Taxas de Variação: Velocidade e Funções Marginais

Taxas de Variação:

Velocidade e Funções Marginais

DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

1.Taxa média de variação

2.Taxa instantânea de variação e velocidade instantânea

Em aulas anteriores estudamos duas aplicações fundamentais das derivadas.

1.Inclinação. A derivada de

f

é uma função que dá

a inclinação do gráfico de

f

em um ponto

(

x

,

f

(

x

)).

2.Taxa de Variação. A derivada de

f

é uma

função que dá a taxa de variação de

f

(

x

) em

Existem várias aplicações na vida real relativas às taxas de variação. Eis algumas: velocidade, aceleração, taxas de crescimento populacional, taxas de desemprego, taxas de produção, taxas de fluxo de água, etc … Embora as taxas de variação se refiram frequentemente ao tempo, podemos estudar a taxa de variação de uma variável em relação a qualquer outra variável.

Ao determinarmos a taxa de variação de uma variável em relação a outra, devemos ter cuidado em distinguir entre taxa de variação

média

e taxa de variação

instantânea

. A distinção entre essas duas taxas de variação é análoga à distinção entre o coeficiente angular da secante por dois pontos de um gráfico e o coeficiente angular da tangente em um ponto.

Definição de Taxa Média de Variação

Se

y

=

f

(

x

), então a taxa média de variação de

y

em relação a

x

no intervalo [

a

,

b

] é

Note que

f

(

a

) é o valor da função no ponto extremo esquerdo do intervalo,

f

(

b

) é o valor da

( ) ( )

Taxa média de variação f b f a y

b a x

− ∆

= =

Nos problemas aplicados, é importante relacionar as unidades de medida para uma taxa de variação. As unidades de ∆

y

/∆

x

são “

y

unidades”

por “

x

unidades”. Por exemplo, se

y

é dado em

milhas e

x

em horas, então ∆

y

/∆

x

é dada em milhas por hora.

Exemplo 1: A concentração

C

(em miligramas por mililitro) de um remédio na corrente sanguínea de um paciente é monitorada a intervalos de 10

minutos durante 2 horas, com

t

dado em minutos,

conforme a tabela abaixo. Ache as taxas médias de variação nos seguintes intervalos: a) [0, 10], b) [0, 20] e c) [100, 110]

a) No intervalo [0, 10], a taxa média de variação é:

b) No intervalo [0, 20], a taxa média de variação é:

2 0 2 0,2 mg por mL/min 10 0 10 C t ∆ ₌ − _{= =} ∆ −

Valor de C no Extremo Direito Valor de C no Extremo Esquerdo

é:

As taxas de variação do Exemplo 1 são em miligramas por mililitro por minuto porque a concentração é medida em miligramas por mililitro e o tempo é dado em minutos.

103 113 10 1 mg por mL/min 110 100 10 C t ∆ ₌ − ₌ − _{= −} ∆ − 2 0 2 C ∆ −

Uma aplicação usual da taxa média de variação, consiste em achar a velocidade média de um objeto em movimento retilíneo.

variação na distância Velocidade média

variação no tempo

Exemplo 2: Se um objeto é solto em queda livre de uma altura de 100 pés e

se a resistência do ar pode

ser desprezada

, a altura

h

do objeto no instante

t

(em segundos) é dada por

conforme indicado na figura seguinte. Ache a velocidade média do objeto nos intervalos: a) [1; 2], b) [1; 1,5] e c) [1; 1,1].

2

16 100, h = − t +

Podemos utilizar a equação de posição para determinar as alturas em

t

= 1,

t

= 1,1,

t

= 1,5 e

t

= 2, conforme a tabela abaixo.

2

16 100

h = − t +

t (em segundos) 0 1 1,1 1,5 2

a) Para o intervalo [1; 2], o objeto cai de uma altura de 84 pés para uma altura de 36 pés. Assim, a velocidade média é

b) Para o intervalo [1; 1,5], a velocidade média é

36 84 48 48 pés/s 2 1 1 h t ∆ ₌ − ₌ − _{= −} ∆ − 64 84 20 40 pés/s 1,5 1 0,5 h t ∆ ₌ − ₌ − _{= −} ∆ −

c) Para o intervalo [1; 1,1], a velocidade média é

No Exemplo 2, as velocidades são negativas porque o objeto está se deslocando para baixo.

80,64 84 3,36 33,6 pés/s 1,1 1 0,1 h t ∆ ₌ − ₌ − _{= −} ∆ −

Suponha, no Exemplo 2, que queiramos achar a taxa de variação de

h

no instante

t

= 1 s, Essa taxa é chamada taxa de variação instantânea.

Podemos aproximá-la em

t

= 1 calculando a taxa

média de variação em intervalos cada vez menores da forma [1, 1 + ∆

t

], conforme a tabela seguinte. Pela tabela, parece razoável concluirmos que a taxa instantânea de variação da altura, quando

t

= 1, é de -32 pés por segundo.

O limite nesta definição é o mesmo que o limite na definição da derivada de

f

em

x

. Esta é a

segunda interpretação da derivada – como

taxa de

variação instantânea de uma variável em relação a

outra

. Recorde que a primeira interpretação da

∆∆∆∆t 1 0,5 0,1 0,01 0,001 0,0001 0

Definição de Taxa Instantânea de Variação

A taxa instantânea de variação (ou simplesmente taxa de variação) de

y

=

f

(

x

) em

x

é o limite da taxa média de variação no intervalo [

x

,

x

+ ∆

x

], quando ∆

x

tende para zero.

0 0 ( ) ( ) lim lim x x y f x x f x x x ∆ → ∆ → ∆ ₌ + ∆ − ∆ ∆

Exemplo 3: Ache a velocidade do objeto do Exemplo 2 quando

t

= 1.

Pelo Exemplo 2, sabemos que a altura de um objeto em queda livre é dada por

Tomando a derivada desta função posição, obtemos a função velocidade

2

( ) 16 100

A função velocidade dá a velocidade em um

instante

arbitrário

. Assim, quando

t

= 1, a

Exemplo 4: No instante

t

= 0, um mergulhador salta de um trampolim a 32 pés de altura, conforme a figura seguinte. Como a velocidade inicial do mergulhador é de 16 pés por segundo, sua função posição é

a) Em que instante o mergulhador atinge a água?

2

16 16 32

a) Para achar o instante em que o mergulhador

atinge a água, façamos

h

= 0 e resolvamos em

relação a

t

.

A solução

t

= -1 não tem sentido no

2 2 16 16 32 0 Fazendo h =0 16( 2) 0 Colocando -16 em evidência 16( 1)( 2) 0 Fatorando 1 ou 2 Resolvendo em relação a t t t t t t t t t − + + = − − − = − + − = = − =

b) A velocidade no instante

t

é dada pela derivada No instante

t

= 2, a velocidade é ' 32 16 Função velocidade h = − t + ' 32(2) 16 48 ft/s. h = − + = −

Outra aplicação importante das taxas de variação ocorre no campo da Economia. Os economistas se referem a

lucro marginal

,

receita

marginal

e

custo marginal

como as taxas de variação do lucro, da receita e do custo em relação ao número

x

de unidades produzidas ou vendidas. A equação que relaciona essas três grandezas é

onde

P

,

R

e

C

representam:

As derivadas dessas grandezas chamam-se

lucro marginal, receita marginal e custo marginal, respectivamente.

lucro marginal receita marginal custo marginal

dP dR dC

Em muitos problemas de administração e economia, o número de unidades produzidas ou vendidas está restrito a valores inteiros positivos,

conforme indicado na figura seguinte.

Naturalmente, uma venda pode envolver metade ou outra fração de unidades, mas é difícil conceber uma venda que envolva 1,41 unidades. A variável que denota tais unidades é chamada variável

Para analisar uma função de uma variável discreta

x

, podemos admitir provisoriamente que

x

seja uma variável contínua, capaz de tomar qualquer valor real em um dado intervalo. Utilizamos então os métodos do cálculo para achar o valor de

x

que corresponde à receita marginal, ao lucro máximo, ao custo mínimo ou o que quer que seja. Finalmente, devemos arredondar a solução para o valor mais próximo cabível de

x

– centavos,

Exemplo 5: O lucro resultante da venda de

x

unidades de um artigo é dado por

P

= 0,0002

x

3 ₊

10

x

.

a) Ache o lucro marginal para um nível de produção de 50 unidades.

b) Comparar com o aumento do lucro decorrente do aumento de produção de 50 para 51 unidades.

a) Como o lucro é

P

= 0,0002

x

3 _{+ 10}

_x

_{, o lucro}

marginal é dado pela derivada

Quando

x

= 50, o lucro marginal é

2 0,0006 10. dP x dx = + 2 0,0006 (50) 10 1,5 10 $11,50 por unidade dP dx = ⋅ + = + =

b) Para

x

= 50, o lucro efetivo é

e para

x

= 51, o lucro efetivo é

2 0,0002 (50) 10 (50) 25 500 $525,00 P = ⋅ + ⋅ = + = 2 0,0002 (51) 10 (51) 26,53 510 $536,53 P = ⋅ + ⋅ = + =

Assim, o lucro adicional obtido pelo aumento do nível de produção de 50 para 51 unidades é

Note que o aumento efetivo de lucro de

$11,53 (quando

x

aumenta de 50 para 51 unidades)

pode ser aproximado pelo lucro marginal de $11,50

por unidade (quando

x

= 50), conforme a figura a

seguir.

A razão por que o lucro marginal dá uma boa aproximação da variação efetiva do lucro é que

o gráfico de

P

é quase uma linha

A função lucro do Exemplo 5 não é comum pelo fato de o lucro continuar a crescer na medida em que aumenta o número de unidades vendidas. Na prática, são mais comuns situações em que só se consegue aumentar a venda reduzindo-se o preço unitário. Tais reduções acabam por causar uma queda no lucro.

O número de unidades

x

que os consumidores se interessam em comprar a um certo preço unitário

p

é dado pela função demanda

p

=

f

(

x

) Função demanda

A receita total

R

está então relacionada com o preço unitário e a quantidade procurada (ou vendida) pela equação

Exemplo 6: Um estabelecimento comercial vende 2.000 itens por mês ao preço de $10 cada. Estima-se que as vendas mensais aumentem de 250 unidades para cada $0,25 de redução no preço. Com esta informação, determine a função demanda e a função receita total.

Pela estimativa,

x

aumenta de 250 unidades

cada vez que

p

sofre uma redução de $0,25 a

partir do custo original de $10. Temos, assim, a equação

Resolvendo em relação a

p

em termos de

x

,

10 2.000 250 0,25 2.000 10.000 1.000 12.000 1.000 p x p p −   = + ⋅_{ }   = + − = −

Isto, por seu turno, implica que a função receita é 1.000 12.000 12 1.000 p x x p = − = − 2

12

12

1.000

1.000

x

x

R

=

xp

= ⋅

x



_

−



_

=

x

−





Exemplo 7: Um restaurante de refeições ligeiras constatou que a demanda mensal por seus hambúrgueres é dada por

A figura seguinte mostra que, na medida em que o preço cai, a quantidade vendida aumenta. A tabela abaixo mostra a procura por hambúrgueres a diversos preços.

60.000 20.000

x

Como a demanda é dada por

a receita é dada por

R

=

xp

, e temos

Diferenciando, obtemos a receita marginal:

60.000 , 20.000 x p = − 2 60.000 1 (60.000 ). 20.000 20.000 x R = xp = ⋅x _ − _ = x − x  

Assim, quando x = 20.000, a receita marginal é

[

]

1 20.000 60.000 2(20.000) $1 por unidade. 20.000 20.000 dR dx = − = =

É convenção na Economia escrever uma

função demanda na forma

p

=

f

(

x

). Do ponto de

vista do consumidor, poderia parecer mais razoável supor a quantidade procurada como função do preço. Matematicamente, entretanto, os dois pontos de vista se equivalem, porque uma função demanda típica é um a um e, assim, possui uma inversa. Por exemplo, no Exemplo 7 poderíamos escrever a função demanda como

Exemplo 8: Suponhamos que, no Exemplo 7, o custo

da produção de

x

hambúrgueres seja

Determine o lucro e o lucro marginal para os

seguintes níveis de produção: a)

x

= 20.000,

b)

x

= 24.000 e c)

x

= 30.000.

5.000 0,56 , 0 50.000.

Pelo Exemplo 7, sabemos que a receita total da venda de

x

unidades é

Como o lucro total é dado por

P

=

R

–

C

,

temos:

(

2

)

1 60.000 . 20.000 R = x − x

(

2

)

2 1 60.000 (5.000 0,56 ) 20.000 3 5.000 0,56 P x x x x x x = − − + = − − −

Assim, o lucro marginal é

Com o auxílio destas fórmulas, podemos calcular o lucro e o lucro marginal.

2,44

10.000

dP x

Produção Lucro Lucro Marginal a. 20.000 $23.800,00 $0,44 por unidade b. 24.400 $24.768,00 $0,00 por unidade c. 30.000 dP x P dx dP x P dx x = = = = = = = P $23.200,00 dP $0,56 por unidade dx = = −