Modelagem matemática e computacional de neurônios

(1)

Modelagem computacional multiescalas Neurônio: a unidade básica Modelagem multiescala de dendritos Modelagem do axônio Conclusões

Modelagem matemática e computacional de

neurônios

Alexandre Madureira

www.lncc.br/

∼

alm

Laboratório Nacional de Computação Científica – LNCC

Petrópolis - RJ

Jornada em Neuropsiquiatria Computacional — LNCC

02 e 03 de fevereiro de 2012

(2)

Colaboradores

Honório Fernando

Daniele Madureira

Pedro Pinheiro

Frédéric Valentin

(3)

Conteúdo

1 Modelagem computacional multiescalas

2 Neurônio: a unidade básica

3 Modelagem multiescala de dendritos

4 Modelagem do axônio

(4)

Modelagem computacional multiescalas

Neurônio: a unidade básica Modelagem multiescala de dendritos Modelagem do axônio Conclusões

O cérebro humano, complexidade e múltiplas escalas Objetivos e ideias principais

Conteúdo

1 _{Modelagem computacional multiescalas}

O cérebro humano, complexidade e múltiplas escalas

Objetivos e ideias principais

2 Neurônio: a unidade básica

3 Modelagem multiescala de dendritos

4 Modelagem do axônio

(5)

O cérebro humano

Homer Simpson

Neurociência Matemática:

busca compreender o

sistema nervoso via

modelagem matemática

área multidisciplinar

(6)

Complexidade

Cérebro Masculino

Processamento Cerebral:

sistema complexo: “unidades

simples” (neurônios?) agindo

em conjunto

multiescala: eventos na

microescala (no espaço/tempo)

com efeitos na macroescala

só importa o efeito global,

macroscópico

(7)

Exemplo de multiescala: leitura

Descrição da Leitura

microescala: lemos letras

formando palavras, formando

frases, etc.

só o que importa é o efeito

“macroscópico”, i.e., a

mensagem

memória fazendo “upscaling”

Caso de alexia: The mind’s

eye (O. Sacks, 2010)

(8)

Outro exemplo de multiescala: Doença de Huntington

George Huntington

Doença neurodegenerativa

sintomas: declínio de coordenação

muscular, comportamental, cognitivo, etc

causa: disfunção genética

tratamento: minimizar sintomas

Desafio: conexão entre as escalas

microescala: causa

mezoescala: efeitos nos neurônios

macroescala: comportamento

(9)

Escalas em Neurociência

Nível

Escala física (metros)

Dinâmica Molecular

10 −

10 Canais e sinapses

10 −

7 Neurônios

10 −

4 Redes de neurônios

10 −

3 Sistemas cerebrais

10 −

1 Cérebro e comportamento

1 Baseado em De Schutter, 2000

(10)

Modelagem Multiescala

Limitação

Mesmo que se conheça todos os detalhes de um problema

multiescala, sua solução tem custo computacional inviável.

Filosofia

Incorporar informações da microescala sem acoplar todos os

detalhes.

(11)

Modelagens computacionais

clássica refinada: acoplamento de muitas informações,

custo computacional alto, aproximação boa

clássica grosseira: acoplamento de poucas informações,

custo computacional baixo, aproximação ruim

multiescala: muitas informações em paralelo, custo

computacional baixo, aproximação boa

(12)

Dados oscilatórios

Considere:

−

d

dx

a

(

x

/ǫ)

du

dx

(

x

)

=

1 em

(

0 ,

1 ),

u

(

0 ) =

u

(

1 ) =

0 ,

Gráficos de a

(·/ǫ)

e u

ǫ

, com (

ǫ =

1 /

16):

0.5 1 1.5 2 2.5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.2 0.4 0.6 0.8 1

(13)

Dados oscilatórios

Solução numérica usando “pouca informação”:

solucao exata solucao por elementos finitos 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.2 0.4 0.6 0.8 1

(14)

Algumas Lições

Problemas multiescalas são de difícil resolução. A

modelagem multiescala busca aproximar o

comportamento “macroscópico” da solução a custos

razoáveis.

Não se pode usar uma aproximação numérica qualquer.

Métodos tradicionais com malhas grosseiras não

(15)

Neurônio: a unidade básica

Modelagem multiescala de dendritos Modelagem do axônio Conclusões

O que é Modelos

Conteúdo

1 _{Modelagem computacional multiescalas}

2 _{Neurônio: a unidade básica}

O que é

Modelos

3 Modelagem multiescala de dendritos

4 Modelagem do axônio

(16)

O que é Modelos

Um neurônio matemático

(17)

O que é Modelos

(18)

Modelagem multiescala de dendritos Modelagem do axônio Conclusões O que é Modelos

Neurônios digitalizado:

Modelagem Matemática:

domínio dado por uma árvore

em cada galho: sistema não

linear de equações acopladas

problema multiescalas:

modelagem “fina” de redes de

neurônios

(19)

O que é Modelos

Como os neurônios funcionam

Portões iônicos:

permitem passagem de íons

pela membrana

abertos ou fechados

dependendo da voltagem

Sinal neuronal:

informação via “disparos”

elétricos

gradiente de concentração

iônica gera diferença de

potencial elétrico (Voltagem)

(20)

Modelagem multiescala de dendritos Modelagem do axônio Conclusões O que é Modelos

Dinâmica do disparo

Na+channels open Na+_channels close K+channels open Refractory period EK ENa Vrest

V

time

Disparo:

comportamento não-linear controlando aberturas e

fechamentos de canais

(21)

O que é Modelos

(22)

O que é Modelos

Modelo de Hodgkin Huxley

c

M

∂

V

∂

t

= ǫ

∂

2 _V

∂

x

2 − ¯

g

K

n

4 ₍

_V

₋

_E

K

) − ¯

g

Na

m

3 h

(

V

−

E

Na

) − ¯

g

L

(

V

−

E

L

)

dn

dt

= α

n

(

V

)(

1 −

n

) − β

n

(

V

)

n

dm

dt

= α

m

(

V

)(

1 −

n

) − β

m

(

V

)

m

dh

dt

= α

h

(

V

)(

1 −

n

) − β

h

(

V

)

h

Determinados experimentalmente:

α

n

(

V

) =

0 .

001 (

V

+

55 )/{

1 −

exp

[−(

V

+

55 )/

10 ]},

β

n

(

V

) =

0 .

125 exp

[−(

V

+

65 )/

80 ], . . .

Constantes:

ǫ

, c

M

,

g

¯

K

, E

K

,

g

¯

Na

, E

Na

,

¯

g

L

, E

L

(23)

O que é Modelos

Um modelo mais simples: Fitzhugh-Nagumo

dv

dt

=

V

−

V

3

3 −

w

+

I

dw

dt

= ǫ(

V

+

0 .

7 −

0 .

8w

)

Espaço de fase:

bidimensional: espaço de fase

mais fácil de analisar

teoria matemática mais robusta

análise qualitativa de sistemas

dinâmicos: estabilidades,

bifurcações

concentra grande parte da

neurociência matemática

(24)

Modelagem computacional multiescalas Neurônio: a unidade básica

Modelagem multiescala de dendritos

Modelagem do axônio Conclusões O quê. Como. Passado Presente/futuro

Conteúdo

1 Modelagem computacional multiescalas

2 _{Neurônio: a unidade básica}

3 _{Modelagem multiescala de dendritos}

O quê. Como.

Passado

Presente/futuro

4 _{Modelagem do axônio}

(25)

Modelagem do axônio Conclusões

O quê. Como. Passado Presente/futuro

Aspectos de nosso trabalho

resolver problemas de interesse neurocientífico que

incorporem efeitos espaciais

uso de métodos numéricos sofisticados

diálogo com a comunidade de neurociência

(26)

Problema multiescala: dendritos com sinapses

(27)

Por que este problema é interessante?

Problemas numéricos: métodos tradicionais não são

robustos

Custo computacional: considere uma árvore dendritica

com enorme número de detalhes fisiológicos

Formulação e análise de métodos inovadores em

domínios “estranhos”

Método multiescalas: busca soluções “locais” (em

paralelo) antes de resolver o problema completo

(28)

Multinível

(29)

Modelagem do axônio Conclusões O quê. Como. Passado Presente/futuro 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 −30 −20 −10 0 10 20 30 40 50 60 70 x Potencial da Membrana (mV)

(30)

Comentários:

Métodos clássicos fornecem resultado errado

Método multiescalas é nodalmente exato

Necessários muitos pontos para se obter soluções

razoáveis com método clássico

(31)

Exemplo com grande quantidade de sinapses

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 x Membrane Potential(mV)

(32)

Exemplo estacionário: domínio em Y

0 0.5 1 −20 0 20 40 60 80 x Membrane Potential (mV) Main Cable 0 0.5 1 −20 0 20 40 60 80 x Membrane Potential (mV) First Branch 0 0.5 1 −20 0 20 40 60 80 x Membrane Potential (mV) Second Branch

(33)

Exemplo transiente

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 −30 −20 −10 0 10 20 30 40 50 60 70 t =10 x Membrane Potential (mV) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 −30 −20 −10 0 10 20 30 40 50 60 70 t =40 x Membrane Potential (mV)

(34)

Exemplo transiente: custo computacional

10−1 100 101 102

Error in the maximum norm

(35)

Curando oscilações

−2 0 2 4 6 8 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 uh x MsFEM e = 10−4_{t = 1000*10}−6 −2 0 2 4 6 8 10 12 14 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 uh x STPGEM e = 10−4_{t = 1000*10}−6

(36)

Para onde vamos:

incorporar a ação de neurotransmissores

incorporar a ação das espinhas dendríticas

geometria dendrítica

acoplamento de neurônios

(37)

Modelagem computacional multiescalas Neurônio: a unidade básica Modelagem multiescala de dendritos

Modelagem do axônio

Conclusões

Desejo reprimido?

Conteúdo

1 _{Modelagem computacional multiescalas}

2 _{Neurônio: a unidade básica}

3 Modelagem multiescala de dendritos

4 Modelagem do axônio

Desejo reprimido?

(38)

Modelagem computacional multiescalas Neurônio: a unidade básica Modelagem multiescala de dendritos

Modelagem do axônio

Conclusões

Desejo reprimido?

Desejos e realidade:

Desejos:

modelar transmissão de voltagem via axônio mielinizado

acoplamento “ephaptic” em axônio mielinizado

modelo considerando parâmetros fisiológicos

simulação de desordens fisiológicas

acoplamento com glia?

Realidade (literatura neurocomputacional):

modelagem da mielina não detalhada

acoplamento “ephaptic” em axônio não mielinizado (OK) e

mielinizados (para situações especiais)

(39)

Modelagem computacional multiescalas Neurônio: a unidade básica Modelagem multiescala de dendritos Modelagem do axônio

Conclusões

Conteúdo

1 Modelagem computacional multiescalas

2 Neurônio: a unidade básica

3 Modelagem multiescala de dendritos

4 Modelagem do axônio

(40)

Conclusões

Conclusões Finais

Desafio: múltiplas escalas temporais e espaciais

Futuro: incluir aspectos da fisiologia e simular redes de

neurônios

Avanços devido a melhores computadores e

melhor

modelagem matemática

Métodos tradicionais não são suficientes. Técnicas

numéricas modernas acopladas com boa matemática, e

com conhecimentos multidisciplinares, são necessárias

(41)

Conclusões

Conclusões Finais

Desafio: múltiplas escalas temporais e espaciais

Futuro: incluir aspectos da fisiologia e simular redes de

neurônios

Avanços devido a melhores computadores e

melhor

modelagem matemática

Métodos tradicionais não são suficientes. Técnicas

numéricas modernas acopladas com boa matemática, e

com conhecimentos multidisciplinares, são necessárias

(42)

Conclusões

Conclusões Finais

Desafio: múltiplas escalas temporais e espaciais

Futuro: incluir aspectos da fisiologia e simular redes de

neurônios

Avanços devido a melhores computadores e

melhor

modelagem matemática

Métodos tradicionais não são suficientes. Técnicas

numéricas modernas acopladas com boa matemática, e

com conhecimentos multidisciplinares, são necessárias

(43)

Conclusões

Conclusões Finais

Desafio: múltiplas escalas temporais e espaciais

Futuro: incluir aspectos da fisiologia e simular redes de

neurônios

Avanços devido a melhores computadores e

melhor

modelagem matemática

Métodos tradicionais não são suficientes. Técnicas

numéricas modernas acopladas com boa matemática, e

com conhecimentos multidisciplinares, são necessárias

(44)