CONSTRUMETAL 2010 CONGRESSO LATINO-AMERICANO DA CONSTRUÇÃO METÁLICA São Paulo Brasil 31 de agosto a 2 de setembro 2010

ANÁLISE DE SEGUNDA ORDEM EM EDIFICIOS MODELADOS TRIDIMENSIONALMENTE: APLICAÇÕES, DIFICULDADES E

RECOMENDAÇÕES.

Fábio A. Nardi1, Ricardo Ficanha2, Zacarias M. Chamberlain Pravia3

RESUMO

As normas mais modernas para análise e dimensionamento de estruturas de aço, dentre elas a ABNT NBR 8800:2008 e até a proposta da AISC 360 prevista para 2010, prescrevem a avaliação da deslocabilidade lateral de edificações, através da análise de segunda ordem. Neste trabalho é apresentado um exemplo com resultados de um modelo de análise que é aplicado a diversos casos de projeto desenvolvidos na METASA, usando um software comercial e mostrando as dificuldades apresentadas, assim como as recomendações para projetos analisados em três dimensões, já que as recomendações encontradas na literatura estão relacionadas a modelos em duas dimensões.

Palavras Chave: Análise estrutural, segunda ordem

INTRODUÇÃO

As normas mais modernas para dimensionamento de estrutura de aço, dentre elas ABNT NBR 8800:2008 e AISC 360 prevista para 2010, prescrevem a avaliação da deslocabilidade horizontal de edificações, através da análise de segunda ordem.

A análise de primeira ordem pressupõe para o cálculo de esforços e deslocamentos, o equilíbrio da estrutura em sua posição inicial indeformada. Ao contrario a análise de segunda ordem estabelece o equilíbrio da estrutura na posição deformada, gerando esforços adicionais devido as forças aplicadas sobre os deslocamentos.

Este trabalho foi desenvolvido com exemplos e aplicações de análise de 2ª ordem em um edifício tridimensional, demonstrando que este efeito é

1

Eng. Mecânico – Setor de Engenharia METASA S/A – fansc85@gmail.com 2

Acadêmico de Eng. Mecânica – Setor de Engenharia METASA S/A – ficanha.ricardo@gmail.com 3

D.Sc., Professor Titular FEAR/UPF – zacarias@upf.br

CONSTRUMETAL 2010 – CONGRESSO LATINO-AMERICANO DA CONSTRUÇÃO METÁLICA São Paulo – Brasil – 31 de agosto a 2 de setembro 2010

apenas perceptível em estruturas com esbeltez elevada e somente aplicável a estruturas principais, pois os modelos de analises contendo elementos secundários apresentam problemas de não convergência numérica devido a alta deslocabilidade local.

ANÁLISE ELÁSTICA DE PRIMEIRA ORDEM

Um corpo elástico é aquele que retorna a configuração original quando cessadas as solicitações que o deformavam, que também está vinculado com a lei de Hook – que é a relação entre as tensões e deformações em cada ponto da estrutura linear. Este tipo de analise, usualmente utilizado no meio profissional é um problema de Elasticidade Linear, e três conjuntos de equações devem ser satisfeitas:

- Equações de Equilíbrio (relacionam as forças internas e as forças externas atuantes);

- Equações de Compatibilidade (relacionam deslocamentos com as deformações);

- Equações Constitutivas (relacionam tensões com deformações).

Estas equações de equilíbrio são formuladas na posição indeformada da estrutura onde as barras estão, também, em sua posição indeformada. O conjunto de equações pode ser considerado como o sistema de equações de equilíbrio da estrutura, expressas em função dos deslocamentos. A solução desse sistema fornece os deslocamentos nodais. De posse destes deslocamentos nodais, obtêm-se as solicitações nos extremos das barras. O conjunto deslocamentos-solicitações é o resultado dessa análise. A figura 1 mostra o princípio analítico da análise de primeira ordem.

ANÁLISE ELÁSTICA DE SEGUNDA ORDEM

Uma estrutura carregada com ações verticais e horizontais se deforma lateralmente devidos as ações horizontais, havendo uma interação entre ações verticais e os deslocamentos gerados pelas ações horizontais, acentuando estes deslocamentos. Essa interação é chamada de efeito de segunda ordem. Na figura 2 este efeito pode ser observado.

Figura 2 - Análise Elástica de segunda ordem - estrutura e barras na posição deformada.

A figura 3 mostra a relação entre carregamento e deslocamento para os diversos tipos de análises que podem ser efetuadas para dimensionamento de estruturas.

A primeira vez que foi proposto um método simplificado de segunda ordem foi em 1977 por LeMesurier, por Kanchanalai em 1979. Usando um enfoque que incorporava os dois principais efeitos que influenciam a estabilidade de pórticos (força axial no elemento {P-d} e o efeito do deslocamento lateral horizontal {P-D}).

Este método hoje é denominado de FOM na norma AISC – First Order Method (usam-se duas análises de primeira ordem), e na norma brasileira, Método da amplificação dos esforços solicitantes (MAES).

O MÉTODO DA AMPLIFICAÇÃO DOS ESFORÇOS SOLICITANTES

Segundo CHEN (1991) [1], o dimensionamento utilizando como critério a análise de segunda ordem pode ser efetuado de diferentes maneiras, dentre elas podem ser citadas o método da amplificação de esforços através dos coeficientes B1 e B2 que são dados por:

lt nt r B M B M M = ₁ + ₂ (1) lt nt r P B P P = + ₂ (2) Onde: nt

M _e P_{nt, são, respectivamente, o momento fletor e a força axial solicitantes de} cálculo, obtidos por análise elástica de primeira ordem, com os nós da estrutura impedidos de se deslocarem horizontalmente.

lt M

e Plt_{, são, respectivamente, o momento fletor e a força axial solicitantes de} cálculo, obtidos por análise elástica de primeira ordem, correspondente apenas ao efeito dos deslocamentos horizontais dos nós da estutura.

1

B _e B_{2 são dados por:}

1 1 1 1 ≥ − = e sd m N N C B (3) Onde: 1 sd

N _{- Força axial de compressão solicitante de cálculo, na barra considerada} obtida em análise de 1ª ordem.

e

N _{- Força axial de flambagem elástica com o comprimento real da barra;} considerando se for o caso as imperfeições do material.

m

C _{- Coeficiente de uniformização de momentos fletores dados por:} 1

= m

C _{Quando houver forças transversais entre as extremidades da barra no} plano de flexão. 2 1 4 , 0 6 , 0 M M C_m = −

Quando não houver forças transversais entre as extremidades da barra no plano de flexão.

2 1

M M

É a relação entre o menor e o maior momento fletor nas extremidades da barra que deve ser tomado positivo quando os momentos provocarem curvatura reversa e negativo quando os momentos provocarem curvatura simples. sd sd h m H N h R B ∑ ∑ ∆ − = 1 1 1 2 (4) Onde: sd N ∑

- Somatório de forças normal de cálculo nos pilares do andar considerado.

sd

H

∑

- Força cortante no andar considerado produzidas pelas forças horizontais de cálculo.

h

∆ _{- Deslocamento relativo entre os níveis superior e inferior de cada andar}

obtido em análise de 1ª ordem. h _{- Altura do pavimento}

m

R

- Coeficiente de ajuste 0,85 para estruturas aporticadas e 1 para os demais casos.

ANÁLISE INCREMENTAL – EFEITO P-D (Cargas Fictícias)

De acordo com o apêndice 7 dos comentários da norma americana AISC 360-05 [3], a análise de estabilidade da estrutura esta baseada na aplicação de cargas nocionais com a utilização do efeito P-delta. Estas cargas nocionais, ou

fictícias, são obtidas das cargas gravitacionais multiplicando-as por um coeficiente que equivale a 0,2%.

Figura 4 - Análise de estabilidade de vigas

(

)

    − = 2 2sec₂ 1 8 u u wL M_MAX Onde EI PL u 4 2 = , 8 2 0 wL M = (1)

(

)

_      _{− −} = 4 ₄ 2 5 2 sec 2 12 384 5 u u u EI wL yMAX Onde EI wL yMAX 384 5 4 = (2)

Figura 5 - Análise de estabilidade de colunas.

      = αα tan HL M_MAX Onde EI PL2 = α , M0 =HL ₍₃₎

(

)

_      − = 3 3tan ₃ 3 α α α EI HL yMAX Onde EI HL y 3 3 0 = (4)

A NBR 8800:2008 [2], orienta que as cargas horizontais sejam de 0,3% das cargas gravitacionais e a aplicação do efeito P-delta. Segundo LOPES (2005) [5], o efeito P-delta consiste em fazer inúmeras iterações atualizando sempre a matriz de rigidez e geométrica em função da carga horizontal e do

deslocamento. Quando não há mais deslocamento relativo dos nós da estrutura, a análise então converge e tem-se então o deslocamento total da estrutura. Se a análise não convergir, significa que a estrutura apresenta rigidez insuficiente, i.e., grandes deslocamentos.

CLASSIFICAÇÃO QUANTO A DESLOCABILIDADE

Segundo a NBR 8800:2008 [2], os resultados da análise de estabilidade podem ser divididos em três classes:

- Baixa deslocabilidade quando 1,1 º 1 º 2 ≤ ∆ ∆ odem ordem

- Média deslocabilidade quando 1,1 1,4 º 1 º 2 ≤ ∆ ∆ ≤ ordem ordem

- Alta deslocabilidade quando 1,4 º 1 º 2 ≥ ∆ ∆ ordem ordem

A análise de estabilidade é o parâmetro para a utilização da análise de segundo ordem como critério de dimensionamento, pois para estruturas que possuam média e alta deslocabilidade é recomendável que se faça a utilização deste artifício para se obter os esforços nos elementos e conseqüentemente o dimensionamento. No caso de estruturas com média deslocabilidade deve, ainda, ser re-analisada a estrutura com uma redução de 20% da rigidez, ou seja, fornecendo como módulo de elasticidade 0,8 de seu valor linear.

NORMAS QUE PRESCREVEM A ANÁLISE DE SEGUNDA ORDEM

A norma AISC 2005 [3] recomendava a análise de segunda ordem, agora a AISC 2010 define como obrigatório a análise de segunda ordem, e permite como alternativa o uso do Método de Amplificação dos esforços solicitantes, em inglês FOM – First Order Method.

A NBR 8800 [2] exige a análise de segunda ordem, e permite o uso do Método de Amplificação dos esforços solicitantes.

ESTUDO DA HASTE ENGASTADA E LIVRE

Figura 6 - Modelo de análise da estabilidade para haste.

Perfil: W150X18 4 939cm I = L=200cm=2000mm H =0,5kN 2 000 . 20 cm kN E= P=250kN Base :Engastada

Deslocabilidade através da equação:

EI HL y 3 3 0 = 939 000 . 20 3 200 5 , 0 3 0 x x x y = y0 =0,070997cm=0,70997mm

(

)

    − = 3 3 ₃ 3 α α α tg EI HL y_máx EI PL2 = α 20.000 939 200 250 2 x x = α 73 , 0 = α

(

)

      ₋ = 3 ₃ 73 , 0 73 , 0 73 , 0 3 939 20000 3 200 5 , 0 tg x x x y_máx y0 =0,090294cm=0,90294mm 90294 , 0 70997 , 0 0 = y ymáx 27 , 1 0 = y ymáx

A Tabela 1 mostra um comparativo entre os resultados oriundos da equação acima em relação ao software comercial de dimensionamento, e também a

influencia do número de elementos de uma barra no efeito P-delta da análise não linear de segunda ordem.

Tabela 1 - Comparativo entre método e software.

Nº Barras Análise de 1ª ordem (Eq.AISC) Análise de 2ª ordem (Eq.AISC) Análise de 1ª ordem (SAP) Análise de 2ª ordem (SAP) 1 0,70997 0,90294 0,7394 0,949 2 0,70997 0,90294 0,7394 0,9489 3 0,70997 0,90294 0,7394 0,9471 4 0,70997 0,90294 0,7394 0,9471 5 0,70997 0,90294 0,7394 0,9471

Figura 7 - Comparativo entre método e software de análise linear e não linear elasticas.

MODELO DE EDÍFICIO DE MULTIPLOS ANDARES

O modelo da figura 8 tem o intuito de mostrar a influência que uma estrutura esbelta tem em uma análise de estabilidade e de segunda ordem. O referido modelo possui dois vão de 15m no sentido longitudinal e um vão de 10m no sentido transversal do edifício. A altura dos seis andares é de 8m sendo que o ultimo patamar possui 12m de altura, totalizando sete plataformas. A estrutura foi analisada em diversas configurações, invertendo os perfis das colunas nas direções de maior e menor inércia e contraventando a estrutura

direção transversal, ou seja, mesma direção de aplicação das cargas horizontais fictícias. O software de análise utilizado foi o SAP 2000 vs.14.1.0.

Figura 8 - Vista Isométrica do modelo.

O carregamento foi inserido apenas nas vigas de 15m, ou seja, nas vigas do sentido longitudinal do edifício em todos os andares com uma carga gravitacional distribuída de 0,2kN/mm. Os perfis das colunas são W610X174 laminados e vigas W200X22.5 laminados. O carregamento horizontal inserido foi de 0,3% da carga gravitacional do andar divido pelo número de nós do andar da fachada de aplicação. Alem das cargas gravitacionais foram inseridas nos nós cargas fictícias laterais que correspondem a 0,3% da carga gravitacional do andar.

Por andar temos:

mm x x mm kN H =0,2 4 15000 H =12000kN 3 003 , 0 12000x H = kN H =12

Para os 5 primeiros andares as cargas nocionais são de 12kN. Para o sexto andar a carga horizontal é a seguinte:

mm x x mm kN H =0,2 2 15000 3 003 , 0 6000x H = H =6kN Para o ultimo andar a carga nocional horizontal é obtida por:

mm x x mm kN H =0,2 2 7500 2 003 , 0 3000x H = H =4,5kN

Figura 9 - Cargas Nocionais.

Os elementos de colunas são formados com três barras para a correta aquisição dos deslocamentos e correto funcionamento do efeito P-delta, como mostrado no modelo de coluna no inicio deste trabalho. O modelo com a geometria mostrada nas figuras acima foi analisado com análise linear elástica e análise não linear, com efeito, P-delta nas diversas configurações estruturais citadas anteriormente. Os deslocamentos obtidos e a relação de estabilidade podem ser visualizados nas tabelas a seguir.

.

Tabela 2 - Edifício de múltiplos andares - Aporticados menor inércia.

Andar ∆1ordem_[mm] ∆2ordem

[mm] ordem ordem 1 2 ∆ ∆ 1 266,30 321,91 1,206 2 736,82 913,99 1,240 3 1194,62 1492,60 1,251 4 1571,10 1958,62 1,246 5 1849,26 2292,46 1,240 6 2033,17 2506,93 1,233 7 2166,01 2657,74 1,227

Tabela 3 - Edifício de múltiplos andares - Contraventado menor inércia.

Andar ∆1ordem_[mm] ∆2ordem

[mm] ordem ordem 1 2 ∆ ∆ 1 6,70 6,73 1,004 2 13,23 13,27 1,003 3 19,11 19,16 1.003 4 24,25 24,32 1,003 5 28,53 28,61 1,003 6 31,89 31,98 1,003 7 35,14 35,24 1,003

Tabela 4 - Edifícios de Multiplos andares - Aporticado maior inércia.

Andar ∆1ordem_[mm] ∆2ordem

[mm] ordem ordem 1 2 ∆ ∆ 1 2,62 2,82 1,076 2 8,73 9,48 1,086 3 16,39 17,90 1,092 4 24,35 26,69 1,096 5 31,86 35,02 1,099 6 38,62 42,54 1,102 7 46,16 50,92 1,103

Tabela 5 - Edificio de multiplos andares - Contraventamento maior inércia.

Andar ∆1ordem_[mm] ∆2ordem

[mm] ordem ordem 1 2 ∆ ∆ 1 5,36 5,38 1,004 2 11,95 11,98 1,003 3 17,78 17,83 1,003 4 22,89 22,94 1,002 5 27,13 27,19 1,002 6 30,49 30,55 1,002 7 45,04 45,12 1,002 COMENTÁRIOS FINAIS

O uso de modelos tridimensionais para a elaboração de projetos, com modelagens mais detalhadas e assemelhadas as estruturas reais, permite projetos de melhor qualidade e na maioria dos casos de menor custo. A NBR 8800 e a AISC 2010 prescrevem o uso de análise direta ou de segunda ordem para avaliar a estrutura e obter os esforços reais da estrutura, usando o valor de k=1 na verificação do dimensionamento. Neste trabalho algumas observações na análise de segunda ordem com um modelo tridimensional foram realizadas, destas análises pode se observar:

É fundamental a disposição das contenções (travamentos) para redução da deslocabilidade lateral, o uso de métodos simplificados com duas análises lineares é viável em qualquer programa de análise de estruturas, porém a análise de segunda ordem precisa de programas específicos, que devem ser usados conhecendo as limitações e aspectos teóricos da análise de segunda ordem.

REFERENCIAS

[1] CHEN, W.F. Design of Beam-Columns ins Steel Frames in the United States. Thin-Walled Structures, 1991.

[2] ABNT NBR8800:2008; Projetos de estruturas de aço e de estrutura mista de aço e concreto de edifícios; Segunda edição 25.08.2008, Válida a partir de 25.09.2008;

[3] AISC ANSI 360:05 – American institute of steel construction, LRFD – Load Resistance Factor Design, – Metric Conversion of the Third Edition 2005;

[4] SOUZA, Alex Sander Clemente de. Análise de Estabilidade de Edifícios de Andares Múltiplos. São Carlos: 2005.

[5] LOPES, Pires Arlindo. Estudos sobre diferentes métodos de análise p-delta: Teoria e Prática na Engenharia Civil, 2005.