Prof. Fernando Carneiro Rio de Janeiro, Outubro de 2015

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GA - Retas e planos na solu¸c˜

ao de problemas

Prof. Fernando Carneiro

Rio de Janeiro, Outubro de 2015

1 Reta concorrente a duas retas dadas

Este tipo de problema se inspira nos problemas do livro de Boulos e Camargo, cap´ıtulo Miscelânea. Sejam duas retas r1 e r2 que não são paralelas. Devemos determinar r3

con-corrente a r1 e a r2. Para determinar uma reta precisamos conhecer um vetor diretor e

um ponto da reta. Existem infinitas retas concorrentes a r1 e a r2, portanto, devemos

de-terminar pelo menos mais uma das informa¸c˜oes que definem uma reta: ou determinamos um ponto por onde ela passa, ou seu vetor diretor.

Exemplo 1.1. Sejam as retas

r1 :

y = x + 1, z = 0 e r2 :

y = −x + 1, z = 1.

Essas retas são reversas, pois obviamente não possuem interse¸cão - os pontos de uma têm terceira coordenada zero e os da outra têm terceira coordenada um - e os respectivos vetores diretores são v1 = (1, 1, 0) e v2 = (1, −1, 0) - não são paralelos, portanto, as retas

n˜ao s˜ao paralelas. Se queremos a reta r3 concorrente a r1 e r2 que passa por A(0, 1, 2),

temos que considerar que r3 deve ser coplanar a r1 e coplanar a r2. Portanto, onde o

plano π que cont´em r1 e r3 cruza r2 teremos a interse¸c˜ao de r2 e r3, e assim teremos mais

um ponto de r3: π : r1 ⊂ π, r3 ⊂ π ⇒ π : r1 ⊂ π, A ∈ π ⇒ π : B(0, 1, 0) + t(1, 1, 0) ∈ π, A(0, 1, 2) ∈ π ⇒ n = ~AB × ~v1 = (0, 0, 1) × (1, 1, 0) = (−1, +1, 0).

Portanto a equa¸c˜ao geral de π ´e

π : −x + y = −0 + 1 = 1. O ponto de interse¸c˜ao entre π e r2 satisfaz

     −x + y = 1, y = −x + 1, z = 1 ⇒ π ∩ r2 = (0, 1, 1) ⇒ (0, 1, 1) ∈ r3.

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1.1 E dado um ponto de r´ 3

Sejam r1 e r2 retas n˜ao paralelas:

r1 : B + t~u1, r2 : C + s~u2.

Procuramos r3 concorrente a r1 e a r2 que passe pelo ponto A. Pelo m´etodo de encontrar

o plano que cont´em r1 e r3 temos

π : r1 ⊂ π, r3 ⊂ π ⇒ π : r1 ⊂ π, A ∈ π ⇒ π : B + t~u1 ∈ π, A ∈ π ⇒ ~n = ~AB × ~u1 Exemplo 1.2. Sejam r1 : y = x − 1, z = 2x + 1, e r2 : x = 2z − 1, y = z + 1,

duas retas. Encontre r3 concorrente a r1 e r2 que passa por A(0, 0, 0). Vamos achar o

plano que cont´em r1 e r3:

π : r1 ⊂ π, r3 ⊂ π ⇒ (0, −1, 1) + x(1, 1, 2) ∈ π, A(0, 0, 0) ∈ π ⇒ ~n = (0, −1, 1) × (1, 1, 2) = (−3, 1, 1) ⇒ π : −3x + y + z = 0. r2∩ r3 = r2∩ π : _{−3x + y + z = 0,} x = 2z − 1, y = z + 1, ⇒ −3(2z − 1) + (z + 1) + z = 0 ⇒ −4z + 4 = 0 ⇒ z = 1, y = 2, x = 1 ⇒ (1, 2, 1) ∈ r3. Logo r3 : (0, 0, 0) + t(1, 2, 1). r3∩ r1 : (x, y, z) = (0, 0, 0) + t(1, 2, 1), y = x − 1, z = 2x + 1, ⇒ 2t = t − 1, t = 2t + 1, ⇒ t = −1 ⇒ r1∩ r3 ´e (−1, −2, −1).

1.2 E dado o vetor diretor de r´ 3

Sejam r1 e r2 retas n˜ao paralelas:

r1 : B + t~u1, r2 : C + s~u2.

Procuramos r3 concorrente a r1 e a r2 que tem vetor diretor ~v. Pelo m´etodo de encontrar

o plano que cont´em r1 e r3 temos

π : r1 ⊂ π, r3 ⊂ π ⇒ π : r1 ⊂ π, ~ v k π ⇒ π : B + t~u1 ∈ π, ~v k π ⇒ ~n = ~v × ~u1

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Exemplo 1.3. Sejam r1 : y = x − 1, z = 2x + 1, e r2 : x = 2z − 1, y = z + 1,

duas retas. Encontre r3 concorrente a r1 e r2 que tem vetor diretor ~v = (1, 1, 1).

π : r1 ⊂ π, r3 ⊂ π ⇒ π : r1 ⊂ π, (1, 1, 1) k π ⇒ π : (0, −1, 1) + x(1, 1, 2) ∈ π, (1, 1, 1) k π ⇒ ~n = (1, 1, 1) × (1, 1, 2) = (1, −1, 0), ⇒ π : x − y = 0 − (−1) = 1. r3∩r2 = π∩r2 :      x − y = 1, x = 2z − 1, y = z + 1, ⇒      y = x − 1, x = 2z − 1, x − 1 = z + 1, ⇒ z+2 = 2z−1 ⇒ z = 3, x = 5, y = 4. ⇒ r3 : (5, 4, 3) + t(1, 1, 1). A interse¸cão entre r1 e r3 é r3∩r1 : y = x − 1, z = 2x + 1, (x, y, z) = (5, 4, 3) + t(1, 1, 1), ⇒ 3+t = 11+2t ⇒ t = −8 ⇒ r3∩r1 é (−3, −4, −5).

2 Proje¸

c˜

oes

2.1 Proje¸c˜ao ortogonal de um ponto em uma reta

Seja A um ponto do espa¸co tridimensional e r : P = B + t~u uma reta. A proje¸cão do ponto A na reta r é o ponto B ∈ r tal que o segmento AB é ortogonal a r - ou a qualquer vetor diretor de r. Portanto,

~

AB · ~u = 0.

Isto quer dizer que qualquer ponto do plano ortogonal a r que passa por A ´e projetado no ponto B. Definimos, portanto

πA:

A ∈ πA,

~ u⊥πA.

Pelo que foi dito acima, a proje¸cão de A em r é a interse¸cão entre πA e r:

P rojrA = r ∩ πA.

Exemplo 2.1. Sejam A(1, 3, 2) e r : (0, 1, −1) + t(1, 1, 1). A proje¸c˜ao de A em r ´e

r∩πA:      r : (0, 1, −1) + t(1, 1, 1), πA: x + y + z = d, A ∈ πA : x + y + z = 6 ⇒          x = t, y = 1 + t, z = −1 + t, x + y + z = 2, ⇒ t+(1+t)+(−1+t) = 6 ⇒ t = 2. ⇒ P rojrA = (2, 3, 1).

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2.2 Proje¸c˜ao ortogonal de um ponto em um plano

Seja A um ponto do espa¸co tridimensional e π : ~OP ·~n = ~OB ·~n um plano. A proje¸cão do ponto A no plano π é o ponto B ∈ π tal que o segmento AB é ortogonal a π. Portanto,

~ AB k ~n.

Isto quer dizer que qualquer ponto do plano ortogonal a r que passa por B ´e projetado no ponto B. Definimos, portanto

rA:

A ∈ rA,

~ u⊥πA.

Pelo que foi dito acima, a proje¸cão de A em π é a interse¸cão entre π e rA:

P rojπA = rA∩ π.

Exemplo 2.2. Sejam A(1, 0, 1) e π : x + y + z = 5. A proje¸c˜ao de A em π ´e

rA∩π : rA : A(1, 0, 1) + t(1, 1, 1), π : x + y + z = 5 ⇒          x = 1 + t, y = t, z = 1 + t, x + y + z = 5, ⇒ (1+t)+t+(1+t) = 5 ⇒ t = 1. ⇒ P rojπA = (2, 1, 2).

2.3 Proje¸c˜ao ortogonal de uma reta em um plano

Sejam r uma reta do espa¸co cujo vetor diretor é ~u e π um plano de vetor normal ~n. Sejam A e B pontos da reta r. A proje¸cão ortogonal da reta r no plano π é a reta que passa por A0 e B0, sendo

A0 = P rojπA; B0 = P rojπB.

Outra maneira de encontrar a reta proje¸cão é verificar que ela é a reta de interse¸cão entre dois planos, π e o plano πr que contém r e tem vetor diretor ~n:

πr: r ⊂ π_r, ~n k πr. ⇒ πr : r ⊂ π_r, ~ n k πr.

⇒ vetor normal ´e ~n × ~u.

Exemplo 2.3. Sejam r : (1, 2, 3) + t(1, −1, 1) e π : x + y + z = 3. A proje¸c˜ao ortogonal de r em π: πr∩ π :      (1, 2, 3) + t(1, −1, 1) ∈ πr, (1, 1, 1) k πr, π : x + y + z = 3. ⇒      (1, 2, 3) ∈ πr, (1, −1, 1) × (1, 1, 1) = (−2, 0, 2)⊥πr, π : x + y + z = 3. ⇒

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     πr : −2x + 2z = d, (1, 2, 3) ∈ πr, π : x + y + z = 3. ⇒ πr : −2x + 2z = 4, π : x + y + z = 3. ⇒ P rojπr : y = 1 − 2x, z = 2 + x,

Observe que (−2, 5, 0) é ponto de π, é ponto da reta r dado pelo parâmetro t = −3 e é ponto de P rojπr. Lembre-se que se a reta fosse paralela ao plano e estivesse fora do

plano ainda assim haveria proje¸cão, mas no caso em que a reta e o plano têm um ponto em comum, este ponto pertence também à reta proje¸cão.

2.4 Proje¸c˜ao de uma reta em um plano a partir de um ponto

Sejam r uma reta do espa¸co cujo vetor diretor é ~u, π um plano de vetor normal ~n e A um ponto do espa¸co. A proje¸cão da reta r no plano π a partir do ponto A é como a sombra da reta no plano se houvesse uma fonte de luz no ponto A; ou seja, se B e C pertencem `

a reta r, ´e a reta que passa por B0 e C0, sendo B0 a interse¸c˜ao da reta rB que passa por

A e B com o plano π e C0 a interse¸c˜ao da reta rC que passa por A e C com o plano π:

rB : A ∈ r_B, B ∈ rB, e rC : A ∈ r_C, C ∈ rC.

Outra maneira de encontrar a reta proje¸cão é verificar que ela é a reta de interse¸cão entre dois planos, π e o plano πr que contém r e o ponto A:

πr:

r ⊂ πr,

A ∈ πr.

⇒ vetor normal ´e ~AB × ~u.

Exemplo 2.4. Sejam A(0, 0, 0), r : (x, y, z) = (1, 1, 1) + t(1, −2, 1), π : x + y + z = 6. Qual ´e a proje¸c˜ao de r em π a partir de A? πr : (1, 1, 1) + t(1, −2, 1) ⊂ π_r, A(0, 0, 0) ∈ πr. ⇒ πr :      (1, 1, 1) ∈ πr, (1, −2, 1) k πr, A(0, 0, 0) ∈ πr.

⇒ vetor normal ´e ~AB × ~u = (1, 1, 1) × (1, −2, 1) = (3, 0, −3) = 3(1, 0, −1) ⇒ πr : x − z = 0 − 0 = 0.

Logo, a interse¸c˜ao entre π e πr s˜ao os pontos que satisfazem:

π ∩ πr :

x + y + z = 6,

x − z = 0, ⇒ π ∩ πr :

y = 6 − 2x, z = x,

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3 Exerc´ıcios

1) Determine a sombra do eixo Oz sobre o plano xOy quando temos uma fonte de luz no ponto A(1, 1, 1).

R: A sombra é a interse¸cão entre o plano xOy e o plano que contém o eixo Oz e o ponto A(1, 1, 1). Este segundo plano tem vetores diretores o vetor diretor do eixo, (0, 0, 1), e

~

OA = (1, 1, 1). O vetor normal, portanto, ´e ~n = (1, −1, 0). Logo, o segundo plano ´e x − y = 1 − 1 = 0

e a reta ´e

r : y = x, z = 0.

2) Determine o ponto que pertence ao plano xOy e é o mais próximo de A(1, 1, 1). Determine também a distância entre A e o plano xOy.

R: Vamos chamar de B o ponto mais pr´oximo e que est´a no plano xOy. Ele pertence `

a reta ortogonal ao plano xOy e que passa por A. A reta contém os pontos A + t(0, 0, 1) pois (0, 0, 1) é ortogonal ao plano xOy. B é a interse¸cão entre a reta e o plano:

B = (1, 1, 1) + t(0, 0, 1), B ∈ xOy ⇒ 1 + t = 0 ⇒ t = −1 ⇒ B(1, 1, 0). A distância entre A e o plano é a distância entre A e B:

| ~AB| = |(0, 0, 1)| =√0 + 0 + 1 = 1.

3) Determine o ponto do eixo Oz que é o mais próximo de A(1, 1, 1). Determine a distância entre A e o eixo Oz.

R: Vamos chamar de B o ponto mais próximo e que está no eixo Oz. Ele está no plano ortogonal ao eixo Oz e que passa por A, logo esse plano tem vetor normal ~n = (0, 0, 1):

π : z = d, A ∈ π ⇒ d = 1. Logo, B est´a na interse¸c˜ao entre π e o eixo Oz:

B(0, 0, t) ∈ π ⇒ t = 1 ⇒ B(0, 0, 1). A distância entre A e o eixo Oz é a distância entre A e B: | ~AB| = |(1, 1, 0)| = √1 + 1 + 0 =√2. 4) Determine a proje¸cão ortogonal do eixo Oz sobre o plano

π : x + y + z = 0.

R: A interse¸cão entre o eixo e o plano é a origem, portanto precisamos achar a proje¸cão de um segundo ponto do eixo sobre o plano π já que a proje¸cão ortogonal da reta é a reta

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que passa pelas proje¸cões dos pontos. Seja B(0, 0, 1), que pertence ao eixo; a proje¸cão de B sobre π é a interse¸cão entre

r : B + t(1, 1, 1) e π : x + y + z = 0 ⇒ 1 + t = 0 ⇒ t = −1. Logo, essa interse¸c˜ao ´e o ponto

C = projπB = (1, 1, 0).

Logo o vetor diretor da proje¸c˜ao ´e ~

OC = (1, 1, 0), e a equa¸cão parámetrica é

proj :      x = t, y = t, z = 0.

5) Sejam os pontos A(1, 2, 3), B(3, 2, 1), C(2, 3, 3) e D(3, 2, 4). Determine a proje¸c˜ao ortogonal da reta que passa por A e D sobre o plano π que cont´em A, B e C.

R: O plano que cont’em A, B e C ´e o plano:

π : 0 =   (x − 1) (y − 2) (z − 3) 2 0 −2 1 1 0  = 2(x − 1) − 2(y − 2) + 2(z − 3) ⇒ x − y + z = 2.

Logo, o vetor normal de π ´e ~n = (1, −1, 1).

A proje¸cão ortogonal de r : A + t ~AD = (1, 2, 3) + t(2, 0, 1) em π é passa por A e pela proje¸cão de D em π:

projπD :

_{x − y + z = 2,}

(x, y, z) = (3, 2, 4) + s(1, −1, 1) ⇒ (3+s)−(2−s)+(4+s) = 2 ⇒ s = −1 ⇒ (2, 3, 3). Logo, a proje¸c˜ao passa por A(1, 2, 3) e por (2, 3, 3):

projπr : (1, 2, 3) + t0(1, 1, 0).

6) Sejam os pontos A(1, 2, 1) e B(−1, 1, 2) e o plano π : x + y + z = 0. Determine a proje¸c˜ao do segmento AB sobre o plano π.

R: A proje¸cão do segmento é o segmento dado pelas proje¸cões de A e B em π, i.e., se A0 = projπA e B0 = projπB, então a proje¸cão de AB é o segmento A0B0.

projπA :

(x, y, z) = (1, 2, 1) + t(1, 1, 1),

x + y + z = 0, ⇒ (1 + t) + (2 + t) + (1 + t) = 0 ⇒ t = − 4 3

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⇒ A0 _{= proj} πA = (− 1 3, 2 3, − 1 3). projπB : (x, y, z) = (−1, 1, 2) + s(1, 1, 1), x + y + z = 0, ⇒ (−1 + s) + (1 + s) + (2 + s) = 0 ⇒ s = − 2 3 ⇒ B0 = projπB = (− 5 3, 1 3, 4 3).

Logo, a proje¸c˜ao ´e o segmento que tem extremos A0(−1₃,2₃, −₃1) e B0(−5₃,1₃,4₃). 7) Sejam as retas r1 : eixo Oz e r2 : (1, 0, 1) + t(1, −1, 1). Determine o plano π que

contém r2 e é paralelo a r1. Determine a proje¸cão ortogonal de r1 em π. Determine a

distˆancia entre r1 e r2.

R: Os vetores diretores de r1 e r2 s˜ao vetores diretores de π, logo o vetor normal de π

pode ser calculado fazendo o produto vetorial entre os dois vetores diretores:

~ n =   i j k 0 0 1 1 −1 1  = −i − j = (−1, −1, 0) = −1(1, 1, 0). Logo, o plano ´e π : x + y = d. A reta r2 est´a contida em π:

x + y = 1 + 0 = 1, pois (1, 0, 1) ∈ π.

A proje¸cão ortogonal de r1 em π é a interse¸cão entre o plano π1 e π, sendo o vetor

normal de π1 o produto vetorial entre o vetor diretor de r1, ~u = (0, 0, 1) e o vetor normal

de π, ~n = (1, 1, 0): ~n1 =   i j k 0 0 1 1 1 0  = i − j = (1, −1, 0). Logo, a equa¸c˜ao de π1 ´e π1 : x − y = 0,

pois a origem pertence a π1, j´a que r1 est´a contida em π1 e a origem pertence a r1.

projπr1 : x − y = 0, x + y = 1, ⇒ r1 : _{y = x,} 2x = 1, ⇒ r1 :      x = 1 2, y = 1 2.

Ou seja, a proje¸c˜ao de r1 em π ´e a reta dos pontos cujas duas primeiras coordenadas

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A interse¸cão entre a proje¸cão de r1 em π e a reta r2 é o ponto de r2 cujas duas

primeiras coordenadas s˜ao iguais a 1₂, ou seja, t = −1₂ e o ponto ´e C(1₂,1₂,1₂).

A distância entre r1 e r2 é a distância entre C e r1, que é a distância entre C e sua

proje¸c˜ao em r1, projr1C: projr1C : r1∩ πC : (0, 0, z) ∩ z = 1 2 : C 0 (0, 0,1 2). d(C, C0) = | ~CC0_{| = |(}1 2, 1 2, 0)| = r 1 4 + 1 4 = √ 2 2 .

8) Sejam as retas r1 : (−1, −1, 3) + s(2, 1, −1) e r2 : (1, 0, 1) + t(1, −1, 1). Determine

r3 concorrente a r1 e r2 que passa pelo ponto A(1, 0, 3).

R: O plano π que cont´em r1 e r3 ´e:

π : r1 ⊂ π, r3 ⊂ π ⇒ (−1, −1, 3) + s(2, 1, −1) ∈ π, A(1, 0, 3) ∈ π ⇒ ~n =   i j k 2 1 0 2 1 −1  = (−1, 2, 0) ⇒ π : −x + 2y = −1 + 2 · 0 = −1.

O outro ponto de r3, além de A(1, 0, 3), é a interse¸cão entre π e r2:

π∩r2 :

_{−x + 2y = −1,}

(x, y, z) = (1, 0, 1) + t(1, −1, 1), ⇒ −(1+t)+2(−t) = −1 ⇒ t = 0 ⇒ (1, 0, 1) ∈ r3. Portanto, os pontos de r3 s˜ao dados pela equa¸c˜ao

r3 : (1, 0, 3) + t0(0, 0, 1).

9) Sejam as retas r1 : (−1, −1, 3) + s(2, 1, −1) e r2 : (1, 0, 1) + t(1, −1, 1). Determine

r3 concorrente a r1 e r2 que tem vetor diretor ~h = (1, 1, 0).

R: O plano π que cont´em r1 e r3 ´e:

π : r1 ⊂ π, r3 ⊂ π ⇒ (−1, −1, 3) + s(2, 1, −1) ∈ π, (1, 1, 0) k π ⇒ ~n =   i j k 1 1 0 2 1 −1  = (−1, 1, −1) ⇒ π : −x + y − z = −(−1) + (−1) − 3 = −3. Um outro ponto de r3 ´e a interse¸c˜ao entre π e r2:

π∩r2 : _{−x + y − z = −3,} (x, y, z) = (1, 0, 1) + t(1, −1, 1), ⇒ −(1+t)+(−t)−(1+t) = −3 ⇒ 3t = 1 ⇒ ( 4 3, − 1 3, 4 3) ∈ r3.

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Portanto, os pontos de r3 s˜ao dados pela equa¸c˜ao r3 : ( 4 3, − 1 3, 4 3) + t 0 (1, 1, 0).