Avaliação Bimestral – 1° Bim/2014 1

(1)

CENTRO EDUCACIONAL ESPAÇO INTEGRADO Ensino Médio

Aluno (a): _______________________________________________________________

Série: 3ª Turma:_____ Data: ____/_____/2015 Disciplina: Matemática Professor(a): Emanuel

NOTA:

_______

1. (Pucrj 2014) Considere a função polinomial f(x) 1x³ x.

3  a) Esboce o gráfico de ^f(x).

b) Determine todos os valores reais de ^c para que o gráfico de 1 ³

h(x) x x c

 3   intercepte o eixo x em um único ponto.

c) Esboce o gráfico de g(x) 1x³ | x |.

3 

(2)

2. (Pucrj 2014) Considere a função real f(x) 1x³ 1x²

3 2

  cujo gráfico está exibido abaixo:

a) Determine as raízes de f(x) 0.

b) Determine todos os valores reais de c para que o gráfico de h(x) 1x³ 1x² c

3 2

   intercepte o eixo x em um único ponto.

c) Esboce o gráfico de 1 ³ 1 ²

g(x) x x .

3 2

 

(3)

3. (Pucrj 2014) Vamos empilhar 4 caixas de alturas distintas. A caixa maior tem ^{1 m} de altura, cada caixa seguinte, em tamanho, tem um terço da altura da anterior.

a) Determine a altura da nossa pilha de 4 caixas.

b) Se empilharmos as caixas em ordem aleatória, qual é a probabilidade de a caixa de baixo ser a caixa mais alta?

c) Se empilharmos as caixas em ordem aleatória, qual é a probabilidade de a caixa de baixo ser a caixa mais alta e a do topo ser a mais baixa?

4. (Pucrj 2014) a) Qual é o resultado de divisão de N 123123123123123123 por 123?

b) Uma garota diz que pode multiplicar qualquer número de três dígitos por 1001 instantaneamente. Se um colega diz

“715” ela fornece a resposta da multiplicação imediatamente. Determine o valor encontrado e explique o segredo da garota.

c) De quantas maneiras possíveis 7 cachorros podem consumir 10 biscoitos caninos?

Observações:

Os biscoitos não podem ser fracionados. Os cachorros e os biscoitos são indistinguíveis.

Por exemplo, um cachorro pode comer todos os 10 biscoitos.

5. (Pucrj 2014) a) Considere um pentágono convexo inscrito em um círculo. Determine o número de pontos interiores onde as diagonais se interceptam (sem contar os vértices). Definimos diagonal de um polígono convexo como sendo o segmento de reta que une dois vértices não consecutivos.

b) Repita os cálculos acima para um hexágono convexo inscrito em um círculo.

c) Generalize os resultados acima para um polígono convexo de N lados inscrito em um círculo.

6. (Pucrj 2014) Considere o quadrado ABCD como na figura. Assuma que ^A^^(5,12) e ^{B (13,6).}^

(4)

a) Determine a medida do lado do quadrado ABCD.

b) Determine a equação da reta que passa por C e D.

c) Determine a equação do círculo inscrito no quadrado ABCD.

7. (Pucrj 2014) Considere o triângulo equilátero ABC inscrito no círculo de raio 1 e centro O, como apresentado na figura abaixo.

a) Calcule o ângulo AOB.

b) Calcule a área da região hachurada.

c) Calcule a área do triângulo ABC.

8. (Pucrj 2014) Fabio tem um jardim ACDE com o lado AC medindo 15 m e o lado AE medindo 6 m, A distância entre A e B é ^{7 m.} Fabio quer construir uma cerca do ponto A ao ponto D passando por B. Veja a figura abaixo.

a) Se a cerca usada entre os pontos A e B custa 100 reais o metro e a cerca entre os pontos B e D custa 200 reais o metro, qual o custo total da cerca?

b) Calcule a área da região hachurada ABDE.

c) Considere o triângulo BCD, apresentado na figura abaixo. Sabendo-se que o triângulo BB’D’ possui cateto BB’ 2BC, calcule a área do triângulo BB’D’.

(5)

Gabarito:

Resposta da questão 1:

a) Supondo f :  e reescrevendo a lei de f, obtemos

3 2

f(x) 1x x 3

1x(x 3) 3

1x(x 3)(x 3).

3

 

  

Logo, o gráfico de f intersecta o eixo das abscissas em x  3, x0 e x 3. Além disso, segue que ^{f(x) 0}^ para x  3 e 0 x 3; e ^{f(x) 0}^ para  3  x 0 e x 3.

Calculando a derivada de f, obtemos f '(x)x² 1 (x 1)(x 1).  Assim, como ^{f '(x) 0}^ para x 1 e x 1, segue-se que f é crescente nesses intervalos. Por outro lado, sendo ^{f '(x) 0}^ no intervalo   1 x 1, tem-se que f é decrescente nesse intervalo. Em consequência, ^1,²

3

 

 

  é um ponto de máximo local e ^1, ² 3

  

 

  é um ponto de mínimo local do gráfico de f.

Portanto, um esboço do gráfico é

b) Supondo h : , observando que h(x) f(x) c  e de acordo com o item (a), é fácil ver que o gráfico de h terá um único ponto de interseção com o eixo das abscissas, desde que ^c ²

3 ou ^c ²^.

 3 c) Supondo g : , tem-se

3 3

1x x, se x 0

g(x) 3 .

1x x, se x 0 3

  

 

  



Logo, para x 0 é imediato o esboço do item (a). Se x 0, então ^g(x) ¹^x(x² ^3).

3  Nesse caso, o gráfico de ^g intersecta o eixo das abscissas apenas em x 0, e g(x) 0 para todo x 0. Portanto, um esboço é

(6)

a) As raízes de f são tais que

3 2 2

1x 1x 0 1x x 3 0

3 2 3 2

x 0 ou x 3. 2

 

     

  

b) Note que h(x) f(x) c.  Além disso, do gráfico de f, sabemos que ^{(0, 0)} é um ponto de máximo local e 1 1, 6

  

 

 

é um ponto de mínimo local. Portanto, para que o gráfico de h intersecte o eixo x em um único ponto, deve-se ter c0 ou ^c ¹^.

 6

c) Como g(x) | f(x) |, basta refletirmos a parte negativa do gráfico de f em relação ao eixo das abscissas.

a) As alturas das caixas, em metros, são ^{1, ,}^{1 1} 3 9 e 1

27. Logo, a altura da pilha é igual a 1 4

1 3 40

1 m.

1 27

1 3

    

 



b) Existem P3 3! configurações nas quais a caixa de baixo é a mais alta. Portanto, como existem P44! disposições possíveis, segue que a probabilidade é 3! 1

4! 4.

c) Analogamente ao item (b), tem-se que a probabilidade é 2! 1 4!12.

Resposta da questão 4:

a) Note que

(7)

Portanto, o resultado pedido é

15 12 9 6 3

123123123123123123 123 10 123 10 123 10 123 10 123 10 123

123 123

10 10 10 10 10 1

1001001001001001.

         



     



b) Podemos escrever 1001 1000 1.  Logo, temos 715 1001 715 (1000 1) 715715.    

Seja abc, com a, b, c{0, 1, 2,, 9} e a 0.

O segredo é que todo número abc multiplicado por 1001 resulta em abc (1000 1) abc000 abc    abcabc.

c) Sendo os cachorros e os biscoitos indistinguíveis, temos as seguintes possibilidades:

{10}, {9, 1}, {8, 2}, {8, 1, 1}, {7, 3}, {7, 2, 1}, {7, 1, 1, 1}, {6, 4}, {6, 3, 1}, {6, 2, 2}, {6, 2, 1, 1}, {6, 1, 1, 1, 1}, {5, 5}, {5, 4, 1}, {5, 3, 2}, {5, 3, 1, 1}, {5, 2, 2, 1}, {5, 2, 1, 1, 1}, {5, 1, 1, 1, 1, 1}, {4, 4, 2}, {4, 4, 1, 1}, {4, 3, 3}, {4, 3, 2, 1}, {4, 3, 1, 1, 1}, {4, 2, 2, 2}, {4, 2, 2, 1, 1}, {4, 2, 1, 1, 1, 1}, {4, 1, 1, 1, 1, 1, 1}, {3, 3, 3, 1}, {3, 3, 2, 2}, {3, 3, 2, 1, 1}, {3,

3, 2, 2, 2, 1 3, 2, 2, 1, 1, 1 3, 2, 1, 1, 1, 1, 1 2, 2, 2, 2, 2 2, 2, 2, 3 2

, 1, 1, 1, , 1, 1

1},

{ }, { }, { }, { }, { },

2, 2, 2, 1, { 1, 1, 1}.

Portanto, o resultado pedido é igual a 38.

Observação: Caso os cachorros fossem distinguíveis e os biscoitos indistinguíveis, o resultado seria dado por

107

CR 16 8008.

10

 

 

 

a) Considere o pentágono regular da figura.

Segue que o resultado pedido é 5.

b) Supondo que o resultado pedido seja o número máximo de interseções, considere o hexágono convexo da figura, em que não existem duas diagonais paralelas.

(8)

Portanto, o resultado é 15.

Observação: Note que se o hexágono fosse regular, a resposta seria 13. De fato, considere a figura.

O número máximo de interseções das diagonais de um polígono convexo de ⁿ lados é dado por ^{ } ⁿ₄ ^,

  que corresponde ao número de quadriláteros que podemos formar com os n vértices (para cada quadrilátero formado temos uma interseção de suas diagonais).

c) Item anulado pela banca.

a) A medida do lado do quadrado é igual a

2 2

d(A, B) (13 5) (6 12) 64 36

10 u.c.

   

 



b) O coeficiente angular da reta AB é igual a

AB

6 12 3

m .

13 5 4

   

 

Como ABCD é quadrado, segue que ABBC.

Logo, se mBC^ denota o coeficiente angular da reta BC,

então

BC

m 4.

3



Seja ^{C ( , ),}^ ^{α β} com α13 e ^β^^6, de acordo com a figura abaixo.

(9)

Sabendo que 

mBC^ tgPBC, tem-se

 PC 4

tgPBC PC PB.

PB 3

   

Por (a) vem que _{BC 10.} Agora, pelo Teorema de Pitágoras aplicado no triângulo BPC, concluímos que PB6, o que implica em _{PC 8.} Donde obtemos C (19, 14).

Finalmente, segue que a equação da reta que passa por C e D é

3 3 113

y 14 (x 19) y x .

4 4 4

       

c) O centro do círculo é o ponto médio da diagonal AC, ou seja, 5 19 12 14

, (12, 13),

2 2

 

  

 

  e seu raio mede a

metade do lado do quadrado, isto é, 5. Portanto, a equação pedida é (x 12) ²(y 13) ² 25.

a) Sendo ΔABC equilátero, os vértices A, B e C dividem a circunferência em três arcos congruentes de medida igual a ³⁶⁰ ^{120 .}

3

 

b) Sabendo que o lado _ de um triângulo equilátero, inscrito num círculo de raio ^r, é dado por r 3, segue-se que AB 1 3   3 u.c. Portanto, a área pedida é igual a

2 2

1 1 ( 3) 3 1 (4 3 3) u.a.

3 π 4  12 π

     

 

c) De [B], vem

( 3)2 3 3 3

(ABC) u.a.

4 4

  

a) Vamos supor que ACDE seja um retângulo.

Temos BCAC AB 15 7 8 m.    Daí, sendo AE CD 6 m,  aplicamos o Teorema de Pitágoras no triângulo BCD para encontrar BD 10 m.

Por conseguinte, o custo total da cerca é igual a 7 100 10 200 R$ 2.700,00.    b) Se ACDE é um retângulo, então

AB DE

(ABDE) AE

2 7 15 6

2

  

(10)

2

(BB'D) 1 BB' B'D' 2

1 16 6 2 48 m .

  



(11)