UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA A FUNÇÃO LOGARÍTMICA. Magali Laktim

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS

INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

A FUNÇÃO LOGARÍTMICA

Magali Laktim

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS

INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

A FUNÇÃO LOGARÍTMICA

Monografia desenvolvida como requisito para a aprovação no

curso de Especialização em Matemática para Professores

da Universidade Federal de Minas Gerais.

Nome: Magali Laktim

Orientador: Gilcione Nonato Costa

Nome: Magali Laktim

Monografia: A Função Logarítmica

Membros componentes da banca examinadora:

________________________________________

Gilcione Nonato Costa (Orientador)

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS

________________________________________________ Alberto Berly Sarmiento Vera

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS

_________________________________________________ Jorge Sabatucci

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS

Agradecimentos

Àquele que é capaz de fazer infinitamente mais do que tudo que pedimos ou pensamos, agradeço por me oferecer a oportunidade dessa nova conquista nos meus estudos.

Ao professor Gilcione Nonato Costa agradeço por ter me orientado neste trabalho e pela dedicação. Agradeço aos professores Alberto Berly Sarmiento Vera e Jorge Sabatucci pela ajuda na construção dos gráficos.

Resumo

O objetivo principal desse trabalho é apresentar uma forma geométrica para a definição da função logarítmica. Inicialmente são abordadas as notações de somatório, algumas somas finitas e infinitas e o cálculo de algumas áreas não-poligonais, utilizando a noção de limite.

Abstract

The main objective of this work is to present a geometric form for the definition of the logarithmic function. Initially the finite and infinite notations of sum, some additions and the calculation of some areas are boarded not-polygons, using the limit notion.

SUMÁRIO

Introdução...07

1. Preliminares...08

1.1 A notação sigma e algumas somas especiais 1.1.1. Cálculo da soma dos números naturais...08

1.1.2. Cálculo da soma dos quadrados dos números naturais...09

1.1.3. Cálculo da soma dos cubos dos números naturais...10

1.1.4. Série geométrica...12

2. O cálculo de áreas como limites...14

2.1- Cálculo da área sob o gráfico da função f(x)=x2 ...14

2.2- Cálculo da área sob o gráfico da função f(x)=x3...17

2.3- Cálculo da área sob o gráfico da função n x ) x ( f = ...20

3. Definição da função logarítmica...23

3.1- Propriedades da função logarítmica...23

3.2- Equivalência das definições da função logarítmica...31

4. Conclusão...34

5. Anexos 5.1- Teorema do Valor Intermédio...35

5.2- Teorema do confronto (Teorema do sanduíche)...35

5.3- Soma de Riemann...35

6. Referências bibliográficas...36

Introdução

No ensino médio, a definição de logaritmo surge da necessidade de se resolver equações do tipo 2x =5, pois não se consegue reduzir todas as potências à mesma base, como é feito nos estudos de equações exponenciais. Já a função logarítmica é apresentada como a inversa da função exponencial, que se apresenta como uma grande dificuldade para os alunos.

Esse trabalho visa fornecer uma outra abordagem de definição da função logarítmica através da geometria, que dessa forma, fornece uma alternativa a mais para a assimilação desse conceito por parte dos alunos. Pois, com a geometria, teremos algo mais concreto para introduzirmos a função logarítmica, que será definida como a área sob uma curva, limitada pelo eixo-x e uma reta.

Para darmos essa definição, inicialmente, introduziremos algumas definições, tais como limites, somas de Riemann, com algumas notações de somas finitas e infinitas. Apesar de no ensino médio, somente ser ensinado o cálculo de áreas de regiões poligonais, essas ferramentas nos permitem o cálculo de áreas sob curvas, que será fundamental no nosso estudo.

Com a definição da função logarítmica por meio de uma área, surgem duas questões, a saber, a equivalência dessa definição com a convencional, e as demonstrações das propriedades da função. Que nesse contexto, devem ser justificadas por meio de cálculos de áreas, ou seja, por meio de uma geometria.

1. PRELIMINARES

Nesta seção, introduziremos as ferramentas fundamentais ao nosso trabalho de cálculo de áreas. Com a notação de somatório, algumas somas finitas são calculadas. Contudo, no caso de somas infinitas, mais precisamente, em séries geométricas, não serão abordadas questões de convergência, que serão intuídas com a introdução da ideia de limite.

1.1 A notação sigma e algumas somas especiais

A notação sigma é uma notação matemática padrão para abreviar grandes somas, e seu nome deve-se ao fato dela utilizar a letra grega å (sigma) para representá-la. No alfabeto grego a letra å corresponde à nossa letra S, que é a primeira letra da palavra soma. Isto nos lembra o propósito da notação sigma que é o de sugerir a ideia de somatório ou adição.

Assim, se a , 1 a ..., 2 a são números dados, a soma desses elementos é dada n

por

å

= n k k a 1

Esse símbolo lê-se “a soma de a , k de 1 a n”. A ideia deste símbolo é que _k

estamos anotando cada uma dos números a quando o índice k varia de 1 a n e _k

depois adicionando todos esses números:

. ... 2 1 1 n n k k a a a a = + + +

å

=

Demonstraremos alguns resultados utilizando a notação sigma:

1.1.1 Cálculo da soma 2 1 2 1 1 ) n ( n n ... k S n k + = + + + = =

å

= .

Prova. Escreveremos os termos da soma S de duas maneiras diferentes, uma em ordem crescente e a outra em ordem decrescente. Somando as duas maneiras de

S, temos que ) 1 ( ... ) 1 ( ) 1 ( 2 1 ... 1) -( ... 2 1 + + + + + + = + + + = + + + = + n n n S n n S n S

Assim, 2S é a soma de n parcelas iguais a n+1, daí: 2 ) 1 ( ) 1 ( 2 + = + = n n S n n S Assim: 2 ) 1 ( ... 2 1 1 + = + + + =

å

= n n n k n k .

1.1.2. Cálculo da soma dos quadrados dos números naturais 6 ) 1 2 )( 1 ( ... 2 12 2 2 1 2 _{= + + + =} + +

å

= n n n n k n k .

Prova. Para calcularmos essa soma, utilizaremos o seguinte fato:

1 3 3 ) 1 (k+ 3 =k3 + k2 + k+ . Mais precisamente, (k+1)3 -k3 =3k2 +3k+1.

Fazendo, na equação acima, k = 1, 2, 3,... , n, temos:

1 3 3 3 3 3 4 1 2 3 2 3 2 3 1 1 3 1 3 1 2 2 3 3 2 3 3 2 3 3 + × + × = + × + × = + × + × = M M M 1 3 3 13 3 = × 2+ × + + ) n n n n (

-Somando todos esses termos, e observando que se trata de uma soma telescópica, ou seja, os termos aparecem aos pares com sinais inversos, exceto dois, que resultam a soma dessas parcelas. Por outro lado, colocando em evidência os termos comuns do lado direito dessa soma, nós obtemos que:

n k k n n k n k + ÷ ÷ ø ö ç ç è æ × + ÷ ÷ ø ö ç ç è æ × = -+

å

å

= =1 1 2 3 3 3 3 1 ) 1 ( Sabendo-se que , 2 ) 1 ( 1 + =

å

= n n k n k

n n n n n n k n k -úû ù êë é + -+ + + = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ×

å

= 2 ) 1 ( 3 1 1 3 3 3 3 2 1 2 , logo, 6 3 2 3 2 1 2 n n n k n k + + = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ

å

= .

Fatorando a expressão acima,

6 ) 1 2 )( 1 ( ... 2 12 2 2 1 2 _{= + + + =} + +

å

= n n n n k n k .

1.1.3. Cálculo da soma dos cubos dos números naturais

2 3 3 3 1 3 2 ) 1 ( ... 2 1 úû ù êë é + = + + + =

å

= n n n k n k .

Prova. De maneira análoga, para a demonstração dessa igualdade, utilizaremos o fato: 1 4 6 4 ) 1 (k+ 4 =k4 + k3 + k2 + k+ .

Novamente, substituindo na equação acima os valores de k = 1, 2, 3,... , n, obtemos n parcelas 1 2 4 2 6 2 4 2 3 1 1 4 1 6 1 4 1 2 2 3 4 4 2 3 4 4 + × + × + × = -+ × + × + × = M M M 1 4 6 4 ) 1 (n+ 4 -n4 = ×n3+ ×n2+ ×n+ . Somando todas essas parcelas,

n k k k n n k n k n k + ÷ ÷ ø ö ç ç è æ × + ÷ ÷ ø ö ç ç è æ × + ÷ ÷ ø ö ç ç è æ × = -+

å

å

å

= = = 1 1 2 1 3 4 4 4 6 4 1 ) 1 (

Desenvolvendo essa expressão e utilizando e os resultados demonstrados anteriormente,

n n n n n n ) n ( k n k -÷÷ ø ö çç è æ + × -÷÷ ø ö çç è æ + + × + -+ = ÷ ø ö ç è æ ×

å

= 2 4 6 3 2 6 1 4 4 2 2 3 4 1 3 . Portanto, , 2 2 3 2 4 6 4 4 4 3 2 3 2 2 1 3 n n n n n n n n n n k n k -+ + + = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ×

å

= ou seja, 4 2 3 2 4 1 3 n n n k n k + + =

å

= .

Fatorando essa expressão,

. 2 ) 1 ( 4 ) 1 2 ( 2 2 2 1 3 úû ù êë é + = + + =

å

= n n n n n k n k

Uma prova geométrica alternativa para demonstrar essa soma consiste em considerarmos esse quadrado:

Dividindo os lados do quadrado em segmentos sucessivos de comprimentos 1, 2, 3, ...., n, temos que cada lado do quadrado tem medida:

1+ 2+ 3+ ...+ n = 2 ) 1 (n+ n .

Portanto, a área do quadrado é: 2 2 ) 1 ( úû ù êë é + = n n S . (1)

Entretanto, o quadrado é a soma de n regiões em forma de L, indicadas na figura: n L L L L S= ₁+ ₂ + ₃ +...+

Para calcular L , dividiremos essa região em dois retângulos, como na figura. _n

Assim úû ù êë é -+ úû ù êë é + = 2 ) 1 ( 2 ) 1 ( n n n n n n L_n

[

]

3 2 ) 1 ( ) 1 ( 2 1 n n n n L_n = + + - = Conseqüentemente, S=L₁+L₂ +L₃ +...+L_n = 13 +23 +...+n3 (2) Comparando (1) e (2), temos: 2 3 3 3 2 ) 1 ( ... 2 1 úû ù êë é + = + + + n n n . 1.1.4. Série geométrica

A progressão geométrica é uma seqüência de número em que a razão entre dois termos consecutivos é r, ou seja, é uma seqüência da forma a , ₀ a₀r ,

2 0r

a , ... Ao calcularmos a soma dos termos de uma progressão geométrica, temos duas situações distintas, r sendo igual ou diferente de 1. No caso em que r = 1, todos os termos da seqüência são iguais a a , e sua soma dos seus n ₀

termos é naturalmente na . O caso em que ₀ r ¹1, será considerado agora. De fato, demonstraremos o resultado:

; 1 1 ) ... 1 ( 1 0 2 0 ÷÷ ø ö çç è æ -= + + + + + r r a r r r a n n r ¹ 1

Prova. Seja S a seguinte soma:

S=a (₀ 1+r +r2 +...+rn ) (3) Multiplicando (3) por r, temos:

Subtraindo (3) de (4), temos: ) 1 ( 1 0 - + = - n r a rS S ) 1 ( ) 1 ( -r =a₀ -rn+1 S .

Como r ¹1, temos que

÷÷ ø ö çç è æ -= + r r a S n 1 1 1 0 ÷÷ ø ö çç è æ -= + 1 1 1 0 r r a n . Assim, S=a (₀ ; 1 1 ) ... 1 1 0 2 ÷ ÷ ø ö ç ç è æ -= + + + + + r r a r r r n n _{r ¹ 1}

Em particular, para o caso em que a série geométrica for infinita, a soma dos seus termos pode ser calculada considerando que n se torne cada vez maior. E se a razão r tiver módulo menor que 1, rn+1 se aproximará de zero cada vez mais, desde que n cresça indefinidamente. Assim, em linguagem matemática, temos que: . r r r ... r ... r r r S n n n -= -= + + + + + + = + ¥ ® ₁ 1 1 1 lim 1 1 3 2

Exemplo 1.1. Consideremos a soma infinita S= + + + +...+ _n +....

2 1 8 1 4 1 2 1 1

Pelo cálculo temos que

n n n ... S 2 1 2 2 1 8 1 4 1 2 1 1+ + + + + = -=

uma vez que a razão entre os termos é .

2 1

A soma infinita acima é obtida fazendo

n crescer indefinidamente, ou seja,

. S .... ... S _n n n n n 2 2 1 2 lim lim 2 1 8 1 4 1 2 1 1 = úû ù êë é -= = + + + + + + = ¥ ® ¥ ®

2- O cálculo de áreas como limites

Nesta seção, calcularemos a área entre o gráfico e o eixo-x para funções do tipo f(x)=xn, para n=1,2,3,...,n. Para n=1 o cálculo dessa área é trivial, calcularemos então a partir de n=2.

Os resultados obtidos na seção anterior serão fundamentais, embora as áreas que queremos calcular não sejam áreas de regiões poligonais, podemos calcular a área dessas curvas por um simples artifício matemático, sem utilizarmos ferramentas do cálculo integral.

2.1- Cálculo da área da função f(x)=x2, definida no intervalo [0,a], como mostrado na figura (1).

Figura (1)

Prova. Seja S a região limitada pelo gráfico da função f(x)=x2, o eixo-x e a reta

, a

x = com a > 0. Seja n um número inteiro positivo, dividiremos o intervalo [0,a]

em n subintervalos iguais por meio de n-1 pontos, e cada subintervalo de comprimento n a x= D , em que: x x₁=D ,x₂ = 2×Dx,...,x_n =n×Dx

e as alturas dos retângulos sucessivos são:

2 1) ( )

(x x

Seja S a área indicada por esta figura: _n

Figura (2)

Por essa figura, temos que S < S _n

2 2 2 ) ( ) ( ... ) 2 ( ) ( ) ( ) ( x x x x x n x S_n = D × D + D × D + + D × D ] ... 2 1 [ ) ( x 3 2 n2 Sn = D + + + Como n a x = D e 6 ) 1 2 )( 1 ( 1 2 = + +

å

= n n n k n k , temos: 6 1 2 1 3 3 ) n ( ) n ( n n a S_n = × × + × + . n n n n n n a S_n 1 2 1 6 3 ₊ × + × × = Dessa forma, ÷ ø ö ç è æ + × ÷ ø ö ç è æ + × = n n a S_n 1 1 2 1 6 3

Nessa expressão, faremos n tender a infinito, (n®¥), o que implica que ÷ ø ö ç è æ ® 01 n . Assim, . 3 2 6 lim 3 3 _a a S S _n n = × = £ ¥ ®

Logo,

S a .

3

3

£ (1)

Seja s a área indicada por esta figura: _n

Figura (3) Então, vemos que S > s _n

] ) 1 ( ... 2 1 [ ) ( 3 + 2 + + - 2 = x n s_n D .

Como mostramos anteriormente, sabemos que

6 1 2 1 1 2 n(n )( n ) k n k + + =

å

= . Então, trocando n por n-1, nessa igualdade, e sabendo que

n a x= D , temos: = -× = 6 ) 1 2 )( )( 1 ( 3 3 n n n n a s_n . n n a n ) n ( n n n n a s_n ÷ ø ö ç è æ -÷ ø ö ç è æ -= -× × -× = 1 1 2 1 3 1 2 1 6 3 3

Da mesma forma feita anteriormente, com essa expressão acima, fazemos n crescer indefinidamente, ou seja, (n®¥), implica que ÷

ø ö ç è æ ® 01 n , assim, . 3 2 6 lim 3 3 n S a a s_n = × = £ ¥ ® (2)

[

]

2 2 2 ) 1 ( ) ( ... ) 2 ( ) ( ) ( ) ( x x x x x n x s_n = D × D + D × D + + D × - D

Portanto, de (1) e (2) temos que: 3 3 3 3 a S a _{£ £} Logo,

2.2- Cálculo da área da função f(x)=x3,definida no intervalo [0,a], como mostrado na figura (4).

Figura (4)

Prova. Repetiremos a mesma ideia usada no caso anterior. Dessa forma, seja S a região limitada pelo gráfico da função f(x) = x , o eixo-x e a reta x = a com a>0. 3

Novamente, dividiremos o intervalo [0,a] em n subintervalos iguais por meio de

n -1 pontos, cada subintervalo de comprimento

n a x= D , em que x x₁ =D , x₂ = 2×Dx,...,x_n =n×Dx

e as alturas dos retângulos sucessivos são:

3 1) ( x) x ( f = D , 3 2) (2 x) x ( f = D ,..., 3 ) x n ( ) x ( f n = D . . 3 3 a S=

Seja S a área indicada pela figura a seguir: _n

Figura (5) Por essa figura, temos que S < S _n

3 3 3 ) ( ) ( ... ) 2 ( ) ( ) ( ) ( x x x x x n x S_n = D × D + D × D + + D × D ] ... 2 1 [ ) ( x 4 3 n3 S_n = D + + +

Substituindo o valor de D e observando quex

2 1 3 2 ) 1 ( úû ù êë é + =

å

= n n k n k , temos: 2 4 4 ₂ ) 1 ( úû ù êë é + × = n n n a S_n ú ú û ù ê ê ë é _{+ +} × = 4 2 3 2 4 4 4 n n n n a S_n úû ù êë é _{+ +} × = 2 4 1 1 1 4 n n a S_n

Quando fazemos na expressão acima n tender a infinito (n®¥) implica que ÷ ø ö ç è æ ® 01 n e ÷_ø ö ç è æ 1 _{® 0} 2 n assim: 4 1 . 4 lim 4 4 n a a S S£ _n = = ¥ ®

Logo, . 4 4 a S£ (3)

Seja s a área indicada pela figura a seguir: _n

Figura (6) Por essa figura, temos que S > s _n

[

]

3 3 3 ) 1 ( ) ( ... ) 2 ( ) ( ) ( ) ( x x x x x n x s_n = D × D + D × D + + D × - D ] ) 1 ( ... 2 1 [ ) ( 4 + 3 + + - 3 = x n s_n D

Substituindo o valor de xD e observando que

2 1 3 2 ) 1 ( úû ù êë é + =

å

= n n k n k , temos: . 1 2 1 4 4 2 2 ) )( 1 ( 2 4 2 3 4 4 4 2 4 4 úû ù êë é _{- +} × = ú ú û ù ê ê ë é _{- +} × = úû ù êë é -× = n n a n n n n a n n n a s_n

Quando fazemos na expressão acima n tender a infinito (n®¥) implica que ÷ ø ö ç è æ ® 02 n e ÷_ø ö ç è æ 1 _{® 0} 2 n assim: s_n =a × = a £S ¥ ® 4 1 4 lim 4 4 n (4)

Portanto, de (3) e (4), temos: 4 4 4 4 _a S a _{£ £} Logo: 4 4 a S= .

Das demonstrações (2.1) e (2.2) é natural conjecturarmos que as áreas sob curvas do tipo y = x , no intervalo de [0,a] , são dadas por n

1 1 + = + n a A n n . (5)

Essa expressão é trivialmente válida para n=1. O matemático italiano Bonaventura Cavaliere, entre 1635 e 1647, com essas técnicas, demonstrou a validade dessa fórmula para os casos n = 2, 3, 4,..., 9. Contudo, seus métodos geométricos foram improdutivos para os casos n=10 em diante. Coube o matemático francês Pierre de Fermat, a prova da validade de (5), para número n, racional positivo. Apresentaremos as ideias de Fermat, usadas na demonstração dessa validade.

2.3- Cálculo da área sob o gráfico da função f(x) = xn,

definida no intervalo [0,a],

com a> , e n um número racional positivo. 0

Prova. As ideias de Fermat consistem em utilizarmos somas superiores, baseadas numa divisão do intervalo [0, a], em um número infinito de subintervalos diferentes, como sugerido nesta figura

Seja r um número positivo com r< e considere os pontos de divisão como 1 indicado na figura (8):

Figura (8)

A soma das áreas de todos os retângulos superiores, iniciando pela direita, é a soma infinita que depende de r:

)... ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (a ra ra ra r2a r2a r2a r2a r3a a S_n = n - + n - + n n -)... 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 1 1 1 2 2 1 r r a r r a r a S_n = n+ - + n+ n+ - + n+ n+

-[

1 ...

]

) 1 ( 1 2 2 1 _{- + + +} = n+ n+ n+ n a r r r S

[

1 ...

]

) 1 ( 1 2( 1) 1 _{- + + +} = n+ n+ n+ n a r r r S

Como 0<r<1, a série geométrica do lado direito dessa última expressão é dada por , 1 1 ... ... 1 +1 2( +1) ( +1) ₊₁ -= + + + + + n n k n _n r r r r

uma vez que, necessariamente, teremos que rn .

1 0< +1<

Dessa forma, obtemos que úû ù êë é -= + ₊ 1 1 1 1 ) 1 ( n n n r r a S = r r a n n -- + + 1 1 1 1 (6) Como r r r ... r r n n -= + + + + + 1 1 1 1 2 , temos que n n n r r r r a S + + + + + = + ... 1 2 3 1 (7)

Observando que n é um número inteiro positivo, quando (r ®1), observamos que cada um dos n+1 termos do denominador de (7) tende a 1, assim:

1 lim 1 n = + + ¥ ® n a S n n . (8)

A única parte desse argumento em que n deve ser um número inteiro positivo é o passo (6). Se admitirmos que n é um número racional positivo

q p

, então podemos

superar essa dificuldade por meio da substituição s rq 1.

1

¹

= Dessa forma, segue-se: q p q q p q q n s s s s r r + + + -= -= -1 1 ) ( 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 ... 1 ... 1 1 1 1 1 -+ -+ _{+ + + +} + + + + = -= q p q q p q s s s s s s s s s s

Quando r ®1, temos também s®1 e a última expressão acima revela que

1 1 1 1 1 1 1 = + + = + ® -+ _n q p q p q r r n

3- Definição da função logarítmica

Nos livros do ensino médio a função logarítmica é definida como sendo a inversa da função exponencial, essa definição além de não ter uma conotação geométrica tem como inconveniente a necessidade da compreensão da função exponencial, como por exemplo ₁₀12 _{e 10 . Nessa seção por meio do cálculo da} p

área daremos uma outra abordagem da definição da função logarítmica.

Definição. A função logarítmica log(t), para t>0, é definida como a área orientada entre a hipérbole

x

y = e o eixo-x, entre as retas 1 x=1 e x =t.

Figura (9) Decorre imediatamente dessa definição que

· log(1)=0;

· por ser uma área orientada, para 0<t<1, log(t), em módulo, é o mesmo da área indicada na figura, mas, com sinal inverso.

3.1- Propriedades da função logarítmica

Propriedade 1- Sejam A e ₁ A as áreas dos trapezóides limitados pela hipérbole ₂

x

y = , o eixo-x e as linhas 1 x= , a₁ x = e, b₁ x=a₂, x=b₂, respectivamente. Mostraremos que, se 2 2 1 1 a b a b = então A = ₁ A . ₂

Figura (10)

Prova. Considere o intervalo

[

a₁,b₁

]

e uma partição em n partes iguais, em que

{

x0 =a1<x1<x2 <...<xn =b1

}

tais que x n a b x x_i+1- _i = 1- 1 =D , " i =0,1,...,n-1 Desta forma, temos:

x k a x_k = ₁+ D

Tomando a soma de Riemann, temos:

, S x ) x ( f A n k k n n k k n

å

å

= ¥ ® = ¥ ® ×D = = 1 1 1 lim lim com x x

f( )= e 1 S a área do k-ésimo retângulo da soma de Riemann. A área de k k S é dada por: x x S k k = ×D 1 = x k a x D + D 1 . Portanto, n a b n a b . k a Sk 1 1 1 1 1 1 _× -ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é ÷ ø ö ç è æ -+ = = 1 1 1 1 kb a ) k n ( a b + -.

Dividindo essa expressão por a , temos: ₁ ÷÷ ø ö çç è æ + -= 1 1 1 1 ) ( 1 a b k k n a b S_k (9)

Ao considerarmos o segmento

[

a₂,b₂

]

, como na maneira acima, apenas

precisamos trocar a por ₁ a e ₂ b por ₁ b . Dessa maneira, obtemos para a área do ₂ k-ésimo retângulo s o valor de _k

÷÷ ø ö çç è æ + -= 2 2 2 2 1 a b k ) k n ( a b s_k (10) Como 2 2 1 1 a b

ab = , temos que (9) = (10) e portanto A = 1 A . 2

Propriedade 2- Seja F(z) a área do trapezóide limitado pela hipérbole

x y = , o 1

eixo-x, e as linhas x = 1 e x = z, como mostra a figura (11):

Figura (11)

Provaremos que para quaisquer z e ₁ z positivos: ₂

) ( ) ( ) (z₁ z₂ F z₁ F z₂ F × = + .

Prova. Dividiremos a demonstração dessa propriedade em casos. 1° caso. Suponhamos que z e ₁ z sejam ambos maiores que 1. ₂

Figura (12) Visto que 1 1 2 2 1 z z z z = ×

, segue pela demonstração anterior que as áreas S e ₁ S ₂

são iguais, assim:

1 1 2 2 1 2 F(z z ) F(z ) F(z ) F(1) S S = × - = - = como F(1)=0, temos 1 1 2 2 1 2 F(z z ) F(z ) F(z ) S S = × - = = , assim: ) ( ) ( ) (z₁ z₂ F z₁ F z₂ F × = + .

2° caso. Suponhamos que z₁>1 e z < 1 com ₂

1 2

1

z

z = , como mostrado nesta figura:

Neste caso, a identidade a ser provada assume a forma ÷÷ ø ö çç è æ + = × = = 1 1 2 1 1 ) ( ) ( ) 1 ( 0 z F z F z z F F , ou seja, ) ( 1 1 1 z F z F _÷÷= -ø ö çç è æ Dado que 1 1 1 1 1 z

z = , segue pela demonstração anterior que as áreas S e ₁ S são ₂

iguais, assim: 1 1 1 2 ) ( ) (1) 1 ( ) 1 ( F z F S z F F S = - = - = .

Como F(1)=0, segue a relação.

3° caso. Suponhamos agora que z e ₁ z sejam ambos menores que 1. ₂

Nesse caso, temos , z 1 1 1 > 1 1 2 > z e 1 1 2 1 > × z

z . Como já foi provado no 2° caso,

temos: ) ( 1 1 1 z F z F _÷÷= -ø ö çç è æ , 1 ( ₂) 2 z F z F _÷÷= -ø ö çç è æ e 1 ( _{1 2}) 2 1 z z F z z F _÷÷=- × ø ö çç è æ × .

De acordo com o 1° caso, temos:

÷÷ ø ö çç è æ = ÷÷ ø ö çç è æ + ÷÷ ø ö çç è æ 2 1 2 1 . 1 1 1 z z F z F z F . Segue-se ) ( ) ( ) (z₁ F z₂ F z₁ z₂ F - =- × - . Portanto, ) ( ) ( ) (z₁ F z₂ F z₁ z₂ F + = × .

4° caso. Finalmente, suponhamos que z₁>1 e z < 1, com ₂ z₁× z₂ ¹1. Primeiramente, consideremos o caso em que

2 1 1 z z > . Deste modo z₁× z₂ >1. Como 1 1 2 >

z , podemos usar o resultado já provado:

) ( 1 z F z 1 F ) ( ₁ 2 2 1 2 2 1 F z z z z z F _÷÷= ø ö çç è æ × × = ÷÷ ø ö çç è æ + × . Assim, ) ( ) ( 1 ) ( ) ( _{1 2} 2 1 2 1 F z F z z F z F z z F _÷÷= + ø ö çç è æ -= × . Portanto, ) ( ) F(z ) (z₁ z_{2 1} F z₂ F × = + . O caso em que 2 1 1 z

z < é análogo. De fato, temos que z₁.z₂ <1. Como já mostrado anteriormente, Þ ÷÷ ø ö çç è æ = + ÷÷ ø ö çç è æ × 1 ₂ 2 1 1 1 z F ) z ( F z z F

(

×

)

+ =-

( )

Þ -F z₁ z₂ F(z₁) F z₂

(

z1 z2

)

F(z1) F

( )

z2 F × = + .

Propriedade 3- A função F(z) assume o valor 1 em algum ponto entre 2 e 3. Pela definição da função F(z), vemos claramente que se trata de uma função crescente. Mostraremos agora que ela assume o valor 1 em algum ponto entre 2 e 3. De fato, a partir da propriedade acima, observamos que F(2n)=nF(2) o que implica que essa função cresce indefinidamente, pois F(2)> Dessa forma, 0.

existe o número e tal que F(e) = 1.

Prova. Seja a reta B₁C₁ tangente à hipérbole xy =1, no ponto ÷ ø ö ç è æ 2 1 , 2 G , conforme essa figura.

Figura (14)

A equação da reta B₁C₁ é determinada pela intersecção da hipérbole com uma reta que contém o ponto ÷

ø ö ç è æ 2 1 , 2

G , que se trata de um único ponto, ou seja, o próprio ponto G. ï ï î ïï í ì + -= = 2 1 ) 2 ( 1 x k y x y

Substituindo, uma equação na outra, temos que

2 1 ) 2 ( 1_{= x- +} k x .

Portanto, obtemos que

2=2kx(x-2)+xÞ2kx2+(1-4k)x-2=0.

Fazendo-se D=0, para que a solução do sistema seja única, temos: Þ = --4 4 2 2 0 1 k)2 ( k)( ) ( 16k2 + k8 +1=0.

Resolvendo essa última equação para k, obtemos que k .

4 1 -=

Assim a equação da a tangente B₁C₁ é dada por 2 1 ) 2 ( 4 1 _{- +} -= x y . Ou seja, . 4 1 1 x y = -Como 4 3 ) 1 ( = F e 4 1 ) 3 ( =

F , a área S do trapézio AB₁C₁D é dada por

= × ÷ ø ö ç è æ + = F F AD S 2 ) 3 ( ) 1 ( 1 2 2 . 4 1 4 3 = ÷ ø ö ç è æ + = S

Como a área F(3) é maior do que S, pois a reta B₁C₁ está abaixo da hipérbole, temos que F(3)>S = 1.

Traçando o retângulo ABFH , conforme a figura (15), temos que sua área é dada por:

Figura (15)

S = BF.AB S = 1 . 1 = 1

Logo F(2) < 1.

3.2- Equivalência das definições da função logarítmica 3.2.1- Mostraremos que F(z)=log_ez.

Prova. Provaremos a propriedade F(za)=aF(z), para qualquer a : 1° caso: F(zn)=nF(z), para n inteiro e positivo.

) ( 2 ) ( ) ( ) . ( ) (z2 F zz F z F z F z F = = + = ) ( 3 ) ( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( ) (z3 F z2 z F z2 F z F z F z F z F = × = + = + = ) ( 4 ) ( ) ( 3 ) ( ) ( ) ( ) (z4 F z3 z F z3 F z F z F z F z F = × = + = + = M M M ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) (z F z 1 z F z 1 F z n F z F z nF z F n = n- × = n- + = - + = ) ( ) (z nF z F n =

2° caso: F(zk)=kF(z), para k inteiro e negativo. Seja k = -n, com n um número inteiro positivo, temos: ) ( 1 ) ( ) ( n n n k _{F z} z F z F z F ÷= -ø ö ç è æ = = - , assim ) ( ) ( ) ( ) (z F z nF z kF z F k =- n =- = ) ( ) (z kF z F k = . 3° caso: 1 ( ) 1 z F m z F m = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ

, para m um número inteiro.

Seja _zm _{z z z} m 1 1 1 = Þ = ) ( ) (z₁ mF z₁ F m = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ =_{mF z}m z F 1 ) ( ) ( 1 1 z F m z F m = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ .

4° caso: F(z) m n z F m n = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ , quando m n é um número racional. ) ( 1 1 z F m n z nF z F z F m n m m n = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ = ú ú ú û ù ê ê ê ë é ÷ ÷ ø ö ç ç è æ = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ , assim ) (z F m n z F m n = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ .

5° caso: F(za)=aF(z), quando a é um número irracional.

Todo número irracional pode ser aproximado por números racionais, veja o exemplo: ... 141592 , 3 = p 3 < p < 4 3,1 < p < 3,2 3,14 < p < 3,15 3,141 < p < 3,142 M M M

Assim, dado um número irracional a, existem duas seqüências de números racionais a₀,a₁,a₂,...,a_n... e b₀,b₁,b₂,...,b_n... , tais que

0 1 2 2 1 0 <a <a <...<a ...<a<...<b <...<b <b <b a _{n n} com j j j jlim®¥a =a= lim®¥b

Uma vez que a_j <a<b_j, resulta que zaj <za <zbj. Como F é uma função crescente, ) ( ) ( ) (z j F z F z j F a < a < b . Das propriedades acima demonstradas, temos que

), z ( F ) z ( F ) z ( F _j j b a _< a _<

j j z F z F _<b < a a ) ( ) ( . Como _j j j

jlim®¥a =a= lim®¥b , temos

a = b £ £ a = a ¥ ® a ¥ ® j j j j F z z F lim ) ( ) ( lim

Pelo teorema do sanduíche,

a = a ) ( ) ( z F z F , assim ) ( ) (z F z F a =a , " real. a Portanto, z F z e F z

F( )= ( logez)=log_e × (e)=log_{e ,} pois, por definição F(e)=1.

4- Conclusão

Com esse trabalho, tivemos o intuito de colocar uma outra abordagem da função logarítmica, por meio de áreas. Essa abordagem, oriunda do cálculo integral, possui a vantagem de apresentar tal função por meio de um conceito mais concreto, que é o conceito de área.

Claramente, tal definição também apresenta as suas dificuldades, o que é natural. Contudo essa definição é mais fácil de ser visualizada e entendida do que a definição usual, que é dada pela inversa da função exponencial, que apresenta dificuldades de entendimento, tais como definir 2 2 de modo natural.

Contudo, não temos a pretensão que essa definição seja apresentada a qualquer aluno do ensino médio. Além do mais, dada a grande defasagem de conteúdo e desinteresse por boa parte dos alunos, essa forma de definir a função logaritmo também será um obstáculo aos alunos. Mas, isso é inerente a qualquer conteúdo matemático a ser ensinado aos alunos secundaristas. Porém, entendemos que um bom aluno, bem orientado seja capaz de entender com mais facilidade essa definição.

5- Anexo

5.1- Teorema do Valor Intermédio

O Teorema do Valor Intermédio garante que, se uma função real f, definida num intervalo [a,b], é continua, então qualquer ponto d tal que f(a) ≤ d ≤ f(b) ou

f(a) ≥ d ≥ f(b) é da forma f(c), para algum ponto c do intervalo [a,b].

5.2- Teorema do confronto (Teorema do sanduíche)

Sejam f(x), g(x) e h(x) funções reais definidas em um domínio D Í R e seja a _e

um ponto (finito ou não) deste domínio, tais que:

L x h x f a x a xlim® ( )= lim® ( )= e f(x)£g(x)£h(x) Então existe o limite: g x L

a x® = ) ( lim . 5.3- Soma de Riemann

Escolha uma função válida para números reais f a qual se encontra definida no intervalo [a,b]. A Soma de Riemann de f com respeito a partição denominada

n x x ,...,0 com t0,...,tn-1 é:

å

-= + -1 0 1 ) )( ( n i i i i x x t f

Cada termo nessa soma é o produto do valor da função, em um ponto do intervalo ]

[xi,xi+1 , e comprimento desse intervalo. Conseqüentemente, cada termo

representa área de um retângulo com a altura f(ti) e o comprimento xi + 1 − xi. A soma de Riemann é a área sinalizada de todos os retângulos.

6- Referências bibliográficas

[1] SIMMONS, George F., Cálculo com geometria analítica, McGraw-Hill,1925.

[2] OSTROWSKI, A., Lições de Cálculo Diferencial e Integral (3 volumes), Lisboa: Fundação Calouste Gulbenkian, 1981.

[3] LIMA, Elon Lages, Coleção do Professor de Matemática, SBM,1991. [4] YAGLOM, A. M. e I. M. Yaglom, Challenging Mathematical Problems

with Elementary Solutions – Volume II, Dover Publications, I.N.C, 1967.

[5] IEZZE, Gelson e outros, Matemática – Volume único, Atual Editora, 2002.

[6] http://pt.wikipedia.org/wiki/Integral_de_Riemann