Resposta à Actuação de Controlo

(1)

Resposta à Actuação de Controlo

João Oliveira

Departamento de Engenharia Mecânica, Área Científica de Mecânica Aplicada e Aeroespacial

Instituto Superior Técnico

Estabilidade de Voo, Eng. Aeroespacial Versão de 7 de Dezembro de 2010

(2)

Sumário

Matrizes e vectores de controlo

Matriz de controlo para movimento longitudinal Matriz de controlo para o movimento lateral

Resolução de equações diferenciais não homogéneas: método das transformadas de Laplace

Transformadas de Laplace Resolução de sistemas Funções de transferência Resposta a impulso

Resposta a uma entrada tipo escalão Resposta em frequência

Resposta longitudinal

Caso geral: funções de transferência Resposta longitudinal: exemplo

Resposta longitudinal: modos aproximados

Resposta lateral

Exemplo do 747 Modos aproximados

(3)

Sumário

Resposta lateral

(4)

Equações do movimento

Equações do movimento para pequenas perturbações: ˙ x = Ax + Bc ñ _{B: matriz de controlo} ñ c: vector de controlo ñ Movimento Longitudinal: c =[∆δ_e∆δ_P]T ñ Movimento Lateral: c =[∆δ_a∆δ_r]T

É necessário determinar a matriz de controlo em cada um dos casos.

(5)

Matrizes e vectores de controlo Matriz de controlo para movimento longitudinal

Matriz de controlo para movimento longitudinal

Das equações do movimentos obtém-se:

Bc =         ∆Xc m ∆Zc m−Zw˙ 1 Iy h ∆Mc +M_m−Zw˙∆Z_w_˙c i 0        

Por outro lado:        ∆XC =Xδe∆δe+XδP∆δP ∆ZC =Zδe∆δe+ZδP∆δP ∆MC =Mδe∆δe+MδP∆δP

(6)

Matrizes e vectores de controlo Matriz de controlo para movimento longitudinal

Matriz de controlo para movimento longitudinal

Fazendo as substituições necessárias, obtém-se:

Bc =          Xδe m X_δP m Zδe m−Zw˙ Z_δP m−Zw˙ Mδe Iy + Mw˙Zδe Iy(m−Zw˙) M_δP Iy + Mw˙Z_δP Iy(m−Zw˙) 0 0          | {z } matriz B " ∆δe ∆δP #

(7)

Matrizes e vectores de controlo Matriz de controlo para o movimento lateral

Matriz de controlo para o movimento lateral

Bc =         ∆Yc m ∆Lc Ix0 +I 0 zx∆Nc I0 zx∆Lc+ ∆_IN0c z 0        

Por outro lado:        ∆YC =Yδa∆δa+Yδr∆δr ∆LC =Lδa∆δa+Lδr∆δr ∆NC =Nδa∆δa+Nδr∆δr

(8)

Matrizes e vectores de controlo Matriz de controlo para o movimento lateral

Matriz de controlo para o movimento lateral

Fazendo as substituições necessárias, obtém-se:

Bc =          Yδa m Yδr m Lδa I0x +I 0 zxNδa Lδr I0x +I 0 zxNδr I0 zxLδa + Nδa Iz0 I 0 zxLδr + Nδr I0z 0 0          | {z } matriz B "_∆_δ a ∆δr #

(9)

Método das transformadas de Laplace

Sumário

Resposta lateral

(10)

Método das transformadas de Laplace Transformadas de Laplace

Transformadas de Laplace

Definição de Transformada de Laplace: Lx(t) =

Z+∞

0

x(t)estds ≡ ¯x(s)

Se xe−st _→₀ _quando _{t → +∞,}

mostra-se facilmente que

(11)

Transformadas de Laplace inversas

Transformada inversa: x(t) = 1 2π iω→∞lim Zγ−iω γ−iω estx(s)ds¯

ondeγ é um número real maior que a parte real qualquer

dos dos pólos de ¯x(s).

Métodos habituais para a obter:

ñ método das fracções parciais

ñ teorema da expansão de Heaviside

(12)

Teorema da expansão de Heaviside

Seja

¯

x(s) = N(s) D(s)

em que D(s) é um polinómio de grau n e N(s) é um

polinómio de grau inferior a n, e designando por ar as

raízes deD(s), de modo que

D(s) = (s − a1)(s − a2) · · · (s − an), então a transformada inversa é

x(t) = n X r =1 _{(s − a} r)N(s) D(s) s=ar eart

(13)

Método das transformadas de Laplace Resolução de sistemas

Resolução de sistemas de equações diferenciais

não homogéneas

Equação diferencial ordinária não homogénea (se x(0) = 0):

˙

x = ax(t) + bc(t) ⇒ s ¯x(s) = a ¯x(s) + b ¯c(s)

⇒ x(s) =¯ b

s − ac(s)¯ Analogamente, para um sistema de equações:

˙ x = Ax(t) + Bc(t) ⇒ s¯x(s) = A¯x(s) + B¯c(s) ⇒¯x(s) = (sI − A)−1B | {z } G(s) ¯ c(s)

(14)

Resolução de sistemas de equações diferenciais

não homogéneas

Logo, obtemos

¯

x(s) = G(s)¯c(s) As soluções do sistema são dadas por:

x(t) = L−1¯x(s) = L−1[G(s)¯c(s)]

ñ Nota 1: atenção aos valores iniciais!

(15)

Resposta das variáveis de estado

De

¯

x(s) = G(s)¯c(s)

obtém-se a resposta da i-ésima variável de estado:

¯ xi(s) =

X

j

Gij(s)¯cj(s)

A resposta a uma «soma» de entradas é a soma das respostas individuais a cada uma das entradas.

(16)

Sistemas em série

Quando dois sistemas estão em série, a entrada do segundo é a resposta do primeiro. Logo:

¯

x1=G1(s)¯c(s) ¯

x2=G2(s) ¯x1(s) = G2(s)G1(s)¯c(s)

Logo, a função de transferência total é o produto das funções de transferência:

G(s) = x¯2(s) ¯

c(s) =G2(s)G1(s)

Pode-se generalizar este resultado para um número arbitrário de sistemas em série.

(17)

Método das transformadas de Laplace Funções de transferência

Matriz das funções de transferência

Matriz das funções de transferência: G(s) = (sI − A)−1B

Mas (sI − A)−1 = cof(sI − A) det(sI − A)

ñ _cof(sI − A): matriz dos cofactores

ñ polinómio característico: f (s) = det(A − sI)

ñ det(sI − A) = (−1)nf (s) (n é a dimensão do sistema)

G(s) = 1

(18)

Elementos da matriz das funções de transferência

Gij(s) = (−1)n_{[cof(sI − A) · B]} ij f (s) = Nij(s) (s − λ1)(s − λ2) · · · (s − λn) ñ _N_ij_{(s): polinómio em s}

ñ _λ₁_{, . . . , λ}_{n: valores próprios do sistema}

Os valores próprios podem ser:

ñ reais ⇒ termo(s − λk) ⇒ sistema de 1ª ordem

ñ _{pares de raízes complexas conjugadas}_(λ_k_{, λ}_k+1₎

(19)

Sistemas de 1ª e 2ª ordem

ñ _{Elementos da matriz das funções de transferência:}

produtos de termos de 1ª ordem e de 2ª ordem.

ñ _{Sistemas que interessam em aeronáutica: conjuntos}

de sistemas de 1ª e 2ª ordem em série.

ñ _{Podemos analisar separadamente reposta de cada um}

dos subsistemas. ñ _{Respostas a analisar:} ñ _{a impulso;} ñ _{a escalão;} ñ _{em frequência;} ñ ruído branco.

(20)

Método das transformadas de Laplace Resposta a impulso

Resposta a impulso

Impulso: cj(t) = δ(t).

Mas δ(t) é delta de Dirac ⇒ ¯δ(s) = 1 Note-se que:

¯

xi,j(s) = Gij(s)¯cj(s) = Gij(s) ¯δ(s) = Gij(s)

Designamos porh(t) a resposta a impulso, isto é,

hij(t) = L−1h¯ij(s) ¯

(21)

Resposta a impulso

Logo hij(t) = L−1Gij(s) = 1 2π i Z C Gij(s) estds = 1 2π Z+∞ −∞ Gij(iω) eiωtdω

Note-se que, se o sistema é estável, os pólos de Gij estão

no semi-plano esquerdo e o contornoC do integral pode

(22)

Resposta a impulso: sistema de 1ª ordem

Sistema de 1ª ordem: G(s) = 1 s − λ h(t) = 1 2π Z+∞ −∞ 1 iω − λ e iωt ₌_eλt

Se o sistema é estável,λ é negativo.

SejaT = −1/λ:

(23)

Resposta a impulso: sistema de 2ª ordem

Sistema de 2ª ordem: G(s) = 1 s2₊₂_ζω ns + ω2n =          1 (s − n)2₊_ω2 seζ < 1 1 (s − n)2₋_ω2 seζ > 1 em que ω = ωn q |1 −ζ2_| _e _{n = ζω} n. h(t) = 1 ωe nt_sin_(ωt) _{ζ < 1} h(t) = 1 ωe nt_sinh_(ωt) _{ζ ≥ 1}

(24)

Método das transformadas de Laplace Resposta a uma entrada tipo escalão

Resposta a escalão

Entrada: função de Heaviside:

cj(t) = H(t) ⇒ ¯cj(s) = ¯H(s) = 1/s

Designamos por Aij(t) a resposta a escalão, isto é,

¯ xi,j(s) ≡ ¯Aij(s) = Gij(s) ¯H(s) = Gij(s) s Mas, como ¯hij(s) = Gij(s), ¯ Aij(s) = ¯ hij(s) s

(25)

Resposta a escalão

Como vimos, ¯A_ij(s) = h¯ij(s) s

Logo, pelas propriedades da transformada de Laplace A_ij(t) =

Zt 0

hij(τ)dτ

(Note-se que para t ≤ 0, se tem Aij(t) = 0 e hij(t) = 0.)

Usamos osh(t) obtidos anteriormente para determinar

(26)

Resposta a escalão: sistemas de 1ª e 2ª ordem

Sistema de 1ª ordem: A_ij(t) = T 1 − e−t/T Sistema de 2ª ordem: A_ij(t) = 1 ω2 1 − ent cos(ωt) − n ωsin(ωt) ζ < 1 A_ij(t) = 1 ω2 1 +n − ω 2ω e (n+ω)t₋n + ω 2ω e (n−ω)t _{ζ ≥ 1}

(27)

Ganho estático

Ganho estático K: valor assimptótico de A quando t → ∞

Pelo teorema do valor final: lim

t→+∞A(t) = lims→0s ¯A(s) = lims→0G(s)

Logo, conclui-se que

K = lim s→0G(s)

(28)

Sistemas de 1ª ordem: resposta a impulso e

escalão

(29)

(30)

(31)

Método das transformadas de Laplace Resposta em frequência

Resposta em frequência

Neste caso, a entrada é uma função oscilatória: c(t) = A1eiωt ⇒c =¯

A1 s − iω (Para mais pormenores, ver Etkin)

(32)

Sumário

Resposta lateral

(33)

Resposta longitudinal Caso geral: funções de transferência

Equações para o movimento longitudinal

Recorde-se que ˙

x(t) = Ax(t) + Bc(t) ⇒ ¯x(s) = (sI − A)−1B ¯c(s) ou seja, no caso de movimento longitudinal:

        ∆ ¯u(s) ¯ w(s) ¯ q(s) ¯ θ(s)         =(sI − A)−1B   ∆ ¯δe(s) ∆ ¯δP(s)  

(34)

Matriz de controlo para movimento longitudinal

Recorde-se também que

B =            Xδe m X_δP m Zδe m−Zw˙ Z_δP m−Zw˙ _M δe Iy + Mw˙Zδe Iy(m−Zw˙) _M δP Iy + Mw˙Z_δP Iy(m−Zw˙) 0 0           

(35)

Derivadas dimensionais para variáveis de

controlo

As derivadas dimensionais de controlo obtém-se a partir das derivadas adimensionais por:

Xδe = 1 2ρu 2 0SCx_δe XδP = 1 2ρu 2 0SCx_δP Zδe = 1 2ρu 2 0SCzδe ZδP = 1 2ρu 2 0SCz_δP Mδe = 1 2ρu 2 0S ¯cCmδe MδP = 1 2ρu 2 0S ¯cCm_δP

(36)

Resposta longitudinal: resposta ao

elevator

Resposta aoelevator ⇒ ∆ ¯δP =0        ∆ ¯u(s) ¯ w(s) ¯ q(s) ¯ θ(s)        =(sI − A)−1B   ∆ ¯δe(s) 0  =(sI − A)−1·           X_δe m Z_δe m−Zw˙ M_δe Iy + Mw˙Zδe Iy(m−Zw˙) 0           ∆ ¯δe(s)

(37)

Resposta ao

elevator: funções de transferência

Resolvendo o sistema podemos obter as funções de transferência: ∆ ¯u(s) ∆ ¯δe(s) =Guδe(s) = Nuδe(s) f (s) ¯ w(s) ∆ ¯δe(s) =Gwδe(s) = Nwδe(s) f (s) ¯ q(s) ∆ ¯δe(s) =Gqδe(s) = Nqδe(s) f (s) ¯ θ(s) ∆ ¯δe(s) =Gθδe(s) = Nθδ_e(s) f (s)

(38)

Resposta longitudinal: resposta à variação na

propulsão

Resposta à variação na propulsãothrottle ⇒ ∆ ¯δe=0

        ∆ ¯u(s) ¯ w(s) ¯ q(s) ¯ θ(s)         =(sI − A)−1B   0 ∆ ¯δP(s)  

Procedendo de forma análoga ao caso anterior, obtém-se as funções de transferência.

(39)

Resposta longitudinal Resposta longitudinal: exemplo

(40)

Características da aeronave

Voo horizontal a 40000 ft e com Ma =0.8

Ix=0.247 × 108kgm2 S = 511.0m2 c = 8.324m¯ Iy=0.449 × 108kgm2 W = 2.83176 × 106N u0=235.9m/s Iz=0.673 × 108kgm2 ρ = 0.3045kg/m3 θ0=0 Ixz= −0.212 × 107kgm2 CL0=0.654 CD0=0.0430 Derivadas adimensionais: Cx Cz Cm ˆ u -0.1080 -0.1060 -0.1043 α 0.2193 -4.920 -1.023 ˆ q 0 -5.921 -23.92 ˆ ˙ α 0 5.896 -6.314 δe -3.818×10-6 -0.3648 -1.444

(41)

Derivadas dimensionais e matrizes

Derivadas dimensionais: X (N) Z (N) M (Nm) u (m/s) −1.982 × 103 ₋₂_{.595 × 10}4 ₁_{.593 × 10}4 w (m/s) 4.025 × 103 ₋₉_{.030 × 10}4 ₋₁_{.563 × 10}4 q (rad/s) 0 −4.524 × 105 ₋₁_{.521 × 10}7 ˙ w (m/s2₎ ₀ ₁_{.909 × 10}3 ₋₁_{.702 × 10}4 δe(rad) -3.717 -3.551×105 _-3.839×107 Matriz do sistema: A =        −0.006868 0.01395 0 −32.2 −0.09055 −0.3151 773.98 0 0.0001187 −0.001026 −0.4285 0 0 0 1 0        Matriz de controlo: B =        −0.000187 9.66 −17.85 0 −1.158 0 0 0        (ComX_δP/m = 0.3g, Z_δP=0 =M_δP) Nota: as matrizes não estão calculadas em SI.

Equação característica:

(42)

Polinómio característico

Equação característica: f (s) = s4+0.750468s3+0.935494s2+0.0094630s+0.0041959 = 0 Raízes: s1,2=0.00328946 ± 0.0672313i; s3,4=0.371945 ± 0.88754i Uma vez que:

(s − s1)(s − s2) = s2+0.7439s + 0.9261

(s − s3)(s − s4) = s2+0.006579s + 0.004531

o polinómio característico escreve-se:

f (s) = s2₊₀_{.7439s + 0.9261}

(43)

Resposta à actuação do

elevator

Funções de transferência: obtidas por resolução de        ∆ ¯u(s) ¯ w(s) ¯ q(s) ¯ θ(s)        =(sI − A)−1_·        −0.000187 −17.85 −1.158 0        ∆ ¯δe(s) ∆ ¯u(s) ∆ ¯δe(s) =Guδe(s) = Nuδe(s) f (s) = −0.000188s3₋₀_.2491s2₊₂₄_{.68s + 11.16} (s2₊₀_{.7439s + 0.9261)(s}2₊₀_{.00658s + 0.00453)} ¯ w(s) ∆ ¯δe(s) =Gwδe(s) = Nwδe(s) f (s) = −17.85s3₋₉₀₄_.0s2₋₆_{.208s − 3.445} (s2₊₀_{.7439s + 0.9261)(s}2₊₀_{.00658s + 0.00453)} ¯ q(s) ∆ ¯δe(s) =Gqδe(s) = Nqδe(s) f (s) = −1.158s3₋₀_.3545s2₋₀_.003873s (s2₊₀_{.7439s + 0.9261)(s}2₊₀_{.00658s + 0.00453)} ¯ θ(s) =Gθδ(s) = Nθδe(s)₌ −1.158s2−0.3545s − 0.003873

(44)

Outras funções de transferência importantes

Ângulo de subida: ∆γ = ∆θ − ∆α ⇒ Gγδe =Gθδe−Gαδe Factor de carganz= − Z W: ∆nz= − ∆Z W = − 1 W Zu∆u + Zww + Zqq + Zw˙w + Z˙ δe∆δe Gnδe = ∆ ¯nz ∆ ¯δe = −1 W ZuGuδe+ZwGwδe+ZqGqδe+Zw˙Gwδ˙ e+Zδe

(45)

(46)

Resposta a escalão

Início da resposta:

ñ _só α varia significativamente

ñ oscilações deα são amortecidas rapidamente

ñ o movimento é dominado pelo modo de período curto

Após os primeiros segundos:

ñ oscilações deu (e de α, com menos amplitude)

ñ oscilações pouco amortecidas

(47)

Resposta a escalão: estado estacionário

No estado estacionário: lim t→+∞∆u = lims→0 s Guδe∆δe =14.11m/s lim t→+∞∆α = lims→0 s Gαδe∆δe = −1.06 o lim t→+∞∆γ = lims→0 s Gγδe∆δe =0.137 o

O resultado da deflexão do leme de profundidade é

ñ _{variação significativa de}_u

ñ _{variação significativa de}α

(48)

Resposta à actuação do

throttle

Com ∆δP = 1/6 (incremento na

força de propulsão de0.05W ):

ñ oscilações deu com valor médio nulo e pouco amortecidas

ñ α aproximadamente constante

ñ γ oscila e tende para valor estacionárioγ = 2.8º

(49)

Resposta longitudinal Resposta longitudinal: modos aproximados

Resposta longitudinal: modos aproximados

Pretende-se, para cada um dos modos aproximados:

ñ _{resolver as equações do movimento (com controlo)}

pelo método das transformadas de Laplace

ñ _{determinar as funções de transferência para os modos}

aproximados longitudinais

ñ _fugóide ñ _{período curto}

(50)

Modo fugóide

Equações para o modo fugóide aproximado (incluindo termos de controlo) ∆ ˙u = Xu m∆u + Xw mw + −g∆θ + Xδe m δe+ XδP m δP ˙ w = Zu m∆u + Zw mw + u0q + Zδe mδe+ ZδP m δP 0 =Mu∆u + Mww +Mδeδe+MδPδP ∆ ˙θ = q

(51)

Modo fugóide

Equações na forma matricial (e considerando apenasδe):

          ∆ ˙u ˙ w 0 ∆ ˙θ           =           Xu m Xw m 0 −g Zu m Zw m u0 0 Mu Mw 0 0 0 0 1 0                     ∆u w q ∆θ           +          X_δe m Z_δe m Mδe 0          ∆δe

Após aplicação da transformada de Laplace:           s∆ ¯u s ¯w 0 · ¯q s∆ ¯θ           =           Xu m Xw m 0 −g Zu m Zw m u0 0 Mu Mw 0 0 0 0 1 0                     ∆ ¯u ¯ w ¯ q ∆ ¯θ           +          X_δe m Z_δe m Mδe 0          ∆ ¯δe

(52)

Modo fugóide

Finalmente obtemos            s − Xu m −Xw m 0 g −Zu m s −Zw m −u0 0 −Mu −Mw 0 0 0 0 −1 s                      ∆ ¯u ¯ w ¯ q ∆ ¯θ           =          X_δe m Z_δe m Mδe 0          ∆ ¯δe

Resolvendo este sistema em ordem a ∆ ¯u/∆ ¯δe, ¯w/∆ ¯δe, ¯q/∆ ¯δee ∆ ¯θ/∆ ¯δe obtemos as funções de transferência

(53)

Modo fugóide: funções de transferência

∆ ¯u(s) ∆ ¯δe(s) =Guδe= a1s + a0 f (s) Os coeficientes são: a1=u0 Mδe Xu m −Mw Xδe m −gMδe a0=g Mδe Zw m −Mw Zδe m

Polinómio característico para o modo fugóide aproximado:

f (s) = As2+Bs + C A = −u0Mw B = gMu+ u0 m(XuMw−MuXw) g

(54)

Modo fugóide: funções de transferência

¯ w(s) ∆ ¯δe(s) =Gwδe = b2s2+b1s + b0 f (s) Os coeficientes são: b2 =u0Mδe b1 =u0Mu Xδe m b0 =g Mu Zδe m −Mδe Zu m

(55)

Modo fugóide: funções de transferência

¯ θ(s) ∆ ¯δe(s) =Gθδe= c2s2+c1s + c0 f (s) Os coeficientes são: c2 =Mδe c1 =Mu Xδe m +Mw Zδe m −Mδe _X u m + Zw m c0 =Mδe _X u m Zw m − Xw m Zu m + Zδe m Mu Xw m −Mw Xu m + Xδe m Mw Zu m −Mu Zw m

(56)

Modo de período curto aproximado

Sistema de equações para o modo aproximado de período curto (incluindo termos de controlo):   ˙ w ˙ q  =    Zw m u0 1 Iy h Mw+Mw˙_mZw i ₁ Iy h Mq+Mw˙u0 i      w q  +    Z_δe m M_δe Iy + Mw˙ Iy Z_δe m    ∆δe

As funções de transferência obtém-se aplicando a transformada de Laplace e usando os métodos descritos acima.

(57)

Modo de período curto: funções de transferência

Notando que ¯q = s∆ ¯θ, obtém-se:

Gwδe = ass + a0 f (s) Gθδe = b1s + b0 sf (s) = Gqδe s Polinómio característico: f (s) = s2+c1s + c0

(58)

Modo de período curto: funções de transferência

Coeficientes: a1 = Zδe mu0 a0 =u0 Mδe Iy −Mq Iy Zδe m b1 = Mδe Iy +Mw˙ Iy Zδe m b0 = Zδe m Mw Iy −Zw m Mδe Iy c1 = − " Zw m + 1 Iy Mq+Mw˙u0 # c0 = − 1 Iy Mwu0− Zw mMq

(59)

Resposta lateral

Sumário

Resposta longitudinal: modos aproximados Resposta lateral

(60)

Resposta lateral Exemplo do 747

Resposta Lateral

As funções de transferência obtêm-se pela resolução das equações: (sI − A) ·      ¯ v ¯ p ¯ r ¯ φ      =B "_¯ δa ¯ δr #

(61)

Derivadas relativas às variáveis de controlo

Derivadas adimensionais: (em rad-1₎

Cy Cl Cn

δa 0 -1.368×10-2 -1.973×10-4

δr 0.1146 6.976×10-3 -0.1257

As derivadas dimensionais são dadas por:

Yδ=1/2 ρu20SCyδ

Lδ=1/2 ρu20SbClδ

Nδ=1/2 ρu20SbCnδ em queδ pode ser substituído por δa ouδr.

(62)

Funções de transferência

Gvδa= Nvδa f (s) Gr δa= Nr δa f (s) Gvδr = Nvδr f (s) Gr δr = Nr δr f (s) Gpδa= Npδa f (s) Gφδa= Nφδa f (s) Gpδr = Npδr f (s) Gφδr = Nφδr f (s)

f (s) é o polinómio característico do sistema (lateral), dado por f (s) = s4+0.6358s3+0.9388s2+0.5114s + 0.003682

(63)

Funções de transferência

Nvδa =2.896s 2₊₆_{.54s + 0.6220} Nvδr =5.642s 3₊₃₇₉_.4s2₊₁₆₇_.9s5.934 Npδa =0.1431s 3₊₀_.02730s2₊₀_.1102s Npδr =0.1144s 3₋₀_.1997s2₋₁_.368s Nr δa = −0.003741s 3₋₀_.002708s2₋₀_{.0001394s + 0.004539} Nr δr = −0.4859s 3₋₀_.2327s2₋₀_{.009018s − 0.05647} Nφδa =0.1431s 2₊₀_{.02730s + 0.1102} Nφδr =0.1144s 2₋₀_{.1997s − 1.368}

(64)

Estados estacionários após aplicação de escalão

Neste caso ¯δ = sδ.

Aplicando o teorema do valor final:

ñ pss =0 em ambos os casos

ñ _{β, r e φ tendem para valores finitos}

ñ _{para valores «normais» de}_{δ, esse limites são elevados}

(65)

Resposta lateral Modos aproximados

Modos aproximados

Nos casos seguintes trata-se de resolver (sI − A) · ¯x = B "_¯ δa ¯ δr # Usar-se-á a notação Y_δ= Yδ m L_δ= Lδ Ix0 +I_zx0 Nδ Nδ=Izx0 Lδ+ Nδ Iz0

(66)

Aproximação espiral/rolamento

Neste caso queremos resolver     0 0 u0 −g −Lv (s − Lp) −Lr 0 −Nv −Np (s − Nr) 0 0 −1 0 0         ¯ v ¯ p ¯ r ¯ φ     =     Yδa Yδr Lδa Lδr Nδa Nδr 0 0     "_¯ δa ¯ δr # Polinómio característico: f (s) = Cs2₊_{Ds + E} C = u0Nv D = u0(LvNp− LpNv) − gLv E = g(LvNr− LrNv)

(67)

Espiral/rolamento: funções de transferência

Gvδ=Nvδ/f (s) Nvδ=a3s3+a2ss+a1s + a0 Gφδ=Nφδ/f (s) Nφδ=b1s + b0 Gr δ=Nr δ/f (s) Nr δ=d2s2+d1s + d0 Gpδ=Npδ/f (s) Npδ=s Nφδ a3= Yδ a2= −Yδ(Lp+ Nr) − u0Nδ a1= Yδ(LpNr− LrNp) − u0(LδNp− LpNδ) + Lδg a0=g(LrNδ− LδNr) b1= YδLv b0=u0(LδNv − LvNδ) + Yδ(LvNr− LrNv) d2= YδNv d1= Yδ(LvNp− LpNv) d0 =g(LδNv− LvNδ)

(68)

Aproximação de rolamento holandês

Neste caso queremos resolver _{(s − Y} v) u0 −Nv (s − Nr) _v_¯ ¯ r = ₀ _Yδ r Nδa Nδr "_δ¯ a ¯ δr # Polinómio característico: f (s) = s2−(Yv+ Nr) s + (YvNr+u0Nv) Funções de transferência: Gvδa =Nvδa/f (s) Nvδa = −u0Nδa Gr δa =Nr δa/f (s) Nr δa = Nδas − YvNδa Gvδr =Nvδr/f (s) Nvδr = Yδrs − (YδrNr+u0Nδr) Gr δr =Nr δr/f (s) Nr δr = Nδrs − (NδrYv− YδrNv)