C´
odigos NMDS sob a M´
etrica Poset
Luiz Henrique de Almeida P. Couto, Allan de Oliveira Moura,
Departamento de Matem´atica - Universidade Federal de Vi¸cosa, MG 36570, Vi¸cosa - MG
E-mail: [email protected]
Resumo: Neste trabalho abordaremos alguns resultados da teoria dos C´odigos Corretores de Erros cl´assica e tamb´em dos c´odigos sobre ordens parciais. Um c´odigo corretor de erros ´e, ba-sicamente, um modo organizado de acrescentar algum dado adicional a cada informa¸c˜ao que se queira transmitir ou armazenar e que permita, ao recuperar a informa¸c˜ao, detectar e corrigir os erros no processo de transmiss˜ao da informa¸c˜ao. ´E um resultado conhecido da teoria cl´assica que a eficiˆencia da detec¸c˜ao e corre¸c˜ao est´a intimamente ligada `a distˆancia m´ınima do c´odigo, conforme definida por Hamming. Os c´odigos em que a distˆancia m´ınima ´e a maior poss´ıvel s˜ao denominados C´odigos MDS e foram alvo de muitos estudos na teoria de c´odigos. Nesse trabalho, definimos os c´odigos corretores lineares sobre uma ordem parcial e fazemos um breve estudo da fam´ılia dos c´odigos near-MDS (NMDS) que, embora obtidos pelo enfraquecimento das restri¸c˜oes dos cl´assicos c´odigos MDS, ainda preservam algumas das propriedades destes.
Palavras-chave: C´odigos Corretores, M´etricas Poset, C´odigos NMDS
1
Introdu¸
c˜
ao
A Teoria dos C´odigos Corretores de erros foi fundamentada pelo matem´atico C.E. Shannon, do Laborat´orio Bell, no trabalho “A mathematical theory of communication”, de 1948. A teoria continuou a ser desenvolvida por matem´aticos nas d´ecadas de 50 e 60 mas, com o advento das pesquisas espaciais e a populariza¸c˜ao dos computadores, a partir da d´ecada de 70, a teoria tamb´em come¸cou a interessar aos engenheiros.
Atualmente, a utilidade dos c´odigos corretores apresenta-se sempre que fazemos uso de in-forma¸c˜oes digitalizadas, como assistir programas de televis˜ao, falar ao telefone, navegar pela internet, fazer compras, dentre outras atividades. Um dos objetivos principais da teoria baseia-se na transmiss˜ao e armazenamento de dados de forma eficiente, garantindo a confiabilidade destes. No entanto, ´e um resultado conhecido da teoria cl´assica que a eficiˆencia da detec¸c˜ao e corre¸c˜ao est´a intimamente ligada `a distˆancia m´ınima do c´odigo, conforme definida por Hamming [5]. Com esse objetivo, surge o problema cl´assico da teoria, que consiste em encontrar a distˆancia m´ınima conforme a m´etrica estabelecida por Hamming [8].
C´odigos MDS s˜ao definidos como os c´odigos em que a distˆancia m´ınima ´e a m´axima poss´ıvel. Por´em, o comprimento destes n˜ao pode ser muito grande [2]. Esta restri¸c˜ao levou ao estudo de classes de c´odigos com distˆancias m´ınimas pr´oximas a dos c´odigos MDS e que, por isto, preservam muitas das propriedades estruturais associadas a estes.
Estudos mais avan¸cados possibilitaram uma generaliza¸c˜ao do problema cl´assico por Nieder-reider [9], a partir da defini¸c˜ao de uma nova classe de m´etricas. Essas m´etricas foram, poste-riormente, esquematizadas em um modelo geral baseado em uma m´etrica ponderada por uma ordem parcial. Nesse trabalho, definimos os c´odigos corretores lineares sob a m´etrica ponderada e fazemos um breve estudo da fam´ılia dos c´odigos near-MDS (NMDS), obtidos pelo enfraqueci-mento das restri¸c˜oes dos cl´assicos c´odigos MDS. Vale ressaltar que este trabalho ´e parte de uma disserta¸c˜ao de mestrado, que se encontra em andamento.
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Conceitos e Resultados Preliminares
Sejam A um conjunto finito e n ∈ N. Um c´odigo corretor de erros ´e um subconjunto pr´oprio C ⊂ An. Para nosso estudo, o conjunto finito A ser´a denominado alfabeto e, se |A| = q, o c´odigo C ⊂ An ser´a denominado c´odigo q-´ario. Os elementos de C s˜ao sequˆencias finitas dos s´ımbolos do alfabeto, denominadas palavras do c´odigo e o n´umero de letras de uma palavra ´e denominado comprimento da palavra, e corresponde ao n´umero n. Por fim, A = Fq denotar´a um corpo finito com q elementos.
Dados dois elementos x = x1x2. . . xne y = y1y2. . . ynde um espa¸co An, chama-se distˆancia de Hamming de x a y ao n´umero de coordenadas em que estes elementos diferem, isto ´e, d(x, y) = |{i; xi 6= yi, 1 ≤ i ≤ n}|. Dado um c´odigo C ⊂ An chama-se distˆancia m´ınima de C ao n´umero d = min{d(x, y); x, y ∈ C, x 6= y}. A distˆancia de Hamming acima definida define uma m´etrica [5]. No espa¸co m´etrico Fnq, d, define-se a bola de raio r e centro em x como B(x, r) = {y ∈ Fnq; d(x, y) ≤ r} e o raio de empacotamento de um c´odigo C como o maior n´umero real κ tal que as bolas de raio κ e centro nas palavras do c´odigo s˜ao disjuntas, um c´odigo com distˆancia m´ınima d pode detectar at´e d − 1 erros e corrigir at´e κ =d−12 erros [5].
Em geral, se n˜ao colocarmos uma boa estrutura no c´odigo, sua utilidade ´e um pouco limitada. A estrutura utilizada mais comum ´e a linearidade. Um c´odigo linear ´e um subespa¸co vetorial pr´oprio de Fn
q. Dado x ∈ Fnq, o peso da palavra x ´e o n´umero inteiro ω(x) = |{i; xi 6= 0}| = d(x, 0) e o peso de um c´odigo linear C ´e o inteiro ω(C) = min{ω(x); x ∈ C\{0}}. Seja C ⊂ Fnq um c´odigo linear.
Chamamos de parˆametros do c´odigo C a terna de inteiros (n, k, d), onde k ´e a dimens˜ao de C sob Fq e d ´e a distˆancia m´ınima de C. Seja β = {v1, v2, · · · , vk} uma base ordenada de C e considere a matriz G de ordem k × n dada por
G = v1 .. . vk .
A matriz G ´e chamada matriz geradora do c´odigo C associada `a base β. A matriz geradora G gera uma transforma¸c˜ao linear definida por
T : Fkq → Fnq x 7→ x · G cuja imagem Im(T ) ´e o c´odigo C.
Seja C um c´odigo linear. Definimos o dual de C como C⊥ = {v ∈ Fnq; hv, ui = 0, ∀u ∈ C}. Pode-se provar que se C um (n, k) c´odigo linear ent˜ao: C⊥ ´e um subespa¸co vetorial de Fnq (ou seja, tamb´em ´e um c´odigo), x ∈ C⊥⇔ Gxt= 0 e dim C⊥ = n−k. Ainda sobre os c´odigos duais, se C um (n, k) c´odigo linear com matriz geradora G, ent˜ao uma matriz H de ordem (n − k) × k com coeficientes em Fq e com linhas linearmente independentes ´e uma matriz geradora de C⊥ se, e somente se, G · Ht= 0. com isso, obtemos C⊥⊥= C.
Um outro importante resultado, pelo qual H tamb´em ´e chamada matriz teste de paridade do c´odigo C ´e o seguinte:
Teorema 2.1 [5] Se C um c´odigo linear e se H ´e uma matriz geradora de C⊥, ent˜ao v ∈ C ⇔ Hvt= 0.
Uma caracteriza¸c˜ao para a distˆancia m´ınima, que generalizaremos posteriormente nos diz que:
Teorema 2.2 [5] Se H ´e a matriz teste de paridade de um c´odigo C, ent˜ao o peso de C ´e igual a s se, e somente se, quaisquer s − 1 colunas de H s˜ao linearmente independentes e existem s colunas de H linearmente dependentes.
Como corol´ario dessa caracteriza¸c˜ao, temos a conhecida Cota de Singleton, que afirma que os parˆametros (n, k, d) de um c´odigo satisfazem `a desiguadade d ≤ n − k + 1. Quando a distˆancia m´ınima de um c´odigo atinge a Cota de Singleton, dizemos que este c´odigo ´e MDS.
J´a o conceito de m´etricas ponderadas por ordens parciais (poset metrics, em inglˆes) foi iniciado por Niederreider [9] e, posteriormente, generalizado por Brualdi, Graves e Lawrence [3]. Nos ´ultimos anos, muitos trabalhos tˆem aprofundado o conhecimento sobre esses espa¸cos para alguns casos particulares de conjuntos parcialmente ordenados, tais como as ordens coroa [6, 1], hier´arquico (ordem fraca) [7] e Rosenbloom-Tsfasman [11, 4]. Se X ´e um conjunto, o par ordenado (X, ) ´e denominado conjunto parcialmente ordenado (ou poset) se ´e uma ordem parcial sobre X. Se a b ou b a dizemos que a e b s˜ao compar´aveis. Caso contr´ario, eles s˜ao ditos incompar´aveis. Um poset (X, ) no qual quaisquer dois elementos s˜ao compar´aveis ´e dito totalmente ordenado ou poset linear (ou cadeia). Um poset ´e dito antilinear (ou anticadeia) se quaisquer dois elementos s˜ao incompar´aveis. Se X ´e finito, ent˜ao dizemos que o poset ´e finito e a cardinalidade do conjunto X ´e chamada de comprimento do poset.
Seja −→P = (N, ). Um ideal I ⊂ N alinhado `a esquerda desse poset ´e um subconjunto I ⊂ N tal que j ∈ I e i j ⇒ i ∈ I. O poset dual ←P ´− e o conjunto N com o mesmo conjunto de cadeias de −→P , mas com a ordem invertida, isto ´e, j i em ←P ⇔ i j em− −→P . Escrevemos S ⊂ −→P para nos referirmos ao subconjunto S ⊂ N cujos elementos s˜ao ordenados de acordo com −→P . Para um subconjunto S ⊂−→P denotaremos por hSi = hSi−→
P o menor − →
P -ideal contendo o conjunto S.
O suporte de um elemento x ´e o subconjunto supp(x) ⊂ N formado pelos ´ındices de todas as entradas n˜ao nulas de x. O conjunto hsupp(x)i ⊂ −→P ser´a chamado suporte alinhado `a esquerda de x.
Seja−→P um poset definido em N e sejam x, y, ∈ F|N |q . Definiremos o peso de x com respeiro a −→P ´e ω(x) = |hsupp(x)i|, a distˆancia entre x e y ´e definida como d−→
P(x, y) = ω(x − y) = |hsupp(x − y)i| e um c´odigo C de distˆancia m´ınima d ´e um subconjunto pr´oprio de Fnq tal que para quaisquer vetores distintos x e y de C temos d−→
P(x, y) ≥ d [3]. Se − →
P ´e um poset sobre N , ent˜ao a distˆancia d−→
P(x, y) = ω(x − y) ´e uma m´etrica em F n
q [3]. Um c´odigo linear C ⊂ Fnq com a m´etrica definida pela distˆancia d−→
P ´e denominado c´odigo poset. Uma motiva¸c˜ao para o estudo dessa nova classe de c´odigos ´e que as m´etricas definidas sobre conjuntos parcialmente ordenados generalizam a m´etrica de Hamming:
Observa¸c˜ao 2.3 A m´etrica de Hamming ´e um caso particular de uma m´etrica poset, pois pode ser definida pela ordem parcial −→P que possui apenas uma anticadeia de tamanho n = |N |.
No entanto, o raio de empacotamento de c´odigos poset lineares difere daquele obtido na m´etrica de Hamming cl´assica:
Observa¸c˜ao 2.4 Se C ´e um c´odigo poset linear, constitu´ıdo por uma ´unica cadeia e com distˆancia m´ınima d, ent˜ao o raio de empacotamento de C ´e κ = d − 1.
Em c´odigos ponderados por ordens parciais, tamb´em temos a defini¸c˜ao do dual, definida da mesma forma anterior. No entanto, vale ressaltar que os pesos no dual C⊥s˜ao considerados aqui de acordo com o poset dual ←P .−
Seja D um subespa¸co de Fnq. Definimos supp(D) = [
x∈D
supp(x) e o t-´esimo peso poset generalizado de um (n, k) c´odigo linear C como
dt(C) = min|hsupp(D)i|; D ´e um (n, t) subc´odigo de C ,
conforme visto em [12]. Cabe observar que d1(C) = d, onde d ´e a distˆancia m´ınima de C. O conjunto {dr(C); 1 ≤ r ≤ k)} ´e chamado Hierarquia de
− →
Os seguintes resultados sobre os pesos da hierarquia ser˜ao utilizados fortemente na caracter-iza¸c˜ao dos c´odigos NMDS:
Lema 2.5 [2][Lema da Monotocidade da Hierarquia dos pesos Generalizados] Seja C um (n, k) c´odigo poset linear em Fnq. Ent˜ao
0 < d1(C) < d2(C) < . . . < dk(C) ≤ n.
Lema 2.6 [2][Limitante de Singleton Generalizado] Seja C um (n, k) c´odigo poset linear em Fnq. Ent˜ao
dt(C) ≤ n − dim(C) + t, ∀t ≥ 1.
Teorema 2.7 [2][Dualidade de Wei] Seja C um (n, k) c´odigo poset linear em Fnq e C⊥ o seu c´odigo dual. Considerando a hierarquia de pesos de C
X = {d1(C), d2(C), . . . , dk(C)} e o conjunto
Y = {n + 1 − d1(C⊥), n + 1 − d2(C⊥), . . . , n + 1 − dn−k(C⊥)}, ent˜ao X e Y s˜ao disjuntos e X ∪ Y = {1, 2, . . . , n}.
O seguinte resultado ´e uma generaliza¸c˜ao do Teorema 2.2:
Teorema 2.8 [2] Seja C um (n, k) c´odigo poset linear em Fnq e seja H a matriz teste de paridade de C. Ent˜ao dt(C) = δ se, e somente se
(a) Quaisquer δ − 1 colunas alinhadas `a esquerda de H tˆem posto no m´ınimo δ − t; (b) Existem δ colunas alinhadas `a esquerda de H com posto exatamente δ − t.
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C´
odigos NMDS e caracteriza¸
c˜
oes
Um (n, k, d) c´odigo linear C ´e chamado near-MDS (NMDS) se d(C) = n − k e d2(C) = n − k + 2, isto ´e, o primeiro peso poset generalizado de C ´e uma unidade a menos que o limitante de Singleton e todos os outros pesos atingem o limitante. Nosso objetivo ser´a fornecer caracteriza¸c˜oes alternativas a esta defini¸c˜ao de c´odigos NMDS. A primeira delas nos fornece uma caracteriza¸c˜ao em termos da matriz de paridade do c´odigo:
Teorema 3.1 [2] Seja C ⊂ Fn
q um (n, k, d) c´odigo linear no poset − →
P . C ´e NMDS se e somente se
(a) Quaisquer n − k − 1 colunas alinhadas `a esquerda da matriz de paridade H s˜ao linearmente independentes;
(b) Existem n − k colunas de H alinhadas `a esquerda linearmente dependentes; (c) Quaisquer n − k + 1 colunas de H alinhadas `a esquerda tˆem posto m´aximo.
Al´em disso, um resultado conhecido para c´odigos MDS com a m´etrica poset [8] ainda continua v´alido para c´odigos NMDS sob esta m´etrica:
Lema 3.2 [2] Seja C ⊂ Fnq um (n, k, d) c´odigo linear no poset − →
P . Se C ´e NMDS, seu dual C⊥ tamb´em o ´e.
Este lema nos ajuda em outra caracteriza¸c˜ao dos c´odigos NMDS. Teorema 3.3 [2] Seja C ⊂ Fnq um (n, k, d) c´odigo linear no poset
− →
P . C ´e NMDS se, e somente se, d(C) + d(C⊥) = n.
Por fim, usando os trˆes resultados anteriores, obtemos o seguinte teorema de existˆencia: Corol´ario 3.4 [2] Seja C ⊂ Fnq um (n, k, d) c´odigo linear no poset
− →
P . Se C ´e NMDS ent˜ao existe um c´odigo NMDS com parˆametros (n − 1, k − 1, d).
4
Considera¸
c˜
oes finais
Os ´ultimos teoremas nos fornecem caracteriza¸c˜oes que nos ajudam a entender melhor a es-trutura dos c´odigos NMDS e compar´a-los com os MDS. Como perspectivas futuras, utilizaremos estes resultados para estabelecer mais rela¸c˜oes entre os c´odigos NMDS e MDS, mais precisamente quanto a discrepˆancia MDS.
Referˆ
encias
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