Patrao - Introducao aos grupos de matrizes

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Introdução aos

Grupos de Matrizes

Mauro Patrão

UnB - 2010

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Sumário

Prefácio . . . 5 1 Séries de Funções 7 1.1 Norma de funções . . . 7 1.2 Critério de convergência . . . 9 1.3 Critério de diferenciabilidade . . . 10 2 Exponencial 15 2.1 Norma de operadores . . . 15 2.2 Derivada do produto . . . 16 2.3 Definição da exponencial . . . 17 2.4 Propriedades da exponencial . . . 18 2.5 Comutador de matrizes . . . 20 3 Limites de Produtos 23 3.1 Produto e comutador de exponenciais . . . 23

3.2 Logaritmo do produto e do comutador . . . 24

3.3 Exponencial da soma e do comutador . . . 27

4 Homomorfismos 29 4.1 Grupo de matrizes . . . 29 4.2 Álgebra de matrizes . . . 30 4.3 Grupos a um parâmetro . . . 31 4.4 Homomorfismos derivados . . . 33 5 Grupos Euclideanos 37 5.1 Grupos topológicos . . . 37 5.2 Carta da identidade . . . 38 3

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4 SUMÁRIO

A Exercícios 41

A.1 Exponencial . . . 41

A.2 Grupos de matrizes . . . 42

A.3 Álgebras de matrizes . . . 44

A.4 Homomorfismos . . . 45

A.5 Grupos topológicos . . . 45

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SUMÁRIO 5

Prefácio

Essas notas surgiram de uma experiência colaborativa na internet. Durante o segundo semestre de 2009, juntamente com os estudantes Fernando Luca-telli e Thiago Ribeiro, elaboramos um material de introdução aos grupos de matrizes no Blog do Grupo de Teoria de Lie e Dinâmica da Universidade de Brasília, localizado no seguinte endereço eletrônico:

www.liedinamica.wordpress.com

Este material foi estruturado diretamente dentro do Blog e foi utilizado como referência bibliográfica o seguinte artigo de divulgação matemática: Roger Howe. Very Basic Lie Theory. The American Mathematical Monthly, Vol. 90, No. 9 (Nov., 1983), pp. 600-623.

O artigo acima tem como objetivo fornecer uma abordagem elementar para os fundamentos dos grupos de matrizes, evitando a utilização da teoria de variedades diferenciáveis, de modo a permitir que este assunto seja acessí-vel a estudantes no final de uma graduação em matemática. Apesar de seu objetivo explícito, o artigo de R. Howe possui duas falhas que prejudicam a sua eficácia. Por um lado, apresenta algumas demonstrações com excessiva densidade analítica e que se estendem por algumas páginas. Por outro lado, não apresenta uma abordagem auto-contida, de modo que alguns conceitos e resultados centrais ao assunto são apresentados sem suas respectivas jus-tificativas. Isso ocorre por exemplo na definição da função exponencial de matrizes e em algumas de suas propriedades básicas, como sua diferenciabi-lidade, apresentada sem qualquer demonstração.

O presente texto procurou suprir estas duas dificuldades presentes no texto de R. Howe. O material foi elaborado para ser utilizado num mini-curso com cinco aulas, de modo que em cada aula fosse abordado um dos seus cinco capítulos. Os pré-requisitos são um curso básico de álgebra linear, um bom curso de análise no Rn _{e algumas noções de teoria dos grupos. No final}

do texto, encontram-se uma lista com diversos exercícios para o estudante treinar os conceitos apresentados. Pretendemos divulgar as respostas desses exercícios no endereço acima do Blog do Grupo de Teoria de Lie e Dinâmica da Universidade de Brasília.

Aproveito a oportunidade para agradecer ao meu orientando Fernando Lucatelli pela ajuda na revisão desse material, alertando que as falhas rema-nescentes são de minha inteira responsabilidade.

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Capítulo 1

Séries de Funções

Denotamos por C(B, Rd_{) o conjunto das funções contínuas de B em R}d_{, onde}

B ⊂ Rp _{é uma bola fechada (portanto compacta, por estarmos num espaço}

vetorial de dimensão finita). Temos que C(B, Rd_{) é um espaço vetorial.}

1.1 Norma de funções

Seja |·| uma norma em Rd_{. Para podermos falar em convergência de}

se-qüências e de séries, introduzimos uma norma em C(B, Rd_{). Note que nem}

todas as normas nesse espaço vetorial são equivalentes, afinal não se trata de um espaço vetorial de dimensão finita. Logo é de fundamental importância deixar explícito qual norma estamos usando. Dado F ∈ C(B, Rd_{), definimos}

kF k = max

X∈B |F (X)| ,

que está bem definido, pois B é compacto.

Lema 1.1 A função k·k é uma norma em C(B, Rd_).

Prova: Para provar que k·k é uma função norma, devemos provar que ela satisfaz às seguintes propriedades:

1. F 6= 0 =⇒ kF k > 0, 2. kλ F k = |λ| kF k, 3. kE + F k ≤ kEk + kF k.

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8 CAPÍTULO 1. SÉRIES DE FUNÇÕES 1. Com efeito, seja F ∈ C(B, Rd_{) uma função não nula. Segue que existe}

Y ∈ B tal que F (Y ) 6= 0. Logo |F (Y )| > 0. E, então, segue que kF k = max

X∈B |F (X)| ≥ |F (Y )| > 0.

2. Dados λ ∈ R e F ∈ C(B, Rd_{). Temos, pela compacidade de B, que existe}

Y ∈ B tal que kF k = max

X∈B |F (X)| = |F (Y )|. Segue então que

|λ| |F (Y )| ≥ |λ| |F (X)| , para todo X ∈ B. Ou seja, temos que

|λF (Y )| ≥ |λF (X)| , para todo X ∈ B. Isso provou que

kλF k = max

X∈B |λF (X)| = |λF (Y )| = |λ| |F (Y )| = |λ| kF k .

3. Para provar a desigualdade triangular, temos que existem Y, W, Z ∈ B tais que

kEk = max

X∈B|E(X)| = |E(Y )|, kF k = maxX∈B|F (X)| = |F (W )|

e

kE + F k = max

X∈B|(E + F )(X)| = |(E + F )(Z)|

Segue então que

|E(Y )| + |F (W )| ≥ |E(X)| + |F (X)| ≥ |E(X) + F (X)| para todo X ∈ B. E, assim, como Z ∈ B, temos que

|E(Y )| + |F (W )| ≥ |(E + F )(Z)|, o que equivale a kEk + kF k ≥ kE + F k.

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1.2. CRITÉRIO DE CONVERGÊNCIA 9

1.2 Critério de convergência

Uma seqüência de vetores no espaço vetorial C(B, Rd_{) é denotada por (F} k).

Dizemos que (Fk) converge se existe F ∈ C(B, Rq) tal que

kFk− F k → 0.

Dada uma seqüência (Fk) em C(B, Rd), sua série C(B, Rd) é denotada por

P Fk é o limite da seqüência das somas parciais l

X

k=0

Fk, quando este limite

existe em C(B, Rd_{). Nesse caso, temos que}

X Fk− l X k=0 Fk → 0.

Proposição 1.2 Seja(Fk) uma sequência de funções em C(B, Rd). Se existe

uma sequência numérica (Mk) tal que a série P Mk é convergente e tal que

kFkk ≤ Mk, para todo k ∈ N, então a série P Fk é convergente.

Prova: Dado X ∈ B, temos que |Fk(X)| ≤ kF k ≤ Mke, então, pelo teste da

comparação, temos que X

|Fk(X)| converge. Definimos S(X) = P Fk(X).

Como temos que m X k=0 Fk(X) − l X k=0 Fk(X) = m X k=l+1 Fk(X) ≤ m X k=l+1 |Fk(X)| ≤ m X k=l+1 Mk≤ X k>l Mk,

tomando o limite m → ∞, segue que S(X) − l X k=0 Fk(X) ≤X k>l Mk,

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10 CAPÍTULO 1. SÉRIES DE FUNÇÕES Agora, provamos que S ∈ C(B, Rd_{). Como} _{P M}

k é convergente, dado

ε > 0, existe l ∈ N tal que X

k>l

Mk <

ε

4. Por outro lado, temos que

l

X

k=0

Fk ∈ C(B, Rd) e, pela compacidade de B, segue que l

X

k=0

Fk é

unifor-memente contínua. Logo existe δ > 0 tal que l X k=0 Fk(X) − l X k=0 Fk(Y ) < ε 2, sempre que |X − Y | < δ. Portanto

|S(X) − S(Y )| ≤ S(X) − l X k=0 Fk(X) + l X k=0 Fk(X) − l X k=0 Fk(Y ) + + l X k=0 Fk(Y ) − S(Y ) ≤ 2X k>l Mk+ ε 2 < 2 ε 4 + ε 2 = ε, sempre que |X − Y | < δ, o que prova que S é contínua.

Como temos que

S (X ) − Pl k=0Fk(X) ≤ P k>lMk, para todo X ∈ B

e para todo l ∈ N, segue que S − Pl k=0Fk ≤ P k>lMk, completando a

demonstração, uma vez que P Mk é convergente.

1.3 Critério de diferenciabilidade

Agora supomos que p = 1. Neste caso, B é um intervalo fechado e, portanto, será denotado por J. Uma função F ∈ C(J, Rd_{) é inteiramente determinada}

pelas funções coordenadas, ou seja, as funções F1, . . . , Fd ∈ C(J, R) tais que

F (x) = (F1(x), . . . , Fd(x)). Por exemplo, a função F é contínua se e só

se todas suas funções coordenadas são contínuas. Temos também que F é derivável se e só se todas as funções coordenadas são deriváveis e, além disso, quando isso acontece, temos que

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1.3. CRITÉRIO DE DIFERENCIABILIDADE 11 O mesmo acontece no caso da integração. Uma função F : J → Rd _é

integrável se e só se as funções coordenadas são integráveis. A primitiva de F (se houver) é a d-upla das primitivas das funções coordenadas, e a integral definida de F é a d-upla das integrais definidas de suas funções coordenadas, ou seja, Z b a F (τ )dτ = Z b a F1(τ )dτ, . . . , Z b a Fd(τ )dτ .

Note que toda função em C(J, Rd_{) é integrável, uma vez que as funções}

coordenadas dessa função são contínuas e, portanto, integráveis.

O próximo passo é provar um resultado sobre a derivada de séries de funções contínuas e deriváveis. Para isso, necessitamos do seguinte lema. Lema 1.3 Se F ∈ C(J, Rd_{), então existe c ∈ R tal que}

Z t 0 F (τ )dτ ≤ c Z t 0 |F (τ )|dτ.

Prova: Pela equivalência entre as normas em Rd, existem constantes po-sitivas b, c ∈ R tais que |X| ≤ b max{|X1|, . . . , |Xd|} ≤ c|X|, onde X =

(X1, . . . , Xd) ∈ Rd. Temos, então, que

Z t 0 F (τ )dτ ≤ b max Z t 0 F1(τ )dτ , . . . , Z t 0 Fd(τ )dτ ,

onde Fi é a i-ésima função coordenada de F . Pela monotonicidade da integral

e como −|Fi(τ )| ≤ Fi(τ ) ≤ |Fi(τ )|, temos que Z t 0 Fi(τ )dτ ≤ Z t 0 |Fi(τ )|dτ.

Isto implica que Z t 0 F (τ )dτ ≤ b max Z t 0 |F1(τ )|dτ, . . . , Z t 0 |Fd(τ )|dτ = max Z t 0 b|F1(τ )|dτ, . . . , Z t 0 b|Fd(τ )|dτ ≤ Z t 0 c|F (τ )|dτ.

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12 CAPÍTULO 1. SÉRIES DE FUNÇÕES Proposição 1.4 Seja(Fk) uma seqüência de funções deriváveis em C(J, Rd)

tal que (F′

k) também está em C(J, Rd). Se existe uma seqüência de números

reais (Mk) tal que a série P Mk é convergente e tal que kFkk , kFk′k ≤ Mk,

para todo k ∈ N, então

X Fk

′

=XF_k′.

Prova: Pela Proposição 1.2 , temos que as séries S = XFk e T =

X F′

k

são ambas convergentes. Devemos provar que S′ _{= T . Pela definição de}

convergencia de séries, temos que T − l X k=0 F_k′ → 0 , quando l → ∞. Para t ∈ J, pelo teorema fundamental do cálculo, temos que Z t 0 T (τ )dτ − l X k=0 (Fk(t) − Fk(0)) = Z t 0 T (τ )dτ − l X k=0 Z t 0 F_k′(τ )dτ = Z t 0 T (τ )dτ − Z t 0 l X k=0 F_k′(τ ) ! dτ = Z t 0 T (τ ) − l X k=0 F_k′(τ ) ! dτ . Portanto segue do lema precedente que existe uma constante c ∈ R tal que

Z t 0 T (τ )dτ − l X k=0 (Fk(t) − Fk(0)) = Z t 0 T (τ ) − l X k=0 F_k′(τ ) ! dτ ≤ c Z t 0 T (τ ) − l X k=0 F_k′(τ ) dτ ≤ c |t − 0| T − l X k=0 Fk′ → 0, quando l → ∞. Portanto, pelo teorema do sanduíche, quando l → ∞, temos que Z t 0 T (τ )dτ − l X k=0 (Fk(t) − Fk(0)) → 0.

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1.3. CRITÉRIO DE DIFERENCIABILIDADE 13 Segue então que

X (Fk(t) − Fk(0)) = Z t 0 T (τ )dτ, mostrando que S(t) − S(0) = Z t 0 T (τ )dτ.

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Capítulo 2

Exponencial

O trabalho neste capítulo estará estreitamente ligado ao espaço das matrizes quadradas Rn2

. Esse espaço pode ser identificado por um isomorfismo (da base canônica) com o espaço das transformações lineares L(Rn_{, R}n_{) .}

2.1 Norma de operadores

Lembramos que todas as normas no espaço vetorial Rn2

são equivalentes, por se tratar de um espaço vetorial de dimensão finita. Vamos definir, aqui, uma norma que nos é conveniente. Dada uma matriz X ∈ Rn2

, a transformação linear identificada pelo isomorfismo é tal que associa cada vetor v ∈ Rn _ao

vetor Xv ∈ Rn_{, onde Xv é o produto usual da matriz quadrada X pela matriz}

coluna v. A aplicação v 7→ |Xv| é contínua e portanto assume o máximo no domínio compacto {v ∈ Rn _{: |v| = 1}. Dada uma matriz X ∈ R}n2

, podemos então definir

|X| = max

|v|=1|Xv|.

Lema 2.1 Temos que |·| é uma norma em Rn2

satisfazendo |XY | ≤ |X| |Y | , para quaisquer X, Y ∈ Rn2 . Em particular, Xk ≤ |X| k , para todo X ∈ Rn2 . 15

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16 CAPÍTULO 2. EXPONENCIAL Prova: A demonstração de que se trata de uma norma é idêntica àquela apre-sentada no Lema 1.1, bastando trocar o domínio B por {v ∈ Rn_{: |v| = 1}.}

Sejam X, Y ∈ Rn2

. Dado v ∈ Rn _{com |v| = 1, temos que}

|XY v| = X Y v |Y v| |Y v| ≤ |Y | |X| , uma vez que |v| = 1 e

Y v |Y v|

= 1. Portanto, em particular, temos que |XY | ≤ |Y | |X|.

Para provar que Xk

≤ |X|k, basta fazer indução sobre k.

2.2 Derivada do produto

Para funções em C(J, Rn2

), vale uma regra de derivação, enunciada e provada abaixo, que é análoga à regra do produto para funções em R.

Lema 2.2 Se F, G ∈ C(J, Rn2

) são diferenciáveis, então, para todo t ∈ J, (F (t)G(t))′ = F′(t)G(t) + F (t)G′(t).

Em particular, temos que, para todo t ∈ J, (F (t)k)′ =

k

X

l=1

F (t)l−1F′(t)F (t)k−l.

Prova: A entrada (i, j) da matriz F (t)G(t) é dada por

k

X

l=1

Fil(t)Glj(t). A

derivada dessa expressão nos fornece a entrada (i, j) da matriz (F (t)G(t)))′_.

Utilizando as regras da soma e do produto, obtemos que

k X l=1 Fil(t)Glj(t) !′ = k X l=1 F_il′(t)Glj(t) + k X l=1 Fil(t)G′lj(t),

que é igual a entrada (i, j) da matriz F′_{(t)G(t) + F (t)G}′_(t).

A segunda afirmação é demonstrada por indução. Temos que

(F (t))′ = F′(t) =

1

X

l=1

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2.3. DEFINIÇÃO DA EXPONENCIAL 17 Se a fórmula é verdadeira para k − 1, então

(F (t)k)′ = (F (t)F (t)k−1)′ = F′(t)F (t)k−1+ F (t)(F (t)k−1)′ = F′(t)F (t)k−1+ F (t) k−1 X l=1 F (t)l−1F′(t)F (t)k−1−l = F′(t)F (t)k−1+ k−1 X l=1 F (t)lF′(t)F (t)k−1−l = F′(t)F (t)k−1+ k X l=2 F (t)l−1F′(t)F (t)k−l = k X l=1 F (t)l−1_F′_{(t)F (t)}k−l_,

completando, portanto, a demonstração por indução.

2.3 Definição da exponencial

Sejam B ⊂ Rn2

uma bola fechada de centro 0 e raio R qualquer e J um intervalo fechado e limitado de centro 0 na reta. Nos próximos resultados, estamos interessados nos espaços C(B, Rn2

) e C(J, Rn2) munidos da norma k·k definida na Seção 1. Dado um inteiro k ≥ 0, denotamos por Pk a função

potência de grau k, de modo que

Pk(X) = Xk.

Proposição 2.3 Temos que Pk ∈ C(B, Rn

2 ) e que a série E =XPk k! converge em C(B, Rn2 ).

Prova: A continuidade de Pk segue do fato de que as entradas de Xk são

polinômios das entradas de X. Pelo Lema 2.1, temos que kPkk = max X∈B |Pk(X)| = maxX∈B Xk ≤ max X∈B |X| k ≤ Rk.

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18 CAPÍTULO 2. EXPONENCIAL Logo, para todo inteiro k ≥ 0, temos que

Pk k! = kPkk k! ≤ Rk k!. Como XR k k! = e

R_{, pela proposição 1.2 do capítulo 1, segue que} XP_k k! converge em C(B, Rn2

).

A aplicação E ∈ C(B, Rn2

) , definida acima, é denominada exponencial de matrizes. Dado X ∈ Rn2 , denotamos eX = E(X) =XX k k! .

2.4 Propriedades da exponencial

Vamos mostrar que de fato ela satisfaz as principais propriedades da função exponencial de números reais. Uma função é de classe C1 _{se e só se todas as}

suas derivadas direcionais são contínuas.

Teorema 2.4 A função E é de classe C1 _{e sua derivada na origem} _E′_{(0) é}

a aplicação identidade. Além disso, a função t 7→ etX _satisfaz

(etX)′ = XetX, para todo t ∈ J.

Prova: Se F ∈ C(J, Rn2

) é dada por F (t) = Y + tX, então F (0) = Y e F′_{(t) = X, para todo t ∈ J. Para cada k ≥ 0, definimos F}

k ∈ C(J, Rn

2

) por Fk(t) =

F (t)k

k! . Pelo Lema 1.2, segue que Fk′(t) = 1 k! k X l=1 F (t)l−1XF (t)k−l. Temos então que, para todo t ∈ J,

|Fk(t)| ≤

|F (t)|k

k! ≤ kF kk

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2.4. PROPRIEDADES DA EXPONENCIAL 19 e que |F_k′(t)| ≤ 1 k! k X l=1 |F (t)|l−1|X| |F (t)|k−l = |X|kF k k−1 (k − 1)!. Portanto seguem as desigualdades

kFkk ≤ kF kk k! e kF ′ kk ≤ |X| kF kk−1 (k − 1)!. Como XkF kk k! = e kF k e também X k≥1 |X|kF k k−1 (k − 1)! = |X| e kF k_,

segue, pela Proposição 1.4, que

(E(F (t)))′ =XFk(t)

′ =X

k≥1

F_k′(t).

Temos que a derivada direcional de E no ponto Y ∈ B e na direção X é dada por ∂XE(Y ) = (E(F (t)))′t=0= X k≥1 Gk(Y ), onde Gk(Y ) = Fk′(0) = 1 k! k X l=1 Yl−1XYk−l. Como |Y | ≤ R, temos então que

|Gk(Y )| ≤ 1 k! k X l=1 |Y |l−1|X||Y |k−l ≤ |X| R k−1 (k − 1)!, mostrando que kGkk ≤ |X| Rk−1 (k − 1)!.

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20 CAPÍTULO 2. EXPONENCIAL Como X k≥1 |X| R k−1 (k − 1)! = |X|e R_,

segue, pela Proposição 1.2, que ∂XE = Pk≥1Gk ∈ C(B, Rn

2

), mostrando que E é de classe C1_.

Por outro lado, temos que a derivada de E na origem é dada por E′(0)X = ∂XE(0) =

X

k≥1

Gk(0) = X,

mostrando que E′_{(0) é a aplicação identidade.}

Quando Y = 0, temos que

Fk(t) = (tX)k k! = tk k!X k e então F_k′(t) = t k−1 (k − 1)!X k _{= X}(tX)k−1 (k − 1)!. Nesse caso, temos que, para todo t ∈ J,

(etX)′ = (E(F (t)))′ =X k≥1 X(tX) k−1 (k − 1)! = Xe tX_.

2.5 Comutador de matrizes

O comutador entre as matrizes X e Y é a matriz dada por [X, Y ] = XY − Y X.

É fácil de notar que duas matrizes X, Y comutam se e só se [X, Y ] = 0. Proposição 2.5 Temos que eX+Y _{= e}X_eY_{, sempre que} _{[X, Y ] = 0.}

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2.5. COMUTADOR DE MATRIZES 21 Prova: Pelo teorema da existência e unicidade de equações diferenciais, basta mostrarmos que O(t) = et(X+Y ) _{e P (t) = e}tX_etY _{satisfazem o mesmo}

problema de valor inicial. Pela Teorema 2.4, temos que O′_{(t) = (X + Y )O(t)}

e que O(0) = I. Por outro lado, temos que que P (0) = I e, pela regra do produto, segue que

P′(t) = XetXetY + etXY etY = (X + Y )etX_etY

= (X + Y )P (t)

onde utilizamos que o fato que Y comuta com etX_{, já que comuta com X.}

Corolário 2.5.1 Sejam X, Y ∈ Rn2

. Temos que [X, Y ] = 0 se e só se etX_esY _{= e}sY_etX _{para todo} _{t ∈ R e todo s ∈ R.}

Prova: Dados t, s ∈ R, se [X, Y ] = 0, segue, evidentemente, que [tX, sY ] = 0. Logo, pelo teorema precedente, etXesY = etX+sY = esY +tX = esYetX. Re-ciprocamente, supõe-se que etX_esY _{= e}sY_etX _{para todo t ∈ R e todo s ∈ R.}

Derivando em relação a s em s = 0, tem-se que etX_{Y = Y e}tX_{. E, derivando}

em relação a t em t = 0, tem-se XY = Y X. Isso completa a prova da

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Capítulo 3

Limites de Produtos

Fazendo uso dos resultados dos capítulos anteriores, demonstramos alguns resultados fundamentais para os próximos capítulos.

3.1 Produto e comutador de exponenciais

Definimos

P (t) = etXetY, e C(t) = e−tXe−tYetXetY para t num intervalo real de centro 0.

Proposição 3.1 Temos que P (0) = C(0) = I, que P′(0) = X + Y, C′(0) = 0 e que

P′′(0) = X2+ 2XY + Y2, C′′(0) = 2[X, Y ].

Prova: A igualdade P (0) = C(0) = I é imediata de e0 = I. Usando a regra do produto, temos que

P′(t) = XetXetY + etXY etY,

mostrando que P′_{(0) = X + Y. Temos que C(t) = T (t)P (t), onde}

T (t) = P (−t), T′(t) = −P′(−t) e T′′(t) = P′′(−t). 23

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24 CAPÍTULO 3. LIMITES DE PRODUTOS Pela regra do produto, segue que

C′(0) = T (0)P′(0) + T′(0)P (0) = P′(0) + T′(0) = 0. Temos que

P′′_{(t) = X}2_etX_etY _{+ 2Xe}tX_{Y e}tY _{+ e}tX_Y2_etY_,

de onde segue que

P′′(0) = X2+ 2XY + Y2 = T′′(0). Novamente pela regra do produto, segue que

C′′(0) = T (0)P′′(0) + T′(0)P′(0) + T′(0)P′(0) + T′′(0)P (0) = 2(P′′(0) − P′(0)2)

= 2(X2+ 2XY + Y2− (X + Y )2₎

= 2[X, Y ].

3.2 Logaritmo do produto e do comutador

Como a derivada da exponencial E na origem é a identidade (ver Teorema 2.4), pelo teorema da função inversa, segue que E é um difeomorfismo de uma vizinhança V da origem com uma vizinhança U de E(0) = I. Assim está definido em U a função logaritmo E−1_{, de modo que podemos definir}

Q(t) = E−1(P (t)) e B(t) = E−1(C(t))

numa intervalo J centrado em 0 tal que P (t), C(t) ∈ U para todo t ∈ J. A existência desse intervalo J é garantida pela continuidade de P e C. Note, então, que

E(Q(t)) = P (t) e E(B(t)) = C(t). Proposição 3.2 Temos que Q(0) = B(0) = 0, que

B′(0) = 0 e Q′(0) = X + Y. Além disso, lim t→0 Q(t) t = X + Y e limt→0 B(t) t2 = [X, Y ].

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3.2. LOGARITMO DO PRODUTO E DO COMUTADOR 25

Figura 3.1: Logaritmo do produto e do comutador.

Prova: Temos que E(Q(0)) = P (0) = I, e que E(B(0)) = C(0) = I. Pela injetividade da exponencial, segue que Q(0) = B(0) = 0. Pela regra da cadeia, temos que

C′(0) = E′(B(0))B′(0) = E′(0)B′(0) = B′(0).

Portanto, pela proposição precedente, segue que B′_{(0) = C}′_{(0) = 0.}

Pela fórmula de Taylor,

C(t) = I + tC′(0) + t 2 2C ′′_{(0) + R(t)} = I + t 2 2(2[X, Y ]) + R(t) = I + t2[X, Y ] + R(t), onde lim t→0 R(t) t2 = 0. Logo 1 t2(C(t) − I) = [X, Y ] + R(t) t2 e então lim t→0 1 t2(C(t) − I) = lim t→0 [X, Y ] + R(t) t2 = [X, Y ].

(26)

26 CAPÍTULO 3. LIMITES DE PRODUTOS Temos também que

B(t) = B(0) + B′(0)t + r(t), onde lim t→0 r(t) t = 0. Como B(0) = B ′_{(0) = 0, temos que} lim t→0 B(t) t = limt→0 r(t) t = 0. Por outro lado,

1 t2 (C(t) − I) = 1 t2 (E(B(t)) − I) = 1 t2 B(t) + X k≥2 B(t)k k! ! = B(t) t2 + B(t)2 t2 X k≥2 B(t)k−2 k! . Evidente que X k≥2 B(t)k−2

k! é contínua e que, portanto,

lim t→0 X k≥2 B(t)k−2 k! = I 2. Como lim t→0 B(t)2 t2 = lim t→0 B(t) t 2 = 0, segue que lim t→0 1 t2 (C(t) − I) = lim t→0 1 t2(E(B(t)) − I) = lim t→0 B(t) t2 + lim_t→0 B(t)2 t2 X k≥2 B(t)k−2 k! ! = lim t→0 B(t) t2

(27)

3.3. EXPONENCIAL DA SOMA E DO COMUTADOR 27 Isso provou que

lim t→0 B(t) t2 = lim_t→0 1 t2 (C(t) − I) = [X, Y ]. Por outro lado, pela regra da cadeia, temos que

P′(0) = E′(Q(0))Q′(0) = E′(0)Q′(0) = Q′(0)

mostrando que Q′_{(0) = P}′_{(0) = X + Y . Pela definição de derivada, temos}

que Q(t) = Q(0) + Q′(0)t + r(t) = t(X + Y ) + r(t) onde lim t→0 r(t) t = 0. Logo limt→0 Q(t) t = X + Y .

3.3 Exponencial da soma e do comutador

A próxima proposição será de extrema importância nas próximas etapas do trabalho.

Proposição 3.3 Temos que

eX+Y _{= lim} k→∞ eXke Y k k e também que e[X,Y ] = lim k→∞ e−Xke− Y ke X ke Y k k2 .

Prova: Temos que X + Y = lim

t→0

Q(t)

t , pelo resultado anterior. Logo eX+Y = elimt→0Q(t)t = elimk→∞kQ(_k1) = lim k→∞(e kQ(1/k)₎ = lim k→∞ e Q(1/k)k = lim k→∞(P (1/k)) k = lim k→∞ eXke Y k k .

(28)

28 CAPÍTULO 3. LIMITES DE PRODUTOS

De maneira análoga, como [X, Y ] = lim

t→0 B(t) t2 , segue que e[X,Y ] _{= e}limt→0B(t)_t2 = elimk→∞B(1_k)k2 = lim k→∞e B(1_k)k2 = lim k→∞ eB(k1) k2 = lim k→∞(C(1/k)) k2 = lim k→∞ e−X_k_e−Y_k_eX_k_eY_kk 2 .

(29)

Capítulo 4

Homomorfismos

4.1 Grupo de matrizes

Denotamos por Gl(n) ⊂ Rn2

o grupo das matrizes inversíveis de ordem n, denominado grupo linear geral. Um grupos (de Lie) de matrizes G é subgrupo de Gl(n) fechado em Gl(n).

Proposição 4.1 Sejam G ≤ Gl(n) e H ≤ Gl(m) grupos de matrizes. Dado um homomorfismo φ : G → H, definimos F = g φ(g) : g ∈ G .

Se φ é contínuo, então F é um grupo de matrizes de Gl(n + m).

Prova: Com efeito, dada uma seqüência de termos gn

φ(gk)

∈ F convergente em Gl(n+ m), supomos que g

h

é o limite dessa seqüência em Gl(n + m). Segue então que gk → g (em G) e φ(gk) → h (em H). Mas,

pela continuidade de φ, temos que φ(gk) → φ(g), logo, pela unicidade dos

limites, h = φ(g). Portanto gk φ(gk) → g φ(g) ∈ F, mostrando que F é fechado em Gl(n + m).

(30)

30 CAPÍTULO 4. HOMOMORFISMOS Resta, então, provar que F é um subgrupo de Gl(m + n). Como efeito, dados g φ(g) , h φ(h) ∈ F , segue que g φ(g) −1 · h φ(h) = g −1 φ(g)−1 · h φ(h) = g −1_h φ(g)−1_φ(h) = g −1_h φ(g−1_h) ∈ F

uma vez que g−1_{h ∈ G. Isso completa a prova de que F é subgrupo de}

Gl(n + m).

4.2 Álgebra de matrizes

Uma álgebra (de Lie) de matrizes g é um subespaço vetorial de Rn2

que é fechado para o comutador de matrizes. Ou seja, uma álgebra de Lie é um subespaço de Rn2

tal que

[X, Y ] = XY − Y X ∈ g, para todos X, Y ∈ g. Denotamos por gl(n) a álgebra Rn2

de todas as matrizes de ordem n, denominada álgebra linear geral.

(31)

4.3. GRUPOS A UM PARÂMETRO 31 A cada grupo de matrizes G ≤ Gl(n) associamos o conjunto

g=X ∈ gl(n) : etX _{∈ G, ∀t ∈ R ,}

denominado a álgebra de G. Mostraremos que g é, de fato, uma álgebra de matrizes.

Proposição 4.2 A álgebra g de um grupo de matrizes G ≤ Gl(n) é uma álgebra de matrizes.

Prova: Pela definição de g, para todo X ∈ g e todo α ∈ R, temos que et(αX) _{∈ G para todo t ∈ R, mostrando que αX ∈ g. Além disso, dado t ∈ R}

e dados X, Y ∈ g, para todo k ∈ N, temos que etX k , e

tY

k ∈ G. Como G é um

subgrupo de Gl(n), temos então que etXk e tY

k

∈ G, para todo k ∈ N. Pela Proposição 3.3, temos que

lim k→∞ etXk e tY k k = etX+tY = et(X+Y )∈ Gl(n)

Como G é fechado em Gl(n), segue que et(X+Y ) _{∈ G para todo t ∈ R,}

mostrando que X + Y ∈ g. Isso mostra que g é subespaço vetorial de Rn2_.

Resta mostrar que g é fechado para o comutador. Analogamente ao parágrafo anterior, é fácil verificar que, para todo k ∈ N e todo t ∈ R, e−tXk e− tY k e tX k e tY k k2

∈ G. Pela Proposição 3.3, temos que lim

k→∞ e

−tX/k_e−tY /k_etX/k_etY /kk2

= e[tX,tY ]= et[X,Y ] ∈ Gl(n)

Como G é fechado em Gl(n), segue que et[X,Y ] _{∈ G para todo t ∈ R,}

mos-trando que [X, Y ] ∈ g.

4.3 Grupos a um parâmetro

Nessa seção, vamos caracterizar os homomorfismos contínuos da reta no grupo linear geral, denominados de grupos a um parâmetro. Para isso é necessário o seguinte resultado.

Proposição 4.3 Se g, h ∈ B(I, 1) ⊂ Rn2

(32)

32 CAPÍTULO 4. HOMOMORFISMOS Prova: Temos que g = I + A e h = I + B , onde |A| < 1 e |B| < 1. Logo g2 _{= (I + A)}2 _{= (I + B)}2 _{= h}2_{, donde segue que I + 2A + A}2 _{= I + 2B + B}2_.

Ou seja, 2(A − B) = (B2_{− A}2_).

E, fatorando, temos que 2(A − B) = B(B − A) + (B − A)A. Portanto, tomando a norma,

2 |A − B| = |B(B − A) + (B − A)A| ≤ |B| |B − A| + |B − A| |A| = |B − A| (|A| + |B|) .

Se, por absurdo, B 6= A, segue que 2 |A − B| < 2 |B − A|. Absurdo. Portanto temos A = B, ou seja, g = h.

Proposição 4.4 Temos quet 7→ g(t) é um grupo a um parâmetro se e só se existe um único X ∈ gl(n) tal que g(t) = etX_.

Prova: Com efeito, se g(t) = etX para algum X ∈ Rn2, então, pelo teorema 2.4, segue imediatamente que t 7→ g(t) é um grupo a um parâmetro.

Reciprocamente, pelo teorema da função inversa, existe r > 0 tal que a função exponencial E : Rn2

→ Gl(n) é um difeomorfismo da bola B(0, r) numa vizinhança aberta U de I em Gl(n) contida na bola B(I, 1), como ilustrado pela Figura 4.2.

Figura 4.2: Exponencial é difeomorfismo de B(0, r) em U.

Pela continuidade de g, segue que existe δ > 0 tal que |x| ≤ δ implica g(t) ∈ U. Em particular, g(δ) ∈ U. Logo g(δ) = eY _{para algum Y ∈}

B(0, r) ⊂ Rn2

. Definindo X = 1

δY , note que g(δ) = e δX_.

(33)

4.4. HOMOMORFISMOS DERIVADOS 33

Provemos, por indução, que g δ 2k

= e2kδ X para todo k ∈ N. A

afirma-ção é verdadeira para k = 0. Utilizando o fato de g ser um homomorfismo, temos que g δ 2k+1 2 = g 2 δ 2k+1 = g δ 2k . Por outro lado, pela hipótese de indução, temos que

e2k+1δ X 2 =e2kδ X = g δ 2k . Como δ 2k+1X

≤ |δX| < r, segue que e2k+1δ X ∈ U. Como U é vizinhança

aberta de I com diâmetro menor que 1, pela proposição anterior, temos que e2k+1δ X = g

δ 2k+1

. Isso completa, então, a prova por indução da afirmação. Para qualquer m ∈ Z e para todo k ≥ 0, temos que

g m δ 2k = g δ 2k m = em2kδ X.

Ficou provado que g(t) = etX _{para todo t ∈}

m δ

2k : k ∈ N, m ∈ Z

, que é um subconjunto denso na reta. Como as funções g(t) e etX _{são contínuas,}

segue que g(t) = etX _{para todo t ∈ R.}

Resta provar a unicidade de X. Com efeito, supomos que etX = etY.

Derivando os dois lados da igualdade em t = 0, segue que X = Y .

4.4 Homomorfismos derivados

Um homomorfismo entre álgebras de matrizes é uma transformação linear que preserva o comutador de matrizes.

(34)

34 CAPÍTULO 4. HOMOMORFISMOS Proposição 4.5 Sejam G ≤ Gl(n) e H ≤ Gl(m) grupos de matrizes. Se φ : G → H é contínuo, existe um único homomorfismo φ′ _{: g → h de álgebras}

de Lie tal que o seguinte diagrama comuta g φ ′ → h ↓E ↓E G → Hφ ou seja φ(eX) = eφ′X, para todo X ∈ g. Prova: Considere F = g φ(g) : g ∈ G .

Pela Proposição 4.1, temos que F é um grupo de matrizes de Gl(n + m). Então podemos considerar a álgebra de matrizes f associada a F .

Para cada X ∈ g, temos que t 7→ φ(etX_{) é um homomorfismo contínuo.}

Logo, pela Proposição 4.4, existe um único Xφ ∈ h tal que φ(etX) = etXφ,

para todo t ∈ R. Temos então que, para todo X ∈ g, Z = X

Xφ

∈ f, uma vez que, para todo t ∈ R,

etZ = e tX etXφ = e tX φ(etX₎ ∈ F. Como f é uma algebra de matrizes, para quaisquer

Z = X Xφ e W = Y Yφ ∈ f e para todo λ ∈ R, temos que

λX λXφ = λZ X + Y Xφ+ Yφ = Z + W [X, Y ] [Xφ, Yφ] = [Z, W ]

(35)

4.4. HOMOMORFISMOS DERIVADOS 35 pertencem a f. Pela definição da álgebra f, para todo t ∈ R, temos que

etλZ = e tλX etλXφ ∈ F, mostrando que et(λXφ)_{= φ e}t(λX) = et(λX)φ.

De forma análoga, concluímos que

et(Xφ+Yφ) = φ et(X+Y ) = et(X+Y )φ

e que

et[Xφ,Yφ] = φ et[X,Y ] = et[X,Y ]φ.

Definindo φ′ _{: g → h por φ}′_{(X) = X}

φ e utilizando as equações acima e a

unicidade dada pela Proposição 4.4, segue que φ′_{é homomorfismo de álgebras}

de matrizes.

Resta então provar a unicidade de φ′_{. Supomos que existe homomorfismos}

de álgebras de Lie φ′_{, ϕ}′ _{: g → h tais que os diagramas}

g φ ′ → h ↓E ↓E G → Hφ e g ϕ ′ → h ↓E ↓E G → Hφ comutam. Segue que, dado X ∈ g, eφ′

X _{= φ(e}X_{) = e}ϕ′

X_{. Pela injetividade}

da exponencial numa vizinhança da origem, temos que φ′_{X = ϕ}′_{X, para todo}

X numa vizinhança da origem. Como φ′ e ϕ′ _{são transformações lineares,}

segue que elas são iguais. O homomorfismo de álgebras φ′ _{associado ao homomorfismo topológico}

φ é denominado homomorfismo derivado de φ. O próximo resultado mostra homomorfismos derivados de isomorfismos topológicos são isomorfismos de álgebras.

Corolário 4.5.1 Sejam G, H ≤ Gl(n) grupos de matrizes. Se G e H são isomorfos, então suas álgebras também são isomorfas.

(36)

36 CAPÍTULO 4. HOMOMORFISMOS Prova: Com efeito, seja φ : G → H um isomorfismo de grupos (topológicos). Pelo teorema precedente, temos que existe um homomorfismo φ′ _{: g → h}

φ′ _{: g → h tal que} g φ ′ → h ↓E ↓E G → Hφ

comuta. Da mesma forma, existe um homomorfismo (φ−1₎′ _{: h → g tal que}

h (φ −₁ )′ → g ↓E ↓E H φ −1 → G comuta. Logo segue que

h φ ′ ◦(φ−1₎′ −→ h ↓E ↓E H φ◦φ −1 −→ H

comuta. Pela unicidade do homomorfismo de álgebras de Lie associado a (φ ◦ φ−1_{) = id}

H : H → H, segue que φ′◦ (φ−1)′ = idh : h → h. De forma

análoga, concluímos que (φ−1₎′_{◦ φ}′_{= id}

g : g → g.

Isso completou a prova de que (φ−1₎′ _{= (φ}′₎−1_{, ou seja, completou a prova}

(37)

Capítulo 5

Grupos Euclideanos

O principal objetivo deste capítulo é mostrar que os grupos de matrizes são localmente homeomorfos às suas álgebras.

5.1 Grupos topológicos

Um grupo topológico é um grupo munido de uma topologia tal que as opera-ções de produto e inversão são contínuas. Um grupo euclideano é um grupo topológico tal que, para todo elemento g ∈ G, existe uma vizinhança U de g ∈ G tal que U é homeomorfo a um aberto de Rd, para algum d ∈ N.

Lema 5.1 Seja G um grupo topológico. Segue que G é um grupo euclideano se e só se existe uma vizinhança da identidade que é homeomorfa a um aberto de Rd, para algum d ∈ N.

Prova: Sejam G um grupo topológico e U uma vizinhança do elemento neu-tro homeomorfa a um aberto V ⊂ Rd_{. Dado g ∈ G, tem-se que D}

g : G → G,

dado por Dg(h) = hg é evidentemente um homeomorfismo, pois sua inversa

Dg−1 é contínua. Temos, então, que D_g(V ) = Ug é uma vizinhança de g

homeomorfa a U e, portanto, homeomorfa a V . Isso completa a prova de que, para todo g ∈ G, existe uma vizinhança gU homeomorfo a um aberto V de um espaço euclideano.

(38)

38 CAPÍTULO 5. GRUPOS EUCLIDEANOS

5.2 Carta da identidade

Vamos mostrar que a restrição da exponencial a uma vizinhança aberta da origem da álgebra de um grupo de matrizes é um homeomorfismo com uma vizinhança aberta da identidade do respectivo grupo de matrizes.

Lema 5.2 Seja G ⊂ Gl(n) um grupo de matrizes. Se (Yk) é uma seqüência

em E−1_{(G) tal que Y}

k → 0 e se (sk) é uma seqüência de números reais tal

que skYk→ X, então X ∈ g.

Prova: Dado t ∈ R, existe lk ∈ Z tal que |lk− tsk| ≤ 1. Temos, então, que

|lkYk− tX| = |(lk− tsk)Yk+ t(skYk− X)|

≤ |lk− tsk| |Yk| + |t| |skYk− X|

≤ |Yk| + |t| |skYk− X| .

Por hipótese, temos que Yk→ 0 e |skYk− X| → 0. Assim, usando o teorema

do confronto, segue que |lkYk− tX| → 0, de modo que lkYk → tX. Mas

E(lkYk) = E(Yk)lk ∈ G e portanto lkYk ∈ E−1(G). Como E−1(G) é fechado,

isso implica que tX ∈ E−1_{(G) . Temos então que tX ∈ E}−1_{(G) para todo}

t ∈ R. Portanto X ∈ g.

Teorema 5.3 SejamG ≤ Gl(n) um grupo de matrizes e g a sua álgebra. A exponencial E : g → G é um homeomorfismo de uma vizinhança aberta de 0 em g numa vizinhança aberta de I em G.

Prova: Seja c ⊂ gl(n) tal que gl(n) = g ⊕ c. Para cada X ∈ gl(n), temos que X = Xg_{+ X}c_{, onde X}g _{∈ g e X}c_{∈ c estão unicamente determinados.}

Definimos F : gl(n) → Gl(n), onde

F (X) = E(Xg_)E(Xc_{) = e}Xg

eXc

. Para qualquer X ∈ gl(n), temos que

F′(0)X = F (tX) dt |t=0 = e tXg etXc′ |t=0 = etXg′ etXc + etXg etXc′ |t=0 = Xg+ Xc = X.

(39)

5.2. CARTA DA IDENTIDADE 39 Isso mostra que F′_{(0) é a identidade em gl(n). Pelo teorema da função}

inversa, segue que existe uma vizinhanças aberta V de 0 tais que E e F restritas a V são difeomorfismos sobre suas imagens (que são abertas).

Figura 5.1: Sequência Yk e suas componentes.

Caso I não estivesse no interior de E(g) em G, existiria gk → I tal que

gk∈ G e gk 6∈ E(g). Definindo-se Yk= F−1(gk), segue que

gk= F (Yk) = E(Y_kg)E(Ykc).

Segue também que Yc

k 6= 0, pois o contrário implicaria gk = E(Y_kg) ∈ E(g),

o que contraria as hipóteses acima. Como gk e E(Ykg) pertencem a G, segue

que E(Yc k) = E(Y g k) −1_g k ∈ G, mostrando que Yc k ∈ E−1(G).

Como gk→ I, tem-se que

Yk= F−1(gk) → F−1(I) = 0.

Temos então que Yc

k → 0, que Ykc 6= 0 e que Ykc ∈ E−1(G). Pela compacidade

da esfera unitária em c, podemos supor sem perda de generalidade que 1

|Yc k|

Yc k → X,

para algum X ∈ c com |X| = 1. Pelo lema anterior, é fácil verificar que isso implica que X ∈ g, o que é um absurdo, pois g ∩ c = {0}.

(40)

40 CAPÍTULO 5. GRUPOS EUCLIDEANOS Corolário 5.3.1 Se G é um grupo de matrizes, então G é euclideano. Prova: Com efeito, seja G um grupo de matrizes. Sua álgebra associada é, em particular, um espaço euclideano. Pelo provado, existe uma vizinhança da identidade homeomorfa a uma aberto da álgebra associada. Logo, pelo lema 5.1, tem-se que G é um grupo euclideano.

(41)

Apêndice A

Exercícios

A.1 Exponencial

Exercício 1 Mostre que se

X = λ −λ , então etX ₌ etλ e−tλ .

Exercício 2 Demonstre que se X = −1 1 , então etX = cos(t) −sen(t) sen(t) cos(t) .

Exercício 3 Prove que se

X = gY g−1, então

etX = getYg−1.

(42)

42 APÊNDICE A. EXERCÍCIOS

A.2 Grupos de matrizes

Exercício 4 Sejam G ≤ Gl(n) e H ≤ Gl(m) grupos de matrizes. Prove que G × H = g h : g ∈ G, h ∈ H ≤ Gl(n + m)

é um grupo de matrizes, denominado grupo produto de G por H. Mostre que G × H é compacto se e só se G e H são compactos.

Exercício 5 Sejam G, H ≤ Gl(n) grupos de matrizes. Mostre que Z(H, G) = {g ∈ G : gh = hg, ∀h ∈ H}

é um grupo de matrizes, denominado centralizador de H em G.

Exercício 6 Sejam G, H ≤ Gl(n) grupos de matrizes, demonstre que N(H, G) = {g ∈ G : gH = Hg}

é um grupo de matrizes, denominado normalizador de H em G.

Exercício 7 Sejam G, H ≤ Gl(n) grupos de matrizes, prove que G ∩ H é um grupo de matrizes.

Exercício 8 Sejam G, H ≤ Gl(n) grupos de matrizes, se H é compacto e G ≤ H, então G é compacto.

Exercício 9 Prove que

Sl(n) = {g ∈ Gl(n) : det(g) = 1}

(43)

A.2. GRUPOS DE MATRIZES 43

O(n) =g ∈ Gl(n) : gT_{g = I}

é um grupo de matrizes compacto, denominado grupo ortogonal. Mostre também que O(n) ≤ Sl(n).

Exercício 11 Como conseqüência dos quatro exercícios anteriores, verifique que SO(n) = O(n) ∩ Sl(n) é um grupo de matrizes compacto, denominado grupo ortogonal especial.

Exercício 12 Denotando J = −I I ∈ Gl(2n), prove que Sp(n) =g ∈ Gl(2n) : gT_{Jg = J} é um grupo de matrizes, denominado grupo simplético.

Exercício 13 Mostre que

S1= {z ∈ C : |z| = 1} é topologicamente isomorfo a SO(2).

Exercício 14 Como conseqüência do exercícios anterior, demonstre que o toro

Tn= S1× · · · × S1

(44)

44 APÊNDICE A. EXERCÍCIOS

A.3 Álgebras de matrizes

Exercício 15 Sejam G ≤ Gl(n), H ≤ Gl(m) grupos de matrizes, g a álgebra de G e h a álgebra de H. Prove que

g× h = X Y : X ∈ g, Y ∈ h ≤ gl(n + m) é a álgebra do grupo G × H, denominada álgebra produto de g por h.

Exercício 16 Sejam G, H ≤ Gl(n) grupos de matrizes, g a álgebra de G e h a álgebra de H. Mostre que g ∩ h é a álgebra de G ∩ H.

Exercício 17 Sejam G, H ≤ Gl(n) grupos de matrizes, demonstre que z(h, g) = {X ∈ g : [X, h] = 0}

é a álgebra do centralizador Z(H, G), denominada centralizador de h em g.

Exercício 18 Sejam G, H ≤ Gl(n) grupos de matrizes, prove que n(h, g) = {X ∈ g : [X, h] ⊂ h}

é a álgebra do normalizador N(H, G), denominada normalizador de h em g.

Exercício 19 Mostre que

sl(n) = {X ∈ gl(n) : tr(X) = 0} é a álgebra do grupo SL(n).

(45)

A.4. HOMOMORFISMOS 45 Exercício 20 Demonstre que

o(n) =X ∈ gl(n) : XT _{+ X = 0} é a álgebra de O(n) e também de SO(n).

sp(n) =X ∈ gl(2n) : XT_{J + JX = 0} é a álgebra de Sp(n).

A.4 Homomorfismos

Exercício 22 Sejam det : GL(n) → R∗ a função determinante e tr : gl(n) → R a função traço. Mostre que

det(eX) = etr(X).

Exercício 23 Sejam G, H ≤ H grupos de matrizes. Demonstre que se φ : G → H é um homomorfismo e φ′ _{: g → h seu homomorfismo derivado,}

então a álgebra do núcleo Ker(φ) de φ é o núcleo Ker(φ′_{) de φ}′_.

A.5 Grupos topológicos

Exercício 24 Sejam G um grupo topológico. Se H ≤ G é aberto em G. Prove que H também é fechado em G.

(46)

46 APÊNDICE A. EXERCÍCIOS Exercício 25 Sejam G um grupo topológico conexo e U uma vizinhança do elemento neutro. Mostre que

G = [

k≥1

Uk, onde

Uk = {g1· · · gk : g1, . . . , gk ∈ U}.

Exercício 26 Seja G um grupo topológico conexo. Demonstre que se H ≤ G é tal que int(H) 6= ∅, então H = G. Conclua que o único subgrupo aberto de um grupo topológico G conexo é o próprio G. Em particular, não há subgrupos próprios do grupo aditivo R que contenha intervalos.

Exercício 27 Sejam G1, G2 grupos topológicos, H1 ⊳ G1 e H2⊳ G2. Prove

que G1 × G2 H1 × H2 ≃ G1 H1 × G2 H2 .

Exercício 28 Mostre que S1 é topologicamente isomorfo R/Z.

Exercício 29 Demonstre que Tk é topologicamente isomorfo Rk/Zk_.

Exercício 30 Prove que se G ≤ Rn é discreto, então G ≃ Zk (k ≤ n).

Exercício 31 Sejam G, H grupos topológicos. Mostre que se φ : G → H é um homomorfismo topológico sobrejetivo e aberto, então

(47)

A.6. GRUPOS EUCLIDEANOS 47

A.6 Grupos euclideanos

Exercício 32 Demonstre que se G é um grupo de matrizes abeliano, então g é abeliano.

Exercício 33 Prove que a recíproca do exercício anterior é verdadeira quando G é um grupo de matrizes abeliano conexo.

Exercício 34 Seja G um grupo de matrizes. Mostre que se H é subgrupo normal de G, então h é ideal de g (subálgebra tal que n(h, g) = g).

Exercício 35 Demonstre que quando G é conexo, a recíproca do exercício anterior é verdadeira.

Exercício 36 Sejam G um grupo de matrizes e g a álgebra de G. Prove que se G é abeliano conexo, então a exponencial E : g → G é um homomorfismo topológico sobrejetivo e aberto. Mostre que Ker(E) é subgrupo normal do grupo aditivo g.

Exercício 37 Mostre que se G é abeliano conexo, então G ≃ g/Ker(E) ≃ Tk× Rm_.

Exercício 38 Mostre que se G é abeliano, conexo e compacto, então G é algum toro, ou seja, G ≃ Tk_.