MATEMÁTICA
Prof. Sandro Godeiro
Números e Operações
Operações com conjuntos: união, interseção e complementar. Sistemas de numeração e conjuntos numéricos: números inteiros, racionais, irracionais e reais. Problemas envolvendo as operações e seus significados. Divisibilidade, máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum. Razão e proporção. Grandezas diretamente ou inversamente proporcionais. Regra de Três simples ou composta. Porcentagem. Juros simples. Equações, inequações e sistemas de equações de primeiro grau. Equações e inequações polinomiais de 2º grau. Expressões algébricas: monômios, polinômios, produtos notáveis e fatoração. Funções afim e quadrática.
CONJUNTOS
Um conjunto é uma coleção de elementos ou de objetos. Para representar um conjunto usamos uma letra maiúscula do alfabeto e entre dois parêntesis escrevemos os elementos pertinentes ao conjunto.
Exemplo:
U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} e A = {2, 4, 6}.
Um conjunto também pode ser representado por uma propriedade que caracteriza os seus elementos. Exemplo:
U = {x/x é um algarismo do sistema de numeração decimal };
A = {x/x é um número natural maior que 1 e menor que 7} e B = {x N/ 4 x 8}.
Para indicarmos que um elemento pertence a um conjunto utilizamos o símbolo que se lê “pertence” e para indicarmos que um elemento não pertence a um conjunto usamos o símbolo que se lê “não pertence”.
Estes símbolos são usados exclusivamente para relacionar elementos com conjuntos.
Exemplo:
Se A = {2, 3, 4, 5, 6} dizemos que 2 A, 5 A mas 7 A e 0 A.
Um conjunto unitário é aquele que tem apenas um elemento.
Exemplo: A = {5}.
Um conjunto vazio é aquele que não possui nenhum elemento.
Exemplo: A = { } ou A = .
Dois conjuntos são iguais quando eles possuem exatamente os mesmos elementos.
Exemplo:
Se A = {x N/ x < 6} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5} então A = B. Dois conjuntos são disjuntos quando eles não têm nenhum elemento em comum.
Exemplo:
A = {2, 4, 6, 8} e B = {1, 3, 5, 7, 9}.
Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B, e indicamos A B, que se lê “A está contido em B”, se todos os elementos do conjunto A também forem elementos do conjunto B. Quando A é subconjunto de B também dizemos que B contém A, que indicamos por B A.
Se um conjunto B não é subconjunto de um conjunto A dizemos que B não está contido em A e indicamos por B A.
Exemplo:
Se A = {2, 4, 6, 8} e B = {0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} então A é subconjunto de B, ou seja, A B, mas B não é subconjunto de A, ou seja B A.
O conjunto Universo é o conjunto que contém os demais conjuntos, ou que os demais conjuntos são subconjuntos dele.
Exemplo:
Se U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {3, 4, 5} e B = {4, 5, 6, 7, 8} então o conjunto U é o conjunto universo para os conjuntos A e B, como no diagrama de Venn a seguir:
Operações com conjuntos
Dados dois conjuntos A e B, chama-se UNIÃO, reunião ou junção de A com B, o conjunto formado pelos elementos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B.
Exemplo:
Se A = {2, 3, 4, 5, 6} e B = {4, 5, 6, 7, 8} então A B = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.
Dados dois conjuntos A e B, chama-se INTERSEÇÃO de A com B ao conjunto formado pelos elementos que pertencem simultaneamente ao conjunto A e ao conjunto B.
Exemplo:
Se A = {2, 3, 4, 5, 6} e B = {4, 5, 6, 7, 8} então A B = {4, 5, 6}.
Dados dois conjuntos A e B, chama-se DIFERENÇA entre os dois conjuntos A e B, nesta ordem, ao conjunto cujos elementos pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B, ou seja, pertencem somente ao conjunto A.
Exemplo:
Se A = {2, 3, 4, 5, 6} e B = {4, 5, 6, 7, 8} então A – B = {2, 3}.
Se A é qualquer subconjunto do conjunto universo U, ou seja se A U, chama-se conjunto complementar do conjunto A em relação ao conjunto U, o conjunto cujos elementos pertencem ao conjunto A mas não pertencem a U.
Exemplo: Se U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} e A = {2, 3, 4, 5, 6} então
A
U
A
= {0, 1, 7, 8}. Propriedades básicasAs seguintes propriedades são válidas quando estamos operando com conjuntos:
I) (A B) = (B A); II) (A B) = (B A); III) A (B C) = (A B) (A C); IV) A (B C) = (A B) (A C); V) ABAB; VI) ABAB;
VII) Número de elementos da união n(A B) = n(A) + n(B) – n(A B);
VIII) Número de subconjuntos de um conjunto A com n elemento: P(A) = 2n.
OS NÚMEROS NATURAIS
Representamos por N o conjunto dos números naturais, ou seja,
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
Este conjunto é fechado apenas para as operações de Adição e Multiplicação pois se adicionarmos ou multiplicarmos dois números naturais quaisquer o resultado também é um número natural. Contudo este conjunto não é fechado para as operações de divisão e subtração pois, por exemplo, 3 – 5 = 2 e 2 4 = 0,5 que evidentemente não são números naturais.
Observamos ainda que este conjunto tem infinitos elementos, os dez primeiros são os algarismos arábicos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, com os quais formamos qualquer número do sistema decimal. Então os algarismos são símbolos com os quais formamos os números, por exemplo, 10, 2012, 46780, etc.
Representação decimal de um número natural:
Para escrever um número usamos o Princípio da
Posição Decimal, isto é, cada algarismo que se escreve
imediatamente à esquerda de outro ocupa uma posição de ordem 10 vezes maior que esse outro.
Assim, o número 2345 tem a seguinte Representação Decimal: 234 = 200 + 30 + 4 = 100×2 + 10×3 + 4.
De um modo geral, se abcd é um número de 4 algarismos, então:
abcd = 1000a + 100b + 10c + d.
As operações fundamentais
1) A Adição: Na operação de adição os números que somamos chamam-se parcelas e o resultado final da operação de adição chama-se soma ou total.
Exemplo:
Na adição 32 + 45 = 77 tem-se que 32 e 45 são as parcelas e 77 é a soma ou total.
2) A Subtração: Na operação de subtração o primeiro número chama-se minuendo e o segundo número chama-se subtraendo, o resultado da subtração é a
diferença ou o resto.
Exemplo:
Na subtração 77 – 32 = 45 tem-se que 77 é o minuendo, 32 é o subtraendo e 45 é o resto.
3) A Multiplicação: Na operação de multiplicação o primeiro número chama-se multiplicando e o segundo número chama-se multiplicador. O resultado da multiplicação chama-se produto.
Exemplo:
Na multiplicação 32 x 45 = 1440 tem-se que 32 é o multiplicando, 45 é o multiplicador e 1440 é o produto. Numa multiplicação, os números que são multiplicados são chamados fatores.
4) A Divisão: Dados dois números inteiros A e d, sendo d 0, existe um único par de números inteiros (q; r) tal que A = dq + r e 0 r < |d|. Dizemos que q é o quociente e r é o resto da divisão de A por d (A é o dividendo e d é o divisor). Algoritmo da divisão Dividendo A d Divisor r q Quociente Resto A = d.q + r onde 0 r < |d|
Em toda divisão o dividendo é igual ao produto do divisor pelo quociente mais o resto.
Em toda divisão com inteiros positivos o maior resto possível é igual ao divisor menos 1: r = d – 1.
OS NÚMEROS INTEIROS
Representamos por Z o conjunto dos números inteiros relativos:
Z = {..., – 2, – 1, 0, 1, 2, ...},
que como vemos é formados por todos os números inteiros positivos e negativos, inclusive o zero, e é um conjunto infinito à esquerda e à direita.
O valor absoluto, “| |”, de um número inteiro não nulo é sempre o seu valor natural correspondente, ou seja, independente de sinal, por exemplo: | 5| = |+ 5| = 5. Um número inteiro é menor (maior) do que outro número inteiro se o valor absoluto do primeiro for maior
(menor) que o valor absoluto do segundo, por exemplo: 5 3, pois, 5 3. É por esta razão que quando estamos resolvendo uma inequação substituímos, por exemplo, 2x 8 por 2x 8, para finalmente obtermos x 4.
Assim, temos:
I) O módulo de um número positivo x é igual ao próprio x, isto é, se x > 0, então |x| = x.
II) O módulo de um número negativo x é igual ao oposto de x (que é positivo), isto é, se x < 0, então |x| = – x.
III) O módulo de zero é igual ao próprio zero: |0| = 0. 0 x s e , x 0 x s e , x x
Os números inteiros são muito utilizados quando resolvemos expressões numéricas que envolvem chaves, parênteses e colchetes. Os inteiros relativos têm as seguintes propriedades:
Na adição de inteiros com sinais iguais, somamos e conservamos o mesmo sinal.
Exemplo:
( 5) + ( 3) = 8.
Na adição de inteiros com sinais diferentes, subtraímos e conservamos o sinal do inteiro que tiver maior valor absoluto.
Exemplo: ( 5) + (+ 3) = 2.
Na multiplicação de inteiros com sinais iguais, o resultado será sempre positivo.
Exemplo: ( 5).( 3) = 15.
Na multiplicação de inteiros com sinais diferentes, o resultado será sempre negativo.
Exemplo: ( 5).(+ 3) = 15.
Na potenciação de inteiros prevalecem as regras da multiplicação, pois, por definição, uma potenciação é um produto de fatores iguais.
Exemplo:
( 3)4 = ( 3).( 3).( 3).( 3) = 81.
Toda potência de expoente inteiro par tem seu resultado sempre positivo.
Exemplo: ( 3)4 = 81.
E toda potência de expoente inteiro ímpar tem seu resultado sempre negativo.
Exemplo: ( 3)3 = 27.
Toda potência de expoente nulo é igual a unidade. Exemplo:
( 3)0 = 1.
Toda potência que vier com o sinal negativo continuará com o sinal negativo.
Exemplo: 34 = 81.
OS MÚLTIPLOS
Chamamos de múltiplo de um número inteiro positivo ao produto desse número por um número inteiro.
Assim, por exemplo, o conjunto dos múltiplos de 5, M(5), é dado por: 5.0 = 0 5.( 1) = 5 5.( 2) = 10 5.( 3) = 15 M(5) = {0, 5, 10, 15, ...} 5.( 4) = 20
Conjunto dos múltiplos de um número diferente de zero é infinito.
Zero é múltiplo de qualquer número. Todo número é múltiplo de si mesmo.
OS NÚMEROS PRIMOS E COMPOSTOS
Um número natural, diferente de 1, é primo, se admite apenas dois divisores naturais diferentes: ele e a unidade.
São exemplos de números primos:
2 3 5 7 11 13 17
19 23 29 31 37 41 43
47 53 59 61 67 71 73
79 83 89 97
Um número natural, diferente de 1, é composto se ele admite mais de 2 divisores naturais.
Exemplo:
O número 4 é um número composto pois o conjunto de sues seus divisores positivos é D = { 1, 2, 4}.
Dois números naturais são primos entre si se o único divisor comum entre eles é a unidade.
Exemplo: 15 e 28.
OS DIVISORES DE UM NÚMERO
Dados dois números inteiros, se a divisão do primeiro pelo segundo é exata, dizemos que o primeiro é divisível pelo segundo (também podemos dizer que o primeiro é múltiplo do segundo) e o (segundo é divisor do primeiro) também podemos dizer que o (segundo é fator do primeiro).
Veja que o número 20 pode ser dividido exatamente por 1, 2, 4, 5, 10 e pelo próprio 20 (divisores de 20). A este conjunto de números damos à denominação de conjunto dos divisores de um número que pode ser escrita da seguinte forma:
D(20) = { 1, 2, 4, 5, 10, 20}.
Existe um processo que torna mais prático a determinação do conjunto de todos os divisores positivos de um número inteiro. Trata-se do método da decomposição em fatores primos.
(I) Efetua-se a decomposição do número em fatores primos;
(II) À direita dos fatores primos encontrados, fazemos um traço vertical, em seguida, à direita desse traço e na linha acima, colocamos o número 1, que é divisor de todos os números;
(III) Multiplica-se o primeiro fator primo pelo número 1 e coloca-se o produto obtido na linha correspondente ao número;
(IV) Em seguida, multiplicam-se cada fator primo seguinte por cada um dos divisores já obtidos, colocando os produtos em sua linha correspondente (não é necessário e repetição de produtos);
(V) Todos os números que se encontram a direita do traço vertical, determinado no item (ii) formam o conjunto dos divisores positivos do número.
Observação: para cada divisor positivo encontrado pelo método acima, há um correspondente inteiro negativo. Exemplo:
Determinar o conjunto dos divisores positivos de 30: Decompondo 30 em fatores primos, temos:
30 15 5 1 2 3 5 ou seja, 30 = 2. 3. 5 2.3.5
Com base no que foi dito, temos que: 1 2 3, 6 5, 10, 15, 30 30 15 5 1 2 3 5 D(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}
TEOREMA FUNDAMENTAL DA ARITMÉTICA Todo número composto pode ser expresso por um produto de potências de números primos, ou seja, N = ax.by.cz...., onde a, b e c são números primos. Exemplo:
90 = 21 32 51.
Propriedade: Se N é um número natural e N se decompõe em fatores primos como N = ax.by cz...., então o número de divisores positivos do número N é obtido por:
n[D+(N)] = (x + 1).(y + 1).(z + 1)...
Exemplo:
Determinar o número de divisores positivos do número 60:
Resolução:
Aplicando o Teorema Fundamental da Aritmética teremos:
Efetuando a decomposição do número 60 em fatores primos: 60 30 15 5 1 2 2 3 5 ou seja, 60 = 22. 31. 51 22.3.5 Para finalizar, temos que:
n[D+(60)] = (2 + 1).(1 + 1).(1 + 1)
n[D+(60)] = 3 . 2 . 2 = 12 divisores
OS CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE
De acordo com o conceito de divisibilidade, sabe-se que um número é divisível por outro quando a divisão é exata, ou seja, deixa resto nulo. No entanto nem sempre a primeira vista, conseguimos perceber se um número é ou não, divisível por outro.
Existem, algumas regras que nos permitem verificar se um número é ou não divisível por outro, são chamados de CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE.
Um número natural N é divisível por:
2 se seu algarismo da unidade é par.
3 se a soma de seus algarismos é divisível por 3. 4 se o número formado por seus dois últimos
algarismos são zeros ou divisível por 4. 5 se seu algarismo da unidade é 0 ou 5. 6 se é divisível por 2 e por 3.
7 se ao subtrairmos, sucessivamente, o dobro do último algarismo da direita do número restante à esquerda, obtivermos resto zero ou um número divisível por 7 (Exemplo: 3192)
Exemplo: 319 – (2.2) = 315; 31 – (2.5) = 21 é divisível por 7.
8 se o número formado por seus três últimos algarismos são zeros ou divisível por 8.
9 se a soma de seus algarismos é divisível por 9. 10 se seu algarismos das unidades é 0.
11 se a diferença entre soma dos algarismos de ordem par (SP) pela soma dos algarismos de ordem ímpar
(SI) resultar em um número divisível por 11.
Exemplo: 12232 é divisível por 11, pois
0
5
5
)
1
2
2
(
)
2
3
(
I P S S
. E como foivisto, zero é divisível por qualquer número, logo é também divisível por 11.
MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC)
Apesar de ser um assunto do domínio de todos, o MDC de dois ou mais números é, como o próprio nome sugere, o maior número que é divisor simultaneamente de todos os números dados. Entre as técnicas utilizadas para achar o MDC apresentaremos aquela que permite maior rapidez para obtê- lo.
Exemplo:
Qual o máximo divisor comum de 40, 60, 80 e 120?
Resolução:
Dividimos todos os números envolvidos pelo mesmo número, de preferência o maior divisor possível, e assim sucessivamente com os restos obtidos. Quando não pudermos mais dividir os últimos restos obtidos por um mesmo número o MDC será o produto dos quocientes encontrados. A saber: 40, 4, 2, 60, 6, 3, 80, 8, 4, 120 12 6 10 2 Logo, o MDC(40, 60, 80, 120) = 10×2 = 20.
O MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC)
Entre os vários métodos que existem para calcular o MMC de dois ou mais números, o método das divisões sucessivas ainda é o mais indicado. Dividimos sucessivamente todos os números dados, de preferência pelo maior divisor possível e quando não pudermos dividir simultaneamente todos pelo mesmo número continuamos a dividi-los separadamente até obtermos no final, restos iguais a unidade para todas as divisões. O MMC será o produto dos quocientes obtidos.
Exemplo:
Numa corrida o primeiro atleta dá a volta completa numa pista em 10 minutos, o segundo em 11 minutos e o terceiro em 12 minutos. Se eles partiram no mesmo instante, qual o tempo que decorrerá até que se encontrem novamente?
Resolução:
Se ao invés de três atletas nos restringirmos a apenas dois atletas, digamos A e B, entenderemos com mais facilidade a resolução do problema. Se o atleta A é mais rápido que o atleta B então este passará a ser retardatário em relação aquele, e isto significa que em um dado instante o atleta A alcançará pela primeira vez, após o início da corrida, o atleta B. Porém, como A é mais rápido do que B, haverão outros instantes em que B será ultrapassado por A. Logo, aquela primeira vez será o menor instantes de todos os instantes que venham a ocorrer. Se considerarmos os três atletas teremos que a resposta será o MMC de 10, 11 e 12, a saber:
10, 5, 5, 5, 1, 1, 11, 11, 11, 11, 11, 1, 12 6 3 1 1 1 2 2 3 5 11 Logo: MMC(10, 11, 12) = 223511 MMC(10, 11, 12) = 43511 MMC(10, 11, 12) = 660 minutos
Os três atletas levarão 223511 = 660 minutos = 11 horas para se encontrarem novamente.
AS PROPRIEDADES DO M.D.C. E DO M.M.C. ENTRE DOIS NÚMEROS INTEIROS POSITIVOS
(I) Se dois números são primos entre si o M.M.C. é o produto deles e M.D.C. é 1;
(II) Quando um número é divisível por outro, o maior deles é o M.M.C. e o menor é o M.D.C.;
(III) O produto de dois números a e b, diferentes de zero, é igual ao produto do M.D.C. pelo M.M.C. desses números, ou seja:
MDC(a, b).MMC(a, b) = a.b
OS NÚMEROS RACIONAIS
São números que se escrevem na forma de fração com termos inteiros e denominador diferente de zero. Exemplo: 1 0 5 5 , 0 , 5 1 7 5 2
3 , etc. As dízimas periódicas, simples ou compostas, são números racionais.
Para obtermos a fração geratriz de uma dízima periódica simples usamos a seguinte regra: “Toda dízima periódica simples é igual a uma fração mista cuja parte inteira corresponde a parte inteira da dízima e a parte fracionária tem para numerador o período e para denominador tantos noves quantos algarismos formem o período”. Exemplo: a) 0,333... = 3 1 9 3 . b) 2,1515... = 3 3 7 1 3 3 5 2 9 9 1 5 2 .
Para obtermos a fração irredutível que gerou uma dízima periódica composta usamos a seguinte regra: “Toda dízima periódica é igual a uma fração que tem para numerador a parte não periódica (sem a vírgula), seguida de um período, menos a parte não periódica. E para denominador tantos noves quantos algarismos formem o período, seguidos de tantos zeros, quantos sejam os algarismos da parte não periódica depois da vírgula”. Exemplo: 2475 5278 9900 21112 9900 213 21325 . . . 13252525 , 2 .
Os números racionais fracionários se escrevem na forma de fração com termos inteiros e denominador diferente de zero. Por exemplo:
5 3 , 3 2 , 2 1 , etc. Frações como estas representam partes de um inteiro.
As operações com frações
As seguintes regras facilitam as operações com frações ordinárias:
1) Para compararmos duas ou mais frações, basta reduzi-las ao mesmo denominador achando o MMC.
Exemplo: As frações 5 3 , 3 2 , 2 1
são equivalentes às frações 3 0 1 8 , 3 0 2 0 , 3 0 1 5 , pois o MMC(5, 3, 2) = 30. Como 3 0 1 5 < 3 0 1 8 < 3 0 2 0 , então 2 1 < 5 3 < 3 2 .
2) Para somarmos ou subtrairmos duas ou mais frações de mesmo denominador, conserva-se o denominador e somam-se os numeradores. Exemplo: 2 13 26 13 4 30 13 4 23 5 2 13 4 13 23 13 5 13 2 .
3) Para somarmos ou subtrairmos duas ou mais frações com denominadores diferentes, inicialmente calculamos o MMC dos denominadores e a seguir o dividimos por cada um dos denominadores e multiplicamos o quociente de cada divisão pelo respectivo numerador. Em seguida procedemos como no caso anterior.
Exemplo: . 12 5 12 30 25 12 30 2 15 8 12 30 12 2 12 15 12 8 2 5 6 1 4 5 3 2
4) Para multiplicarmos duas ou mais frações, multiplicamos todos os numeradores e todos os denominadores, e a seguir simplificamos os termos da fração resultante. Exemplo: 5 3 1 2 0 7 2 8 9 5 4 3 2 .
5) Para dividirmos uma fração por outra, multiplicamos a primeira fração pelo inverso da segunda, e a seguir simplificamos a fração resultante.
Exemplo: 4 3 2 4 1 8 3 2 8 9 2 3 : 8 9 .
6) Para elevarmos uma fração a um expoente inteiro positivo, elevamos cada termo da fração a esse expoente, e em seguida, simplificamos a fração resultante. Exemplo: 2 7 8 2 1 6 6 4 6 4 6 4 3 3 3 .
7) Para elevarmos uma fração a um expoente inteiro negativo, inicialmente invertemos a fração e trocamos o sinal do expoente, e em seguida procedemos como no caso anterior. Exemplo: 9 4 3 2 2 3 2 2 .
8) Para se converter uma fração mista em uma fração ordinária, multiplicamos o denominador pela parte inteira da fração mista e somamos o resultado com o numerador. Exemplo: 9 25 9 7 18 9 7 2 9 9 7 2 .
9) Para se converter qualquer número decimal em uma fração ordinária, contamos quantas casas decimais existem após a vírgula e em seguida escrevemos uma fração cujo numerador é o número decimal sem a vírgula e cujo denominador é a unidade seguida de tantos zeros quantas sejam as casas decimais contadas após a vírgula. E seguida simplificamos a fração resultante.
Exemplo: 4 9 2 0 4 5 1 0 0 2 2 5 2 5 , 2 .
10) Para extrair a raiz quadrada de uma fração devemos extrair a raiz do numerador e a raiz do denominador. Exemplo: 5 3 2 5 3 2 2 5 1 2 2 5 1 2 2 .
11) Toda potência de expoente fracionário é uma raiz cujo índice é o denominador da fração do expoente da potência, e cujo radicando é a base da potência elevada ao valor do numerador da potência.
Exemplo: 4 4 6 4 8 83 3 2 3 3 3 2
RAZÃO E PROPORÇÃO
Uma Razão é o quociente entre dois números. Por exemplo: 52.
Uma Proporção é a igualdade de duas ou mais razões. Por exemplo:
1 0 4 5 2
.
As seguintes propriedades são importantes para as proporções:
Em toda proporção o produto dos extremos é igual ao produto dos meios: 2 1 0 5 4
1 0 4 5 2 .
Em toda proporção à soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes, assim como, cada antecedente está para seu consequente:
1 6 6 1 0 5 4 2 1 0 4 5 2 .
Duas sucessões de números são diretamente proporcionais quando a razão, divisão ou quociente entre seus valores correspondentes é uma constante k de proporcionalidade.
Exemplo:
As sucessões: (A: 2, 4, 8, e B: 8, 16, 32) são diretamente proporcionais, pois 4 1 3 2 8 1 6 4 8 2 k .
Duas sucessões de números são inversamente proporcionais quando o produto ou multiplicação entre seus valores correspondentes é uma constante k de proporcionalidade.
Exemplo:
As sucessões: (A: 2, 4, 5, 8 e B: 20, 10, 8, 5) são inversamente proporcionais, pois k = 2 20 = 4 10 = 5 8 = 8 5 = 40.
REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA
Uma Regra de Três é um processo prático para resolver problemas que envolvem duas ou mais grandezas proporcionais. Quando apenas duas
grandezas são envolvidas a regra de três é simples, e quando mais de duas grandezas são envolvidas a regra de três é composta.
Para resolver uma regra de três colocamos uma seta referencial com o sentido voltado para o valor a determinar da grandeza desconhecida, e após cada análise das demais grandezas com esta, colocar setas com o mesmo sentido da seta referencial se as grandezas forem diretamente proporcionais, ou sentido contrário ao da seta referencial, se as grandezas forem inversamente proporcionais.
Qualquer que seja a regra de três, simples ou composta, o valor desconhecido será obtido rapidamente efetuando o seguinte cálculo:
x = Valor da cauda da seta referencial Os valores das pontas das setas
Produto dos valores das caudas restantes Casos de proporcionalidade:
PORCENTAGEM
Uma porcentagem é uma razão com denominador igual a 100.
Exemplo:
Numa cidade de 4.000 habitantes, 1200 são crianças. Então a porcentagem de crianças que residem nesta cidade é dada por
1 0 0 3 0 3 0 , 0 4 0 0 0 1 2 0 0 , que representamos por 30%.
I) 20% significa: 1 0 0 2 0 = 0,20. II) 20% + 30% = 50% e 50% 30% = 20%. III) 20% de R$ 1.000,00 significa: 20%1000 = 0,201000 = R$ 200,00. IV) 20% de 30% significa: 20%30% = 0,200,30 = 0,06 = 6%.
V) A razão de 30% para 20% significa: % 1 5 0 1 0 0 1 5 0 5 , 1 2 3 2 0 , 0 3 0 , 0 % 2 0 % 3 0 .
VI) Aumentar R$ 1.000,00 em 20% significa: 1.000(1 + 0,20) = 1.0001,20 = R$ 1.200,00.
VII) Aumentar, sucessivamente, R$ 1.000,00 em 20% e 30% significa:
R$ 1.000,00(1 + 0,20) (1 + 0,30) = 1.0001,201,30 = 1.0001,56 = R$ 1.560,00.
VIII) Descontar R$ 1.000,00 em 20% significa: R$ 1.000,00(1 – 0,20) = 1.0000,80 = R$ 800,00.
IX) Descontar, sucessivamente, R$ 1.000,00 em 20% e 30% significa:
R$ 1.000,00(1 – 0,20)(1 – 0,30) = 1.0000,800,70 = 1.0000,56 = R$ 560,00.
X) Aumentar R$ 1.000,00 em 20% e em seguida dar um desconto de 30% significa:
R$ 1.000,00(1 + 0,20)(1 – 0,30) = 1.000 1,20 0,70 = 1.000 0,84 = R$ 840,00.
JUROS SIMPLES
Juros é a compensação financeira, prêmio ou aluguel, devido na aplicação de um capital. Na capitalização simples o juro produzido em vários períodos financeiros é constante em cada período e proporcional ao capital aplicado, sendo este coeficiente de proporcionalidade chamado de taxa de juros.
Então, um capital C colocado a juros à taxa i, ao final de n períodos financeiros produzirá um juro:
n i C J
Montante é o capital mais os juros, ou seja, M = C + J. Então, em capitalização simples, que se tem
n i C J , então MCCin. Colocando C em evidência teremos: ) n i 1 ( C M
POTENCIAÇÃO DE INTEIROS RELATIVOS
O conjunto dos números inteiros relativos é representado por ℤ = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...}
Na potenciação de inteiros relativos prevalecem as regras da multiplicação, pois, por definição, uma potenciação é um produto de fatores iguais.
Exemplo:
( 3)4 = ( 3).( 3).( 3).( 3) = 81.
Regras básicas:
Toda potência de expoente inteiro par tem seu resultado sempre positivo: ( 3)4 = 81.
Toda potência de base negativa e expoente ímpar tem seu resultado sempre negativo: ( 3)3 = 27. Toda potência de expoente nulo é igual a unidade:
( 3)0 = 1.
Toda potência que vier com o sinal negativo continuará com o sinal negativo: 34 = 81.
Toda potência de expoente negativo, inverte a base e troca o sinal do expoente:
3 3
2
1
2
. Para se elevar uma fração a um expoente, eleva-se cada termo da fração a esse expoente: 3
3 3
3
2
3
2
. Para multiplicar potências de mesma base, conserva-se a base e somam-se os expoentes: 35 34 = 37.
Para dividir potências de mesma base, conserva-se a base e subtraem-se os expoentes: 3 2
5
3
3
3
.
Para elevar uma potência um expoente, conserva-se a baconserva-se e multiplicam-conserva-se os expoentes:
3 5 152
2
. Toda potência de expoente fracionário é igual a uma raiz que tem para índice o denominador da fração e para expoente do radicando o numerador, e vice versa: 3 3 2
2
5
5
.EXPRESSÕES ALGÉBRICAS POLINOMIAIS
Chama-se Polinômio toda expressão algébrica formada por vários termos algébricos. Os polinômios que possuem apenas um termo algébrico são chamados MONÔMIOS. Por exemplo: 3x, 5x², 7xyz, etc. Os que possuem dois termos algébricos são os BINÔMIOS: 2x² + 7x, 4x – 5y, etc. Os que possuem três termos são os trinômios: x² – 5x + 6, etc.
O Valor Numérico de um Polinômio se obtém substituindo as letras de sua parte literal por valores dados e efetuando as operações indicadas.
Exemplo:
No polinômio P(a, b) = ab – ba, qual o valor de P( 2 , 3)?
Resolução:
Com a = 2 e b = 3 no polinômio teremos: P( 2, 3) = 2;3) ( 2)3 ( 3)2 ( P 7 2 1 7 7 2 8 9 9 1 8 1 3 1 2 1 ) 3 ; 2 ( P 2 3 .
Operações com polinômios
I) Só podemos somar ou subtrair monômios semelhantes, isto é, que possuem a mesma parte literal.
Exemplos:
a) 3x + 7x – 8x = 2x;
b) 3xy² + 5x²y – 4xy² + 6x²y = 11x²y – xy².
II) Para multiplicar um polinômio por outro multiplicamos cada termo do primeiro por todos os termos do segundo polinômio e depois reduzimos os termos semelhantes.
Exemplo:
a) (3x – 5y)(x + y) = 3x² + 3xy – 5xy – 5y²= 3x² 2xy – 5y². III) Para dividir um polinômio por um monômio, dividimos cada termo do polinômio pelo monômio. Exemplo: 1 x 3 x 2 x 4 x 4 x 4 x 1 2 x 4 x 8 x 4 x 4 x 1 2 x 8 4 2 3 3 3 5 3 7 3 3 5 7 .
IV) Para dividir um polinômio por outro polinômio usamos o MÉTODO DA CHAVE: Após ordenar o polinômio dividendo e o polinômio divisor com os expoentes dos seus termos literais em ordem decrescente, dividimos o primeiro termo do polinômio dividendo pelo primeiro termo do polinômio divisor. A seguir multiplicamos o quociente obtido por todos os termos do polinômio divisor e colocamos o resultado, com os sinais trocados, e na mesma ordem quanto aos expoentes, abaixo das parcelas do polinômio dividendo. Subtraímos os resultados. Baixando o próximo termo do polinômio dividendo procedemos como antes até obtermos resto zero, se a divisão for exata, ou resto com maior expoente na sua parte literal inferior ao expoente do polinômio divisor.
Exemplo:
Dividir A(x) = x3 – 3x2 + 3x – 1 por B(x) = x – 1.
Resolução:
Pelo método da chave, teremos:
Logo obtivemos o quociente Q(x) = x2 – 2x + 1 e resto R(x) = 0.
PRODUTOS NOTÁVEIS
1º Caso: Quadrado da soma de dois números: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
2º Caso: Quadrado da diferença de dois números: (a – b)2 = a2 – 2ab + b2
3º Caso: Quadrado da soma de três números: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
4º Caso: Produto da soma pela diferença de dois números:
(a + b).(a – b) = a2 – b2
5º Caso: Cubo da soma de dois números: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
6º Caso: Cubo da diferença de dois números: (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
FATORAÇÃO DE EXPRESSÕES ALGÉBRICAS
1º caso: Fator comum em evidência ax + bx = x(a + b)
2º Caso: Agrupamento
ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (a + b).(x + y) 3º Caso: Diferença de quadrados
a2 – b2 = (a + b).(a – b)
4º Caso: Trinômio quadrado perfeito a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
a2 – 2ab + b2 = (a – b)2 5º Caso: Cubos perfeito a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3 a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = (a – b)3 6º Caso: Soma e diferença de cubos a3 + b3 = (a + b).(a2 – ab + b2) a3 – b3 = (a – b).(a2 + ab + b2)
EQUAÇÃO DO 1º GRAU
É toda sentença matemática aberta expressa por uma igualdade, onde o número 1 é o expoente da
equação. Toda equação do 1º grau é uma equação do tipo ax + b = 0, com a * e b , onde S =
a
b
. Discussão: 1º Caso: Se a 0, a equação é possível e determinada, e neste caso apresenta uma única solução obtida pela resolução anterior.
Exemplo: 7x – 8 = 3x + 12 7x – 3x = 12 + 8 4x = 20. Como a = 4 0
5
4
20
x
S = { 5 }. 2º Caso: Se a = 0 e b = 0, a equação é possível e determinada, e neste caso apresenta várias soluções. O conjunto solução é o conjunto dos números reais.
Exemplo:
7X – 8 = 8 + 7x 7x – 7x = 8 – 8 0.X = 0. Como a = b = 0 S = R.
3º Caso: Se a = 0 e b 0, a equação é impossível, e neste caso não tem solução.
Exemplo: 7x – 8 = 5 + 7x 7x – 7x = 5 + 8 0.x = 13. Como a = 0 e b = 13 0 S = . INEQUAÇÃO DO 1º GRAU Formas gerais
.
b
ax
;
b
ax
;
b
ax
;
b
ax
, com a 0.Resolução das inequações do 1º grau (1) Se a > 0 e
a
b
x
b
ax
.(2) Se a > 0 e
a
b
x
b
ax
. (3) Se a < 0 ea
b
x
b
ax
. (4) Se a < 0 ea
b
x
b
ax
. Exemplo: 7x – 8 < 9x + 6 7x – 9x < 6 + 8 2x < 14 2x > 14 2
14
x
x > 7. SISTEMAS DO 1º GRAU Forma geral:
2 2 2 1 1 1c
y
b
x
a
c
y
b
x
a
. Discussão: 1º Caso: Se 2 1 2 1b
b
a
a
, o sistema é possível e determinado, apresentando uma única solução (x, y). Exemplo:
1
y
3
x
5
13
y
3
x
2
3
3
5
2
. Logo o sistema tem uma única solução: S = {( 2, 3)}. 2º Caso: Se 2 1 2 1 2 1c
c
b
b
a
a
, o sistema é possível e indeterminado, e neste caso apresenta várias soluções. O conjunto solução é o conjunto dos pares ordenados (x, y) S = R R. Exemplo:
26
y
6
x
4
13
y
3
x
2
26
13
6
3
4
2
. Logo o sistema tem várias soluções é S = R R. 3º Caso: Se 2 1 2 1 2 1c
c
b
b
a
a
, o sistema é impossível, e neste caso não tem solução é S = .Exemplo:
17
y
6
x
4
13
y
3
x
2
17
13
6
3
4
2
. Logo o sistema não tem solução é S = .
EQUAÇÕES DO 2º GRAU
É toda sentença aberta, em x, redutível ao tipo ax2 + bx + c = 0, com a *, b e c . A sentença ax2 + bx + c = 0 é equivalente a
a
2
b
x
onde
b
2
4
ac
. Discriminante
(Delta) é o discriminante da equação.Assim, sendo S o conjunto solução, em , temos:
I)
0
A equação tem duas raízes reais distintas obtidas pora
2
b
x
.II)
0
A equação tem duas raízes reais e iguais obtidas pora
2
b
x
.III)
0
A equação não tem raízes reais, e neste casoS
. Relações de Girarda
b
x
x
S
a
c
x
x
P
SISTEMA DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU
Consiste de sistema de equações com duas incógnitas x e y que resolvidos por substituição, adição ou comparação, acarretam em equações do 2º grau. Exemplo:
Resolução: Se x + y = 7 y = 7 – x, substituindo y na outra equação temos: x(7 – x) = 12 7x – x² = 12 x² – 7x + 12 = 0. Como = (7)2 – 4.1.12 = 49 – 48 = 1
2
1
7
x
x = 3 ou x = 4. Se X = 3 y = 4 e se x = 4 t = 3. Logo o conjunto solução do sistema é S = {(3, 4); (4, 3)}.A FUNÇÃO DO 1º GRAU
Uma função f: R R definida por f(x) = ax + b, onde “a” e “b” são números reais, com a 0, é denominada função do 1º grau de variável real.
A função do 1º grau observa-se que:
I) a função polinomial do 1º grau é sempre uma reta.
II) O gráfico de intercepta o eixo de
Ox
no ponto
,
0
a
b
ou seja:a
b
é a raiz ou zero de .III) O gráfico de intercepta o eixo de
Oy
no ponto (0, b).IV) Se a > 0 então a função é estritamente crescente.
V) Se a < 0 então a função é estritamente decrescente
Vejamos os gráficos abaixo:
Conclusões:
I) Para se obter o gráfico da função polinomial do 1º grau são suficientes, pois, dois pontos. Em geral são escolhidos os interceptos:
,
0
a
b
e (0, b).II) A função polinomial do 1º grau é injetora, pois qualquer reta horizontal intercepta o gráfico apenas num ponto.
III) A função polinomial do 1º grau é sobrejetora, pois Im() = CD() = .
IV) A função polinomial do 1º grau de em é, portanto, injetora.
Estudo do sinal da função do 1º grau
Estudar os sinais de uma função y = (x) significa estabelecer, para cada x D(), qual das sentenças é verdadeira:
y = 0 y > 0 ou y < 0
Para a função afim (x) = ax + b temos dois casos a considerar.
1º Caso: a > 0:
Neste caso a função é crescente. Como para
a
b
x
temos y =0
a
b
, vem: y
0
a
b
)
x
(
a
b
x
y
0
a
b
)
x
(
a
b
x
2º Caso: a < 0:
Neste caso a função é decrescente. Também para
a
b
x
temos y =0
a
b
, logo: y
0
a
b
)
x
(
a
b
x
y
0
a
b
)
x
(
a
b
x
FUNÇÃO DO 2º GRAUDados os números reais a, b e c, com a 0, chama-se função polinomial do 2º grau, ou função quadrática, a toda função : definida por y = (x) = ax2 + bx + c.
Podemos observar que a forma algébrica (y = ax2 + bx + c), onde a, b e c Exemplos: a) (x) = 2x2 + 3x – 10, em que a = 2, b = 3 e c = – 10. b) (x) = x2 – 25, em que a = 1, b = 0 e c = – 25. c) y = – x2 + 5x + 6, em que a = – 1, b = 5 e c = 6. d) y = 3x2, em que a = 3, b = 0 e c = 0. Gráfico
O gráfico de toda função do 2º grau da forma (x) = ax2 + bx + c é uma curva denominada de parábola no plano cartesiano. Graficamente, existem duas situações a considerar:
1º Situação: a > 0
(concavidade voltada para cima)
2º Situação: a < 0
(concavidade voltada para baixo)
Zeros (ou raízes) de uma função do 2º grau
Os zeros de uma função do 2º grau são os valores da variável x para os quais a função se anula, ou seja:
(x) = ax2 + bx + c (x) = 0 ax2 + bx + c = 0
Para obter os “zeros” da função do 2º grau, utiliza-se a fórmula de Bhaskara:
a
2
b
x
. Exemplo:Determine os zeros da função definida por (x) = 2x2 – 5x – 3.
Resolução:
Fazemos: (x) = 0, temos 2x2 – 5x – 3 = 0. Cálculo do discriminante (delta):
b
2
4
ac
49
24
25
)
3
.(
2
.
4
)
5
(
2
2
1
4
2
4
7
5
"
x
3
4
12
4
7
5
'
x
4
7
5
x
,
,
3
2
1
S
Exemplo:Obtenha os valores de x que tornam nula a função (x) = x2 – 4x + 9.
Resolução:
Fazemos: (x) = 0, temos x2 – 4x + 9 = 0. Cálculo do discriminante (delta):
b
2
4
ac
= (– 4)2 – 4.1.9 = 16 – 36 = – 20 Cálculo das raízes:
2
20
4
x
Não existe valor de x real que anule a função .A Função do 2º Grau: : definida por (x) = ax2 + bx + c, a 0. Observa-se que:
a) A função polinomial do 2º grau é sempre uma parábola com eixo de simetria paralelo ao eixo
Oy
. b) Se a > 0 então a parábola tem a “concavidade voltada para cima”.c) Se a < 0 então a parábola tem a “concavidade voltada para baixo”.
d) A parábola sempre intercepta o eixo
Oy
no ponto (0, c).e) Se
b
2
4
ac
0
então admite duas raízes reais. A parábola intercepta o eixoOx
em dois pontos distintos.f) Se
b
2
4
ac
0
então admite uma raiz real. A parábola tangencia o eixoOx
.g) Se
b
2
4
ac
0
então não admite raízes reais. A parábola não intercepta o eixoOx
.Conclusão: Graficamente, os zeros da função polinomial do 2º grau são pontos onde a parábola intercepta o eixo das abscissas. Existem seis situações a considerar:
Vértice da parábola
O vértice da parábola é o ponto extremo da função do 2º grau da forma (x) = ax2 + bx + c é o ponto
a
4
;
a
2
b
V
ou
a
2
b
;
a
2
b
V
.Este ponto extremo pode representar um ponto de mínimo ou um ponto de máximo, dependendo da concavidade da parábola.
Se a > 0 então V é o ponto de mínimo de . Se a < 0 então V é o ponto de máximo de .
a > 0 O ponto
V
x
V;
y
V
é o ponto de mínimo de y = (x) e o yV é o mínimo da função.
a < 0 O ponto
V
x
V;
y
V
é o ponto de máximo de y = (x) e o yV é o máximo da função.Exemplo:
Obtenha as coordenadas do vértice da parábola correspondente à função definida por
(x) = – x2 – 4x + 3.
x
2
)
1
(
2
)
4
(
x
a
2
b
x
V V
V
y
7
)
1
(
4
28
y
a
4
y
V V
V
Logo, o vértice é V(– 2; 7) Conjunto imagem Im() =
;
a
4
a
4
y
/
y
se a > 0 Im() =
a
4
;
a
4
y
/
y
se a < 0 Exemplo:Obtenha o conjunto imagem da função definida por y = 4x2 – 8x.
y
4
)
4
(
4
64
y
a
4
y
V V
V
Logo, o conjunto imagem da função é: Im() = [– 4; + ) ou Im() =
y
/
y
4
Observação: y = – 4 é a imagem mínima da função.Exemplo:
Determine o conjunto imagem da função quadrática definida por y = – x2 + 3x – 1.
4
5
y
)
1
(
4
5
y
a
4
y
V V
V
Logo, o conjunto imagem da função é:
Im() =
4
5
;
ou Im() =
4
5
y
/
y
Observação: y =4
5
é a imagem máxima da função. Estudo do sinal da função do 2º grau
Estudar o sinal de uma função do 2º grau da forma y = (x) = ax2 + bx + c é obter a variação da imagem, ou seja, de y. A aplicação de estudo do sinal de uma função é a resolução de inequações.
Se a > 0 e > 0, a função do 2º grau é positiva , ou seja, ax2 + bx + c > 0, para x < x’ ou x > x” e é negativa, ax2 + bx + c < 0, para x’ < x < x’’.
Se a > 0 e = 0, a função do 2º grau é não negativa, ou seja ax2 + bx + c 0, para todo valor de x.
Se a > 0 e < 0, a função do 2º grau é positiva, ou seja, ax2 + bx + c > 0, para todo valor real de x.
Se a < 0 e > 0, a função do 2º grau é positiva, ou seja ax2 + bx + c > 0, para x’ < x < x’’ e é negativa, ou seja, ax2 + bx + c < 0, para x < x’ ou x > x’’. Se a < 0 e = 0, a função do 2º grau é não positiva, ou
seja ax2 + bx + c 0, para todo valor de x.
Se a < 0 e < 0, a função do 2º grau é negativa, ou seja , ax2 + bx + c < 0, para todo valor de x.
Questões Propostas
Questão 01 (COMPERVE) De dois conjuntos A e B, sabe-se que:
I) O número de elementos que pertence a A B é 45; II) 40% destes elementos pertencem a ambos os conjuntos;
III) O conjunto A tem 9 elementos a mais que o conjunto B.
Então o número de elementos de cada conjunto é: A) n(A) = 27 e n(B) = 18.
B) n(A) = 30 e n(B) = 21. C) n(A) = 36 e n(B) = 27.. D) n(A) = 28 e n(B) = 29.
Questão 02 (COMPERVE) Uma pesquisa de opinião, realizada num bairro de Natal,
apresentou o resultado seguinte: 65% dos entrevistados frequentavam a praia de Ponta Negra, 55% frequentavam a praia do Meio e 15% não iam a praia.
De acordo com essa pesquisa, o percentual dos entrevistados que frequentavam ambas as praias era de: A) 20%.
B) 35%.. C) 40%. D) 25%.
Questão 03 (COMPERVE) Dos 140 alunos que fizeram uma prova constituída de
duas questões, 90 acertaram a primeira, 110 acertaram a segundo e 60 acertaram as duas questões. Sabendo-se que nenhuma questão foi deixada sem resposta, o número de alunos que acertaram apenas a segunda foi: A) 60.
B) 30. C) 40. D) 50..
Questão 04 (COMPERVE) No ano de 2008, um posto de saúde promoveu uma
campanha de vacinação contra a hepatite B e contra a tuberculose. Das pessoas vacinadas, 39 receberam vacina apenas contra hepatite B, 74 contra tuberculose e 29 receberam as duas vacinas. Portanto, pode-se afirmar que, em 2008, ao final da campanha, esse posto de saúde vacinou contrar essas duas doenças um total de A) 94 pessoas.
B) 113 pessoas.. C) 108 pessoas. D) 84 pessoas.
Questão 05 (COMPERVE) Uma metalúrgica tem 4.000 funcionários contratados
para trabalhar no turno vespertino, 500 funcionários contratados para trabalhar no turno matutino e 240 para trabalhar no turno noturno. Se 5% dos funcionários contratados para o turno vespertino também foram contratados para trabalhar no turno matutino, se 4% dos contratados para o turno matutino também o foram para o turno noturno, se 0,5% dos que foram contatados para o turno vespertino também foram para o turno noturno e se somente 4 funcionários foram contratados para trabalhar em qualquer um dos três turnos, é correto afirmar que o número de funcionários dessa empresa é A) 5.020.
B) 4.740. C) 4.248. D) 4.504..
Questão 06 (COMPERVE) A figura abaixo representa uma região de ruas de mão
única. O número de carros se divide igualmente em cada local onde existem duas opções de direções conforme a figura.
Se 128 carros entram em E, podemos afirmar que o número de carros que deixam a região pela saída S é: A) 24..
B) 48. C) 64. D) 72.
Questão 07 (COMPERVE) Fernando, brincando com uma calculadora, digitou o
número 897 e em seguida começou a subtrair sucessivamente o número nove, só parando quando obteve um número negativo.
A quantidade de vezes que Fernando apertou a tecla do número nove foi
A) 99. B) 100.. C) 85. D) 84. Questão 08 (COMPERVE)
4
2
7
13
é igual a: A) 4.. B) 5. C) 6. D) 7.Questão 09 (COMPERVE) Observe os dois termômetros da figura abaixo, os quais
expressam valores de temperatura, em graus centígrados:
A diferença entre a temperatura indicada no termômetro 1 e a indicada no termômetro 2 é de: A) + 8.. B) – 8. C) – 6. D) + 6. Questão 10 (COMPERVE) C on side re x1 = 9 , x2 = 4, x3 = – 8 , 3 2 3 1
x
x
)
x
x
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7
, 2 3 1x
x
x
e 1 2 1x
x
3
x
2
. C al c ule os va lo re s de
,
,
e , em se g ui da, assi nale a o p çã o ve rd a de i ra.A ) . B ) . C) . D ) ..
Questão 11 (COMPERVE) Um consumidor faz um balanço de seu consumo de água
em relação aos seis meses anteriores e chega à seguinte expressão matemática: ) 2 6 .( 2 ) 5 ).( 2 , 1 ( 1 0 X O valor de X é: A) 2 1 .. B) 3 2 . C) 3 2 . D) 2 1 . Questão 12 (COMPERVE) O valor da expressão 3 1 3 2 1 5 2 1 2 3 1 5 S na
sua forma mais simples é: A) 2 1 . B) 2. C) 5.. D) 3 1 . Questão 13 (COMPERVE) Um agente de saúde visitou 32 residências durante um
mês. No 25º dia já tinha visitado 3/4 das residências. Após essas visitas, faltava ainda visitar
A) 12 residências. B) 16 residências. C) 8 residências.. D) 10 residências.
Questão 14 (COMPERVE) O dono de um sítio de 6 hectares decide utilizar 3/5 da
área total para plantio e 2/3 da que sobrou para a criação de animais. A área do sítio, em metros quadrados, que não está ocupada com plantio ou criação é de
A) 17.600. B) 16.000. C) 8.000.. D) 6.400.
Questão 15 (COMPERVE) O salário de um funcionário público é 3.600 reais. O
funcionário gasta 1/4 do seu salário com alimentação e 1/2 com outras despesas. Do que resta, usa 2/3 para o lazer. A quantidade de dinheiro do salário destinado ao lazer é: A) 450 reais. B) 600 reais. C) 150 reais. D) 300 reais.. Questão 16 (COMPERVE) A letra que ocupa a 1248ª posição na sequência A, B, C,
D, E, A, B, C, D, E, A, B, C, D, E,... é: A) D. B) B. C) A. D) C.. Questão 17 (COMPERVE) Em uma calculadora, a tecla T transforma o número x
(não nulo), que está no visor, em x 1
, e a tecla V duplica o número que se encontra no visor. Se o número 2 estiver no visor e forem digitadas, alternadamente, as teclas T e V, iniciando-se por T, num total de 1999 digitações, será obtido um número igual a:
A) 21999. B) 1.. C) 2. D)
2
1
. Questão 18 (COMPERVE) Deseja-se cortar 3 peças de material acrílico decomprimentos 240 cm, 270 cm e 300 cm, respectivamente, em partes iguais e de maior comprimento possível. O comprimento que cada parte deverá ter é de A) 15 cm. B) 30 cm.. C) 60 cm. D) 90 cm. Questão 19 (COMPERVE) A UFRN comprou, para seus laboratórios de Química, as
seguintes vidrarias: 44 pacotes de Becker com 36 unidades cada; 18 pacotes de tubo de ensaio com 100 unidades cada; 24 pacotes de bureta com 10 unidades cada e 70 pacotes de proveta contendo 12 unidades cada. Para distribuir esse material, ele foi separado em caixas, que ficaram com a mesma quantidade máxima de unidades e, obrigatoriamente, cada caixa ficou com um único tipo de vidraria. O menor número possível de caixas utilizadas é uma quantidade
A) maior que 210. B) menor que 150. C) entre 190 e 210. D) entre 150 e 190..
Questão 20 (COMPERVE) Para os festejos natalinos, uma fábrica de doces lançará
uma caixa de chocolates. O número de chocolates poderá ser dividido igualmente (sem fracioná -los) entre 2, 3, 4, 5 e 6 pessoas, não havendo sobra.
O menor número de chocolates que essa caixa deverá conter será:
A) 180. B) 120. C) 60.. D) 30.
Questão 21 (COMPERVE) No piso de uma sala com 3,36 m de largura e 4,00 m de
comprimento, um construtor deseja colocar peças de granito quadradas, do mesmo tamanho. A menor quantidade dessas peças que ele pode usar para cobrir completamente o piso é: A) 500. B) 525.. C) 550. D) 575. Questão 22 (COMPERVE) Em um hotel, há comida suficiente para que seus 20
hóspedes se alimentem por 10 dias. Ao final do quarto dia, 5 hóspedes deixam o hotel. Mantendo-se o mesmo consumo diário por pessoa, o número máximo de dias para os quais ainda há alimento é:
A) 10. B) 6. C) 8.. D) 12.
Questão 23 (COMPERVE) Se um carro percorre uma estrada com velocidade média
de 80 km/h, a redução do tempo de viagem para percorrer essa mesma estrada com velocidade 50% maior é de
A) um terço do tempo de viagem.. B) metade do tempo de viagem. C) um quarto do tempo de viagem. D) um quinto do tempo de viagem.
Questão 24 (COMPERVE) Em uma obra, 7 trabalhadores constroem 2.800 m de
cerca trabalhando 8 horas diárias durante 5 dias. Mantendo-se o mesmo ritmo de trabalho, para construir outra cerca de 2.160 m, trabalhando 6 horas diárias durante 9 dias, deverão ser reduzidos do grupo
A) 4 trabalhadores. B) 3 trabalhadores.. C) 5 trabalhadores. D) 6 trabalhadores.
Questão 25 (COMPERVE) O motorista de um laboratório costuma percorrer 1.260
km em 5 dias, viajando 6 horas por dia. Para percorrer 3.360 km, viajando 8 horas por dia mantendo a mesma velocidade média, ele precisará de
A) 15 dias. B) 20 dias. C) 10 dias.. D) 5 dias.
Questão 26 (COMPERVE) Em um Departamento de Administração onde cada
servidor tem um computador para trabalhar, 10 funcionários, trabalhando 8 horas por dia durante nove dias, preenchem 650 formulários. Mantendo o mesmo ritmo de trabalho, o número de funcionários necessários para preencher 1300 formulários em oito dias, trabalhando 6 horas por dia, é
A) 50. B) 40. C) 30.. D) 60.
Questão 27 (COMPERVE) A razão entre o número de médicos e de técnicos em
enfermagem em um hospital é de 2 para 3. Se esse hospital possui 18 enfermeiros, o número de médicos é igual a A) 16. B) 14. C) 12.. D) 10. Questão 28 (COMPERVE) Fábia e Ângela moram próximas ao Laboratório de
Petróleo onde trabalham, conforme mostra a Figura abaixo:
Medindo em linha reta, a casa de Fábia, assinalada por F, está a 550 m do laboratório (M). A razão entre as distâncias FM e AM, nessa ordem, é de 3 para 7. A distância entre a casa de Ângela, assinalada por A, e o laboratório M é de aproximadamente A) 1.220 m. B) 1.283 m.. C) 1.457 m. D) 1.340 m. Questão 29 (COMPERVE) Um laboratório em que trabalham três auxiliares, deve
coletar 720 amostras de água de uma lagoa de captação. Os auxiliares combinam distribuir a coleta das amostras em quantidades diretamente proporcionais aos anos de trabalho de cada um no laboratório. Considerando-se que um deles tem 10 anos de trabalho, outro tem 8 anos e outro 6 anos, a quantidade de amostras que cada funcionário deve coletar é, respectivamente,
A) 300, 240 e 180.. B) 320, 300 e 100. C) 280, 240 e 200. D) 300, 220 e 200.
Questão 30 (COMPERVE) 30. No mês de julho, dois funcionários de uma empresa,
Adaílton e José, devem dividir um bônus de R$ 160,00, de forma que cada um receberá um valor inversamente proporcional ao número de faltas cometidas naquele mês. Adaílton faltou 3 dias e José, 2 dias. A quantia em reais que José deverá receber é:
A) 64,00. B) 96,00.. C) 55,00. D) 88,00.
Questão 31 (COMPERVE) Um comerciante aumenta o preço de determinado
produto em 15% e, posteriormente, em função da redução nas vendas, ele dá, nesse mesmo produto, um desconto de 13%. O preço final desse produto ficou, aproximadamente,
A) o mesmo que antes das alterações..
B) um por cento mais caro que antes das alterações. C) dois por cento mais caro que antes das alterações. D) um e meio por cento mais barato que antes das alterações.
Questão 32 (COMPERVE) Ao iniciar uma viagem, Adailton encheu completamente
o tanque de combustível de seu carro, que estava totalmente vazio, com gasolina, e pagou R$ 155,10 por esse abastecimento. O preço pago pelo litro da gasolina, na ocasião, foi 20% mais caro que o do álcool, que custava R$ 2,35. Na volta, com o tanque totalmente vazio outra vez, optou por abastecer com álcool. Sabendo que não houve aumento no preço dos combustíveis, para encher completamente o tanque do carro nessa nova situação, Adailton deve pagar
A) R$ 145,50. B) R$ 118,45. C) R$ 129,25.. D) R$ 136,20.
