integrais multiplos

ISCTEM

Análise Matemática II

Curso de Engenharia Informática

_____________________________________________________________________

Integrais múltiplos.

O conceito de integral duplo ou triplo é uma extensão para funções de duas ou de três variáveis, do conceito de integral definido já visto anteriormente.

1.

VOLUME DE UMA REGIÃO SÓLIDA

Seja

f

uma função contínua tal que

( )

x,y 0

f ≥ para todo o

( )

x,y pertencente a

um domínio plano R , e considere-se o sólido limitado pela superfície z= f

( )

x,y e pelo plano XOY .

Intuitivamente pensamos em calcular o volume de um sólido multiplicado a área da base pela altura. Não será exactamente assim, mas, se pudéssemos cobrir toda a sua região interior com paralelepípedos, calcular a soma dos volumes de cada um, obteríamos realmente o volume do sólido.

Podemos começar por construir uma grelha fina no plano XOY , dividindo o plano em rectângulos por meio de rectas horizontais e verticais. Uma partição interior de R é constituída pela totalidade dos rectângulos fechados inteiramente contidos no domínio plano, R .

Na figura, só os rectângulos sombreados constituem uma partição interior de R .

Designando por P esta partição, chama-se norma da partição,

P , ao comprimento da maior

diagonal destes rectângulos,

Sendo

(

xi,yi

)

um ponto arbitrário na i-ésima sub-região da partição interior de R e i

i i x y

A ∆ ∆

∆ = a área dessa sub-região, o volume do i-ésimo prisma será então dado

pelo produto da área da base pela altura, isto é, f

(

xi,yi

)

∆Ai.

Define-se soma de Riemann de

f

como

(

)

_i

n 1 i i i,y A x f ∆

∑

=

, o que representa o volume de n paralelepípedos ocupando aproximadamente o interior do sólido. Este valor é também uma estimativa para o volume do sólido considerado.

2.

INTEGRAL DUPLO EM COORDENADAS CARTESIANAS. Definição.

Se f está definida numa região R , fechada e limitada do plano XOY , então o

integral duplo de f sobre R é dado por

( )

_∑

(

)

∫∫

= → i i i i 0 P R A y , x f lim dA y , x f ∆

desde que o limite exista.

Diz-se então que f é integrável sobre R .

Salvo para alguns casos muito elementares, não é possível utilizar a definição para calcular integrais duplos. Tal como nos integrais definidos utiliza-se a primitivação para o cálculo destes integrais.

Cálculo de integrais duplos.

Seja f uma função de duas variáveis, contínua numa região rectangular fechada,

( )

[ ] [ ]

{

x,y a,b c,d

}

R= ∈ × . O integral duplo f

( )

x,y dydx d c b a

∫

∫

é calculado com duas

iterações:

Calcula-se primeiro o integral “de dentro”, definido em ordem à variável y , considerando x uma constante. Note que depois desta primeira iteração a função integranda é uma função de x

( )

x,y dy dx A

( )dx

x f b a b a d c

∫

∫ ∫

_⎟⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

e seguidamente, o integral “de fora”, definido em ordem a x .

Neste caso simples se trocarmos dx↔dy e a ordem dos integrais, f

( )

x,y dxdy b

a d

c

∫

∫

,

calcula-se primeiro o integral definido em ordem à variável x , considerando y uma constante

( )

x,y dx dy B

( )dy

y f d c d c b a

∫

∫ ∫

_⎟⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

e seguidamente, o integral definido em ordem a y .

Exemplo: Calcule

(

2x 6x y

)

dydx 2 1 2 4 1

∫

∫

− + . Solução:

Considerando x constante, calcule-se em primeiro lugar

∫

(

)

− + 2 1 2 dy y x 6 x 2 donde irá

resultar uma função A

( )

x .

(

2x 6x y

)

dy dx

[

2xy 3x y

]

dx

(

6x 9x

)

dx 4 1 2 2 1 4 1 2 2 2 1 2 4 1

∫

∫

∫

∫

= + = + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − − .

Segue-se o cálculo do integral resultante definido em x .

(

6x 9x

)

dx

[

3x 3x

]

41 234. 3 2 4 2 _{= + =} +

∫

Neste exemplo, e como introdução, foi apresentado o caso mais simples em que a região de integração era uma região rectangular

Naturalmente estas não são as regiões que aparecem mais frequentemente. Considere agora as duas regiões planas apresentadas nas figuras abaixo.

onde as funções g₁,g₂,h₁,h₂, são contínuas nos intervalos

[ ]

a,b e

[ ]

c,d

respectivamente, e onde g₁

( )

x ≤g₂

( )

x para todo o x em

[ ]

a,b e h₁

( )

y ≤h₂

( )

y para todo o y em

[ ]

c,d . Em

( )

i a região será chamada região do tipo 1 ou vertical simples e, em

( )

ii , região do tipo 2 ou horizontal simples.

A região do tipo 1 define-se como R₁ =

{

( )

x,y ∈IR2 :a≤x≤b e g₁

( )

x ≤ y≤g₂

( )

x

}

e a região do tipo 2, como R₂ =

{

( )

x,y ∈IR2 : h₁

( )

y ≤x≤h₂

( )

y e c≤y≤d

}

.

Assim para uma dada função f

( )

x,y contínua em R , 1

( )

( )

( ) ( ) dx dy y , x f dx dy y , x f b a x g x g R 2 1 1

∫ ∫

∫∫

=

e, para uma dada função f

( )

x,y contínua em R , ₂

( )

( )

( ) ( ) dy dx y , x f dy dx y , x f d c y h y h R 2 1 2

∫ ∫

∫∫

= .

Exemplo:

Calcule

(

x 4y

)

dA

R 3

∫∫

+ , onde R é a

região do plano XOY limitada pelos gráficos das equações y=x2 e y=2x.

Solução:

(

x 4y

)

dA R 3

∫∫

+ =

(

x 4y

)

dy dx 2 0 x 2 x 3 2

∫ ∫

_⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + =

∫

[

x y+2y

]

dx= x 2 x 2 0 2 3 2 =

∫

[

(

+

) (

− +

)

]

= 2 0 4 5 2 4 3 32 dx x 2 x x 8 x 2

3.

PROPRIEDADES DOS INTEGRAIS DUPLOS.

Sejam f e g numa região plana fechada e limitada, R , do plano XOY e seja c uma constante. 1.

∫∫

( )

=

∫∫

( )

R R dA y , x f c dA y , x f c . 2.

∫∫

[

( ) ( )

±

]

=

∫∫

( )

±

∫∫

( )

R R R dA y , x g dA y , x f dA y , x g y , x f . 3. f

( )

x,y dA 0 se f

( )

x,y 0 R ≥ ≥

∫∫

. 4. f

( )

x,y dA g

( )

x,y dA 0 se f

( ) ( )

x,y g x,y R R ≥ ≥ ≥

∫∫

∫∫

. 5.

∫∫

( )

=

∫∫

( )

+

∫∫

( )

2 1 R R R dA y , x f dA y , x f dA y , x f onde R=R₁∪R₂.

Exemplo de aplicação da propriedade 5:

Calcule

(

2x y

)

dA

R

2

∫∫

− , onde R é a

região do plano XOY representada na figura ao lado.

Solução:

A região de integração, R , pode ser considerada do tipo 2, no entanto, uma outra maneira de a visualizar é como união das duas regiões R e1 R . 2

Assim,

(

2x y

)

dA R 2

∫∫

− =

(

2x y

)

dA 1 R 2

∫∫

− +

(

2x y

)

dA 2 R 2

∫∫

− =

(

2x y

)

dydx

(

2x y

)

dydx 2 0 3 1 x 2 0 2 3 1 x 2

∫ ∫

∫ ∫

+ − − + − + − = 3 68 −

Sugestão de trabalho: calcular o mesmo integral, considerando a região do tipo 2.

4.

INTEGRAIS DUPLOS EM COORDENADAS POLARES.

Para certo tipo de regiões R do plano sobre as quais pretendemos calcular um integral duplo, torna-se conveniente descrever R usando coordenadas polares.

Exemplos:

( )

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ _{≤ ≤ ≤ ≤} = 2 0 , 2 r 0 : , r R θ θ π

( )

{

r,θ :1 r 3,0 θ 2π

}

R= ≤ ≤ ≤ ≤

Lembramos que as de coordenadas polares num ponto

( )

r,θ estão relacionadas com as coordenadas cartesianas

( )

x,y desse ponto por

θ cos r x= y=rsenθ 2 2 2 y x r = + x y tgθ=

Em analogia com o que se faz nos integrais duplos sobre regiões expressas em coordenadas cartesianas, também se distinguem dois tipos de regiões polares:

( )

( )

( )

{

θ θ ≤ ≤ θ α ≤θ≤β

}

= r, :g r g ,

R1 1 2

com g1eg2 funções contínuas em

[ ]

α,β

( )

( )

( )

{

r, :a r b, g r g r

}

R1 = θ ≤ ≤ 1 ≤θ≤ 2

com g₁eg₂ funções contínuas em

[ ]

a,b Teorema.

Seja f é uma função contínua numa região polar R ,

a)

Se R é do tipo R , então ₁

( )

(

)

( ) ( ) θ θ θ β α θ θ d dr r sen r , cos r f dy dx y , x f 2 1 1 g g R

∫ ∫

∫∫

=

b)

Se R é do tipo R , então ₂

( )

(

)

( ) ( ) dr d r sen r , cos r f dy dx y , x f b a r g r g R 2 1 2 θ θ θ

∫ ∫

∫∫

=

Exemplo: Calcule

(

x y

)

dxdy R 2 2

∫∫

+ , sendo R=

{

( ) (

x,y : x−1

)

2 +y2 ≤1

}

. Solução

Para calcular este integral é conveniente usar coordenadas polares. Utilizando a mudança de coordenadas x=rcosθ, y=r senθ a região de integração ( círculo de raio

1 centrado no ponto

( ) ( )

x,y = 1,0 ), é dada por

( )

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ _{− ≤ ≤ ≤ ≤} = θ π θ π ,0 r 2cosθ 2 2 : , r R .

Atendendo a que r2 =x2 + y2, o integral pode escrever-se

∫ ∫

− 2 2 cos 2 0 2 d dr r r π π θ θ. e

∫ ∫

− 2 2 cos 2 0 2 d dr r r π π θ θ=

∫

− 2 2 4 d cos 4 π π θ θ =

∫

− ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 2 2 2 d 2 2 cos 1 4 π π θ θ = 2 3π .

5.

APLICAÇÕES GEOMÉTRICAS DO INTEGRAL DUPLO 5.1. Cálculo do volume de um sólido.

Sejam f e ₁ f duas funções contínuas definidas numa região R fechada e 2

limitada do plano tais que f2

( )

x,y ≥ f1

( )

x,y ≥ para todo o 0

( )

x,y ∈ . R

O volume do sólido limitado superiormente pela superfície z= f2

( )

x,y e

inferiormente pela superfície z= f1

( )

x,y é dado por

( )

( )

(

f x,y f x,y

)

dxdy V R 1 2

∫∫

− = Exemplo:

Calcular o volume do sólido limitado pelos parabolóides de equação,

2 2 y 5 x 5 z= + e 2 2 y x 7 6 z= − − .

A figura mostra o sólido e a sua projecção no plano XOY .

Solução:

Encontra-se a projecção R do sólido no plano XOY , intersectando os dois parabolóides, isto é, 5x2 +5y2 =6−7x2 −y2 ⇔2x2 + y2 =1, o que nos diz que os sólidos se intersectam segundo uma curva cuja projecção no plano XOY é a elipse 2x2 + y2 =1. Aplicando a definição,

( )

( )

(

f x,y f x,y

)

dxdy V R 1 2

∫∫

− = =

(

6 12x 6y

)

dydx 2 1 2 1 x 2 1 x 2 1 2 2 2 2

∫ ∫

− − − − − − =

[

6

(

1 2x

)

y 2y

]

dx 2 2 x 2 1 y x 2 1 y 2 1 2 1 3 2 − = − − = −

∫

− − =8

(

1 2x

)

dx 2 3 2 1 2 1 2

∫

− − =

∫

− 2 2 4 d cos 2 8 π π θ θ = 2 3π .

Nota: foi utilizada a substituição senθ

2 1

x= .

5.2. Cálculo da área de uma região plana limitada.

Seja R uma região fechada e limitada no plano XOY . A área A de R é dada por

∫∫

= R dy dx A .

Sem perda de generalidade, podemos demonstrar esta afirmação, considerando no plano XOY uma região horizontal simples, isto é,

( )

( )

( )

{

x,y IR :a x b e g x y g x

}

R 1 2 2 1 = ∈ ≤ ≤ ≤ ≤ . Assim, =

∫∫

R dy dx A = ( ) ( )

∫ ∫

b a x g x g 2 1 dydx =

(

g

( )

x g

( )

x

)

dx b a 1 2

∫

− que, como se sabe da

integração de funções reais de uma só variável real representa a área A da região

Exemplos: 1.

Utilize os integrais duplos para

determinar a área

A

da região

limitada pelos gráficos de

2

y

=

16

−

x

2

e

x

+ y

2

+

4

=

0

.

Solução:

A região está abaixo da parábola

2

8

2

x

y

=

−

e acima da recta

2

2

x

y

=

−

, como

ilustrado na figura. Utilizando o integral duplo, temos

12 343 4 6 6 2 2 2 8 4 3 2 3 4 3 2 4 3 2 8 2 2 2 = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = = − − − − −

∫

∫ ∫

dydx x x dx x x x A x x

2. Utilize integrais duplos para calcular a área de uma região plana limitada por uma

circunferência de raio a .

Solução:

Seja R a região do plano XOY limitada pela circunferência de centro na origem e

de raio a . Sabendo que esta área é dada por =

∫∫

R dy dx

A e que R é definida em

coordenadas polares por 0≤r≤a, 0≤θ≤2π, tem-se

∫∫

= R dy dx A =

∫∫

π θ 2 0 a 0 d dr r = θ π d 2 a 2 0 2

∫

=π a2.

5.3. Cálculo da área de uma superfície.

Se f tem derivadas parciais de 1ª ordem contínuas numa região R fechada e limitada do plano XOY , então a área S da porção da superfície z= f

( )

x,y que se projecta em R , é dada por

dA 1 y z x z S R 2 2

∫∫

_⎟⎟ + ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = Exemplo:

Calcular a área da parte do cilindro de

equação x2 +z2 =4 que se situa

acima do plano XOY .

Solução:

A parte do cilindro de equação x2 +z2 =4 que se situa acima do plano XOY , tem por equação z= 4−x2 . Assim, de 1 dA y z x z S R 2 2

∫∫

_⎟⎟ + ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = vem 0 1 dA x 4 x S R 2 2

∫∫

_⎟⎟ + + ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = = dxdy x 4 2 4 0 1 0 2

∫∫

₋ =

∫

_⎥ =

∫

= ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = 4 0 1 x 0 x 4 0 3 4 dy 6 2 dy 2 x arcsen π π . Exemplo:

Calcular a área da porção do

parabolóide de equação 2 2

y x z= +

Solução:

A partir das equações z= e 1 z=x2 +y2 vê-se que o plano e o parabolóide se intersectam segundo uma circunferência cuja projecção no plano XOY tem por

equação x2 + y2 =1. Consequentemente a superfície cuja área se pretende

calcular projecta-se no círculo limitado por esta circunferência.

Assim, S 4x 4y 1 dA R 2 2

∫∫

+ + = .

É conveniente calcular este integral em coordenadas polares. Fazendo x2 +y2

igual a r e dA igual a2 rdrdθ, obtém-se

(

)

(

)

(

5 5 1

)

6 1 d 1 5 5 12 1 d 1 r 4 12 1 d dr r 1 r 4 S 2 0 1 r 0 r 2 0 2 3 2 2 0 1 0 2 _{= − = −} ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + = + =

∫∫

∫

∫

= = π θ θ θ π π π .

6.

APLICAÇÕES DO INTEGRAL DUPLO À FÍSICA

O integral duplo utiliza-se na Física em situações de grande importância, como por exemplo, no cálculo da massa, dos momentos e do centro de massa de uma lâmina fina.

Consideremos uma lâmina fina, isto é de espessura desprezável, ocupando uma

região

R

do plano e cuja densidade (massa por unidade de massa) é dada pela

função

ρ

( )

x,y , contínua em

R

.

Efectuando uma partição de

R

por pequenos rectângulos

R

_ij, e sendo

(

x ,

_ij

y

_ij

)

um ponto de

R

_ij, a massa

m

_ij da porção de lâmina que ocupa o rectângulo

R

_ij é

dada aproximadamente por

(

ij ij

)

ij

ij

x

y

A

m

=

ρ

,

∆

sendo

∆

A

_ij a área de

R

_ij. Assim, atendendo à definição de integral duplo sobre

R

, podemos concluir que a massa total m da lâmina considerada é dada por

( )

∫∫

= R dy dx y x m

ρ

,

Exemplo:

Encontre a massa total de uma lâmina triangular com vértices

( )

0,0 ,

( )

0,1 e

( )

1,0 com função densidade

( )

x,y = xy

δ

.

Solução:

Observando a figura, temos que a massa

M

da lámina é

( )

= = = =

∫∫

∫∫

∫ ∫

1 − + 0 1 0 , x R R dx dy xy dA xy dA y x M

δ

24

1

2

1

2

1

2

1

1 0 1 0 2 3 2

₌

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

₋

₊

=

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

=

∫

xy

dx

∫

x

x

x

dx

(unidades de massa)

Chama-se momento de uma partícula relativamente a um eixo, ao produto da sua massa pela distância da partícula ao eixo. Intuitivamente, somos conduzidos a afirmar que os momentos

M

_xij e Mij_y da porção da lâmina que ocupa o rectângulo

ij

R

, relativamente aos eixos Ox e

Oy

têm valores aproximados dados,

respectivamente, por M_xij ≈ y_ij

ρ

(

x_ij,y_ij

)

∆A_ij e M_yij ≈ x_ij

ρ

(

x_ij,y_ij

)

∆A_ij. Mais uma vez tendo em conta a definição de integral duplo sobre a região

R

,

podemos concluir que os momentos

M

_x e

M

_y em relação, respectivamente, ao

eixo Ox e ao eixo

Oy

, de uma lâmina ocupando uma região

R

do plano e de

densidade

ρ

( )

x,y , são dados por

( )

∫∫

= R x y x y dxdy M

ρ

, e =

∫∫

( )

R y x x y dxdy M

ρ

,

Ao ponto de coordenadas

( )

x,

y

dadas por

m

M

x

=

y e m M y= x

Chamamos centro de massa da lâmina que ocupa uma região

R

do plano e de densidade

ρ

( )

x,y .

A designação de centro de massa advém da interpretação física que se lhe pode atribuir, pois trata-se de um ponto onde se poderia supor concentrada a massa da lâmina, sem que os momentos da lâmina em relação aos eixos coordenados fossem alterados. No caso em que a densidade da lâmina é constante, o centro de massa coincide com o “centro geométrico” da região plana que a lâmina ocupa.

Exemplo:

Encontre o centro de massa da lámina correspondente à região parabólica

2

4

0

≤

y

≤

−

x

. Onde a densidade do

ponto

( )

x,y é proporcional à distância entre

( )

x,y e o eixo das abcissas, como se ilustra na figura.

Solução:

Uma vez que a lâmina é simétrica em relação ao eixo

Oy

e

ρ

( )

x,y =ky, o centro

de massa está situado no eixo das ordenadas. Então x=0. Para encontrar

y

comecemos por calcular a massa da lâmina.

[ ]

∫

∫ ∫

− − − −

=

=

=

2 2 4 0 2 2 2 4 0 2 2

2

y

dx

k

dx

dy

ky

m

x x

(

−

+

)

=

=

_∫

− 2 2 4 2

8

16

2

x

x

dx

k

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

−

=

− 2 2 5 3

5

3

8

16

2

x

x

x

k

15

256k

=

De seguida calculemos o momento relativamente ao eixo Ox.

[ ]

∫

∫ ∫

− − − −

=

=

2 2 4 0 3 2 2 4 0 2 2

3

y

dx

k

dx

dy

ky

y

M

_x x x

(

−

+

−

)

=

=

_∫

− 2 2 6 4 2

12

48

64

3

x

x

x

dx

k

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

+

−

=

− 2 2 7 5 3

7

5

12

16

64

3

x

x

x

x

k

105

4096k

=

Então, 7 16 15 256 105 4096 = = = k k m M y x

e o centro de massa é o ponto

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

7

16

,

0

.