Escola Básica e Secundária de Vila Cova ANO LETIVO 2014/2015
FICHA DE REFORÇO Nº2 – Funções outubro 2014 3º CICLO DO ENSINO BÁSICO – 9º ANO DE ESCOLARIDADE Nome: _______________________________________________________________________N.°____Turma:____ Prof.ª Laurinda Barros Resumo Teórico
FUNÇÃO AFIM
A função definida por uma expressão analítica do tipo
y
ax
b
(ou f
x axb) é uma função afim.O gráfico da função
y
ax
b
é constituído por pontos que estão sobre uma reta que interseta o eixo das ordenadas no ponto (0, b).A 𝒂 chama-se o declive da reta e a b a ordenada na origem.
Conforme o valor de 𝒂, a função pode ser crescente (se a0), decrescente (se a0) ou constante (se a0). Função crescente Função decrescente Função constante
FUNÇÃO LINEAR
A função linear ou de proporcionalidade direta,
y
ax
(ou f
x ax), com a0, é um caso particular da função afim,y
ax
b
, em que b0.Neste caso, 𝒂 é a constante de proporcionalidade.
No gráfico de uma função linear ou de proporcionalidade direta, todos os pontos estão sobre uma reta que contém a origem do referencial.
FUNÇÃO DE PROPROCIONALIDADE INVERSA
Duas variáveis, x e y, dizem-se inversamente proporcionais se é constante (e diferente de zero) o produto dos valores correspondentes.
0
y
k
k
x
k é a constante de proporcionalidade inversa. Considerando
x
y
2
, temos quex
y
2
. A funçãox
x
2
ou
x
x
f
2
é uma função de proporcionalidade inversa. O produto das coordenadas de cada ponto do gráfico de f é constante. A constante de proporcionalidade inversa é 2.Uma função do tipo
k 0
x k y
É uma função de proporcionalidade inversa, em que o número k é a constante de proporcionalidade.
De um modo geral, todas as situações de proporcionalidade inversa têm como gráfico pontos sobre uma hipérbole.
Nota: 𝒂 =𝒚𝒙𝟐−𝒚𝟏
𝟐−𝒙𝟏
FUNÇÃO QUADRÁTICA
As funções do tipo
y
ax
2, com a0, são exemplos de funções quadráticas ou do 2.º grau.Á curva que representa a função chamamos parábola e ao ponto (0, 0) vértice da parábola.
Temos que:
Os gráficos das funções do tipo 2
ax
y
, com a0, são parábolas com eixo de simetria coincidente com o eixo dos yy. O vértice de cada uma destas parábolas (ponto de interseção dela com o eixo de simetria) é a origem.
Os pontos (1, a) e (– 1, a) pertencem ao gráfico de
y
ax
2. Se a0, a concavidade da parábola está voltada para cima e se a0, a concavidade da parábola está voltada para baixo.
Quanto maior for o valor absoluto de a, menor é a abertura da parábola. Assim, o parâmetro a influencia a abertura e o sentido da concavidade da parábola.
PARA TREINAR
1. Observa o seguinte gráfico onde estão representadas várias funções.
a) Qual das seguintes retas poderá representar a função definida por 𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 1?
b) Determina 𝑓(−1), 𝑓(0)𝑒 𝑓 (2).
c) Qual o objeto de f que tem por imagem -9?
d) Indica as expressões analíticas que correspondem às outras retas.
2. Considere as funções definidas por: a) Calcula 𝑓(3) + 𝑔(−5) + ℎ(0).
b) De entre as quatro funções consideradas apenas duas são funções lineares. Quais?
c) No referencial seguinte apresentam-se as representações gráficas das quatro funções.
c1) Faz a correspondência entre cada função e a respetiva representação gráfica.
C2) Determina as coordenadas dos pontos A, B e C e calcula a área do
I II III IV
3. O declive da reta representada no gráfico ao lado é:
a) [A] 2 [B] -2 [C] 0,5 [D] - 0,5 b) Escreve a expressão algébrica da função.
4. De acordo com os dados da figura, determina a expressão analítica da função afim cuja representação é a reta:
a) CB, sabendo que o triângulo [OBC] é isósceles; b) CA, sabendo que a área do triângulo [OAC] é 3
2;
c) Marca no referencial a reta y = 3. Como a caracterizas?
5. Sabe-se que 𝑓 é uma função afim cujo gráfico passa pelos pontos de coordenadas 𝐴(−5,1) e 𝐵(−3,7). a) Determina a expressão analítica da função 𝑓.
b) Determina as coordenadas dos pontos de interseção do gráfico de 𝑓 com os eixos coordenados. c) Comenta a afirmação: “As representações gráficas das funções 𝑓 e 𝑔(𝑥) = 2𝑥 + 5 são retas
paralelas”.
d) Escreve a expressão analítica da função ℎ cuja representação gráfica é uma reta que é paralela à representação da 𝑓 e passa pelo ponto de coordenadas (−1,2).
6. A função 𝑓 tem por expressão algébrica 𝑦 = 3𝑥 − 1. Determina a expressão algébrica da função cujo gráfico é uma reta:
a) Paralela ao gráfico de 𝑓 e que passa pelo ponto de coordenadas (0,5). b) Horizontal e que interseta o gráfico de 𝑓 no eixo das ordenadas. c) Com a mesma inclinação de 𝑓 e que passa na origem do referencial.
7. Na figura encontra-se representada uma função afim que passa pelos pontos 𝐴(−2,2) e 𝐵(1,8).
a) Mostra que a expressão analítica da função é 𝑔(𝑥) = 2𝑥 + 6. b) Determina o objeto cuja imagem é 10.
c) Determina a imagem do objeto −4.
d) Determina as coordenadas dos pontos de intersecção da reta com os eixos coordenados.
e) Calcula a área do triângulo [COD].
8. Na figura encontra-se representadas as funções 𝑓 e 𝑔. Sabe-se que: 𝐴(0,2), 𝐵 (3
4, 3
2) 𝑒 𝐶(3,0).
𝐵 é o ponto de interseção das duas funções.
Qual das opções pode correspondente às expressões algébricas das funções 𝑓 e 𝑔? Assinala a letra da opção correta.
(A) 𝑓(𝑥) = −2𝑥; 𝑔(𝑥) =23𝑥 + 2 (B) 𝑓(𝑥) =23𝑥 + 2; 𝑔(𝑥) = −2𝑥 (C) 𝑓(𝑥) = −23𝑥 + 2; 𝑔(𝑥) = 2𝑥 (D) 𝑓(𝑥) = −3𝑥 + 2; 𝑔(𝑥) = 2𝑥
9. No referencial estão representadas as funções 𝑓, 𝑔 e ℎ. Sabe-se que: 𝑓(𝑥) = −3𝑥, 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 2;
A representação gráfica II é paralela à III. 𝐸 (3
2, 1 2)
a) Estabelece a correspondência entre as expressões 𝑓 e 𝑔 e as respetivas representações gráficas.
b) Define, através de uma expressão analítica, a função ℎ.
c) Determina as coordenadas dos pontos 𝐴, 𝐵, 𝐶 e 𝐷 assinalados na figura.
10. Considera a função 𝑓 uma função linear sendo (3, −5) um ponto do seu gráfico. Escreve uma expressão analítica que a defina.
11. O pai do Ulisses, como sabe que o filho gosta muito de matemática, inventou a seguinte fórmula para calcular a sua mesada (𝑚) em euros:
𝑚(𝑡) = 16 + 2𝑡
Onde 𝑡 representa o número de testes em que o Ulisses obtém “Excelente”.
a) No mês passado, o Ulisses realizou 4 testes e teve “Excelente” em 3 deles. Quanto recebeu de mesada?
b) Qual é o significado do valor 16 e do valor 2 na fórmula?
c) Em quantos testes o Ulisses teria de ter “Excelente” para receber 30€. Mostra como chegaste à tua resposta.
12. Completa o quadro, na situação em que x e y são duas grandezas a) Diretamente proporcionais
b) Inversamente proporcionais
c) Escreve uma expressão algébrica que represente 𝑦 em função de 𝑥 para cada uma das situações em a) e b).
13. No referencial da figura está representada graficamente uma função de proporcionalidade inversa, em que a variável 𝑥 toma qualquer valor diferente de 0. Sabe-se que o ponto A(-3, -6) pertence ao gráfico. Qual dos seguintes pares ordenados corresponde às coordenadas de um ponto do gráfico da função dada? (A) ( -2 , 9) (B) ( 0.25 , 72) (C) ( 6 , -3) (D) ( 75 , 0.25)
14. Para cada uma das seguintes funções, indica se se trata de uma proporcionalidade direta ou inversa e a respetiva constante de proporcionalidade.
a) 𝑓(𝑥) =3 𝑥 b) 𝑓(𝑥) = 𝑥 4 c) 𝑓(𝑥) = −3 4𝑥 d) 𝑓(𝑥) = 5 2𝑥
15. Quais das funções de seguida representadas têm constante −2 ?
ℎ(𝑥) = 2𝑥 × (−1) 𝑓(𝑥) = −1 2𝑥 𝑔(𝑥) = − 8 4𝑥 𝑖(𝑥) = 10 −5𝑥 a) ℎ(𝑥) b) 𝑓(𝑥) 𝑒 𝑖(𝑥) c) ℎ(𝑥) , 𝑔(𝑥)𝑒 𝑖(𝑥) d) todas
16. A seguir estão representadas graficamente funções do tipo 𝑘 =𝑘𝑥, 𝑘 ≠ 0. Escreve a expressão analítica de cada uma das funções:
a) b)
17. Um restaurante organiza eventos para grupos e faz a distribuição dos participantes por mesas com igual número de lugares.
Um grupo é constituído por 200 participantes.
a) Determina o número de mesas necessárias no caso de cada mesa ter 5 lugares. b) Determina o número de lugares em cada mesa, no caso de serem utilizadas 25 mesas. c) Representa por 𝑚 o número de mesas e c o número de lugares em cada mesa. Escreve uma
expressão que relacione as variáveis 𝑚 e 𝑐 .
18. Sabe-se que 12 máquinas, todas com igual capacidade de produção, empacotam 2000 Kg de farinha em 4 horas.
a) Quanto tempo é necessário para que os 2000 Kg de farinha sejam empacotados por 3 dessas máquinas?
b) Quantas máquinas são utilizadas no empacotamento dos 2000 Kg de farinha, se o mesmo for feito em 6 horas?
c) Representa por 𝑛 o número de máquinas utilizadas e por t o tempo gasto no empacotamento dos 2000Kg de farinha. Escreve uma expressão que represente 𝑛 em função de 𝑡.
19. Numa fábrica há várias máquinas com igual capacidade de produção. A fábrica recebeu uma
encomenda de 200 peças. Para produzir as 200 peças, uma só máquina necessita de funcionar durante 8 horas.
a) Durante quanto tempo devem funcionar 5 máquinas para produzirem as 200 peças? Apresenta o resultado em horas e minutos.
b) Sabe-se que as peças foram produzidas em 2 horas. Quantas máquinas foram utilizadas?
20. Um tratador de animais tem a seu cargo a alimentação de 80 aves e um saco com 25Kg de comida para as alimentar durante 10 dias. Para quantos dias dará o mesmo alimento se forem adquiridas mais 20 aves?
21. Uma representação gráfica de uma função 𝑓 é a parábola representada no referencial da figura. O ponto A (-2, 1) pertence ao gráfico de f.
a) Representa a função f analiticamente. b) Calcula:
i. 𝑓(0,5) ii. 𝑓 (−23) c) Determina um número positivo 𝑥 tal que 𝑓(𝑥) = 9.
22. Considera as funções 𝑓, 𝑔 e ℎ, tais que: 𝑓(𝑥) = 2𝑥2; 𝑔(𝑥) = −3𝑥2 e ℎ(𝑥) = 0,5𝑥2
A seguir estão representadas graficamente três funções do tipo 𝑦 = 𝑎𝑥2, 𝑎 ≠ 0 entre elas as funções f,
g e h, mencionadas anteriormente. Faz corresponder cada uma das funções dadas a um dos gráficos. Justificando devidamente.
I II III
23. A função quadrática que contem os pontos 𝐴(0,0) e 𝐵(2,8) é:
a) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 8 b) 𝑓(𝑥) = −2𝑥2 c) 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 d) 𝑓(𝑥) = 𝑥2
24. Na figura seguinte, estão representadas, num referencial, uma reta e uma parábola. A reta r, que representa graficamente a função 𝑓, intersecta o eixo 𝑂𝑥 no ponto de abcissa 2 e o eixo 𝑂𝑦 no ponto de ordenada −2.
A parábola representa graficamente a função g definida por 𝑔(𝑥) = −𝑥2.
a) Mostre que a reta r é representada pela equação 𝑦 = 𝑥 − 2.
b) Determine as coordenadas dos pontos A e B, pontos de intersecção dos gráficos das funções 𝑓 e 𝑔.
25. Na figura seguinte, estão representados, num referencial cartesiano parte do gráfico da função 𝑓 e o triângulo retângulo [OAB].
Sabe-se que:
A função é uma função quadrática definida por 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2, sendo a um número positivo;
O ponto 𝐴 pertence ao gráfico da função 𝑓 e tem coordenadas (3,4);
O ponto B pertence ao eixo das abcissas a) Determina a expressão analítica da função f. b) Determina a área do triângulo [OAB].
26. Uma fábrica produz tapetes para a indústria automóvel. Uma das máquinas dessa fábrica (a máquina A) produz 6 tapetes por hora e leva 12 horas a fabricar todos os tapetes encomendados por uma certa empresa. Seja 𝑥 o número de tapetes produzidos, por hora, por uma outra máquina (a máquina B). O que representa a expressão 72𝑥, no contexto da situação descrita?
27. Na figura seguinte, estão representadas, num referencial cartesiano de origem O, partes dos gráficos de duas funções, 𝑓 e 𝑔, bem como o trapézio retângulo [ABCD].
Sabe-se que:
os pontos A e D pertencem ao eixo das ordenadas
a função f é definida por 𝑓(𝑥) =1
2𝑥.
a função g é definida por 𝑔(𝑥) = 2𝑥2.
o ponto B pertence ao gráfico da função g e tem abcissa 2
o ponto C pertence ao gráfico da função f e tem abcissa 4 a) Identifica, usando letras da figura, dois pontos com a mesma
ordenada.
b) Determina a área do trapézio [ABCD]. Mostra como chegaste à tua resposta.
(Adaptado do Exame nacional 2014)
28. Na Figura, estão representadas, num referencial cartesiano, partes dos gráficos de duas funções, f e g Sabe-se que:
a função 𝑓 é uma função quadrática definida por 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2, sendo
a um número positivo
a função g é uma função de proporcionalidade inversa
o ponto B pertence ao gráfico da função f e ao gráfico da função g e tem coordenadas (3,5)
o ponto C pertence ao gráfico da função g e tem coordenadas (c; 1,5), sendo c um número positivo
a) Determina as expressões algébricas de 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥). b) Qual é o valor de 𝑓 (− 3) ?
(A) - 9 (B) 9 (C) - 5 (D) 5
c) Qual é o valor de 𝑐 ? Mostra como chegaste à tua resposta.
(Adaptado Teste intermédio- Março 2014)
29. No referencial cartesiano da Figura 3, estão representadas partes dos gráficos de duas funções, f e g, e um trapézio [ABCE]
Sabe-se que:
a função f é definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥.
a função g é definida por 𝑔(𝑥) = 3𝑥2.
o quadrilátero [ABCD] é um retângulo.
os pontos A e B pertencem ao eixo das abcissas.
o ponto D pertence ao gráfico da função g.
os pontos E e C pertencem ao gráfico da função 𝑓.
os pontos A e E têm abcissa igual a 1.
a) Determina a medida da área do trapézio [ABCE]. Mostra como chegaste à tua resposta.
b) Qual das expressões seguintes define a função cujo gráfico é simétrico do gráfico da função g ao eixo das abcissas? [A] 1 3𝑥2 [B] 𝑓(𝑥) = − 1 3𝑥2 [C] 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 [D] 𝑓(𝑥) = −3𝑥2
30. Na figura seguinte, está representada, num referencial cartesiano de origem O, parte do gráfico da função 𝑓, bem como o retângulo [OBAD]
Sabe-se que:
o ponto B pertence ao eixo das ordenadas
a função 𝑓 é uma função de proporcionalidade inversa
os pontos A e C pertencem ao gráfico da função 𝑓
o ponto D pertence ao eixo das abcissas e tem abcissa 5
o ponto C tem coordenadas (2, 4) a) Qual de o valor de 𝑓(2) ?
b) Determina a expressão algébrica de 𝑓(𝑥).
c) Determina o perímetro do retângulo [OBAD]. Apresenta a resposta na forma de dízima. Apresenta todos os cálculos que efetuares.
(Adaptado da Prova Final 3º ciclo – 2014, 2ª chamada)
31. As grandezas 𝑥 e 𝑦, apresentadas na tabela ao lado, são inversamente proporcionais.
a) Determina o valor de 𝑎. Apresenta todos os cálculos que efetuares. b) Escreve 𝑦 em função de 𝑥.
(Adaptado da Prova Final 3º ciclo – 2014, 1ª chamada)
32. No referencial cartesiano da figura seguinte, estão representadas partes dos gráficos de duas funções, 𝑓 e 𝑔, e um quadrado [OABC]. Sabe-se que:
o ponto O é a origem do referencial.
a função 𝑓 é definida por 𝑓(𝑥) =10
𝑥 , (𝑥 > 0).
o gráfico da função 𝑔 é uma reta que passa na origem do referencial.
o ponto A pertence ao eixo das abcissas.
o ponto C pertence ao eixo das ordenadas.
o ponto B pertence ao gráfico da função 𝑓.
o ponto P pertence ao gráfico da função 𝑓 e ao gráfico da função 𝑔 e tem abcissa 5
a) Determina a expressão algébrica de 𝑔(𝑥).
b) Em qual das opções seguintes estão as coordenadas de um ponto que pertence ao gráfico da função 𝑓 ?
[A] (50, 2) [B] (20, 2) [C] (50,1
2) [D] (20,
1 2)
c) Qual é a medida exata do comprimento do lado do quadrado [OABC]?
(Adaptado da Prova Final 3º - Ciclo - 2013, 2ª chamada)
33. Na figura ao lado, estão representados, num referencial cartesiano, os pontos A e B e partes dos gráficos de duas funções, 𝑓 e 𝑔.
Sabe-se que:
o ponto O é a origem do referencial.
a função 𝑓 é uma função de proporcionalidade direta.
a função 𝑔 é uma função de proporcionalidade inversa.
o ponto A pertence ao gráfico de 𝑓 e tem coordenadas (8; 6).
o ponto B pertence ao gráfico de 𝑓 e ao gráfico de 𝑔 e tem abcissa igual a 4.
Determina as expressões algébricas de 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥).
Soluções
1. a) gráfico I b) 𝑓(−1) = 3; 𝑓(0) = 1; 𝑓(2) = −3 c) 𝑥 = 5 ; d) II: 𝑦 = 2𝑥 + 1; III: 𝑦 = 2𝑥; IV: 𝑦 = 2
2. a) 𝑓(3) + 𝑔(−5) + ℎ(0) = 9 − 11 + 0 = −2 b) II e IV c1) I: 𝑖(𝑥); II: ℎ(𝑥); III: 𝑔(𝑥); IV: 𝑓(𝑥)
c2) A(0,4) C(0,3) D(3,0) 𝐴∆=32.
3. a) (D) b) 𝑦 = −12𝑥 + 2
4. a) C(0,3) B(3,0) reta CB: 𝑦 = −𝑥 + 3; b) C(0,3) A(1,0) reta Ca: 𝑦 = −3𝑥 + 3
5. a) 𝑦 = 3𝑥 + 16 ; b) (−163 , 0) 𝑒 (0,16) c) Falsa, porque as retas não tem o mesmo declive. d) 𝑦 = 3𝑥 + 5. 6. a) 𝑦 = 3𝑥 + 5; b) 𝑦 = −1; c) 𝑦 = 3𝑥.
7. b) 𝑔(𝑥) = 10 ⇔ 𝑥 = 2; c) 𝑔(−4) = −2; d) (0,6) 8. (C)
9. a) I: 𝑔(𝑥); III: 𝑓(𝑥) b) ℎ(𝑥) = −3𝑥 + 5 c) 𝐴(−2,0); 𝐵 (53, 0) ; 𝐶(0,2); 𝐷(0,5) 10. 𝑦 = −53𝑥
11. a) 22€ b) É o valor da mesada do Ulisses se não tirar nenhum excelente. c) 7 excelentes. 12. a) 𝑥 6,4 8 5 32 𝑦 0,4 0,5 0,3125 2 b) 𝑥 10 8 5 2 𝑦 0,4 0,5 0,8 2
c) alínea a): 𝑦 =161𝑥 e alínea a): 𝑦 =4𝑥
13. (A)
14. Proporcionalidade direta: b) e d) ; Proporcionalidade inversa: a) e c) 15. (C)
16. a) 𝑦 =0,05𝑥 ; b) 𝑦 = −1𝑥
17. a) 40 mesas; b) 8 lugares c) 𝑚 × 𝑐 = 200. 18. a) 16 horas; b) 8 máquinas; c) 𝑛 =48𝑡 19. a) 1,6 horas ou 1h36min; b) 4 máquinas 20. 8 dias
21. a) 𝑓(𝑥) =14𝑥2; b) i) 1 16 ii)
1
9 c) 𝑥 = 6
22. Gráfico I: 𝑓(𝑥); Gráfico II: 𝑔(𝑥); Gráfico III: ℎ(𝑥) 23. (C)
24.
25. a) 𝑓(𝑥) =163 𝑥2 b) área=6
26. Representa o numero de horas necessárias para a máquina B fabricar todos os tapetes encomendados. 27. a) A e B ou D e C. b) 𝐴[𝐴𝐵𝐶𝐷]= 18
28. a) 𝑓(𝑥) =59𝑥2 𝑒 𝑔(𝑥) =15
𝑥; b)[D] c) 𝑥 = 10
29. de horas necessárias para a máquina B fabricar todos os tapetes encomendados. 30. a) 𝐴[𝐴𝐵𝐶𝐷]= 4 b) 𝒇(𝑥) =8𝑥 c) 𝑃𝐴[𝑂𝐵𝐴𝐷]= 13,2
31. a) 𝑎 = 25 b) 𝑦 =300𝑥
32. a) 𝑓(𝑥) =25𝑥; b)[D] c) 𝑥 = √10 33. 𝑓(𝑥) =34𝑥 𝑒 𝑔(𝑥) =12𝑥;
