MATEMÁTICA A D PTMA11_ _P001_037_3P.indd 1 19/06/ :18

(1)

D

MATEMÁTICA A

(2)

ÍNDICE

2

1

4

2

5

3

1.1. Revisões 3

1.2. Ângulos orientados, ângulos

generalizados e rotações 5 1.3. Razões trigonométricas de ângulos

generalizados 6

1.4. Funções trigonométricas 8 1.5. Equações trigonométricas 11 Exercícios Resolvidos 11 Exercícios Propostos 21

4.1. Funções que envolvem radicais quadráticos e cúbicos 96 4.2. Limites segundo Heine de funções

reais de variável real 98 4.3. Assíntotas de funções racionais do tipo f (x) = a + b _____ _x_{- c} , com a, b, c, ∈ ℝ 100 4.4. Derivadas de funções reais de variável real e aplicações 101 Exercícios Resolvidos 102 Exercícios Propostos 110

2.1. Declive e inclinação de uma

reta no plano 38 2.2. Produto escalar de vetores 39 2.3. Equações de planos no espaço 41 2.4. Lugares geométricos definidos com

o auxílio do produto escalar 42 Exercícios Resolvidos 43 Exercícios Propostos 50 5.1. Somatórios 127 5.2. Conceitos fundamentais da estatística 128 5.3. Medidas de localização 129 5.4. Medidas de dispersão 131 5.5. Amostras bivariadas, reta de

mínimos quadrados e coeficiente de correlação 133 Exercícios Resolvidos 136 Exercícios Propostos 143 3.1. Propriedades elementares de sucessões reais 70 3.2. Progressões aritméticas e geométricas 71 3.3. Limites de sucessões 73 Exercícios Resolvidos 74 Exercícios Propostos 83

Trigonometria e

Funções

Trigonométricas

Funções Reais de

Variável Real

Gometria Analítica

Estatística

Sucessões

TESTE DE AVALIAÇÃO 1

Trigonometria e Funções Trigonométricas 160 TESTE DE AVALIAÇÃO 2

Geometria Analítica 163

Sucessões 167

Funções Reais de Variável Real 170 TESTE DE AVALIAÇÃO 5

Estatística 173

TESTE DE AVALIAÇÃO GLOBAL 176 SOLUÇÕES 179

Testes de avaliação

I S B N 9 7 8 - 9 8 9 - 7 6 7 - 5 6 0 - 7

(3)

O QUE DEVO SABER

3

RESUMO TEÓRICO

Trigonometria e funções

trigonométricas

1.1. Revisões

Razões trigonométricas num triângulo retângulo

Num triângulo [ABC] , retângulo em A , existe um ângulo reto ( _{∢BAC ) e dois ângulos agudos} ( ∢ABC e ∢BCA ). Os lados [AB] e [AC] , adjacentes ao ângulo reto, chamam-se catetos e o lado

[BC] , lado oposto ao ângulo reto chama-se hipotenusa. Seja _{α , a amplitude do ângulo agudo ABC .}

Relativamente a esse ângulo, dizemos que

[AC] é o cateto oposto a _{α e que}[AB] é o ca-teto adjacente a _{α .}

Deste modo, podemos definir as razões trigo-nométricas do ângulo agudo _{α .}

Razões trigonométricas do ângulo agudo α

• O seno de α representa-se por sen α e sin α

sen α = comprimento do cateto oposto_{comprimento da hipotenusa} ___________________________ = ‾ ___ AC ‾

BC

• O cosseno de α representa-se por cos α e

cos α = comprimento do cateto adjacente_{comprimento da hipotenusa} ______________________________ = ‾ ___ AB ‾

BC

• A tangente de α representa-se por tg α ou tan α e

tg α = _{comprimento do cateto adjacente}comprimento do cateto oposto ______________________________ = ‾ ___ _‾AC

AB Exemplo • sen _{α = 2}___ √___13 = 2 √ ___₁₃ ____ ₁₃ • cos _{α = 3}___ √ ___13 = 3 √ ___₁₃ ____ ₁₃ • tg _{α = 2}__ 3 C A B 2 3 a 13 Hipotenusa Cateto adjacente a α α Cateto oposto a α C A B

1

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(4)

VEJO COMO SE F

AZ

3 | Sucessões

82

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

9. Considera a sucessão _{( u}n ) definida pelo termo geral u n = 3n + 1 ______ _n_{+ 2} .

9.1. Determina o menor número natural que satisfaz a condição

|

u n − 3

|

< 0,1 .

9.2. _{Prova, por definição de limite de uma sucessão, que 3 é o limite da sucessão ( u}n ) .

Resolução 9.1.

|

u n − 3

|

< 0,1 ⇔

|

3n + 1 ______ _n_{+ 2} − 3

|

< 0,1 ⇔

|

3n + 1 − 3n − 6 ______________ _n_{+ 2}

|

< 0,1 ⇔

|

− 5 _____ _n_{+ 2}

|

< 0,1 ⇔ ⟺ − 5 _____ _n_{+ 2} < 0,1 ∧ − 5 _____ _n + 2 > − 0,1 ⇔ − 5 _____ n _{+ 2} − 1 ___ 10 < 0 ∧ − 5 _____ n _{+ 2} + 1 ___ 10 > 0 ⇔ ⟺ − n − 52 ________ ₁₀_{( n + 2 )} _{< 0 ∧ n − 48}________ 10 ( n + 2 ) > 0

Como 10 ( n + 2 ) > 0 , ∀ n ∈ ℕ , podemos afirmar que − n − 52 < 0 e n − 48 > 0 , ou seja, n > 48 . Assim, o menor número natural que satisfaz a condição

|

u n − 3

|

< 0,1 é o 49 .

9.2. Por definição de limite de uma sucessão, u n → 3 se, e somente se, para todo δ > 0 existe

uma ordem p _{∈ ℕ tal que: ∀ n ∈ ℕ, n ≥ p ⇒}

|

u n − 3

|

< δ

Seja δ um número real positivo arbitrário.

|

u n − 3

|

< δ ⇔

|

3n + 1 ______ _n_{+ 2} − 3

|

< δ ⇔

|

− 5 _____ _n_{+ 2}

|

< δ

Para todo n natural

|

− 5 _____ _n + 2

|

= 5 _____ n _{+ 2}

Assim, para todo n natural,

|

− 5 _____ _n

+ 2

|

< δ ⇔ 5 _____ n _{+ 2} < δ ⇔ n + 2 > 1 __ _δ ⇔ n > 1 __ _δ − 2 ⇔ n > 1 − 2δ ______ _δ

Considerando um número natural p maior do que 1 − 2δ ______

δ , tem-se que

|

u n − 3

|

< δ se n ≥ p .

Portanto, lim u n = 3 , como queríamos provar.

10. Calcula, se existir, o limite das seguintes sucessões e classifica-as quanto à convergência.

10.1. a n = (− 1 ) n × 5 __ _n 10.2. b n = 5 n 4 + 7 10.3. c n = − n + 8 _______ ₂ 10.4. d n = 3 − 5 __ _n 10.5. e n = (− 1 ) n + 4 Resolução

10.1. lim a n = lim (( − 1 ) n × 5 __ _n ) = ± 5 _____ _{+ ∞} = 0 , logo a sucessão ( a n) é convergente. 10.2. lim b n = lim ( 5 n 4 + 7 ) = + ∞ + 7 = + ∞ , logo a sucessão ( b n) é divergente. 10.3. lim c n = lim ( − n + 8 _______ ₂ ) = − ∞ _____ ₂ = − ∞ , logo a sucessão ( c n) é divergente.

10.4. lim d n = lim ( 3 − 5 __ _n ) = 3 − 5 _____ _{+ ∞} = 3 − 0 = 3 , logo a sucessão ( d n) é convergente. 10.5. lim e n = lim (( − 1 ) n + 4 )

Se n é par, lim e n = lim (( − 1 )n + 4 ) = lim ( 1 + 4 ) = 5

Se n é ímpar, lim e n = lim (( − 1 )n + 4 ) = lim (− 1 + 4 ) = 3

Como o limite não é único, não existe lim e n , logo a sucessão ( e n) é divergente.

(5)

AGORA F

AÇO EU

MATEMÁTICA A 11 83

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

Itens de construção

1. Sabendo que todos os termos seguem a mesma lei de formação que é sugerida em cada uma das figuras seguintes, completa a tabela que está no final da página:

I

5 círculos

(1.º termo) 5 círculos (2.º termo)8 círculos 8 círculos 11 círculos11 círculos(3.º termo)

(1.º termo) (2.º termo) (3.º termo)

II 6 círculos pretos (1.º termo) 12 círculos pretos (2.º termo) 20 círculos pretos (3.º termo)

6 círculos pretos 12 círculos pretos 20 círculos pretos

III 4 círculos brancos (1.º termo) 7 círculos brancos (2.º termo) 10 círculos brancos (3.º termo)

4 círculos brancos 7 círculos brancos 10 círculos brancos

IV 0 círculos brancos (1.º termo) 2 círculos brancos (2.º termo) 6 círculos brancos (3.º termo)

0 círculos brancos 2 círculos brancos 6 círculos brancos

V 1 1 __ 4 1 __ 9

VI 2 9 28

4.° termo 5.° termo Termo Geral I 14 II III 16 IV V VI n 3_{+ 1} PTMA11_20192852_P070_095_3P.indd 83 19/06/2020 16:21

(6)

160

ESTOU PREP

ARADO(A)?

Trigonometria e Funções Trigonométricas Duração do Teste: 90 minutos

Para responder aos itens de escolha múltipla, não apresentes cálculos, nem justificações e escreve, na folha de respostas:

• o número do item

• a letra que identifica a única opção escolhida

Na resposta aos itens de resposta aberta, apresenta todos os cálculos que tiveres de efetuar e todas as justificações necessárias.

Quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresenta sempre o valor exato.

1. Considera as proposições p e q :

p: “a solução da equação 2 cos x ₊√ _ 3 _{= 0 , no intervalo [− π, π _ 2 ] é}_ 7₆π ” q: “a equação t g 2 x = 1 , no intervalo [− π _ 2 , 100π] , tem 201 soluções” Qual das proposições seguintes é verdadeira?

(A) p ∨ ∼ q (B) ∼

(

p _{∨ q}

)

(C)

(

∼ q

)

_⇒

(

_{∼ p}

)

(D) q ⇒ p

2. Considera o triângulo acutângulo [ABC] representado na figura seguinte.

Fixada uma unidade de comprimento, tem-se: • ‾ AB _{= 2} • ‾ BC ₌√

_ 2

_ ₃ • A C

̂

B _{= 30°} Sejam α, β e θ três números reais tais que: • B A

̂

C = α • β − α = π _ ₂ • α + θ + 2π = 0

Determina o valor exato da expressão sen _{α − cos β + tg θ .}

3. Na figura ao lado, estão representadas, num referencial o.n. xOy , a circunferência de centro O e a reta r .

Sabe-se que:

• os pontos A, B e C pertencem à circunferência; • o ponto B tem coordenadas (0, 1) ;

• o ponto C pertence à reta OA ;

• a reta r é tangente à circunferência no ponto B ;

• o ponto D é o ponto de interseção da reta r com a semirreta O

̇

A ; • α é a amplitude, em radianos, do ângulo AOB , com α ∈ ] 0; π _ 2 [

3.1. Nesta alínea, considera ‾ BD = √ _ 5 .

Qual das expressões seguintes designa uma solução da equação sin x = − √ _ 6 _ ₆ ? (A) π + α (B) α − π (C) π _ ₂ _{+ α} (D) α − π _ ₂ 30º A C B α y x O A C r B D α 160 MATEMÁTICA A 11

TESTE DE AVALIAÇÃO 1

PTMA11_20192852_P160_178_4P.indd 160 02/07/2020 14:01

(7)

161

ESTOU PREP

ARADO(A)?

3.2. Mostra que a área do triângulo [BCD] , é dada em função de _{α , pela expressão}sin α _{2 cos}(1 + cos α) ______________ α

3.3. Para um certo número real _{θ , com θ ∈ ] 0; π _ 2 [ , tem-se que ‾}BD _{= 2}√ _ 2

Determina o valor exato da área do triângulo [BCD] correspondente ao número real _{θ , recorrendo} a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.

4. _{Seja a função f , de domínio [− π, −}π _ _{6 ] , definida por f (x) = co s}2

( π _ 8 ) − sen 2_x

+ co s 2

( 3π _ 8 )

4.1. Mostra analiticamente que f (x) = (1 − sen x) × (1 + sen x) e determina o(s) zero(s) de f .

4.2. Qual é o contradomínio de f ?

(A) [0, 1] (B) [1, 2] _{(C) [}3 _ _{4 , 1]} _{(D) [1,}_ 5 _{4 ]}

5. Considera a função f , de domínio _{ℝ , definida por f}(x) = − x + cos ₍ x _ 2 )

5.1. Determina, em ]− 7π, 4π [ , as soluções da equação ₍f (x) + x₎ 2 _{− 1 = − 2 + sin}₍ x _ ₂ ₎

5.2. Seja k um número real negativo. Sabendo que sin ₍ k _

2 ) = − 1 e f (π + k) = 1 − 4k − 22π , determina o valor exato de k .

6. Na figura está representada uma circunferência de raio 3 .

y x O P R Q α

Tal como a figura sugere, O é a origem do referencial, Q pertence ao segundo quadrante e à circunferência, P é o ponto de coordenadas (3, 0) e R é o ponto de coordenadas (_{− 3, 0}) .

A amplitude, em radianos, do ângulo POQ é _{α .}

Qual das expressões seguintes designa um número real inferior à abcissa do ponto Q ? (A) cos (− α) − 3cos (π − α) (B) cos α _ _tg

α (C) 6 cos α − 4 sin ₍α + π _ ₂ ₎ (D) sin α − cos α

7. Seja I um intervalo de números reais. Sabe-se _{∀ x ∈ I, tg x − sen x > 0}

Qual dos intervalos seguintes pode ser o intervalo I ?

(A) ]− 90º, 90º [ (B) ]− 180º, − 90º [ (C) ] 90º, 180º _[ (D) ] 0º, 180º _[ MATEMÁTICA A 11 161

TESTE DE AVALIAÇÃO 1

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