Hipersuperfícies Completas tipo Espaço com Curvatura. Média Constante no Espaço de De Sitter. Ricardo Luiz Queiroz Freitas

(1)

Universidade Federal da Bahia

Instituto de Matem´

atica

Curso de Pós-Graduação em Matemática

Dissertac

¸˜

ao de Mestrado

Hipersuperf´ıcies Completas tipo Espac

¸o com Curvatura

M´

edia Constante no Espac

¸o de De Sitter

Ricardo Luiz Queiroz Freitas

Salvador-Bahia

(2)

Hipersuperf´ıcies Completas tipo Espac

¸o com Curvatura

M´

edia Constante no Espac

¸o DE SITTER

Disserta¸cão apresentada ao cole-giado do curso de Pós-Gradua¸cão em Matemática da Universidade Federal da Bahia, como requisito parcial para obten¸cão do T´ıtulo de Mestre em Matemática em 14 de mar¸co de 2008.

Banca examinadora

Prof. Dr. Jos´e Nelson Bastos Barbosa (Orientador)

Prof. Dr. ´Ezio de Ara´ujo Costa

(3)

Freitas, R.

“Hipersuperf´ıcies Completas tipo Espaço com Curvatura Média Cons-tante no Espaço DE SITTER” / Ricardo Luiz Queiroz Freitas. Salvador-Ba, 2008.

Orientador: Dr. Jos´e Nelson Bastos Barbosa (UFBA).

Disserta¸cão de Mestrado apresentada ao curso de Pós-gradua¸cão em Matemática da UFBA, 39 páginas.

Palavras-Chave: Espa¸co de De Sitter, Hipersuperf´ıcies, Curvatura m´edia

(4)

(5)

“Na vida, n˜ao vale tanto o que temos nem tanto im-porta o que somos. Vale o que realizamos com aquilo que possu´ımos e, acima de tudo, importa o que fazemos de n´os”.

(6)

Agradecimentos

A todos os professores responsáveis por esta vitória e em especial, aos professores: Enaldo Silva Vergasta, Marco Antônio Nogueira Fernandes, Isaac Costa Lázaro, Carlos Eduardo Nogueira Bahiano, David Arneson Hill, Augusto Armando de Castro Júnior, todos da Universidade Fed-eral da Bahia.

A todos os amigos e colegas que torceram por mim e que de alguma forma contribu´ıram para essa minha vit´oria, especialmente aos colegas Elias, Eliseu, Mariana, Jarbas, Yuri, Kleyber e B´arbara e ao grande amigo Paulo Henrique.

A meus pais e irm˜aos por toda a for¸ca nos momentos de diﬁculdades.

Gostaria também de agradecer a todos os colegas e funcionários do Instituto de Matemática e aos professores: Ézio de Araújo Costa e Abdênago Alves de Barros, os quais compuseram a banca examinadora e que verificaram com tanto zelo esta disserta¸cão. Um agradecimento especial ao Professor José Nelson Barbosa pela orienta¸cão no desenvolvimento e pelo tema escolhido para esta disserta¸cão.

(7)

Resumo

Seja Mn uma hipersuperf´ıcie tipo espa¸co completa com curvatura m´edia constante H no espa¸co de Sitter Sn+1₁ . Usaremos o operador φ = A− HI, onde A é o tensor de Weingarten associado `a segunda forma fundamental de M , e as ra´ızes B_H− ≤ B_H+ de um certo polinômio de grau dois, para mostrar que ou |φ|2 ≡ 0 e M é totalmente umb´ılica, ou B_H− ≤ sup |φ|2 ≤

B_H+. Para o caso H ≥ 2

√ n− 1

n mostramos os seguintes resultados: para cada n´umero B

no intervalo

max{0, B_H−}, B_H+

existe uma hipersuperf´ıcie tipo espa¸co completa com curvatura média constante tal que sup|φ|2 = B; se sup|φ|2 = B_H− é atingido em algum ponto, então a hipersuperf´ıcie M correspondente ´e um cilindro hiperbólico.

(8)

Sum´

ario

Resumo vii

Introdu¸c˜ao 1

1 Preliminares 5

2 O Modelo do Hiperbol´oide n-dimensional Hn−1

r2 para o Espa¸co Hiperb´olico 15

3 O Produto Hk−1 r2 × S

n−k₍√_{1 + r}2₎ ₁₉

4 As Hipersuperf´ıcies Rotacionais 24

(9)

Introdu¸

c˜

ao

Seja Ln+2 o espa¸co euclidiano (n + 2)-dimensional com a m´etrica de Lorentz ( , ) dada por

(p, q) =−p₀q₀+ p₁q₁+ . . . + p_n+1q_n+1. Deﬁnimos o Espa¸co de De Sitter por

Sn+1₁ ={p ∈ Ln+2; (p, p) = 1}.

Dessa forma, Sn+1₁ é uma variedade de Lorentz com curvatura seccional constante igual a 1. Uma hipersuperf´ıcie Mn imersa emSn+1₁ é dita tipo espa¸co se a m´etrica induzida em Mn pela imersão em Sn+1₁ é riemanniana.

O estudo desses tipos de hipersuperf´ıcies foi inspirado, em particular, por uma conjectura apresentada por A. J. Goddard [7] afirmando que toda hipersuperf´ıcie tipo espa¸co completa com curvatura média constante em Sn+1₁ deve ser totalmente umb´ılica. O primeiro resultado nesta dire¸cão foi obtido por J. Ramanathan [15] em 1987. Ele mostrou que se a curvatura média

H de uma hipersuperf´ıcie tipo espa¸co completa em S₁3 ´e constante e satisfaz H2 < 1, ent˜ao a hipersuperf´ıcie ´e totalmente umb´ılica. Independentemente, e ainda em 1987, K. Akutagawa [1] provou a conjectura de Goddard para o caso H2 < 4(n− 1)

n2 , com n ≥ 2. Por outro lado, S.

Montiel [10] provou a conjectura para o caso compacto. Esses resultados levaram à conclusão de que a conjectura geral era falsa, como mostrado pela existência dos então chamados cilindros hiperbólicos, os quais são completos, não umb´ılicos e isom´etricos a um produto H1( senh t)×

Sn−1( cosh t) de um ramo hiperbólico com uma esfera (n− 1)-dimensional. Esses cilindros serão definidos e descritos neste trabalho.

Nos restringiremos às hipersuperf´ıcies tipo espa¸co completas com curvatura média constante não nula porque as hipersuperf´ıcies m´aximas (H = 0) no Espa¸co de De Sitter s˜ao totalmente geodésicas.

Dada uma hipersuperf´ıcie tipo espa¸co Mn com curvatura m´edia constante H, para cada

p∈ Mn, deﬁnimos φ : TpM → TpM por

(10)

em que A ´e o operador associado `a segunda forma fundamental de M . Observe que

φ = A− HI

φ· φ∗ = (A − HI)(A ∗ −HI) = AA ∗ −2HAI + H2I

tr(φφ∗) = tr(AA∗) − 2H tr(A) + nH2 = tr(AA∗) − nH2=|A|2− nH2 =|φ|2 Veriﬁca-se, facilmente, que tr(φ) = 0 e que |φ|2 = 1

2n

i,j

(ki− kj)2, onde os n´umeros ki,

i = 1, ..., n, s˜ao os autovalores de A. Dessa forma, |φ|2 = 0 se, e somente se, M ´e totalmente umb´ılica.

O operador φ mostrou-se ´util no estudo das hipersuperf´ıcies com curvatura média constante no ambiente riemanniano. Por exemplo, H. Alencar e M. do Carmo [2] provaram um “teorema de gap” para hipersuperf´ıcies compactas com curvatura média constante na esfera euclidiana unitária Sn+1, caracterizando o H(r)-toro por uma condi¸cão sobre |φ|2.

1.1 Teorema (Alencar, do Carmo). Seja Mnuma hipersuperf´ıcie compacta e orient´avel imersa em Sn+1 com curvatura m´edia constante H > 0. Suponha que |φ|2 ≤ BH para cada p ∈ M,

onde BH ´e o quadrado da raiz positiva do polinˆomio PH(x) = x2+ n(n− 2)H

n(n− 1)x− n(H

2_{+ 1).}

Então, |φ|2 ≡ 0 e M é totalmente umb´ılica ou |φ|2 ≡ BH e Mn é isométrico ao H(r)-toro

Sn−1_(r)_{× S}1₍√₁_{− r}2_{), onde r}2 _< n− 1

n .

U. H. Ki, H. J. Kim e H. Nakagawa [8] usaram uma vers˜ao de Lorentz do polinˆomio PH

para encontrar um limite superior para|φ|. Eles mostraram que uma hipersuperf´ıcie tipo espa¸co completa em Sn+1₁ com curvatura m´edia constante H ≥ 2

√ n− 1

n e |φ| constante e igual a este

limite superior ´e um Cilindro Hiperb´olico.

Nesta disserta¸c˜ao apresentaremos os teoremas contidos no artigo de A. Brasil, G. Colares e O. Palmas [3], intitulado “complete spacelike hypersurfaces with constant mean curvature in the de Sitter space: a gap theorem”, que estendem alguns resultados mencionados acima. No primeiro teorema, usa-se PH para obter uma estimativa para|φ|, com limites inferior e superior.

1.2 Teorema. Seja Mn uma hipersuperf´ıcie tipo espa¸co completa imersa emSn+1₁ , n≥ 3, com curvatura m´edia constante H > 0. Ent˜ao sup|φ|2 <∞ e

(i) |φ| ≡ 0 e M ´e totalmente umb´ılica; ou

(ii)B_H− ≤ sup |φ|2 ≤ B_H+, onde B_H− ≤ B_H+ s˜ao as ra´ızes do polinˆomio PH(x) = x2−n(n− 2)H

n(n− 1)x + n(1− H

(11)

Veriﬁca-se que PH tem ra´ızes reais se, e somente se, H ≥ 2

√ n− 1

n . Como uma conseq¨uˆencia

do Teorema 1.2, n˜ao existe nenhuma hipersuperf´ıcie tipo espa¸co completa com curvatura m´edia constante H ≥ 2

√ n− 1

n tal que 0 < sup|φ|2 < B

−

H. Diremos que para cada constante H ≥

2√n− 1

n , existe uma lacuna entre uma hipersuperf´ıcie umb´ılica (|φ| ≡ 0) e uma hipersuperf´ıcie

com sup|φ|2 = B_H−, com curvaturas m´edias H. O ”gap”para 0≤ H < 2

√ n− 1

n foi provado

por Akutagawa [1], conforme citado anteriormente. Para o caso H ≥ 2

√ n− 1

n também mostraremos que não existe ”gap”entre as ra´ızes de PH, isto é, provaremos que para cada n´umero B no intervalo

max{0, B_H−}, B_H+

existe uma hipersuperf´ıcie tipo espa¸co completa com curvatura m´edia constante H tal que sup|φ|2 = B. Estes exemplos constituem uma classe de novas hipersuperf´ıcies de rota¸c˜ao com curvatura m´edia constante em Sn+1₁ . Mais precisamente, apresentaremos a prova do seguinte teorema:

1.3 Teorema. Dado um inteiro n ≥ 3 e uma constante H tal que H ≥ 2

√ n− 1

n , sejam B_H− ≤ B_H+ as ra´ızes do polinˆomio PH . Ent˜ao,

(i) Para qualquer valor B no intervalo

max{0, B_H−}, B_H+

existe uma hipersuperf´ıcie tipo espa¸co completa em Sn+1₁ com curvatura m´edia constante H e sup|φ|2 = B.

(ii) Se, al´em disso, H = 2 √

n− 1

n , existe uma hipersuperf´ıcie tipo espa¸co completa em S

n+1

1

com curvatura média constante H e sup|φ|2 = B_H+ que não é um Cilindro Hiperbólico.

Apresentaremos também o teorema abaixo que é uma generaliza¸cão de um resultado provado por Montiel [11]. No trabalho de Montiel esse resultado ´e provado para o caso H = 2

√ n− 1

n .

1.4 Teorema. Seja Mn uma hipersuperf´ıcie tipo espa¸co completa imersa emSn+1₁ , n≥ 3, com curvatura m´edia constante H de modo que 2

√ n− 1 n ≤ H < 1 e sup |φ|2 = B − H. Este supremo ´

e atingido se, e somente se, M é isométrico ao Cilindro Hiperbólico H1( senh t)× Sn−1( cosh t).

Nossos resultados podem ser interpretados graﬁcamente pela ﬁgura seguinte, onde associ-amos a cada hipersuperf´ıcie tipo espa¸co completa Mn com curvatura m´edia constante H, o par de coordenadas

H, sup|φ|2

no primeiro quadrante de um 2-plano.

(12)

1

H

1 empty new rotation hypersurfaces hypersurfaces umbilic x (cylinders) x x

φ

2 + c c− n 2 n n 1<k<₂n H x S 1<k< H S H S H S n 2 n 2 2

sup

n− n− <k<n− k k n− n− n− n− 2 k k 1 n−1 k(n− )k k 2 n 1 1 1

Nosso trabalho é constitu´ıdo de cinco cap´ıtulos. No cap´ıtulo 1 trataremos de alguns con-ceitos básicos que serão utilizados nas demonstra¸cões dos resultados principais. Analisaremos, também os tensores curvatura e de Ricci para as hipersuperf´ıcies imersas emSn+1₁ , encontrando um limite inferior para a curvatura de Ricci de M . Al´em disso, faremos uma demonstra¸cão da Fórmula de Simmons usando cálculo tensorial. Essa fórmula, que já foi usada em diversos artigos, é de extrema importância para as provas dos teoremas centrais do nosso trabalho.

No cap´ıtulo 2 faremos uma descri¸c˜ao do espa¸co Hn−1 r2

o qual denotaremos como o modelo do Hiperbol´oide n-dimensional para o Espa¸co Hiperb´olico. Veremos que este se constitui numa hipersuperf´ıcie do Espa¸co de Lorentz Ln+1.

Analisaremos, no cap´ıtulo 3, as hipersuperf´ıcies do tipo Hk−1 r2 × S

n−k₍√_{1 + r}2₎_{→ S}n+1

1 , a

partir das quais definiremos o cilindro hiperbólico. Essas hipersuperf´ıcies aparecerão em di-versos resultados do nosso trabalho e mostraremos que a curvatura média e a segunda forma fundamental das mesmas são constantes.

Finalmente, antes de demonstrarmos nossos resultados principais no cap´ıtulo 5, faremos, no cap´ıtulo 4, uma breve explana¸c˜ao das hipersuperf´ıcies rotacionais, que correspondem a uma fam´ılia de hipersuperf´ıcies completas em Sn+1₁ com curvatura m´edia constante H ≥ 2

√ n− 1

n e

sup|φ|2 = B para cada B∈

max 0, B_H− , B_H+ conforme teorema 1.3.

(13)

Cap´ıtulo 1

Preliminares

Nesta se¸cão abordaremos algumas defini¸cões e resultados importantes que serão utilizados nas demonstra¸cões dos teoremas contidos no nosso trabalho.

Seja Mn uma hipersuperf´ıcie completa tipo espa¸co de dimens˜ao n imersa no Espa¸co de De Sitter de dimens˜ao n + 1, que denotaremos porSn+1₁ . Representamos por B sua segunda forma fundamental

B(X, Y ) =∇XY − ∇XY

onde X, Y são campos de vetores em M , e ∇ e ∇ são as conexões métricas de Sn+1₁ e M , respectivamente. Se N ´e um campo normal unit´ario local em M , temos

B(u, v) =−Au, v N

onde u, v ∈ T M e A é o operador de forma associado à segunda forma fundamental de M. Como A ´e uma aplica¸cão linear simétrica, existe uma base ortonormal{e₁, . . . , en} de TpM tal

que Aei = kiei, i = 1, . . . , n. Temos, por deﬁni¸c˜ao, que a curvatura m´edia H de M ´e dada por

H = 1 n

i

ki.

Primeiramente, vamos encontrar um limite inferior para a curvatura de Ricci. Seja a curvatura R de M dada por

R(X, Y )Z =∇X∇YZ− ∇Y∇XZ− ∇[X,Y ]Z.

Então a equa¸cão de Gauss será dada por

R(u, v)w, z = −R(u, v)w, z − B(v, z), B(u, w) + B(u, z), B(v, w) ,

com u, v, w, z∈ T M e R o tensor curvatura de Sn+1₁ .

Observe que R(u, v)w, z = u, w v, z − u, z v, w pois Sn+1₁ tem curvatura seccional constante igual a 1. Dessa forma, temos

(14)

R(u, v)w, z

= − (u, w v, z − u, z v, w ) − −Av, z N, −Au, w N + −Au, z N, −Av, w N = −u, w v, z + v, w u, z + Au, w Av, z − Av, w Au, z

= −u, w v + v, w u + Au, w Av − Av, w Au, z (1.1) que ´e o tensor curvatura de M .

Usando a deﬁni¸c˜ao de tensor de Ricci e o resultado obtido acima, teremos para x, y∈ T M e {ei} um referencial ortonormal de T M Ric(x, y) = i R(ei, x)y, ei = i

(x, y ei, ei − ei, y x, ei − Ax, y Aei, ei + Aei, y Ax, ei )

= nx, y − x, y − Ax, y i Aei, ei + i ei, Ay Ax, ei

= nx, y − x, y − Ax, y trA + Ax, Ay

= (n− 1)x, y − nHAx, y + A2x, y .

Calculando a curvatura de Ricci de M na dire¸c˜ao de um vetor ei de uma base ortonormal{ei}

de TpM obtemos

Ric(ei) = (n− 1)ei, ei − nHAei, ei + A2ei, ei

= n− 1 − nHki+ k2i = n− 1 + k_i2− nHki+n 2_H2 4 − n2H2 4 = n− 1 + ki−nH 2 2 −n2H2 4 ≥ n − 1 − n2H2 4 , ou seja, Ric(ei)≥ n − 1 + ki−nH 2 2 − n2H2 4 ≥ n − 1 − n2H2 4

Assim, temos que a curvatura de Ricci de M ´e limitada inferiormente, uma vez que a mesma n˜ao depende da base ortonormal escolhida.

Apresentaremos, agora, uma demonstra¸cão da fórmula de Simmons utilizando ferramentas do cálculo tensorial. Essa fórmula já foi usada em diversos artigos e será fundamental para as demonstra¸cões dos resultados principais deste trabalho. Vejamos, antes, algumas defini¸cões e proposi¸cões.

1.1 Definic¸ ˜ao. Sejam f : Mn→ Qn+1c uma hipersuperf´ıcie onde Qn+1c tem curvatura seccional

constante c e A : T M → T M o tensor de Weingarten. Definimos a derivada covariante de A, como sendo a aplica¸c˜ao ∇A dada por

∇A : T M × T M → T M

(15)

1.2 Proposic¸˜ao. A aplica¸cão ∇A é bilinear, isto é, para todo X, Y , Z ∈ T M e para todo

f ∈ C∞(M ),

(i) ∇A(X + fY , Z) = ∇A(X, Z) + f∇A(Y , Z) (ii) ∇A(X, Y + fZ) = ∇A(X, Y ) + f∇A(X, Z).

Prova. (i):

∇A(X + fY , Z) = ∇X+fYAZ − A (∇_X+fYZ)

= ∇XAZ + f∇YAZ− A∇XZ− fA∇YZ

= ∇A(X, Z) + f∇A(Y , Z) (ii):

∇A(X, Y + fZ) = ∇XA(Y + f Z)− A (∇X(Y + f Z))

= ∇XAY +∇Xf AZ − A (∇XY )− A (∇Xf Z)

= ∇A(X, Y ) + f∇XAZ + X(f )AZ− Af∇XZ− AX(f)Z

= ∇A(X, Y ) + f∇XAZ− A (f∇XZ)

= ∇A(X, Y ) + f {∇XAZ− A (∇XZ)}

= ∇A(X, Y ) + f∇A(X, Z)

1.3 Proposic¸˜ao. A aplica¸cão ∇A é simétrica, isto é, ∇A(X, Y ) = ∇A(Y , X), para todo

X, Y ∈ T M.

Prova. Como Qn+1c tem curvatura seccional constante e f tem codimens˜ao 1, a equa¸c˜ao

de Codazzi de f se reduz a

∇X(AY )− ∇Y(AX) = A ([X, Y ]) = A (∇XY )− A (∇YX) ,

Logo

∇X(AY )− A∇XY =∇YAX− A∇YX,

provando assim a proposi¸c˜ao.

1.4 Definic¸ ˜ao. A segunda derivada covariante de A ´e definida como sendo a aplica¸c˜ao

∇2_{A : T M}_{× T M × T M → T M}

∇2_{A(X, Y , Z)} ₌ _∇_X₍_{∇A(Y , Z)) − ∇A (∇}_X_{Y , Z)}_{− ∇A (Y , ∇}_X_Z)

1.5 Proposic¸˜ao. A aplica¸c˜ao∇2A satisfaz∇2A(X, Y , Z) =∇2A(X, Z, Y ), para todo X, Y , Z ∈

T M .

(16)

Prova. Segue da proposi¸c˜ao 1.3.

1.6 Proposic¸˜ao. A aplica¸c˜ao ∇2A satisfaz ∇2A(X, Y , Z) =∇2A(Y , X, Z) + R(X, Y )(AZ)−

A (R(X, Y )Z), para todo X, Y , Z ∈ T M.

Prova. Temos que

∇2_{A(X, Y , Z)} ₌ _∇_X₍_{∇A(Y , Z)) − ∇A (∇}_X_{Y , Z)}_{− ∇A (Y , ∇}_X_Z)

= ∇X∇YAZ− ∇XA (∇YZ)− ∇∇XYAZ + A (∇∇XYZ) −∇YA (∇XZ) + A (∇Y∇XZ) e ∇2_{A(Y , X, Z)} ₌ _∇_Y_∇_X_AZ_{− ∇}_Y_{A (∇}_X_Z)_{− ∇}_∇ YXAZ +A (∇_∇_YXZ)− ∇XA (∇YZ) + A (∇X∇YZ) .

Assim, usando a f´ormula (1.1) do tensor curvatura de M conclui-se que

∇2_{A(X, Y , Z)}_{− ∇}2_{A(Y , X, Z) = R(X, Y )(AZ)}_{− A (R(X, Y )Z)}

1.7 Definic¸ ˜ao. Dado um tensor sim´etrico ϕ : T M× T M → T M, definimos o tra¸co de ϕ como

sendo o campo tr ϕ dado por

tr ϕ =

n

i=1

ϕ(Ei, Ei),

onde {Ei, . . . , En} ´e um referencial ortonormal.

1.8 Observa¸c˜ao. Da teoria da ´Algebra Linear, podemos concluir que a defini¸c˜ao anterior inde-pende do referencial ortonormal escolhido.

1.9 Proposic¸˜ao. Nas condi¸c˜oes anteriores tr(∇A) = grad(tr A).

Prova. Escolha {E1, . . . , En} referencial principal, isto ´e, A · Ei = λiEi. (1) grad(tr A), Y = Y (tr A) = Y i AEi, Ei = i ∇YAEi, Ei + i AEi,∇YEi , para todo Y ∈ T M.

(17)

De fato, ∇A e , s˜ao sim´etricos e ∇A(X, Y ), Z = ∇XAY − A (∇XY ) , Z = ∇XAY , Z − A (∇XY ) , Z = XAY , Z − AY , ∇XZ − ∇XY , AZ = XY , AZ − Y , A (∇XZ) − ∇XY , AZ = XY , AZ − Y , A (∇XZ) − {X Y , AZ − Y , ∇XAZ } = Y , ∇XAZ − Y , A (∇XZ) = Y , ∇A(X, Z) = ∇A(X, Z), Y .

(3) Como∇A(X, Y ), Z n˜ao muda com as permuta¸c˜oes de X, Y e Z, temos para todo Y , que

tr(∇A), Y = i ∇A(Ei, Ei), Y = i ∇A(Ei, Ei), Y = i ∇A(Y , Ei), Ei = i ∇YAEi− A (∇YEi) , Ei = i ∇YAEi, Ei − i AEi,∇YEi .

(4) Temos ainda que

AEi,∇YEi = λiEi,∇YEi = λiEi,∇YEi = λi·1

2· Y Ei, Ei = 0. Logo de (1), (2), (3) e (4) segue que

tr(∇A) = grad(tr A).

1.10 Definic¸ ˜ao. Seja X ∈ T M . Definimos o tensor ΓX como

ΓX : T M× T M → T M

ΓX(Y , Z) = ∇2A(X, Y , Z).

Pela proposi¸cão 1.5 temos que ΓX é simétrico.

1.11 Proposic¸˜ao. Para cada X ∈ T M , tr ΓX = n∇Xgrad H, onde H ´e a curvatura m´edia de f : Mn→ Qn+1_c .

(18)

Prova. Escolha {E1, . . . , En} um referencial geod´esico em p ∈ M, isto ´e, um referencial

ortonormal que satisfaz (∇E_iEj) (p) = 0 com i, j = 1, . . . , n. Assim, tr ΓX = i ∇2_{A(X, E}_i_{, E}_i₎ = i ∇X(∇A(Ei, Ei))− 2 i ∇A (∇XEi, Ei) = ∇X i ∇A(Ei, Ei) − 2 i ∇A (∇XEi, Ei) = ∇X(tr∇A) − 2 i ∇A (∇XEi, Ei) = ∇X(grad(tr A))− 2 i ∇A (∇XEi, Ei) = n∇X(grad H)− 2 i ∇A (∇XEi, Ei) . Vamos mostrar, agora, que∇A (∇XEi, Ei) = 0 em p.

Se X = j xjEj, temos ∇A (∇XEi, Ei) = ∇A ∇ j xjEjEi, Ei = ∇A j xj∇E_jEi, Ei = j xj∇A ∇EjEi, Ei .

Como∇A ´e um tensor, temos que ∇A

∇E_jEi, Ei

(p) depende apenas dos valores de∇E_jEie de

Eiem p. Como

∇E_jEi

(p) = 0, segue que∇A

∇E_jEi, Ei

(p) = 0 e, portanto,∇A (∇XEi, Ei) (p) =

0. Logo, tr ΓX(p) = n (∇Xgrad H) (p). Como p ´e arbitr´ario, temos o resultado desejado.

1.12 Definic¸ ˜ao. O Laplaciano de A ´e o 1-tensor dado por

ΔA : T M → T M ΔA(X) = tr (Y , Z)→ ∇2A(Y , Z, X) . Assim, se {E₁, . . . , En} ´e um referencial ortonormal, temos que

ΔA(X) = i ∇2_A(E_i_{, E}_i_{, X)} = i ∇2_A(E_i_{, X, E}_i₎ = i

∇2_{A(X, E}_i_{, E}_i_{) + R(E}_i_{, X)AE}_i_{− AR(E}_i_{, X)E}_i

,

para X ∈ T M. Como a curvatura média H da imersão é suposta constante, segue da proposi¸cão 1.11 que

i

(19)

Dessa forma, obtemos ΔA(X) = i R(Ei, X)AEi− i AR(Ei, X)Ei =

(X, AEi Ei− Ei, AEi X − AX, AEi AEi+AEi, AEi AX)

−A

i

(X, Ei Ei− Ei, Ei X − AX, Ei AEi+AEi, Ei AX)

.

Uma vez que X =

i

X, Ei Ei e

i

AEi, Ei = tr A = nH, conclu´ımos que

ΔA(X) = AX− nHX − A3X + (tr A2)AX− AX + nAX + A3X− nHA2X

= nAX− nHX + (tr A2)AX− nHA2X, (1.2) para cada X ∈ T M.

Veremos, agora, alguns conceitos e resultados que são conseqüências imediatas da Álgebra Linear.

1.13 Definic¸ ˜ao. Seja Mn uma variedade riemanniana. Dados A : T M → T M e B : T M →

T M 1-tensores em M , definimos o produto interno de 1-tensores como sendo a aplica¸c˜ao A, B : M → R

A, B (p) = A(p), B(p) = tr (A(p) · B(p)∗_{) ,}

onde B(p)∗ denota o operador adjunto de B(p).

Por simplicidade , escreveremos

A, B = tr (A · B∗_{) .}

1.14 Definic¸ ˜ao. Sejam C : T M × T M → T M e D : T M × T M → T M 2-tensores em M .

Definimos o produto interno desses 2-tensores como sendo a aplica¸c˜ao C, D : M → R

C, D (p) = C(p), D(p) =

i,j

C(p)(ei, ej), D(p)(ei, ej) ,

onde {e₁, . . . , en} ´e base ortonormal de TpM .

´

E fácil verificar que o produto interno acima está bem definido, ou seja, independe da base ortonormal escolhida. As normas de 1-tensores e 2-tensores são as normas provenientes do produto interno que denotaremos sempre por | , |. Para simplificar a nota¸cão, não faremos distin¸cão dos s´ımbolos de laplaciano de tensor e de laplaciano de fun¸cões reais.

1.15 Proposic¸˜ao. Sejam A : T M → T M e B : T M → T M 1-tensores em M . Ent˜ao, ΔA, B = ΔA, B + A, ΔB + 2∇A, ∇B ,

em que ∇A ´e a derivada covariante de A.

(20)

Prova. Seja {E1, . . . , En} um referencial geod´esico em p ∈ M. Temos que A, B = tr (B∗· A) = j (B∗A)(Ej), Ej = j AEj, BEj Assim, ΔA, B (p) = i (EiEiA, B ) (p) = i EiEi j AEj, BEj (p) = i,j EiEiAEj, BEj (p) = i,j Ei(∇EiAEj, BEj + AEj,∇EiBEj ) (p) = i,j {∇E_i∇E_iAEj, BEj + ∇E_iAEj,∇E_iBEj +∇E_iAEj,∇E_iBEj + AEj,∇E_i∇E_iBEj } (p) = i,j ∇E_i∇E_iAEj, BEj (p) + i,j AEj,∇E_i∇E_iBEj (p) +2 i,j ∇E_iAEj,∇E_iBEj (p)

Vamos mostrar, nesta última expressão, que a primeira parcela é igual aΔA, B , a segunda, a A, ΔB e a terceira a 2∇A, ∇B .

Temos que ΔA, B = j ΔA(Ej), BEj = j i ∇2A(Ei, Ei, Ej), BEj = i,j

∇Ei∇A(Ei, Ej)− ∇A (∇EiEi, Ej)− ∇A (Ei,∇EiEj) , BEj .

Como∇EiEi e ∇EiEj se anulam em p (referencial geod´esico), conclu´ımos que

ΔA, B (p) =

i,j

∇Ei∇A(Ei, Ej), BEj (p).

Mas,

∇Ei∇A(Ei, Ej) =∇Ei(∇EiAEj − A (∇EiEj)) =∇Ei∇EiAEj− ∇EiA (∇EiEj) .

Usando a equa¸c˜ao de Codazzi, obtemos

∇Ei∇A(Ei, Ej) =∇Ei∇EiAEj−

∇∇_EiEjAEi+ A ([Ei,∇EiEj])

. Como o referencial utilizado é geodésico, temos, finalmente, que

(21)

Portanto,

ΔA, B (p) =

i,j

∇E_i∇E_iAEj, BEj (p).

De modo an´alogo,

A, ΔB (p) =

i,j

AEj,∇E_i∇E_iBEj (p).

Agora, vamos calcular ∇A, ∇B . Lembrando a deﬁni¸c˜ao 3.13,

∇A, ∇B = i,j ∇A(Ei, Ej),∇B(Ei, Ej) = i,j ∇E_iAEj− A (∇E_iEj) ,∇E_iBEj− B (∇E_iEj) = i,j ∇E_iAEj,∇E_iBEj .

Isto conclui a prova da proposi¸c˜ao.

1.16 Corol´ario. Se A ´e auto-adjunta ent˜ao 1 2Δ

tr A2

=|∇A|2+A, ΔA .

Prova. Temos que

tr

A2

= tr (AA) = tr (AA∗) =A, A . Portanto, 1 2Δ tr A2 = 1 2ΔA, A = 1

2(ΔA, A + A, ΔA + 2∇A, ∇A ) = 1

2

2A, ΔA + 2|∇A|2

= |∇A|2+A, ΔA .

A partir da equa¸c˜ao 1.2, obtemos

A, ΔA =

A, nA− nHId + (tr A2)A− nHA2

= nA, A − nHA, Id + tr A2A, A − nHA, A2 = n tr A2− n2H2+

tr A2

2_{− nH tr A}₃

e pelo Corolário 1.16, teremos a fórmula 1 2Δ tr A2 =|∇A|2+ n tr A2− n2H2+ tr A2 2_{− nH tr A}₃ , conhecida como a Fórmula de Simmons.

Ao inv´es do tensor de Weingarten A usaremos o tensor simétrico φ = A− HI , onde H é a curvatura m´edia de M . Dessa forma, teremos que trφ = 0. Al´em disso, a base {ei} também

diagonaliza φ, com autovalores μi = ki− H e

|φ|2 ₌ i μ2_i = 1 2n i,j (ki− kj)2.

(22)

De fato, i,j (ki− kj)2 = i,j ((ki− H) − (kj − H))2 = i,j (ki− H)2− 2 i,j (ki− H)(kj− H) + i,j (kj − H)2 = n|φ|2− 2 · 0 + n|φ|2 = 2n|φ|2

Desta forma, |φ|2 ≡ 0 se, e somente se, Mn ´e totalmente umb´ılica. Portanto, a f´ormula de Simmons com o tensor φ se escreve

1 2Δ tr φ2 =|∇φ|2+ tr φ2 2 − nH tr φ3+ n 1− H2 tr φ2.

(23)

Cap´ıtulo 2

O Modelo do Hiperbol´

oide

n-dimensional H

n

−1

r2

para o Espa¸

co

Hiperb´

olico

Neste cap´ıtulo descreveremos o Espa¸co Hiperb´olico Hn−1 r2

que é uma hipersuperf´ıcie do Espa¸co de Lorentz Ln+1, ou seja, o espa¸co Rn+1 munido da métrica pseudo-riemanniana, a qual definiremos a seguir.

Seja Q :Rn+1→ R a forma quadr´atica Q(x₀, . . . , xn) =−x₀2+ x2₁+ . . . + x2_n eLn+1o espa¸co Rn+1 _{com a m´}_{etrica pseudo-riemanniana induzida por Q, a qual denotaremos por (}_{·, ·). Ent˜ao,}

teremos:

(u, v) = 1

2{Q(u + v) − Q(u) − Q(v)}. (2.1) Esta m´etrica pseudo-riemanniana ´e chamada m´etrica de Lorentz. Conv´em observar que para n = 3 ela aparece na teoria de relatividade.

Seja Hn−1 r2

= {x = (x₀, . . . , xn); (x, x) = −r2, x₀ > 0 e r > 0}. Observe que,

geometrica-mente Q(x) = −r2 ´e um hiperbol´oide de duas folhas e Hn−1 r2

´

e a folha contida no semi-espa¸co

x₀ > 0. Claramente, Hn₋₁

r2

´e uma hipersuperf´ıcie de Ln+1, pois, ´e uma componente conexa da imagem inversa de−r2 por Q.

2.1 Proposic¸˜ao. Segundo a m´etrica de Lorentz, o vetor η = x

r ´e ortogonal ao espa¸co tangente TxHn−1 r2 , para todo x∈ Hn−1 r2 . Prova. Seja v ∈ TxHn−1 r2

. Ent˜ao v = α(0), onde α ´e uma curva regular em Hn−1 r2

com

α(0) = x. Assim, α(t) = (x₀(t), . . . , xn(t)), com x0(t) > 0. Logo,

(24)

Segue que,−2x₀(t)x₀(t)+2x₁(t)x₁(t)+. . .+2xn(t)xn(t) = 0. Para t = 0, temos que (α(0), α(0)) =

0, ou seja, (x, v) = 0. Assim x⊥ v e portanto η ⊥ v.

2.2 Proposic¸˜ao. (η, η) = −1. Prova. (η, η) = x r, x r = 1 r2(x, x) = 1 r2(−r 2_{) =}_−1.

2.3 Proposic¸˜ao. β = {b0, . . . , bn}, com b0 = η, (bi, bj) = δij para i, j = 1, . . . n e (bi, b₀) = 0,

para i = 1, . . . n, é uma base de Ln+1. Além disso, a métrica induzida por Ln+1 em Hn₋₁

r2

´e riemanniana.

Prova. Para ver que β ´e uma base de Ln+1, basta observar queLn+1 = [η]⊕ TxHn−1 r2

, com [η]⊥ TxHn−1

r2

.

Para a segunda parte usamos o fato de que o ´ındice de uma forma quadr´atica independe da base escolhida. Escolhendo a base canˆonica {e₀, . . . , en} de Ln+1, vemos que o ´ındice de Q ´e

igual a 1. Logo, como Q(η) = (η, η) = −1 < 0, temos que Q(bi) > 0, ∀ i = 1, . . . , n. Portanto,

Q|T_xHn −1 r2

´

e positiva deﬁnida. Assim, a m´etrica induzida por Ln+1 em Hn−1 r2

´

e riemanniana.

2.4 Proposic¸˜ao. A segunda forma fundamental de Hn−1 r2

→ Ln+1 ´e dada por Sη =−1

rId. Al´em disso, a curvatura seccional de Hn₋₁

r2 ´ e constante e igual a K =−1 r2. Prova. Sejam x ∈ Hn−1 r2 ,{b₁, . . . , bn} uma base de TxHn−1 r2 e η = x r ∈ (TpM ) ⊥_.

Considere-mos o campo N normal aHn−1 r2

dado por N (p) = p

r. Como N (x) = η e (N , N )p =−1 para todo p∈ Hn₋₁ r2 temos que (Sη(bi), bj) = −(∇biN )T, bj = −∇biN , bj . Calculemos ∇vN

(x), para um vetor qualquer v∈ TxHn−1 r2 . De N (p) = 1 r · n i=0 piei = n i=0 1 rpi ei,

temos que as coordenadas de N (p) na base canˆonica{e₀, . . . , en} de Ln+1s˜ao dadas por Ni(p) =

1 r · pi. Seja v∈ TxHn−1 r2 . Ent˜ao v = α(0) = (α₀(0), . . . , α_n(0)) = (v₀, . . . , vn) e α(0) = x, onde α(t) = (α₀(t), . . . , αn(t)). Portanto v(Nk)(x) = d dt(Nk◦ α)(t)|t=0= d dtNk(α(t))|t=0= d dt 1 r · αk(t) t=0= 1 r · α k(0).

(25)

Usando a express˜ao da conex˜ao e lembrando que Γk_ij(Ln+1) = Γk_ij(Rn+1) = 0 teremos: ∇vN (x) = k v(Nk)(x) + i,j viNj(x)Γkij(x) ek = n k=0 v(Nk)(x)ek = 1 r n k=0 α_k(0)ek = 1 r n k=0 vkek = 1 rv.

Segue, portanto, que

Sη(bi) =−∇biN =− 1 rbi ⇒ Sη =− 1 rId. Da´ı, B(X, Y ) =−(B(X, Y ), η)η = −(SηX, Y )η = 1 r(X, Y )η = η r(X, Y ).

Finalmente, usando a f´ormula de Gauss e tomando{X, Y } ortonormal,

K(X, Y )− ¯K(X, Y ) = (B(X, X), B(Y , Y ))− (B(X, Y ), B(X, Y )).

Como Γk_ij(Ln+1) = Γk_ij(Rn+1) = 0, temos que ¯K(X, Y ) = 0. Logo, K(X, Y ) =−1 r2(X, X)(Y , Y )− 1 r2(X, Y ) 2 ₌₋1 r2. Para o que se segue denotaremos O1(n + 1) ={T ´e linear ; T preserva a m´etrica } e ˜Hn₋₁

r2

=

{x = (x0, . . . , xn); (x, x) =−r2, x0< 0 e r > 0}.

2.5 Lema. Seja T ∈ O1(n + 1). Se para p ∈ Hn−1 r2 temos T (p) ∈ Hn−1 r2 (resp. H˜n−1 r2 ), ent˜ao T (x)∈ Hn₋₁ r2 (resp. ˜Hn₋₁ r2 ), para todo x∈ Hn₋₁ r2 . Prova. Se T ∈ O1(n + 1) e x ∈ Hn−1 r2

, ent˜ao (T x, T x) = (x, x) = −r2. Dessa forma,

T x∈ Hn−1 r2 ou T x∈ ˜Hn−1 r2 . Seja p ∈ Hn−1 r2 tal que T (p) ∈ Hn−1 r2 . Suponha que ∃ q ∈ Hn−1 r2 , com T (q) /∈ Hn−1 r2 , isto ´e, T (q) ∈ ˜Hn−1 r2

. Seja, ainda, α uma curva em Hn−1 r2

que liga p a q. Ent˜ao, T ◦ α ´e uma curva em

Q−1(−r2) ligando T (p) a T (q).

Sendo α(t) = (x₀(t), . . . , xn(t)), x₀> 0 temos que T ◦ α(t) = (y₀(t), . . . , yn(t)) ´e cont´ınua. Como T (p)∈ Hn−1

r2

, isto ´e, T (α(0))∈ Hn−1 r2

ent˜ao y₀(0) > 0 e uma vez que T (q)∈ ˜Hn−1 r2

(i.e.,

T (α(1))∈ ˜Hn−1 r2

) teremos y₀(1) < 0. Pela continuidade de y₀,∃ t∈ (0, 1) tal que y(t) = 0 o que implicaria em T◦α(t) /∈ Q−1(−r2), uma contradi¸c˜ao, pois, (T (α(t)), T (α(t))) = (α(t), α(t)) =

−r2_.

(26)

2.6 Proposic¸˜ao. Se T ∈ O1(n + 1) e det(T ) > 0, ent˜ao T Hn−1 r2 =Hn−1 r2 . Prova. Seja x = (r, 0, . . . , 0) ∈ Hn−1 r2 e {b₁, . . . , bn} base de TxHn−1 r2 . Considere, ainda, e₀ = x

r = (1, 0, . . . , 0). Como T preserva a m´etrica, temos que {T (e0), T (e1), . . . , T (en)} ´e base

ortonormal de Ln+1 e sendo Q uma forma quadr´atica de ´ındice 1, teremos T (e₀) paralelo a

e₀. Logo, T (e₀) = ±e₀. Como det(T ) > 0, T e₀ = e₀. Pelo lema anterior T

Hn −1 r2 = Hn−1 r2 . 2.7 Proposic¸˜ao. Hn−1 r2 ´ e completa.

Antes de apresentarmos a prova da Proposi¸cão 2.7 veremos o conceito de variedade ho-mogênea e, em seguida, mostraremos que toda variedade homogênea é completa.

Dizemos que uma variedade riemanniana M ´e homogˆenea se dados p, q ∈ M existe uma

isometria de M que leva p em q.

2.8 Lema. Toda variedade homogˆenea ´e completa.

Prova do Lema 2.8. Se, por absurdo, M n˜ao ´e completa, existem p ∈ M e uma geod´esica normalizada γ : [0, t₀]→ M com γ(0) = p que não se estende além de t₀. Sejam ε > 0 suficientemente pequeno tal que q = γ(t₀ − ε/2) e Bε(p) e Bε(q) são bolas normais em p e q, respectivamente. Sejam ϕ : M → M uma isometria com ϕ(p) = q e v ∈ TpM , |v| = 1, tal que

dϕpv = γ(t₀− ε/2). Como γ ´e normalizada, ´e claro que |v| = |dϕpv| = |γ(t₀− ε/2)| = 1. Por outro lado, considere a geod´esica α : [0, ε)→ M dada por α(t) = exp_p(tv). Temos ent˜ao que

(ϕ◦ α)(0) = ϕ(p) = q = γ(t₀− ε/2) e

(ϕ◦ α)(0) = dϕpα(0) = dϕpv = γ(t0− ε/2) .

Conclui-se que ϕ◦ α é uma geodésica que parte de q = γ(t₀− ε/2) com velocidade γ(t₀− ε/2) na bola normal Bε(q). Por unicidade, ϕ◦ α = γ|[t0−ε/2,t0], o que significa que podemos estender

γ na bola normal Bε(q) e, portanto, al´em de t₀. Contradi¸c˜ao.

Prova da Proposi¸c˜ao 2.7. Dados p, q ∈ Hn−1 r2 e bases ortonormais {vi} ⊂ T pHn−1 r2 e {wi} ∈ T qHn−1 r2

, i = 1, . . . , n, vamos mostrar que a restri¸c˜ao a Hn−1 r2 da transforma¸c˜ao linear T : Ln+1 → Ln+1 tal que T p r = q r e T (vi) = wi, i = 1, . . . , n ´e isometria de H n −1 r2 . Como p r, p r = q r, q r

=−1, (vi, vj) = (wi, wj) = δij e (p, vi) = (q, wi) = 0, ent˜ao ´e claro que existe

uma transforma¸c˜ao linear T :Ln+1 → Ln+1que preserva a m´etrica. Como p, q ∈ Hn−1 r2 e T p r = q r ⇔ T (p) = q ∈ H n −1

r2. Ent˜ao, pelo lema 2.5, T

Hn −1 r2 =Hn−1 r2 . Segue que, T|_Hn −1 r2 ´e isometria de Hn −1 r2 . Portanto, Hn−1 r2

é homogênea. Desta forma, conclu´ımos, pelo lema 2.8, que ela é completa.

(27)

Cap´ıtulo 3

O Produto

H

k

₋₁

r2

× S

n−k

₍

√

_{1 + r}

₂

₎

Neste cap´ıtulo, definiremos o cilindro hiperbólico que é uma hipersuperf´ıcie do espa¸co de De Sitter Sn+1₁ . Calcularemos as suas curvaturas principais, a curvatura média e a segunda forma fundamental. Faremos, inicialmente, algumas considera¸cões sobre variedade produto e sobre produto de imers˜oes. Sejam M , N , M e N variedades tais que N ´e riemanniana. Suponha que

M ´e uma variedade diferenciável com uma métrica pseudo-riemanniana (·, ·) induzida por uma forma quadr´atica Q. Sejam as imers˜oes isom´etricas f : M → M e g : N → N, onde a métrica induzida por f em M é riemanniana e Q(η, η) < 0,∀ η ∈ χ(M)⊥, (ou seja, o ´ındice de Q ´e igual a codimens˜ao de f ). Considerando em M× N e em M × N as métricas produtos, teremos que a imersão

f× g : M × N → M × N

também é isométrica.

Denotemos por ∇M,∇N e ∇N as conex˜oes riemannianas de M , N e N , respectivamente, e por ∇M a conex˜ao pseudo-riemmaniana de M . Assim a conex˜ao riemanniana de M × N e a conex˜ao pseudo-riemmaniana de M × N s˜ao tais que

∇M×NX Y =∇MX_MYM +∇NX_NYN

e

∇M×NU V =∇MU_MVM+∇NU_NVN.

Sendo X = (XM, XN) e Y = (YM, YN) campos de vetores tangentes a M × N, U =

(UM, UN) e V = (VM, VN) campos de vetores tangentes a M × N, XM, YM ∈ χ(M), XN, YN ∈

χ(N ), U_M, V_M ∈ χ(M) e U_N, V_N ∈ χ(N).

Sejam Bf e Bgas segundas formas fundamentais de f e g, respectivamente. Para η ∈ χ(M)⊥ e μ ∈ χ(N)⊥, consideremos os operadores de forma Af_η : T M → T M e Ag_μ : T N → T N, associados a Bf e Bg, respectivamente. Para u e v tangentes a M e w, z tangentes a N , temos:

(28)

A segunda forma da imers˜ao produto f× g, denotada por B_f×g, ´e dada por

B_f×g(X, Y ) = (Bf(XM, YM), Bg(XN, YN)) .

Seja N = (η, μ) em M × N normal a M × N, com η em M normal a M, μ em N normal

a N , (η, η) +|μ|2 = −1 e (η, η) = −ρ2, ρ > 0. Vamos encontrar o operador de forma Af×g_N associado a f × g. Sabemos que

Af×gN X, Y = Af×gN (XM, XN), (YM, YN) = B_f×g((XM, XN), (YM, YN)), N = (Bf(XM, YM), Bg(XN, YN)), (η, μ) = Bf(XM, YM), η + Bg(XN, YN), μ = ρ · Afη ρXM, YM + |μ|A g μ |μ|XN, YN = ρAfη ρXM +|μ|A g μ |μ|XN, Y .

Dessa forma, para a imers˜ao produto f × g o operador de forma na dire¸c˜ao normal N ´e

Af×g_N X = ρAfη ρXM +|μ|A g μ |μ|XN = ρ· Afη ρ ◦ πM+|μ|A g μ |μ| ◦ πN · X, (3.1)

onde πM ´e a proje¸c˜ao sobre M e πN ´e a proje¸c˜ao sobre N .

Vejamos agora o caso em que f e g s˜ao as inclus˜oes canˆonicas Hk₋₁

r2₁ ⊂ Lk+1 _e _Sn−k_(r₂₎ _⊂ Rn−k+1_{, ou seja,} f :Hk−1 r2₁ → Lk+1; f (p) = p g :Sn−k(r₂) → Rn−k+1; g(q) = q

Observe que f ´e isometria porque, pelo cap´ıtulo 2, a m´etrica induzida emHk−1 r2 por L

k+1 _´_e

Riemmaniana.

Consideremos o produto dessas imers˜oes

f × g : Hk−1 r2₁ × S n−k_(r 2) → Ln+2. Sejam p ∈ Hk−1 r2₁ e q ∈ Sn−k(r₂), isto ´e, (p, p) = −r2₁ e |q|2 = r₂2. Assim, (p, q) ∈ Hk−1 r2₁ × Sn−k_(r₂_{) e ((p, q), (p, q)) = (p, p)+}_|q|2 ₌_−r2 1+r22. Se−r12+r22 = 1 e r = r1teremos r2 =√1 + r2.

Neste caso os pontos (p, q) deHk−1 r2 × S

n−k₍√_{1 + r}2_{) estar˜}_{ao no espa¸co de De Sitter}

Sn+1

1 ={(p, q) ∈ Ln+2; ((p, q), (p, q)) = 1}.

Consideremos, agora, a hipersuperf´ıcie

ϕ = f× g : Hk−1 r2 × S

n−k₍ _{1 + r}2₎_{→ S}n+1

(29)

Nosso objetivo, a partir de agora, ´e encontrar as curvaturas principais de ϕ, que denotaremos por λ₁, . . . , λn. Para as inclus˜oes Hk−1

r2

f

→ Lk+1,Sn−k(√1 + r2) → Rg n−k+1 e Sn+1₁ → Li n+2, n´os temos os operadores de forma associados Af_˜η = 1

rId, A g ˜μ = 1 √ 1 + r2Id e A i Γ = Id, com ˜ η(p) = −p r , ˜μ(q) = −q √

1 + r2 e Γ(p, q) = (p, q). Observe que Γ(p, q) = (p, q) ´e normal a S

n+1

1

e a Hk−1 r2 × S

n−k₍√_{1 + r}2_{). Precisamos de um campo N (p, q) = (ap, bq), unit´}_{ario, normal a}

Hk

−1 r2 × S

n−k₍√_{1 + r}2_{) e tangente a} _Sn+1

1 , ou seja, que cumpra as seguintes condi¸c˜oes:

(i) ((ap, bq), (p, q)) = 0, isto ´e, a(p, p) + b|q|2 = 0; (ii) a2(p, p) + b2|q|2=−1.

De (i), temos −ar2+ b(1 + r2) = 0, o que implica b =

! r2

1 + r2

" a.

De (ii), temos −a2r2+ b2(1 + r2) =−1, isto ´e, −a2+ b2

! 1 + r2 r2 " = −1 r2 . Assim, a2 = 1 + r 2 r2 .

Portanto, podemos escolher

a =− √ 1 + r2 r e b =−√ r 1 + r2. Logo, o vetor normal ´e dado por

N (p, q) = ! − √ 1 + r2 r · p, − r √ 1 + r2 · q " . Considerando os valores de η =− √ 1 + r2 r · p e o de μ = − r √ 1 + r2 · q, obtemos # # (η, η) = 1 + r 2 r2 (p, p) = 1 + r2 r2 · (−r 2_{) =}_{−(1 + r}2_{) =}_−ρ2 |μ| = √ r 1 + r2 · 1 + r 2_{= r.}

Aplicando-se em 3.1 os dois ´ultimos resultados, temos

AN = 1 + r2· Af−p r ◦ πM + r· A g −q √ 1+r2 ◦ πN Assim, # # AN(XM, 0) = √1 + r2· Af−p r XM = √ 1 + r2 r XM AN(0, XN) = r· Ag_√−q 1+r2 XN = √ r 1 + r2XN

(30)

Tomando-se uma base ortonormal de vetores {(e₁, 0), . . . , (ek, 0), (0, hk+1), . . . , (0, hn)}, em que

{ei} diagonaliza Af_˜η e{hi} diagonaliza Ag_˜μe considerando que senh (t) = r e cosh (t) =√1 + r2, temos que as curvaturas principais do produtoHk−1

r2 × S n−k₍√_{1 + r}2_{) s˜}_ao λ₁= . . . = λk= √ 1 + r2 r = coth(t) e λ_k+1 = . . . = λn= √ r 1 + r2 = tgh t. Portanto a curvatura m´edia H de ϕ ´e dada por

H = 1 n $ k· √ 1 + r2 r + (n− k) · r √ 1 + r2 % = k + nr 2 nr√1 + r2.

Escreveremos |A|2 em fun¸c˜ao da tgh (t) e da coth(t). Multiplicando-se ambos os membros da igualdade n· H = k · √ 1 + r2 r + (n− k) · r √ 1 + r2 por coth(t), obtemos a equa¸c˜ao

k coth2(t)− nH coth(t) + n − k = 0, cujas ra´ızes s˜ao coth(t) = nH± n 2_H2_{− 4k(n − k)} 2k , desde que n2H2− 4k(n − k) > 0. Portanto, S = |A|2 = n 1 λ2_i = k· coth2(t) + (n− k) · tgh2(t) = (n− k) 4k2 (nH± n2H2− 4k(n − k))2 + k· (nH± n2H2− 4k(n − k))2 4k2 .

Utilizando o operador φ = A− HI e os resultados anteriores, temos que

|φ|2 =|A|2− nH2= k(n− k)

n (coth(t)− tgh (t))

2_.

Substituindo-se tgh (t) = nH− k coth t

n− k na express˜ao anterior, obtemos |φ|2 ₌_|A|2_{− nH}2₌ k(n− k) n coth(t)−nH− k coth t n− k 2 = k n(n− k)[n(coth(t)− H)] 2_.

Uma vez que coth(t) = nH ± n

2_H2_{− 4k(n − k)} 2k , teremos que |φ|2 ₌ k n(n− k) & 'n nH± n2H2− 4k(n − k) 2k − H ( ) 2 = n 4k(n− k) * (n− 2k)H ± n2H2− 4k(n − k) + 2 .

(31)

Logo, |φ|2 ₌ √ n 2√k√n− k , , ,(n− 2k)H ± n2H2− 4k(n − k) , , ,. Quando k = 1, |φ|2 ₌ √ n 2√n− 1 , , ,(n− 2)H ± n2H2− 4(n − 1) , , , e a hipersuperf´ıcieH1−1 r2 × S

n−1₍√_{1 + r}2_{) ´}_{e denominada Cilindro Hiperb´}_olico.

(32)

Cap´ıtulo 4

As Hipersuperf´ıcies Rotacionais

Neste cap´ıtulo, descreveremos uma fam´ılia de hipersuperf´ıcies completas emSn+1₁ com cur-vatura m´edia constante H ≥ 2

√ n− 1

n e sup|φ|2 = B, para cada B ∈ max 0, B_H− , B_H+

conforme o teorema 1.3. Tais hipersuperf´ıcies s˜ao chamadas de rotacionais e faremos, a seguir, uma breve discuss˜ao das mesmas baseando-se no artigo de M. do Carmo e M. Dajczer [5].

Sabemos que uma transforma¸cão ortogonal emLn+2 é uma aplica¸cão linear que preserva a métrica. Estas transforma¸cões ortogonais induzem todas as isometrias deSn+1₁ .

Seja Pkum subespa¸co vetorial de dimens˜ao k doLn+2. Pké dito lorentziano (resp. rieman-niano, degenerado) se a restri¸cão da m´etrica a Pké uma métrica lorentziana (resp. riemanniana, degenerada). Denotaremos por O(Pk) o conjunto das transforma¸cões ortogonais de Ln+2 com determinante positivo que deixam Pk fixado.

4.1 Definic¸ ˜ao. Escolha P2, P3 tais que P2 ⊂ P3 e C uma curva regular tipo espa¸co em Sn+1₁ ∩(P3_−P2_{). A ´}_{orbita de C sob O(P}2_{) ´}_{e chamada a hipersuperf´ıcie rotacional esf´}_{erica (resp.}

hiperbólica, parabólica) M emSn+1₁ gerada por C, quando P2é Lorentziano (resp. Riemanniano, degenerado).

Neste trabalho, precisaremos apenas do caso esf´erico. Pela m´etrica de Lorentz emLn+2, a base canˆonica e₀, . . . , en, e_n+1 satisfaz

ei, ej = iδij,

onde ₀ =−1 e, do contr´ario, i = 1. Tome P2 o plano gerado por e0 e e1 e P3 gerado por e0, e1

e e₂. Seja (y₀(s), y₁(s), y(s)) a parametriza¸c˜ao pelo comprimento de arco da curva C. A partir dessas escolhas, podemos tomar uma parametriza¸c˜ao de uma hipersuperf´ıcie rotacional M por

f (s, u₁, . . . , u_n−1) = (y₀(s), y₁(s), y(s)Φ(u₁, . . . , u_n−1)) ,

de acordo com M. do Carmo e M. Dajczer [5]. Aqui Φ(u₁, . . . , u_n−1) = (Φ₁, . . . , Φn) ´e uma parametriza¸c˜ao ortogonal da esfera unit´aria no subespa¸co vetorial gerado por e₂, . . . , e_n+1. Uma

(33)

vez que a curva C pertence aSn+1₁ e o parˆametro s representa o seu comprimento do arco teremos

−y₀2(s) + y2₁(s) + y2(s) = 1 e

−y₀2(s) + y2₁(s) + y2(s) = 1

e, portanto, as fun¸c˜oes y₀(s), y₁(s) podem ser calculadas em termos de y(s) atrav´es das rela¸c˜oes

y₀ = y2− 1 cosh ϕ

e

y₁ = y2− 1 senh ϕ,

para y > 1.

Derivando as express˜oes anteriores com rela¸c˜ao `a s, teremos

y₀= yy y2− 1 cosh ϕ + y2− 1 senh ϕϕ e y₁= yy y2− 1 senh ϕ + y 2_{− 1 cosh ϕϕ} e, portanto, y₁2− y₀2=− y 2_y2 y2− 1+ (y 2_{− 1)ϕ}2_.

Assim, ϕ(s) ﬁca determinada por

1 =−y2₀(s) + y₁2(s) + y2(s) =− y 2_y2 y2− 1+ (y 2_{− 1)ϕ}2_{+ y}2_{⇒ ϕ} ₌ y2+ y2− 1 y2− 1 , ou seja, ϕ(s) = -s 0 y2+ y2− 1 y2− 1 ds.

O caso 0 < y < 1 pode ser tratado de forma similar, mas n˜ao o usaremos no nosso trabalho. Usamos a parametriza¸c˜ao acima para calcular as curvaturas principais de M as quais s˜ao dadas por ki = y 2_{+ y}2_{− 1} y e kn= y _{+ y} y2+ y2− 1, com i = 1, . . . , n− 1.

Desta forma, temos que a curvatura m´edia de M ´e dada por

nH = n i=1 ki = (n− 1) y 2_{+ y}2_{− 1} y + y+ y y2+ y2− 1. (4.1)

(34)

4.2 Lema. Sendo H constante, uma integral primeira da equa¸c˜ao diferencial de segunda ordem 4.1 ´e dada por y2= 1− y2+ a yn−1 + Hy 2 , com a constante. (4.2)

Prova. Pondo v = y2+ y2− 1 temos

vv = y(y + y)⇒ v= y

_{(y + y}₎

v . (4.3)

Da equa¸c˜ao 4.1, conclu´ımos que

y+ y

v = nH− (n − 1) v y

e substituindo este resultado na equa¸c˜ao 4.3 obtemos

v = y

y [nyH− (n − 1)v] .

Pondo f = v− Hy, temos que f = v− Hy. Como H ´e constante, o resultado acima implica que

fy = vy− Hyy = (n− 1)y(yH− v) = −(n − 1)fy. Assim, f f =−(n − 1) y y ⇒ (ln f) ₌_{−(n − 1)(ln y)} _{⇒ ln f = −(n − 1)ln y + ln a ⇒ f =} a yn−1,

onde a é uma constante. Segue que v2 = (f + Hy)2 = y2+ y2− 1 o que nos dá a equa¸cão 4.2. Escrevendo a integral primeira como

G(y, y) = yn−1( y2+ y2− 1 − Hy) = a ≥ 0

vemos que que as curvas de n´ıvel de G est˜ao associadas às hipersuperf´ıcies rotacionais tipo espa¸co. Para nossas finalidades, ´e suficiente analisar as curvas de n´ıvel de G contidas no conjunto

(y, y)/y > 0, y2+ y2− 1 ≥ 0, G(y, y)≥ 0

. Estudaremos a seguir os pontos cr´ıticos de G.

4.3 Lema. Seja H ≥ 0 e G(y, y) = yn−1( y2+ y2− 1 − Hy). Ent˜ao:

1. Se 0≤ H < 2 √

n− 1

n , G n˜ao tem pontos cr´ıticos. 2. Se H = 2

√ n− 1

n , G tem apenas um ponto cr´ıtico do tipo degenerado. 3. Se 2

√ n− 1

(35)

4. Se H ≥ 1, G tem apenas um ponto cr´ıtico.

Prova. Os pontos cr´ıticos de G ao longo dos eixos y e y s˜ao tais que

∂G ∂y = (n− 1)y n−2 y2+ y2− 1 − Hy + yn−1 1 2 · 2y y2+ y2− 1− H = 0 e ∂G ∂y = y n−1 y y2+ y2− 1 = 0.

Da segunda equa¸c˜ao, temos que y = 0 e substituindo na primeira, temos que os pontos cr´ıticos de G satisfazem a equa¸c˜ao

y2− nHy y2− 1 + (n − 1)(y2− 1) = 0.

Fazendo a substitui¸c˜ao y = cosh (r) e dividindo a express˜ao resultante por senh2(r), obtemos coth2(r)− nH coth(r) + (n − 1) = 0.

Resolvendo a equa¸c˜ao para coth(r), temos

coth(r) = nH± n

2_H2_{− 4(n − 1)}

2 .

Como y = cosh (r) = coth(r) coth2(r)− 1

podemos substituir a express˜ao para coth(r) nesta ´ultima equa¸c˜ao obtendo, ﬁnalmente, que

y = nH ± n 2_H2_{− 4(n − 1)} . nH ± n2H2− 4(n − 1) 2 − 4 .

O lema segue, então, diretamente dessa última equa¸cão.

Observe que esses pontos cr´ıticos correspondem exatamente aos cilindros hiperb´olicos. Tomando y = cosh (r) vemos, facilmente, que as curvaturas principais desses cilindros s˜ao

ki= y 2_{− 1} y = 1 coth r = 2 nH ± n2H2− 4(n − 1), para i = 1, . . . , n− 1, e kn= y y2− 1 = coth(r) = nH ± n2H2− 4(n − 1) 2 .

Conforme resultados do cap´ıtulo 3, |φ|2 ´e dada por

|φ|2 = n 4(n− 1) * (n− 2)H ± n2H2− 4(n − 1) + 2 .

A natureza dos pontos cr´ıticos pode ser determinada por uma an´alise da Hessiana de G. Um c´alculo direto, mostra que, se H = 2

√ n− 1

n , o ´unico ponto cr´ıtico de G ´e do tipo degenerado.

Um outro cálculo direto, porém mais extenso e uma subseqüente análise da Hessiana mostra, também, que:

(36)

1. Quando 2

√ n− 1

n < H < 1, o ponto cr´ıtico com menor coordenada y ´e um ponto de sela,

enquanto o outro ´e um centro. A express˜ao para y mostra que o centro tende para inﬁnito quando H → 1₋.

2. Se H ≥ 1, temos apenas um ponto cr´ıtico do tipo sela. A ﬁgura seguinte mostra as curvas de n´ıvel de G para H ≥ 2

√ n− 1

n com as indica¸c˜oes dos

respectivos pontos cr´ıticos ao longo do eixo y.

No cap´ıtulo seguinte usaremos alguns desses resultados sobre as hipersuperf´ıcies rotacionais tipo espa¸co para a prova do teorema 1.3.

c -1 0 1 d -1 0 1 a -1 0 1 b -1 0 1

(37)

Cap´ıtulo 5

Demonstra¸

c˜

oes dos Resultados

Tendo visto os conceitos mais importantes necessários às demonstra¸cões dos resultados do nosso trabalho, estamos prontos para desenvolvê-las.

Para a demonstra¸c˜ao do teorema 1.2, usaremos alguns resultados. O primeiro ´e um lema cuja prova se deve a M. Okumura [13] e fornece uma estimativa para tr φ3, onde φ = A− HI e

A ´e o operador de forma associado `a segunda forma fundamental de M .

5.1 Lema. Sejam μi, i = 1, 2, 3, . . . , n, n´umeros reais tais que i μi = 0 e i μ2_i = β2 ≥ 0. Ent˜ao, − n− 2 n(n− 1)β 3 _≤ i μ3_i ≤ n− 2 n(n− 1)β 3

e a igualdade é válida se, e somente se, (n− 1) dos números μi são iguais a β

n(n− 1) e μ₁=−

/ n− 1

n β ou (n− 1) dos n´umeros μi s˜ao iguais a − β

n(n− 1) e μ1 = /

n− 1 n β.

Prova. Se β2 = 0, n˜ao temos o que provar. Suponha ent˜ao β2 = 0. Usaremos o m´etodo dos multiplicadores de Lagrange para encontrar os pontos cr´ıticos de g : Rn → R dada por

g(μ₁, . . . , μn) =

i

μ3_i, submetida `as condi¸c˜oes

i μi = 0 e i μ2_i = β2. Sendo ϕ₁(μ₁, . . . , μn) = i μi= 0 e ϕ2(μ1, . . . , μn) = i μ2_i = β2 temos, ∇g = 3α∇ϕ1+3 2λ∇ϕ2, ou seja, (3μ2₁, . . . , 3μ2_n) = (3α, . . . , 3α) + (3λμ₁, . . . , 3λμn) .

Segue que os pontos cr´ıticos de g são dados pelos valores de μi que satisfazem à equa¸cão

quadr´atica

(38)

Isto implica que 0 = i μ2_i − i λμi − i α = β2 − nα e portanto α = β 2 n ≥ 0. Assim,

os discriminantes das equa¸c˜oes em 5.1, δ = λ2+ 4α = λ2 + 4β

2

n , s˜ao positivos e as equa¸c˜oes

possuem duas ra´ızes distintas, sendo que uma delas ´e positiva e a outra negativa, uma vez que

μi= λ± √ λ2+ 4α 2 e √ λ2+ 4α = 0 λ2+4β 2 n ≥ |λ| ≥ λ, ∀λ ∈ R.

Depois de reordenar, se necess´ario, os pontos cr´ıticos s˜ao dados por:

μ₁= μ₂. . . = μp = a > 0

μ_p+1= μ_p+2= . . . = μn=−b < 0.

Desde que, nos pontos cr´ıticos temos

β2 = i μ2_i = pa2+ (n− p)b2 0 = i μi = pa− (n − p)b g = i μ3_i = pa3− (n − p)b3 Conclu´ımos que a2 = (n− p) pn β 2_{, b}2 ₌ p (n− p)nβ 2 _{e g =} (n− p) n a− p nb β2. Segue que

g decresce quando p cresce. Portanto, g alcan¸ca um m´aximo quando p = 1 e o m´aximo de g ´e dado por:

a3−(n−1)b3= [(n−1)b]3−(n−1)b3 = [(n−1)3−(n−1)]b2b = (n−2)n(n−1)b2b = n− 2 n(n− 1)β

3

Isto prova o lema, uma vez que g ´e simétrica. O caso da igualdade ´e obtido substituindo p por 1 , a por (n− 1)b e o valor máximo de g na expressão de g. Assim, teremos

n− 2 n(n− 1)β 3 _{= b} ! (n− 1)2 n − 1 n " β2 = b(n− 2)β2, de onde conclu´ımos que b = β

n(n− 1). Portanto, μ1 = a = /

n− 1

n β e μ2= μ3 = . . . = μn = −b = − β

n(n− 1). A outra parte do caso igualdade ´e obtida de forma an´aloga, usando o valor

m´ınimo de g.

O polinˆomio PH surge, analiticamente, no lema a seguir, cuja prova utiliza a f´ormula de

Simmons.

5.2 Lema. Seja Mn uma hipersuperf´ıcie tipo espa¸co completa imersa em S₁n+1, n ≥ 3, com

curvatura média H constante não negativa. Então,

1 2Δ|φ| 2_{≥ |φ|}2_{· P} H(|φ|), onde PH(|φ|) = |φ|2−n(n− 2)H n(n− 1)|φ|+n(1−H