INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE CRIPTOGRAFIA

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CONVÊNIOS CNPq/UFU & FAPEMIG/UFU Universidade Federal de Uberlândia Pró-Reitoria de Pesquisa e Pós-Graduação DIRETORIA DE PESQUISA COMISSÃO INSTITUCIONAL DE INICIAÇÃO CIENTÍFICA 2008 – UFU 30 anos

INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE CRIPTOGRAFIA

Adriele Giareta Biase 1

Faculdade de Matemática - Universidade Federal de Uberlândia, MG

Av. João Naves de Ávila, 2121, Bloco 1F, Santa Mônica, Uberlândia, MG, CEP 38400-902 adrilegbiase@yahoo.com.br

Edson Agustini 2

agustini@ufu.br

Resumo: O objetivo deste trabalho é uma apresentação clara dos resultados matemáticos envolvendo Criptografia RSA bem como a prova de sua segurança. A base teórica dessa criptografia assenta-se sobre a Teoria dos Números, mais precisamente, na manipulação de máximos divisores comuns, fatorações e congruências, além de métodos probabilísticos para determinação de números primos. A Criptografia RSA é composta por duas fases: ciframento e deciframento, nas quais utilizamos n = pq, com p e q números primos muito grandes. A conclusão sobre a boa segurança da Criptografia RSA baseia-se na dificuldade de se fatorar n para obter p e q, a qual é devida à inexistência de bons algoritmos computacionais que realizem essa fatoração em um tempo razoável. Além da Criptografia RSA, apresentamos aplicações em assinaturas digitais.

Palavras-chave: criptografia, congruência, fatoração, números primos, ciframento.

1. INTRODUÇÃO

Nas últimas décadas a necessidade de se proteger informações, de modo que alguém indesejável não tenha acesso ao seu conteúdo, tem sido imperiosa. Uma das maneiras de se criar essa desejada proteção para mensagens é a criptografia. O uso corrente da criptografia é encontrado, por exemplo, em transações bancárias via Internet ou em compras on-line com cartões de crédito. Dessa forma, a criptografia torna-se um agente de segurança em um sistema de comunicações.

Criptografia é o estudo de métodos para cifrar (ou modificar) uma mensagem a ser enviada de tal forma que apenas o receptor legítimo consiga interpretá-la. A base da criptografia moderna é a Teoria dos Números, uma vez que o estudo das propriedades dos números inteiros; mais precisamente, a manipulação de máximos divisores comuns, fatorações, congruências e métodos para determinar números primos são fundamentais para se entender criptografia.

O método mais conhecido de criptografia é o chamado RSA (Rivest, Shamir, Adleman), ao qual daremos ênfase nesse trabalho. Para implementar esse método, precisamos escolher dois números primos muito grandes p e q e, na fase de ciframento de uma mensagem, usamos n = pq. Já, para o deciframento da mensagem, precisamos conhecer p e q. A segurança do método está justamente na dificuldade de se fatorar n, que é público, para obter p e q, que são privados.

Podemos dizer que há dois objetivos nesse trabalho. O primeiro consiste no estudo dos principais resultados de Teoria dos Números, principalmente congruências, que são necessários ao estudo de criptografia em geral. O segundo é o estudo do algoritmo da Criptografia RSA, a demonstração de sua funcionalidade e segurança e uma aplicação em assinaturas digitais.

1_{Acadêmica do curso de Licenciatura em Matemática.} 2_Orientador.

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2. MATERIAIS E M´ETODOS

Devido ao caráter apenas teórico deste artigo, visando apenas resultados matemáticos, o método empregado foi constitu´ıdo pelo estudo das referências bibliográficas citadas, discussão da Criptografia RSA, resolu¸cão de exerc´ıcios e verifica¸cão da funcionabilidade e seguran¸ca da Criptografia RSA.

3. CRIPTOGRAFIA RSA 3.1 Pr´e-Codifica¸c˜ao

Para usarmos o método RSA, devemos converter uma mensagem em uma seqüência de números. Chamaremos essa etapa de pré-codifica¸cão.

Para efeito de exemplifica¸cão, tomemos a seguinte tabela de conversão na pré-codifica¸cão:

a b c d e f g h i j k l m n o p q r s

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

t u v w x y z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46

O espa¸co entre palavras será substitu´ıdo pelo no_{. 36. Faremos a conversão sem considerar} acentos e letras maiúsculas. Por exemplo, a frase “Famat 2007” é convertida no número

15102210293639373744

A vantagem de se utilizar 2 d´ıgitos para representar uma letra reside no fato de que tal procedimento evita a ocorrˆencia de ambig¨uidades. Por exemplo, se a fosse convertido em 1 e

b em 2, ter´ıamos que ab seria 12, mas l tamb´em seria 12. Logo, n˜ao poder´ıamos concluir se 12

seria ab ou l.

Precisamos determinar 2 primos distintos, que denotaremos por p e q, que s˜ao denomi-nados parˆametros RSA. Seja

n = pq,

que ´e chamado de m´odulo RSA.

A última etapa da pré-codifica¸cão consiste em separar o número acima em blocos cujos valores sejam menores que n.

A mensagem cuja convers˜ao foi feita acima pode ser separada nos seguintes blocos: 15 − 10 − 22 − 10 − 29 − 36 − 39 − 37 − 37 − 44.

A maneira de escolher os blocos não é única e não precisa ser homogênea (todos os blocos com o mesmo número de d´ıgitos), mas devemos tomar alguns cuidados como, por exemplo, não come¸car um bloco com zero, pois isto traria problemas na hora de montar a seqüência recebida (o zero no in´ıcio do bloco pode não aparecer!).

3.2 Codifica¸c˜ao e Decodifica¸c˜ao

Passemos ao processo de codifica¸c˜ao. Da subse¸c˜ao acima, temos n = pq com p e q primos. Tomemos

Φ (n) = (p − 1) (q − 1) .

Seja e < Φ (n) inteiro positivo invers´ıvel m´odulo Φ(n), ou seja, mdc (e, Φ(n)) = 1.

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Esse n´umero e ´e chamado de expoente de enciframento.

O par (n, e) é denominado chave pública de codifica¸cão do sistema RSA.

Agora, codifiquemos cada bloco obtido na pré-codifica¸cão (subse¸cão anterior). Após a codifica¸cão, os blocos não poderão ser reunidos de modo que não possamos distingu´ı-los, pois isto tornaria imposs´ıvel a decodifica¸cão da mensagem.

A codifica¸cão de um bloco b será denotada por C(b). Temos que C(b) é o resto da divisão de be _{por n, isto é,}

C(b) ≡ be_{(mod n) .}

Por exemplo, se p = 29 e q = 67, ent˜ao n = 1943. Logo, Φ(n) = 1848. Tomemos

e = 701 (observe que mdc (701, 1848) = 1). Assim, o ´ultimo bloco, 44, da mensagem anterior ´e

codificado como o resto da divis˜ao de 44701 _{por 1943. Convertendo 701 em bin´ario e utilizando}

o m´etodo dos quadrados repetidos, temos

1317 ≡ 44701(mod 1943) .

Codificando toda a mensagem, obtemos a seguinte seq¨uˆencia de blocos: 595 − 155 − 1849 − 155 − 841 − 384 − 1344 − 1168 − 1168 − 1317.

Para decodificar uma mensagem codificada, precisamos de n e do inverso de e m´odulo Φ(n), que chamaremos de d, ou seja

ed ≡ 1 (mod Φ (n)) .

O par (n, d) ´e denominado chave privada de decodifica¸c˜ao do sistema RSA.

Seja a = C (b) um bloco da mensagem codificada, então D(a) será o resultado da deco-difica¸cão. Temos que D(a) é o resto da divisão de ad _{por n, isto é,}

D(a) ≡ ad(mod n) .

Esperamos que, decodificando os blocos da mensagem codificada, possamos encontrar a mensagem original, ou seja, D (C(b)) = b. Para decodificarmos, não é necessário conhecermos

p e q, basta conhecer n e d.

No exemplo que estamos acompanhando, temos que n = 1943 e e = 701. Usando o Algoritmo Euclidiano Estendido, temos d = 29.

Assim, para decodificar o bloco 1317 recebido, devemos calcular o resto da divis˜ao de 131729 _{por 1943 (utilizando, por exemplo, o M´etodo dos Quadrados Repetidos), ou seja, 44:}

44 ≡ 131729_{(mod 1943) .}

Logo, a seqüência decodificada será

15 − 10 − 22 − 10 − 29 − 36 − 39 − 37 − 37 − 44, que corresponde, via tabela de convers˜ao, `a frase “Famat 2007”.

E quando encontramos d negativo?

Pode ocorrer que no c´alculo de d, pelo Algoritmo Euclidiano Estendido, encontremos um valor negativo. No entanto, ´e sempre poss´ıvel tomar um valor positivo de d utilizando o

Teorema da Solu¸c˜ao Geral de uma Equa¸c˜ao Diofantina, dado abaixo.

Chamamos de equa¸cão diofantina a uma equa¸cões polinomial (com qualquer número de incógnitas), com coeficientes inteiros. Em uma equa¸cão diofantina, interessa apenas solu¸cões inteiras.

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Teorema. (Solu¸cão geral de equa¸cão diofantina linear com duas incógnitas) Sejam a e b inteiros positivos e d = mdc(a, b). Se d - c, então a equa¸cão diofantina

ax + by = c

não possui nenhuma solu¸cão inteira. Se d | c ela possui infinitas solu¸cões e se x = x0 e y = y0

é uma solu¸cão particular, então todas as solu¸cões são dadas por:

x = x0+ µ b d ¶ k y = y0−³a d ´ k com k ∈ Z.

Vejamos um exemplo de d negativo na criptografia RSA com p = 31 e q = 47. Na codifica¸c˜ao:

Φ (n) = (p − 1) (q − 1) = (30) (46) = 1380

n = pq = (31) (47) = 1457

Se tomarmos e = 1001 (pois temos mdc(1001, 1380) = 1) e o primeiro bloco da mensagem anterior, cujo o número associado é 15, então a decodifica¸cão desta mensagem será o resto da divisão de 151001 _{por 1457. Convertendo 1001 em um binário e utilizando o Método dos}

Quadrados Repetidos, temos

C (b) ≡ 151001_{(mod 1457)}

1100 ≡ 151001(mod 1457)

Na decodifica¸c˜ao:

O par (n, d) é a chave privada da decodifica¸cão do sistema RSA. Seja a = C (a) a mensagem codificada, então D(a) será o resultado da decodifica¸cão. Mas temos que D (a) é o resto da divisão de ad _{por n, ou seja,}

D (a) ≡ ad(mod n) .

Calculando o valor de d a partir do Algoritmo Euclidiano Estendido encontramos

d = −619.

Mas não nos interessa trabalhar com valores de d negativos. Para encontrar um d posi-tivo, temos um algoritmo derivado do Teorema da Solu¸cão Geral de uma Equa¸cão Diofantina. Algoritmo para reverter valores de d negativos:

Etapa 1) Calcule o valor de d pelo Algoritmo Euclidiano Estendido.

Etapa 2) Se d < 0, ent˜ao tome t inteiro tal que d + Φ(n)t > 0 e fa¸ca d = d + Φ(n)t. Etapa 3) Fa¸ca d = d.

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Logo, para o nosso exemplo:

d = −619 + 1380t > 0 para t = 1 d = 1380 − 619

d = 761 d = d = 761

Deste modo, após encontrar o novo valor de d (positivo), então continua-se a decodi-fica¸cão usando o Método dos Quadrados Repetidos. Como D (C (b)) = b e para decodificar não é necessário conhecer os valores de p e q, então basta conhecer n e d. Assim, se n = 1457 e

e = 1001, basta resolver a equa¸c˜ao

D (a) ≡ 1100761(mod 1457) no qual devemos obter

15 ≡ 1100761_{(mod 1457) ,}

que era o resultado esperado. 4. ASSINATURAS DIGITAIS

Uma das aplica¸cões da criptografia são as assinaturas digitais, que possuem um impor-tante papel nas transa¸cões bancárias, obtendo assim uma maior seguran¸ca, tanto para o cliente, quanto para o banco.

Suponhamos que uma empresa realiza transa¸cões bancárias por computador. É óbvio que tanto a empresa quanto o banco queiram que a mensagem seja codificada. Mas, como o RSA é um sistema de criptografia de chave pública, qualquer pessoa poderia enviar uma mensagem para fazer transa¸cões bancárias utilizando esse sistema. Por isso, é necessário que a mensagem esteja assinada eletronicamente.

Vejamos como mandar uma assinatura pelo RSA. Chamemos de Ce e De as fun¸cões de codifica¸cão e decodifica¸cão da empresa e Cb e Db as mesmas fun¸cões, só que do banco.

Sendo a um bloco de mensagem que a empresa vai enviar ao banco, a codifica¸cão desse bloco seria Cb(a). Para que a mensagem vá assinada, ela deve ser Cb(De(a)). Usamos primeiro a fun¸cão decodifica¸cão da empresa ao bloco a e, depois, codificamos o bloco, usando a fun¸cão codifica¸cão do banco.

O banco, ao receber a mensagem Cb(De(a)), aplica a sua fun¸cão de decodifica¸cão, ob-tendo De(a), e, na seqüência, aplica a fun¸cão codifica¸cão da empresa, que é pública, para obter o bloco original a.

Somente a empresa conhece a fun¸c˜ao De. Portanto, se a mensagem fizer sentido, tem que ter tido origem na empresa, uma vez que a probabilidade de uma pessoa, sem conhecer

De, mandar uma mensagem que fa¸ca sentido, após ser decodificada pelo banco, é praticamente nula. Assim, o banco pode estar seguro de que a mensagem é verdadeira.

5. DISCUSS ˜AO E CONCLUS ˜OES

Os modernos sistemas de criptografia consistem da principal aplica¸cão de Teoria dos Números, mais especificamente, congruências e números primos. O estudo de números primos é quase tão antigo quanto a própria matemática e teve origem com os antigos gregos. Não obstante, seu estudo ainda é extremamente ativo nos dias atuais, principalmente com o uso de recursos computacionais, e muita pesquisa tem sido desenvolvida por brilhantes matemáticos. O fato da seguran¸ca de todo sistema de troca de informa¸cões sigilosas estar baseado na dificuldade em se fatorar um número composto é, no m´ınimo, curioso, uma vez que o conceito de fatora¸cão

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em números primos é algo do conhecimento geral de qualquer estudante de ensino fundamental. Mais curioso ainda é o fato de, mesmo com todo recurso tecnológico e computacional dispon´ıvel, não existir um algoritmo de fatora¸cão de números compostos grandes que seja pelo menos “semi-eficiente”.

A história do ciframento e deciframento da mensagens é, assim como o estudo de números primos, bastante antiga e, sempre houve momentos em que os criadores de crifras estavam à frente dos “quebradores” de cifras e vice-versa. Mesmo em épocas recentes, como na Segunda Guerra Mundial, temos exemplos de cifras que foram quebradas, [7] . No entanto, a partir da década de 1970, com o surgimento da Criptografia RSA e dos diversos sistemas criptográficos dele derivados ou nele inspirados, os cifradores estão à frente dos quebradores de cifras.

6. AGRADECIMENTOS

Os autores agradecem à FAPEMIG - Funda¸cão de Amparo à Pesquisa do Estado de Minas Gerais - pela concessão da bolsa de inicia¸cão cient´ıfica de mar¸co de 2007 a fevereiro de 2008, bem como à Pró-Reitoria de Pesquisa e Pós-Gradua¸cão da Universidade Federal de Uberlândia pelo gerenciamento da mesma.

7. REFERˆENCIAS

Coutinho, S. C., 1997, “Números Inteiros e Criptografia RSA”. Rio de Janeiro, RJ: IMPA -SBM. Série de Computa¸cão e Matemática.

Domingues, H. H., 1982, “ ´Algebra Moderna”. S˜ao Paulo, SP: Atual Editora.

Domingues, H. H., 1991, “Fundamentos de Aritm´etica”. S˜ao Paulo, SP: Atual Editora. Mollin, R. A., 2001, “An Introduction to Cryptography”. New York: Chapman & Hall.

Rivest, M.; Shamir, A. & Adleman, L., 1978, “A method for obtaining digital signatures and public-key cryptosystems”. Comm. ACM, 21, pp. 120-126.

Santos, J. P. O., 1998, “Introdu¸cão à Teoria dos Números”. Rio de Janeiro, RJ: Publica¸cão do Inst. de Mat. Pura e Aplicada (IMPA). Cole¸cão Matemática Universitária.

INTRODUCTION TO THE STUDY OF CRYPTOGRAPHY

Adriele Giareta Biase

Faculdade de Matem´atica - Universidade Federal de Uberlˆandia, MG

Av. João Naves de Ávila, 2121, Bloco 1F, Santa Mônica, Uberlândia, MG, CEP 38400-902 adrilegbiase@yahoo.com.br

Edson Agustini

Faculdade de Matem´atica - Universidade Federal de Uberlˆandia, MG

Av. João Naves de Ávila, 2121, Bloco 1F, Santa Mônica, Uberlândia, MG, CEP 38400-902 agustini@ufu.br

Abstract: The aim of this work is a presentation of mathematical results about RSA Cryp-tosystem. Its theoretic basis is found in Number Theory, precisely, in manipulation of greatest common divisors, factoring, congruences, and methods for find prime numbers. The RSA Cryp-tosystem is composed by two parts: enciphering and deciphering, where we use n = pq, with p and q very large prime numbers. The conclusion about the good security of RSA Cryptosys-tem is based on the hardness of the factorization of n for obtain p and q, wich is due to the non-existence of good computational algorithms that make this factorization in reasonable time. Besides RSA Cryptosystem, we present applications in digital signatures.