Ricardo Luiz Queiroz Freitas

(1)

Universidade Federal da Bahia

Instituto de Matem´

atica

Curso de Pós-Graduação em Matemática

Dissertac

¸˜

ao de Mestrado

Hipersuperf´ıcies Completas tipo Espac

¸o com Curvatura

M´

edia Constante no Espac

¸o de De Sitter

Ricardo Luiz Queiroz Freitas

Salvador-Bahia

(2)

Hipersuperf´ıcies Completas tipo Espac

¸o com Curvatura

M´

edia Constante no Espac

¸o DE SITTER

Disserta¸cão apresentada ao cole-giado do curso de Pós-Gradua¸cão em Matemática da Universidade Federal da Bahia, como requisito parcial para obten¸cão do T´ıtulo de Mestre em Matemática em 14 de mar¸co de 2008.

Banca examinadora

Prof. Dr. Jos´e Nelson Bastos Barbosa (Orientador)

Prof. Dr. ´Ezio de Ara´ujo Costa

(3)

Freitas, R.

“Hipersuperf´ıcies Completas tipo Espaço com Curvatura Média Cons-tante no Espaço DE SITTER” / Ricardo Luiz Queiroz Freitas. Salvador-Ba, 2008.

Orientador: Dr. Jos´e Nelson Bastos Barbosa (UFBA).

Disserta¸cão de Mestrado apresentada ao curso de Pós-gradua¸cão em Matemática da UFBA, 39 páginas.

Palavras-Chave: Espa¸co de De Sitter, Hipersuperf´ıcies, Curvatura m´edia

(4)

(5)

“Na vida, n˜ao vale tanto o que temos nem tanto

im-porta o que somos. Vale o que realizamos com aquilo que

possu´ımos e, acima de tudo, importa o que fazemos de n´os”.

(6)

Agradecimentos

A todos os professores respons´aveis por esta vit´oria e em especial, aos professores: Enaldo

Silva Vergasta, Marco Antônio Nogueira Fernandes, Isaac Costa Lázaro, Carlos Eduardo Nogueira Bahiano, David Arneson Hill, Augusto Armando de Castro Júnior, todos da Universidade Fed-eral da Bahia.

A todos os amigos e colegas que torceram por mim e que de alguma forma contribu´ıram

para essa minha vit´oria, especialmente aos colegas Elias, Eliseu, Mariana, Jarbas, Yuri, Kleyber e B´arbara e ao grande amigo Paulo Henrique.

A meus pais e irm˜aos por toda a for¸ca nos momentos de dificuldades.

Gostaria também de agradecer a todos os colegas e funcionários do Instituto de Matemática e aos professores: Ézio de Araújo Costa e Abdênago Alves de Barros, os quais compuseram a banca

(7)

Resumo

Seja Mn _{uma hipersuperf´ıcie tipo espa¸co completa com curvatura m´edia constante} _H _no

espa¸co de Sitter Sn₁+1. Usaremos o operador φ = A₋HI, onde A é o tensor de Weingarten associado à segunda forma fundamental de M, e as ra´ızes B_H− _≤ B_H+ de um certo polinômio de grau dois, para mostrar que ou_|φ_|2 _≡_{0 e} _M _{é totalmente umb´ılica, ou} _B−

H ≤ sup|φ|2 ≤

B_H+. Para o caso H _≥ 2

√

n₋1

n mostramos os seguintes resultados: para cada n´umero B

no intervalo

max_{0,B_H−_},B_H+

existe uma hipersuperf´ıcie tipo espa¸co completa com curvatura m´edia constante tal que sup_|φ_|2 ₌_B_{; se} _sup_|_φ_|2 ₌_B−

H ´e atingido em algum ponto, ent˜ao a

hipersuperf´ıcieM correspondente ´e um cilindro hiperb´olico.

(8)

Sum´

ario

Resumo vii

Introdu¸c˜ao 1

1 Preliminares 5

2 O Modelo do Hiperbol´oide n-dimensional Hn−1

r2

para o Espa¸co Hiperb´olico 15

3 O Produto Hk−1

r2 ×

Sn−k(√1 +r2₎ ₁₉

4 As Hipersuperf´ıcies Rotacionais 24

(9)

Introdu¸

c˜

ao

Seja Ln+2 o espa¸co euclidiano (n+ 2)-dimensional com a m´etrica de Lorentz ( , ) dada por

(p,q) =₋p0q0+p1q1+. . .+pn+1qn+1.

Definimos o Espa¸co de De Sitter por

Sn₁+1=_{p_∈Ln+2; (p,p) = 1_}.

Dessa forma, Sn₁+1 ´e uma variedade de Lorentz com curvatura seccional constante igual a 1. Uma hipersuperf´ıcie Mn _{imersa em}_Sn+1

1 ´e dita tipo espa¸co se a m´etrica induzida em Mn pela

imers˜ao em Sn₁+1´e riemanniana.

O estudo desses tipos de hipersuperf´ıcies foi inspirado, em particular, por uma conjectura

apresentada por A. J. Goddard [7] afirmando que toda hipersuperf´ıcie tipo espa¸co completa com curvatura média constante em Sn₁+1 deve ser totalmente umb´ılica. O primeiro resultado nesta dire¸cão foi obtido por J. Ramanathan [15] em 1987. Ele mostrou que se a curvatura média

H de uma hipersuperf´ıcie tipo espa¸co completa em S3

1 ´e constante e satisfaz H2 <1, ent˜ao a

hipersuperf´ıcie ´e totalmente umb´ılica. Independentemente, e ainda em 1987, K. Akutagawa [1]

provou a conjectura de Goddard para o caso H2 < 4(n−1)

n2 , com n ≥ 2. Por outro lado, S.

Montiel [10] provou a conjectura para o caso compacto. Esses resultados levaram à conclusão de que a conjectura geral era falsa, como mostrado pela existência dos então chamados cilindros

hiperbólicos, os quais são completos, não umb´ılicos e isométricos a um produto H1( senht)_×

Sn−1_{( cosh}_t_{) de um ramo hiperb´}_{olico com uma esfera (}_n₋_{1)-dimensional. Esses cilindros ser˜ao}

definidos e descritos neste trabalho.

Nos restringiremos às hipersuperf´ıcies tipo espa¸co completas com curvatura média constante não nula porque as hipersuperf´ıcies máximas (H = 0) no Espa¸co de De Sitter são totalmente geodésicas.

Dada uma hipersuperf´ıcie tipo espa¸co Mn _{com curvatura m´edia constante} _H_{, para cada}

p_∈Mn, definimos φ:TpM →TpM por

(10)

em que A´e o operador associado `a segunda forma fundamental de M. Observe que

φ = A₋HI

φ_·φ_∗ = (A₋HI)(A_{∗ −}HI) =AA_{∗ −}2HAI+H2_I

tr(φφ_∗) = tr(AA_∗)₋2Htr(A) +nH2 = tr(AA_∗)₋nH2=_|A_|2₋nH2 =_|φ_|2

Verifica-se, facilmente, que tr(φ) = 0 e que _|φ_|2 = 1 2n

i,j

(ki−kj)2, onde os n´umeros ki,

i = 1, ...,n, s˜ao os autovalores de A. Dessa forma, _|φ_|2 = 0 se, e somente se, M ´e totalmente umb´ılica.

O operadorφmostrou-se ´util no estudo das hipersuperf´ıcies com curvatura m´edia constante

no ambiente riemanniano. Por exemplo, H. Alencar e M. do Carmo [2] provaram um “teorema de gap” para hipersuperf´ıcies compactas com curvatura média constante na esfera euclidiana unitária Sn+1, caracterizando oH(r)-toro por uma condi¸cão sobre _|φ_|2_.

1.1Teorema(Alencar, do Carmo). SejaMnuma hipersuperf´ıcie compacta e orient´avel imersa em Sn+1 com curvatura m´edia constante H > 0. Suponha que _|φ_|2 _≤ _B

H para cada p ∈ M,

onde BH ´e o quadrado da raiz positiva do polinˆomio

PH(x) =x2+

n(n₋2)H

n(n₋1)x−n(H

2_{+ 1).}

Então, _|φ_|2 _≡ 0 e M é totalmente umb´ılica ou _|φ_|2 _≡ BH e Mn é isométrico ao H(r)-toro

Sn−1(r)_×S1(√1₋r2₎_{, onde} _r2 _< n−1

n .

U. H. Ki, H. J. Kim e H. Nakagawa [8] usaram uma vers˜ao de Lorentz do polinˆomio PH

para encontrar um limite superior para_|φ_|. Eles mostraram que uma hipersuperf´ıcie tipo espa¸co

completa em Sn₁+1 com curvatura m´edia constante H _≥ 2

√

n₋1

n e |φ|constante e igual a este

limite superior ´e um Cilindro Hiperb´olico.

Nesta disserta¸c˜ao apresentaremos os teoremas contidos no artigo de A. Brasil, G. Colares

e O. Palmas [3], intitulado “complete spacelike hypersurfaces with constant mean curvature in the de Sitter space: a gap theorem”, que estendem alguns resultados mencionados acima. No

primeiro teorema, usa-sePH para obter uma estimativa para|φ|, com limites inferior e superior.

1.2 Teorema. SejaMn _{uma hipersuperf´ıcie tipo espa¸co completa imersa em}_Sn+1

1 , n≥3, com

curvatura m´edia constante H >0. Ent˜ao sup_|φ_|2 <_∞ e

(i) _|φ_{| ≡}0 eM ´e totalmente umb´ılica; ou

(ii)B_H− _≤ sup_|φ_|2 _≤_B+

H, onde BH− ≤B+H s˜ao as ra´ızes do polinˆomio

PH(x) =x2−

n(n₋2)H

n(n₋1)x+n(1−H

(11)

Verifica-se quePH tem ra´ızes reais se, e somente se,H≥

2√n₋1

n . Como uma conseq¨uˆencia

do Teorema 1.2, n˜ao existe nenhuma hipersuperf´ıcie tipo espa¸co completa com curvatura m´edia

constante H _≥ 2

√

n₋1

n tal que 0 < sup|φ|

2 _{< B}−

H. Diremos que para cada constante H ≥

2√n₋1

n , existe uma lacuna entre uma hipersuperf´ıcie umb´ılica (|φ| ≡0) e uma hipersuperf´ıcie

com sup_|φ_|2 ₌_B−

H, com curvaturas m´edias H. O ”gap”para 0≤H <

2√n₋1

n foi provado

por Akutagawa [1], conforme citado anteriormente.

Para o caso H _≥ 2

√

n₋1

n também mostraremos que não existe ”gap”entre as ra´ızes de PH, isto é, provaremos que para cada número B no intervalo

max_{0,B_H−_},B_H+

existe uma hipersuperf´ıcie tipo espa¸co completa com curvatura m´edia constante H tal que sup_|φ_|2 ₌_B_.

Estes exemplos constituem uma classe de novas hipersuperf´ıcies de rota¸c˜ao com curvatura m´edia constante em Sn₁+1. Mais precisamente, apresentaremos a prova do seguinte teorema:

1.3 Teorema. Dado um inteiro n _≥ 3 e uma constante H tal que H _≥ 2

√

n₋1

n , sejam

B_H− _≤B_H+ as ra´ızes do polinˆomio PH . Ent˜ao,

(i) Para qualquer valorBno intervalo

max_{0,B_H−_},B_H+

existe uma hipersuperf´ıcie tipo espa¸co

completa em Sn₁+1 com curvatura m´edia constante H e sup_|φ_|2 ₌_B_. (ii) Se, al´em disso, H = 2

√

n₋1

n , existe uma hipersuperf´ıcie tipo espa¸co completa em S

n+1 1

com curvatura m´edia constante H e sup_|φ_|2 ₌_B+

H que não é um Cilindro Hiperbólico.

Apresentaremos também o teorema abaixo que é uma generaliza¸cão de um resultado provado

por Montiel [11]. No trabalho de Montiel esse resultado ´e provado para o casoH = 2

√

n₋1

n .

1.4 Teorema. SejaMn uma hipersuperf´ıcie tipo espa¸co completa imersa emSn₁+1, n_≥3, com curvatura m´edia constante H de modo que 2

√

n₋1

n ≤H <1 e sup|φ|2 =B

−

H. Este supremo

é atingido se, e somente se,M é isométrico ao Cilindro Hiperbólico

H1( senht)_×Sn−1( cosht).

Nossos resultados podem ser interpretados graficamente pela figura seguinte, onde associ-amos a cada hipersuperf´ıcie tipo espa¸co completaMn _{com curvatura m´edia constante}_H_{, o par}

de coordenadas

H, sup_|φ_|2

no primeiro quadrante de um 2-plano.

(12)

1

H

1 empty new rotation hypersurfaces hypersurfaces umbilic x (cylinders) x x

φ

2 + c c− n 2

n n 1<k< n 2

H _xS 1<k< H S H S H S n 2 n 2 2

sup

n− n− <k<n− k k n− n− n− n− 2 k k 1

n−₁ k₍n−k₎ k 2 n 1 1 1

Nosso trabalho é constitu´ıdo de cinco cap´ıtulos. No cap´ıtulo 1 trataremos de alguns con-ceitos básicos que serão utilizados nas demonstra¸cões dos resultados principais. Analisaremos,

também os tensores curvatura e de Ricci para as hipersuperf´ıcies imersas emSn₁+1, encontrando um limite inferior para a curvatura de Ricci de M. Além disso, faremos uma demonstra¸cão da Fórmula de Simmons usando cálculo tensorial. Essa fórmula, que já foi usada em diversos

artigos, ´e de extrema importˆancia para as provas dos teoremas centrais do nosso trabalho.

No cap´ıtulo 2 faremos uma descri¸c˜ao do espa¸co Hn−1

r2

o qual denotaremos como o modelo do Hiperbol´oide n-dimensional para o Espa¸co Hiperb´olico. Veremos que este se constitui numa hipersuperf´ıcie do Espa¸co de Lorentz Ln+1.

Analisaremos, no cap´ıtulo 3, as hipersuperf´ıcies do tipo Hk−1

r2 ×

Sn−k(√1 +r2₎ _֒_→ _Sn+1 1 , a

partir das quais definiremos o cilindro hiperbólico. Essas hipersuperf´ıcies aparecerão em di-versos resultados do nosso trabalho e mostraremos que a curvatura média e a segunda forma

fundamental das mesmas s˜ao constantes.

Finalmente, antes de demonstrarmos nossos resultados principais no cap´ıtulo 5, faremos,

no cap´ıtulo 4, uma breve explana¸c˜ao das hipersuperf´ıcies rotacionais, que correspondem a uma

fam´ılia de hipersuperf´ıcies completas em Sn₁+1 com curvatura m´edia constanteH _≥ 2

√

n₋1

n e

sup_|φ_|2 ₌_B _{para cada}_B _∈

max

0,B_H−

,B_H+

(13)

Cap´ıtulo 1

Preliminares

Nesta se¸cão abordaremos algumas defini¸cões e resultados importantes que serão utilizados nas demonstra¸cões dos teoremas contidos no nosso trabalho.

SejaMn uma hipersuperf´ıcie completa tipo espa¸co de dimens˜aonimersa no Espa¸co de De Sitter de dimens˜ao n+ 1, que denotaremos porSn₁+1. Representamos porB sua segunda forma fundamental

B(X,Y) =_∇XY − ∇XY

onde X,Y são campos de vetores em M, e _∇ e _∇ são as conexões métricas de Sn₁+1 e M, respectivamente. Se N é um campo normal unitário local em M, temos

B(u,v) =₋Au,v N

onde u,v _∈ T M e A ´e o operador de forma associado `a segunda forma fundamental de M.

ComoA é uma aplica¸cão linear simétrica, existe uma base ortonormal_{e1,. . .,en}de TpM tal

que Aei =kiei,i= 1,. . .,n. Temos, por defini¸cão, que a curvatura média H de M é dada por

H= 1

n

i

ki.

Primeiramente, vamos encontrar um limite inferior para a curvatura de Ricci.

Seja a curvatura R de M dada por

R(X,Y)Z =_∇X∇YZ− ∇Y∇XZ− ∇[X,Y]Z.

Então a equa¸cão de Gauss será dada por

R(u,v)w,z =₋R(u,v)w,z₋B(v,z),B(u,w) +B(u,z),B(v,w) ,

com u,v,w,z_∈T M eR o tensor curvatura deSn₁+1.

(14)

R(u,v)w,z

= ₋(u,w v,z₋u,z v,w )_{− −}Av,z N,₋Au,w N +₋Au,z N,₋Av,w N

= ₋u,w v,z +v,w u,z +Au,w Av,z₋Av,w Au,z

= ₋u,w v+v,w u+Au,w Av₋Av,w Au,z (1.1)

que ´e o tensor curvatura deM.

Usando a defini¸c˜ao de tensor de Ricci e o resultado obtido acima, teremos para x,y_∈T M

e _{ei}um referencial ortonormal de T M

Ric(x,y) =

i

R(ei,x)y,ei

=

i

(x,y ei,ei − ei,y x,ei − Ax,y Aei,ei +Aei,y Ax,ei )

= nx,y₋x,y₋Ax,y

i

Aei,ei +

i

ei,Ay Ax,ei

= nx,y₋x,y₋Ax,y trA+Ax,Ay

= (n₋1)x,y₋nHAx,y +A2x,y .

Calculando a curvatura de Ricci de M na dire¸c˜ao de um vetorei de uma base ortonormal{ei}

de TpM obtemos

Ric(ei) = (n−1)ei,ei −nHAei,ei +A2ei,ei

= n₋1₋nHki+k2i

= n₋1 +k2

i −nHki+

n2_H2

4 −

n2_H2

4 = n₋1 + ki−

nH

2

−n

2_H2

4 ≥n−1−

n2H2

4 , ou seja,

Ric(ei)≥n−1 + ki−

nH

2

− n

2_H2

4 ≥n−1−

n2H2

4

Assim, temos que a curvatura de Ricci deM´e limitada inferiormente, uma vez que a mesma

n˜ao depende da base ortonormal escolhida.

Apresentaremos, agora, uma demonstra¸c˜ao da f´ormula de Simmons utilizando ferramentas

do cálculo tensorial. Essa fórmula já foi usada em diversos artigos e será fundamental para as demonstra¸cões dos resultados principais deste trabalho. Vejamos, antes, algumas defini¸cões e

proposi¸c˜oes.

1.1Definic¸˜ao. Sejamf :Mn_→_Qn+1

c uma hipersuperf´ıcie ondeQnc+1 tem curvatura seccional

constante c e A :T M _→T M o tensor de Weingarten. Definimos a derivada covariante de A,

como sendo a aplica¸c˜ao _∇A dada por

∇A:T M_×T M _→ T M

(15)

1.2 Proposição. A aplica¸cão _∇A é bilinear, isto é, para todo X,Y,Z _∈ T M e para todo

f _∈C∞₍_M₎_,

(i) _∇A(X+f Y,Z) =_∇A(X,Z) +f_∇A(Y,Z)

(ii) _∇A(X,Y +f Z) =_∇A(X,Y) +f_∇A(X,Z).

Prova. (i):

∇A(X+f Y,Z) = _∇X+f YAZ −A(∇X+f YZ)

= _∇XAZ+f∇YAZ−A∇XZ−f A∇YZ

= _∇A(X,Z) +f_∇A(Y,Z)

(ii):

∇A(X,Y +f Z) = _∇XA(Y +f Z)−A(∇X(Y +f Z))

= _∇XAY +∇Xf AZ −A(∇XY)−A(∇Xf Z)

= _∇A(X,Y) +f_∇XAZ+X(f)AZ−Af∇XZ−AX(f)Z

= _∇A(X,Y) +f_∇XAZ−A(f∇XZ)

= _∇A(X,Y) +f_{∇XAZ−A(∇XZ)}

= _∇A(X,Y) +f_∇A(X,Z)

1.3 Proposição. A aplica¸cão _∇A é simétrica, isto é, _∇A(X,Y) = _∇A(Y,X), para todo

X,Y _∈T M.

Prova. Como Qn+1

c tem curvatura seccional constante e f tem codimens˜ao 1, a equa¸c˜ao

de Codazzi def se reduz a

∇X(AY)− ∇Y(AX) =A([X,Y]) =A(∇XY)−A(∇YX) ,

Logo

∇X(AY)−A∇XY =∇YAX−A∇YX,

provando assim a proposi¸c˜ao.

1.4 Definição. A segunda derivada covariante deA é definida como sendo a aplica¸cão

∇2_A_:_{T M}_×_{T M} _×_{T M} _→ _{T M}

∇2A(X,Y,Z) = _∇X(∇A(Y,Z))− ∇A(∇XY,Z)− ∇A(Y,∇XZ)

1.5Proposição. A aplica¸cão_∇2Asatisfaz_∇2A(X,Y,Z) =_∇2A(X,Z,Y), para todoX,Y,Z _∈ T M.

(16)

Prova. Segue da proposi¸c˜ao 1.3.

1.6 Proposição. A aplica¸cão _∇2A satisfaz _∇2A(X,Y,Z) =_∇2A(Y,X,Z) +R(X,Y)(AZ)₋

A(R(X,Y)Z), para todo X,Y,Z _∈T M.

Prova. Temos que

∇2A(X,Y,Z) = _∇X(∇A(Y,Z))− ∇A(∇XY,Z)− ∇A(Y,∇XZ)

= _∇X∇YAZ− ∇XA(∇YZ)− ∇∇XYAZ+A(∇∇XYZ)

−∇YA(∇XZ) +A(∇Y∇XZ)

e

∇2A(Y,X,Z) = _∇Y∇XAZ− ∇YA(∇XZ)− ∇∇YXAZ

+A(_∇∇_YXZ)− ∇XA(∇YZ) +A(∇X∇YZ) .

Assim, usando a f´ormula (1.1) do tensor curvatura deM conclui-se que

∇2A(X,Y,Z)_{− ∇}2A(Y,X,Z) =R(X,Y)(AZ)₋A(R(X,Y)Z)

1.7 Definição. Dado um tensor simétrico ϕ:T M_×T M _→T M, definimos o tra¸co deϕcomo sendo o campo trϕdado por

trϕ=

n

i=1

ϕ(Ei,Ei),

onde _{Ei,. . .,En}´e um referencial ortonormal.

1.8 Observa¸cão. Da teoria da Álgebra Linear, podemos concluir que a defini¸cão anterior

inde-pende do referencial ortonormal escolhido.

1.9 Proposição. Nas condi¸cões anteriores tr(_∇A) = grad(trA).

Prova. Escolha_{E1,. . .,En}referencial principal, isto ´e, A·Ei =λiEi.

(1) grad(trA),Y =Y(trA) =Y

i

AEi,Ei

=

i

∇YAEi,Ei +

i

AEi,∇YEi , para

todo Y _∈T M.

(17)

De fato, _∇Ae , s˜ao sim´etricos e

∇A(X,Y),Z = _∇XAY −A(∇XY) ,Z

= _∇XAY,Z − A(∇XY) ,Z

= XAY,Z₋AY,_∇XZ − ∇XY,AZ

= XY,AZ₋Y,A(_∇XZ) − ∇XY,AZ

= XY,AZ₋Y,A(_∇XZ) − {XY,AZ − Y,∇XAZ }

= Y,_∇XAZ − Y,A(∇XZ)

= Y,_∇A(X,Z)

= _∇A(X,Z),Y .

(3) Como_∇A(X,Y),Z n˜ao muda com as permuta¸c˜oes de X,Y eZ, temos para todoY, que

tr(_∇A),Y =

i

∇A(Ei,Ei),Y

=

i

∇A(Ei,Ei),Y

=

i

∇A(Y,Ei),Ei

=

i

∇YAEi−A(∇YEi) ,Ei

=

i

∇YAEi,Ei −

i

AEi,∇YEi .

(4) Temos ainda que

AEi,∇YEi =λiEi,∇YEi =λiEi,∇YEi =λi·

1

2·YEi,Ei = 0. Logo de (1), (2), (3) e (4) segue que

tr(_∇A) = grad(trA).

1.10 Definic¸˜ao. Seja X_∈T M. Definimos o tensor ΓX como

ΓX :T M×T M → T M

ΓX(Y,Z) = ∇2A(X,Y,Z).

Pela proposi¸cão 1.5 temos que ΓX é simétrico.

1.11 Proposição. Para cada X_∈T M, tr ΓX =n∇XgradH, ondeH é a curvatura média de

f :Mn_→_Qn+1

c .

(18)

Prova. Escolha _{E1,. . .,En} um referencial geod´esico em p ∈ M, isto ´e, um referencial

ortonormal que satisfaz (_∇EiEj) (p) = 0 com i,j = 1,. . .,n. Assim,

tr ΓX =

i

∇2A(X,Ei,Ei)

=

i

∇X(∇A(Ei,Ei))−2

i

∇A(_∇XEi,Ei)

= _∇X

i

∇A(Ei,Ei)

−2

i

∇A(_∇XEi,Ei)

= _∇X(tr∇A)−2

i

∇A(_∇XEi,Ei)

= _∇X(grad(trA))−2

i

∇A(_∇XEi,Ei)

= n_∇X(gradH)−2

i

∇A(_∇XEi,Ei) .

Vamos mostrar, agora, que_∇A(_∇XEi,Ei) = 0 emp.

Se X =

j

xjEj, temos

∇A(_∇XEi,Ei) = ∇A

∇

j

xjEjEi,Ei

= _∇A

j

xj∇EjEi,Ei

=

j

xj∇A

∇EjEi,Ei

.

Como_∇A´e um tensor, temos que_∇A

∇EjEi,Ei

(p) depende apenas dos valores de_∇EjEi e de

Eiemp. Como

∇EjEi

(p) = 0, segue que_∇A

∇EjEi,Ei

(p) = 0 e, portanto,_∇A(_∇XEi,Ei) (p) =

0. Logo, tr ΓX(p) = n(∇XgradH) (p). Como p ´e arbitr´ario, temos o resultado desejado.

1.12 Definição. O Laplaciano de A é o 1-tensor dado por

∆A:T M _→ T M

∆A(X) = tr

(Y,Z)_{→ ∇}2_A₍_Y_,_Z_,_X₎

.

Assim, se _{E1,. . .,En}´e um referencial ortonormal, temos que

∆A(X) =

i

∇2A(Ei,Ei,X)

=

i

∇2A(Ei,X,Ei)

=

i

∇2A(X,Ei,Ei) +R(Ei,X)AEi−AR(Ei,X)Ei

,

paraX _∈T M. Como a curvatura médiaHda imersão é suposta constante, segue da proposi¸cão 1.11 que

i

(19)

Dessa forma, obtemos

∆A(X) =

i

R(Ei,X)AEi−

i

AR(Ei,X)Ei

=

(X,AEi Ei− Ei,AEi X− AX,AEi AEi+AEi,AEi AX)

−A

i

(X,Ei Ei− Ei,Ei X− AX,Ei AEi+AEi,Ei AX)

.

Uma vez queX =

i

X,Ei Ei e

i

AEi,Ei = trA=nH, conclu´ımos que

∆A(X) = AX₋nHX₋A3X+ (trA2)AX₋AX+nAX+A3X₋nHA2X

= nAX₋nHX+ (trA2)AX₋nHA2X, (1.2)

para cadaX _∈T M.

Veremos, agora, alguns conceitos e resultados que são conseqüências imediatas da Álgebra Linear.

1.13 Definic¸˜ao. Seja Mn _{uma variedade riemanniana. Dados} _A_:_{T M} _→ _{T M} _e _B _:_{T M} _→

T M 1-tensores em M, definimos o produto interno de 1-tensores como sendo a aplica¸c˜ao

A,B :M _→ R

A,B (p) =A(p),B(p) = tr (A(p)_·B(p)∗_{) ,}

onde B(p)∗ _{denota o operador adjunto de} _B₍_p₎_.

Por simplicidade , escreveremos

A,B = tr (A_·B∗) .

1.14 Definição. Sejam C : T M_×T M _→ T M e D : T M _×T M _→ T M 2-tensores em M. Definimos o produto interno desses 2-tensores como sendo a aplica¸cão

C,D :M _→ R

C,D (p) =C(p),D(p) =

i,j

C(p)(ei,ej),D(p)(ei,ej) ,

onde _{e1,. . .,en}´e base ortonormal de TpM.

´

E fácil verificar que o produto interno acima está bem definido, ou seja, independe da base ortonormal escolhida. As normas de 1-tensores e 2-tensores são as normas provenientes do

produto interno que denotaremos sempre por _| , _|. Para simplificar a nota¸cão, não faremos distin¸cão dos s´ımbolos de laplaciano de tensor e de laplaciano de fun¸cões reais.

1.15 Proposição. Sejam A:T M _→T M eB :T M _→T M 1-tensores em M. Então,

∆A,B =∆A,B +A, ∆B + 2_∇A,_∇B ,

em que _∇A ´e a derivada covariante de A.

(20)

Prova. Seja_{E1,. . .,En} um referencial geod´esico em p∈M. Temos que

A,B = tr (B∗_·A) =

j

(B∗A)(Ej),Ej =

j

AEj,BEj

Assim,

∆A,B (p) =

i

(EiEiA,B ) (p) =

i

EiEi

j

AEj,BEj

(p)

=

i,j

EiEiAEj,BEj (p)

=

i,j

Ei(∇EiAEj,BEj +AEj,∇EiBEj ) (p)

=

i,j

{∇Ei∇EiAEj,BEj +∇EiAEj,∇EiBEj

+_∇EiAEj,∇EiBEj +AEj,∇Ei∇EiBEj }(p)

=

i,j

∇Ei∇EiAEj,BEj (p) +

i,j

AEj,∇Ei∇EiBEj (p)

+2

i,j

∇EiAEj,∇EiBEj (p)

Vamos mostrar, nesta última expressão, que a primeira parcela é igual a∆A,B , a segunda, a A, ∆B e a terceira a 2_∇A,_∇B .

Temos que

∆A,B =

j

∆A(Ej),BEj

=

j

i

∇2A(Ei,Ei,Ej),BEj

=

i,j

∇Ei∇A(Ei,Ej)− ∇A(∇EiEi,Ej)− ∇A(Ei,∇EiEj) ,BEj .

Como_∇EiEi e ∇EiEj se anulam emp (referencial geod´esico), conclu´ımos que

∆A,B (p) =

i,j

∇Ei∇A(Ei,Ej),BEj (p).

Mas,

∇Ei∇A(Ei,Ej) =∇Ei(∇EiAEj −A(∇EiEj)) =∇Ei∇EiAEj− ∇EiA(∇EiEj) .

Usando a equa¸c˜ao de Codazzi, obtemos

∇Ei∇A(Ei,Ej) =∇Ei∇EiAEj−

∇∇_EiEjAEi+A([Ei,∇EiEj])

.

Como o referencial utilizado ´e geod´esico, temos, finalmente, que

(21)

Portanto,

∆A,B (p) =

i,j

∇Ei∇EiAEj,BEj (p).

De modo an´alogo,

A, ∆B (p) =

i,j

AEj,∇Ei∇EiBEj (p).

Agora, vamos calcular _∇A,_∇B . Lembrando a defini¸c˜ao 3.13,

∇A,_∇B =

i,j

∇A(Ei,Ej),∇B(Ei,Ej)

=

i,j

∇EiAEj−A(∇EiEj) ,∇EiBEj−B(∇EiEj)

=

i,j

∇EiAEj,∇EiBEj .

Isto conclui a prova da proposi¸c˜ao.

1.16 Corolário. Se Aé auto-adjunta então 1

2∆

trA2

=_|∇A_|2+A, ∆A .

Prova. Temos que

tr

A2

= tr (AA) = tr (AA∗_{) =}_A_,_A _.

Portanto,

1 2∆

trA2

= 1

2∆A,A

= 1

2(∆A,A +A, ∆A + 2∇A,∇A )

= 1 2

2A, ∆A + 2_|∇A_|2

= _|∇A_|2₊_A_{, ∆}_A _.

A partir da equa¸c˜ao 1.2, obtemos

A, ∆A =

A,nA₋nHId+ (trA2)A₋nHA2

= nA,A₋nHA,Id + trA2_A_,_A₋_nH_A_,_A2

= ntrA2₋_n2_H2₊

trA2

2

−nHtrA3

e pelo Corol´ario 1.16, teremos a f´ormula

1 2∆

trA2

=_|∇A_|2+ntrA2₋n2H2+

trA2

2

−nHtrA3,

conhecida como a F´ormula de Simmons.

Ao invés do tensor de Weingarten A usaremos o tensor simétrico φ=A₋HI , onde H é a curvatura média deM. Dessa forma, teremos que trφ= 0. Além disso, a base _{ei} também

diagonaliza φ, com autovalores µi =ki−H e

|φ_|2 =

i

µ2_i = 1 2n

i,j

(ki−kj)2.

(22)

De fato,

i,j

(ki−kj)2 =

i,j

((ki−H)−(kj −H))2

=

i,j

(ki−H)2−2

i,j

(ki−H)(kj−H) +

i,j

(kj −H)2

= n_|φ_|2₋₂_·_{0 +}_n_|_φ_|2 _{= 2}_n_|_φ_|2

Desta forma, _|φ_|2 _≡0 se, e somente se,Mn ´e totalmente umb´ılica. Portanto, a f´ormula de Simmons com o tensorφ se escreve

1 2∆

trφ2

=_|∇φ_|2+

trφ2

2

−nHtrφ3+n

1₋H2

(23)

Cap´ıtulo 2

O Modelo do Hiperbol´

oide

n

_-dimensional

_H

n

−

1 r

2

para o Espa¸

co

Hiperb´

olico

Neste cap´ıtulo descreveremos o Espa¸co Hiperb´olico Hn−1

r2

que ´e uma hipersuperf´ıcie do

Espa¸co de Lorentz Ln+1, ou seja, o espa¸co Rn+1 munido da m´etrica pseudo-riemanniana, a qual definiremos a seguir.

SejaQ:Rn+1_→Ra forma quadr´aticaQ(x0,. . .,xn) =−x20+x21+. . .+x2n eLn+1 o espa¸co

Rn+1 com a m´etrica pseudo-riemanniana induzida porQ, a qual denotaremos por (_·,_·). Ent˜ao, teremos:

(u,v) = 1

2{Q(u+v)−Q(u)−Q(v)}. (2.1)

Esta métrica pseudo-riemanniana é chamada métrica de Lorentz. Convém observar que paran= 3 ela aparece na teoria de relatividade.

Seja Hn−1

r2

= _{x = (x0,. . .,xn); (x,x) = −r2,x0 > 0 er > 0}. Observe que,

geometrica-mente Q(x) = ₋r2 ´e um hiperbol´oide de duas folhas e Hn−1

r2

´e a folha contida no semi-espa¸co

x0 >0. Claramente, Hn−1

r2

´e uma hipersuperf´ıcie de Ln+1, pois, ´e uma componente conexa da imagem inversa de₋r2 _por _Q_.

2.1 Proposição. Segundo a métrica de Lorentz, o vetor η= x

r ´e ortogonal ao espa¸co tangente TxHn−1

r2

, para todox_∈Hn−1

r2

.

Prova. Seja v _∈ TxHn−1

r2

. Ent˜ao v = α′_{(0), onde} _α _{´e uma curva regular em} _Hn −1

r2

com

α(0) =x. Assim,α(t) = (x0(t),. . .,xn(t)), comx0(t)>0. Logo,

(24)

Segue que,₋2x0(t)x′0(t)+2x1(t)x′1(t)+. . .+2xn(t)xn′(t) = 0. Parat= 0, temos que (α(0),α′(0)) =

0, ou seja, (x,v) = 0. Assimx_⊥v e portanto η_⊥v.

2.2 Proposic¸˜ao. (η,η) =₋1. Prova. (η,η) =

x r, x r = 1

r2(x,x) =

1

r2(−r 2_{) =}

−1.

2.3 Proposição. β =_{b0,. . .,bn}, com b0 =η, (bi,bj) = δij para i,j = 1,. . . n e (bi,b0) = 0, para i = 1,. . . n, é uma base de Ln+1. Além disso, a métrica induzida por Ln+1 em Hn−1

r2

´e

riemanniana.

Prova. Para ver queβ ´e uma base deLn+1, basta observar queLn+1 = [η]_⊕TxHn−1

r2

, com

[η]_⊥TxHn−1

r2

.

Para a segunda parte usamos o fato de que o ´ındice de uma forma quadrática independe da base escolhida. Escolhendo a base canônica _{e0,. . .,en}de Ln+1, vemos que o ´ındice deQé

igual a 1. Logo, como Q(η) = (η,η) =₋1 <0, temos que Q(bi)>0, ∀ i= 1,. . .,n. Portanto,

Q_|TxHn₋1

r2

´e positiva definida. Assim, a m´etrica induzida por Ln+1 em Hn−1

r2

´e riemanniana.

2.4Proposic¸˜ao. A segunda forma fundamental deHn−1

r2

֒_→Ln+1 ´e dada porSη =−

1

rId. Al´em

disso, a curvatura seccional de Hn−1

r2

´e constante e igual a K=₋1

r2.

Prova. Sejam x_∈Hn−1

r2

,_{b1,. . .,bn} uma base deTxHn−1

r2

e η = x

r ∈(TpM)

⊥_.

Considere-mos o campoN normal aHn−1

r2

dado porN(p) = p

r. ComoN(x) =η e (N,N)p =−1 para todo p_∈Hn−1

r2

temos que

(Sη(bi),bj) =

−(_∇biN)

T_,_b j

=

−∇biN,bj

.

Calculemos

∇vN

(x), para um vetor qualquerv_∈TxHn−1

r2

.

De

N(p) = 1

r ·

n

i=0

piei = n

i=0

1

rpi

ei,

temos que as coordenadas deN(p) na base canˆonica_{e0,. . .,en}deLn+1s˜ao dadas porNi(p) =

1

r ·pi.

Sejav_∈TxHn−1

r2

. Ent˜ao

v =α′(0) = (α′₀(0),. . .,α′_n(0)) = (v0,. . .,vn)

e α(0) =x, ondeα(t) = (α0(t),. . .,αn(t)). Portanto

v(Nk)(x) =

d

dt(Nk◦α)(t)|t=0= d

dtNk(α(t))|t=0 = d dt

1

r ·αk(t)

t=0

= 1

r ·α

′

(25)

Usando a express˜ao da conex˜ao e lembrando que Γk

ij(Ln+1) = Γkij(Rn+1) = 0 teremos:

∇vN

(x) =

k

v(Nk)(x) +

i,j

viNj(x)Γkij(x)

ek = n k=0

v(Nk)(x)ek

= 1

r

n

k=0

α′_k(0)ek

= 1

r

n

k=0

vkek

= 1

rv.

Segue, portanto, que

Sη(bi) =−∇biN =−

1

rbi ⇒Sη =−

1

rId.

Da´ı, B(X,Y) =₋(B(X,Y),η)η =₋(SηX,Y)η= 1

r(X,Y)η = η

r(X,Y).

Finalmente, usando a f´ormula de Gauss e tomando_{X,Y_}ortonormal,

K(X,Y)₋K¯(X,Y) = (B(X,X),B(Y,Y))₋(B(X,Y),B(X,Y)).

Como Γk

ij(Ln+1) = Γkij(Rn+1) = 0, temos que ¯K(X,Y) = 0. Logo,

K(X,Y) =₋1

r2(X,X)(Y,Y)−

1

r2(X,Y) 2 ₌

−_r1₂.

Para o que se segue denotaremos O1(n+ 1) =_{T ´e linear ;T preserva a m´etrica _}e ˜Hn−1

r2

=

{x= (x0,. . .,xn); (x,x) =−r2,x0<0 er >0}. 2.5 Lema. Seja T _∈ O1(n+ 1). Se para p _∈ Hn−1

r2

temos T(p) _∈ Hn−1

r2

(resp. H˜n−1

r2

), ent˜ao

T(x)_∈Hn−1

r2

(resp. H˜n−1

r2

), para todo x_∈Hn−1

r2

.

Prova. Se T _∈ O1(n+ 1) e x _∈ Hn−1

r2

, ent˜ao (T x,T x) = (x,x) = ₋r2. Dessa forma,

T x_∈Hn−1

r2

ou T x_∈H˜n−1

r2

.

Seja p _∈ Hn−1

r2

tal que T(p) _∈ Hn−1

r2

. Suponha que _∃ q _∈ Hn−1

r2

, com T(q) _∈/ Hn−1

r2

, isto ´e,

T(q) _∈ H˜n−1

r2

. Seja, ainda, α uma curva em Hn−1

r2

que liga p a q. Ent˜ao, T _◦α ´e uma curva em

Q−1₍₋_r2_{) ligando}_T₍_p_{) a} _T₍_q_).

Sendo α(t) = (x0(t),. . .,xn(t)), x0>0 temos que T◦α(t) = (y0(t),. . .,yn(t)) ´e cont´ınua.

Como T(p)_∈Hn−1

r2

, isto ´e,T(α(0))_∈Hn−1

r2

ent˜ao y0(0)>0 e uma vez queT(q)∈H˜n−1

r2

(i.e.,

T(α(1))_∈H˜n−1

r2

) teremosy0(1)<0. Pela continuidade dey0,∃ t′∈(0, 1) tal quey(t′) = 0 o que

implicaria emT_◦α(t′₎_∈_/_Q−1₍₋_r2_{), uma contradi¸c˜ao, pois, (}_T₍_α₍_t′_)),_T₍_α₍_t′_{))) = (}_α₍_t′_),_α₍_t′_{)) =}

−r2_.

(26)

2.6 Proposição. Se T _∈O1(n+ 1) edet(T)>0, então T Hn−1

r2

=Hn−1

r2

.

Prova. Seja x = (r, 0,. . ., 0) _∈ Hn−1

r2

e _{b1,. . .,bn} base de TxHn−1

r2

. Considere, ainda,

e0 =

x

r = (1, 0,. . ., 0). ComoT preserva a m´etrica, temos que {T(e0),T(e1),. . .,T(en)}´e base

ortonormal de Ln+1 e sendo Q uma forma quadr´atica de ´ındice 1, teremos T(e0) paralelo a

e0. Logo, T(e0) = ±e0. Como det(T) > 0, T e0 = e0. Pelo lema anterior T

Hn−1

r2

= Hn−1

r2

.

2.7 Proposic¸˜ao. Hn−1

r2

´e completa.

Antes de apresentarmos a prova da Proposi¸c˜ao 2.7 veremos o conceito de variedade

ho-mogênea e, em seguida, mostraremos que toda variedade hoho-mogênea é completa.

Dizemos que uma variedade riemanniana M ´e homogˆenea se dados p,q _∈ M existe uma isometria deM que leva pem q.

2.8 Lema. Toda variedade homogˆenea ´e completa.

Prova do Lema 2.8. Se, por absurdo, M n˜ao ´e completa, existem p _∈ M e uma

geodésica normalizadaγ : [0,t0]→M comγ(0) =p que não se estende além det0. Sejamε >0

suficientemente pequeno tal que q = γ(t0 −ε/2) e Bε(p) e Bε(q) s˜ao bolas normais em p e q,

respectivamente. Sejamϕ:M _→ M uma isometria com ϕ(p) = q e v _∈TpM, |v|= 1, tal que

dϕpv =γ′(t0−ε/2). Como γ ´e normalizada, ´e claro que |v|=|dϕpv|=|γ′(t0−ε/2)|= 1. Por

outro lado, considere a geod´esica α: [0,ε)_→M dada por α(t) = exp_p(tv). Temos ent˜ao que (ϕ_◦α)(0) =ϕ(p) =q=γ(t0−ε/2)

e

(ϕ_◦α)′(0) =dϕpα′(0) =dϕpv=γ′(t0−ε/2) .

Conclui-se que ϕ_◦α´e uma geod´esica que parte deq =γ(t0−ε/2) com velocidadeγ′(t0−ε/2)

na bola normal Bε(q). Por unicidade, ϕ◦α=γ|[t0−ε/2,t0], o que significa que podemos estender

γ na bola normalBε(q) e, portanto, al´em de t0. Contradi¸c˜ao.

Prova da Proposi¸c˜ao 2.7. Dados p,q _∈ Hn−1

r2

e bases ortonormais _{vi} ⊂ T pHn−1

r2

e

{wi} ∈ T qHn−1

r2

, i = 1,. . .,n, vamos mostrar que a restri¸c˜ao a Hn−1

r2

da transforma¸c˜ao linear

T : Ln+1 _→ Ln+1 tal que T

p r

= q

r e T(vi) = wi, i = 1,. . .,n ´e isometria de H

n −1 r2 . Como p r, p r = q r, q r

=₋1, (vi,vj) = (wi,wj) =δij e (p,vi) = (q,wi) = 0, ent˜ao ´e claro que existe

uma transforma¸c˜ao linearT :Ln+1 _→Ln+1que preserva a m´etrica. Comop,q _∈Hn−1

r2 eT p r = q

r ⇔T(p) =q∈H

n −1

r2

. Ent˜ao, pelo lema 2.5, T

Hn−1

r2

=Hn−1

r2

. Segue que,T_|Hn

−1

r2

´e isometria de

Hn−1

r2

. Portanto, Hn−1

r2

é homogênea. Desta forma, conclu´ımos, pelo lema 2.8, que ela é completa.

(27)

Cap´ıtulo 3

O Produto

H

k

₋

₁

r

2

×

S

n

−

k

(

√

1 +

r

2

₎

Neste cap´ıtulo, definiremos o cilindro hiperbólico que é uma hipersuperf´ıcie do espa¸co de De Sitter Sn₁+1. Calcularemos as suas curvaturas principais, a curvatura média e a segunda forma fundamental. Faremos, inicialmente, algumas considera¸cões sobre variedade produto e sobre produto de imersões. Sejam M,N,M e N variedades tais queN é riemanniana. Suponha que

M é uma variedade diferenciável com uma métrica pseudo-riemanniana (_·,_·) induzida por uma forma quadrática Q. Sejam as imersões isométricas f :M _→ M e g :N _→ N, onde a métrica

induzida porf emM ´e riemanniana e Q(η,η)<0,_∀η_∈χ(M)⊥_{, (ou seja, o ´ındice de}_Q_{´e igual}

a codimensão def). Considerando emM _×N e em M _×N as métricas produtos, teremos que a imersão

f_×g:M_×N _→M_×N

também é isométrica.

Denotemos por _∇M,_∇N e _∇N as conex˜oes riemannianas de M,N e N, respectivamente, e por _∇M _{a conex˜ao pseudo-riemmaniana de}_M_{. Assim a conex˜}_{ao riemanniana de}_M _×_N _{e a}

conex˜ao pseudo-riemmaniana de M_×N s˜ao tais que

∇M×N

X Y =∇MXMYM +∇

N XNYN

e

∇MU×NV =∇MU_MVM+∇NU_NVN.

Sendo X = (XM,XN) e Y = (YM,YN) campos de vetores tangentes a M ×N, U =

(UM,UN) e V = (VM,VN) campos de vetores tangentes a M ×N,XM,YM ∈χ(M),XN,YN ∈

χ(N),U_M,V_M _∈χ(M) eU_N,V_N _∈χ(N).

SejamBf eBgas segundas formas fundamentais def eg, respectivamente. Paraη ∈χ(M)⊥

e µ _∈ χ(N)⊥_{, consideremos os operadores de forma} _Af

η : T M → T M e Agµ : T N → T N,

associados aBf eBg, respectivamente. Para ue vtangentes a M ew,z tangentes aN, temos:

(28)

A segunda forma da imers˜ao produtof_×g, denotada por Bf×g, ´e dada por

Bf×g(X,Y) = (Bf(XM,YM),Bg(XN,YN)) .

Seja N = (η,µ) em M _×N normal a M_×N, com η em M normal a M,µ em N normal

a N, (η,η) +_|µ_|2 = ₋1 e (η,η) = ₋ρ2,ρ > 0. Vamos encontrar o operador de forma Af_N×g

associado af _×g. Sabemos que

Af_N×gX,Y =A_Nf×g(XM,XN), (YM,YN)

=B_f_×_g((XM,XN), (YM,YN)),N

= (Bf(XM,YM),Bg(XN,YN)), (η,µ)

=Bf(XM,YM),η +Bg(XN,YN),µ

=ρ_·Afη ρ

XM,YM +|µ|Agµ

|µ|XN,YN

= ρAfη ρ

XM +|µ|Agµ

|µ|

XN,Y .

Dessa forma, para a imersão produtof _×g o operador de forma na dire¸cão normal N é

Af_N×gX = ρAfη ρ

XM +|µ|Agµ

|µ|

XN

=

ρ_·Afη ρ ◦

πM+|µ|Agµ

|µ| ◦

πN

·X, (3.1)

ondeπM é a proje¸cão sobreM e πN é a proje¸cão sobreN.

Vejamos agora o caso em que f e g são as inclusões canônicas Hk−1

r₁2

⊂ Lk+1 e Sn−k₍_r

2) ⊂

Rn−k+1_{, ou seja,}

f :Hk−1

r₁2

֒_→ Lk+1;f(p) =p g:Sn−k₍_r

2) ֒→ Rn−k+1;g(q) =q

Observe que f ´e isometria porque, pelo cap´ıtulo 2, a m´etrica induzida emHk−1

r2

por Lk+1 ´e Riemmaniana.

Consideremos o produto dessas imers˜oes

f _×g:Hk−1

r2₁

×Sn−k(r2)֒→Ln+2.

Sejam p _∈ Hk−1

r2₁

e q _∈ Sn−k(r2), isto ´e, (p,p) = −r21 e |q|2 = r22. Assim, (p,q) ∈ Hk−1

r2₁

×

Sn−k₍_r

2) e ((p,q), (p,q)) = (p,p)+|q|2 =−r21+r22. Se−r12+r22 = 1 er =r1teremosr2 =√1 +r2.

Neste caso os pontos (p,q) de Hk−1

r2 ×

Sn−k(√1 +r2_{) estar˜ao no espa¸co de De Sitter}

Sn₁+1 =_{(p,q)_∈Ln+2; ((p,q), (p,q)) = 1_}. Consideremos, agora, a hipersuperf´ıcie

ϕ=f_×g:Hk−1 2 ×

(29)

Nosso objetivo, a partir de agora, ´e encontrar as curvaturas principais deϕ, que denotaremos

por λ1,. . .,λn. Para as inclus˜oes Hk−1

r2 f

֒_→ Lk+1,Sn−k₍√_{1 +}_r2₎ _֒_→g _Rn−k+1 _e _Sn+1 1

i

֒_→ Ln+2, n´os temos os operadores de forma associados Af_η_˜ = 1

rId, A

g

˜

µ =

1

√

1 +r2Id e A

i

Γ = Id, com

˜

η(p) = −p

r , ˜µ(q) =

−q

√

1 +r2 e Γ(p,q) = (p,q). Observe que Γ(p,q) = (p,q) ´e normal a S

n+1 1

e a Hk−1

r2

×Sn−k(√1 +r2_{). Precisamos de um campo} _N₍_p_,_q_{) = (}_ap_,_bq_{), unit´}_{ario, normal a}

Hk−1

r2 ×

Sn−k(√1 +r2_{) e tangente a} _Sn+1

1 , ou seja, que cumpra as seguintes condi¸c˜oes:

(i) ((ap,bq), (p,q)) = 0, isto ´e,a(p,p) +b_|q_|2 = 0;

(ii)a2(p,p) +b2_|q_|2=₋1.

De (i), temos ₋ar2+b(1 +r2) = 0, o que implica b=

!

r2

1 +r2

"

a.

De (ii), temos ₋a2r2+b2(1 +r2) =₋1, isto ´e,₋a2+b2

!

1 +r2 r2

"

= −1

r2 . Assim,

a2 = 1 +r

2

r2 .

Portanto, podemos escolher

a=₋

√

1 +r2

r

e

b=₋_√ r 1 +r2.

Logo, o vetor normal ´e dado por

N(p,q) =

!

− √

1 +r2

r ·p,− r

√

1 +r2 ·q

"

.

Considerando os valores deη =₋

√

1 +r2

r ·p e o deµ=− r

√

1 +r2 ·q, obtemos

# #

(η,η) = 1 +r

2

r2 (p,p) =

1 +r2

r2 ·(−r

2_{) =}₋_{(1 +}_r2_{) =}₋_ρ2

|µ_| = √ r

1 +r2 · 1 +r 2₌_r_.

Aplicando-se em 3.1 os dois ´ultimos resultados, temos

AN = 1 +r2·Af−p r ◦

πM +r·Ag_√−q

1+r2

◦πN

Assim, # #

AN(XM, 0) =

√

1 +r2_·_Af

−p r

XM =

√

1 +r2

r XM AN(0,XN) = r·Ag −q

√

1+r2

XN =

r

√

1 +r2XN

(30)

Tomando-se uma base ortonormal de vetores _{(e1, 0),. . ., (ek, 0), (0,hk+1),. . ., (0,hn)}, em que

{ei}diagonalizaAfη˜ e{hi}diagonalizaAgµ˜ e considerando que senh (t) =re cosh (t) =

√

1 +r2_,

temos que as curvaturas principais do produtoHk−1

r2

×Sn−k(√1 +r2_{) s˜ao}

λ1=. . .=λk=

√

1 +r2

r = coth(t)

e

λk+1=. . .=λn= √ r

1 +r2 = tght.

Portanto a curvatura m´ediaH de ϕ´e dada por

H= 1

n

$

k_·

√

1 +r2

r + (n−k)· r

√

1 +r2

%

= k+nr

2

nr√1 +r2.

Escreveremos _|A_|2 _{em fun¸c˜ao da tgh (}_t_{) e da coth(}_t_{). Multiplicando-se ambos os membros da}

igualdade

n_·H =k_·

√

1 +r2

r + (n−k)· r

√

1 +r2

por coth(t), obtemos a equa¸c˜ao

kcoth2(t)₋nHcoth(t) +n₋k= 0,

cujas ra´ızes s˜ao

coth(t) = nH± n

2_H2₋₄_k₍_n₋_k₎

2k ,

desde quen2_H2₋₄_k₍_n₋_k₎_>_0.

Portanto,

S = _|A_|2 =

n

1

λ2_i =k_·coth2(t) + (n₋k)_· tgh2(t)

= (n₋k) 4k

2

(nH _± n2_H2₋₄_k₍_n₋_k₎₎2 +k·

(nH_± n2_H2₋₄_k₍_n₋_k₎₎2

4k2 .

Utilizando o operadorφ=A₋HI e os resultados anteriores, temos que

|φ_|2 =_|A_|2₋nH2= k(n−k)

n (coth(t)− tgh (t))

2_.

Substituindo-se tgh (t) = nH−kcotht

n₋k na express˜ao anterior, obtemos

|φ_|2 =_|A_|2₋nH2= k(n−k)

n coth(t)−

nH₋kcotht n₋k

2

= k

n(n₋k)[n(coth(t)−H)]

2_.

Uma vez que coth(t) = nH ± n

2_H2₋₄_k₍_n₋_k₎

2k , teremos que

|φ_|2 ₌ k

n(n₋k)

& 'n

nH_± n2_H2₋₄_k₍_n₋_k₎

2k −H

( )

2

= n

4k(n₋k)

*

(n₋2k)H_± n2_H2₋₄_k₍_n₋_k₎

+

2

(31)

Logo,

|φ_|2 ₌

√

n

2√k√n₋k

, ,

,(n−2k)H± n

2_H2₋₄_k₍_n₋_k₎

, , ,.

Quandok= 1,

|φ_|2 ₌

√

n

2√n₋1

, ,

,(n−2)H± n

2_H2₋₄₍_n₋₁₎

, , ,

e a hipersuperf´ıcieH1−1

r2

×Sn−1(√1 +r2_{) ´e denominada} _{Cilindro Hiperb´}_olico_.

(32)

Cap´ıtulo 4

As Hipersuperf´ıcies Rotacionais

Neste cap´ıtulo, descreveremos uma fam´ılia de hipersuperf´ıcies completas em Sn₁+1 com cur-vatura m´edia constante H _≥ 2

√

n₋1

n e sup|φ|

2 ₌ _B_{, para cada} _B _∈

max

0,B_H−

,B_H+

conforme o teorema 1.3. Tais hipersuperf´ıcies s˜ao chamadas de rotacionais e faremos, a seguir, uma breve discuss˜ao das mesmas baseando-se no artigo de M. do Carmo e M. Dajczer [5].

Sabemos que uma transforma¸cão ortogonal em Ln+2 é uma aplica¸cão linear que preserva a métrica. Estas transforma¸cões ortogonais induzem todas as isometrias deSn₁+1.

SejaPkum subespa¸co vetorial de dimensãokdoLn+2. Pké dito lorentziano (resp. rieman-niano, degenerado) se a restri¸cão da métrica aPké uma métrica lorentziana (resp. riemanniana, degenerada). Denotaremos por O(Pk_{) o conjunto das transforma¸cões ortogonais de} _Ln+2 _com

determinante positivo que deixamPk fixado.

4.1 Definic¸˜ao. Escolha P2, P3 tais que P2 _⊂ P3 e C uma curva regular tipo espa¸co em

Sn₁+1_∩(P3₋_P2₎_{. A ´}_{orbita de}_C_sob_O₍_P2₎_{é chamada a hipersuperf´ıcie rotacional esférica (resp.} hiperbólica, parabólica)M emSn₁+1 gerada porC, quandoP2é Lorentziano (resp. Riemanniano, degenerado).

Neste trabalho, precisaremos apenas do caso esférico. Pela métrica de Lorentz em Ln+2, a base canônica e0,. . .,en,en+1 satisfaz

ei,ej =ǫiδij,

ondeǫ0 =−1 e, do contr´ario,ǫi = 1. TomeP2 o plano gerado pore0 ee1 e P3 gerado pore0,e1

e e2. Seja (y0(s),y1(s),y(s)) a parametriza¸c˜ao pelo comprimento de arco da curvaC. A partir

dessas escolhas, podemos tomar uma parametriza¸c˜ao de uma hipersuperf´ıcie rotacional M por

f(s,u1,. . .,un−1) = (y0(s),y1(s),y(s)Φ(u1,. . .,un−1)) ,

de acordo com M. do Carmo e M. Dajczer [5]. Aqui Φ(u1,. . .,un−1) = (Φ1,. . ., Φn) ´e uma

(33)

vez que a curvaCpertence aSn₁+1e o parˆametrosrepresenta o seu comprimento do arco teremos

−y₀2(s) +y₁2(s) +y2(s) = 1

e

−y′2

0(s) +y′12(s) +y′2(s) = 1

e, portanto, as fun¸cõesy0(s),y1(s) podem ser calculadas em termos dey(s) através das rela¸cões

y0 = y2−1 coshϕ

e

y1 = y2−1 senhϕ,

paray >1.

Derivando as expressões anteriores com rela¸cão à s, teremos

y′

0=

yy′

y2₋₁ coshϕ+ y

2₋_{1 senh}_ϕϕ′

e

y′₁= yy′

y2₋₁ senhϕ+ y

2₋_{1 cosh}_ϕϕ′

e, portanto,y′2

1 −y0′2 =−

y2_y′2

y2₋₁ + (y

2₋₁₎_ϕ′2_.

Assim, ϕ(s) fica determinada por

1 =₋y′2

0(s) +y1′2(s) +y′2(s) =−

y2_y′2

y2₋₁ + (y

2₋₁₎_ϕ′2₊_y′2 _⇒_ϕ′ ₌ y′2+y2−1

y2₋₁ ,

ou seja,

ϕ(s) =

-s

0

y′2₊_y2₋₁

y2₋₁ ds.

O caso 0 < y < 1 pode ser tratado de forma similar, mas não o usaremos no nosso trabalho. Usamos a parametriza¸cão acima para calcular as curvaturas principais deM as quais são dadas por

ki =

y′2₊_y2₋₁

y

e

kn=

y′′₊_y

y′2₊_y2₋₁,

com i= 1,. . .,n₋1.

Desta forma, temos que a curvatura m´edia de M ´e dada por

nH =

n

i=1

ki = (n−1)

y′2₊_y2₋₁

y +

y′′₊_y

y′2₊_y2₋₁. (4.1)

(34)

4.2 Lema. SendoH constante, uma integral primeira da equa¸c˜ao diferencial de segunda ordem 4.1 ´e dada por

y′2 = 1₋y2+ a

yn−1 +Hy

2

, com a constante. (4.2)

Prova. Pondo v= y′2₊_y2₋_{1 temos}

vv′ =y′(y+y′′)_⇒v′= y′(y+y′′)

v . (4.3)

Da equa¸c˜ao 4.1, conclu´ımos que

y′′₊_y

v =nH −(n−1) v y

e substituindo este resultado na equa¸c˜ao 4.3 obtemos

v′ ₌ y′

y [nyH−(n−1)v] .

Pondo f =v₋Hy, temos que f′ ₌_v′₋_Hy′_{. Como} _H _{´e constante, o resultado acima implica}

que

f′y=v′y₋Hyy′ = (n₋1)y′(yH₋v) =₋(n₋1)f y′.

Assim,

f′

f =−(n−1) y′

y ⇒(lnf)

′ ₌₋₍_n₋_1)(ln_y₎′ _⇒_ln_f ₌₋₍_n₋_1)ln_y_{+ ln}_a_⇒_f ₌ a

yn−1,

ondea´e uma constante. Segue quev2 = (f +Hy)2 =y′2₊_y2₋_{1 o que nos d´}_{a a equa¸c˜ao 4.2.}

Escrevendo a integral primeira como

G(y,y′) =yn−1( y′2₊_y2₋₁₋_Hy_{) =}_a_≥₀

vemos que que as curvas de n´ıvel deGestão associadas às hipersuperf´ıcies rotacionais tipo espa¸co. Para nossas finalidades, é suficiente analisar as curvas de n´ıvel deG contidas no conjunto

(y,y′)/y >0,y′2+y2₋1_≥0,G(y,y′)_≥0

.

Estudaremos a seguir os pontos cr´ıticos deG.

4.3 Lema. Seja H_≥0 e G(y,y′_{) =}_yn−1₍ _y_′2₊_y2₋₁₋_Hy₎_{. Ent˜}_ao: 1. Se 0_≤H < 2

√

n₋1

n , G n˜ao tem pontos cr´ıticos.

2. Se H= 2

√

n₋1

n , G tem apenas um ponto cr´ıtico do tipo degenerado.

3. Se 2

√

n₋1

(35)

4. Se H_≥1, G tem apenas um ponto cr´ıtico.

Prova. Os pontos cr´ıticos de Gao longo dos eixosy′ _e_y _{s˜ao tais que}

∂G

∂y = (n−1)y

n−2

y′2₊_y2₋₁₋_Hy

+yn−1

1 2 ·

2y

y′2₊_y2₋₁ −H

= 0

e

∂G ∂y′ =y

n−1 y′

y′2₊_y2₋₁ = 0.

Da segunda equa¸c˜ao, temos que y′ _{= 0 e substituindo na primeira, temos que os pontos}

cr´ıticos deG satisfazem a equa¸c˜ao

y2₋nHy y2₋_{1 + (}_n₋₁₎₍_y2₋_{1) = 0.}

Fazendo a substitui¸c˜aoy = cosh (r) e dividindo a express˜ao resultante por senh2(r), obtemos

coth2(r)₋nHcoth(r) + (n₋1) = 0.

Resolvendo a equa¸c˜ao para coth(r), temos

coth(r) = nH± n

2_H2₋₄₍_n₋₁₎

2 .

Comoy= cosh (r) = coth(r)

coth2(r)₋1 podemos substituir a expressão para coth(r) nesta última equa¸cão obtendo, finalmente, que

y= nH ± n

2_H2₋₄₍_n₋₁₎

.

nH _± n2_H2₋₄₍_n₋₁₎

2

−4 .

O lema segue, então, diretamente dessa última equa¸cão.

Observe que esses pontos cr´ıticos correspondem exatamente aos cilindros hiperb´olicos.

Tomandoy = cosh (r) vemos, facilmente, que as curvaturas principais desses cilindros s˜ao

ki=

y2₋₁

y =

1 cothr =

2

nH _± n2_H2₋₄₍_n₋₁₎,

parai= 1,. . .,n₋1, e

kn=

y

y2₋₁ = coth(r) =

nH _± n2_H2₋₄₍_n₋₁₎

2 .

Conforme resultados do cap´ıtulo 3, _|φ_|2 ´e dada por

|φ_|2 = n 4(n₋1)

*

(n₋2)H_± n2_H2₋₄₍_n₋₁₎

+

2

.

A natureza dos pontos cr´ıticos pode ser determinada por uma an´alise da Hessiana de G. Um

c´alculo direto, mostra que, seH = 2

√

n₋1

n , o ´unico ponto cr´ıtico de G´e do tipo degenerado.

Um outro cálculo direto, porém mais extenso e uma subseqüente análise da Hessiana mostra, também, que:

(36)

1. Quando 2

√

n₋1

n < H <1, o ponto cr´ıtico com menor coordenada y´e um ponto de sela,

enquanto o outro ´e um centro. A express˜ao paray mostra que o centro tende para infinito

quandoH_→1₋.

2. Se H_≥1, temos apenas um ponto cr´ıtico do tipo sela.

A figura seguinte mostra as curvas de n´ıvel deGparaH _≥ 2

√

n₋1

n com as indica¸c˜oes dos

respectivos pontos cr´ıticos ao longo do eixo y.

No cap´ıtulo seguinte usaremos alguns desses resultados sobre as hipersuperf´ıcies rotacionais

tipo espa¸co para a prova do teorema 1.3.

c

-1 0 1

d

-1 0 1

a

-1 0 1

b

(37)

Cap´ıtulo 5

Demonstra¸

c˜

oes dos Resultados

Tendo visto os conceitos mais importantes necessários às demonstra¸cões dos resultados do nosso trabalho, estamos prontos para desenvolvê-las.

Para a demonstra¸c˜ao do teorema 1.2, usaremos alguns resultados. O primeiro ´e um lema cuja prova se deve a M. Okumura [13] e fornece uma estimativa para trφ3_{, onde}_φ₌_A₋_HI _e

A´e o operador de forma associado `a segunda forma fundamental de M.

5.1 Lema. Sejam µi, i = 1, 2, 3,. . .,n, n´umeros reais tais que

i

µi = 0 e

i

µ2_i = β2 _≥ 0. Ent˜ao,

− n−2

n(n₋1)β

3

≤

i

µ3_i _≤ n−2 n(n₋1)β

3

e a igualdade é válida se, e somente se, (n₋1) dos números µi são iguais a

β

n(n₋1) e

µ1=−

/

n₋1

n β ou (n−1) dos n´umeros µi s˜ao iguais a − β

n(n₋1) eµ1 =

/

n₋1

n β.

Prova. Se β2 _{= 0, n˜}_{ao temos o que provar. Suponha ent˜}_ao _β2 _{= 0. Usaremos o m´etodo}

dos multiplicadores de Lagrange para encontrar os pontos cr´ıticos de g : Rn _→ R dada por

g(µ1,. . .,µn) =

i

µ3_i, submetida `as condi¸c˜oes

i

µi = 0 e

i

µ2_i =β2. Sendo ϕ1(µ1,. . .,µn) =

i

µi= 0 e ϕ2(µ1,. . .,µn) =

i

µ2_i =β2 temos,

∇g= 3α_∇ϕ1+

3 2λ∇ϕ2,

ou seja,

(3µ2₁,. . ., 3µ2_n) = (3α,. . ., 3α) + (3λµ1,. . ., 3λµn) .

Segue que os pontos cr´ıticos de g são dados pelos valores de µi que satisfazem à equa¸cão

quadr´atica