AULA 8 – FUNÇÃO EXPONENCIAL E
LOGARÍTMICA
Autor: Anibal Tavares de Azevedo
MATEMÁTICA I
FUNÇÃO EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA
Sejam a e b números reais positivos, com a≠1, chama-se logaritmo de b na base a, o expoente que se deve dar à base a de modo que a potência obtida seja igual a b. Em símbolos: se a, b∈ ℜ, 0 < a≠1 e b > 0, então
CONCEITO DE LOGARITMO
Para logab = x, diz-se que:
aé a base do logaritmo,bé o logaritmando exé o logaritmo.
EXEMPLOS
(i) log28 = 3, pois 23= 8
(ii) log31/9= -2, pois 3-2= 1/9
(iii) Log55 = 1, pois 51= 5
(iv) log71 = 0, pois 70= 1
(v) log 8 = 3/2, pois 43/2= 8
EXEMPLOS
(i) log0,225 = -2,
pois (0,2)-2= (1/5)-2= 52 = 25
b
a
x
b
xa
=
⇔
=
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FUNÇÃO EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA
EXERCÍCIOS
FUNÇÃO EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA
Se 0< a≠1, b > 0: PROPRIEDADES
(P1) loga1 = 0
(P2) loga a = 1
(P3)
(P4) logab = logac ⇔b = c
Se 0 < a≠1, b > 0 e c > 0, então, loga(b•c) = logab + logac LOGARITMO DO PRODUTO
EXEMPLOS
(i) log5(3•4) = log53 + log54
(ii) log4(2•3 •5) = log42 + log43 + log45
(iii) Se x > 0, então, log2[x•(x+1)] = log2x + log2(x+1)
(iv) log3[x•(x-2)] = log3x + log3(x - 2) se, e somente se, x - 2 > 0, isto é, x > 2.
FUNÇÃO EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA
Se 0 < a≠1, b > 0 e c > 0, então, loga(b/c) = logab - logac LOGARITMO DO QUOCIENTE
EXEMPLOS
(i) log5(2•3) = log52 - log53
(ii) log((2•3 )/5) = log(2•3 ) – log5 = log2 + log3 – log5
(iii) log3[(x+1)•(x-1)] = log3(x+1) - log3(x - 1) se, e somente se, x+1 0 e x – 1 > 0, isto é, x > 1.
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FUNÇÃO EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA
Se 0 < a≠1, b > 0 eα ∈ ℜ, então, logabα=α •log
ab
LOGARITMO DA POTÊNCIA
Se 0 < a≠1, b > 0 e n∈ ℵ*, então, LOGARITMO DA POTÊNCIA
b n b b a n a n a log 1 log log 1 = = EXEMPLOS
(i) log3(25) = 5•log 32 (ii) (iii) 2 log 3 1 2 log 2 log 5 3 1 5 3
5 = =
3 log 4 3 log 3 1 log 2 4 2 4
2 = =−
−
FUNÇÃO EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA
EXERCÍCIOS
FUNÇÃO EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA
Se a, b e c são números reais positivos e a e c≠1, então, têm-se: MUDANÇA DE BASE
a
b
b
c c alog
log
log
=
EXEMPLOS(i) log3(5) transformado para a base 2 fica:
(ii) log2(7) transformado para a base 10 fica:
(iii) log100(3) transformado para a base 10 fica:
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FUNÇÃO EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA
EXERCÍCIOS
FUNÇÃO EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA
Dado um número real a, tal que 0 < a≠1, chamamos função logarítmica de baseaa função f deℜ*+emℜque associa a cada x real o número logax.
f: ℜ*+→ ℜ
x →logax
EXEMPLOS
(a)f(x) = log2x
(b)g(x) = log1/2x
(c)h(x) = log x
(d)r(x) = ln x
FUNÇÃO EXPONENCIAL
PROPRIEDADES
Propriedade 1:Se 0 < a≠1 , então as funções f de ℜ*+emℜdefinida por f(x) = logax e g deℜemℜ*+
definida por g(x) = axsão inversas uma da outra.
Propriedade 2: A função logarítmica f(x) = logax é
crescente(decrescente) se, e somente se, a > 1 (0 < a < 1).
Funções Inversas:
Suponha que um biólogo possui um experimento que monitora o crescimento de uma
colônia de bactérias. Ou seja:
N = f(t)
Se ele quiser determinar O tempo necessário para a
população atingir um certo nível, então, será
necessário obter a função inversa de f, isto é:
t =f-1(N)
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Cuidado, pois nem todas as funções possuem inversas. Para que uma função tenha inversa é necessário que f seja tal que f(x1) ≠ f(x2), se x1 ≠ x2. Funções que
satisfazem essa propriedade são denominadas de
INJETORAS. t (horas) 0 1 2 3 4
N = f(t)
100 168 259 358 445 f
N = f(t)
0 1 2 3 4 t (horas) 100 168 259 358 445 f-1
FUNÇÃO QUADRÁTICA, MODULAR E ETC
4 10
3 7
A f B
1 2
f é injetora 4 10
3 4
A g C
1
g não é injetora f(x1) ≠ f(x2) se x1 ≠ x2
f(3) = f(1)
-1 1
g(x)=1-x2
1 y
x 0
-1 1 f(x)=x3
1 y
x 0
-1
f é injetora
g não é injetora
f(x1) ≠ f(x2) se x1 ≠ x2
f(-1) = f(1)
Funções Inversas:
Seja f uma função injetora com domínio A e imagem B.
Então, sua função inversa f-1 tem domínio B e imagem
A e é dada por:
f-1 (y) = x ⇔ f(x) = y para todo y em B.
Para encontrar a função inversa f-1 de uma função f
injetora é necessário seguir os seguintes passos:
PASSO 1: Escreva y=f(x).
PASSO 2: Isole x nesta equação e escreva em termos de y (se for possível).
PASSO 3: Para expressar f-1 como função de x, troque
x por y. A equação resultante é y = f-1(x).
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Exemplo: Encontrar a função inversa de f(x) = x3 + 2.
Passo 1: y = x3 + 2
Passo 2: x3 = y – 2 ⇒ x = (y – 2)1/3
Passo 3: y = (x-2)1/3 e f-1(x) = (x-2)1/3
FUNÇÃO QUADRÁTICA, MODULAR E ETC
Exercício: Encontrar a função inversa de f(x) = x3 - 1.
Exercício: Encontrar a função inversa de f(x) = x3 - 1.
Passo 1: y = x3 - 1
Passo 2: x3 = y + 1 ⇒ x = (y + 1)1/3
Passo 3: y = (x + 1)1/3 e f-1(x) = (x + 1)1/3
Propriedade 1:Se 0 < a ≠1 , então as funções f de ℜ*+emℜ definida por f(x) = logax e g de ℜemℜ*+definida por g(x) = ax são inversas uma da outra.
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Propriedade 1:Se 0 < a ≠1 , então as funções f de ℜ*+emℜ definida por f(x) = logax e g de ℜemℜ*+definida por g(x) = ax são inversas uma da outra.
FUNÇÃO QUADRÁTICA, MODULAR E ETC
Parte 1 - Inversa de g(x):
Para encontrar a inversa de g(x) = ax, deve-se modificar a
equação para ficar em termos de x: loga g(x) = loga ax = x.
Trocando-se x por y: y = logax. Portanto, a inversa de g(x) é: g-1(x) = log
ax = f(x). E, f(x) é a inversa de g(x).
Parte 2 - Inversa de f(x):
Para encontrar a inversa de f(x) = logax, deve-se modificar a equação para ficar em termos de x: af(x)= alog
ax= x. Trocando-se
x por y: y = ax. Portanto, a inversa de f(x) é:
f-1(x) = ax= g(x). E, g(x) é a inversa de f(x)
EXEMPLO 1
Construir o gráfico de g(x) = ax, y = x e f(x) = log
ax, para a > 1.
(0,1)
y
x
FUNÇÃO EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA
g(x) = ax
y = x
(1,0)
EXERCÍCIO 1
Construir o gráfico de g(x) = ax, y = x e f(x) = log
ax, para a = 2 > 1.
(3,8)
(0,1)
(-3,1/8)
y
x
g(x) = 2x
y = x
(1,0)
f(x)=log2x x 2x
-3 1/8 -2 ¼ -1 ½ 0 1 1 2 2 4 3 8
X log2x
1/8 -3 ¼ -2 ½ -1 1 0 2 1 4 2 8 3 EXEMPLO 2 (0,1)
y
x
FUNÇÃO EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA
g(x) = 2x
y = x
(1,0)
f(x)=log2x Construir o gráfico de g(x) = ax, y = x e f(x) = log
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EXERCÍCIO 2
Construir o gráfico de g(x) = ax, y = x e f(x) = log
ax, para a = 1/2.
(0,1)
(4,-2)
y
x
FUNÇÃO EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA
g(x) = 2x
y = x
(1,0)
f(x)=log2x x 1/2x
-3 8
-2 4
-1 2
0 1
1 ½
2 ¼
3 1/8
x log1/2x
8 -3
4 -2
2 -1
1 0
½ 1
¼ 2
1/8 3
(-3,1/8)
REFERÊNCIAS
