Uma móvel parte da origem do eixo x com velocidade constante igual a 3m/s. No instante t=6s o Uma móvel parte da origem do eixo x com velocidade constante igual a 3m/s. No instante t=6s o móvel sofre uma aceleração a= -4m/s
móvel sofre uma aceleração a= -4m/s22..
A equação horária, a partir do instante t=6s, será? A equação horária, a partir do instante t=6s, será? De t=0 até t=6s temos um MRU.
De t=0 até t=6s temos um MRU. Logo a equação horária é:
Logo a equação horária é:
A posição em t=6s será A posição em t=6s será
Daí p
Daí pra frente ra frente temos um temos um MRUV:MRUV:
PROBLEMA DE
PROBLEMA DE CINEMÁTICACINEMÁTICA #02#02
Um
Um móvel móvel se se desloca desloca segundo segundo a a equação equação , , sendo sendo x x o o deslocamento deslocamento em em metros metros e e t t oo tempo em segundos. Nessas condições podemos afirmar a diferença entre sua aceleração para t tempo em segundos. Nessas condições podemos afirmar a diferença entre sua aceleração para t == 1s e para t = 5s é?
1s e para t = 5s é?
Logo, percebe-se que é uma equação de segundo grau, o
Logo, percebe-se que é uma equação de segundo grau, o que caracteriza um MRUV, logo aque caracteriza um MRUV, logo a aceleração é CONSTANTE.
aceleração é CONSTANTE. Tendo:
Tendo:
Derivando uma vez, chegamos a equação da VELOCIDADE: Derivando uma vez, chegamos a equação da VELOCIDADE: e comparando com a equação base do MRUV:
Não existe diferença entre a aceleração em
Não existe diferença entre a aceleração em t = 1s e t = 5s, pois ela é CONSTANTE.t = 1s e t = 5s, pois ela é CONSTANTE. PROBLEMA DE
PROBLEMA DE CINEMÁTICACINEMÁTICA #03#03
Um automóvel viaja a 30km/h durante 1h, em seguida, a 60km/h durante 1/2h. Qual foi a Um automóvel viaja a 30km/h durante 1h, em seguida, a 60km/h durante 1/2h. Qual foi a velocidade média no percurso?
velocidade média no percurso?
No percurso todo: No percurso todo:
PROBLEMA DE
PROBLEMA DE CINEMÁTICACINEMÁTICA #04#04
Duas cidades A e B, distam 200km entre si. Simultaneamente, um carro parte de A para B a Duas cidades A e B, distam 200km entre si. Simultaneamente, um carro parte de A para B a 60km/h, e outro
60km/h, e outro de B para A de B para A com rapidez de com rapidez de 40km/h, seguindo pela 40km/h, seguindo pela mesma estrada.mesma estrada. a) Depois de quanto tempo irão se encontrar?
a) Depois de quanto tempo irão se encontrar? b) A que distância de A lês se encontrarão? b) A que distância de A lês se encontrarão? A seguir duas formas de resolver o problema. A seguir duas formas de resolver o problema. 1) Por rapidez relativa:
1) Por rapidez relativa: Carro A:
Carro A:
Carro B: Carro B:
Como os movimentos possuem a mesma direção e sentidos opostos, a rapidez relativa será: Como os movimentos possuem a mesma direção e sentidos opostos, a rapidez relativa será:
Trata-se de um MRU, pois não há nada que indique variação na rapidez (módulo da velocidade), Trata-se de um MRU, pois não há nada que indique variação na rapidez (módulo da velocidade), logo:
logo:
O carro A terá percorrido: O carro A terá percorrido:
2) Usando a equação horária da posição do MU: 2) Usando a equação horária da posição do MU:
Para o carro A: Para o carro A: Para o carro B: Para o carro B: No momento do encontro: No momento do encontro:
A posição do carro A no momento do encontro será: A posição do carro A no momento do encontro será:
Em um prédio de 20 andares (além do térreo) o elevador leva 36s para ir do térreo ao 20º Em um prédio de 20 andares (além do térreo) o elevador leva 36s para ir do térreo ao 20º andar.Uma pessoa no andar x chama o elevador,que está inicialmente no térreo,e 39,6s após a andar.Uma pessoa no andar x chama o elevador,que está inicialmente no térreo,e 39,6s após a chamada a pessoa atinge o andar térreo.Se não houve paradas intermediárias,e os tempos de chamada a pessoa atinge o andar térreo.Se não houve paradas intermediárias,e os tempos de abertura e fechamento da porta do elevador e de entrada e ´saída do passageiro são
abertura e fechamento da porta do elevador e de entrada e ´saída do passageiro são desprezíveis,podemos dizer que o andar x é o
desprezíveis,podemos dizer que o andar x é o Podemos perceber que:
Podemos perceber que: Térreo: Térreo: x x =0=0 1º andar = x=1 1º andar = x=1 2º Andar x= 2 2º Andar x= 2 20º Andar = x=20 20º Andar = x=20
“Se” a rapidez do elevador for constante (não é feita nenhuma menção a isso no problema), temos “Se” a rapidez do elevador for constante (não é feita nenhuma menção a isso no problema), temos
um MRU, logo a rapidez do
um MRU, logo a rapidez do elevador será:elevador será:
Se o elevador movimentou-se exclusivamente para atender a essa pessoa, teremos que o intervalo Se o elevador movimentou-se exclusivamente para atender a essa pessoa, teremos que o intervalo de tempo de subida e de descida deve ser igual (supondo rapidez constante), então temos:
de tempo de subida e de descida deve ser igual (supondo rapidez constante), então temos:
O número de andares percorridos do térreo até o andar da pessoa será: O número de andares percorridos do térreo até o andar da pessoa será: 5/9 x 19,8 = 11
5/9 x 19,8 = 11 PROBLEMA DE
PROBLEMA DE CINEMÁTICACINEMÁTICA #06#06
Percorrendo-se uma distância "d" a 30km/h gasta-se 2 h menos do que se percorresse a 12km/h. Percorrendo-se uma distância "d" a 30km/h gasta-se 2 h menos do que se percorresse a 12km/h. Qual o valor de "d"? Qual o valor de "d"? 1º caso: 1º caso: d = 30.(t – 2) d = 30.(t – 2) 2º caso 2º caso d = 12.t d = 12.t
Podemos igualar as duas expressões: Podemos igualar as duas expressões: 30.(t – 2) = 12t
30.(t – 2) = 12t
Basta isolar “t” e substituir em uma das equações anteriores. Basta isolar “t” e substituir em uma das equações anteriores. 30t – 60 = 12t 30t – 60 = 12t 30t – 12t = 60 30t – 12t = 60 18t = 60 18t = 60 t = 60/18 = 10/3h t = 60/18 = 10/3h Logo, Logo, d = 12.t è d = 12 x 10/3 = 40km d = 12.t è d = 12 x 10/3 = 40km
Uma pessoa anda com uma velocidade constante de 2m/s durante 20 minutos em uma linha reta. Uma pessoa anda com uma velocidade constante de 2m/s durante 20 minutos em uma linha reta. Em seguida retorna, correndo, pela mesma trajetória anterior, durante 3 minutos com velocidade Em seguida retorna, correndo, pela mesma trajetória anterior, durante 3 minutos com velocidade constante de 6m/s. A rapidez
constante de 6m/s. A rapidez média da pessoa e média da pessoa e a velocidade média, a velocidade média, em m/s, durante estes 23em m/s, durante estes 23 minutos foi de aproximadamente:
U
Um móvel percorre a distância em linha reta entre duas cidades em duas etapas. Na primeira etapam móvel percorre a distância em linha reta entre duas cidades em duas etapas. Na primeira etapa ele
ele percorre percorre com com uma uma rapidez rapidez e e na na segunda segunda etapa etapa com com uma uma rapidez rapidez .. Determine a rapidez média supondo que as duas etapas possuem o mesmo comprimento
Determine a rapidez média supondo que as duas etapas possuem o mesmo comprimento A rapidez média na viagem entre as duas cidades é dada por:
A rapidez média na viagem entre as duas cidades é dada por:
Pode-se afirmar que Pode-se afirmar que
èè
èè
èè èè
a) Ch
a) Chamanamando de “do de “ ” a di” a distânstância ecia em cada m cada metmetade dade da viaa viagemgem
então então èè èè èè èè
Um trem de 400m de comprimento com velocidade de 20m/s para atravessar um túnel de 1800m Um trem de 400m de comprimento com velocidade de 20m/s para atravessar um túnel de 1800m de comprimento.
de comprimento.
Qual o intervalo de tempo necessário para atravessar o túnel? Qual o intervalo de tempo necessário para atravessar o túnel? Basta usar:
Basta usar:
PROBLEMA DE
PROBLEMA DE CINEMÁTICACINEMÁTICA #10#10
Um automóvel que se desloca com velocidade constante de 72 km/h ultrapassa outro que se Um automóvel que se desloca com velocidade constante de 72 km/h ultrapassa outro que se desloca com uma velocidade constante de 54 km/h, numa mesma estrada reta. O primeiro desloca com uma velocidade constante de 54 km/h, numa mesma estrada reta. O primeiro
encontra-se 200m atrás no instante t=0. Em que instante o primeiro estará ao lado do segundo? encontra-se 200m atrás no instante t=0. Em que instante o primeiro estará ao lado do segundo? Existem várias formas de resolver o problema, usarei o método da VELOCIDADE RELATIVA: Existem várias formas de resolver o problema, usarei o método da VELOCIDADE RELATIVA:
Dois amigos, correndo sobre uma mesma pista retilínea e em sentidos opostos, avistam-se quando Dois amigos, correndo sobre uma mesma pista retilínea e em sentidos opostos, avistam-se quando a distância que os separa é de 150m. Um está correndo com velocidade escalar constante de 5,0 a distância que os separa é de 150m. Um está correndo com velocidade escalar constante de 5,0 m/s e o outro com velocidade escalar constante de - 7,5 m/s. Que distância cada um percorrerá na m/s e o outro com velocidade escalar constante de - 7,5 m/s. Que distância cada um percorrerá na pista, desde que se avistam até o instante em que um passa pelo outro?"
pista, desde que se avistam até o instante em que um passa pelo outro?"
Para calcular o intervalo de tempo que eles levaram para se encontrar, podemos usar: Para calcular o intervalo de tempo que eles levaram para se encontrar, podemos usar:
O deslocamento de cada um será: O deslocamento de cada um será:
PROBLEMA DE
PROBLEMA DE CINEMÁTICACINEMÁTICA #12#12
Um móvel parte de um certo ponto com movimento que obedece à lei horária x = 4t², em que “x” é Um móvel parte de um certo ponto com movimento que obedece à lei horária x = 4t², em que “x” é a posição do móvel ,em metros, e “t” é o tempo em segundos. Um segundo depois parte um outro a posição do móvel ,em metros, e “t” é o tempo em segundos. Um segundo depois parte um outro móvel do mesmo ponto do primeiro, com movimento uniforme e seguindo a mesma trajetória. Qual móvel do mesmo ponto do primeiro, com movimento uniforme e seguindo a mesma trajetória. Qual a menor velocidade que deverá ter esse segundo móvel, a fim de encontrar o primeiro?
a menor velocidade que deverá ter esse segundo móvel, a fim de encontrar o primeiro? Móvel 1 - MRUV:
Móvel 1 - MRUV:
Móvel 2 - MRU: Móvel 2 - MRU:
No instante de encontro, teremos: No instante de encontro, teremos:
Um móvel A com movimento retilíneo uniforme parte de um ponto a em direção a b, com Um móvel A com movimento retilíneo uniforme parte de um ponto a em direção a b, com
velocidade de 90 km/h. No mesmo instante sai de b um móvel B, também com MRU. A distância velocidade de 90 km/h. No mesmo instante sai de b um móvel B, também com MRU. A distância retilínea ab é de 10km. Calcule a velocidade do móvel B, para que ambos se cruzem a 6km de A. retilínea ab é de 10km. Calcule a velocidade do móvel B, para que ambos se cruzem a 6km de A. Teste semelhante ao anterior, porém agora é conveniente usar as equações horárias.
Teste semelhante ao anterior, porém agora é conveniente usar as equações horárias.
como
como o o encontro encontro deve deve ser ser em em , , teremosteremos
,,
substituindo
Um automóvel passa por uma posição a 10 km de um ponto O, afastando-se dele com velocidade Um automóvel passa por uma posição a 10 km de um ponto O, afastando-se dele com velocidade constante de 84 km/h. Que velocidade deve ter um motociclista que nesse instante passa por O, constante de 84 km/h. Que velocidade deve ter um motociclista que nesse instante passa por O, para alcançar o automóvel em 20 minutos?
para alcançar o automóvel em 20 minutos? Montando as equações horárias:
Um trem sai da estação de uma cidade, em percurso retilíneo, com velocidade constante de Um trem sai da estação de uma cidade, em percurso retilíneo, com velocidade constante de 50km/h. Quanto tempo depo
50km/h. Quanto tempo depois de sua partidadeverá saiis de sua partidadeverá sair da mesma estação, r da mesma estação, um segundo tremum segundo trem com velocidade constante de 75km/h, para alcançá-lo a 120 km da cidade.
com velocidade constante de 75km/h, para alcançá-lo a 120 km da cidade. Rapidez do trem Rapidez do trem Rapidez do trem 2 Rapidez do trem 2 Posição de encontro Posição de encontro Equações horárias Equações horárias Trem
Trem 1: 1: mas mas como como queremos queremos x x = = 120 120 kmkm
Trem 2: Trem 2: e
Dois moveis em
Dois moveis em MRU partem simultaneamente MRU partem simultaneamente dos dos pontos A e pontos A e B em sentidos B em sentidos contrários e scontrários e see encontram pela primeira vez a 720m de A, a velocidade do que parte do ponto A é va e a encontram pela primeira vez a 720m de A, a velocidade do que parte do ponto A é va e a velocidade do que parte do ponto B é vb. Cada móvel ao chegar ao ponto oposto ao da partida para velocidade do que parte do ponto B é vb. Cada móvel ao chegar ao ponto oposto ao da partida para por 10 minutos e retornam. O segundo ponto de encontro está situado a 400m do ponto B. Pede-se por 10 minutos e retornam. O segundo ponto de encontro está situado a 400m do ponto B. Pede-se a distancia entre os pontos A e B.
a distancia entre os pontos A e B.
Certamente os intervalos de tempo “t” necessários para cada encontro serão os mesmos. Certamente os intervalos de tempo “t” necessários para cada encontro serão os mesmos. Temos 4 equações
Temos 4 equações
Basta resolver este sistema. Basta resolver este sistema.
Substituindo Substituindo
Determine a velocidade de um projétil disparado contra um alvo rotativo disposto a 15m de Determine a velocidade de um projétil disparado contra um alvo rotativo disposto a 15m de
distância, sabendo-se que o alvo executa 300 revoluções por minuto e o arco medido entre o ponto distância, sabendo-se que o alvo executa 300 revoluções por minuto e o arco medido entre o ponto visado no momento do disparo e o ponto de impacto do projétil no alvo é de 180º.
visado no momento do disparo e o ponto de impacto do projétil no alvo é de 180º. A freqüência do alvo é:
A freqüência do alvo é:
f = número de rotações / tempo f = número de rotações / tempo f = 300 / 60s = 5Hz
f = 300 / 60s = 5Hz
A distância percorrida pelo “ponto” é de: A distância percorrida pelo “ponto” é de: delta x = delta phi . R
delta x = delta phi . R delta x = pi.R
delta x = pi.R
A velocidade linear do ponto é de: A velocidade linear do ponto é de: v = delta x / delta t v = delta x / delta t ou ou v = w.R v = w.R v = 2.pi.f.R v = 2.pi.f.R Igualando as duas: Igualando as duas:
delta x / delta t = 2.pi.f.R delta x / delta t = 2.pi.f.R pi.R / delta t = 2.pi.f.R pi.R / delta t = 2.pi.f.R 1 / delta t = 2.f 1 / delta t = 2.f delta t = 1 / 2f delta t = 1 / 2f delta t = 1 / 2.5 = 1/10 s delta t = 1 / 2.5 = 1/10 s
A rapidez do projétil será: A rapidez do projétil será:
v = delta x / delta t = 15m / (0,1s) = 150 m/s v = delta x / delta t = 15m / (0,1s) = 150 m/s
PROBLEMA DE
PROBLEMA DE CINEMÁTICACINEMÁTICA #18#18 Uma patrulha rodoviária
Uma patrulha rodoviária mede o tempo que cada veiculo levmede o tempo que cada veiculo leva para percorrer um trecho de 400 ma para percorrer um trecho de 400 m de estrada. Um automóvel percorre a primeira metade do trecho a 120km/h. Sendo de 80km/h a de estrada. Um automóvel percorre a primeira metade do trecho a 120km/h. Sendo de 80km/h a velocidade máxima permitida, qual deve ser a maior velocidade media do mesmo na segunda velocidade máxima permitida, qual deve ser a maior velocidade media do mesmo na segunda metade da estrada para evitar que seja multado?
metade da estrada para evitar que seja multado?
Pode-se afirmar que Pode-se afirmar que
então então
PROBLEMA DE
PROBLEMA DE CINEMÁTICACINEMÁTICA #23#23
Uma super mosca persegue um automóvel de comprimento 3 m. A velocidade da super mosca é o Uma super mosca persegue um automóvel de comprimento 3 m. A velocidade da super mosca é o dobro da do automóvel. Calcular, em metros, o deslocamento da mosca, ao ultrapassar totalmente dobro da do automóvel. Calcular, em metros, o deslocamento da mosca, ao ultrapassar totalmente o automóvel.
o automóvel.
Nos problemas envolvendo ultrapassagens, use sempre: Nos problemas envolvendo ultrapassagens, use sempre:
comprimento do corpo comprimento do corpo Temos então: Temos então: logo logo
Para calcular a distância percorrida pela mosca: Para calcular a distância percorrida pela mosca:
PROBLEMA DE
PROBLEMA DE CINEMÁTICACINEMÁTICA #24#24
Inicialmente com velocidade de 4 m/s, em MRUV, uma partícula se desloca 7 m durante o 2º Inicialmente com velocidade de 4 m/s, em MRUV, uma partícula se desloca 7 m durante o 2º
segundo de movimento. Calcular o deslocamento, em metros, durante o 3º segundo de movimento. segundo de movimento. Calcular o deslocamento, em metros, durante o 3º segundo de movimento. Equação da posição:
Equação da posição:
Equação do deslocamento Equação do deslocamento
(essa é a rapidez no instante t=1s) (essa é a rapidez no instante t=1s) 1s até 2s
1s até 2s
Deslocamento DURANTE o 2º segundo Deslocamento DURANTE o 2º segundo
Logo, podemos montar uma tabela Logo, podemos montar uma tabela t(s)
t(s) 0 0 1 1 2 2 3 3 44 x(m)
x(m) 0 0 5 5 12 12 21 21 3232
Agora só resta calcular os deslocamentos: Agora só resta calcular os deslocamentos:
Em um jogo d
Em um jogo de futebol, um atleta bate uma e futebol, um atleta bate uma falta comunicando à bola uma falta comunicando à bola uma velocidade inicial Vo velocidade inicial Vo queque forma um ângulo de 45° com o plano do chão.
forma um ângulo de 45° com o plano do chão. A bola, após um
A bola, após um tempo de vôo dtempo de vôo de 2,0 s, bate e 2,0 s, bate na parte superior da na parte superior da trave que trave que está a uma altura deestá a uma altura de 2,0 m do chão.
2,0 m do chão.
Adote g = 10 m/s² e despreze o efeito do ar. Adote g = 10 m/s² e despreze o efeito do ar.
A altura máxima atingida pela bola é um valor mais próximo de: A altura máxima atingida pela bola é um valor mais próximo de: (A) 3,0 m (A) 3,0 m (B) 4,0 m (B) 4,0 m (C) 5,0 m (C) 5,0 m (D) 6,0 m (D) 6,0 m (E) 7,0 m (E) 7,0 m
A posição vertical em cada instante é dada por: A posição vertical em cada instante é dada por:
Com Com
Temos: Temos:
A
A altura altura máxima máxima ocorre ocorre quando quando ::
Ou ainda (por derivação): Ou ainda (por derivação):
Uma pedra é arremessada do Ponto P com uma velocidade de 10 m/s numa direção que forma um Uma pedra é arremessada do Ponto P com uma velocidade de 10 m/s numa direção que forma um ângulo de 45 graus com a horizontal, atingindo o ponto Q conforme indicado no esquema
ângulo de 45 graus com a horizontal, atingindo o ponto Q conforme indicado no esquema
Considerando que a resistência do ar é desprezível, a distância d indicada no esquema, em metros, Considerando que a resistência do ar é desprezível, a distância d indicada no esquema, em metros, é um valor mais próximo de:
é um valor mais próximo de: (A)
(A) 2.4 2.4 (B) (B) 7.1 7.1 (C) (C) 12 12 (D) (D) 14 14 (E) (E) 2424
Resolução: Resolução:
Sendo um movimento bidimensional, é conveniente decompor em duas direções: VERTICAL (y) e Sendo um movimento bidimensional, é conveniente decompor em duas direções: VERTICAL (y) e HORIZONTAL (x)
HORIZONTAL (x)
Na direção y, temos um MRUV com as seguintes equações: Na direção y, temos um MRUV com as seguintes equações:
O deslocamento horizontal (“d” na figura), nada mais é que o deslocamento na direção “x” (em O deslocamento horizontal (“d” na figura), nada mais é que o deslocamento na direção “x” (em MRU)
MRU) durante t durante t = 1,707 = 1,707 s, logo:s, logo:
Resposta: (C) Resposta: (C)
