IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS NÃO LINEARES USANDO O ÍNDICE MÉDIO DE COERÊNCIA

IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS NÃO LINEARES USANDO O ÍNDICE MÉDIO DE

COERÊNCIA

Eduardo Bento Pereira

_(IC)

Danton Diego Ferreira

_(PG)

Erivelton Geraldo Nepomuceno

_(PQ)

_{Universidade Federal de Juiz de Fora (UFJF)}

_{Universidade Federal de São João del-Rei (UFSJ)}

Resumo: Modelos não lineares são amplamente utilizados para representação de sistemas

reais. Várias técnicas de identificação de sistemas não lineares vem sendo desenvolvidas,

tendo a etapa de validação do modelo como a mais importante deste processo. A maioria das

técnicas de validação são baseadas no domínio do tempo. Este fato, torna o seu uso pouco

atrativo quando os sistemas a serem identificados são caóticos ou apresentam ruído. Este

trabalho propõe a utilização do Índice Médio de Coerência, como técnica para identificação

e validação de modelos não lineares. Esta nova técnica baseada no domínio da freqüência

mostrou-se eficiente para os sistemas teste utilizados.

Abstract: Nonlinear models have been widely used to model real systems. Many techniques of

nonlinear system identification have been developed. The model validation is the most

important step of this process. The majority of techniques are based on time domain. This fact

makes its use less interesting, when systems are chaotic or noisy. This work aims at using the

Mean Index Coherence, as a technique of nonlinear identification and validation models.

This new technique based on frequency domain shows efficient on the used test systems.

Recentemente, modelos não lineares têm sido fortemente estudados, uma vez que eles simulam mais precisamente um amplo conjunto de sistemas [1-3]. Técnicas de controle e análises de sistemas, bem como processamento de sinais e sistemas de identificação têm sido desenvolvidos especificamente para modelos não lineares [2,4]. A validação dos modelos estimados, que se constitui na última etapa de um processo de identificação [6] e particularmente na mais importante delas, não é uma tarefa trivial. Uma maneira de facilitar este processo é obter uma família de modelos, simulando um único sistema, sendo que tais modelos são usualmente obtidos por otimização multiobjetivo [1,2], e finalmente escolher dentre eles o melhor. Embora esta estratégia flexibilize a escolha do modelo final, existem alguns sistemas em que tal análise torna-se freqüentemente subjetiva, uma vez que o resultado da validação dependerá da aplicação pretendida para o modelo e da quantidade de informação disponível sobre o sistema original [2,5].

De acordo com Aguirre [6], as ferramentas mais convencionais de validação de modelos não são particularmente atrativas quando os modelos são caóticos e, portanto, diversas ferramentas alternativas como trajetórias de espaço de estados [7], seções de Poincaré [8], dinâmica de atratores [6], diagramas de bifurcação [8], expoentes de Lyapunov [8] e a dimensão de correlação [8] têm sido usadas para quantificar a qualidade e adequação dos modelos estimados.

Dentro deste contexto, os diagramas de bifurcação são bem mais sensíveis às variações das estruturas de modelos do que as outras técnicas empregadas na validação [8]. Por outro lado, a comparação entre o atrator de um sistema e o do modelo estimado deste sistema é também largamente utilizado. Além destas técnicas, a raiz do erro médio quadrático (RMSE, do inglês “root-mean-square error”) também tem sido utilizado neste sentido [9]. Contudo, estas técnicas de validação não levam

explicitamente em consideração o domínio da freqüência, e algumas informações importantes podem ser omitidas quando analisadas no domínio do tempo. Por isso, técnicas baseadas na função de coerência (análoga ao coeficiente de correlação, porém no espectro de freqüência) para o estudo da validação de modelos têm sido recentemente empregadas na validação de modelos não lineares [10]. Dentre elas destaca-se a coerência simples (também conhecida somente como coerência), que é empregada para estimar a dependência linear entre o sinal de saída de um modelo simulado e o sinal de saída do sistema original. Os resultados são mostrados em faixas de freqüência, com o objetivo maior de identificar para qual freqüência o modelo simulado melhor se aproxima do sistema original.

Este trabalho tem como objetivo avaliar a aplicação da coerência na validação de modelos. Para tal é proposto o Índice Médio de Coerência (IMC). Os resultados são comparados com aqueles obtidos utilizando o RMSE. O sistema teste utilizado consiste num sistema autônomo não linear, o qual apresenta um diagrama de fase [16] semelhante ao diagrama de fase do Mapa Logístico [14], utilizado para modelar dinâmicas de crescimento populacional em algumas populações de seres vivos. Como aplicação, foi utilizado o sistema de Lorenz [15], que é um exemplo clássico de um sistema autônomo caótico.

2. COERÊNCIA

A função de coerência é uma medida do sincronismo entre componentes de dois sinais em uma faixa de freqüência específica, sendo equivalente ao espectro cruzado normalizado, em que sua amplitude varia entre zero (sinais não correlacionados) e um (sinais perfeitamente correlacionados). Tal normalização é demonstrada pela desigualdade de Shwartz [11]. O módulo ao quadrado da função de coerência é chamado simplesmente de coerência [12]. Sua estimativa pode ser representada, de acordo com Bendat e Piersol [13], como:

) ( ˆ ) ( ˆ ) ( ˆ ) ( ˆ 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 f S f S f S f y y y y y y y y γ

,

em que “^” sobrescrito representa a estimativa, Ŝy1y2(f) é o espectro cruzado entre y1[k] e y2[k] e Ŝyjyj(f)

(j=1,2) é o espectro de potência de yj[k]. Tal estimativa espectral pode ser obtida como:

∑

em que Yqi(f) (Ypi(f)) é a i-ésima janela da Transformada de Fourier do sinal yq[k] (yp[k]), “*”

sobrescrito mede o complexo conjugado e M denota o número de segmentos utilizados na estimativa. Tal expressão não precisa ter o fator da media (usualmente 1/MT, com T denotando a duração da janela) uma vez que este será claramente cancelado na estimativa da coerência em (1).

2.1 Índice Médio de Coerência

O IMC é proposto como medição da similaridade entre o sistema original e o modelo. Este índice é agora definido como a média da estimativa da coerência definida em (1). Assim:

∑

_,

Em que N é o número de pontos de freqüência considerados. Portanto, os valores do IMC,

assim como na coerência, definida em (1), são restritos a faixa de zero a um.

3. METODOLOGIA

A validação consiste na última etapa do processo de identificação de sistemas. Diversos trabalhos vem sendo realizados nesta área com o intuito de aperfeiçoar as técnicas de validação de sistemas. O erro quadrático médio (RMSE) vem sendo usado neste sentido através da comparação no

domínio do tempo entre o sinal original e o sinal obtido com a simulação do modelo obtido. A equação (4) define o cálculo do RMSE.

∑

∑

,

em que ŷ(k) é o sinal de saída estimado, y(k) o sinal de saída obtido na simulação do modelo e

y

representa o valor médio de y(k).

Porém, de acordo com Aguirre [6], as ferramentas mais convencionais de validação de modelos não são particularmente atrativas quando os modelos são caóticos. Além disso, a presença de ruído no sinal utilizado para modelagem do sistema pode interferir na escolha do sistema quando o RMSE é utilizado. Assim, o IMC é utilizado para validação dos modelos como ferramenta de validação no domínio da freqüência. Este procedimento será comparado com o método clássico de validação de sistemas, o cálculo do RMSE.

O sistema de teste consiste em um modelo autônomo não linear que apresenta um diagrama de fases semelhante ao diagrama de fase do Mapa Logístico para taxa de crescimento igual a 3,87 [14]. Este sistema é representado por:

y(k) = 3,87 y(k-1) – 3,87 y(k-1)2_{. (5)}

Para identificação do modelo, foi escolhida a estrutura NARX polinomial [16] (do termo em inglês Nonlinear AutoRegressive model with eXogenous variables). Esta é uma das possíveis estruturas dos modelos NARX, sendo que nestes modelos, o valor de saída y(k) é explicado em função de valores prévios dos sinais de saída e de entrada, denominados regressores [16]. Os modelos NARX são definidos como:

( 1), , ( ), ( ) ( ), , ( 1) y u y k y k n y k F u k d u k d n − −   = _{ } − − − +  

,

em que ny, e nu, são os máximos atrasos da saída e entrada, respectivamente; d é o tempo de atraso

medido no intervalo de amostragem Ts; y(k) e u(k) são os conjuntos de dados de saída e entrada, respectivamente; 

FF



é considerado neste trabalho 

como um polinômio não linear de grau .

Para a obtenção do conjunto de dados utilizado para a identificação do modelo, o sistema representado em (5) foi simulado através de funções desenvolvidas no Matlab. Por tratar-se de um sistema autônomo, não é obtido um conjunto de pares de valores de entrada e saída, mas apenas um conjunto de dados para cada variável do sistema. Portanto, o sistema NARX polinomial a ser identificado é composto apenas por regressores de saída. O conjunto é composto por dez mil pontos, sendo os dados divididos em dois subconjuntos: dados de identificação e dados de validação [16].

Um conjunto de modelos candidatos é obtido por meio das funções desenvolvidas, em que suas estruturas são compostas pela combinação dos possíveis regressores. O máximo atraso dos regressores de saída (ny), o grau de não linearidade (L) e o número de termos do polinômio (nt ) foram

limitados em 3, 2 e 5, respectivamente.

Os parâmetros de cada modelo gerado, ou seja, os coeficientes do polinômio que representa cada modelo, foram ajustados através do método dos mínimos quadrados [16], utilizando-se os dados obtidos na simulação do sistema de teste dado em (5).

Após o ajuste dos parâmetros, cada modelo candidato foi simulado utilizando-se como condição inicial os primeiros valores do conjunto de dados de validação. Estes valores eram tantos quanto os números de atraso de saída. O conjunto de dados obtidos por meio da simulação foi utilizado juntamente com o conjunto de dados de validação para o cálculo dos índices RMSE e IMC.

Assim, os modelos com menor RMSE e com o melhor IMC (mais próximo a um), foram selecionados. O processo de identificação foi refeito somando-se ao conjunto de dados um sinal de ruído com amplitude máxima de 1% do valor da amplitude do sinal do sistema de teste.

Como aplicação, o processo de identificação foi realizado também para o sistema Lorenz, que é um sistema autônomo clássico que apresenta um atrator caótico [14]. A representação em espaço de estados deste sistema é apresentada pela equação (7). Como as três variáveis do sistema Lorenz apresentam comportamento caótico, escolheu-se a variável x3 para a identificação do modelo utilizando-se os dados obtidos na simulação. O sistema foi simulado em um período de 0 a 20 segundos utilizando uma freqüência de amostragem de 500 amostras/segundo O conjunto é composto por dez mil pontos, sendo os dados divididos em dois subconjuntos: dados de identificação e dados de validação [16]. O processo de identificação foi idêntico ao utilizado para o sistema de teste.

) ( 3 8 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 28 ) ( 10 ) ( 10 ) ( ) ( ) ( 3 2 1 3 1 2 1 2 1 3 2 1 t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x . (7) 4. RESULTADOS

Figura 1. Diagrama de fases para (a) sinal modelo original, (b) sinal do modelo original com ruído, (c) sinal do modelo selecionado pelo RMSE através do sinal do modelo original, (d) sinal do modelo selecionado pelo

RMSE através do sinal do modelo original com ruído, (e) sinal do modelo selecionado pelo IMC através do

sinal do modelo original, (f) sinal do modelo selecionado pelo IMC por meio do sinal do modelo original com ruído.

Como mencionado na seção 3, o sistema de teste em (5) foi simulado e o diagrama de espaço de estado obtido é mostrado na Figura 1a. A Figura 1b mostra o diagrama de fases do sistema

original com a presença de ruído. Os diagramas de fases para os modelos selecionados através do índice RMSE para o sinal sem ruído e para o sinal com ruído são mostrados, respectivamente, na Figura 1c e na Figura 1d. Os diagramas de fases para os modelos selecionados através do índice IMC para o sinal sem ruído e para o sinal com ruído são mostrados , respectivamente, na Figura 1e e na Figura 1f.

A Figura 1 mostra uma grande semelhança entre os diagramas de fase do modelo original sem ruído (Fig. 1a) e dos modelos selecionados pelo RMSE (Fig. 1b) e IMC (Fig. 1c). Tal semelhança não fica evidente entre os diagramas de fase do modelo original com ruído (Fig. 1b) e dos modelos selecionados pelo RMSE (Fig. 1d) e IMC (Fig. 1f). A Tabela 1 contém os modelos selecionados para o sistema de teste. Os termos constantes nos modelos sem ruído são de pequena amplitude e podem ser desprezados.

Tabela 1

Índice

Modelo selecionado

RMSE (sem ruído) y(k) = – 3,87

×

×

×

4,0202

×

IMC (sem ruído) y(k) = – 3,87 × y(k-1)2 _{+ 3,87} × _{y(k-1) – 3,0149} × ₁₀-15

RMSE (com ruído) y(k) = 0,2027

×

×

×

×

y(k-2) + 0,047

IMC (com ruído) y(k) = – 3,794

×

×

×

×

(k-2) + 0,0258

A Tabela 2 contém os modelo selecionados para o sistema de Lorenz.

Tabela 2

Índice

Modelo selecionado

RMSE

y(k) = 2,9347

×

×

×

×

×

7,6881x10-5

×

×

×

×

×

×

×

(k-3)2 _{– 1,9790x10}-8

×

×

×

×

×

×

(k-3)2 _{+ 2,1229}

×

×

×

×

×

×

×

y(k-3) – 7,6994

×

×

×

IMC

y(k) = 2,9215

×

×

×

×

×

4,4173

×

×

×

×

×

×

+ 0,6622

×

×

×

×

×

×

(k-3)

×

×

×

×

×

×

×

y(k-2)2 _{+ 0,045}

×

×

×

×

×

5. CONCLUSÕES

Analisando os resultados para o sistema de teste, mostrados na Figura 1, é possível observar que para o primeiro caso, em que o sistema foi simulado sem a presença de ruído, os índices foram capazes de selecionar modelos que apresentam um diagrama de fases semelhante ao sistema original. Porém o IMC selecionou um modelo muito próximo do modelo em (5), diferindo apenas em um termo constante que pode ser desprezado. Sendo, também, este modelo menos complexo que o modelo selecionado pelo RMSE, como mostrado na Tab. 1. Para o segundo caso, em que há presença de ruído, o RMSE selecionou novamente um modelo mais complexo que o IMC, e este modelo não apresenta o diagrama de fases semelhante ao do modelo original. Ou seja, com a presença de ruído com amplitude de 1 % em relação ao sinal original, o RMSE não foi capaz de selecionar um modelo adequado para o modelo teste utilizado.

Para o sistema de Lorenz, o modelo selecionado pelo IMC também apresenta uma estrutura mais simples que o modelo selecionado pelo RMSE. Sendo que o modelo selecionado pelo IMC é de terceira ordem e o modelo selecionado pelo RMSE é de quarta ordem.

O IMC mostrou-se maiseficiente que a técnica convencional nos dois casos analisados. Estes testes não podem ser considerados conclusivos. Uma análise mais aprofundada envolvendo outros modelos não lineares e de comportamento caótico é necessária para a consolidação da técnica proposta como uma ferramenta válida para identificação de sistemas. Tais testes serão realizados em trabalhos futuros, assim como a utilização do IMC para a seleção dos regressores que deverão compor a estrutura do modelo e não apenas na seleção de um modelo através de um conjunto de modelos gerados por outras técnicas.

AGRADECIMENTOS

Programa Institucional de Iniciação Científica da UFSJ – PIIC REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

1. Nepomuceno, E. G.; Takahashi, R. H. C.; Aguirre, L. A.; Neto, O. M. and Mendes, E. M. A. M.; “Multiobjective nonlinear system identification: a case study with thyristor controlled series capacitor (TCSC)”; International Journal of Systems Science, 2004, 35 (9), p. 537-546.

2. Nepomuceno, E. G.; Takahashi, R. H. C.; Amaral, G. F. V. and Aguirre, L. A.; “Nonlinear identification using prior knowledge of fixed points: a multiobjective approach”; International Journal of Bifurcation and Chaos, 2003, 25 (5), p. 1229–1246.

3. Nepomuceno, E. G.; Mendes, E. M. A. M. and Neto, O. M.; “Identification of nonlinear dynamics systems with reduced degree of nonlinearity”; In: The Third International Conference on Discrete Chaotic Dynamics in Nature and Society - DCDNS3, Tokyo, Japan, 2002.

4. Giannakis, G. B and Serpedin, E.; “A bibliography on nonlinear system identification”; Signal Process, 2001, vol. 81, p. 533–580.

5. Dolanc, G. and Strmcnik, S.; “Identification of nonlinear systems using a piecewise-linear Hammerstein model”; Systems & Control Letters, 2005, 54 (2), p. 145-158.

6. Aguirre, L. A.; “A tutorial introduction to nonlinear dynamics and chaos, part I: Tools and benchmarks”; Controle & Automaçao, 1996, 7(1), p. 29-49.

7. Monn, F. C.; John Willey and Sons; Chaotic Vibrations – an introduction for applied scientists and engineers; New York, 1987.

8. Aguirre, L. A. and Billings, S. A.; “Validating identified nonlinear models with chaotic dynamics”; International Journal of Bifurcation and Chaos, 1994, 4 (1), p. 109–125.

9. Aguirre, L. A.; Barros, V. C. and Souza, A. V. P.; “Nonlinear multivariable modeling and analysis of sleep apnea time series”; Computers in Biology and Medicine, 1999, vol. 29, p. 207-228.

10. Ferreira, D. D.; Miranda de Sá, A. M. F. L. e Nepomuceno, E. G.; “Validação de modelos baseado na função de coerência”; Congresso Brasileiro de Automática, 2004.

11. Peebles P. Z. J.; MacGraw-Hill; Probability, random variables and random signals principles; Second edition, New York, 1987.

12Benignus, V. A.; “Estimation of the coherence spectrum and its confidence interval using the fast Fourier transform”; IEEE Transactions on Audio and Electroacoustics, 1969, 17 (2), p. 145–150. 13. Bendat J. and Piersol A.; Wiley-Interscience; Random Data Analysis and Measurement

Procedures; Third edition; New York, 2000.

14. Ferrara, N. F. e Prado, C. C.; Caos: Uma Introdução; Editora Edgar Blücher Ltda; São Paulo; 1995

15. Lorenz, E. N.; Deterministic nonperiodic flow; J. Atmosferic Science 20, 130.