11 - Noções sobre a Teoria das Probabilidades

11 - Noções sobre a Teoria das Probabilidades

11.1 Introdução

No capítulo anterior, foram mostrados alguns conceitos relacionados à estatística descritiva. Neste capítulo apresentamos a base teórica para o desenvolvimento de técnicas estatísticas a serem utilizadas nos capítulos posteriores.

Vamos considerar as seguintes questões: Como saber se um determinado produto está sendo produzido dentro dos padrões de qualidade? Como avaliar a capacidade de um determinado exame acertar o verdadeiro diagnóstico? Questões como estas envolvem algum tipo de variabilidade ou incerteza, e as decisões podem ser tomadas por meio da teoria de probabilidades que permite a quantificação da incerteza.

A seguir veremos alguns conceitos básicos de probabilidade.

11.2 Conceitos Básicos de Probabilidade

 Fenômeno Aleatório

É um processo de coleta de dados em que os resultados possíveis são conhecidos, mas não se sabe qual deles ocorrerá. Assim, um fenômeno aleatório pode ser a contagem de ausências de um funcionário em um determinado mês, avaliação de dados para predizer tendências na economia, o resultado do lançamento de uma moeda, anotar os salários dos empregados de uma indústria, entre outros.

 Espaço Amostral

O conjunto de todos os resultados possíveis do fenômeno aleatório é chamado de espaço amostral. Vamos representá-lo por  (ômega).

Exemplos:

1. Lançamento de uma “moeda honesta”.

2. Tempo de reação de uma pomada anestésica aplicada em queimados.

 =





3. Número de produtos defeituosos em uma linha de produção durante 24 horas.

 = {0, 1, 2, ..., n}, sendo n o número máximo de itens defeituosos.  Evento

Qualquer subconjunto do espaço amostral é chamado de evento. Serão representados por letras maiúsculas A, B, ... Dentre os eventos podemos considerar o evento união de A e B, denotado por A  B, que, equivale à ocorrência de A, ou de B, ou de ambos. A ocorrência simultânea dos eventos A e B, denotada por A  B é chamada de evento interseção. Dois eventos A e B dizem-se mutuamente exclusivos ou disjuntos, quando a ocorrência de um deles impossibilita a ocorrência do outro. Os dois eventos não têm nenhum elemento em comum, isto é, A  B =  (conjunto vazio).

Exemplo: Uma fábrica produz um determinado artigo. Da linha de produção, são retirados três artigos e cada um é classificado como bom (B) ou defeituoso (D). O espaço amostral nesse caso é dado por:

= { BBB; BBD; BDB; DBB; DDB; DBD; BDD, DDD}

Considere os seguintes eventos:



A = { DDB; DBD; BDD}



B = . Este evento é denominado evento impossível.

11.3 Definição Clássica de Probabilidade

Em fenômenos aleatórios tais como lançamento de uma moeda, de um dado, extração de uma carta de um baralho entre outros, temos que todos os resultados possíveis têm a mesma chance de ocorrer. Assim, por exemplo, no lançamento de uma moeda a probabilidade do evento cara ou coroa ocorrer são igualmente prováveis, ou seja, a probabilidade atribuída a cada um é 1/2.

A probabilidade de um evento A qualquer ocorrer pode ser definida por:

possíveis resultados de número A a favoráveis resultados de úmero n ) A ( P  Exemplos:

1. Qual a probabilidade de ocorrer cara no lançamento de uma moeda honesta?

2. Qual a probabilidade de aparecer uma face ímpar no lançamento de um dado?

Na maioria das situações práticas, os resultados não têm a mesma chance de ocorrer, deste modo, a probabilidade dos eventos deve ser calculada pela freqüência relativa.

11.4 Aproximação da Probabilidade pela Freqüência Relativa

Quando não se tem conhecimento sobre as probabilidades dos eventos, estas podem ser atribuídas depois de repetidas observações do fenômeno aleatório, ou seja, a proporção de vezes que um evento A qualquer ocorre pode ser estimada como segue:

repetições de número A de s ocorrência de úmero n ) A ( P  5 , 0 2 1 P(Cara)  5 , 0 6 3 ímpar) P(Face  

Exemplos:

1. Uma companhia de seguros estudou as causa de morte por acidente doméstico e compilou um arquivo que consistia em 160 mortes causadas por quedas, 120 mortes causadas por envenenamento e 70 causadas por fogo e queimaduras. Selecionado aleatoriamente um desses casos, qual é a probabilidade de que a morte tenha sido causada por envenenamento? Considere A como sendo o evento “morte por envenenamento”.

À medida que o número de observações aumenta, as aproximações tendem a ficar cada vez mais próxima da probabilidade efetiva.

11.5 Propriedades da Probabilidade

Probabilidade é uma função P(.) que associa números reais aos elementos do espaço amostral e satisfaz as condições:

 0  P(A)  1, para qualquer evento A  P() = 1, onde  é o espaço amostral  P() = 0

 Se A for o evento complementar de A, então P(A) = 1 - P(A)

Exercícios

1. Em uma pesquisa entre estudantes de uma faculdade, 1162 afirmaram que “colavam” nos exames, enquanto 2468 afirmaram não “colar” (com base em dados de um Instituto). Selecionado aleatoriamente um desses estudantes, determine a probabilidade de ele ter “colado” em um exame. 34286 , 0 350 120 P(A) 

2. Uma empresa internacional efetuou um estudo de fraudes em cartões de crédito; os resultados estão apresentados na tabela a seguir:

Tipo de Fraude Número

Cartão roubado 243

Cartão falsificado 85

Pedido por correio/telefone 52

Outros 46

Selecionado aleatoriamente um caso de fraude nos casos resumidos na tabela, qual a probabilidade de a fraude resultar de um cartão falsificado?

3. Quais dos valores abaixo não podem ser probabilidades? a. 0

b. –0,2 c. 3/2 d. 0,0001

e. 2

4. Quanto é P(A), se A é o evento “fevereiro tem 30 dias este ano”?

5. Em uma pesquisa, perguntou-se aos entrevistados como deveria ser utilizado um bolo de frutas. Cento e trinta e dois responderam que deveria servir como calço de porta, e outros 880 indicaram outros usos, inclusive alimento de passarinho e presente. Selecionado aleatoriamente um desses entrevistados, qual a probabilidade de obter alguém que utilize o bolo como calço de porta?

11.6 Teorema da Soma

Dado dois eventos A e B, a probabilidade de pelo menos um deles ocorrer é igual a soma das probabilidades de cada um menos a probabilidade de ambos ocorrerem simultaneamente, ou seja:

P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB)

Se A e B forem mutuamente exclusivos, teremos P(AB) = 0. Assim, P(AB) = P(A) + P(B)

Exemplo 1: Considere o experimento “lançamento de um dado” e os seguintes eventos: A = {sair o número 3}; B = {sair número par} e C = {sair número ímpar}. Determinar: P(A); P(B); P(C); P(AB); P(AC) e P(A ).

Exemplo 2: Um levantamento estatístico, efetuado em certa população, estudou a hipertensão em

450 indivíduos e observouque 148 indivíduos eram hipertensos. Das 122 mulheres observou-se que 47 eram hipertensas. Sorteando-se uma pessoa dessa população, qual a probabilidade de que seja hipertenso ou uma mulher?

Evento H: Hipertenso. Evento H: Não hipertenso.

Evento M: Homem. Evento F: Mulher.

P(HF) = 0,10444 450

47 

Probabilidade de um indivíduo ser hipertenso ou mulher:

P(HM) = P(H) + P(M) - P(HM) 32889 , 0 450 148 P(H)  27111 , 0 450 122 P(F) 

P(HM) = 0,32889 + 0,27111 – 0,10444 = 0,49556

Considere o estudo anterior. Podemos construir uma tabela que forneça todas as informações sobre hipertensão.

Sexo Hipertenso Feminino Masculino Total Sim 47 101 148 Não 75 227 302 Total 122 328 450

Quais as probabilidades que podemos “ler” na tabela?

Sexo Hipertenso Feminino (F) Masculino (M) Total Sim (H) 0,10444 0,22444 0,32889 Não (H) 0,16667 0,50444 0,67111 Total 0,27111 0,72889 1,0000

Exemplo 3: A probabilidade de uma pessoa que pára em um posto de gasolina para pedir verificação do nível do óleo é de 0,28, a probabilidade de pedir verificação da pressão dos pneus é de 0,11 e a probabilidade de solicitar ambas as verificações é de 0,04. Qual é a probabilidade de que uma pessoa que pára em um posto de gasolina solicite:

a. Verificação do nível do óleo, ou da pressão dos pneus ou ambas. P(H e F) M) e H P( M) e P(H F) e H P(

11.7 Probabilidade Condicional

Existem situações em que a chance de um particular evento acontecer depende do resultado de outro evento. A probabilidade condicional de A dado que ocorreu B, denota-se por P(A|B). Pode ser determinada dividindo-se a probabilidade de ocorrência de ambos os eventos A e B pela probabilidade do evento B; como se mostra a seguir:

P(A|B) = ) B ( P ) B A ( P 

Exemplo 1: Considerando o exemplo anterior, qual a probabilidade de que seja uma mulher, dado que é um indivíduo hipertenso?

P(M|H) = ) ( ) ( H P H M P  = 32889 , 0 0,10444 = 0,31755

Exemplo 2: A probabilidade de um operário ser bem treinado e cumprir sua quota de produção é de 0,45, e a probabilidade de um operário ser bem treinado é de 0,60. Se T é o evento “um operário é bem treinado”, Q é o evento “ele cumpre sua quota de produção”, qual a probabilidade de um operário bem treinado cumprir sua quota de produção.

Exemplo 3: Um número é sorteado ao acaso entre os inteiros 1,2,...,15. Se o número sorteado for par, qual a probabilidade de que seja o número 6?

11.9 Teorema do Produto

Da definição de probabilidade condicional P(A|B) =

) B ( P ) B A ( P 

podemos obter o teorema do produto, que nos permite calcular a probabilidade da ocorrência simultânea de dois eventos.

Sejam A e B eventos de , a probabilidade de A e B ocorrerem juntos é dada por: P(AB) = P(A) . P(B|A), com P(A) > 0

P(AB) = P(B) . P(A|B), com P(B) > 0

Então, a probabilidade de ocorrência simultânea de dois eventos de um mesmo espaço amostral é igual ao produto da probabilidade de ocorrência de um deles, pela probabilidade condicional da ocorrência do segundo, dado que o primeiro ocorreu.

Exemplo: Em uma agência de empregos compareceram nove pessoas naturais do local e três naturais de outros estados. Se dois dos candidatos são selecionados aleatoriamente para uma entrevista, qual é a probabilidade de serem ambos naturais de outro estado? Considere A o evento “o primeiro candidato é natural de outro estado” e B o evento “o segundo candidato é natural de outro estado.”

A probabilidade do primeiro candidato selecionado ser de outro estado é 0,25 12 3 ) A ( P  

Então, se o primeiro candidato é de outro estado, a probabilidade de o segundo candidato ser também natural de outro estado é 0,18182

11 2 ) | (B A   P

Logo, a probabilidade de se obter dois candidatos, ambos nascidos em outro estado, é: P(AB) = P(A) . P(B|A)

P(AB) = (0,25) . (0,18182) = 0,04545

11.10 Eventos Independentes

Dois eventos A e B são independentes quando a ocorrência de um não altera a probabilidade de ocorrência do outro. Desse modo,

P(AB) = P(A) . P(B)

Exemplo 1: Em uma padaria há uma probabilidade de 0,10 dos padeiros serem demitidos caso o pão fique torrado. Dois padeiros se descuidaram e o pão ficou torrado.

 Qual é a probabilidade de que ambos os padeiros serem demitidos?

Exemplo 2: De acordo com certa tábua de mortalidade, a probabilidade de Júlio estar vivo daqui a 20 anos é de 0,6 e a mesma probabilidade para João é de 0,9. Determinar a probabilidade de ambos estarem vivos daqui a 20 anos.

Exemplo 3: Suponha que a probabilidade de um empregado permanecer em um escritório por 15 anos ou mais é de 1/6. Um homem e uma mulher começam a trabalhar nesse escritório no mesmo dia.

a. Qual é a probabilidade de o homem permanecer empregado por menos de 15 anos nesse escritório.

b. Qual é a probabilidade de ambos, o homem e a mulher, permanecerem nesse escritório, por menos de 15 anos? Suponha que não haja qualquer relação entre o trabalho dele e o dela, de modo que seus tempos de permanência no escritório são independentes. Entre si.

11.11 Teorema da Probabilidade Total

Suponha que os eventos C1, C2, ..., Cn formam uma partição do espaço amostral . Os

eventos não têm interseções entre si e a união destes é igual ao espaço amostral. Seja A um evento qualquer desse espaço, então a probabilidade de ocorrência desse evento será dada por:

P(A) = P(A  C1) + P(A  C2) + ... + P(A  Cn)

e usando a definição de probabilidade condicional,

P(A) = P(C1) . P(A|C1) + P(C2) . P(A|C2) + ...+ P(Cn) . P(A|Cn)

Exemplo: Uma urna contém 3 bolas brancas e 2 amarelas. Uma segunda urna contém 4 bolas brancas e 2 amarelas. Escolhe-se, ao acaso, uma urna e dela retira-se, também ao acaso uma bola. Qual a probabilidade que seja branca?

3 B 4 B 2 A 2 A I II

11.12 Teorema de Bayes

Considere os eventos C1, C2, ..., Cn eventos que formam uma partição do espaço amostral,

cujas probabilidades são conhecidas. Considere que para um evento A se conheçam as probabilidades condicionais, desta forma:

P(Ci|A) = ) ( ) C ( _i A P A P  P(Ci|A)

  



 

em que P(A) é fornecida pelo teorema da probabilidade total.

Exemplo 1: Em uma fábrica de enlatados, as linhas de produção I, II e III respondem por 50%, 30% e 20% da produção total. Se 0,4% das latas da linha I são fechadas inadequadamente, e as percentagens correspondentes às linhas II e III são 0,6 e 1,2, respectivamente.

Notação Evento Probabilidade

B1 A lata provém da linha de produção I 0,50

B2 A lata provém da linha de produção II 0,30

B3 A lata provém da linha de produção III 0,20

A\ B1 A lata é fechada inadequadamente dado que

provém da linha de produção I

0,004 A\ B2 A lata é fechada inadequadamente dado que

provém da linha de produção II

0,006 A\ B3 A lata é fechada inadequadamente dado que

provém da linha de produção III

0,012 A A lata é fechada inadequadamente ? B1/ A Uma lata fechada inadequadamente provir da

linha de produção I.

Qual é a probabilidade:

 De uma lata saída desta fábrica ser fechada inadequadamente; P(A) = P(B1A) + P(B2A) + P(B3A)

P(A) = P(B1) . P(A/ B1) + P(B2) . P(A/ B2) + P(B3) . P(A/ B3)

P(A) = (0,50) . (0,004) + (0,30) . (0,006) + (0,20) . (0,012) P(A) = 0,0062

 De uma lata fechada inadequadamente (descoberta ao final da inspeção do produto acabado) provir da linha de produção I. Usando a notação B1/ A, tem-se:

Exemplo 2: A probabilidade de um indivíduo da classe A comprar um carro é de 0,75. Da B é de 0,20 e da C é de 0,05. As probabilidades de os indivíduos comprarem um carro da marca x são 0,10, 0,6 e 0,30, dado que sejam das classes A, B e C, respectivamente. Certa loja vendeu um carro da marca x. Qual a probabilidade de que o indivíduo que o comprou seja da classe B?

Exemplo 3: Suponha que 60% dos chips do computador de uma companhia sejam produzidos pela fábrica A e 40% por outra fábrica (denotado por A ). Suponha que um chip se revele defeituoso, e que as taxas de defeito nas duas fábricas sejam de 35% para A e 25% para A. Qual a probabilidade de o chip defeituoso provir da fábrica A?

) A ( P ) A e B ( P /A) P(B₁  1 32258 , 0 0,0062 0,0020 /A) P(B₁  

Exercícios

1. Utilize os dados da Tabela 1, que resumem resultados de um estudo com 2000 indivíduos. Tabela 1

Homicídio Furto Assalto Total

Estranho 12 379 727 1118

Conhecido 39 106 642 787

Ignorado 18 20 57 95

Total 69 505 1426 2000

a. Se uma pessoa é selecionada aleatoriamente, determine a probabilidade de ela ter sido vítima de um estranho, dado que foi escolhido uma vítima de furto?

b. Escolhida uma vítima de assalto, qual a probabilidade de o criminoso ser um estranho?

c. Determine a probabilidade de que, quando se escolhe um dos 2000 indivíduos, a pessoa escolhida tenha sido vitimada por um conhecido, sabendo-se que foi vítima de furto.

d. Escolhidos aleatoriamente dois indivíduos diferentes, determine a probabilidade de ambos terem sido vítimas de furto.

e. Determine a probabilidade de que, quando se escolhe um dos 2000 indivíduos, a pessoa escolhida tenha sido furtada ou vitimada por um conhecido.

2. As probabilidades de uma pessoa, acusada de dirigir um carro descuidadamente, ser multada, ter sua licença cassada ou ambas são 0,88, 0,62 e 0,55. Qual é a probabilidade de uma pessoa dirigir descuidadamente ser multada ou ter sua licença cassada?

3. Se P(M) = 0,55, P(N) = 0,18 e P(MN) = 0,099, os eventos M e N são independentes?

4. Um hotel obtém carros para seus hóspedes de três agências locadoras: 20% da agência X, 40% da agência Y e 40% da agência Z. Se 14% dos carros da X, 4% dos carros de Y e 8% dos carros de Z necessitam de regulagem, qual é a probabilidade de que:

a. Um carro necessitando de regulagem seja entregue a um dos hóspedes.

b. Um carro necessitando de regulagem e entregue a um dos hóspedes, provenha da agência Z.

5. Se Q é o evento “uma pessoa é qualificada para um emprego” e G é o evento “a pessoa obtém o emprego”, expresse em palavras quais as probabilidades são representadas por: a. P(G/Q)

b. P(Q/G)

6. Uma companhia produz circuitos em três fábricas, I II e III. A fábrica I produz 40% dos circuitos, enquanto a II e a II produzem 30% cada uma. As probabilidades de que um circuito produzido por estas fábricas não funcione são 0,01, 0,04 e 0,03, respectivamente. Escolhido um circuito da produção conjunta das três fábricas, qual a probabilidade de o mesmo não funcionar?

7. Um estudo de hábitos de fumantes compreende 200 casados (54 dos quais fumam), 100 divorciados (38 dos quais fumam) e 50 que nunca se casaram (11 dos quais fumam). Escolhido aleatoriamente um indivíduo dessa amostra, determine a probabilidade de obter alguém divorciado ou fumante.

8. Com base nos dados do exercício anterior, determine a probabilidade de obter alguém que nunca se casou ou que não fume.

9. Em uma universidade foi selecionada uma amostra de 500 alunos que cursaram a disciplina de Estatística. Entre as questões levantadas estava: Você gostou da disciplina de Estatística? De 240 homens, 140 responderam que sim. De 260 mulheres, 200 responderam que sim. Para avaliar as probabilidades organize as informações em uma tabela e responda:

Qual é a probabilidade de que um aluno escolhido aleatoriamente: a. H = Seja um homem?

b. G = Gostou da disciplina de Estatística?

c. M = Seja uma mulher?

d. NG = Não gostou da disciplina de Estatística?

e. Seja uma mulher ou gostou da disciplina de Estatística.

f. Seja uma mulher e gostou da disciplina de Estatística.

g. Dado que o aluno escolhido gostou da disciplina de Estatística. Qual a probabilidade de que o aluno seja um homem?

h. Dado que o aluno escolhido é uma mulher. Qual a probabilidade de que ela não gostou da disciplina de Estatística?