O Quark e o Computador

(1)

O

Quark

e o

Computador

(2)

Quarks no Computador

(3)

Quarks no Computador

Estudo da

Física de Partículas Elementares

Estranhas propriedades dos

quarks

(4)

Quarks no Computador

Estudo da

Física de Partículas Elementares

Estranhas propriedades dos

quarks

(5)

Quarks no Computador

Estudo da

Física de Partículas Elementares

Estranhas propriedades dos

quarks

QCD

na rede

(6)

Quarks no Computador

Estudo da

Física de Partículas Elementares

Estranhas propriedades dos

quarks

QCD

na rede

Simulações numéricas

(7)

Fatos notáveis (= FOFOCAS) sobre a vida íntima das

partículas

Modelo Padrão

(reune TQC das forças eletrofraca e

forte) explica

apenas

5% da matéria/energia no

(8)

Fatos notáveis (= FOFOCAS) sobre a vida íntima das

partículas

Modelo Padrão

(reune TQC das forças eletrofraca e

forte) explica

apenas

5% da matéria/energia no

universo (!)

Bóson de Higgs

explica apenas 1–2% da massa do

(9)

Fatos notáveis (= FOFOCAS) sobre a vida íntima das

partículas

Modelo Padrão

(reune TQC das forças eletrofraca e

forte) explica

apenas

5% da matéria/energia no

universo (!)

Bóson de Higgs

explica apenas 1–2% da massa do

próton

(= nossa massa) (!)

(10)

Fatos notáveis (= FOFOCAS) sobre a vida íntima das

partículas

Modelo Padrão

(reune TQC das forças eletrofraca e

forte) explica

apenas

5% da matéria/energia no

universo (!)

Bóson de Higgs

explica apenas 1–2% da massa do

próton

(= nossa massa) (!)

Hadróns

(Prótons, píons, etc.) não são elementares (!)

Força forte, descrita pela

cromodinâmica quântica (QCD)

impõe que só haja

ESTADOS LIGADOS

(=hádrons) pela

(11)

(12)

Estados

Ligados

Partícula em movimento (periódico)

limitado a uma região do

espaço

: 1)

oscilador harmônico simples

2) dois corpos que se

atraem mas

não colidem

, pois

um orbita o outro

_{⇒ satélite,}

(13)

Estados

Ligados

Partícula em movimento (periódico)

limitado a uma região do

espaço

: 1)

oscilador harmônico simples

2) dois corpos que se

atraem mas

não colidem

, pois

um orbita o outro

_{⇒ satélite,}

(14)

Quão Ligados?

Quão Importantes?

Ligação não é em geral indissolúvel,

eterna

(15)

Quão Ligados?

Quão Importantes?

Ligação não é em geral indissolúvel,

eterna

e.g. positrônio (vive < 1µs)

Aumento de

energia

altera movimento

(e.g.

absorção de fóton

)

Pode romper ligação, se for maior do

que

Energia de Ligação

(16)

Quão Ligados?

Quão Importantes?

Ligação não é em geral indissolúvel,

eterna

e.g. positrônio (vive < 1µs)

Aumento de

energia

altera movimento

(e.g.

absorção de fóton

)

Pode romper ligação, se for maior do

que

Energia de Ligação

Não são facilmente estudados experimentalmente, mas

recebem

grande atenção

na

física teórica

(17)

Quão Ligados?

Quão Importantes?

Ligação não é em geral indissolúvel,

eterna

e.g. positrônio (vive < 1µs)

Aumento de

energia

altera movimento

(e.g.

absorção de fóton

)

Pode romper ligação, se for maior do

que

Energia de Ligação

(18)

Interesse (I)

Regularidade,

Simetria

, analogia entre movimento planetário e

átomo (força

gravitacional

versus força

elétrica

)

(19)

Interesse (I)

Regularidade,

Simetria

, analogia entre movimento planetário e

átomo (força

gravitacional

versus força

elétrica

)

(20)

Interesse (I)

Regularidade,

Simetria

, analogia entre movimento planetário e

átomo (força

gravitacional

versus força

elétrica

)

Força gravitacional tem

intensidade

muito menor

(21)

Interesse (I)

Regularidade,

Simetria

, analogia entre movimento planetário e

átomo (força

gravitacional

versus força

elétrica

)

Força gravitacional tem

intensidade

muito menor

Mas

: age sobre corpos

neutros

(Força elétrica também, mas de

forma secundária,

residual

)

(22)

Interesse (I)

Regularidade,

Simetria

, analogia entre movimento planetário e

átomo (força

gravitacional

versus força

elétrica

)

Força gravitacional tem

intensidade

muito menor

Mas

: age sobre corpos

neutros

(Força elétrica também, mas de

forma secundária,

residual

)

Possibilidade de investigar

força fundamental

indiretamente,

através da

classificação

de estados físicos possíveis

(23)

Interesse (II)

Aspectos Quânticos

: átomo pertence ao mundo microscópico,

quântico, características muito diferentes, não há trajetória no

sentido clássico (não é o “melhor dos mundos”)

(24)

Interesse (II)

Aspectos Quânticos

: átomo pertence ao mundo microscópico,

quântico, características muito diferentes, não há trajetória no

sentido clássico (não é o “melhor dos mundos”)

(25)

Interesse (II)

Aspectos Quânticos

: átomo pertence ao mundo microscópico,

quântico, características muito diferentes, não há trajetória no

sentido clássico (não é o “melhor dos mundos”)

É a

localização espacial

que gera

estados quantizados

(26)

Estado Ligado Bizarro

Note que até

estado ligado nuclear

tem energia de ligação:

massa vs. energia (

aspectos relativísticos

), e é fenomenal!!

(27)

Estado Ligado Bizarro

Note que até

estado ligado nuclear

tem energia de ligação:

massa vs. energia (

aspectos relativísticos

), e é fenomenal!!

Interação (

nuclear forte

) é um

resquício

da força entre

quarks

,

(28)

Estado Ligado Bizarro

Note que até

estado ligado nuclear

tem energia de ligação:

massa vs. energia (

aspectos relativísticos

), e é fenomenal!!

Interação (

nuclear forte

) é um

resquício

da força entre

quarks

,

os

componentes

do próton

PORÉM

massa dos

3 quarks

que o formam

é menos de

2% da massa do próton

(29)

Estado Ligado Bizarro

Note que até

estado ligado nuclear

tem energia de ligação:

massa vs. energia (

aspectos relativísticos

), e é fenomenal!!

Interação (

nuclear forte

) é um

resquício

da força entre

quarks

,

os

componentes

do próton

PORÉM

massa dos

3 quarks

que o formam

é menos de

2% da massa do próton

Como fica a energia de ligação?

Qual o problema do próton!?

(30)

Desconstruindo

o Próton

Nome

Próton

dado por

Rutherford (1920)

(31)

Desconstruindo

o Próton

Nome

Próton

dado por

Rutherford (1920)

estável (90% dos raios cósmicos),

gira

no LHC

(32)

Desconstruindo

o Próton

Nome

Próton

dado por

Rutherford (1920)

estável (90% dos raios cósmicos),

gira

no LHC

1. Não é partícula elementar

, mas é

indivisível

!

Como?

2. De onde vem a

massa

dele? (i.e., a nossa!!)

(33)

Hádrons

Próton pertence ao conjunto de partículas chamadas

hádrons

(termo é de

1962

), que não são elementares, mas sim

estados

ligados

de quarks, que interagem pela

força forte

; propriedades

dos quarks e dessa interação devem explicar características

peculiares do próton, etc.

Encyclopaedia Britannica: Hadron, any member of a class of

subatomic particles that are built from quarks and thus react through the agency of the strong force.

(34)

(35)

Entendimento Inicial

Força forte entre núcleons proposta por Yukawa (1935) como

potencial blindado_{; alcance (∼ 10}−₁₅m) define massa para partícula

mediadora da interação: m _{∼ 100 MeV (méson)}

V (r) = −g2 e −_m_r r = −g2 (2π)3 Z eik·r 4π k2 ₊ _m2 d 3_k

(36)

Entendimento Inicial

(37)

Entendimento Inicial

Em 1932 eram conhecidas 4 partículas elementares: p, n, e, γ

Até 1947: proposta do neutrino ν, descoberta do pósitron e+_{, proposta}

(38)

Entendimento Inicial

Em 1932 eram conhecidas 4 partículas elementares: p, n, e, γ

Até 1947: proposta do neutrino ν, descoberta do pósitron e+_{, proposta}

e descoberta do méson π (e antes: descoberta do múon µ)

Parecia tudo ok. Até que chegou o káon (dezembro de 1947) e logo depois a partícula Λ, etc. Estranhas, pois demoravam muito a decair

(39)

De Caçadores a Fazendeiros

A partir dos anos 1950:

aceleradores de partículas

, descobertos

muitos novos hádrons, e.g. ressonâncias

∆

++

, ∆

+

, ∆

0

, ∆

−

Novos números quânticos:

estranheza S

, hipercarga Y , isospin

I, além da

carga elétrica Q

e número bariônico B

(40)

De Caçadores a Fazendeiros

A partir dos anos 1950:

aceleradores de partículas

, descobertos

muitos novos hádrons, e.g. ressonâncias

∆

++

, ∆

+

, ∆

0

, ∆

−

Novos números quânticos:

estranheza S

, hipercarga Y , isospin

I, além da

carga elétrica Q

e número bariônico B

∼ 1960: propostas para classificação dos hádrons,

Modelo de

(41)

De Caçadores a Fazendeiros

A partir dos anos 1950:

aceleradores de partículas

, descobertos

muitos novos hádrons, e.g. ressonâncias

∆

++

, ∆

+

, ∆

0

, ∆

−

Novos números quânticos:

estranheza S

, hipercarga Y , isospin

I, além da

carga elétrica Q

e número bariônico B

∼ 1960: propostas para classificação dos hádrons,

Modelo de

Sakata

(“sakatons” = p, n, Λ),

Bootstrap

(“democracia nuclear”)

This was a fantastically exciting time. It was impossible to finish even the simplest calculation without jumping up,

(42)

1961: Eightfold Way (Caminho Óctuplo)

Classificação dos hádrons descrita por simetria baseada na conservação simultânea de S e Q. Padrões correspondiam a

(43)

1961: Eightfold Way (Caminho Óctuplo)

(44)

1961: Eightfold Way (Caminho Óctuplo)

representações, e.g. grupos de oito objetos (octetos), do grupo SU(3)

Yuval Ne’eman & Murray Gell-Mann Aceitação em 1964, com descoberta da partícula Ω−

(45)

O Modelo de Quarks

(Gell-Mann e Zweig, 1964)

Hádrons (mésons e bárions) compostos por 3 quarks (e antiquarks):

(46)

O Modelo de Quarks

(Gell-Mann e Zweig, 1964)

up (u), down (d) e strange (s); têm spin 1/2 e carga fracionária

méson = quark + anti-quark

bárion = três quarks

Quark Carga relativa B I S

u 2/3 1/3 1/2 0

d _−1/3 1/3 1/2 0

(47)

O Modelo de Quarks

(Gell-Mann e Zweig, 1964)

u 2/3 1/3 1/2 0 d _−1/3 1/3 1/2 0 s _−1/3 1/3 0 ₋₁ ⇒ próton = 2u + 1d Q _{= 2 × 2/3 + 1 × (−1/3) =} +1 ⇒ nêutron = 2d + 1u

(48)

O Modelo de Quarks

(Gell-Mann e Zweig, 1964)

u 2/3 1/3 1/2 0 d _−1/3 1/3 1/2 0 s _−1/3 1/3 0 ₋₁ ⇒ próton = 2u + 1d Q _{= 2 × 2/3 + 1 × (−1/3) =} +1 ⇒ nêutron = 2d + 1u Q _{= 2 × (−1/3) + 1 × 2/3 =} 0

(49)

Carga de

C

O

R

(Greenberg, 1964)

Problema: partícula ∆++ formada por 3 quarks u e tem spin 3/2

(50)

Carga de

C

O

R

(Greenberg, 1964)

Configuração _{u ↑ u ↑ u ↑} viola (muito!) Princípio de Pauli

Solução: quark tem novo número quântico, a carga de cor; há 3 cores

(vermelho, verde, azul) e 3 anticores (ciano, magenta, amarelo) Bárions (3 quarks, um de cada cor) e mésons

(quark e antiquark com cor e anticor) são com-binações neutras (cor branca)

(51)

Carga de

C

O

R

(Greenberg, 1964)

Evidência experimental

σ

(

e+e− → q ¯q →

hádrons)

(52)

Carga de

C

O

R

(Greenberg, 1964)

Evidência experimental

R =

σ

(

e

+_e₋ _{→ q ¯}_{q →}

hádrons)

σ(e+_e₋ _{→ µ}+_µ₋₎

é proporcional a

N

cores

P

f

q

f2

(53)

Quarks: Ironias

Gell-Mann retirou o termo quark de um poema: Three quarks for Muster Mark!

Sure he hasn’t got much of a bark

And sure any he has it’s all beside the mark.

(54)

Quarks: Ironias

James Joyce (Finnegan’s Wake, Livro 2, Episódio 4, Pág. 383)

Ganhou o Prêmio Nobel pelo Eightfold Way em 1969, ano seguinte à

observação experimental de subestrutura no próton (SLAC, 1968)

(55)

Quarks: Ironias

(56)

Quarks: Ironias

observação experimental de subestrutura no próton (SLAC, 1968)

Espalhamento inelástico profundo Experimento de Rutherford

(57)

Quarks: Aceitação

Foi somente em 1974, na chamada Revolução de Novembro, que o Modelo de Quarks foi aceito, após descoberta da partícula J/Ψ, estado ligado do quark charm c e seu antiquark (depois: b, t)

(58)

Quarks: Aceitação

Foi somente em 1974, na chamada Revolução de Novembro, que o Modelo de Quarks foi aceito, após descoberta da partícula J/Ψ, estado ligado do quark charm c e seu antiquark (depois: b, t) Por essa época:

1) Proposta a Cromodinâmica Quântica, teoria quântica de campos com simetria de gauge SU(3) baseada na carga de cor, em que

quarks interagem por bósons vetoriais sem massa, chamados glúons

(59)

Quarks: Aceitação

(H. Fritzsch, M. Gell-Mann e H. Leutwyler, 1973)

2) Descoberta a propriedade de liberdade assintótica (interação

enfraquece a altas energias, ou pequenas distâncias) para a QCD (D. Gross, F. Wilczek e D. Politzer, 1973)

(60)

Quarks: Aceitação

(H. Fritzsch, M. Gell-Mann e H. Leutwyler, 1973)

2) Descoberta a propriedade de liberdade assintótica (interação

enfraquece a altas energias, ou pequenas distâncias) para a QCD (D. Gross, F. Wilczek e D. Politzer, 1973)

3) Proposto método para estudo do problema do confinamento na QCD (K. Wilson, 1974)

(61)

QCD versus QED

QCD

(força forte)

QED

(força eletromagnética)

quarks,

glúons

SU (3)

(3 “cores”)

m

_q

,

α

_s

(p)

elétrons,

fótons

U (1)

m

_e

,

_{α ≈ 1/137}

q − ₋ q +

(62)

Teoria Quântica de Campos

Usual

Lagrangiana da

QED

L = ¯

ψ (i γ

µ

D

µ

−

m

) ψ −

1

4 F

µν

F

µν

onde

D

µ

≡ ∂

µ

− i

e

A

µ

,

F

µν

≡ ∂

µ

A

ν

− ∂

ν

A

µ

Cálculo perturbativo (1949):

diagramas

de Feynman

para o espalhamento de

elétrons; é possível

inferir

qual deve ser

a

redefinição

de

m

e

para obter

(63)

Lagrangiana da QCD

A QCD é descrita pela

Lagrangiana

L = −

1

4 F

a µν

F

aµν

+

6

X

f =1

¯

ψ

_f

(i γ

µ

D

_µ

_{− m}

_f

) ψ

_f

F

_µνa

_{≡ ∂}

_µ

A

a_ν

_{− ∂}

_ν

A

_µa

+

g

₀

f

_abc

A

b_µ

A

c_ν

D

_µ

_{≡ ∂}

_µ

_{− i g}

₀

A

a_µ

T

_a

que é

invariante

por

transformações locais

de

gauge

A

Ω_µ

(x) = Ω(x)A

_µ

(x)Ω

−1

_{(x) −}

i

g

₀

[∂

µ

Ω(x)] Ω

−1

_(x)

Ω

(64)

O Problema da QCD

A Lagrangiana da QCD é semelhante à da QED mas além de termos

quadráticos nos campos de glúon e de quarks (propagadores) aparecem termos com três e quatro campos de gauge

L_ψψA¯ = g0 ψ γ¯ µAµ ψ (vértice de quark-quark-glúon)

LAAA = g0 fabc Aµ_a Aν_b ∂µAc_ν (vértice de três glúons)

Vértices com 3 e 4 partículas mediadoras (glúons) estão presentes somente nas teorias de gauge não-abelianas

(65)

O Problema da QCD

A Lagrangiana da QCD é semelhante à da QED mas além de termos

quadráticos nos campos de glúon e de quarks (propagadores) aparecem termos com três e quatro campos de gauge

L_ψψA¯ = g0 ψ γ¯ µAµ ψ (vértice de quark-quark-glúon)

LAAA = g0 fabc Aµ_a Aν_b ∂µAc_ν (vértice de três glúons)

Vértices com 3 e 4 partículas mediadoras (glúons) estão presentes somente nas teorias de gauge não-abelianas

(66)

Como Fazer Cálculos em QCD?

Intensidade da interação α_s aumenta para r grande (p pequeno) e

vice-versa (liberdade assintótica_{) ⇒} teoria de perturbação apresenta problemas no limite de baixas energias

(67)

Como Fazer Cálculos em QCD?

Intensidade da interação α_s aumenta para r grande (p pequeno) e

vice-versa (liberdade assintótica_{) ⇒} teoria de perturbação apresenta problemas no limite de baixas energias

(68)

QCD, Estados Ligados

e Confinamento

(69)

QCD na Rede (I)

Kenneth Geddes Wilson (8 de Junho, 1936 – 15 de Junho, 2013)

(70)

QCD na Rede (II)

Como lembrou Wilson

[...] Unfortunately, I found myself

lacking the detailed

knowledge and skills

required to conduct research

using renormalized non-Abelian gauge theories.

What

was I to do

, especially as I was eager to jump into this

research with as little delay as possible? [...] from my

previous work in statistical mechanics I knew a lot about

working with

lattice theories

...

[...] I decided I might find it easier to work with a

lattice

version of QCD

. . .

(71)

QCD na rede: Ingredientes

1. Quantização por integrais de trajetória

⇒ soma sobre configurações, peso ei S/~

2. Formulação Euclidiana (continuação analítica para tempo imaginário) _⇒ peso e−_S/~

3. Rede (espaço-tempo discreto) equivale a corte ultravioleta, i.e. a grandes momentos 1/a

⇒ regularização da teoria

(72)

QCD na rede: Ingredientes

Rede

_{finita ⇒}

corte

infravermelho

, a momento 1/L

Ação de Wilson

é

invariante de gauge

, escrita para os

elos

de

gauge

U

_x,µ

_{≡ e}

ig0aAbµ(x)Tb

, reduz-se à ação usual para

a

→ 0

(73)

QCD na rede: Ingredientes

Rede

_{finita ⇒}

corte

infravermelho

, a momento 1/L

Ação de Wilson

é

invariante de gauge

, escrita para os

elos

de

gauge

U

_x,µ

_{≡ e}

ig0aAbµ(x)Tb

, reduz-se à ação usual para

a

→ 0

(74)

Confinamento e Lei de área

Considerando a ação de Wilson S = −β 3 X ✷ ReTr U_✷ , U_x,µ _{≡ e}ig0aAb_µ(x)Tb , β = 6/g 02

para β pequeno (i.e. acoplamento forte) podemos fazer expansão análoga à expansão de altas temperaturas em mecânica estatística. Para o percurso retangular de elos de lados R e T (loop de Wilson), que pode ser relacionado ao potencial interquarks para um par

quark-antiquark estático, a contribuição principal ao valor esperado é dada pela lei de área

hW (R, T )i = e−V (R)T ∼ βRT

Temos portanto _{V (R) ∼ σR}, demonstrando confinamento no limite de acoplamento forte (β pequeno)!

(75)

Confinamento e Lei de área

Considerando a ação de Wilson S = −β 3 X ✷ ReTr U_✷ , U_x,µ _{≡ e}ig0aAb_µ(x)Tb , β = 6/g 02

para β pequeno (i.e. acoplamento forte) podemos fazer expansão análoga à expansão de altas temperaturas em mecânica estatística. Para o percurso retangular de elos de lados R e T (loop de Wilson), que pode ser relacionado ao potencial interquarks para um par

quark-antiquark estático, a contribuição principal ao valor esperado é dada pela lei de área

(76)

QCD na Rede Computacional (I)

Essa formulação tinha um

maravilhoso efeito colateral

,

como dito por

Michael Creutz

By

discreetly

making the system

discrete

, it

becomes sufficiently

well defined to be placed

on a computer. This was fairly straightforward, and

came at the same time that computers were

growing rapidly in power. Indeed,

numerical

simulations and computer capabilities have

continued to grow together, making these efforts

the mainstay of lattice gauge theory.

The Early days of lattice gauge theory

,

(77)

QCD na Rede Computacional (II)

Modelo de Mecânica Estatística (clássica) com a função de partição

Z = Z DU e−Sg Z Dψ Dψ e−R d4x ψ(x) K ψ(x) = Z DU e−Sg _{det K(U )}

(78)

QCD na Rede Computacional (II)

Queremos calcular valores esperados hOi = Z DU O(U) P (U) com o peso P (U ) = e −_S_g_{(U )} det K(U ) Z

(79)

QCD na Rede Computacional (II)

⇒ análogo a médias termodinâmicas em Mecânica Estatística Integral complicada, em espaço com muitas dimensões!

(80)

QCD na Rede Computacional (II)

⇒ análogo a médias termodinâmicas em Mecânica Estatística Integral complicada, em espaço com muitas dimensões!

Podemos realizar simulações numéricas de Monte Carlo (como em Mecânica Estatística)

(81)

QCD vira Modelo de Moléculas!

O procedimento acima transforma uma

teoria

quântica de campos

em um

modelo de mecânica

estatística

, que pode ser estudado por

simulação

numérica

com métodos de Monte Carlo.

(82)

(83)

O

que é

a Simulação Computacional?

(84)

O

que é

a Simulação Computacional?

⇒

Experimento Virtual (Teórico!)

(85)

O

que é

a Simulação Computacional?

⇒

Experimento Virtual (Teórico!)

E

para que

serve?

(86)

O

que é

a Simulação Computacional?

⇒

Experimento Virtual (Teórico!)

E

para que

serve?

⇒

Importância para

pesquisa aplicada

(87)

O

que é

a Simulação Computacional?

⇒

Experimento Virtual (Teórico!)

E

para que

serve?

⇒

Importância para

pesquisa aplicada

⇒

Modelagem

de sistemas

(88)

Evolução Temporal (Dinâmica)

É o que

caracteriza

uma simulação.

Sistema

evolui

no tempo, tem

vida própria!

Realizamos

medidas

, analisamos

dados

(89)

Evolução Temporal (Dinâmica)

É o que

caracteriza

uma simulação.

Sistema

evolui

no tempo, tem

vida própria!

Realizamos

medidas

, analisamos

dados

Regra de evolução (dinâmica) pode ser

clássica

ou

mesmo

quântica

. Sistema real, com dinâmica conhecida,

em

condições fictícias

(exemplos: dinâmica molecular,

Gedankenexperiment)

(90)

Evolução Temporal (Dinâmica)

É o que

caracteriza

uma simulação.

Sistema

evolui

no tempo, tem

vida própria!

Realizamos

medidas

, analisamos

dados

Regra de evolução (dinâmica) pode ser

clássica

ou

mesmo

quântica

. Sistema real, com dinâmica conhecida,

em

condições fictícias

(exemplos: dinâmica molecular,

Gedankenexperiment)

Casos em que não há formulação física:

Sistema fictício

(91)

Evolução Temporal (Dinâmica)

É o que

caracteriza

uma simulação.

Sistema

evolui

no tempo, tem

vida própria!

Realizamos

medidas

, analisamos

dados

Regra de evolução (dinâmica) pode ser

clássica

ou

mesmo

quântica

. Sistema real, com dinâmica conhecida,

em

condições fictícias

(exemplos: dinâmica molecular,

Gedankenexperiment)

Casos em que não há formulação física:

Sistema fictício

(92)

Autômato Celular

Células

assumem valores finitos a cada instante de tempo.

Regras

locais

de transição

_⇒

comportamento

emergente

,

solução numérica de equações diferenciais, geração de padrões

visuais interessantes, e.g.

agregação limitada por difusão

(93)

O Jogo da Vida

Autômatos

determinísticos

, com regras simples, ilustram o

comportamento de diversos sistemas físicos (e.g. autômatos

unidimensionais de Wolfram)

⇒ Jogo da Vida

, proposto em 1970 por J. Conway, pode

modelar a dinâmica populacional de formas simples de vida

(e.g. colônias de

bactérias

).

Tabuleiro de células, com as regras:

células com menos de 2 ou mais de 3 vizinhos

morrem

(94)

(95)

Método de Monte Carlo

Sistemas estocásticos são simulados no computador usando

um

gerador de números aleatórios

⇒

tratamento teórico, com aspectos

experimentais:

dados, erros

(96)

Gerador de Números Aleatórios

Anyone who considers arithmetical methods of

producing random digits is, of course, in a state of sin.

John Von Neumann (1951)

gerador

=

prescrição algébrica

que produz sequência de

números r

_i

com distribuição desejada (em geral

uniforme

em [0,1]

) dada uma

semente

.

Nota: esta sequência é

determinística, a operação

repetida a partir do mesmo ponto inicial gera a mesma

sequência ⇒ números

pseudo-aleatórios

.

(97)

Exemplo:

rand()

! inicializacao

iseed = 2011

call srand(iseed)

! numero aleatorio

r = rand()

• semente: número inteiro

• a cada passo um novo inteiro é produzido e usado como

semente para o passo sucessivo

(98)

Área do Círculo de Raio 1

Lançando N pontos aleatórios uniformemente no

quadrado: x ∈ [−1, 1], y ∈ [−1, 1]

0000000000000000000000000000000000 1111111111111111111111111111111111 y −1 −1 1 1 x

.

. .

_.

.

_.

.

. .

razão entre as áreas

A

_◦

A

_✷

=

π

4 =

n

N

n < N é o número de

pontos no círculo

(99)

Integral Unidimensional

Integral

como

soma

de

variáveis aleatórias igualmente

distribuídas

I =

Z

1 0

f (x) dx

_→

P

i

f (x

i

)

N

com x

_i

uniformemente distribuídos em [0,1].

Na verdade, para

N finito

I ≡

P

i

f (x

i

)

N

é uma

variável aleatória

, que converge para seu valor médio I

com erro proporcional a

1/

√

N

(teorema central do limite).

(100)

Métodos Determinísticos

f(x)

x x + h

Regra do trapezóide

: estima a área

compreendida entre x e x+h como a

área do trapezóide definido pela

apro-ximação linear da função entre estes

dois pontos.

Z

x+h x

f (x

′

) dx

′

=

h

2 [f (x) + f (x + h)] + O(h

3

_f

′′

₎

erro para integral em [a, b] é O(h

2

_{) ∼}

_N

−2

Regra de Simpson

_{: aproximação de 3 pontos para f(x) ⇒}

(101)

Comparação

d = 1:

métodos determinísticos

tipicamente têm erros

O(N

−2

)

(regra do trapézio) ou

_{∼ O(N}

−4

)

(regra de

Simpson);

Monte Carlo

_{tem O(N}

−1/2

_{): com}

_2N

pontos

o erro diminui por um

fator 4

(trapezóide),

16 (Simpson) ou

√

2 (Monte Carlo)

d > 1:

para integral d-dimensional N ∼ 1/h

d

_{⇒ erro}

_N

−2/d

(102)

O Problema da Mecânica Estatística

Mecânica Estatística

: probabilidade de uma configuração

S

para

um sistema em equilíbrio à temperatura

T

é dada (no

ensemble

canônico

) em termos de sua

hamiltoniana

_H(

S

) pela

distribuição

de Boltzmann

P (

S

) =

e

−βH(S)

Z

;

Z

=

Z

d

S

e

−βH(S)

;

β

= 1/K

T

Média termodinâmica do observável A dada por

< A > =

Z

d

S

A(

S

) P (

S

)

e.g. energia: E = < H(

S

) >

(103)

Estimativa

Tipicamente, em mecânica estatística o

número de

dimensões

(i.e. número de

graus de liberdade) é

_{d ∼ 10}

3

(e.g. modelo de Ising em 3d com 10 pontos por direção)

⇒ tempo para somar 2

1000

termos em computador de 1

Tflops:

(104)

Estimativa

Tipicamente, em mecânica estatística o

número de

dimensões

(i.e. número de

graus de liberdade) é

_{d ∼ 10}

3

(e.g. modelo de Ising em 3d com 10 pontos por direção)

⇒ tempo para somar 2

1000

termos em computador de 1

Tflops:

(105)

Estimativa

Tipicamente, em mecânica estatística o

número de

dimensões

(i.e. número de

graus de liberdade) é

_{d ∼ 10}

3

(e.g. modelo de Ising em 3d com 10 pontos por direção)

⇒ tempo para somar 2

1000

termos em computador de 1

Tflops:

t = 10

288

s = 10

270

_×

idade do universo

(106)

Amostragem da Distribuição de Boltzmann

Mesmo com bons métodos e amostragem por importância,

para uma distribuição conjunta de muitos graus de

liberdade como a distribuição de Boltzmann

< A > =

Z

A(x) w(x) dx ,

w(x) =

e

−βH(x)

Z

não há esperança de amostragem direta!

Solução: Monte Carlo dinâmico.

Inventamos

uma evolução

temporal de modo que as configurações geradas sejam

dis-tribuídas de acordo com

w(x)

. Isto pode ser feito para uma

(107)

Método de Metropolis

based on proposing and accepting/rejecting a step x → y

accept _{if w(y)/w(x) ≥ 1}

otherwise accept with probability w(y)/w(x)

the probability of acceptance is Axy = min {1, w(y)/w(x}. Then

consider the transition matrix pxy = Txy Axy (with general Txy = Tyx)

Exercise: show that the above choice satisfies detailed balance

For the Boltzmann distribution this means w(x) = e −_βE(x) Z ⇒ w(y) w(x) = e −_β∆E

; _{∆E ≡ E(y) − E(x)}

(108)

Monte Carlo Method:

Summary

Integral becomes sum of random variables Z f (x) dµ , dµ = e −_βH(x) Z dx ⇒ 1 N N X i=1 f (x_i) where x_i have statistical distribution µ

• Static Monte Carlo: independent sampling (error ∼ 1/√N)

• Dynamic Monte Carlo: Simulation of a Markov chain with

equilibrium distribution µ (error ∼ pτ/N). Autocorrelation time τ

related to critical slowing-down. Note: similar to experimental methods, but temporal dynamics was artificially introduced

Errors: either consider only effectively independent samples (via

temporal correlation analysis) and error is given by standard deviation,

jack-knife, bootstrap or consider all samples and error is estimated taking correlations into account: binning method, self-consistent

(109)

Referências

A Guide to Monte Carlo Simulations in

Statistical Physics,

Landau & Binder

(Cambridge, 2000)

Monte Carlo Methods in Statistical

Physics,

Newman & Barkema

(Oxford, 1999)

Monte Carlo Methods in Statistical Mechanics: Foundations

and New Algorithms,

Sokal

(1996),

(110)

Exemplo: o Modelo de Ising

S_i S_j

-J +J

S_i S_j

_spins

_{de dois estados, que preferem ficar}

alinhados

H(

S

_{) = −J}

X

<i,j>

S

_i

S

_j

_{− H}

X

i

S

_i

Observáveis de interesse

• Energy: E = < H(

S

) >

• Specific Heat: C

V

= ∂E/∂T

• Magnetization: M = < P

i

S

i

>

(111)

Aplicações do Método de Monte Carlo

Mecânica Estatística: descrição de

sistemas de muitos

corpos

_{(≈ 10}

23

corpos...) utilizando grandezas médias

⇒

comportamento

macroscópico

(termodinâmica) a

partir da descrição

microscópica

de sistemas como

fluidos/gases, modelos de

materiais magnéticos

,

sistemas biológicos; tratamento de

fenômenos críticos

,

sistemas complexos.

Matéria Condensada: descrição aproximada de

sistemas quânticos, polímeros, fluidos complexos,

(112)

Cromodinâmica Quântica (QCD)

: teoria quântica de

campos que descreve a

força nuclear

como interação

forte entre

quarks

e

glúons

; Formulação de

Rede

_⇔

(113)

Simulações de QCD na rede

Consideremos una partícula de massa m = m

_rede

/a.

No limite do

_{contínuo ( a → 0)}

_{=⇒ m}

_rede

_{→ 0.}

No mesmo limite o

comprimento de correlação

ξ

_rede

= 1/m

_rede

_{→ ∞.}

O limite do contínuo corresponde ao ponto crítico da teoria

de rede.

M ´etodos de Monte Carlo

:

simulações sem quarks (

quenched

(114)

Estados Ligados de Quarks via QCD na Rede

Receita para simulações de rede:

1) Evolua campos de glúons (variáveis de elos) na dinâmica de Monte Carlo associada à função de partição

Z = Z DU e−Sg Z Dψ Dψ e−R d4x ψ(x)Kψ(x) = Z DU e−Sg detK(U ) (a aproximação quenched corresponde a detK = 1)

2) _{Obtenha propagadores de quarks de hψ ψi = h}K−1_i

3) Use os campos de quarks para construir correlatores (euclidianos) para o estado ligado _{C(t) = hO(t) O(0)i}, onde O(t) = ψ Γ ψ e Γ é a

matriz de Dirac apropriada (e.g. Γ = γ₅ para mésons pseudoscalares)

4) Extraia massas, etc. de _{C(t) →} P

n |h0|O|ni|2 e

−_E_n_t

⇒ para t grande meff(t) = log[C(t)/C(t + 1)] atinge um plateau

(115)

Problemas Computacionais

“Grand Challenge”

Estudo do Scalable Computing Laboratory, Univ. do Estado do Iowa (2001): “A Paradigm For Grand Challenge Performance Evaluation”

(116)

Espectroscopia via QCD na Rede

(117)

QCD na Rede

Antes...

Won’t you admit it’s a trifle hysterical

To disbelieve every result that’s numerical?

How, then, could you use modern aviation? For the planes are designed by simulation.

And are experiments at accelerators all unsound, Because they simulate the QCD background?

O why do you recoil in terror

From calculations that control their error? Give it up! The symmetry’s surely broken, The order parameter (its token)

Refuses, by 20 σ, to go away.

(118)

...e Depois

Massas dos hádrons leves calculadas por S. Dürr et al. (Science, 2008) e valores experimentais. Note: π, K e Ξ usados como inputs

(119)

QCD na Rede Hoje

Determinação precisa da massa dos núcleons prova que interação

(120)

QCD na Rede Hoje

entre quarks gera (quase toda a) massa do universo visível!

Cálculos atingiram grande precisão para determinação do espectro dos hádrons leves, incluindo diferença de massa entre nêutron e próton: S. Borsanyi et al., Science 347, 1452 (2015)

(121)

QCD na Rede Hoje

Grande parte do esforço na área é em espectroscopia de hádrons, sendo ainda proibitivos os cálculos para sistemas com quarks

pesados (especialmente B-physics), essenciais para determinação dos limites do Modelo Padrão

(122)

QCD na Rede Hoje

Grande parte do esforço na área é em espectroscopia de hádrons, sendo ainda proibitivos os cálculos para sistemas com quarks

pesados (especialmente B-physics), essenciais para determinação dos limites do Modelo Padrão

Estudo detalhado dos estados ligados (espectroscopia) é desafio técnico e conceitual, e representa confirmação da QCD como teoria da interação forte ⇒ primeiro passo para compreensão de questões fundamentais da QCD

(123)

Espectroscopia e Música...

Pythagoreanism, as derived from the physics of music, an artificially quantized system, involved simple ratios between integers and was conjectured by the Pythagoreans to extend to the whole of physics (the Music of the Spheres). It hit the jackpot in 1895 with Balmer’s formula and has dominated XXth century physics, with its quantum foundations.

...In a certain context, my contributions in the hadron domain can be considered as having added further parts to that

same symphony for which Balmer wrote the Overture.

Hadronic Octaves, Symphony in Treble Clef,

(124)

QCD na Rede e Confinamento

May observe formation of flux tubes

(125)

Confinamento: o Elefante na Sala

Entendemos

o confinamento?

⇒

we know what it

looks like

,

(126)

Confinamento: o Elefante na Sala

Entendemos

o confinamento?

⇒

we know what it

looks like

,

but do we know what it

is

?

Millenium Prize Problems (Clay Mathematics Institute, USA/UK)

Yang-Mills and Mass Gap: Experiment and computer simulations suggest the existence of a mass gap in the solution to the quantum versions of the Yang-Mills equations. But no proof of this property is known.

(127)

Caminhos para o Confinamento

(128)

Caminhos para o Confinamento

O que origina o

potencial linear

(visto em

QCD na rede

)?

Modelos para o confinamento: supercondutividade dual

(tubo de fluxo elétrico ligando monopolos magnéticos),

(129)

Caminhos para o Confinamento

O que origina o

potencial linear

(visto em

QCD na rede

)?

Modelos para o confinamento: supercondutividade dual

(tubo de fluxo elétrico ligando monopolos magnéticos),

condensação de vórtices de centro

, mérons, cálorons

Proposta de Mandelstam (1979) ligando potencial linear ao

comportamento infravermelho do propagador de glúons

como 1/p

4

V (r) ∼

Z

d

3

p

4

e

ip·r

∼ r

(130)

Caminhos para o Confinamento

O que origina o

potencial linear

(visto em

QCD na rede

)?

Modelos para o confinamento: supercondutividade dual

(tubo de fluxo elétrico ligando monopolos magnéticos),

condensação de vórtices de centro

, mérons, cálorons

Proposta de Mandelstam (1979) ligando potencial linear ao

comportamento infravermelho do propagador de glúons

como 1/p

4

V (r) ∼

Z

d

3

p

4

e

ip·r

∼ r

Cenário de confinamento de

Gribov-Zwanziger

baseado na

supressão do propagador de glúons e

fortalecimento do

(131)

Cenário de GZ: Confinamento por Ghosts

Formulado no gauge de Landau gauge, prevê propagador de glúons

Dab_µν(p) = X x e−2iπk·xhAa µ(x) Abν(0)i = δab gµν − pµ pν p2 D(p2) (-1)

(132)

Cenário de GZ: Confinamento por Ghosts

suprimido no limite IV ⇒ confinamento de glúons

(133)

Cenário de GZ: Confinamento por Ghosts

Efeitos de longo alcance aparecem no propagador de ghosts G(p): Volume infinito favorece configurações no primeiro horizonte de Gribov ∂Ω, onde menor autovalor não-nulo λmin do operador de

(134)

Cenário de GZ: Confinamento por Ghosts

Efeitos de longo alcance aparecem no propagador de ghosts G(p): Volume infinito favorece configurações no primeiro horizonte de Gribov ∂Ω, onde menor autovalor não-nulo λmin do operador de

Faddeev-Popov _M vai a zero

Em compensação, G(p) deveria ser fortalecido no IV, induzindo efeitos de longo alcance, relacionados ao mecanismo de

(135)

Propagador do Glúon a Volume “Infinito”

A. Cucchieri & T. Mendes (2008)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0 0.5 1 1.5 2 D(p 2 ) p 4D Results 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 D(p 2 ) p 3D Results

(136)

Resultados para o Propagador de Ghosts

Ajuste da função de dressing do ghost p2G(p2) em função de p2 (em

GeV) para o caso 4d (β = 2.2 com volume 804_{). Vemos que} _p2_G(p2₎ _é

dado por p2G(p2_{) = a − b[log(1 + cp}2) + dp2]/(1 + p2), com

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 0.001 0.01 0.1 1 10 100 p 2 G(p), a-b[log(1+c p 2 )+d p 2 ]/(1+p 2 ) p2 4D Results a = 4.32(2) b = 0.38(1) GeV 2 c = 80(10) GeV −2 d = 8.2(3) GeV −2 No IV temos p2G(p2_{) ∼ a}

(137)

Confinamento na QCD

Problema de determinar os mecanismos que geram o

confinamento da carga de cor

na QCD está ainda

aberto

Área de pesquisa ativa, envolvendo QCD na rede e outros

métodos de estudo

não-perturbativo

da QCD, como equações

de Dyson-Schwinger, grupo de renormalização funcional,

(138)

Confinamento na QCD

Problema de determinar os mecanismos que geram o

confinamento da carga de cor

na QCD está ainda

aberto

Área de pesquisa ativa, envolvendo QCD na rede e outros

métodos de estudo

não-perturbativo

da QCD, como equações

de Dyson-Schwinger, grupo de renormalização funcional,

renormalização algébrica

Em particular, várias conferências regulares dedicadas ao

tópico, como a

Quark Confinement and the Hadron Spectrum

,

bienal (cerca de 300 participantes); no Brasil:

Infrared QCD in

Rio

e

Pathways to Confinement

(139)

Conclusão: O Que Somos?

(140)

Conclusão: O Que Somos?

Somos poeira de estrelas

Somos estados ligados de estados (eternamente) ligados de quarks, por ação da força forte, descrita pela cromodinâmica quântica (QCD)

E mais: Essa ligação eterna (confinamento) está relacionada à massa, i.e. à matéria = nós!

(141)

Conclusão: O Que Somos?

Somos consequência do confinamento, que ainda não conseguimos explicar... quarks ligados/confinados por glúons virtuais (também confinados!) sem massa, mas é deles que vem a nossa massa!

(142)

Conclusão: O Que Somos?

Somos consequência do confinamento, que ainda não conseguimos explicar... quarks ligados/confinados por glúons virtuais (também confinados!) sem massa, mas é deles que vem a nossa massa!

Somos condensação (confinada) de glúons, flutuações do vácuo quântico da QCD, bolhas de glúons que receberam o sopro da vida, destruíram o planeta (quase!) e estudam Teoria Quântica de Campos (por simulação numérica) para saber de onde vieram