Dhagash Mehta, Syracuse University, USA Michael Kastner, University of Stellenbosch, South Africa Daniel Adrián Stariolo, UFRGS, Brazil

INCT SC

instituto nacional de ciencia e tecnologia

de sistemas complexos

^

Complexidade da superf´ıcie de energia do p-spin glass

Dhagash Mehta

, Syracuse University, USA

Michael Kastner

, University of Stellenbosch, South Africa

O vidro de spin p-spin esf´erico

H = −

1

p!

N

X

i

1

,i

2

,...,i

P

=1

J

i

1

,i

2

,...,i

P

σ

i

1

σ

i

2

. . . σ

i

p

Ji1

,i2

,...,iP

vari ´aveis aleat ´orias Gaussianas com

hJ

_i1,i2,...,iP

i = 0

hJ

2

i1

,i2

,...,iP

i = p!/2N

p−1

V´ınculo esf ´erico:

N

X

i=1

σ

2

_i

=

N

=⇒

L = H + σ

0

N

X

i=1

σ

_i

2

− N

!

Para p ≥ 3 soluc¸ ˜ao exata com uma quebra da simetria de r ´eplicas =⇒ “duas

escalas” (semelhante a vidro molecular)

Numerical polynomial homotopy continuation method

Para p = 3, os pontos estacion ´arios (“saddles”) soluc¸ ˜ao de:

∂L

∂σ

i

=

0

=⇒

N

X

j,k =1

J

i,j,k

σ

j

σ

k

+

6eσ

i

=

0

e = H/N: densidade de energia no ponto estaci ´onario.

O

numerical polynomial homotopy continuation method

permite calcular

TODOS

os pontos estacion ´arios, reais e complexos, de um sistema de

equac¸ ˜oes polinomiais.

A. J. Sommese e C. W. Wampler, The Numerical Solution os Systems of Polynomials Arising in Engineering and Science, (World Scientific, Singapore, 2005)

N ´umero de pontos estacion´arios

æ æ æ æ æ æ æ à à à à à à à

14

15

16

17

18

19

20

N

10

4

10

5

10

6

EH N L

æ æ æ æ æ æ æ à à

0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07

1  N

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

ln @ EH N L D

N

Esquerda: M ´edia na desordem E(N ) do n ´umero total N de pontos estacion ´arios complexos (quadrados vermelhos) e reais (pontos azuis) em escala logaritmica, em func¸ ˜ao do tamanho do sistema N. Os dois n ´umeros crescem exponencialmente com N. Direita: Densidade logaritmica do n ´umero de pontos estacion ´arios reais vs. a inversa do tamanho (pontos azuis). O resultado anal´ıtico no limite termodin ˆamico ´e indicado por um quadrado vermelho.

Complexidade vs energia

Complexidade integrada:

hΓ(e)i

a

=

_N

1

ln E(M(e))

0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07

1N

-

1.10

-

1.05

-

1.00

-

0.95

-

0.90

-

0.85

e

c

Esquerda: M ´edia “annealed” da complexidade integrada Γ vs. densidade de energia e para diversos tamanhos N. Para comparac¸ ˜ao, o resultado anal´ıtico para N → ∞ se mostra na linha preta. Direita: Energias cr´ıticas dos sistemas finitos ec,

determinadas como os valores da energia onde hΓiana figura da esquerda muda de sinal. Para comparac¸ ˜ao, o resultado anal´ıtico no limite termodin ˆamico ec≈ −1.17 aparece como o ponto em vermelho.

N ´umero de estados estacion´arios de dado ´ındice

Matriz Hessiana:

˜

H

lm

≡

∂

2

_L

∂σ

l

∂σ

m

= −

N

X

k =1

J

k ,l,m

σ

k

− p e δ

l,m

æ æ æ æ æ ææ ææ æ æ æ æ æ à à à à à àà à à à à à à à à à ì ì ì ì ì ìì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ò ò ò ò ò ò òò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò

5

10

15

I

0.1

0.2

0.3

0.4

ln N

_I

 N

ò

_{N = 20}

ì

N =18

à

_{N =16}

æ

N =14

_æ æ æ æ æ æ æ æ æ æ æ æ æ æ à à à à à à à à à _à à à à à à à ì ì ì ì ì ìì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ò ò ò ò ò ò òò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò

0.2

0.4

0.6

0.8

i

0.1

0.2

0.3

0.4

ln N

_i

 N

ò

_N=20

ì

_N=18

à

_N=16

æ

N=14

Complexidade para dado ´ındice

G10

G100

G

3

G1

G0

-1.175 -1.170 -1.165 -1.160 -1.155

e

- 0.02

- 0.01

0.01

0.02

G

I

Esquerda: Complexidades integradas ΓIdos pontos estacion ´arios de ´ındice I = 0, 1, 3 e 10 vs. densidade de energia e para

tamanhos N = 14, 16, 18 e 20. Dentre as curvas de dado ´ındice I, a energia eI

conde ΓImuda de sinal decresce com tamanhos

crescentes, permitindo assim determinar facilmente os tamanhos para as diferentes curvas no gr ´afico. Direita: resultados correspondentes no limite termodin ˆamico.

´Indice m´edio vs energia

´Indice m ´edio cumulativo

¯j(e) =

X

{σ

s

_:H(σ

s

_)≤Ne}

I(σ

s

₎

N

0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07

1 N

-

1.1

-

1.0

-

0.9

-

0.8

e

_th

Esquerda: ´Indice m ´edio integrado ¯j vs. densidade de energia e para diversos tamanhos N. Direita: Energias “threshold” e_th obtidas a partir de fits nas curvas do ´ındice integrado m ´edio ¯j(e) da figura da esquerda. O ponto em vermelho representa o resultado anal´ıtico no limite termodin ˆamico eth= −2/

√

Determinante Hessiano

Pares (D, e) para todos os pontos estacion ´arios σs_{das 10 amostras de desordem analizadas. e = H(σ}s_{)/N ´e a densidade de}

energia e D = det H(σs)

1/N´e o determinante de Hesse rescalado em cada ponto estacion ´ario. Esquerda: N = 16, Direita: N = 20.

Conclus˜oes e perspectivas

O NPHCM permite uma caracterizac¸ ˜ao exhaustiva, exata, de

superf´ıcies de energia (S.E.) em sistemas finitos.

Permite verificar os efeitos de tamanho finito e a aproximac¸ ˜ao ao

limite termodin ˆamico.

´

E poss´ıvel correlacionar as caracter´ısticas da S.E. com

propriedades din ˆamicas, por exemplo, atrav ´es do computo de

barreiras de energia e estabilidade de pontos estacion ´arios.

Aplicac¸ ˜ao a sistemas biol ´ogicos, como enovelamento de

proteinas e outros sistemas que possam ser caracterizados por

uma S.E. longe do limite termodin ˆamico parece promissor.