Otimização de pórticos múltiplos pelo método plástico

OTIMIZAÇAO DE PORTICOS MÜLTIPLOS PELO MtTODO PL~STICO.

I

SERGIO ROBERTO MAESTRINI

OTIMIZAÇAO DE PORTICOS MOLTIPLOS PELO METODO PLASTICO

Tese apresentada ao corpo docente do Curso de Pós-Graduação em Engenharia Civi l da Escola de Engenharia da U ni-versidade Federal do Rio Grande do Sul como parte dos requisi -tos para a obtenção do titulo de 11_{MESTRE EM ENGENHARIA CIVIL}11

•

Porto Alegre

Estado do Rio Grande do Sul - Brasil

Dezembro 1978

ESCOLA De ENGENHARIJ\ BIBLIOTECA

I I

Esta tese foi julgada adequada para a obtenção do titulo de "MESTRE EM ENGENHARIA CIVIL" e aprovada em sua forma final pe-lo orientador e pelo Curso de Põs-Graduação.

~

~~

.

(~~~···

. Jose Carl os F. Hennemann Orientador

Prof. Jose S. Gomes Franco

I I I

IV

Agradecimentos

Ao Professor Engenheiro Jose Carlos Ferraz Hennemann , orientador de tese, pelos ensi namentos que fundamentaram esta pesquisa.

Aos Professores, colegas e funcionãrios do Pos-Gradu~ çao em Engenharia Civil que de uma forma ou de outra colabora -ram para a realização deste trabalho.

A Universidade Federal de Pelotas e ã Universidade Ca tÕlica de Pelotas pelo auxilio financeiro proporcionado.

v

SINOPSE

Este trabalho apresenta a otimizaçâo de pÕrticos m~ltj plos pelo m~todo da combinaçâo dos mecanismos. O probl ema~ for -mulado como um caso de programaçâo linear. Sâo considerados pÕr -ticos de um andar com o n~mero de vâos variando de um a cinco. Dois tipos de carregamento sâo uti lizados : fixo e variãvel repe -tido. O critério de resistência

ã

flexâo governa o projeto, des -prezando-se os efeitos da flambagem, de força normal, de força cortante, etc.

o

objetivo fundamental

e

fazer uma comparaçao entre os resultados obtidos considerando-se os dois tipos de ca~

regamento independentemente. A funçâo objetivo ~ o peso da estr~ tura expresso como uma combinaçâo linear dos momentos plâsticos das barras da estrutura . As variãveis de projeto sâo: A) O mo-mento plãstico dos pi lares e B) o momento plãstico das vigas . As

V I

SYNOPSIS

This work presents the optimization of multi-bay fra mes using the combination of mechanisms technique . The problem is formulated as a linear programming problem . It deals with one story and one to five bays plane frames. Fixed and varia-ble repeated loading are considered. The governi ng criteri on is that of flexural strength, neglecting the effects of buckling, normal force , shear force , etc. The main objective is to comp~ re the results obtained by the two loadi ng type acting indepe~ dently. The objective function is the structural weigth given as a linear combination of the members' plastic moments . The design variables are: A) the plastic moment of the stanchions and B) the plastic moment of the beams . The solut ions are found making use of the simplex procedure.

V I I

LISTA DE STMBOLOS

aki = coeficiente que define a contribuição de Mpi na k-ési ma condição de equi l1brio.

A =matriz dos aki -+

b = vetor que contém os trabalhos externos dos k mecanis -mos possíveis

ek = trabalho externo realizado pelas cargas de serviço no mecanismo k

E = m6dulo de elasticidade longitudinal H = carga concentrada horizontal

= indice referente ao numero de variãveis de projeto I.

l =momento de inércia de barra, associado

ã

variãvel i j = índice referente as seçoes críticas

k = índice referente ao numero de mecanismos possiveis ~ _{= comprimento de barra}

m,M = numero de equações não triviais m.

J = momento residual na seção j m.

J =momento residual estaticamente admissível na seçao j (t~ ) .

y J = momento de escoamento na seçao j M.

J = momento fletor na seçao j f\1.

J = momento fletor elãstico na seçao j M~a:

J

,.,

:

J =valor mãximo de f\1. _J

~

~i~~~=

valor m1nimo

de~.

( M ) o p J n p Q Q* QFIX r

s

v

w

w c X o 1 X À 1 I a ' 1\ a À c À o ' À 1 o 1 1 À s

=momento plãstico na seçao j

= momento plãstico das barras verticais

=momento plãstico das barras horizontais

= numero de incógnitas

= numero de mecanismo possfveis

= numero de mecanismos independentes = peso por unidade de comprimento =função peso a ser minimizada

= peso para carregamento fixo

= peso para carregamento variãvel repetido

=grau de indeterminação estãtica

= numero de rotulas plásticas possíveis = carga concentrada vertical

= carga ultima especificada =carga de colapso plãstico

= variâveis de projeto

= vetor que contém as variâveis de projeto = modulo elâstico da seçao transversal =modulo plâstico da seçao transversal

= deflexão = deformação

= fator de carga para plasticidade alternada

= fator de carga para carregamento estãtico

= fator de carga para colapso incremental

V I I I

I X

0 .

J

=

rotação da rotula existente na seçao j 0~

₌

valor positivo de 0 J _j -valor negativo de 0 -

=

0 . J J

0kj

=

rotação da rotula j no mecanismo k + _{valor positivo de} 0kJ 0kj

=

-0kj

=

v a 1 o r negativo de 0kj K

=

curvatura \)

=

f a to r de forma o

o = tensão de escoamento inferi or

ou

=

tensão de escoamento superior o = tensão admissível

X

SUMARIO

CAPITULO I Pâg.

1. Introdução

1.1 - Escopo dos Métodos P1ãsticos . . . l 1.2 - Histõrico . . . 2 CAPITULO 11

2. Hipõteses bãsicas

2.1 - O conceito de rõtula plãstica 5 2.2 - Relação tensão-deformação para o aço doce 6 2.3 - Flexão elasto-plãstica e momento p1ãstico 8 2.4 - O principio dos trabalhos virtuais ... . ... . .. 13

CAPITULO III 3. Teoremas fundamentais 3.1 - Introdução . . . 16 3. 2 - Te o r e mas . . . 1 6 3.2.1- Teorema estãtico ... ... 16 3.2.2- Teorema cinemãtico ... .. ... .... 17 3.2.3 - Teorema da unicidade ... . ... . .. 17 3.3 - Mecanismos e deslocamentos virtuais ... ... . .... 18 3.4 - O fator de carga . . . 19 3.5 - Cargas distribuidas .. .. ... . ... .. . . ... 20 3.6 - Tipos de colapso plãstico .. ... . ... .. .. . . 22 CAPITULO IV

4. Os métodos do cãlculo plãstico

4.1 - Introdução ... . .. .. ... ... ... ... . 4.2 - A técnica da combinação dos mecanismos .. . .... . 4.2 .1 - Bases do método • • • • o • • • o • • • • • • • • • • • • • • 4.2.2 - Rotações nodais • • • • • • • • • • o o • • • • o • • • • • • 4 2 3 _{. . -} L. _{1 m1} . _taçoes - _{do me todo} - _{... .. ... .. .} 23 24 24 27 29

CAPITULO V

5. Carregamento variãvel repetido

5.1 - Introdução ... ... .. .. ... ... . 5.2 - Definições .... .. ... .. .. . .. . ... .. .. . 5.3 - Teoremas .. .. .... . .... .... . . .... . . ... . ... . . . X I 31 32 34 5.3.1 - Teorema do limi te infe ri or (Shake-down Theorem) 34

5.3.2 - Teorema do limite superior . ... 35

5.3.3 - Observações e teorema da unicidade ... . .. 37

5.4 - Métodos de projeto e anãlise ... . . . ... . ... 37

5 . 4 . 1 -

o

meto do das tenta ti v as . . . 3 7 5.4.2 - O método da combinação dos mecani smos . . . 38

5.5 - Utili zação ... .. ... ... ... .. ... 39

CAPITULO VI 6. A Otimização no regime plãstico 6.1 - Introdução .... .. ... .. ... . ... . . . . 6.2- A programação linear ... .. 6.2.1 - Introdução ... . 6.2.2 - Formulação Geral ... . 6.2.3 - Conjuntos convexos .. ... . 6.2.4 - Determinação da solução Õtima . ... . . 6.3 - Projeto plãstico de peso m1nimo ... ... . 6.4 - Formulação geral do projeto p1ãstico de peso m1nimo 6.4.1 -Carregamento estãtico 6.4.2 - Carregamento variãvel repetido (Shake-down) CAPITULO VII 7. Elaboração do programa computacional 4 1 4 1 4 1 42 43 47 48 52 52 53 7.1- Introdução .. ... ... 56

7.2- Consi derações básicas .. .. ... .. . . .... . .. .. .. .... . 56

7.3 - Caso de carregamento estãtico . . . 57

7.4 - Caso de carregamento variãvel repetido . . . 58 CAPITULO VIII

X I I

CAPITULO IX

9. Conclusões e Sugestões

9. l - Conclusões . . . . . . 98 9.2 - Sugestões .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. 101

1. Introdução

l . l - Escopo dos métodos plãsticos

No fim do século passado, baseados no trabalho

pio-neiro de Navier, alguns autores como Maxwell, Mohr, Castigliano e outros, desenvolveram os hoje chamados método clássicos da an~ lise elástica. Seguindo a lei de Hooke, estes métodos eram efi-cientes porque, inicialmente, sendo aplicados apenas a treliças de madeira, não apresentavam dificuldades adicionais.

Porem, no in1cio do presente século, se tornou comum o uso do concreto armado e do aço, materiais que usados em estru-turas de barras, permitem ligações mais r1gidas entre membros ,

possibilitando a transmissão de momentos para toda a estrutura .

Foram, então, desenvolvidas técnicas adequadas para a análise deste tipo de estrutura. Apesar dos esforços, os novos métodos nao eram eficientes para estruturas com grau de indeterminação estãtica elevada, proporcionando ao calculista trabalho demasia do.

Em vista disso e das excessivas simplificações que são necessãrias para a aplicação dos processos elãsticos, fugindo

ã

realidade, desenvolveram-se os métodos plãsticos com o objetivo de estabelecer procedimentos mais econamicos e mais racionais para a anãlise estrutural.

Por outro lado, alem dos motivos supra, a capacidade de carga de uma estrutura hiperestãtica, cuja solicitação pred~

minante seja a de flexão, raramente

e

esgotada quando a seçao

mais solicitada entra em escoamento. Exclu1da a possibilidade de

flambagem, o colapso da estrutura se darã quando vãrias seçoes se plastificarem simultâneamente, dependendo,

e

5bvio, do n~me­

ro de redundantes . Este tipo de ru1na e chamado colapso plásti-co e cada seção ao se plastificar dã origem a uma r5tula plãsti

ca. A possibilidade de utilização de uma estrutura alem do seu limite elãstico estã ligada â ductilidade do material que a com poe.

Estruturas constitu1das de material d~ctil geralmente

2 possuem uma reserva de resist~nc ia acima da carga de escoamento,

a qual não pode ser utili zada quando se adotam processos elãsti

-cos.

Os cãlculos baseados nos critérios de plasti ci dade sao

mui to mais simples que os correspondentes elãsticos para a anãl! se da mesma estrutura. Esta simplicidade anal1tica e uma notãvel

vantagem dos métodos plãsticos, pois implica que esses não neces sitam de tantas simplifi cações como nos métodos elãsticos .

Mesmo com o advento da era da computação, a vantagem

dos métodos plâsti cos não se diluiu; problemas de otimização na ãrea da plasticidade são abordados com mais frequência e facili

-dade, tornando mais amplo o dom1nio dos métodos plãsticos. Ainda com relação ao uso dos computadores, os métodos plãsticos

atualmente abordados através da programação linear, dando uma mostra da sua versatilidade.

1.2 - Histõrico

-sao mais

Embora o comportamento de vigas carregadas alem do reg! me elãstico tenha sido estudado muito mais cedo, aparentemente ,

Baker1 _{foi o primeiro a imaginar que a teoria plãstica simples}

seria uma maneira de simplificar e racionalizar o cãlculo das es truturas mais complexas . Para tanto, apresentou em 1949 um

meto-do para calcular a carga cr1tica em pÕrticos com mais de um vão:

o método das tentativas.

Segundo Neal 27as primeiras publicações sobre a

utiliza-ção da ductilidade dos metais foram devidas a Kazinczy, na Hun -gria em 1914, notando o pesquisador que uma viga bi-engastada e~

trava em colapso apenas quando tres seções transversais haviam se

pl astificado, comportando-se como articulações. A partir de então

houve um forte crescimento de interesse a respeito dos plãsti cos, salientando-se Maier-Leibnitz em 1928. Este

métodos

notãvel pesquisador realizou testes e apresentou interpretações teóricas que colocaram, pela primeira vez, os métodos plãsticos numa fir -me base quantitativa.

Ate ser publicado o método das tentativas de Bakerl , to

da a base do cãlculo plãstico era tida como in tuitiva. Faziam-se necessãrios fundamentos matemãti cos , sem os quais nenhuma teoria se desenvolve. Surgiram, então, nomes como Greenberg e Pragerl6 , Horne3, Massonet25 e outros para colocar os métodos plãsticos so

4

near; as soluções foram obtidas através da sub-rotina simplex .

Alem dos mencionados, outros pesquisadores~, 1 _{0 , ll, 1 7,} 28 _,29 _{, muito contri buíram para o progresso da teoria plãstica}

no campo da otimização estrutural, porem, o mundo ainda se en-contra no limiar desta era que poderã revolucionar todo o cãlcu lo estrutural .

2. Hipóteses Bãsicas

2.1 - O conceito de rótula plãstica

o

objetivo fundamental dos métodos plãsticos e predi -zer para que cargas uma determinada estrutura entrarã em cola p-so .

Supondo carregamento proporcional, uma estrut ura com-porta-se elasticamente até que a fibra extrema de sua seção mais solicitada entre em escoamento, não sendo mais vãlida, a partir daí, a teoria elãstica.

E,

entretanto possível analisar o com-portamento desta estrutura, suposta carregada alem do seu limi te elãstico, através da teoria plãstica, desde que certas idea -li zações sejam feitas. Em geral, nota-se que com o crescimento das cargas a seção mais solicitada se plastifi ca rapidamente, transmitindo um momento fletor maior que o momento que causou o primeiro escoamento. Ao se plastificar totalmente a seçao com-porta-se como uma rótula, sofrendo apenas movimento de rotação, com o momento fletor mantendo-se constante . A r~tula em ques -tão e chamada rótula plãstica e o momento fletor que ela trans -mite e o momento plãstico . Uma hipótese fundamental da teoria plãstica e que uma rótula plãstica pode sofrer rotações de qual quer magnitude desde que o momento fletor permaneça cons tante no seu valor plãstico.

Se a estrutura for uma viga de aço , bi-apoiada, carre gada no centro, como mostra a figura. 2.l(a), a seção mais soll ci tada estã sob a carga; plastificada, esta seção dã lugarã uma rótula plãstica e a deflexão cresce indefinidamente sob carga constante, desde que seja desprezado o acréscimo de resist~ncia do material, como mostra o diagrama carga-deslocamento da figu-ra 2. 1 ( b) .

O assumido aumento indefinido da deflexão sob carga constante é chamado de colapso plãstico e a carga que o causa e a carga de colapso plãstico, Wc.

6 w Wc C Ol..A,.IO "LAS fiCO w

t

L/1 L/1 o

(o)- VIga do oco bl-opolodCI ( b)- Olooromo corCJo-deflexõo

FIG. 2.1

constante e definido implica que o mecanismo de movimento some~

te aparece quando a carga

e

tal que produza este momento na rõ-tula.

Os métodos plâsticos devem ser usados somente quando o

critério governante do projeto é o colapso plâstico. Existem c~

sos cujo problema principal é o de evitar outros tipos de rupt~

ra;

e

implici tamente assumido que nenhuma parte da estrutura se romperã por flambagem antes que a carga de colapso plâstico se-ja atingida.

Os problemas de flambagem foram amplamente abordados

por Baker3, que apresentou regras para que os mesmos nao

ocor-ram antes que seja atingida a carga de colapso plãsti co.

2.2. Relação tensão-deformação para aço doce

A figura 2.2(a) mostra o di agrama tensão-deformação de

um corpo de prova de aço doce ate sua ruptura, através de um en

7 6 G o b o L---~ E.... o &:>

(o)- Olooromo tensõo- (b l- Período de escoamento

deformoçõo

FIG. 2.2 - RELAÇAO TENSAO-DEFORMAÇAO PARA O AÇO.

A relação é linear no período elâstico até que seja al

cançada, em a, a tensão de escoamento superior. A tensão então

cai bruscamente para a tensão de escoamento inferior e a

defor-mação aumenta, a tensão permanecendo constante , até o ponto b,

de maneira puramente pl~stica. Além de b, são necess~rios incre

mentos na tensão para produzi r novas deformações, e o material experimenta o "encruamento".

Eventualmente a tensão m~xima é atingida em c. Devido ã

estric-çao no corpo de prova , a tensão decresce a partir de c, até que

ocorra a ruptura, em d.

Do ponto de vista da plasticidade o período de e

scoa-mento oab é o de maior interesse . Na figura 2.2(b) vê-se o pe-ríodo de escoamento com a escala de deformações ampliada , jâ

que em b a deformação é geralmente da ordem de l%-2%. Nesta

8

da porçao inicial que experimenta o encruamento ~ definida como

Es, a partir de b. Se a tensão for reduzida depois do

escoamen-to, uma relação tal qual ef e observada; a inclinação inicial e

o mõdulo de Young, e o desvio da sua linearidade no descarrega-mento e devido ao efeito Bauschinger.

Se a tensão for aumentada novamente depois de reduzida desta forma, o escoamento se darã ao ser atingida a tensão de escoamento inferior, ao longo de eb. Isto mostra que o encrua-mento do aço destroi a tensão de escoamento superior, a qual somente reaparece apos tratamento térmico.

A teoria plãstica simples negligencia o encruamento e o efeito Bauschinger, levando a uma relação tensão-deformação

como a da figura 2.3(a).

Alguns aços, chamados do grupo B, nao apresentam a te~

sao de escoamento superior pois são previamente trabalhados a frio; assim, desprezando esta tensão, chega-se

ã

relação rlãst~

ca ideal apresentada na figura 2.3(b).

Os erros introduzidos com estas simplificações sao minimos nao afetando de maneira considerável o valor do momento plãstico.

2.3. - Flexão elasto-plãstica e momento plástico

Para uma viga de determinada seção transversal, homog~

nea, a relação entre momento fletor e curvatura alem do limite elãstico pode ser derivada da relação tensão-deformação desde que as hipóteses usuais da teoria da flexão sejam observadas:

A flexão se dã por pares situados nas extremidades da viga, de forma que não haja esforço de corte nem força axial.

As deformações são pequenas, negligenciando-se outras

tensões a não ser as longitudi nais .

A relação entre a tensão longitudinal e a deformação e

idêntica ao caso da tração simples .

As seções planas permanecem planas apos a deformação.

Ale~ disso serã assumido que a relação tensão-deforma-çao e do tipo plástico ideal mostrado na figura 2.3(b), sem te~

individual-mente por cada fibra longitudinal da viga, suposta livre de

quaisquer tensões residuais . A anãlise serã simplificada consi

-•

E

o [o

(o)- Com tensa-o da escoa- 1 bl- Relo!<~O piÓsttca tdeal monto supenor

FIG . 2.3

deravelmente se a seç~o transversal for sim~trica com respeito

ao eixo contido no plano de flex~o . Isto acontece em muitos ca

sos prãticos com o plano de flexão sendo vertical .

Uma v i g a , inicialmente reta, sujei ta a momentos ex t re

mos ~1 , se deforma num arco de c1rculo de raio R e diz-se que

K=l/R e a curvatura

-

da viga. A seçao ,~etangul ar desta viga e

-mostrada na _{figura 2}.4(a) com M atuando em to r no do eixo X.

Sendo o₀ a tensão de escoamento inferior, a figura 2.4

(b) mostra a distribuição de tensões quando 00

e

atingida na fi

bra mais afastada. Na figura 2.4(c) um incremento no momento

atuante causou a plastificação de uma parte da seção modi fi c

-y

T

_~

₁

2 J-o X ... P~AHO OI!

'L'

x.io (o)- Se_çõo transversal

y y

~o

FI

( b l- 01stnbu1cõo (c)-Plastlf1cacQ'o

EIÓst1ca Parcial

FIG. 2.4 y <i o o (d)-01stn bu1 cslo PIÓStiCO lO

se a distribuição de tensões quando toda a seçao estiver p1a~ ti fi cada .

O momento fl etor correspondente

ã

distribuição de ten soes da fi gura 2.4(c)

é

:

M= -l o bz 2 o d ₂ - z d 2 + z = b -1 z2 3 (2.3.1 ) Com z = d a tensão distribui-se elasticamente em to-da a

que a

- 2

seçao e M=My

é

o momento de escoamento, o maior momento seção pode suportar antes de escoar.

Tem-se, substituído em (2 .3.1 )

l

bd2_o

6 o

= ou =

Zo

1 1

onde Z ~ o conhecido m6dulo elâstico da seçao

Com z =

o

a seçao estarã totalmente plastificada ;subs

-tituindo em (2 .3.1), vem:

MP =

₄

1 bd2o _o ou = (2.3.3)

onde Zp ~ o mõdulo plistico da seçao e MP representa o momento plãstico .

O momento plãstico pode ser obtido diretamente . A fig~ ra 2.5 mostra uma seção transversal com um ~nico eixo de sime -tria conti do no plano de flexão que~ vertical. Como a resultan te das forças axiais deve ser nula, se a seção estiver totalmen te plastificada, a linha neutra , nesta ocasião, devera dividi--la em duas ãreas iguais .

Sendo A a ãrea total da seçao e y₁ e y₂ as distâncias dos centróides das semi-ãreas

ã

linha neutra, o momento plãst

i-co serã dado por:

MP

=

_-z

l

A ( y

1 +

Y

2) a

o (2.3.4)

E o mõdulo plãstico por:

zP

=

_-z

l

A(yl

+ :Y2) (2 .3.5)

A razao entre o momento plãstico e o momento fl etor de escoamento e definida como fator de forma, v, tal que :

v

=

= _{(2 .3.6)}

A base de todo o cãlculo plãstico esti sumarizado na figura 2.6, a qual mostra a relação entre momento fletor Me cur vatura K para uma viga de rigidez EI e momento plãstico MP.

r

a relação momento fletor-curvatura ideal .

( I XO O f I G UA~ ~ft[A ~LAN O 0[ r L [X ÃO X -_LAvo 2 y ~o -o G"o

FIG

.

2

.

5

-

DISTR

I

BU

IÇA

O

PL~STICA

DE

TENSOES

M

o L---~

K

FIG. 2.6- RELAÇAO MOMENTO FLETOR-CURVATURA IDEAL .

l 2

J.A~ 2

Se uma estrutura estaticamente indeterminada for subme tida a um carregamento proporcional, a formação da primeira rõ

-tul a plãstica não causarã, geralmente, o colapso plãstico. No -vos incrementos de carga poderão ser efetuados com rõtulas pl ã~

ticas formando-se sucessivamente at~ que, finalmente, sejam su

1 3

Conhecido o mecanismo de colapso tem-se condições de determinar diretamente a carga de colapso plásti co da estrutura, tanto por um procedimento estático como por um cinemático.

2.4 - O princípio dos trabalhos virtuai s

O pri ncípio dos trabalhos virtuais para estruturas en-volve sistemas de forças (cargas e momentos fletores), que sa-tisfaçam as condi ções de equi líbrio e sistemas de deslocamentos (deflexões , curvaturas e rotações) , que satisfaçam as condi ções de compatibilidade, tomando a forma:

E

P

ó

=

f

M

K ds + E

M

0 (2.4.1 )

Satisfazendo as condições de compatibilidade, basta a aplicação da equação (2 .4.1) para que as condições de equil í-brio sejam satisfeitas e vice-versa. Em outras palavras , pode -mos eleger um sistema de deslocamentos arbitrário por~m compati vel , e, com a aplicação da equação dos trabalhos virtuais obter um sistema de forças equilibrado e vice-versa .

Como o presente trabalho não se preocupa com deflexões interessa apenas a aplicação do princípio para deslocamentos vir tuais.

Para a viga bi-engastada da figura 2.7(a) a (2.4.1 ) pode ser escrita :

L P o* = L M 0*

As rõtul as inseridas nao sao plásticas, apenas

equaçao

(2.4.2) foram introduzidas para permi tir pequenos deslocamentos que realmente existem, enquanto que os membros entre as rõtulas

tos . Desta forma K

e

sempre zero, figura 2.7(b), termo do segundo membro da (2 4.1 ) desaparece .

permanecem r~

e o primeiro

No que se segue, uma convenção de si nais sera usada para momentos fletores, curvaturas e rotações . Momentos fleto-res positivos tracionam as fibras adjacentes

ã

linha tracejada da figura 2.7, enquanto que curvaturas e rotações positivas cor

1 4

respondem a deformações de traçâo nas mesmas fibras .

L /2 L/2

(o)- Viga bi- engostodo ( b l- De sI o c o me n r os v i r I u o i s

FIG. 2.7

Para a viga em questâo tem-se aplicando a (2.4.2) :

v

= cancelando 0 vem: Vt

2

=

(2.4.3) (2.4.4)

Esta

e

a equaçao de equilíbrio que deve ser obedecida, não i

m-portando se o comportamento da viga for elãstico ou

parcialmen-te plásti co . A equação (2.4 .3)

e

independente das propri edades do material.

Supondo que a viga da figura 2.7 se plastifique nas s~

çoes 1, 2 e 3 transformando-se num mecanismo, os momentos M₁ ,M₂

e M3 seriam o momento plãstico MP , e a (2 .4.3) seria escri ta :

Vt

l 5

ou

V9..

4 M

T

=

p (2.4.6)

v

seria, então, a carga de colapso plástico ~~c:

M

w _c

₌

8

_e.

9.. (2.4.7)

Desta forma a equaçao dos t rabalhos virtuais pode ser

utilizada para determinar a carga de colapso plástico de uma es

3. Teoremas Fundamentais 3.1 - Introdução

No capítulo anterior mostrou-se que conhecido o

meca-nismo a carga de colapso plâstico pode ser calculada facilmente;

por~m , são poucas as estruturas que fornecem a possibilidade de

um s6 mecanismo. Na maioria dos casos haverão vãrios mecanismos

e dentre todos ~ preciso selecionar o mecanismo real. Alguns

teoremas auxiliarão na procura do mecanismo.

Assume-se queM ~ uma constante definida para cada

p

membro não dependendo da força cortante nem da força axial. 3.2 - Teoremas

3.2.1 -Teorema estãtico

Uma dis tribuição de momentos fletores ~ dita es

-taticamente admiss1vel quando satisfaz todas as condições de e

-quilibrio estãtico em relação a um conjunto de cargas externas prescritas; se esta distribui ção de momentos fletores nao exce

-der o momento plãstico em nenhum ponto, al~m de estaticamente admissível, sera segura. Para que uma estrutura seja capaz de suportar um dado conjunto de cargas

e

condição necessária a exist~ncia de ao menos uma distribuição de momentos fletores que seja segura, a qual deve ser estaticamente admissível . O teore

-ma estâtico assegura a sufici~ncia desta condição.

Para a apresentação formal do teorema supoe-se que um põrtico plano esteja sujeito a cargas ÀP1 , ÀP2 , . . . , ÀPn ,

cada carga sendo aplicada num dado ponto numa direção especifi

-cada. P1 , P2 , P3 , . • . , P são presumidas fixas e _n podem ser cha

-madas de cargas caracter1sticas e À o fator de carga. As cargas

são especificadas totalmente pelo valor de À, e podem ser refe

-ridas coletivamente como o conjunto de cargas À. O fator de car

ga que causa o colapso plãstico é o fator de carga crítico, Ãc. Teorema : Se existir qualquer distribuição de mo

-mentos fletores atrav~s de um pÕrtico plano que seja segura e estaticamente admissível em relação á

l7

um conjunto de cargas À, o valor de À deverã ser menor ou igual ao fator de carga cr1tico, Àc.

3.2. 2. - Teorema cinemãtico

Se o mecanismo de colapso de um põrtico plano sujeito a um conjunto de cargas À for conhecido, o fator de car

ga critico poderã ser calculado equacionando-se o trabalho re~

lizado pelas cargas externas durante um pequeno movimento do mecanismo com o trabalho absorvido nas rõtulas plãsticas . Se o mecanismo nao for conheci do, uma equação semelhante pode rã ser

escrita para qualquer mecanismo que existir; para cada mecanis

mo surge um valor de À.

Teorema: Para um dado pÕrtico plano sujeito a

um conjunto de cargas À, o valor de À

correspondente a qualquer mecanismo assumido deverã ser maior

ou igual ao fator de carga critico, Àc.

Em outras palavras pode-se dizer que se os valores de À corres pendentes a todos os mecanismos de colapso poss1veis forem cal culados , o fator de carga critico sera o menor deles.

3.2.3 - Teorema da unicidade

Os dois teoremas anteriores podem ser

combina-dos num so . Sabe-se do teorema estãtico que para qualquer

va-lor de À acima de Àc não hã distribuição de momentos fletores

que seja segura e estaticamente admissivel; por outro lado, s~

be-se do teorema cinemãtico que não hã a formação do mecanismo para o qual o correspondente fator de carga seja menor do que

Àc.

Teorema: Para um dado pÕrtico plano e um

con-junto de cargas À, se existir ao me-nos uma distribuição de momentos fletores que seja segura e es

taticamente admissivel na qual o momento plãstico ocorra num

n~mero suficiente de seções para produzir um mecanismo, o

cor-respondente fator de carga serã o fator de carga critico, À .

c Sintetizando os tres teoremas apresentados tem-se:

Condições estãticas À < À c À = À c Condições cinemãticas À > À c (3 .2.3.1)

l 8

Onde as condições estãticas e cinem~ticas sao aquelas

especificadas nos dois teoremas correspondentes.

3.3- Mecanismos e Deslocamentos Virtuais

A figura 3.l (a) mostra um p6rti co retangular simples.

Seus membros são uni formes e possuem a mesma seção transversal,

tendo comprimentos e sendo carregado conforme o esquema:

2W 2 3 4 3W ~--- -MP--- - -~ I I I I L IMP MP: I I I I 5 L L

lo 1- Cargos e dlmens!)es !bl- Mecanismo lateral

(c l- Mecon1smo de viga (d) - Me co nismo comb1no do

FIG. 3.1

O mecanismo lateral mostrado na figura 3.l(b) ~ compl!

tamente definido pela rotação horãria da coluna

ã

esquerda . A

figura 3.l(c) mostra o mecanismo de viga e a 3.l(d) ~o resulta do da soma dos dois primeiros mecanismos, o mecanismo combinado.

O mecanismo lateral e o mecanismo de vi ga são os

meca-nismos independentes e seu n~mero depende da quantidade de

estrutu-1 9

ra .

Os mecanismos independentes fornecem equaçoes de equ!

líbrio linearmente independentes enquanto que as equaçoes for

-necidas por mecanismos resultantes da combinação de mecanismos

independentes são combinações lineares das mesmas .

Para o mecanismo lateral, util izando o princípio dos

trabalhos virtuais, pode-se escrever:

(3.3 .1)

Para o mecanismo da viga tem-se :

(3 .3.2)

Para o mecanismo combi nado da figura 3.l(d), somam-se (3.3.1 )

e (3.3.2) :

(3.3.3)

Se os mecanismos fossem analisados do ponto de vista

plãstico, o teorema cinemãtico estabeleceria que o fator de car

ga critico seria o menor dos fatores de carga fornecidos pelas

(3.3.1), (3 .3.2) e (3.3.3) .

3.4 - O fator de carga

Uma estrutura e sempre projetada com alguma margem de

segurança, isto~. as cargas de serviço são menores que as ca!

gas que produziriam o colapso. Esta segurança contra o colapso

e representada pelo fator de carga crítico como foi vi sto na

seçao 3.2.

Alem de garantir a segurança da estrutura sob as

car-gas de serviço, o fator de carga cobre erros de fabricação , i~

precisão nos valores e outros defeitos . Com tantas variãveis e

di fíci l fixar um valor para o fa tor de carga sobre uma base teõ ri c a.

Entretanto, se o cãlculo plãstico, que e mais racio

20

a estrutura deverã estar em segurança .

O cãlculo elãstico de uma viga~ governado pela tensão correspondente ao maior momento fle tor existente ;

Se a tensão admissível for

o

,

então:

a condição de

substituindo:

ou

M _y =

ã

z

colapso e dada

À c M y = M p = À

=

o

z

o p ·óZ c o À = - v o c o por: o

z

o p (3.4 .1) (3.4 .2) (3.4.3) (3.4 .4)

Tomando o I

o=

1,4 e admitindo que

v

=

1,15 (perfil I) , o

tem-se uti lizando a (3 .4.4) :

=

(1,4) (1,15) = 1 '6 1

Esta aproximação ~ devida a Baker e Heyman2

timativa do fator de carga crítico.

3.5 - Cargas distribu1das

-e e apenas uma es

-Quando um ou mais membros da estrutura estiver sujeito

ã cargas distribufdas, a distribuição dos momentos fletores i

parabÕlica , e o mãximo momento pode ocorr~ em qualquer posição .

Se o mecanismo de colapso envolver uma rõtula plãstica na posi

ção do momento fletor mãximo, sua locali zação deveri ser dete

r-minada. Entretanto, este processo torna-se muito trabalhoso em

22 Neal 27_{, Baker e Heyman}2_{, mostraram que o erro cometido}

ao considerar a rõtula em pontos definidos ~ mrnimo, nâo afetan

do os resultados prãticos .

Langendonck2_{~ sugere que quando houver forças externas} distriburdas, faz-se sua substituição por forças concentradas! quival entes, isto e, que exerçam o mesmo trabalho para a s upos-ta forma de ruTna da barra .

As cargas equivalentes constam de tres forças

aplica-das nas extremidades da barra e no ponto que se pressupoe ser

aquele em que se vai verificar a rõtula plãstica. O erro cometi

do

e

apenas na localização da rõtula no vao e para carga unifor

memente di stribu1da

ê

em torno de 1%.

A tabela 3.1 apresenta alguns casos desenvolvidos por

Langendonck.

3.6 - Tipos de Colapso Plãstico

Considere-se um põrtico plano com r redundantes para o

qual o mecanismo de colapso tenha somente um grau de liberdade

com (r+ 1) rõtulas plãsticas . No instante do colapso os

momen-tos fletores nas posições das rõtul as plãsti cas serão conh

eci-dos, e haverã uma equação de equilrbrio correspondente ao

meca-nismo de colapso a qual fornecerão fator de carga. Restarão r equaçoes de equi lrbrio das quais poderão ser obtidas as r redun dantes, de forma que a estrutura

e

estaticamente determinada no

ins tante do colapso. Essa situação

ê

descrita como colapso com-pleto.

Se o colapso nao for completo poderã ser parcial ou

mais-que-completo. O colapso parcial ocorrerã quando o numero

de rõtulas plãsticas formadas no instante do colapso for insufi

ciente para tornar a estrutura estaticamente determinada. O co

-lapso serã mais-que-completo quando a dois ou mais mecanismos

corresponder o mesmo fator de carga crrtico. Os mecanismos que

originam um colapso mais-que-completo podem ser transformados

4 - Os Métodos do Cãlculo Plãstico

4.1 - Introdução

Apesar de se ter chegado a bons resultados de manejra

quase que intuiti va, tornava-se imperi osa cada vez mais a cri!

ção de métodos mais potentes para a anãlise plãstica estrutural.

O método das tentativas de Baker 1 _{foi o pioneiro e,ta_!_}

vez por isso , muito limitado . Pode-se pensar em usã-lo apenas

quando o mecanismo de colapso for conhecido ou quando a

estru-tura for tal que possua poucos mecanismos posslveis .

Horne3 desenvolveu o método da distribui ção dos momen

tos plãsticos, assim chamado por ter semelhanças com o m~todo

da distribuição dos momentos da anãlise elãstica, o qual con

sidera cada membro da estrutura separadamente, e , usando um

processo sistemãtico, estabelece o equillbri o entre os membros.

Para pÕrticos pequenos e retangulares oferece bons resultados

tornando-se mui to trabalhoso para estruturas maiores .

Quando o mecanismo de colapso não for conhecido, isto

é, quando a estrutura oferecer muitas possibilidades de

colap-so, utiliza-se o método da combinação dos mecanismos devido a Neal e Symonds27_{. O fundamental deste método}

e

_{que, conhecidos} a estrutura e o carregamento, todo mecanismo de colapso possl-vel pode ser visto como a combinação de um certo n~mero de me

-canismos independentes.

Para cada mecanismo aplica-se o princlpio dos

traba-lhos virtuais obtendo-se uma equação energética a qual fornece

o correspondente valor do fator de carga À. O verdadeiro

meca-nismo de colapso

e

di stinto dos OutrOS pelo fato que a ele CO!

responde o menor valor de À, pelo teorema cinemãtico. Os

meca-nismos independentes que fornecem fatores de cargas baixos são

exami nados para ver se poderão ser combinados entre si forman

do outro mecanismo que produza um fator de carga menor ainda.

r

necessãri o somente examinar poucas das mais provãveis

combi-nações para chegar ao mecanismo verdadeiro . Pode-se , a seguir,

24

4.2 - A T~cni ca da combinaçâo dos mecanismos

4.2. 1 - Bases do m~todo

A

figura 4.1 mostra um p5rtico retangular sim

-ples , uniforme, e seus tres mecanismos virtuais possiveis .

H h v 2 3 r -I Mp I I IMp I I

lh~

_{l/2 I L/2} (o)- Estruturas e dimensões 29 (cl-Mecontsmo de VIOO 4

i

e I I Mp I I I

~

_~

e ( b l-Mecanismo loterol ( d l- Mecanismo combinado

FIG

.

4.1.

Para o mecanismo combinado da 4.l(b) , aplicando

a equação dos trabalhos virtuais, tem-se:

Hh = - M 1 + Mz ~~l.j + Ms (4 .2.1.1) Esta equaçao deve ser satisfeita independentemente do

comporta-mento da estrutura ser p1âstico ou e1âstico. Sejam as seções nu meradas de um a cinco na figura 4.1(a) e seus respectivos momen

tos fletores M. , i = 1~5 . A equação (4.2.1.1 ) relaciona estes

25

momentos de uma determinada maneira. Necessita-se saber quantas

equaçoes de equil1brio deste tipo existem para uma dada estrutu

ra.

As cinco seçoes numeradas na figura 4.l (a) sao as

se-çoes criticas nas quais poderão se formar rõtulas plãsticas sob

o particul ar sistema de cargas . Para o tipo de estrutura cons

i-derado as seções criticas ocorrerão nos pontos de carga e nos nõs , em virtude do diagrama de momentos fletores ser

constitui-do de linhas retas entre estas seções. De maneira mai s geral,

as cinco seções podem ser chamadas de seções principais pois o

conhecimento dos momentos fletores nas suas posições descreve o

estado do põrtico em qualquer estãgio do carregamento.

O põrtico tem tres redundantes e, olhado desta forma,

a distribuição dos momentos fletores seri a completamente espec!

ficada se os valores destas redundantes fossem conhecidos .

Da equação (4.2.1.1), por exemplo, se os valores de

M

1 ,

M

2 e

M

4 fossem conhecidos , o valor de

M

5 poderia ser

cal-culado imediatamente. Deverâ haver uma outra equação de

equili-brio que permita o cãlculo de M₃. Esta equaçao de equi librio

pode ser escrita, com vistas ao mecanismo da figura 4.l(c) atra

ves da aplicação do pri ncipio dos trabalhos virtuais:

1

"Z V R.

=

+ - M4 (4.2.1.2)

O terceiro mecanismo, figura 4.l (d), dã origem

ã

seguinte eq

ua-çao :

H h + _{+ Ms (4 .2.1. 3)}

Entretanto, a equaçao ( 4. 2.1 . 3) não contém novas informações ; e simplesmente o resul tado da soma de (4 .2.1.1) e (4 .2.1.2) .Some~ te duas equações são independentes .

Deste raciocinio pode ser deduzida a regra geral para

o conhecimento do numero de equações de equilibrio num põrtico

plano.

26

e um numero

R

de redundantes, existirão

(N

-

R)

relações indepen

-dentes entre os momentos fletores que atuam nas seções p

rinci-pais . Todas as demais equações que relacionam estes momentos

fletores podem ser deduzi das das (N-R} equações de equilíbrio in

dependentes .

Agora, uma eq uaçao de equilíbrio tal qual

(4.2.1 .1) pode ser escrita admitindo que os mecanismos da f igu-ra 4.1 não sejam virtuais e sim mecanism~ de colapso plãstico , pos existe de fato uma correspond~ncia exata entre uma equaçao

de equilíbrio e um mecanismo de colapso.

A s s i m , p a r a o m e c a n i s m o d a f i g u r a 4 . 1 ( b ) , t e m - s e: ou Par a o ou Hh0 mecanismo 1 VR. 7 = M de = 0 + p H h viga M _p o + N 0 + p M p = _4Mp da 4.l (c) ,

Para o mecanismo combinado :

H h + = 0 + vem: M 0 p M 0 p (4 .2.1.4) (4 .2.1.5) ( 4 . 2 . 1 . 6 ) (4 .2.1. 7) (4 .2.1.8)

A equaçao (4 .2.1.8) foi obtida somando-se as equ~

çoes (4 .2.1.5) e (4.2.1.7), com um ajustamento: no seu lado di-reito hã uma redução de 2Mp em virtude do cancelamento da rót

27

Deve ser notado que o cancelamento das rótulas plâsti cas ~ a chave do m~todo da combinação dos mecanismos . Se duas equações tais como (4.2.1. 5) e (4 .2.1.7) forem combinadas sem qualquer redução no trabalho realizado pelas rõtulas, o

va-lor de A resultarâ intermediãrio aos dois valores originais .

4.2.2. - Rotações Nodais

As seções críticas nas junções das barras da fi-gura 4.l (a) foram marcadas corretamente pois os membros possuíam a mesma seção transversal, embora na prãtica a rõtul a pudesse se formar ou na,viga ou na coluna. Entretanto, se a estrutura

não for uniforme, a rótul a se formarã no membro menos rígido .

P a r a r e f l e ti r e s ta c o n s i de ração , duas seções c r

i

ticas deveriam ser tomadas em cada junção, como mostra a figura

4.2. 3 5 2

r-

- - -

-4---, s I 1 1 1 1 1 I 1 I I I I I 7

Estruturo e suas se ç õe s c r I t 1 c os

FTG. 4 .2 - SEÇDES CRITICAS

Desta forma, sob o carregamento mostrado o nGme-ro de seçoes criticas ~ sete . Como o nGmero de redundantes per-manece tres, são necessãrios quatro mecanismos independentes P! ra descrever completamente o comportamento do pÕrtico.

A figura 4.3 mostra os quatro mecanismos:

( o ) _ Me coni s mo lo terol 3 (c)-Rotoçõo 2 -'3 29 { b )- Mecon i smo de vrgo 5 (d )-Rotoçao 5-6

FIG

.

4.3 -

MECANISMOS

IN

DEPENDENTES

.

28

conhecidos lateral e de viga, enquanto que os outros dois sao

exemplos de uma importante classe de mecanismos elementares, as

rotações nodais.

O significado das rotações nodais ~ bem enten

di-do a trav~s de uma aplicaçio do princTpio dos trabalhos virtuais.

Supondo o mecanismo da figura 4.3(c) tem-se:

( 4 . 2 . 2 . l )

ou

= ( 4 . 2 . 2 . 2 )

A equaçao (4.2.2.2) apenas mostra que o momento fletor na jun

29

A rotaçâo nodal serã realmente impor tante quando

a estrut ura possuir n6s onde concorram mais de duas barras ,como

na figura 4.4. 2 3 5 6 8 9

_

____.

..

r -

- - - · - - - ,

1 7 I 1 I I I 1 I I I I I lO

FIG. 4.4. - ROTAÇ~O NODAL DO NO CENTRAL

DE UM PORTICO DE DOIS V~OS .

A junçâo 5-6-7 apresenta uma rotaçâo nodal com a

seguinte equaçao de equillbrio , de acordo com a convençâo de si

nais adotada:

(4.2.2.3)

A equaçao (4.2 .2.3)

e

de fato importante pois de

la dependem in~meros cancelamentos de r6tulas plãsticas possib!

litando alcançar fatores de carga menores.

4.2.3. Limitações do Método

O cãl culo da carga de colapso plãstico para es

-truturas com grau de indeterminação estâti ca muito alto

e

um prE_

cesso muito trabalhoso mesmo com a possibili dade da aplicaçâo do

30

A principal dificuldade e que para uma estrutura

com p mecanismos independentes existem

(4 .2.3.1)

mecanismos a serem investigados, a menos que um seja préviamen-te identificado como o mecanismo de colapso pela aplicação par! lela do teorema estãtico.

Outra dificuldade é que para um procedimento au-tomãtico com o uso de computadores é necessãria uma anãlise pr~

via da estrutura para informar

â

mãquina os mecanismos indepen-dentes, isto, porém, levaria a um consumo excessivo de tempo computacional, visto que o computador percorreria todos os meca

nismos possi veis.

Cohn e Grierson7 _{desenvolveram um programa}

auto-mâtico (COMECH) que necessita da informação dos mecanismos ind~

pendentes, cuja maior limitação é o tempo de execução . Para p=6

são necessârios dez segundos , aumentando, por~m, rapidamente com

5. -Carregamento Vari~vel Repetido 5.1 - Introdução

As cargas sobre uma estrutura podem variar considera

-velmente durante sua existência. Sem fa lar no seu peso pr6prio, uma estrutura pode sofrer os efei tos do vento, da neve e at~ de terremotos . A magnitude dessas cargas não pode ser prevista num determinado instante, embora seus picos sejam conhecidos , visto que sua seqO~ncia ~ imprevisivel . Estes tipos de carrega

-mento dizem-se variâveis repetidos.

E

possivel que sob cargas variáveis repetidas uma es-trutura possa romper devido ao desenvolvimento de grandes defo~ maçoes, mesmo que a maior carga possivel não seja suficientemen te grande para causar o colapso plãstico, se aplicada estatica-mente .

Sejam À p I ' À p ? • . . . • \P _{r ' . .. ' \Pn}

um conjunto de cargas que atuam sobre u~ pôrtico num dado ponto

direção especificada;Ã

-e numa e um fator de carga comum a todas

as cargas . O valor de qua_. lquer carga, .>.P _r , pode variar entre os

ll·m,·tes ('Pmax A r A Pmr 1 n) , 1n · d epen en emen e d t t d as var1a· ço-es que possam ocorrer nos valores das outras cargas . Os limites (P~ax ,

pmi n) presumem-se conhecidos .

r

A ruptura pode dar-se de duas maneiras sob carregamen

-to variãvel repetido:

A plasticidade alternada ocorre se as cargas , ou se a seqüência de aplicação das mesmas, façam com que um ou mais mem bros da estrutura sejam fletidos repetidamente de forma que as fibras , al ternadamente tracionadas e comprimidas, entrem em es

-coamento. Haver~ um fator de carga para a plasticidade alterna

-da , Aa, acima do qual sua ocorrência sera provãvel .

O outro tipo de ruptura sob carregamento vari ãvel rep! tido se dã se combinações criticas das cargas seguem-se umas ãs outras em ciclos bem definidos. Se .>. exceder um certo valor .>.*,

32 haverão incrementos nas rotações das rótul as plãsticas de

cer-tas seções durante cada ciclo de carga, incrementos esses no

mesmo sentido. Se A, apesar de exceder A* for menor que um va-lor critico mais alto, A;, os incrementos nas rotações se torn! rão progressivamente menores ã medida que o nGmero de ciclos au

mentar. Alcança-se assim uma condição na qual , a cada ciclo,não

existem mai s variações nas rotações e as variações dos momentos

fletores são puramente elãsticas; diz-se que a estrutura " amor-teceu11. Entretanto, se A exceder A

,

..

,

não hã amortecimento, e

du-rante cada ciclo as rotações serão finitas de tal forma que se

ocorrer um nGmero sufi ciente de ciclos, as rotações nas rótulas

serão inaceitãveis provocando o colapso incremental, com A. sen

1

do o fator de carga para o colapso incremental.

A obtenção de A

3 e A;, jã se notou, não ~ tão simples

e independente como a de Ac. Quando se considera carregamento

variãvel repetido ~ necessãrio o conhecimento da resposta elã~

tica da estrutura para cada combinação de cargas, e, al~m disso,

a envoltória dos momentos fl etores elãsticos em cada ponto de

posslvel formação de rótulas plãsticas.

5.2 - Definições

A figura 5.1 mostra a relação momento fletor-curvatura

que ~ usualmente assumida quando se considera carregamento

va-riãvel repetido (Shake-down analysis). A relação ~ apropriada para uma viga consti tu1da de material elasto-plãstico perfeito

cuja seção transversal tenha dois eixos de simetria, sendo um deles o de flexão .

SejaM. o momento fletor numa seçao cr1tica j . Se

to-J

das as cargas forem removidas e a estrutura se comportar elãsti

camente durante o descarregamento, haverã um momento fletor

re-sidual nesta seção, defini do por:

m. = M.

J J fv1. J

onde~ . e o momento fletor que seria produzido se a

J

inteira se comportasse elasticamente.

(5.2.1)

estrutura

33

M

2My

RELAÇÃO MOMENTO FLETOR - CURVATURA

I

PARA CARREGAMENTO VARIAVEL REPETIDO

FIG. 5.1

completamente elãstico, mas mesmo assim a (5.2.1) ~ vãlida .Qua! quer distribuição de momentos residuais assim definida serâ

es-tãticamente admisslvel sem carregamento externo desde que ~j e

M. sejam estaticamente admiss1veis com o carregamento real .

J

Se cada carga variar entre os limites

{>.P~ax

,

>.

P~in)

,o principio da superposição dos efeitos poderã ser usado para de

-terminar a envolt6ria dos momentos mâximos e minimos serão >.~~ax e

elãsticos ~., cujos valores

. J

>.M~1 _{n. O câlculo é}

facilmen-J

J

te executado se cada carga >.Pr puder variar independentemente das outras .

Para plasticidade alternada: >.s

Par a c o 1 a p s o i n c r e me n ta 1 :

=

= À·

ce-se:

34

5.3- Teoremas

5.3.1 -Teorema do limite inferior (Shake - down

Theorem)

Tendo em conta a rel ação da figura 5.1, estabele

Teorema : Se existir qualquer distribuição de mo

-mentos fletores residuais,

m

,

a qual s~

ja estaticamente admissível para a estrutura sem carga externa e que satisfaça as condições

m. + Ãf.'l~a x < ( M ) . J J p J (5 .3.1.1 ) m. + À~~ in >

-

( M ) . J J p J (5 .3.1.2) À (t1n~a x IM'~ i n _{< 2 ( M ) .} J J y J (5 .3.1.3)

-O valor de À sera menor ou igual ao fator de carga Às.

As condições (5 .3.1. 1), (5.3. 1 .2) e (5 .3.1 .3)são

condições estãticas;

e

evidente que não sendo satisfeitas nao

have rã amortecimento. Em outras palavras, estas sao as con

di-çoes necessãrias para que haja amortecimento, e o teorema do li

mite inferi or assegura sua suficiência.

Se À ultrapassar o valor de À Serã impossível

s

encontrar qualquer conjunto de momentos residuais que satisfaça

as condições de equil1bri o.

Se À for imaginado crescendo uniformemente, se

tornarã progressivamente mais di f1cil satisfazer as inequações

(5 .3.1.1) e (5 .3.1.2).

Uma possibilidade surge se a desigualdade (5 .3.1.3)

nao for satisfeita numa seção particular embora tenha excedi-do a Às e as condi ções (5 .3.1.1 ) e (5.3.1.2) se verificassem. Neste caso o colapso se dari a por plasticidade alternada, com À = À

s a ·

A outra possibilidade aparece se as condições (5 .3.1.3) e (5.3.1.2) não se verificarem simultaneamente,apesar

35

de que cada (5 .3.1.3) se verifique . A ruptura neste caso seria

por colapso incremental, com "s = >.i .

Uma outra desigualdade pode ser derivada para ca

da seçao j a partir das inequações (5.3.1.1) e (5.3.1 .2):

- ( M ) . >.M~i n < p J _J

-ou >. (tl~a x J t1n~ in J m. < J -< 2 ( M ) . - _{p J} ( M ) . p J >.t1~a J x (5 . 3.1.4)

Comparando (5 . 3.1.3) com (5 .3.1.4) nota-se que

a ~l tima ~menos restritiva e tornam-se iguais no caso de bar

-ras com v= l, o que

inequação (5 .3.1. 3)

menta (Shake-do\'m),

implica em M

=

M . Neste caso especial, a

y p

pode ser obtida das condições de amorteci -pois estã contida em (5 .3.1.1) e (5 .3.1.2). As condições (5 .3.1 .1 ) e (5.3.1.3) são apropria

-das somente quando os membros da estrutura obedecerem âs condi

-ções estabelecidas anteriormente , que levam ao diagrama

(M,

K

)

mostrado na figura 5.1. Se estas hipóteses não forem obedecidas,

as condições para o ocorr~ncia do amortecimento deverão ser es

-tabelecidas em termos das distribuições de tensões em cada se

-ção transversal em vez dos momentos resultantes .

5.3.2 - Teorema do limite superior

O teorema do limite superior estã ligado a valo

-res de >. derivados de determi nados mecanismos envol vendo plast

i-cidade alternada ou colapso incremental . A plasticidade alterna

da ocorrerá primeiramente na seção crftica cuja relação (~max

-~mi n) . . S f

-•. , seJa ma1or. e esta or a seçao k, o fator de carga para

o qual existira a plasticidade alternada serã:

>. , (fvlma x

a k

=

(5 .3.2.1 )

-36

respondente a um mecanismo de plasticidade alternada consistindo de uma unica rótula plastica, locali zada na seção k.

Assumindo um mecanismo de colapso incremental, o correspondente valor À1i do fator de carga poderã ser calculado :

Seja 0j a rotação da rótula existente na seção j ;

sera 0~ ou 0: de acordo com a convenção adotada

anteriormen-J J

te. Sejam. o conjunto de momentos fletores residuais no

instan-J

te do colapso ; seus valores podem ser calculados :

À I . f.1 I~ a X ( M ) . todo + m. +

=

par a 0 . J 1 _J p _{J J} (5 .3.2.2) À I . ,.

1

~i n ( M ) . to do -m. +

₌

-

para 0 . J 1 _J p _{J J} (5 .3.2.3)

Como os m. são estaticamente admissfveis para a estrutura des

-J

carregada, aplicando o princTpio dos trabalhos virtuais,tem-se :

E m. 0 . =O

J J ( 5 . 3 . 2 . 4 )

com o somatório cobrindo todas as j rótulas do mecanismo assumi do. tem-se : ou Substituindo (5.3.2.2) e (5.3.2.3) em (5.3. 2.4) , ~ . r-lmJ.axl + + 1\ 1 0j +

r.l

-

(M _p ). J = r. (M). p J À I i

t-1~,

i n

I

0 j = O I ' 10 · I J' ( 5 . 3 . 2 . 5 )

Teorema: O valor de À correspondente a qualquer

mecanismo escolhido , seja de plasticid!

de alternada ou colapso incremental, .\ ' ou .\ '., deverã ser

a 1

maior ou igual ao fator de carga de amortecimento, .\ . s

37

Qualquervalor de À calculado desta forma satisf! rã as condições cinemãticas do teorema do limi te superior.

5.3 .3- Observações e teorema da unicidade

A presença de momentos residuais devido a defei-tos no tamanho das barras ou movimento dos apoios não modifi ca as condições para a ocorr~ncia do amortecimento. Entretanto, a

distribuição dos momentos fletores elâsticos depende da rigidez

dos n6s e dos apoios, e por isto A tamb~m dependera. Isto

con-s

trastra com o colapso plâstico sob carregamento estâtico, cujo fator de carga, Ac, ~i ndependente da rigidez dos n6s e su por-tes .

O teorema do limi te inferior especifica condi-çoes que, se satisfeitas , asseguram que a flu~nci a plãstica ce!

sara, por~m nâo estabelece limites para as deflexões que possam se desenvolver numa estrutura sujeita a carregamento variavel repetido .

Varias tentativas foram feitas para estabelecer tais limi tes mas at~ agora nenhuma obteve sucesso completo.

Um teorema para um uni co valor de Às pode ser

formulado combinando-se os dois anteriores :

Teorema : Se as condições estãticas do teorema do

limite inferior e as condi ções cinemãt! cas do teor.ema do limite superior forem encontradas ,À deve rã ser igual ao fator de carga de amortecimento, Às.

5.4 - Métodos de projetos e analise

5.4.1 -O Mêtodo das tentativas

Baseado no teorema da unicidade,

ê

limi tado a es trutura com poucas redundantes , tais como vigas contfnuas de

dois ou tres vãos e p6rticos simples. Para estas estruturas tan to a distribui ção dos momentos residuais como Às podem ser de

-terminados , por inspeção, em uma ou duas tentativas .

Sintetizando, o método das tentativas para carr~

gamento variavel repetido consiste em assumir um mecanismo colapso incremental para o qual um correspondente valor de

de

À I • ") 1

38

seja encontrado. Para isto se utilizam as equações (5.3.2.2) e

(5.3.2. 3) inseridas nas equações de equilrbrio para a estrutura sem carga externa .

Se o mecani smo assumido for do tipo completo

es-tas equaçoes serão tamb~m suficientes para determinar a

distri-buição dos momentos residuais atrav~s da estrutura. Os momentos

fletores mâximos e minimos correspondentes ao valor de A'; cal-culado serão somados aos momentos residuais para determinar os

momentos fletores extremos que poderão atuar. Se nenhum desses valores extremos exceder M , _p estarã encontrado o mecanismo cor-reto, senão deverã ser tentado outro mecanismo. Se o mecanismo

verdadeiro for do tipo parcial o processo se torna muito demora

do .

Para a plasticidade alternada, A' ~ determinado

a

utilizando-se a (5.3.2.1 ), a qual, no caso de v=l, pode seres

-crita: À I

=

a IMmi n k (5.4 .1.1)

com k tendo o mesmo significado dado na seçao (5 .3.2).

Obtidos A'. e A' As sera o menor dos dois,isto

_ 1 a '

e, se A' i for menor do que A'a, o colapso se darã pelo assumido

mecanismo de colapso incremental, em caso contrãrio, pelo menos

uma seçao k se plastificarã totalmente quando As atingir A'a· 5.4.2 - O m~todo da combinação dos mecanismos

Este m~todo não apresenta as limitações do ante

rior no caso de mecanismos do tipo parcial. Para qualquer

meca-nismo de colapso incremental um correspondente valor de A'.

po-- 1

dera ser calculado atrav~s da aplicação do princrrio dos

traba-lhos virtuais, com o teorema do limite superior _{estabelecendo}

que ao verdadeiro mecanismo de colapso incremental corresponde-ra o menor dos A';, se forem examinados todos os

possiveis.

O m~todo da combi nação dos mecanismos

mecanismos

39

simplesmente na derivação dos À1 • correspondentes aos mecanis

-1

mos independentes e suas mai s provãveis combinações at~ que se

ache o menor deles. Se não forem todos examinados, o resultado

deverâ ser confirmado por uma comprovação estãtica, determin

an-do a distribuição de momentos residuais correspondente e ve

ri-ficando que os momentos fletores mãximo e mfnimo podem ser

adi-cionados ao momento residual em cada seção sem exceder o momen-to plastico.

A diferença entre a aplicação do m~todo da combi

naçao dos mecanismos para carga estãtica e carga repetida

apenas em alguns detalhes mas a essência~ a mesma , pois os ceitos que fundamentam o m~todo para carregamento estâtico ram estendidospelos seus criadores para cobri r os casos de

lapso incremental; entretanto, ~ mais difTcil julgar quais

as combinações mai s provâveis com vi stas

ã

obtenção de um me no r. está con f o- co-sao À I • 1

A plasticidade alternada tamb~m deverã ser

veri-ficada . Para cada seção onde for factTvel a formação de uma ro-tula plãstica a equação (5 .4.1.1 ) deverã ser apli cada e a co n-clusão, a partir daT, se apresentará como no parágrafo anterio~

5.5- Utili zação

Como foi visto, se uma estrutura aporticada for

sujei-ta a cargas variãveis repetidas não ocorrerã amortecimento se

o fa tor de carga for tal que seja superior a À , o qual ~ menor

s

que Ac' sendo o ~l timo o fator de carga para carregamento está

-tico sob a pior combinação de cargas .

Isto levanta uma duvida : a indefinida fluência plásti-ca causada pelo colapso incremental e pela plasticidade alterna da sera um estado limi te mais relevante do que o colapso estãti co para este conjun to de vi gas?

Horne3 mostrou que uma estrutura projetada pelo m~todo

plãstico estatico terã uma pequena probabilidade de ruptura, a

probabilidade da ocorrênci a da plasticidade alternada ou do co

lapso incremental serã menor ai nda. Isto decorre devido ao