rio de Janeiro. Disponível em
