Análise não-linear de pórticos em concreto armado ou protendido, para cargas de curta duração

MARIA DE LOURDES SILVA VIANA

Dissertação apresentada ao corpo docente do Curso de Pós-Graduação em Engenharia Civi 1 da Escola de Engenharia da Universidade Federal do Rio Grande do Sul como parte dos requ~ sitos para a obtenção do título de Mestre em Engenharia Civil.

Porto Alegre Dezembro de 1984

ESCOLA DE ENGENHARIA BIBLIOTECA

-çao.

'Prof.

Pab

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1

Gaston

Bignon Orientad9r \}

I '

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of.

José Carlos Ferraz Hennemann ~6ordenador do Curso de Pós-Graduação em Eng.

i i C i vi 1

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:.

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A

minha

6amZlia

i i I t f. ! r I f

ção recebida ao longo deste trabalho.

Ao Professor Josã Carlos Ferraz Hennemann , coordena-dor deste curso, e na sua pessoa a todos os professores , pela ajuda dispensada.

Aos Professores Ruben Braga, Luiz de Lacerda Júnior e dema is membros da di retoria da Fundação Mineira de Educação e Cul t ura (FUMEC), pelo apoio e incent ivo recebidos no d

ecor-rer deste trabalho.

Ao Conselho Nacional de Energia Nuclear (CNEN) e a Coordenação do Pessoal de Nível Supe rior (CAPES}, pelo auxílio financeiro.

grafia.

A

Lili ani Gaeversen, pe la excelente dati lografia. A Jul iana Zart Boni lha, pela e laboração da bibl

io-Ao José Mi 1 ton de Araújo, pelas sugestoes e constan-te colaboração.

Aos colegas e funcionários des te curso, pe la ami za-de, incentivo e colaboração, e a todos àqueles que de alguma

manei ra ajudaram na rea 1 i zação deste t r aba 1 h o.

r.

mentar, computacionalmente, um procedimento numérico para ana-lisar pórticos planos em concreto armado e em concreto preten -dido, submetidos a cargas de curta duração, com a cons ideração das não-linearidades fís ica e geométr ica.

Aplica-se a carga de forma incrementai e, para cada etapa, uti 1 iza-se o método dos elementos f initos , com uma for-mulação em deslocamentos , para reso lver as equações de equi 1 í -brio.

Divide-se a seção transversal do elemento em faixas simétri cas em relação ao plano de atuação das cargas ex

terio-res, sendo assim poss ível acompanhar variações na largura , das características mecânicas e das equações constitutivas de cada materi al.

Estuda-se as estruturas em concreto pretend ido com armaduras pós-tracionadas , com aderência .

Apresenta-se uma série de exemplos numéri cos a fi m de verificar a vali dade e a aplicabilidade do método e do al-goritmo desenvolvidos e compara-se os resultados obtidos com dados exper imentai s e respostas devi das a outros

pesquisado-res . v I

'

,

~

I

r i ..

-SUMMARY

The object of the present study is to develop and implement on the computer , a numerical procedure for analysing planar reinforced and prestressed concrcte frames under short term loading duration, considering physical and geometric non I ineari t ies.

The loads are appl ied in increments and at each stage a Finite Element displacement model

solve the equilibrium equations.

is used to

The cross section of each e lement is divided into layers which are symmetric in relation to the exterior load plane. In this way it is possible to accompany variations in the wi dth, mechanical properties and cons titutive

equations of each material.

Post- tensioned bonded structures are analyzed .

A

series of numerica l examples are presented in order to verify the validity and appl icability of the method and the algorithm deve loped . The results obtai ned were compared with exper imenta l measurements and analytical

results obtained by others investigators.

vi

SUMARIO

1. INTRODUÇAO . . . .. .. .. . . .. .. . . .. .. . 1.1- Generalidades .. . . .. . . .. I

1. 2 - Objetivos e t·1etodolog ia . . . 4

2. PROPRIEDADES DOS MATER IAIS . . . 6

2. 1 - Generalidades . . . • . . . • • . . 6

2.2 - Concreto . . . . • • . . . 7

2.2. 1- Deformação . . . . .. .. . . .. . . .. .. . . .. 7

2.2.2 - Deformação de curta duração. Relação tensão-deformação . . . lO 2.2.3 - Deformação de longa duração .. . . 19

2. 3 - Aços para Armadura Ordinári a . . . .. . . . 20 2. 4 - Aços para Pretensão . . . 23

3

.

ALGORITMO DE SOLUÇÃO . . . .. . . .. . . 28

3.1- Consi derações Gerai s . . . 28

3.2 -Solução da Equação de Equi I íbrio . . . • . . 29

3.3- Programa Computaciona l . . . 32

3.3

.

1 -Convenção dos blocos diagramas . . . 33

3.3. 2 - Fluxograma do programa principal . . . 34

3.3.3- Sub-rotinas . . . ... . .. . . 39

4. UM PROCESSO DE CALCULO PARA ESTRUTURAS EM CONCRETO ARMADO . . . • . . . .. .. . . 57

4. 1 - Defini ções e Hipóteses . . . .. 57

4.2 - Equação de Equi I íbrio do El emento. Cálculo das Ações de Extremo de Membro . . . 58

4.3

- Cál culo de Deformações e Tensões . . .

63

4.4 - Cálculo do Vetor de Forças Internas Resistentes . . . 64

v i i

,

r

_I

..

I

·

,.

I r· •I

..

5. 2 - Defini ç~es e H i pó te se s . . . .. . . 69

5.3

-Análi se de Estru turas Pós-Tracionadas . . . ...

72

5.3.1 -

Anál ise na t ransfe rência da pretensão . . .

72

5.3.

2

-

Dete rminação das aç~es noda is equivalentes à pretensão . . . ... . . ...

75

5.3.3-

Síntese da análi se durante a transferência da pretensão . . . ... .... . . .. 82

5.3.4-

Análi se depois da transferência . . . 82

6. APLICAÇÕES NUMERICAS . . . .... . . ... . . 86

6. I - General idades . . . .... . . ... ... . ... ... 86

6.2-

Estruturas em Concreto Armado . . . .... .. 86

6.2.

I - Viga ensaiada por SCHEEG e DECANINI -isostáti ca, seção constante . . . 86

6.2.2 - Viga-coluna submet ida à fl exo-compressão com pequena excentricidade - isos tát ica, seção constante . . . 89

6.2.3

-

Vi ga coluna ensaiada no laboratól-io de Zur ich-isostática, seção constante .... . . .. 91

6.2.4 -

Es trutura em cruz, ensaiada por THOMPSON e PARK . . . .. .. .. . . ... . . ... 94

6.3 -

Estruturas em Concre to Pretendido . . . 98

6.3.

l -Vigas con tínuas ensaiadas por LIN - 2 vãos, seçao constante, um cabo de pretensão . . . 98

6.3.2 -

Viga ensaiada por WARWARUK, SOZEN e SIESS -isostática , seção cons tante, um cabo de pretensão .. . . 108

6.3.3

-Viga ensa iada por BRECKENRIDGE -·isostática , seção va ri áve l, 2 cabos de protensão . . . llO

6.3.

4

-

Est ruturas em cruz , com a viga em concreto pretendido, testadas por THOMPSON e PARK .... .. . . .... .. .. 113

(\

7.2.1- Ponto de vi sta teórico . . . • . . 117

].2.2 - Ponto de vista computacional . . . • . 118

7. 3 - SugestÕes . . . .. . . 119

REFERENC I AS B I BL I OGRAF I CAS . . • . . • . . . • • • . . . • • • • • • • • 121

A - area p

-da seçao transversal O - vetor de desequi 1 íbrio

do cabo de pretensão

E

-

módulo de deformação longitudina l inicial do concreto c

E

-p módulo de deformação longitudinal in i c i a 1 do aço para pro tensão

E

1 módulo de deformação longitudinal inicial do aço para armadura ordinária

E

2 - módulo de deformação longitudinal, para o estádio I I, do aço para armadura ordinária

K - matriz de rigidez tangente inicial da estrutura - 0

L - comprimento do elemento de concreto

L - comprimento do segmento de cabo de pretensão s

Lt - comprimento total do cabo de pretensão

~EXT - vetor das cargas externas atuantes na estrutura

P - vetor das aç~es de extremo de membro lineares para a

-L

estrutura

~NL- vetor das açoes de extremo de membro não-1 ineares para a estrutura

P - vetor das forças nodais equivalentes a pretensão para -P

o elemento

P - força de pretensão

o in i c i a 1

R - vetor das aç~es de extremo de membro para o el emento R - vetor da contribuição do aço para pretensão nas açoes de -P

extremo de membro

X

-W - trabalho

2. Letras romanas minúsculas

e. -excentricidade do cabo de protensao no nó i I

f resistência

à

compressão do concreto, med ida no ensaio de

c

um corpo de prova

f' - tensão máxima do diagrama tensão-deformação do concreto c

fcd - resistência de cálculo à compressão do concreto

fck - resistência característica à compressão do concreto

f - média dos valores da resistência à compressão do concre-cm

to med idos em ensaios de corpos de prova

f ₂ - tensão convencional de escoamento do aço so'

f - força de at rito r

f - tensão de escoamento do aço y

fyk - resistência característ ica à tração do aço

fyp - tensao de escoamento do aço para protensao

k - perda por atrito, por metro 1 inear, representativa dos desvios paras i tários da bainha

k

1 - variação angular da bainha, por metro 1 inear

p - parâmetro que representa a pos ição no e ixo do elemento

pk -pontos, no e ixo do elemento de concreto, pa ra a integra -ção de Gauss

p _m - carga uniformemente distribuída no segmento de cabo, representativa das perdas imediatas ao longo do mesmo

u - deslocamento axial de qualquer ponto do eixo do elemento o

de concreto

u(x,y) - deslocamento, na direção x, de qualquer ponto do e lemento

xi

..

3.

Letras gregas minúsculas

a - ângulo

S

-

matriz de rotação

ó - deslocamento

Õ coeficiente de variação

ea

-

deformação devida ao envelhecimento do concreto ec deformação dev ida

à

fluência do concreto

em-

deformação mecânica

e

_max

-

deformação máxima

Enm deformação não-mecânica

E _o deformação correspondente a tensão máxima, no diagrama

tensão-deformação do concreto

E T _{deformação devida a mudança de temperatura}

e:

-

deformação res idual

r

e:s _{deformação devida} ~

retração do

-

a concreto

e -deformação na faixa de concreto s ituada à distância y

xp p

e:L - deformação associada ao eixo local do cabo de pretensão X

e(x,y) -componente, na direção x, do tensor de deformações finitas

e

u - deformação última

- coeficiente de atr ito entre o cabo de protensao e a bainha

tensao total na direção do eixo do cabo de pretensão -L

a

-

tensao no cabo, acumulada a partir do início do carrega-x

menta externo

4>

-

função de forma para U (X) _o

ljJ

-

função de forma para V (X)

I•

As estruturas em concreto armado e em concreto pro-tendido devem ser projetadas para atender condições de util i-zaçao e segurança. Para assegurá-las,

é

necessário fazer uma previsão acurada de deslocamentos, forças internas e deforma-ções da estrutura, submetida às cargas de serviço que lhe são

impostas. Tais cargas incluem tanto a história de carga ativa à qual a estrutura está submetida, quanto as cargas impostas pelas condições do ambiente no qual ela está inserida.

Para avaliar a segurança em relação à ruptura, a car ga última deve ser estimada o melhor possível, sendo, às ve-zes desejável ainda, ter uma previsão do comportamento da es-trutura durante uma série de carregamentos at ingindo as fases elástica, inelástica e nas vizinhanças da ruptura.

A determinação analítica de deslocamentos, forças in ternas, tensões e deformações de estruturas em concreto armado ou protendido, durante toda sua história de carga, é

complica-da em função de vários fatores que incluem: - a não-homogene idade;

- a mudança contínua da topolog ia do sistema , devida

à

fis suração do concreto;

-as relações tensão-deformação não-lineares dos ma-teriai s componentes;

- o escorregamento das armaduras;

- a variação das propriedades do concreto com o tem-po;

- as deformações devidas à fluência, retraçao, histó ria de carga e mudanças de temperatura;

- as perdas de protensão;

Devido is dificuldades menc ionadas, no passado, para o projeto das estruturas em concreto, e ra necess~rio se basear principalmente em f6rmulas emp íricas, derivadas de numerosos experi mentos. Entretanto, com o advento dos computadores digl

tais e os modernos e poderosos métodos de anã 1 i se, ta 1 como a técnica dos elementos finitos, nas duas décadas passadas foram feitos mui tos esforços para desenvolver soluções analÍticas que permitissem interpretar e prever os resultados experimenta is com um fundamento ma is consistente.

Inúmeros t rabalhos têm s ido publi cados discutindo os métodos de solução para problemas estruturais não-lineares, e

intensivas pesquisas neste sentido continuam sendo feitas, no âmbito nacional e internacional. Cita-se aqui os mais repre-sentativos, ini ciando pelo traba lho de TI LLERSON, STR ICKL IN e HA I S L E R 4 7 , que compara, d ocumenta e ava l . 1a as tec- n1cas . d esen-volvidas para esse t ipo de aná li se .

CONNOR, LOGCHER e CHAN

lB

publi caram um estudo para análise não-linear geométrica de estruturas reticuladas, apre-sentando as equações necessárias para a so luçâo do problema através de subst i tuiç~es sucessivas e do método de

Newton--Raphson.

O comportamento e lasto-plást ico não-linear de p6rt i-cos planos foi anal isado por RIDHA e LEE38. A

an~

li

se

apre-sentada no estudo incorpora as deformações f ini tas dos n6s da estrutura e o fenômeno da plas ticidade.

KROENKE, GUTZWILLER e LEE31 apresentaram um traba -lho onde se estuda um el emento de viga-coluna uti I izado na ana li se de p6rticos planos em concreto armado. Nessa formul ação, foram incluídos os efeitos de grandes deslocamentos e utiliza -das curvas momento-curvatura com características inelásticas.

Quanto ao método dos elementos f initos , a teoria e sua aplicação, para análi se linear e não-linear de estruturas , é tratada, entre outras, nas obras de ZIENKinJicz52 e DESAI e ABEL22 . A primeira publi cação sobre a aplicação da técnica dos elementos finitos, para es truturas em concreto armado , foi feita por SCORDELIS3 5 , em 1967. Foram ana l isadas vigas s i m-ples, nas quais o concre to e o aço foram representados por ele

mentes triangul ares de deformaç~o constante. Executou-se uma

análise elást ica-! inear com padrões de f issuração pré-defin

i-dos, para se determinar as tensões principais no concreto, ten

-soes no aço e tensões de aderência.

NILSON36 introduziu na análise as propr iedades na o

-

--lineares dos materiais, usando um método incrementai em te r-mos de carga.

ZIENKIEWICZ et a1S3 usaram uma aprox imação de

ten-sao inicial para estudos de tensões bidimensionais, incluindo

tensão de f issuração e comportamento elasto-plástico em com -pressao.

BERGMAN e HOLAND6 desenvolveram uma anál ise de es

-truturas em concreto armado, uti 1 izando o método dos elementos

finitos, e apresentaram um esquema de vários modelos matemáti

-cos, propostos com a fina l idade de representar o comportamento

interativo dos dois materiais.

No Curso de PÓs-Graduação em Engenharia Civil da Uni

vers idade Federal do Rio Grande do Su l , várias dissertações _, fo -ram dedicadas a vigas, pi lares e pórt icos em concreto armado .

2 8 ~

-O trabalho de HOFFMANN e voltado para a ver if icaçao e di -mensionamento de pi lares esbeltos em concreto armado, submeti -dos a flexo-compressão normal , levando em conta, de forma apro ximada, os efeitos de segunda ordem. SPERAND1044 estendeu

o-estudo ante rior ao caso de f lexo-compressão obl íqua .

SARAGO-SA14 ampliou e generalizou trabalhos prévios de BIGNON8 so -bre pórti cos planos em concreto armado, onde inclusive se leva em consideração as rotações locali zadas, produzidas por escor -regamento das armaduras. CAMPOS FILHo12 desenvolveu um estu -do sobre anál ise não-l inear de pilares em concreto armado, com seção transversal e distr ibuição de armadura arbitrárias,

va-riáveis ao longo do eixo , e com condições genéricas de apoio. A fluência e a retração do concreto são consideradas.

Em relação ao concreto pretendido, a partir do pri-meiro art igo , publicado por FREYSS INET, em 1941, uma extensa

bibliografia está disponível sobre os materiais, processos construtivos , cálculo e verificação de estruturas pretendi das . Entre os autores que ma is contribuíram para o desenvolvimento

e difusão dessas técnicas, pode-se citar LEONHAROT32, em cujo livro apresenta uma relação das obras publicadas desde o iní-cio do concreto pretendido, e GUYON26•27, cujos estudos clássi -cos foram vertidos para várias 1 ínguas , permitindo assim a di-fusão e intensificação desses procedimentos.

As prime iras normas sobre concreto pretendido foram redigidas na Alemanha, em 1943, sob a di reção de RÜSCH.

No Bras i 1, a primeira obra executada em concreto pr~ tendido foi a ponte do Galeão, no Rio de Janei ro, em 1948, p~ lo sistema Freyssinet, mas as publicações es pecíficas

aparece-ram posteriormente. Em 1957, CARoozo 13 publi cou artigos des-crevendo os processos de pretensão existentes até então e, no ano seguinte, FERRAZ23 deu continuidade ao trabalho de CARDO-ZO, com um curso na forma de uma série de artigos . Vários ou -tros autores se dedicaram ao assunto, surgindo vários traba-lhos, destacando-se o livro de PFEIL37, de 1980, sendo o di-mensionamento sempre baseado numa análise linear.

Para estruturas em concreto protendido, o método dos elementos finitos, até 1977, havia sido empregado somente para

- 49 19

o estudo de vasos de contençao de reatores nucleares '

Nesse ano, KANG30 apresentou um t rabalho onde são anali sados vigas e pil ares em concreto armado e pretendido, considerando, inclusive, as deformações devidas à fluência, retração, enve -lhecimento do concreto e as devidas

à

relaxação do aço.

1.2- Objetivos e Metodologia

O presente estudo tem por objetivo desenvolver e i m-pl ementar computacionalmente um procedimento numéri co eficien-te, para analisar estruturas em concreto armado ou pretendido, submetidas a cargas de curta duração, considerando as não-li-nearidades física e geométrica.

A carga e aplicada de forma incrementai e, para cada etapa, as equações de equilÍbrio não-1 ineares são resolvidas pelo método dos e lementos fin i tos, baseando-se a formulação em um modelo de deslocamentos.

si-,.

métricas em relação ao plano de atuação das cargas exteriores,

permitindo acompanhar variações da largura, das característi

-cas mec~nicas e das equações constitutivas de cada materi a l. As ações de extremo de membro são ava liadas por uma dupla in

-teg ração, sendo uma sobre as faixas, e outra ao longo do eixo

do elemento.

A não-linearidade geométrica é in troduz ida no probl~ ma at ravés das relações deformações -deslocamentos decorrentes

de uma teoria na hip6tese de pequenas deformações e moderadas

rotações .

Quanto às estruturas pretendidas, sao analisadas

aquelas com armaduras p6s-tracionadas , com aderência , distin

-guindo-se dois estágios de carregamentos , isto é , du rante e depois da transferência da pretensão.

A formulação é aplicável a p6rticos em concreto ar -mado ou pretendido, desde que a armadura não seja interrompida

na interseção entre vi gas e pi lares , evitando assim a

forma-ção de fissuras local izadas devidas a fortes escorregamentos, cujo efeito não

é

considerado .

Apresenta-se uma série de exemplos numéricos, a fim

de verifi car a va li dade e aplicabi 1 idade do método e do algo -ri tmo estudados e compara-se os resultados com dados exper i -mentais e respostas obtidas por outros pesquisadores.

.

.

As est ruturas em concreto armado e em concreto pro -tendido são cons t i tuídas de concreto, aço pa ra armadura ord i-nári a ou aço pa ra pretensão e se caracterizam por um comporta -mento mecânico sumamen te complexo. O aço pode ser considerado um materia l homog;neo com propri edades , em geral, bem def ini-das .

J

á

o concreto é um material hete rogêneo constitu ído de cimento, arei a , brita e agua. Devido a esta hete rogenei dade, as suas prop riedades dependem de muitos fatores e são de difí -ci I def inição . Ent retanto , num senti do macroscópico, pode-se cons iderá-lo um mate ria l homogêneo, se suas propriedades são def inidas com bases estatíst icas . Essa hipótese

é

,

em geral , aceita para as estruturas de engenha ria c i vi I e permite e stu-dar o comportamen to das peças como se fossem const i tuídas de dois materi ai s homogêneos . Tan to o aço quan to o concreto apr~ sentam propri edades não lineares .

A relação tensão-deformação deste últ imo, além de não-l inear , é diferente pa ra traçao e compressao. A f issura -ção é um dos ma is importantes fatores que cont ribui para a não-li nearidade fÍsica do conjunto. Além di sso, as p roprieda-des do concreto são dependentes da sua idade e das condiç6es do ambiente, tai s como temperatura e umidade , ass im como da hi stó ria de ca rga.

O aço para armadura ordinár ia , geralmente é assumido ter uma relação tensão-deformação não- linea r, porém s imétr ica para tração e compressão, e suas propriedades podem ser co nsi-deradas independentes do tempo e das cond iç6es ambientes , para a maioria das apli caç6es em engenharia civi l , pr incipa lmente quando a velocidade de deformação não é mui to elevada .

O aço para pretensão é usado somente para absorve r es forços de tração . Ele tem a lta res ist;ncia , seu diagrama

tensão-deformação é Lambém não-1 inear, mas a forma deste

é

di

f e r e n te da q u e 1 a do aço p a r a a r· ma d u r a o r d i n

á

r i a . As armaduras pretendidas , normalmente , t rabalham em alto regime de tensão,

verificando-se conseqUentemente no tempo, chamada relaxação.

uma perda gradat iva da mesma

Para o presente es tudo , assume-se que exi ste uma pe~ feita ader~nc ia entre o concreto e o aço para armadura ordi ni-ria, isto~. o aço experimenta as mesmas deformaç6es que o con ereto adjacente , o que imp li ca na cont inui dade do ctlmpo de des locamentos da peça em concreto armado . Tal hi pótese é também válida para as estruturas em concreto pretendido com aderên -cia, depois da transferênci a da pretensão, onde exi ste uma 1 i-gaçao perfei ta entre o aço e o concre to.

Discute-se, a segui r, importantes propri edades dos

três materi ais citados e o mode lo matemático que as represen -ta.

2.2 - Concreto

2.2.1 -Deformação

A deformação no concreto segue leis sumamente compl~ xas , já que ela resulta de fenômenos de dife rentes tipos , cada um obedecendo regras parti culares . A complexidade das leis que regem a deformação no concreto se deve

à

heterogeneidade da sua estrutura .

A hipótese de que a deformação no concreto pode ser cons iderada composta de deformações causadas por diferentes

f e n ô me nos , f o i v e r i f i c a da ex p e r i me n ta 1 me n te p o r DAV 1 S 2 0 '2 1 ' 4 8 e GLANVILLE25. KANG30 assume que a deformação uni axial total, E(t), a um tempo qualquer t , é composta de

e: (t)

=

e:m(t ) + sn111(t);

( 2 . 1 )

sada pelas cargas de curta duração; ~

e a deformação não mecânica e consiste de

E:c(t), deformação devida

-

a fluência (creep);

E:s(t), deformação devi da

-

a retração (shrinkage)

-

E:a(t), _{deformação devida ao envelhecimento} (aging)

E:T(t), _{deformação devida}

-

_{a mudança de tempera tu r a.}

-sao produzidas por

ten-sões, isto é, ocorrem sob aplicação de carregamento externo.

-nao sao produzidas por tensões. Ocorrem

inde-pendentemente da estrutura estar carregada ou não.

A re lação entre cada uma dessas deformações e o

tem-po t esta ~ representada na figura 2.1 3

o

, exceto para a defor-maçao devida ~ mudança de temperatura. A figura 2. l.a mostra

a retração de uma peça de concreto descarregada. A retração

do concreto é definida como a mudança de volume da peça, que ocorre de forma independente das tensões impostas e de mudan-ças de temperatura.

Na fi gura 2. 1 . b, vê-se a história de deformação de uma peça de concreto, em equi 1 fbrio higrométrico com o me io ambi ente, ou seja, o ar e a peça têm o mesmo teor de umidade.

Tal peça foi submet ida a uma compressão axial cons tante. O acréscimo E:c(t) de deformação no tempo t, com relação à de-formação no tempo _{t '}

o suposto ocorrido sob tensão constante,

é definido por fluênci a .

Se, numa peça semelhante , a mesma carga do ensaio anterior é aplicada no tempo t , a deformação mecânica E:m(t)

é menor do que aquela ocorrida no tempo t ,

o devido ao aumen -to da resistência e do módulo de deformação com o tempo.

ferença entre E:m(t 0 ) lhecimento, E:a(t ) .

e E:m(t) é chamada deformação por

A di enve

-A figura 2.1 .c mostra a história de deformação de uma peça seca, carregada , na qual todas as componentes da de -formação total estão representadas , exceto aquela devida à mu

.

.

o 11\l (\) E 1... o 4-<ll "O o 11\l \.)'> (\) E I-. o 4-<ll "O o 11\l (\) E 1... o 4-~·--·-·-·~JE:s(t) t tempo t o - a --- ~ I t tempo carregamento aplicado no tempo t

o - - - carregamento i ns tan tâneo no tempo t

- b

--·-

·

-·

-=

'

<

:(

t)

.

!=t

e:

(t)

- - - -

-

--<>

e:a(t) <ll -o e:m ( t I _E: m _{( t)} t o t tempo

carregamento aplicado no tempo t o

--- carregamento instantâneo no tempo t

limite entre para carregamento no tempo t

0 - c

-FIGURA 2. l. a) Deformação de uma peça descarregada;

b) deformação de uma peça em equilÍbrio

hi grométrico com o meio ambiente;

.

.

_{Este t rabalho se li mi ta à análise de pórticos planos}

em concreto armado e em concreto pretendido, const ituídos de peças de seções simétricas, submetidas a cargas de curta

dura-ção, estando presente somente deformações mecânicas .

2.2.2 - Deformação de curta duração. ;r d Relação tensão-deformação

Entre os elementos importantes para a determinação

da resposta de uma estrutura em concreto armado ou pretendido,

estão a relação tensão-deformação dos seus materiais, a nat

u-reza da carga e a du ração do carregamento. A relação O-€ pa -ra o concreto pode ser obtida através de testes em corpos de prova, geralmente norma li zados de acordo com o tipo de solici-tação que se invest iga, ou ainda através de medições feitas

na zona comprimida de peças submetidas a ensaios de f lexão. A f igura 2. 2 mostra duas curvas o -E: obtidas em teste de velocidade de deformação constante, em um corpo de

prova ci 1 Índrico, axial mente comprimido, para dois concretos

d"f 1 erentes 11 . Nota-se uma ev idente corre 1 açao ent- re o va 1 or da resistência e a forma da curva, ou seja, o concreto de re -s istência mais ba ixa é menos frigi 1, sua ruptura ocorrendo

pa-ra um valor da deformação ma ior que para o concreto de res is -tência mais alta .

As curvas consistem em um t recho ini cial, relat iv

a-mente linear, seguido por um trecho curvo, de declividade

de-crescente, que alcança um ponto máx imo de coordenadas (E: _o '

f ) com dec livi dade zero, pro longando -se num ramo descendente

c

que te rmina quando é alcançada a deformação máxima E:max Para a maioria dos

o

002 3°

' '

parte reta mente 30.

E vale aproximadamente

o

4

valor adotado pela Norma Bras ile ira NB-1/78 concretos usuais ,

A

inicia l chega até 30% da tensão máxima , aproximada-A resistência ã compressão do concreto, fc' é defi_

nida como a máx ima tensão de compressão obtida em um ensaio

num corpo de prova cilÍndrico, cúbico ou prismático , depend

en-do das normas técni cas de cada país . Para a mesma dosagem do

concreto, veri fica- se uma cons iderável f lutuação de resultados,

..

(J (HPa) 30 15 E o O, I E max 0,2 FIGURA 2. 2 - Relações

o-

E

0,3 0,4

E%

típicas do concreto.

da teoria de probab ilidades. Assim,

é

possível abordar a con -ceituação da resistência do concreto estatisticamente .

Denomina-se resistência característica do concreto, fck' um valor mínimo esta t íst ico,

dos

95

%

dos valores da resistência

acima do qual ficam situa-f obtidos experimenta

l-c

mente . Com base na curva normal de distribuição , e sendo f

37 em

a média dos resultados, pode-se escrever

fck f em ( 1 - 1 '6 4 5

6

)

( 2 . 2)

onde

6

é o coeficiente de variação ou di spersão dos valores e é dado por

=

j_

t:

_<_f

_c_-_f_c_m_) -2 ( 2. 3)

ô s

f

em f em n - 1

O numero de corpos de prova depende do vo lume de concreto da obra e é especificado no item 15 da NB-1/78.

..

_{A resistência à compressao do concreto é influencia}

-da por vários fatores , entre eles a relação água-cimento, a granulometria dos agregados e a idade do mesmo na época do e~

saio. Na figura 2.3 estã representada a curva

resistência--tempo , na qual pode-se notar um cons ideráve l aumento na resis tência.

o

(MP a) 40

30

20 10 I 4 28 dias 3 6 meses 2 anos 5 (i da _concreto) de do

FIGURA 2.3 -Efeito da idade do concreto na resis

-tência ~

a compressao.

Essa variação ao longo do tempo deve ser levada em

conta na análi se das estruturas de concreto submetidas a car-regamentos acidentais ao longo do tempo, já que a relação o-E depende da resi stência à compressao.

A forma da dade de deformação.

curva o-E e também afetada pela

veloci-2 I. 1 • f 1 - . 4 Q

A figura .~ most ra ta tn uencta . A declividade da tangente à curva tensão-deformação na origem, ê chamada módulo de deformação longitudinal do

con-creto, E Ele é função da resistência à compressao. O

va-c

4

lor dado pela Norma Brasileira NB-1/78 no item 8.25, para

o cálculo das deformações da estrutura é

sendo E

=

6600 c y~ CJ (MPa) fcj = fck + 3,5 MPa. ( 2 . 4) ( 2 . 5)

O /f ---~---r

c c _{velocidade de deformaç~o:}

..-:;::::;;~~---::.__. O , O O 1 I I O O d i as I , O

0,75

0,50

0,25 f c = 2 I MP a aos 56 d i as

o

=tens~o de compressao no

c

concreto

O, I 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 e:%

FIGURA 2.4 - Influência da velocidade de aplicação da

deformação sobre a curva o-e: .

O CEB 16 no Cede Modêle , estabelece , para cálcu lo de deforma -ções de curta duração

E

c 9,5 (fck + 8) 1/3 ( 2 . 6)

com E _c em GPa , fck em MPa, determinada em cilindros , aos

28 dias.

O CÓdigo Bri tân ico de Uso Estrutural do Concreto

CP110: 1972, dá, sob forma de tabela, o módu lo tangente em GPa,

para diversos valores de res istências cúbicas,

corpos de prova cÚbicos de 15 em de aresta , em

- - 3 4

lares estao re lacionados pela expressao

E

=

9, 1

c

Para o ACt1 E vale

c

E = 4, 73

r f

c c

determi nadas em t-1 P a. Esses

va-( 2. 7)

c e E

c

em MPa, determinada em corpos de prova cilíndricos,

E

=

c sugere 2,067 X )05 6 + 68,9 fck ( 2. 9) sendo fck e EC em MPa.

Todas as expressoes são relat ivas a concretos com P e s o e s p e c í f i c o da o r de m de 2 3 K N I m 3 . C a b e a q u i s a I i e n t a r que , para uma mesma res istência, os valores de

versas fórmulas são bastante di fe rentes .

E dados pelas di -c

a

_a

- a - c _{- b} -a _a c c - c - - d

-FIGURA 2.5 - Idealizações de relações tensão-deformação.

Para uma anál ise teóri ca de estruturas , e necessár io

estabelecer uma formulação matemát ica para a curva o-c. Alg~

mas das ideali zações matemáticas utili zadas mai s freqUentemen

-te são mostradas na figura 2. s30.

A f igu ra 2. 5.a mostra um modelo bi I inear que é o mais simples dos modelos não-lineares. Na f igura 2.5.b está um modelo constituído de uma parábola e uma reta parale la ao

..

.

e ixo das abscissas .

A f i g u r a 2 . 5 . c aprese n ta um mo de I o m u I t i I i n e a r , no

qual a curva é aproximada por uma série de segmentos retos .

Embora e s te mo d c I o se j a m u i to v e r s á t i I , sendo capa z de r e p r e

-sentar uma grande variedade de curvas

cr

-

E

,

o seu uso e res

-trito a casos especiais onde os dados experi men tai s para um dado concreto sejam conhecidos30.

A f igura 2. 5.d mostra o modelo sugeri do por

HOGNES-T A D 2 9 , u t i I i z a do por K R O E N K E 3 1 , W I L H E L MS 1 , A R O N I 2 e KA N G 3 O.

Neste trabalho adotou-se a sua formulação matemát ica, com pe-quenas modificações no aspecto fina l da curva.

-O ramo ascendente da curva segue a equaçao

onde m

cr

= f• L c m (2 - L) ( 2. I O) f i

c e

-

a tensão máxima, dada como uma fração da re-s istência a compressão f •

=

r f c c c f c l i RUSCH e HOGNESTAD sugerem r c pela NB-1/78 . Outros autores

=

0,85

usam

( 2 . 1 I )

que e o va lor adotado r

=

I .

c Neste t rabalho,

r e um parâmetro de entrada , para que possa ser estudado para c

cada problema ; m

deformação

-

.

- E e a mecan1ca;

--

_{e: o} e a deformação correspondente a f• e e dada

c por na qual e: o E c 2 e o f• c E c

módulo tangente inicial

-Diferenciando a equaçao ( 2. I O) tangente Et' sendo

( 2 . 1 2)

.,. _d

_o

( 1 sm ( 2. 1 3) E = E

-

)

t d E m c E o

-Pelas equaçoes ( 2 o 1 o) ' ( 2 . 1 2) e ( 2. 1 3) acima,

nota--se que o ramo ascendente da curva é uma parábola do segundo grau e que o m6dulo tangente varia 1 inearmente desde a origem, onde ele tem o seu valor máxi mo, até reduzir-se a zero no

pon-to máximo da curva. A parti r deste ponto, o diagrama é um se~

mento de reta que termina na deformaç~o Gltima €

u KANG

con-sidera um decréscimo na res istência nes te trecho . No presente trabalho, n~o se leva em conta tal decrésci mo e o m6dulo de de formação para este tramo vale zero.

A NB-1/78 recomenda, para di mensionamen to, o

dia-grama tens~o-deformaç~o parábola-retângulo da figura 2.6.

o

0,85 fcd

2

o/

o

o

3,5

o/oo

FIGURA 2.6 - Di agrama

o

-

E

propos to pe la NB-1/78.

O CEB 16 recomenda, para di mensionamento o

diagra-ma da figura 2. 7.a e, para cálculo de deformaç~es , o da figu-ra 2.7.b.

A res istência à traç~o do concreto vale apro

ximada-a

o • - o - - 34 E 1 - 1 t de

mente 1 /o da res 1 stenc1 a a compressao . a e usua men e

-terminada em ensaios de tração axial , compressão diametral e testes de f lexão de vi gas de concreto s impl es .

No di agrama O-E, para a t ração, prolonga-se o

tra-mo inicial da compressão, linear e de declividade Ec' até o

.

.

a

0,85 fcd

a

=0,85 f d(lOOO E (250E -l)] c c c c 0,002 0,0035 - a -F I GURA 2.

7 -

Diagramas

a

-

e

a

f c f ct 2 k n- n

=

-=-1 -+-,('"'""k----=2'""'")-n b -recomendados pelo CEB.

pelo concreto. Dessa forma, a re lação tensão-deformação para o concreto tracionado pode ser escrita como segue

( 2 . I 4)

E

E

t c

Para ficar completo, o diagrama deve admitir

descar-gas e posteriores recargas. O modelo adotado i s imples,

sendo a inclinação da linha de descarga e recarga, definida p~ lo módulo de deformação inicial E

c

O diagrama tensão-deformação adotado está comple

-to na figura 2.8. Assume-se que o concreto fissura quando a

tensão de tração excede o valor O esmagamento ocorre

quando a deformação mecânica de compressao, ui Lrapassa a defo~

mação Glt ima E As f issuras podem fechar na compressao e

u

reabrir na tração, sem nenhuma res is tência.

Em I i teratura recente, BLAKELEY e PARK9 apres en-taram um modelo matemáti co mai s refi nado para a relação o-E,

mostrado na figura 2.9.

O ramo ascendente, uma parábola do segundo grau, tem como equaçao aque la mesma sugerida por HOGNESTAD e adotada neste trabalho . A diferença es tá no ramo descendente, na exis

tência do tramo BC e no esquema histe réti co-degradativo que pode desenvolver-se com sol icitações de compressao, uma vez

a

~E

smagame

nto

~

~m E c u f' t

-

v

-

·

·

Fissuração

FIGURA 2.8 - Diagrama a-E adotado para o presente estudo.

a

f'4- -c f' t A

c

,_. _{2.2.3 - Deformação de longa duração}

Entre os materiais usados nas estruturas correntes,

o concreto é o Ún ico que tem suas deformações e propr iedades . 3

o

dependentes do tempo , sob cond ições de serv•ço As defor

ma-çoes que são funções do tempo são a retração e a fluência.

A retração se manifesta na forma de uma di minuição de volume dev ida à evaporação da água não fixada quimicamente durante o endurecimento. Ela acontece independentemente do estado de tensões existentes , dependendo somente das tensoes

capi lares, da idade do concreto, da temperatura e da umidade

relativa do ambiente. A retração e parcialmente reversível

através da expansão que ocorre em peças s i tuadas dentro d'água

ou em locai s de alta umidade re lativa do ar32. Sabe-se a inda que a re tração, gera lmente, aumenta com a relação água-cimento e diminui com o volume dos agregados e o tamanho da peça.

A fl uência é def inida como um aumento nas deforma-ções ao longo do tempo, sob a ação de cargas ou tensões pe rma-nentes. O desenvolvi mento da fluência es tá i lustrado na

figu-1 1 r a 2. 1 O . I I deformação ins -tan -tanea no des carregamento

-8

-fluencia recu-nP.rável 6 4 l - - r deformação -deformação instantânea residual no carregamento 2 I 50 100 150 200 t(dias) FIGURA 2.10 - Fluência.

A curva representa a deformação ao longo do tempo, de uma peça de concreto testada em um ambiente com umidade relativa de 95%, submetida a uma tensão de compressão de 14,8 t~Pa e

de-pois descarregada. O tempo t é contado a partir da aplicação da carga.

Ap6s o carregamento, a deformação aumenta com o tem-po, devido ã flu~ncia, numa raz~o decrescente . Passados 120 dias, a carga mantida constante, a deformação vale ma is de duas vezes aquela ocorrida no carregamento. Quando a carga e removida , a deformação diminui imediatamente - e a deformação instantânea para esta idade, sendo seu valor menor que aquele da deformação instantânea inicial . Este fato é seguido de um decréscimo gradual na deformação, chamado de flu~ncia recupe-rável ou reversível, ou ainda retardada. Como se ve no gra-fico, a sua forma é semelhante a da fluência.

A fluência do concreto e influenciada por vários fa -tores, sendo os mais importantes a idade do concreto no carre-gamento, a intens idade das tensões, o volume e granulometria dos agregados, a resist~nci a

à

compressão, o tamanho da peça, a umidade e a temperatura.

Para o estudo das deformações diferidas, deve ainda ser levado em conta o enve lhecimento do concreto, pois de le decorre um acréscimo, com o tempo, na resistência e no m6dulo de deformação longitudinal do materia l.

2.3 - Aços para Armadura Ordinária

Para estruturas de concreto armado, os aços emprega-dos sao, em geral, denominados pelo valor característico do 1 imite de escoamento, fyk' que varia entre 250 e 600 MPa. Alguns tipos de aço têm patamar de escoamento definido e a

tensão correspondente a este patamar chama-se 1 imite de escoa-mento real . Outros aços não têm patamar de escoamento, defi-nindo-se então uma tensao convencional de escoamento, f₅₀ ,

2, igual i tensão necessár ia para se obter uma deformação resi-dual de 0,2%. Os aços empregados no concre to armado podem ser uti 1 izados também nas peças pretendidas, onde são chama -dos de armadura suplementar ou armadura frouxa . Ela

desempe-·.

nha virias funç~es importantes, como por exemp lo, reduzi r a fissuração provocada por retração do concreto; aumenta r o mo-mento de fissuração da peça; aumentar o momento f letor de ru

p-tura da seção; absorver tens~es de tração e, no caso de ocor-rerem momentos superiores ao de fissuração, a armadura suple

-37

mentar auxi I ia os cabos no controle da abertura das fissu ras As propriedades dos aços para armadura ordinári a, em geral, não dependem das condições amb ientes ou do tempo. O seu diagrama tensão-deformação s implifi cado depende de valores

que são facil mente obtidos cn1 testes de laboratório.

Para o presente estudo, empregou-se o modelo bi linear elasto-plástico usado por KANG 30 , que é si métrico em relação à

origem, como se ve na f igura 2.11.

r

--

;

--/

CJ

.

-2 f y

FIGURA 2.1 I - Diagrama

o

-

E

dos aços para armadura ord inária. Para a I inha de descarga e recarga, cons idera-se a mesma inclinação do tramo inicial , ou seja, o módulo de defor -maçao inicial. Identifica-se quatro fases diferentes , cujas

-eqL1açoes sao:

a) Estádio I. Tens~es iniciais de traçao ou c om-pressao.

onde E 1 (J

=

E

I m E

é o módulo de deformação inicial. b) Estádio l i . Após o escoamento.

O

=

E Em± (f - E E )

2 y 2 y

( 2 . I 5)

( 2 . I 6)

onde E

2 é o módulo de deformação do estádio I I, f y e a

ten-são de escoamento e E a deformação correspondente a f .

y y

sendo E , r

c) Desca rga ou recarga.

( 2. I 7)

a deformação residual, conforme a figura 2. 11.

d) Ruptura.

Assume-se que ela ocorre quando a deformação mecâni

-ca Em excede a deformação última E . u

O comportamento his terét ico das peças em concreto armado e pretendido, sob solicitações de flexão predominante,

é principa lmente influenciado pelo comportamento do aço e, em

medida mui to menor pelo mode lo do concreto . Uma aproximação

melhor que a oferecida pe lo s imples mode lo bi 1 inear anterior

é aquela correspondente a mode los mai s refinados como por

exemplo o de AGRAWAL, mos t rado na figura 2.1 2.

Esse modelo, combinado com o de BLAKELEY e PARK para o concreto, foi testado com êxi to por SCHIRMBECK e BIG-NON42 obtendo-se acuradas aproximações com resultados expe-rimentais proven ientes de diversas bibliograf ias.

a

-

-FIGURA 2.12 - Diagrama

o

-

E

para o aço, proposto por AGRAWAL.

2.4 - Aços para Pretensão

Os aços para protensao distinguem-se daqueles para armadura ordinária por apresentarem o 1 imite de escoamento e a resistência

à

tração cons ideravelmente mais elevados . Se

caracterizam pelas altas resistências e pela ausência de um p~ tamar de escoamento.

Os aços para protensao podem ser agrupados nas

se-. . 3 7

gu1ntes categor1as :

a) Fios trefi lados de aço carbono. A trefi lação pr~

duz encruamento do aço, aumentando sua resistência.

b) Cordoalhas. São formadas por fios enrolados em forma de hé li ce, sendo as mais comuns constituídas por três ou sete fios.

c) Barras de aço- li ga de alta res istência, lami nadas

a quente.

ao tratamento que recebem. No Bras i 1, a Companhia SiderGrgica Belga-Mine ira produz f ios e cordoa lhas com aços em duas modal i dades de tratamento. são e les :

a ) Aços a 1 i v i a dos ou de r e 1 a x ação no r ma 1 ( R N ) . Sã o

retificados por um tratamento térmi co que alivia tensões inter

nas de t refi lação.

b) Aços estabili zados ou de baixa re laxação (RB). São aços trefi lados que recebem um tratamento termo-mecânico, que cons iste num aquecimento a 400°C e estiramento~ deforma -~ão uni tá ria de 1%, o qual me lhora as caracterís ticas elásti-cas e reduz as perdas de tensão por relaxação do aço.

Os cabos de pretensão sao compostos de f ios ou cor-doalhas, justapostos . A instalação do cabo cons iste na dispo-sição da armadura de pretensão na bainha, que deverá ser feita de maneira a possibilitar uma boa capacidade de des lizamento e espaço sufici ente entre a armadura e a mesma, de maneira a pe~

miti r o fluxo da nata de injeção32. Os fios ou cordoalhas

po-dem ser dispostos de diversas maneiras, variando, em geral ,

com o processo de pretensão.

No caso de feixes de fios 1 isos , eles podem ser

man-t idos em suas pos ições por meio de espaçadores, porem esta pr~ tica está em desuso devido ao seu al to custo. Os fios lisos

podem também ser dispostos c ircunferencia lmente em torno de

uma espiral interna que tem o passo de hélice reduzido na

re-gião de mudança de direção. Isto torna a espiral ma is forte,

para res istir às forças devidas às mudanças de direção.

Quando são usados fios de grandes diâmetros - 12 a

16 mm - o número de f ios é pequeno e os fios são dispostos uns

juntos dos outros32.

No caso de feixes de f ios nervurados ou cordoalhas,

não e necessário adotar um arranjo especial, porque devido às

nervuras e aos espaços internos das cordoalhas, sempre há esp

a-ços 1 ivres que permitem a penetração da nata de injeção32

As barras são usadas, em geral , iso ladas , ou seja, uma por bainha. Neste caso, a escolha correta depende apenas

As bainhas sao tubos onde

-

é colocada a armadura de pretensão para que ela deslize com o mínimo de atrito. Elas são geralmente fe i tas com chapa fina de aço, em máqu inas espe

-ciais que produzem um tubo flexíve l de parede corrugada. A corrugação é conveniente para aumentar a resistência da bainha, bem como sua aderência ao concreto. A bainha deve ter uma cer ta flexibilidade, para permitir as curvas dos cabos 37.

O diagrama tensão-deformação dos aços para proten-sao apresenta, no início do carregamento, um trecho l inear. Só as cordoa lhas e os cabos constituem, até certo ponto, uma exc! ção, pois logo no início do carregamento ocorrem deformações plásticas devidas à acomodação dos fios39 .

É adotado aqui o diagrama tensão-deformação tetrali -near mostrado na figura 2.138 adaptado a partir dos valores do Catálogo de Fios e Cordoalhas para Concreto Pretendido, da

CSBM17. 0,94 0,80

a

f fyp-t-- -yp f yp

/

/

/

FIGURA 2. 13 - Diagrama o -E: para os aços de protensao.

-As equaçoes para as quatro retas do diagrama sao

E E:

Como l ' ( 2. 1 8) fica a

=

0 8 f + (E - E l) E 2 · ' YP P Mas (0,94 - 0,8) f 0,1 4 f 0,7f E 2 =

- -

-

---'y..J:...p

=

YP = YP e: 2

-o,8

E2 ( 2. 1 9)

o

7 f

a

₌

_o'

₈ f + (E

-

_o'

_{8 E2)} ' yp YP P E2

a

o '

8 f + 0,7 f Ep

-

_o'

₅₆ f

=

YP yp E2 yp e f inalmente E a = fyp (0 ,24 + 0,7 2 ) E2 mas (2.20) ( 1 - O , 9 4 ) f YP =

o'

o

6 f ---~YP _ _ = 30 f e: 2 +0,002 - E2 yp

.

.

E - E o 2

,, resultando cr ==f [0,94 + 30 yp d) Quando E: > E: p o cr ( 2 . 2 I )

Já que os aços para pretensão não apresentam patamar

de escoamento definido, toma-se como limite de escoamento

con-vencional à tração, f a tensão à qual corresponde uma

de-YP

formação unitária res idual de 0,2%.

Um fator importante nas propriedades dos aços de a

l-ta resistência, é a relaxação da tensão com o tempo, que pode

tensão, com o tempo, sob de

de 1 9 70

ser definida como um decréscimo na

formação constante. A P-NB-1163

I recomenda que a

16

relaxação seja de 60 MPa. O CEB

perda de tensão devida a

adota va lores das perdas por relaxação expressos em função da

tensão inicial e vários pesquisadores desenvolveram fórmu las

•'

c

3.

ALGORITMO DE SOLUÇÃO

3. I - ConsideraçÕes Gerais

Utili za-se, neste es tudo, a técn ica dos elementos

finitos para a análise estrutura l de pórticos em concreto arma

do ou em concreto pretendido. A estrutura é idealizada como um corrjunto de elementos conectados por nós e com condições de contorno definidas. Assume-se que as cargas concentradas

ex-ternas são sempre aplicadas nos nós. As cargas distribuídas

nos etementos são convert idas em ações nodais equivalentes .

Dadas a geometria, a carga aplicada, as condições de contorno e a relação tensão-deformação dos materiais, podem

ser encontrados para a estrutura deslocamentos nodais, reações

de apoio, forças internas nos elementos, tensÕes e deformações,

para carga de curta duração.

Para a análi se da estrutura no tempo, são necessárias

a história de carga, hi stória de temperatura, caracterís ticas

de fluência e retração, para a determinação da resposta da es -trutura .

Quanto à localização da estrutura no plano, é

defi-nido um sistema globa l de coordenadas ca rtes ianas retangulares, X e Y, e cada elemento possui um igual sistema local, x e y,

como e mostrado na figura

3.

I

A não-linea ridade física é facilmente incluída com a uti I ização da relação tensão-deformação dos mate ri ais , en quan-to a não - I i n e a r i da de g e o mê t r i c a é i n t r o d u z i da no p r o b 1 em a a t r a

vês das relações deformações-deslocamentos decorrentes de uma teoria na hipótese de pequenas deformações e moderadas

rota

-çoes.

- a

-- b

-FIGURA 3.1- Estrutura: a) real; b) idealizada.

3.2 - Solução da Equação de Equi 1 íbrio

Para o método dos elementos finitos com modelo em

deslocamentos, o equi 1 íbrio estrutural do conjunto fica

garan-tido se

~NL

(~)

=

~EXT

( 3. 2)

onde ~NL(~) e um vetor de açoes de extremo de membro calcula

do com todas as não-linearidades presentes e montado sobre a estrutura, e ~EXT é a respectiva montagem nodal das cargas exteriores.

Designando de U o vetor de des locamentos nodais

procurado, pode-se escrever

K U

=

P

-o - -L ( 3. 3)

onde K

-o e a matr iz de rigidez tangente inicial e ~L as res

pectivas ações de extremo de membro 1 ineares .

Adicionando (3.2) e (3.3), tem-se

~o~+ ~NL(U)

=

~EXT +~L

( 3. 4)

.

.

~o~

=

~EXT +~L- ~NL(~).

( 3. 5)

Esta equaçao não-linear deve ser ver if icada em todas as eta-pas de cargas , e para o seu aj uste existem diversas técnicas

incrementais , iterativas ou mistas.

incrementai é a que se segue . Para a etapa n, tem-se

~~L

(U)

Na etapa n+l

Por exemplo, uma forma

(3. 6)

K

-o ( Un +!:::.Un--7n+l)

=

~nEXT+ 0"P -EXT + (P -L - -NL p )n +

+ (!:::.P_L - !:::.P (U)) n~n+l (3. 7)

-NL

Subtraindo (3.7) de (3. 6) , a equação para o processo increme

n-tai f ica

ou onde

K !:::.U

-o

e o vetor de desequi 1 íbrio.

A matri z K

- 0 é conhecida, já que e la depende

( 3. 8)

(3. 9)

( 3 . 1 o)

somen

-te das propriedades dos materia is e das caracter ísticas geome

-tricas do e lemento, e o incremento de carga !:::.~EXT também é

defin ido. O incremento de des locamento !:::,U é a inc6gnita a

determinar. O vetor de desequi 1 íbrio 1:::,0 também n~o é conhe

-cido, podendo ser ajustado i terativamente. l~as os processos iterativos são dispendiosos em termos computacionais e aprese~

tam dificuldades na convergénci~ ou instabilidade numérica.

Ass im, adota-se neste estudo o método da projeção 1 inear, na

47 7

forma proposta por STRICKLIN e empregado por BIGNON na

desequi 1 Íbrio é aval i ado da seguinte forma

(3. 11)

na qual Dn+l é obt i do por uma expansao em séri e de Taylor

de prime i ra ordem.

resulta

segu indo

Usando diferenças de primeira ordem

n-1

o

(3. 12) (3. 1 3) (3. 1 4) (3. 15)

Esta aproximação equivale a uma extrapolação 1 inear de ~O em

doi s incrementos consecutivos de cargas

Pode-se trabalhar também com deslocamentos acumula-dos , sendo a equaçao de equi 1 íbrio da seguinte forma

n+l n+l n

~o ~ = ~EXT + (~L - ~NL (U)) + + (~P -~p (U))n~n+l

- L - NL ( 3 . 1 6)

onde, da mesma forma que para o algorítmo incrementai, o ve

-tor de desequi I íbrio e

(3. I 7)

e e avaliado pe la expressao 3.15.

Os dois algoritmos apresent ados têm a vantagem do

menor tempo de processamento, devido ao fato de se evitar as i teraçoes e denão ser necessári a a atual i zação da matriz de

•

I

I

t

,.

.

.

rigidez a cada etapa. Por outro lado, é reconhecidamente sa-bido, que os algoritmos de rigidez constante apresentam uma acentuada dificuldade para representar pronunciados patamares associados com fortes deformações plást icas, assim como a au-sência· de iterações pode se manifestar em alguma forma de inér cia numérica.

3.3 - Programa Computaciona l

O programa PROTENDE fo i desenvolvido em 1 inguagem FORTRAN, de acordo com o algoritmo apresentado na seção 3.2, empregando no cálculo das ações de extremo, as equaçoes

cons-titutivas dadas, e implementado no computador BURROUGHS-6700 do Centro de Processamento de Dados da Universidade Federal do Rio Grande do Sul . Tal programa efetua , de acordo com uma cha ve de ~ntrada, a análise não-1 inear física e geométrica de pórticos em concreto armado ou pretendido. O programa e res-trito às aplicações com cargas de curta duração e foi desenvol vide de maneira a incluir de forma direta os efeitos

dependen-tes do tempo, como a fluênc ia, retração, envelhecimen to , assim como a influência de mudança de temperatura e outras fontes de auto-deformação.

Serão dados a segui r um breve f luxograma do progra-ma PROTENDE e a finalidade e o fluxograma de cada sub-rotina .

'.

3.3.

I - Convenção dos blocos d. 1agramas 1

5

c

)

início ou fi m

\

\

operaçao de entrada e saída

/

I

I

chamada de subro tina

I

execuçao

->

iteração decisão

o

conecto r ~

I

!

'

..

3.3.2 - Fluxograma do programa principal

ARMADO

PROGRAI1A P R I N C I P A L

INPUT

ENTRADA DOS DADOS

PROTENDIDO CALCULO DO VETOR DE CARGAS EXTERNAS LAÇO SOBRE ~---~ OS ELEMENTOS

BUSCA DA ALTURA, DAS CONETIVIDADES, DAS ORDENADAS E LARGURAS DAS FAIXAS, 2 PARA O ELEMENTO INERC CALCULO DO BA-R I CENTRO, AREA E INtRCIA DA SEÇ.li.O

CALCULO DO COMPRIMENTO DO ELEMENTO E DO SENO E COSSEN~ DO ANGULO QUE O EIXO DO ELEMENTO FAZ COM A HORIZ.

r PROTEND IDO CALCULO DA CARGA DISTRIB. DEVIDA AO PESO PROPR IO 2 EXISTEM ELEM. COM CARGA

DISTRIB.?

MONTAGEM DO VETOR

DAS CARGAS DISTRI-BUfDAS DO ELEMENTO

NODEQ

CALCULO DAS AÇÕES NODAIS EQUIVALEN-TES LINEAR MONTAGEM DA MATRIZ DE R I G I DE Z DO E L EM. CONECT CONECTA MATRIZES E VETORES ELEMENTARES

NOS ARRANJOS ·GLOBAIS F IM LAÇO ELEMENTOS

3

ARMADO

NÃO

ARMADO

MONTAGEM DO VETOR

DE INCREMENTO DE CARGA

4

INTRODUZ CONDI-ÇOES DE CONTOR NO NA MATRIZ GLOBAL TRIANGULARIZA A MATRIZ GL O-BAL LAÇO SOBRE AS ETAPAS DE CARGA ARt~ADO 5 PROTENDIDO

CALCULO DAS

PER-DAS E O VETOR DAS CARGAS EQU I-VALENTES

A

PRO-TENSÃO MONTAGEM DO VETOR DE INCREMENTO DE CARGA PROTENDIDO COMEÇAR A APLI CAR A CARGA EXTERNA NÃO

...

rACUMULAÇÃO

cp

DO VETOR DE CARGASl

l

/

CONTO R INTRODUZ CONDI-ÇÕES DE CONTOR-NO NO VETOR DE CARGAS

l

/

SPARC CALCULO DOS DESLOCAMENTOS

i

\

WRESSÃO DOS

:~

VETORES DE CAR

-GAS E DESLOCAMEN TOS DA ETAPA ATUAL

1

LAÇO SOBRE OS ELEt~ENTOS

!

BUSCA DAS BASES E ORDENADAS DAS FAIXAS E CONETIVIDADES DO ELEM.

CALCULO DO COMPR IMENTO DO ELEM. 6

~

BUSCA, NO VETOR GLOBAL, DOS DES

LOCAMENTOS E I NCRU1ENTOS DE DES

-LOCAMENTOS

~

/

ROTGL

ROTAÇAO DE

COORDE-NADAS GLOBAIS PARA

LOCAIS, DOS DESLO-CAMENTOS E SEUS INCREMENTOS

l

/

DELTAR CALCULO DAS AÇÕES DE EXTREMO DE MEM-BRO

cb

I

L

~l

I

I

4

ROTLG

ROTAÇÃO DE COOR-DENADAS LOCAIS PARA GLOBA IS DAS AÇ0ES DE EXTREMO

MONTAGEM DO VETOR GLOBAL DAS AÇOES DE EXTREMO DE MEMBRO

LINEARES E NÃO-LINEARES

LAÇO ELEMENTOS

IMPRESSÃO DOS RE

-SULTADOS FINAIS PA

-RA A ETAPA ATUAL

CALCULO DA EXTRAPOLAÇÃO PARA O PROX I MO VETOR DE CARGAS

FIM LAÇO ETAPAS DE CARGA

,.

3.3.3

-

Sub-roLinas

a) -Nome: DELTAR -Descri ção:

Determina as ações de extremo de membro do e lemento, lineares e não lineares, incrementai s e totai s, pe lo proces -so de cál culo que será detalhado no capítulo 4.

-Lógica do programa:

Basicamente esta sub-rotina calcula a integral

R

=

f

a

(

B T + C T C U) dV v

para o algoritmo em des locamentos acumulados ; e

f

[

t.

a

(BT + CT CU)+

a

CT C

L\

~)

]

dV v

para o algoritmo em termos dos incrementos de deslocamentos.

do por

O incremento de deformação mecânica l\êm é

calcula--Fluxograma :

+

LAÇO SOBRE OS . - - - -- ---.!PONTOS DE I NTE -GRAÇAO CALCULO DO PRO-DUTO CT C CALCULO DO PRO-DUTO CT C

~

U

MAVE CALCULO DO PRO-DUTO CT C U

-

-

-CALCULO DO PRO-DUTO UT CT C

~

U

CALCULO DO PRO-DUTO ~U T C T C ~U F ARMADO N.í-\0 3

CALCULO DA ORDENA-DA DO CABO E BUSCA DA SUA TENSÃO E DEFORMAÇÃO INI CIAI S 3 ~---~ 4 LAÇO SOBRE AS FAIXAS CALCULO DO VETOR B CONSI DERAR AREA E INtRC IA DA SE -ÇÃO HOt10GENE I ZA-DA

CALCULAR DEFOR

-MAÇÃO NÃO-M

ECA-NICA CALCULAR O INCREMEN -TO DE DEFORMAÇAO - TO-TAL E t1ECAN I CA BILINEAR SIM CONS IDERAR AREA E INtRCIA DA SE ÇÃO REAL DEFORMAÇÃO NÃO --MECANICA E: NULA

---

-

·

..

--

-

..

·-

...

..

.

.

-·

' L

Nj\.O 6 Joo-- - - < : : NÃO-LINEAR BUSCA DA TENSj\.O E DEFORMAÇj\.O ANTE-R I ORES DO CONCRETO DIGCON CALCULO DA NOVA TENSAO E NOVA DEFORMACAO NO CONCRETO

MEt10R I ZAÇAO DOS

NOVOS VALORES

DA

TENSAO E DEFOR-MAÇÃO SIM 7 BILINEAR