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Produção Desenvolvimento PedagógicoProjeto e
Disciplinas Autores
Língua Portuguesa Francis Madeira da S. Sales Márcio F. Santiago Calixto Rita de Fátima Bezerra Literatura Fábio D’Ávila
Danton Pedro dos Santos Matemática Feres Fares
Haroldo Costa Silva Filho Jayme Andrade Neto Renato Caldas Madeira Rodrigo Piracicaba Costa Física Cleber Ribeiro
Marco Antonio Noronha Vitor M. Saquette Química Edson Costa P. da Cruz
Fernanda Barbosa Biologia Fernando Pimentel
Hélio Apostolo Rogério Fernandes
História Jefferson dos Santos da Silva Marcelo Piccinini
Rafael F. de Menezes Rogério de Sousa Gonçalves Vanessa Silva
Geografia Duarte A. R. Vieira Enilson F. Venâncio Felipe Silveira de Souza Fernando Mousquer
I229 IESDE Brasil S.A. / Pré-vestibular / IESDE Brasil S.A. — Curitiba : IESDE Brasil S.A., 2009. [Livro do Professor] 660 p.
ISBN: 978-85-387-0571-0
1. Pré-vestibular. 2. Educação. 3. Estudo e Ensino. I. Título.
Triângulo
É a figura geométrica determinada por três seg-mentos de reta consecutivos, isto é, cujos extremos são coincidentes dois a dois.
A B z C y θ β α x
Ângulos internos
α, β e θÂngulos externos
x, y e zLados
AB = m; AC = n; BC = pSoma dos ângulos internos
α + β + θ = 180°Soma dos ângulos externos
x + y + z = 360ºTriângulo
O ângulo externo é igual à soma dos ângulos internos que não lhe são adjacentes.
x = α + θ y = β + θ z = α + β
Condição de existência
m n pPara existir um triângulo, é necessário que qualquer lado seja menor que a soma e maior que o módulo da diferença dos outros dois.
m – n < p < m + n m – p < n < m + p p – n < m < p + n
Num triângulo, o maior lado opõe-se ao maior ângulo.
T_028
Classificação dos triângulos
Quanto aos ângulos
Acutângulo
Todos os ângulos internos são agudos.
A
B C
Retângulo
Tem um ângulo interno igual a 90°.
A B
C
AC, AB → catetos BC → hipotenusa
Obtusângulo
Tem um ângulo interno obtuso e dois agudos.
A
B C
Quanto aos lados
Escalenos
Todos os lados e ângulos com medidas dife-rentes.
B
A
C
Isósceles
Dois lados iguais e dois ângulos iguais (os ân-gulos iguais não são formados pelos lados iguais).
B A C AB = AC ^B = ^C
Equilátero
Três lados com medidas iguais e três ângulos iguais a 60°. C B A AB = AC = BC ^A = ^B = ^C
Cevianas principais do
triângulo
Ceviana
É qualquer reta que parte de um vértice do triân-gulo e encontra o lado oposto ou seu prolongamento.
As principais cevianas são:
Altura (h)
a) – segmento da perpendicular tra-çada de um vértice sobre o lado oposto.
Mediana (m)
b) – segmento que une um vértice ao ponto médio do lado oposto.
Bissetriz interna (
c) βa) – segmento da bissetriz de um ângulo limitado pelo vértice e pelo ponto de interseção com o lado oposto.
Bissetriz externa (
d) β’a) – segmento da bissetriz de um ângulo externo limitado pelo vértice e pelo ponto de interseção com o lado oposto.
B A C βa ma ha a a/2 a/2 H J M AH = ha AM = ma AJ = βa AJ’ =β’a A B M C H J’ ma ha β’a
Um triângulo possui 3 alturas, 3 medianas, 3 bissetrizes internas e 3 bissetrizes externas.
Todo triângulo retângulo de ângulos agudos, valendo 30º e 60º, tem a seguinte relação:
30º 60º /2 I √3 2
Ortocentro
As três alturas de um triângulo concorrem em um único ponto denominado ortocentro do triângulo.
H3 B C A hb hc H2 H1 H ha
O ortocentro do triângulo retângulo coincide com o vértice do ângulo reto.
B C H ≡ A hc ≡ b ha hb ≡ c
Incentro
As três bissetrizes internas de um triângulo concorrem, em um único ponto, equidistantes dos três lados do triângulo, denominado incentro.
A
R Q
B PJ C
O incentro é o centro do círculo inscrito no triângulo.
T_028
Baricentro
As três medianas de um triângulo concorrem em um único ponto denominado baricentro ou centro de gravidade do triângulo. A B P M N C G
M, N e P = Pontos médios de BC, AC, AB res-pectivamente.
Propriedades
O baricentro fica situado sobre cada mediana, a 2/3 do vértice e a 1/3 do seu pé. (ponto médio do lado oposto) GM = x AG = 2x GN = y BG = 2y GP = z CG = 2z
Circuncentro
As mediatrizes dos lados de um triângulo con-correm em um único ponto denominado circuncentro do triângulo. A B C m3 m2 m1 Ro R R
O circuncentro é o centro do círculo circunscrito ao triângulo.
A
B O C
No caso: Â = 90°
O = ponto médio da hipotenusa BC – circun-centro
Congruência de triângulos
Dois triângulos são congruentes quando su-perpomos um ao outro e eles coincidem no valor dos lados e dos ângulos. Logo, lados congruentes e ângulos congruentes. A B C A’ B’ C’ ^A = ^a ^B = ^b ^C = ^c AB = A’B’ AC = A’C’ BC = B’C’Casos de congruência
LAL (lado-ângulo-lado)
Dois triângulos são congruentes, quando possuem dois lados e o ângulo formado entre eles congruentes. A B C A’ B’ C’ AC ≡ A’C’ AB ≡ A’B’ ^A ≡ ^A
ALA (ângulo- lado-ângulo)
Dois triângulos são congruentes, quando possuem dois ângulos e o lado adjacente a eles congruentes.
A B C A’ B’ C’ ^C ≡ ^C BC ≡ B’C’ ^B ≡ ^B
LLL (lado-lado-lado)
Dois triângulos são congruentes quando pos-suem os três lados congruentes.
A B C A’ B’ C’ AC ≡ A’C’ AB ≡ A’B’ BC ≡ B’C’
LAAo (lado-ângulo-ângulo oposto)
Dois triângulos são congruentes quando pos-suem um lado, um ângulo e o ângulo oposto ao lado dado congruentes. A B C A’ B’ C’ ^A ≡ ^A AB ≡ A’B’ ^C ≡ ^C
Semelhança de triângulos
Dois triângulos são semelhantes quando pos-suem três ângulos congruentes, por consequência os lados opostos aos ângulos serão proporcionais, como também as cevianas.≈ A’ B’ C’ H’ A B C H ^A =^A’,^B =^B’,^C =^C’ = = = = AB AC BC AH K A ' B' A 'C' B'C' A ' H' K é a razão de semelhança.
Casos de semelhança de
triângulos
1.º Caso:
Dois triângulos são semelhantes quando possuem dois pares de ângulos respectivamente iguais. ≈ θ α θ α
2.º Caso:
Dois triângulos são semelhantes quando pos-suem três lados homólogos proporcionais.
a b
c ≈ K.b k.c
k.a
3.º Caso:
Dois triângulos são semelhantes quando pos-suem dois pares de lados homólogos proporcionais e os ângulos entre eles iguais.
a b α α k.a k.b
Triângulos retângulos
m n aT_028
Como + = 90°, podemos observar que na figura temos três triângulos semelhantes.
AC = b cateto AB = c cateto BC = a hipotenusa AH = h altura BH = m projeção de AB sobre BC HC = n projeção de AC sobre BC Principais fórmulas: b2 = n . a c2 = m . a h2 = m . n a . h = b . c a2 = b2 + c2
As fórmulas são demonstradas por semelhança de triângulos:
(b
• 2 = n . a):
AHC ABC ba = nb (Usamos os lados opostos de 90° e )
(c
• 2 = m . a):
ABH ABC ca = mc (Usamos os lados opostos aos ângulos de 90° e ) (h
• 2 = m . n):
ABH AHC hn = mn (Usamos os lados opostos aos ângulos e )
(a . h = b . c):
• AHC ABC b
a = hc (Usamos os lados opostos aos ângulos de 90° e )
(a
• 2 = b2 + c2) – Destacando as duas primeiras fórmulas temos:
b2 = n . a c2 = m . a b2+c2=ma+na
b2+c2=a (m+n) b2+c2=a2
Os triângulos retângulos cujos lados têm valores inteiros são conhecidos como pitagóricos.
Exemplo:
`
Importante observarmos que, além dos triângulos pitagó-ricos citados, existem aqueles que são proporcionais.
Assim você pode afirmar que existem infinitos triângulos pitagóricos, dentre os proporcionais e os não-propor-cionais.
Aplicações importantes
Diagonal do quadrado d2 = 2+ 2 d2 = 2 2 d2 = 22 d = 2Altura do triângulo equilátero
h A B C 2 2 = + − = 2 2 2 h2 ; 2 h ; h=2 2 4 2 3 4 = + = 2 2 2 h2 ; 3 h2 4 4 = 3 h 2 Na figura, 1. AB = BC = CD, calcule y em função de x. C A B D y
Solução: ` 2x y 2x C D B A
y: ângulo externo do Δ DCA, logo: y = β + 2x
y = 3x
No triângulo retângulo ABC da figura, reto no vértice 2.
A, determine o valor do ângulo formado pela altura e a mediana que sai de A, dado ^B = 50°.
α 50º H M B C A Solução: `
A mediana relativa à hipotenusa é igual à metade da hipotenusa. α 50º H M B C A 40º 80º 40º ^ A = 90o ^ B + ^C = 90o 50 + ^C = 90o ^ C = 40° Como: AM = MC A ^MB = 80º α+ 90º + 80º = 180º α = 10º Na figura
3. AB = AC e AE = AD. Calcule o valor do ângulo C^DE, se B^AD vale 30°. A B E C α D Solução: `
A ^DC - ângulo externo do Δ ABD, logo: B^AD +D^BA = A ^DC. A B E C α 30º α + θ α + θ θ θ D α + α + θ = θ + 30º 2αα = 30º α = 15º
Dois navios partem de um mesmo ponto com veloci-4.
dades iguais a VA= 15Km/h às 14 horas e VB= 60Km/h às 20 horas, formando entre si dimensões cujo ângulo é de 60°. Qual a distância que separa os navios às 22 horas do mesmo dia?
60º A B Solução: ` ΔS = VA . ΔtA = 15Km/h . (22h – 14h) = 15km/h . 8h = ΔSA = 120Km
T_028
S = VB . ΔtB = 60Km/h . (22h – 20h) = 60Km . 2h =
ΔSB = 120Km
Obtemos 2 lados iguais formando um ângulo de 60º, logo o triângulo equilátero é d = 120Km.
60º 120Km
d = 120Km 120Km
A hipotenusa do triângulo retângulo ABC, reto em  5.
vale 30cm. Sendo M e N pontos médios de BC e AC, calcule AP. A B M N C P Solução: ` Como AM = BM = MC, tem-se: 2x 15 x 15 B M C A N P 3x = 15 AP = 2x x = 5 AP = 10cm
Num triângulo retângulo de hipotenusa medindo 24cm, 6.
calcule a distância entre o ortocentro e o baricentro.
Solução: ` M A N C 12 x l 2x 12 B
M e N são pontos médios, logo I é baricentro. Como AM = BM = 12, temos 3x = 12 → x = 4.
Como o triângulo é retângulo, o ortocentro é o vértice A, assim a distância de A até I vale 8cm.
Calcule o comprimento da circunferência inscrita num 7.
triângulo retângulo isósceles, cuja distância do vértice do ângulo ao incentro mede 4cm.
Solução: ` I r N A M B C I - Incentro AI = 4 AMIN – quadrado AI - diagonal π = π = = = = = 2 4 r 2 C : por dado é ncia circunferê da o compriment o , 2 2 2 4 r 2 r 4 2 r AI
Pretende-se construir um posto policial num ponto p, 8.
situado à mesma distância de três casas em uma área plana de um condomínio. Em geometria, este ponto p é conhecido com o nome de:
baricentro. a) ortocentro. b) circuncentro. c) incentro. d) ex-incentro. e) Solução: ` A B C R R R P A, B e C = Casas
O ponto de encontro das mediatrizes é o centro do cír-culo circunscrito, chamado circuncentro. Assim, o posto policial deve ficar neste ponto, pois a distância dele até as casas serão iguais ao raio.
Na figura, A, B e C medem 45º. Se AF = 20cm, calcule 9. BC. B E C F D A Solução: ` B E F D A x y y AE = CE = x BE = FE = Y
Logo, os triângulos AFE e BCE são côngruos pelo caso lado-ângulo-lado, então AF = BC = 20cm. Calcule o segmento 10. AB da figura, dado: CD = 9m, BD = 3m e D^AB = A^CD. B D A C α α Solução: ` B D A C x α α θ 3 9
Os triângulos ABC e ABD são semelhantes, assim:
α 12 θ x A B D A x α θ 3 C B
No retângulo ABCD da figura, AMB é triângulo equilá-11.
tero. Sabendo que AB = 18cm, calcule AE.
A B E D M C Solução: ` A B E D θ9α M α θ 18 AB = AM = 18
Como os triângulos DME e ABE são semelhantes na razão 9 =1
18 2, temos ME = x e AE = 2x, logo
x + 2x = 18cm x = 6cm.
AE = 2x = 2 . 6 = 12cm.
A cada usuário de energia elétrica é cobrada uma taxa 12.
mensal de acordo com o seu consumo no período, desde que esse consumo ultrapasse um determinado nível. Caso contrário, o consumidor deve pagar uma taxa mínima referente a custos de manutenção. Em certo mês, o gráfico consumo (em kWh) x preço (em R$) foi o apresentado a seguir. 50 100 150 200 250 750 1 250 1 750 2 250 R$ kWh
Determine entre que valores de consumo, em kWh, a)
é cobrada a taxa mínima.
Determine o consumo correspondente à taxa de b)
R$1.950,00.
Solução:
`
Na parte inicial onde o gráfico é constante de 0 a a)
T_028 b) kWh 100 200 750 1 950 2 250 R$ x 1 500 1 2 00 x – 100 100 − = x 100 1 200 100 1 500 x – 100 = 80 x = 180kWh
A figura ABCD é um quadrado de lado 2cm e ACE 13.
um triângulo equilátero. Calcule a distância entre os vértices B e E. Solução: ` = = = = = = = = − Q Q Q Q T T T d I 2 d 2 2 d 2 2 t 3 h 2 2 2 . 3 h 6 2 2 2 x 6. 2 = − x 6 2 Calcule o segmento
14. AB na figura, se a reta s tangencia as circunferências de raio 9cm e 4cm nos pontos A e B, respectivamente. A B O1 O2 Solução: `
O1 e O2 são centros, logo O1O2 = 9 + 4 = 13cm.
= 9 +4
Pelo triângulo retângulo formado: 132 = x2 + 52, x = 12cm.
Calcule o raio do círculo, se o quadrado ABCD tem 1m 15. de lado. Solução: ` r 1- r 1- r r2 = (1 – r)2 + (1 – r)2 r2 = 1 – 2r + r2 + 1 – 2r + r2 r2 – 4r + 2 = 0 2 + 2 2– 2 r =
(UERJ) Millôr Fernandes, em uma bela homenagem à 16.
Matemática, escreveu um poema do qual extraímos o fragmento abaixo:
“Às folhas tantas do livro matemático
um quociente apaixonou-se um dia doidamente por uma incógnita.
Olhou-a com seu olhar inumerável e viu-a do ápice à base: uma figura ímpar; olhos romboides, boca trapezoide, corpo octogonal, seios esferoides. Fez da sua uma vida paralela à dela, Até que se encontraram no infinito.
“Quem és tu?” – indagou ele em ânsia radical. “Sou a soma do quadrado dos catetos. Mas pode me chamar de Hipotenusa.”
(Millôr Fernandes. Trinta anos de mim mesmo.)
A incógnita se enganou ao dizer quem era. Para atender ao teorema de Pitágoras, deveria dar a seguinte resposta:
“Sou a soma dos catetos. Mas pode me chamar de a)
hipotenusa.”
“Sou o quadrado da soma dos catetos. Mas pode b)
me chamar de quadrado da hipotenusa.”
“Sou o quadrado da soma dos catetos. Mas pode c)
me chamar de hipotenusa.”
“Sou a soma dos quadrados dos catetos. Mas pode d)
me chamar de quadrado da hipotenusa.”
Solução:
` D
No triângulo ABC da figura, calcule
1. y. A F B E C y x D AB = AC CD = CE Na figura, AB = AC e AE = AD. 2. A E C D B 30º Calcule o valor de .
Na figura, ABC é equilátero e o triângulo CDB é isós-3. celes. A C x y B D Calcule o valor de 2x + y. B ^C D = x A ^B D = y
Determine a medida do ângulo do vértice A do triângulo 4.
isósceles ABC, sabendo que os segmentos BC, CD, DE, EF, FA são congruentes. (AB = AC)
A
F E
D
C B
Na figura, determine a medida do ângulo
5. em função de m. A B D C A ^ = 3m ^D =
T_028
Na figura abaixo, r é a bissetriz do ângulo ABC. 6. B C A r y Se = 40º e = 30º , então: y = 0º a) y = 5º b) y = 35º c) y = 15º d)
os dados são insuficientes para determinação de y. e)
Dado o triângulo ABC, abaixo indicado, construímos a 7. poligonal L = BCB1C1B2C2B3C3... b a C3 C1 C2 B3 B2 B1 c A C B 60º 60º60º 60º O comprimento de L é: 2c a) a + b + c b) 2(a + b) c) 2(a + c) d) a + 2 2 – c e)
Na figura abaixo, AB = AC, O é o ponto de encontro 8.
das bissetrizes do triângulo ABC, e o ângulo BÔC é o triplo do ângulo Â. A O C B Então, a medida de  é: 18º a) 12º b) 24º c) 36º d) 15º e)
(UFJF) No triângulo ABC, BÂC = 80°. Qual a medida do 9.
ângulo agudo entre as bissetrizes dos ângulos internos em B e C? 35º a) 40º b) 50º c) 65º d) 100º e)
(UFMG) Observe a figura: 10.
D
A x B C
x 36º y
Nessa figura, o valor de 3y – x, em graus, é: 8 a) 10 b) 12 c) 16 d) 18 e)
(UFF) NA figura a seguir, tem-se que: AB = AC e 11. AP = PC = CB. B P C A O ângulo mede: 20° a) 25° b) 36° c) 40° d) 42° e)
(Fuvest) Num triângulo ABC, os ângulos B
12. ^e C^ medem
50° e 70°, respectivamente. A bissetriz relativa ao vértice A forma com a reta BC ângulos proporcionais a:
1 e 2 a)
2 e 3 b)
3 e 4 c) 4 e 5 d) 5 e 6 e)
A soma das distâncias do ponto P aos vértices do triân-13.
gulo da figura pode ser igual a:
10 8 6 P 10 a) 12 b) 13 c) 9 d) 11,9 e)
Pedrinho observou que em seu condomínio, a sua casa, 14.
a casa do seu avô e a casa do seu primo, poderiam ser os vértices de um triângulo. Sabendo que a distância da casa de Pedrinho para a do seu avô e a do seu primo são, respectivamente 10m e 15m, ele pretende saber se com um barbante de 4m será possível o avô e o primo segurarem as extremidades, estando cada um em sua casa.
Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F). 15.
Os pontos notáveis de um triângulo equiláte-a) ( )
ro são coincidentes.
Os pontos notáveis de um triângulo isósceles b) ( )
são colineares.
Circuncentro de um triângulo é o ponto equi-c) ( )
distante dos três vértices do triângulo. Incentro de um triângulo é um ponto equidis-d) ( )
tante dos três lados do triângulo.
Ortocentro de um triângulo é o ponto de en-e) ( )
contro das três bissetrizes internas.
O baricentro de um triângulo retângulo coin-f) ( )
cide com o ponto médio da hipotenusa. O baricentro de um triângulo é um dos pontos g) ( )
que divide cada mediana em três segmentos congruentes.
Na figura, M é o ponto médio de
16. AB e MP é paralelo ao AC. C A P M B O
Sabendo que BC = 24cm, calcule OP.
Calcule a distância entre o ortocentro e o baricentro de 17.
um triângulo retângulo de hipotenusa igual a 90cm. Determine a distância do circuncentro ao baricentro em 18.
um triângulo retângulo de hipotenusa 60cm.
Determine a distância do ortocentro ao circuncentro em 19.
um triângulo retângulo de hipotenusa 30cm. (UFSE) Na figura, são dados
20. AC = 8cm e CD = 4cm. A medida de BD é, em cm: 9 a) 10 b) 12 c) 15 d) 16 e) (UFPA) Na figura, 21. AB = 15, AD = 12 e CD = 4.
T_028
Sendo EC paralela à AB, qual o valor de EC? 1 a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e)
(UCMG) A medida, em metros, do segmento
22. AD da
figura é de:
(F.C.CHAGAS) Na figura abaixo, são dados:
23. ABC = EDC,
ED = 2,5cm, AB = 6cm, BC = 9cm e AC = 12cm.
Se os triângulos da figura são semelhantes, o perímetro do triângulo EDC é, em centímetros:
11,25 a) 11,50 b) 11,75 c) 12,25 d) 12,50 e) (Fuvest) Dados: 24. MBC = BAC AB = 3 BC = 2 AC = 4 Então MC: 3,5 a) 2 b) 1,5 c) 1 d) 0,5 e)
(Unesp) Na figura, B é um ponto do segmento de reta 25.
AC e os ângulos DAB, DBE e BCE são retos.
Se AD = 6dm, AC = 11dm e EC = 3dm, as medidas possíveis de AB, em dm, são:
4,5 e 6,5 a) 7,5 e 3,5 b) 2 e 9 c) 7 e 4 d) 8 e 3 e)
(Fuvest) Na figura, o triângulo ABC é retângulo em A, 26.
ADEF é um quadrado, AB = 1 e AC = 3.
Quanto mede o lado do quadrado? 0,70 a) 0,75 b) 0,80 c) 0,85 d) 0,90 e)
(UNI-RIO) Numa cidade do interior à noite, surgiu um 27.
objeto voador não-identificado em forma de disco, que estacionou a 50m do solo, aproximadamente. Um he-licóptero do exército, situado a aproximadamente 30m acima do objeto, iluminou-o com um holofote, conforme mostra a figura.
Sendo assim, pode-se afirmar que o raio do disco-voador mede, em m, aproximadamente: 3,0 a) 3,5 b) 4,0 c) 4,5 d) 5,0 e)
(UFF) Um prédio com a forma de um paralelepípedo 28.
retângulo tem 48m de altura. No centro da cobertura desse prédio e perpendicularmente a essa cobertura, está instalado um para-raios. No ponto Q sobre a reta r que passa pelo centro da base do prédio e é perpendi-cular a MN – está um observador que avista somente uma parte do para-raios (ver a figura).
A distância do chão aos olhos do observador é 1,8m e PQ = 61,6m. O comprimento da parte do para-raios que o observador não consegue avistar é:
16m a) 12m b) 8m c) 6m d) 3m e)
(UFRJ) Um automóvel de 4,5m de comprimento é re-29.
presentado, em escala, por um modelo de 3cm de com-primento. Determine a altura do modelo que representa, na mesma escala, uma casa de 3,75m de altura. Considere os três quadrados da figura e calcule x. 30.
(UFRJ) A cada usuário de energia elétrica é cobrada 31.
uma taxa mensal de acordo com o seu consumo no período, desde que esse consumo ultrapasse um de-terminado nível.
Caso contrário, o consumidor deve pagar uma taxa mínima referente a custos de manutenção. Em certo mês, o gráfico consumo (em kWh) X preço (em R$) foi o apresentado a seguir.
T_028
determine entre que valores de consumo em kWh é a)
cobrada a taxa mínima.
determine o consumo correspondente à taxa de b)
R$1.950,00.
Determine x nas figuras abaixo: 32. a) AC =x Raio = 3cm b) BD =x Raio = 2cm c) Raios = 10cm d) Raio = x AB CD AD = = = 8 18 BC
(UFRJ) Os pontos médios dos lados de um quadrado 33.
de perímetro 2p são vértices de um quadrado de pe-rímetro: p 2 4 a) p 2 2 b) p 2 c) 2p 2 d) 4p 2 e)
(Fuvest) A secção transversal de um maço de cigarros 34.
é um retângulo que acomoda exatamente os cigarros como na figura.
Se o raio dos cigarros é r, as dimensões do retângulo são: 14r e 2r(1 + a) 3 ) 7r e 3r b) 14r e 6r c) 14r e 3r d) (2 3 3+ )r e r 2 3 e)
(Unirio) As rodas de uma bicicleta, de modelo antigo, 35.
têm diâmetro de 110cm e de 30cm e seus centros distam 202cm. A distância entre os pontos de contacto das rodas com o chão é igual a:
198cm a)
184cm b)
160cm d)
145cm e)
(Cesgranrio) 15 toras de madeira de 1,5m de diâmetro 36.
são empilhadas segundo a figura a seguir.
Calcule a altura da pilha.
(Unirio) Na figura abaixo, determine o perímetro do 37.
triângulo ABC.
(UFF) A figura abaixo representa o quadrado MNPQ 38.
de lado = 4cm.
Sabendo que os retângulos NXYZ e JKLQ são congruentes, o valor da medida do segmento YK é:
3 2 cm a) 2 3cm b) 2 2 cm c) 2 cm d)
(Unirio) Os lados de um triângulo retângulo estão em 39.
progressão aritmética. Sabendo-se que o perímetro mede 57cm, podemos afirmar que o maior cateto mede: 17cm a) 19cm b) 20cm c) 23cm d) 27cm e)
(Cesgranrio) No retângulo ABCD de lados
40. AB= 4 e
BC = 3,o segmento DM é perpendicular à diagonal
AC . O segmento AM mede: 3/2 a) 12/5 b) 5/2 c) 9/5 d) 2 e)
(UFF) Duas réguas de madeira,
41. MN e PQ, com 8cm cada, estão ligadas em suas extremidades por dois fios, formando o retângulo MNPQ (fig. 1). Mantendo-se fixa a régua MN e PQ e girando-se 180º a régua MN e PQ em torno do seu ponto médio, sem alterar os comprimentos dos fios, obtêm-se dois triângulos congruentes, MNO e QPO (fig. 2).
T_028
(PUC) A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 42.
17cm. A diferença entre os comprimentos dos dois ou-tros lados é de 7cm. Qual é o perímetro do triângulo?
38cm a) (17 20 2+ )cm b) 40cm c) (17 10 2+ )cm d) 47cm e)
(Unificado) Numa circunferência de 16cm de diâme-43.
tro, uma corda AB é projetada ortogonalmente sobre o diâmetro BC . Sabendo-se que a referida projeção mede 4cm, a medida de AB, em cm, é igual a:
6 a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 e)
(Unificado) Um triângulo tem lados 20, 21 e 29. O raio 44.
da circunferência a ele circunscrita vale: 8 a) 8,5 b) 10 c) 12,5 d) 14,5 e)
(Unirio) Na figura abaixo, o triângulo ABD é equilátero, 45.
e seu lado mede 3m; H é o ortocentro, sendo que os pontos F e G são os pontos médios dos lados AD e BD =, x respectivamente.
Quantos rolos de fita adesiva serão necessários, no mínimo, para cobrir todos os segmentos da figura, se cada rolo possui 1m de fita?
18 a) 20 b) 22 c) 24 d) 26 e)
(Cesgranrio) Na figura abaixo, as quatro circunferências 46.
internas têm raio R.
Calcule o raio da circunferência maior.
Determine o perímetro do triângulo ARS da figura abaixo, 1.
onde AB e AC medem 15cm e 18cm, respectivamente, sendo BQ e CQ as bissetrizes dos ângulos ABC e ACB e RS paralelo a BC. A Q R S C B
Um triângulo ABC é isósceles, com AB = AC. Nele está 2.
inscrito um triângulo DEF equilátero.
D A E C F B b a c
Designado ângulo B^F D por a, o ângulo A^DE por b, e ângulo F^EC por c, temos:
a+c 2 b = a) a–c 2 b = b) b–c 2 a = c)
a+b 2 c = d) b+c 2 a = e)
Na figura a seguir, determine x em função de
3. , e .
x
(EN) Dado o triângulo ABC, tal que
4. ^B = 30º e ^C =
80º, marcam-se sobre a reta suporte do lado AB os pontos D e E, tais que AD = AE = AC e BE > BD. Determine a soma das medidas dos ângulos A^D C e B^E C. 75º a) 90º b) 105º c) 135º d) 150º e)
Na figura abaixo, são dados AC = BC e o quadrado 5. BCDE. C D E B A
Nessas condições, calcular a medida do ângulo . (PUC) Na figura a seguir, temos
6. . Se
B^A D = 44º, qual a medida do ângulo D^J E?
(UFRJ) Na figura abaixo, o triângulo ABC é equilátero 7.
de lado igual a K.
Seja PM, PN e PS paralelas aos lados dos triângulos, determine PM + PN + PS .
Considere todos os triângulos de perímetro 15m. Ne-8.
nhum deles pode ter um lado igual a: 8m a) 7m b) 5m c) 4m d) 6m e)
Os três menores lados de um quadrilátero convexo 9.
medem 1cm, 4cm e 8cm. Qual dos valores abaixo pode representar, em cm, o quarto lado?
12 a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e)
Na figura abaixo, ABC é um triângulo equilátero. 10. O valor de x é: 5 a) 5,5 b) 6,5 c)
T_028
Na figura abaixo,
11. AB = AC, CB^D = 20º, BC^E = 50º e DC^E= 30º.
Calcule o ângulo BDE^ .
ABC é um triângulo isósceles de base
12. BC e altura AH.
Prolonga-se o lado AB a partir de B, de um comprimento BD = BH, e pelos pontos D e H traça-se uma reta que intercepta o lado AC em P. Calcule o ângulo  do trian-gulo ABC, sabendo que o ântrian-gulo AP^D mede 120º. No triângulo ABC da figura, AB = AC.
13. Calcule , se BÂC = 20º, BCD = 50º e CBE = 60º. (DEB = ) Na figura, tem-se 14. MN //BC; NP //AB; MP//AC. M N A B C P
Prove que as alturas do triângulo ABC são mediatrizes dos lados do triângulo MNP.
Na figura, I é o incentro do triângulo ABC. Provar que 15.
α = β.
A
B J H C
α β
Na figura, ABCD é um retângulo e AMB é um triângulo 16.
equilátero.
D M C
A B
P
Sabendo que AB = 18cm, calcule AP.
Na figura abaixo, os pontos A, B e C representam as 17.
posições de três casas construídas numa área plana de um condomínio.
A B
C
Um posto policial estará localizado num ponto P, situado à mesma distância das três casas.
Em Geometria, o ponto P é conhecido com o nome de: baricentro. a) ortocentro. b) circuncentro. c) incentro. d) ex-incentro. e)
Se AB = AC e BÂC = 80°, calcule 18. α. B A C α 400 300 (UFRS)Constroem-se sobre os catetos
19. AB e AC, de um
triângulo retângulo ABC, os quadrados ABDE e ACFG. Traçam-se, pelos pontos D e F, as perpendiculares de DD” e FF” ao suporte BC. Se DD” + FF” = 25cm, Calcule BC.
(PUC) Na figura, sabendo-se que AE = 10m, BD = 40m, 20.
AB = 50m, EC = CD, então, CB e AC podem valer:
25m e 25m a) 32m e 18m b) 38m e 12m c) 40m e 10m d) 50m e 20m e) (FEI-SP) Na figura, 21. AD //BC. O valor de x é: 15/2 a) 9 b) 10 c) 40/3 d) 16 e)
O triângulo ABC da figura é equilátero,
22. AM e MB = 5 e CD = 6. O valor de AE é: 76 11 a) 77 11 b) 78 11 c) 79 11 d) 80 11 e)
Na figura, a reta r é tangente ao círculo e paralela ao 23. segmento DE. Se DE = 6, AE = 5 e CE = 7, o valor da medida do segmento BD é: 3,5 a) 4 b) 4,5 c) 5 d) 5,5 e)
T_028
(UFF) Considere o triângulo isósceles PQR da figura 24.
abaixo, de lados congruentes PQ e PR, cuja altura relativa ao lado QR é h.
Sabendo-se que M1 e M2, são, respectivamente, pontos médios de PQ e PR, a altura do triângulo KM1M2, relativa ao lado M1M2, é: 2h 3 a) h 6 b) 2 h 3 c) 3 h 3 d) 6 h 3 e)
(UERJ) Num cartão retangular, cujo comprimento é igual 25.
ao dobro de sua altura, foram feitos dois vincos, AE e BF, que formam entre si um ângulo reto.
Considerando AF = 16cm e CB = 9cm, determine: as dimensões do cartão;
a)
o comprimento do vinco
b) AC.
(Unicamp) Uma rampa de inclinação constante, como 26.
a que dá acesso ao Palácio do Planalto em Brasília, tem 4 metros de altura na sua parte mais alta. Uma pessoa, tendo começado a subi-la, nota que, após caminhar 12,3 metros sobre a rampa, está a 1,5 metro de altura em relação ao solo.
Faça uma figura ilustrativa da situação descrita. a)
Calcule quantos metros a pessoa ainda deve cami-b)
nhar para atingir o ponto mais alto da rampa.
Na figura abaixo, ABCD é um quadrilátero onde
27. AD =
BC, DAB = 80º e CBA = 40º. Um ponto P é tal que o triângulo DPC é equilátero.
Calcule o perímetro do triângulo APB, sabendo que AB = 6cm e CD = 3cm.
No paralelogramo da figura abaixo, temos
28. EF = 32 e
GF = 24.
Calcule BE.
Na figura a seguir, M é ponto médio de
29. AB, N ponto
médio de BC e PQ é paralelo a BC.
Calcule AB, sabendo que PM = 2m. Na figura abaixo, as cordas
30. AB e AC medem 5cm e 6cm
respectivamente, e AH = 3cm.
(UERJ) A figura abaixo representa um quadrado ABCD 31.
e dois triângulos equiláteros.
Se cada lado desses triângulos mede 2cm, calcule o lado do quadrado ABCD.
Os centros de duas circunferências estão separados de 32.
41m. Os raios das circunferências medem 4m e 5m.
Calcule o comprimento de tangente comum interna. Três goiabas perfeitamente esféricas de centros C
33. 1,
C2, C3 e raios 2cm, 8cm e 2cm, respectivamente, estão sobre uma mesa tangencionando-se, como sugere a figura a seguir.
Um bichinho que está no centro da primeira goiaba quer se dirigir para o centro da terceira goiaba pelo caminho mais curto. Quantos centímetros percorrerá?
O triângulo ABC da figura é equilátero, de lado medindo 34.
20cm. AH e HD são, respectivamente, as alturas dos triângulos ABC e AHC.
A medida de HD, em cm, é: 5 3 a) 10 3 b) 20 3 c) 6 3 d) 12 3 e)
O triângulo é retângulo no vértice A. As medianas dos 35.
catetos são b e c, e a altura relativa à hipotenusa mede h. Prove que a igualdade abaixo é verdadeira.
1 1 1
2 2 2
h =b +c
(UFRJ) Um observador (O), do ponto mais alto de 36.
um farol, vê a linha do horizonte (L) a uma distância d. Sejam h e R a altura do farol e o raio da Terra, respec-tivamente.
Como R é muito maior que h, pode-se admitir que a)
2R + h = 2R. Assim, prove, usando a aproximação indicada, que d = 2Rh.
O raio da Terra tem, aproximadamente, 6 300km. b)
Usando a fórmula do item “a” calcule a distância d do horizonte, quando o observador está a uma altura h = 35m.
(UFF) Na figura a seguir, o vértice Q do retângulo PQRC 37.
foi obtido pela interseção do arco AM de centro em C e raio CA, com hipotenusa CB do triângulo retângulo ABC.
T_028
(PUC) Seja ABCD um retângulo e seja P um ponto no 38.
interior desse retângulo, tal que AP = 3cm, BP = 4cm e CP = 5cm. Calcule DP.
(UFF) Uma folha de papel em forma de retângulo ABCD 39.
é dobrada no segmento EF , de modo que o vértice B coincida com o vértice D, como nas figuras.
Sabendo-se que as dimensões do retângulo são AB = 8cm e BC = 4cm, determine a medida do segmento EF. (UFF) Na figura abaixo, o triângulo QRS é equilátero e 40.
está inscrito no quadrado MNPQ, de lado L.
Pode-se afirmar que o lado do triângulo é:
L 2 2 a) L 3 3 b) L 6 2 c) L( 2+ 6) d) L( 6− 2) e)
(Cesgranrio) Na figura a seguir, o ângulo
41. XOY� é de 45º. Se A B1 1 e A B2 2são perpendiculares a OX e se A B2 1 e A B3 2 são perpendiculares a OY , calcule a A B
(Cesgranrio) Um quadrado ABCD de lado
42. tem cada um
de seus lados divididos em 9 partes iguais. Ligando-se com segmentos de reta os pontos de divisão, segun-do a direção da diagonal AC, obtém-se o hachurado mostrado na figura.
9
Calcule a soma dos comprimentos dos 17 segmentos assim obtidos.
O ponto mais baixo de uma roda gigante circular de 43.
raio 6m dista 1m do solo. A roda está girando com três crianças que estão, duas a duas, à mesma distância. A que distância do solo estão duas delas, no momento em que a outra está no ponto mais alto.
Canos de 50cm de diâmetro externo são empilhados, 44.
como mostra a figura, de modo que cada cano está em contato com seus vizinhos imediatos.
h
Calcule a altura h indicada.
(UFF) Na figura abaixo, as circunferências têm raios 45.
iguais a R e estão inscritas em um triângulo equilátero de lado igual a 2cm. R= cm + 1 1 3 a) R= cm + 3 1 3 b)
R= cm + 3 1 2 c) R= cm + 3 2 3 d) R= cm + 2 2 3 e)
Um acampamento para meninas fica a 300m de uma 46.
estrada reta. Nessa estrada, um acampamento para meninos fica localizado a 500m do acampamento das meninas. Deseja-se construir uma cantina na estrada, que fique exatamente à mesma distância de cada acampamento. Essa distância será de:
302,5m a) 305m b) 308,5m c) 312,5m d) 315m e) Na figura a seguir, 47. AD e BE são perpendiculares e medianas do triângulo ABC.
T_028 y = 75° 1. 2. = 15° 195° 3. 4. = 20° 5. = 6m B. 6. A. 7. D. 8. C. 9. A. 10. C. 11. D. 12. C. 13.
4 + 10 < 15, o que contradiz a desigualdade triangular, 14.
logo não será possível. 15. V a) V b) V c) V d) F e) F f) V g) OP 16. = 4cm AI 17. = 2x = 30cm IM 18. = 10cm AM 19. = 15cm C 20. E 21. AD 22. = 6m A 23.
D 24. C 25. B 26. A 27. D 28. x = 2,5cm 29. x = 4 30. 31.
A função permanece constante e com o valor míni-a) mo entre 0 e 50Kwh. x = 180Kwh. b) 32. 6 2 x = cm a) cm 4(1 2) x = + cm b) cm 10(2 3) x = + cm c) cm 13 AD BC= = cm d) cm x = 6cm C 33. A 34. A 35. 1,5(1 2 3)m+ 36. m 100/7 37. D 38. B 39. D 40. 6cm 41. C 42. B 43. E 44. E 45. (1 2) R + 46. 2P 1. ARS = 33cm E 2. x = 3. – – DJE^ 6. = 22° 7. A 8. A 9. D 10. BDE 11. = 60º Â = 20° 12. 13. = 30° Demonstração. 14. Demonstração. 15. AP 16. = 2a = 12cm. C 17. α 18. = 100º BC 19. = BH + HC = DD´ + FF´ = 25cm. D 20. E 21. E 22. B 23. x = 24. h6 25. AB a) = 12 e AE = 24. x = 15 b) 26. a) 1,5 4 12,3 x = 20,5m b) 18cm de perímetro. 27. x = 16 28. AB 29. = 12 r = 5cm 30. 2 2− 2cm 31. 40m 32. 16,8cm 33. A 34.
T_028 36. Resposta pessoal. a) 21km b) BC 37. = 25cm; AC = 15cm e AB = 20cm. 3 2cm 38. 2 39. 9 25cm E 40. 2 41. 2 9 42. – 4m 43. 50 3 1
