A PROGRAMAÇÃO LINEAR FUZZY EM PROBLEMAS DE MISTURA

A PROGRAMAÇÃO LINEAR FUZZY EM PROBLEMAS DE MISTURA

Andre Gandolpho

Universidade Católica de Petrópolis [email protected] Ricardo Tanscheit PUC-Rio [email protected] Marley Vellasco PUC-Rio [email protected] Nélio Pizzolato Puc-Rio [email protected]

RESUMO

Este trabalho trata da utilização de programação linear fuzzy em um problema de mistura de carvões para siderúrgicas a coque. A modelagem de problemas de mistura envolve conceitos vagos e imprecisos, os quais podem ser traduzidos em termos matemáticos através da teoria de conjuntos fuzzy e de suas ramificações. Neste tipo de problema os coeficientes dos termos da função objetivo e das restrições de desigualdade são representados por números fuzzy. A utilização dos conceitos de programação linear fuzzy permitem que o problema seja resolvido por meio de métodos tradicionais de programação matemática. O resultado obtido mostra o potencial de utilização desta metodologia em problemas de mistura.

Palavras-chave: programação linear fuzzy, conjuntos fuzzy, modelo de misturas.

ABSTRACT

This work deals with the use of fuzzy linear programming in a coal blending problem in steel industries. Modeling blending problems involves vague and imprecise concepts, which can be translated into mathematical form through the concepts of fuzzy sets. In this sort of problem fuzzy numbers represent the coefficients in the cost function and in the inequality restrictions. Fuzzy linear programming concepts allow the problem to be solved through traditional mathematical programming methods. Results show the potential of this methodology for dealing with blending problems.

1. Introdução

Muito já foi feito no desenvolvimento de metodologias para a resolução de problemas de programação linear fuzzy. Entretanto, a grande parte dos trabalhos apresentados procurou obter uma solução transformando o problema fuzzy em um problema crisp, o que é possível através de métodos de defuzzificação. A partir deste modelo defuzzificado, onde os coeficientes são determinísticos, é obtida uma solução crisp utilizando-se métodos conhecidos de programação linear padrão, como o Método Simplex (Dantzig, 1963). Porém, com esta solução é possível analisar apenas alguns aspectos das incertezas e imprecisões contidas no problema inicial. Por este motivo, este tipo de solução não reflete por completo o grau de incerteza que o mundo real possui, ou seja, ao se obter uma solução única para um problema onde alguns ou todos os coeficientes possuem imprecisões, a pessoa responsável pela análise dos resultados fica sem a opção de analisar outros resultados possíveis. Mais do que simplesmente indicar um resultado, buscou-se neste presente trabalho quantificá-lo através da construção de uma função de pertinência. Nesta linha pode ser citado o artigo de Buckley de 1995 (Buckley, 1995), onde o autor apresenta uma forma de se encontrar uma solução conjunta para problemas de programação linear fuzzy. Desta forma, apresenta-se um conjunto de soluções onde tanto os valores das variáveis quanto o valor ótimo para a função de custo, ou função objetivo, possuam uma função de pertinência associada. Assim, será possível fornecer um conjunto de possíveis soluções factíveis, que possam atender a diferentes cenários. Além de fornecer ao tomador de decisões uma ferramenta de análise mais poderosa, permitindo que sejam analisadas outras soluções possíveis antes de se escolher uma solução em particular. O fato de ser obtido de forma iterativa, resolvendo-se um número de vezes alguns modelos, torna mais simples, e de fácil aplicação, a metodologia aqui proposta.

O trabalho é estruturado de forma a se revisar os conceitos à medida que as aplicações ilustradas os necessitam. Na seção 2 é apresentada formalmente a metodologia para resolver problemas de programação linear fuzzy. Na seção 3 descreve-se o modelo de misturas em programação linear, sua estrutura básica e as simplificações feitas para tornar o seu uso mais prático Na seção 4 é desenvolvida uma aplicação para as misturas de carvões em termos de programação linear fuzzy e ressaltados os tratamentos às restrições e à função objetivo. Na aplicação, seção 5, são usados dados reais das qualidades fundamentais dos carvões, acrescidos de faixas de variações arbitradas. Por último, na seção 6, são apresentadas as conclusões do trabalho.

2. Modelo de Programação Matemática Fuzzy

O problema de programação linear, onde se considera que todos os coeficientes são determinísticos, é, na realidade, apenas uma simplificação de um problema real. Os dados utilizados para se resolver esse problema são estimados e, em geral, serão determinados no futuro. Portanto, os valores de cada um dos coeficientes do modelo apresentam, na verdade, uma imprecisão.

Apesar do modelo determinístico representar de forma apropriada um modelo de programação linear, aprimoramentos são necessários para refletir as incertezas inerentes ao problema. Desta forma, buscou-se adequar o modelo considerando que os coeficientes das restrições e da função objetivo são, na realidade, incertos.

A programação matemática fuzzy, em particular a programação linear fuzzy, é uma ferramenta que permite a inclusão de conceitos vagos e imprecisos no modelo do problema. Assim, este passa a ser descrito em termos de um modelo de programação linear fuzzy, possibilitando a incorporação de incertezas contidas nos coeficientes ao modelo tradicional – crisp –, podendo, desta forma, tornar-se um sistema de apoio a decisão em negociações de carvões.

2.1- Metodologia

A metodologia aqui proposta aplica-se a problemas de programação linear onde os coeficientes da função custo, e das restrições, lado esquerdo e direito, são incertos e modelados como números fuzzy. Devido às incertezas, existem diversas combinações possíveis de resultados para a solução do problema. Desta forma, com a intenção de encontrar uma faixa de valores onde se encontram os resultados factíveis para o problema de programação linear fuzzy, busca-se, inicialmente, encontrar a região de viabilidade, para em seguida tratar da função custo.

2.2- Região de Viabilidade

Muitos problemas de programação linear utilizados na tomada de decisões podem ser formulados da seguinte forma (Ekel, 2001):

m j b x x g x x f j n j n , , 1 para ~ ) , , ( ~ a sujeito ) , , ( ~ Minimize 1 1 Κ Κ Κ = ⊆ (1) onde:

9 a função custo (

~

f

), e as restrições (

g

~

j,

para

j

=

1

,

Κ

,

m

) incluem coeficientes fuzzy.

9

∑

=

=

n i i i n

c

x

x

x

f

1 1

~

)

,

,

(

~

Κ

9

g

~

_j

(

x

₁

,

Κ

,

x

_n

)

⊆

b

~

_j

para

j

=

1

,

Κ

,

m

⇒

∑

=

⊆

n i j i i

x

b

a

1

~

~

_para

_j

₌

₁

_,

_Κ

_,

_m

9

a

~

_i,

para

i

=

1

,

Κ

,

n

, são números fuzzy com

μ

a_i

(

a

i

)

para

i

=

1

,

Κ

,

n

, sua função de pertinência associada.

9

b

~

_j,

para

j

=

1

,

Κ

,

m

, são números fuzzy com _b (b_j)

j

μ

para

j

=

1

,

Κ

,

m

, sua função de

pertinência associada.

Uma das dúvidas que surgem ao se considerar este tipo de modelo matemático, conhecido como modelo de programação linear fuzzy, é como determinar a sua melhor solução. Por ser um problema onde os coeficientes possuem incertezas, indicar uma solução única pode não representar de forma adequada todas as combinações possíveis. Desta forma, é importante que se determine uma região onde é possível encontrar as soluções possíveis para (1).

A partir da determinação da região de viabilidade do problema definido em (1), será possível se determinar uma faixa de valores ótimos da função objetivo.

Deste modo, para se tratar a região de factibilidade, será considerado o conjunto de restrições do problema (1). Assim, considere-se uma das restrições do problema (1):

∑

=

⊆

n i j i i

x

b

a

1

~

~

(2)

Se as condições de convexidade dos coeficientes fuzzy

a

~

_i e

b

~

_j, para

i

=

1

,

Κ

,

n

,

m

j

1

,

,

para

=

Κ

, são satisfeitas, ou seja, dado que os coeficientes são convexos, é possível

considerar a seguinte possibilidade de ordenamento (Dubois & Prade, 1980): Seja

α

k = conjunto de níveis k, onde

k

=

1

,

Κ

,

K

,

{

min

sup

(

),

(

)

}

min

0

j i b a n i 1 1

α

k

μ

a

i

μ

b

α

≤ ≤

≤

≤

≤

≤

≤

Κ

Κ

, (3)

Assim, a restrição (2) pode ser modificada, sendo então representada pelo seguinte sistema determinístico, onde os coeficientes são crisp:

∑

=

⊆

n i a b i a a k j k i

x

S

S

1 , para

k

=

1

,

Κ

,

K

(4) onde: 9 k i a a

S , para

k

=

1

,

Κ

,

K

, são os conjuntos de nível

α

_k,

para

i

=

1

,

Κ

,

n

,

9 k

j

a b

S

para

k

=

1

,

Κ

,

K

, são os conjuntos de nível

α

_k.

Por exemplo, o conjunto ak

b

S

, para

k

=

1

,

Κ

,

K

, do nível

α

k, do conjunto b é definido como

(Ekel, 1999):

Figura 1 – Conjunto ak

b

S

, do nível

α

_k, do conjunto b

Considerando estes níveis

α

_k, para

k

=

1

,

Κ

,

K

, é possível reescrever a equação (4) da seguinte forma:

[

] [

]

∑

=

⊆

n i a a i a i a i k k k k

_a

_x

_b

_b

a

1 2 1

,

,

2 1 ,

para

i

=

1

,

Κ

,

n

e

para

j

=

1

,

Κ

,

m

(5) onde: 9

[

k ak

]

i a i a a 2

1 , são os pontos extremos (limite inferior e limite superior) do corte

α

k feito no

número fuzzy

a

i,

para

i

=

1

,

Κ

,

n

e

k

=

1

,

Κ

,

K

;

9

[

_b

ak

_b

ak

]

2

1

,

são os pontos extremos (limite inferior e limite superior) do corte

α

k feito no

Portanto, o conjunto de equações descrito em (5) pode ser reescrito da seguinte forma:

∑

=

≤

n i a j i a i k k

_x

_b

a

1 2 2 , para

k

=

1

,

Κ

,

K

(6)

∑

=

≥

n i a j i a i k k

_x

_b

a

1 1 1 , para

k

=

1

,

Κ

,

K

(7)

Este é um sistema de equações com uma dimensão maior do que a do problema original.

Depois de se determinar a região de viabilidade para cada corte do problema fuzzy, deve-se tratar da expressão da função objetivo quando os coeficientes do vetor de custo são fuzzy.

2.3- Função Objetivo:

Na seção anterior, a região de factibilidade, definida pelas restrições, foi tratada do ponto de vista de conjuntos fuzzy. Assim, foi possível identificar a região onde está o valor ótimo para o problema fuzzy, considerando cada corte nos coeficientes da função objetivo (coeficientes tecnológicos) e nas constantes do lado direito. Analisar-se-á agora o comportamento da função objetivo quando seus coeficientes são números fuzzy. Desta forma, será possível determinar quais os limites para o valor ótimo da função objetivo.

Antes de se fazer o tratamento formal da função objetivo, serão apresentados alguns conceitos que serão úteis nesta abordagem. Os conceitos aqui descritos são baseados em Bazaraa (1990).

Conjunto Convexo

Um conjunto X no espaço Em é chamado de Conjunto Convexo se, dado dois pontos quaisquer x1

e x2 em X, então

λ

x1+(1−

λ

)x2∈X para cada

λ

∈

[ ]

0,1 . Direções Extremas de um Conjunto Convexo

Uma direção extrema de um conjunto convexo é uma direção do conjunto que não pode ser representada como uma combinação positiva de duas direções distintas do conjunto. Dois vetores, d1 e d2 são ditos serem distintos (não equivalentes) se d1 não pode ser representado como

múltiplo de d2.

Qualquer outra direção do conjunto que não é um múltiplo ou sub-múltiplo de d1 ou d2 pode ser

representada como λ1d1 + λ2d2 onde λ1, λ2 ≥ 0. Cone Convexo

Os cones convexos representam uma classe importante de conjuntos convexos. Seja C um cone

convexo; ele é dito ser um conjunto convexo com a propriedade adicional λx ∈ C se o raio {λ: λ

≥ 0} pertence a C.

Portanto, um cone é um conjunto convexo que consiste totalmente de raios emanando da origem. Como um cone convexo é formado pelos seus raios, então ele pode ser totalmente caracterizado por suas direções. De fato, nem todas as direções são necessárias, desde que uma direção não extrema pode ser representada como uma combinação positiva de direções extremas. Portanto, um cone convexo é caracterizado por suas direções extremas.

Dado um conjunto de vetores a1, a2,..., ak, é possível formar um cone convexo C com estes

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = ≥ =

∑

= k j para a C k j j j j : 0, 1,2, , 1 Κ

λ

λ

(8)

Note que a função objetivo apresentada em (2.2), considera que seus coeficientes são incertos e, portanto, são modelados como números fuzzy. Desta forma, é possível definir um cone convexo, que é formado por suas direções extremas e por demais direções, que podem ser descritas como combinações das direções extremas.

Assim, considerando que cada um dos coeficientes varia dentro de uma determinada faixa, tem-se que a função objetivo de (1) pode tem-ser descrita por:

[

]

∑

=

=

n i i a i a i

c

x

c

z

k k 1 2

1

,

, que é um número intervalar

[

z1,z2

]

=z

Como, por hipótese, as variáveis xi ≥ 0,

para

i

=

1

,

Κ

,

n

, tem-se que:

∑

=

=

n i i a i

x

c

z

k 1 1 ₁ e

∑

=

=

n i i a i

x

c

z

k 1 2 ₂

representam os valores mínimo e máximo que a função objetivo pode alcançar quando se considera a região determinada em (2.2).

Desta forma, para cada corte

α

i feito nas funções de pertinência, é possível se calcular o maior e

menor valor da função objetivo, considerando a região factível determinada em (2.2). Este processo pode ser repetido sucessivamente, de forma a se obter uma faixa de valores possíveis para a função objetivo.

3. Problema de Misturas

A modelagem do problema de misturas foi uma das primeiras aplicações da programação linear (Dantzig, 1963). No problema de misturas existem dois ou mais componentes, que podem ser um conjunto de matérias-primas, uma ou mais qualidades de cada um destes componentes e um ou mais produtos, de tal forma que certas necessidades sejam satisfeitas. Em geral, pode-se dizer que a qualidade do produto final é uma média ponderada das qualidades dos produtos usados na mistura. Na Tabela 1 estão listados alguns tipos de produtos advindos de misturas de componentes e as qualidades normalmente exigidas.

Tabela 1 – Exemplos de produtos provenientes de misturas

Produto Final Qualidades Matérias-primas

Alimento Quantidade de proteína,

carboidrato, gordura, fibras, etc.

milho, soja, aveia, trigo, farelos, farinhas, etc.

Metais Conteúdo de carbono, manganês e

cromo

minério de ferro (ou metais), refugo de metais e metais usados

Coque Teor de cinza, enxofre, umidade,

matéria volátil, etc.

carvões vindos de diferentes minas espalhadas pelo mundo

3.1-

Estrutura Geral do Problema de Misturas

Considera-se que se deseja misturar n componentes, as matérias-primas, cada qual com suas características determinadas por teores, os quais têm seus custos determinados pelo mercado. O produto final deve estar entre níveis aceitáveis de cada uma das m qualidades exigidas, apresentar

menor custo final e ser produzido em quantidade X. Assim, o problema pode ser equacionado da seguinte forma:

• cada componente de entrada i (i = 1, 2,..., n) é usado na quantidade xi e tem custo unitário

ci

• cada componente i tem um conjunto de qualidades M, M = {1, 2,...,m}, nas proporções aij

(i e j ∈ M).

• objetivo do problema é obter um produto em quantidade X, resultado de uma mistura de

custo mínimo atendendo às restrições de qualidade.

• processo produtivo é de mistura sem perdas de quantidade de tal modo que:

x

X

i i

=

∑

• as diversas qualidades são ponderadamente aditivas.

Portanto, o modelo consiste em:

Minimizar

∑

i i i

x

c

sujeito a j

LS

x

a

LI

_i i ij j

≤

∑

≤

, para j = 1, 2,..., m

X

x

i i

=

∑

n 1,..., i 0, x_i ≥ =

onde: LIj = limite inferior da qualidade j; LSj = limite superior da qualidade j;

Essa formulação constitui uma estrutura típica de um modelo de misturas em programação linear. Embora existam outras vertentes, inclusive certos modelos não lineares, esse é o que mais se adapta à realidade das siderúrgicas. Na próxima seção é apresentado o modelo do carvão, utilizado ao longo deste trabalho.

4. Estudo de Casos

Conforme descrito em Gandolpho (1996), consideram-se n variáveis (i = 1,..., n) – os carvões,

que devem ser comprados em quantidades não negativas (qi ≥ 0) – e m restrições de qualidade

(respondendo pelo índice j). Cada carvão utilizado possui um custo estimado (ci) e um teor, ou

proporção, de cada qualidade (aij). Como o produto final desta mistura deve estar entre valores

aceitáveis para cada qualidade, são necessárias restrições de qualidade. Estas restrições são

limitadas superiormente por LSj e inferiormente por LIj – intervalos de valores para os quais são

desejadas as diversas qualidades da mistura final.

Para evitar que o modelo escolha como solução mais econômica quantidades nulas, coloca-se uma segunda restrição, denominada restrição de balanço. Como os coeficientes utilizados para os teores são dados em termos percentuais, trabalha-se em uma escala em que as quantidades mínimas são 1t. ou 100t., de modo a se obter resultados mais facilmente interpretáveis.

Note-se que sem estas duas últimas restrições (restrições de qualidade e de balanço) o modelo certamente escolheria como resultado mais econômico quantidades nulas para cada carvão. A partir do exposto acima pode-se montar o seguinte modelo de programação linear:

Minimizar

∑

= = n i i iq c 1 TOTAL CUSTO (9) sujeito a m , j LS q a LI _{j j} n i= ij j 1,2, , 1 Κ = ≤ ≤

∑

Restrições de qualidade (10)

∑

= ≥ n i i D q 1 Restrição de Balanço (11) n , i

qi ≥ 0 =1,2,Κ , Quantidades não negativas

(12)

A linha (9) apresenta o custo total a ser minimizado – a soma ponderada dos custos unitários de cada carvão que compõe a mistura. Em (10) tem-se um somatório das qualidades de cada carvão multiplicadas pela sua quantidade; neste caso desmembra-se a equação em duas, sendo uma parte referente ao atendimento do limite superior e outra ao atendimento do limite inferior de cada qualidade requerida para a mistura. Desta forma, tem-se um total de 2m equações. A restrição de balanço (11) fixa a quantidade mínima a ser produzida desta mistura. Por fim, as equações representadas em (12) correspondem à não negatividade das quantidades de cada carvão.

Para ilustrar o modelo do carvão em uma primeira etapa determinística, dada por valores médios, sem as incertezas típicas do carvão foram observadas quatro propriedades dos carvões para se fazer à mistura do coque: os teores de enxofre, de matéria volátil, de reflectância e de cinza. Com isso, o sistema apresenta as seguintes matrizes.

Matriz dos custos: c=

[

61,35 62,05 60,00 55,13

]

Matriz tecnológica:

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

=

8,23

7,98

15,53

10,88

0,73

0,94

1,2

1,2

28,61

33,77

22,20

23,31

1,42

0,87

0,76

0,45

A

Limites: ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 16,5 1,2 30,8 0,85 LS 8,5 1,1 25,0 0,0 LI

Quantidade total a ser produzida: D = 1

Este problema, resolvido com o software LINDO (Schrage, 1996), apresentou os resultados mostrados na Tabela 2.

Tabela 2 – Resultados da otimização

Variável Valor Custo Reduzido

X1 0,753858 0,000000

X2 0,000000 1,008290

X3 0,074699 0,000000

X4 0,171443 0,000000

Custo Ótimo (4a. interação): 60,18278

5. Modelo de Misturas com Incerteza – Modelo Fuzzy

No seguinte exemplo é considerado um problema de programação linear com a estrutura de um modelo de mistura, conforme apresentado no item anterior. Neste caso, o problema a ser considerado é o mesmo, o que muda é a forma de se resolver, ou seja, a metodologia de resolução do problema.

No caso deste exemplo considera-se que os coeficientes da matriz tecnológica, aij, que

representam os teores de cada carvão, e do vetor de custos, ci, que correspondem aos custos de

cada um dos carvões, possuem incertezas e, por este motivo, são modelados como números fuzzy triangulares simétricos, conforme descrito a seguir.

5.1- Região de Viabilidade

Considere-se o problema exemplo está descrito a seguir: min

c

~

₁

x

₁

+

~

c

₂

x

₂

+

~

c

₃

x

₃

+

c

~

₄

x

₄ sujeito a 0 , 1 ~ ~ ~ ~ 4 3 2 1 4 4 44 3 43 2 42 1 41 3 4 34 3 33 2 32 1 31 2 4 24 3 23 2 22 1 21 1 4 14 3 13 2 12 1 11 ≥ + + + ⊆ + + + ⊆ + + + ⊆ + + + ⊆ + + + x x x x b x ã x ã x ã x ã b x ã x ã x ã x ã b x ã x ã x ã x ã b x ã x ã x ã x ã

Onde os coeficientes são números fuzzy triangulares simétricos, onde o primeiro valor representa o número central e o segundo a faixa de variação.

Custos: 1 ~ c ~c₂

~

c

₃ ~c₄

>

<

61

,

35

;

1

,

0

<

62

,

05

;

1

,

0

>

<

60

,

0

;

1

,

0

>

<

55

,

13

;

1

,

0

>

Qualidades: 1. Enxofre: 11 ~ a a~₁₂

a

~

₁₃ 14 ~ a

>

<

0

,

45

;

0

,

1

<

0

,

76

;

0

,

1

>

<

0

,

87

;

0

,

1

>

<

1

,

42

;

0

,

1

>

2. Volatilidade: 21 ~ a a~22

a

~

23 ~a24

>

<

23

,

31

;

1

<

22

,

2

;

1

>

<

33

,

77

;

1

>

<

28

,

61

;

1

>

3. Reflectância:

31

~

a

a

~

₃₂

a

~

₃₃

~

a

₃₄

>

<

1

,

2

;

0

,

1

<

1

,

2

;

0

,

1

>

<

0

,

94

;

0

,

1

>

<

0

,

73

;

0

,

1

>

4. Cinza: 41 ~ a a~₄₂

~

a

₄₃ a~₄₄

>

<

10

,

88

;

1

<

15

,

53

;

1

>

<

7

,

98

;

1

>

<

8

,

23

;

1

>

Constantes do Lado Direito – Limites aceitáveis de cada qualidade

1. Limite de Enxofre:

b

~

1

=<

0

,

425

;

0

,

425

>

2. Limite de Matéria Volátil:

b

~

₂

=<

27

,

9

;

2

,

9

>

3. Limite de Reflectância: b~3 =<1,15;0,05>

4. Limite de Cinza:

b

~

4

=<

12

,

5

;

4

,

0

>

Levando-se em conta que cada um dos coeficientes das restrições de qualidades são números fuzzy triangulares, como descrito anteriormente, pode-se escrever o seguinte conjunto de equações. ⎩ ⎨ ⎧ ≥ + + + ≤ + + + 0 , 0 41 , 1 77 , 0 66 , 0 35 , 0 85 , 0 43 , 1 97 , 0 86 , 0 55 , 0 4 3 2 1 4 3 2 1 x x x x x x x x ⎩ ⎨ ⎧ ≥ + + + ≤ + + + 0 , 25 61 , 27 77 , 32 20 , 21 41 , 22 8 , 30 61 , 29 77 , 34 20 , 23 41 , 24 4 3 2 1 4 3 2 1 x x x x x x x x ⎩ ⎨ ⎧ ≥ + + + ≤ + + + 10 , 1 63 , 0 84 , 0 10 , 1 10 , 1 20 , 1 83 , 0 04 , 1 30 , 1 30 , 1 4 3 2 1 4 3 2 1 x x x x x x x x ⎩ ⎨ ⎧ ≥ + + + ≤ + + + 5 , 8 23 , 7 98 , 6 53 , 14 88 , 09 5 , 16 23 , 9 98 , 8 53 , 16 88 , 11 4 3 2 1 4 3 2 1 x x x x x x x x x1 + x2 + x3 + x4 ≥ 1,0

7.2- Função Objetivo

Na obtenção da função objetivo, considerando que os seus coeficientes (custo) variam dentro de uma faixa, sendo então modelados como números fuzzy triangulares, foram utilizados os extremos de cada intervalo.

Assim, considerando que cada um dos coeficientes varia dentro de uma determinada faixa, tem-se que a função objetivo de pode tem-ser descrita por:

⎩ ⎨ ⎧ + + + = + + + = 4 3 2 1 sup 4 3 2 1 inf 56,13 61,0 63,05 ,35 2 6 54,13 59,0 61,05 ,35 0 6 x x x x Z x x x x Z

7.3- Modelo Geral

Após simplificações, e colocando a função objetivo junto com as restrições, tem-se o seguinte modelo de programação linear crisp.

Min {62,35x1 + 63,05x2 + 61,0x3+ 56,13x4, 60,35x1 + 61,05x2 + 59,0x3+ 54,13x4} Sujeito a 0,55x1 + 0,86x2 + 0,97x3 + 1,43x4 ≤ 0,85 24,41x1 + 23,2x2 + 34,77x3 + 29,61x4 ≤ 30,8 1,30x1 + 1,30x2 + 1,04x3 + 0,83x4 ≤ 1,2 11,88x1 + 16,53x2 + 8,98x3 + 9,23x4 ≤ 16,5 0,35x1 + 0,66x2 + 0,77x3 + 1,41x4 ≥ 0,0 22,41x1 + 21,2x2 + 32,77x3 + 27,61x4 ≥ 25 1,10x1 + 1,10x2 + 0,84x3 + 0,63x4 ≥ 1,1 9,88x1 + 14,53x2 + 6,98x3 + 7,23x4 ≥ 8,5 1x1 + 1x2 + 1x3 + 1x4 ≥ 1

7.4- Resultados

De acordo com a seção 4.3, o modelo apresentado é composto de duas funções objetivos, que utilizadas para a determinação da faixa de valores possíveis para os valores das variáveis e do valor da função objetivo. Os dois modelos foram descritos no software LINDO, sendo obtidos os resultados dispostos na Tabela 3.

Tabela 3 – Resultados da Otimização

Variável Menor Valor Maior Valor

FO 58,4411 62,19715

x1 0,698652 0,247062

x2 0,00 0,421163

x3 0,198254 0,266353

x4 0,103093 0,065422

Analisando a Tabela 3 é possível fazer as seguintes observações:

• é importante salientar que os valores apresentados nas colunas “Menor Valor” e “Maior

Valor” correspondem ao menor e maior valor para o valor da função objetivo. Os valores para cada variável de decisão representam apenas o valor no ponto ótimo;

• a incerteza tornou o carvão x1 mais atraente, ou seja, mais utilizado;

• o valor da função objetivo encontrados na Tabela 2 encontram-se coerentes com os descritos

na Tabela 3, sendo que estes últimos apresentam uma faixa abrangente, ressaltando a capacidade da metodologia em determinar uma região de factibilidade quando são tratadas as incertezas;

Além da questão das incertezas mencionadas acima, uma simples comparação entre os resultados obtidos com o modelo determinístico e aqueles obtidos com a incorporação de ambiguidades não tem maior significado em termos de vantagens de um procedimento sobre o outro, pois parte-se de premissas distintas. No entanto, com base nas Tabelas 2 e 3, é possível efetuar algumas observações relevantes:

• a incerteza tornou o carvão x4 menos utilizado, sendo substituído pelos carvões x1 e x3;

• a introdução de incertezas provocou um acréscimo no valor final da função objetivo, pois o

carvão mais barato, x4, foi substituídos por dois carvões mais caros, x1 e x3;

• os resultados apresentados expressam a reação do modelo à introdução de incertezas, tanto

em termos de uma piora no valor da função objetivo como no aumento no número de iterações necessárias para se obter uma solução factível.

6. Conclusões

A aplicação do ferramental derivado dos conceitos de conjuntos fuzzy e de grau de pertinência para a modelagem de informações imprecisas permite a resolução de problemas que normalmente não podem ser tratados pela programação matemática tradicional. Neste trabalho foi desenvolvida uma metodologia para a resolução de problemas de programação linear fuzzy. O método procura encontrar uma faixa de valores possíveis para a solução ótima. Para isso, é determinada a região factível e, em seguida, calculados a faixa de valores ótimos.

Para demostrar o uso desta metodologia foi feita a aplicação direta da programação linear fuzzy a um problema de mistura de carvões para obtenção do coque para siderúrgicas. Esse problema foi inicialmente tratado no âmbito da programação linear tradicional; em seguida foi resolvido no âmbito da programação linear fuzzy, que permite levar em conta imprecisões nos coeficientes. Diferentemente do simples uso de intervalos para representar as faixas de variação dos coeficientes, a teoria dos conjuntos fuzzy disponibiliza uma forma de quantificar a possibilidade de cada valor estar dentro de seu intervalo de variação.

A utilização do modelo fuzzy e do conceito de factibilidade permite introduzir uma maior flexibilidade a casos reais, abrangendo tanto o problema determinístico como problemas com diferentes graus de certeza quanto aos coeficientes das variáveis.

Embora o estudo de caso apresentado tenha se baseado num exemplo de pequeno porte, a metodologia fuzzy pode ser utilizada em termos práticos, não sendo grande o esforço computacional adicional.

Referências Bibliográficas

(1) Bazaraa, M. S., J. J. Jarvis, et al. (1990). Linear Programming and Network Flows. USA, John Wiley & Sons, INC.

(2) Buckley, J. J. (1995). Joint Solution to Fuzzy Programming Problems. Fuzzy Sets and Systems. 72: 215-220.

(3) Dantzig, George B. (1963). Linear Programming and Extensions. Princeton University Press, New Jersey.

(4) Dubois, D. & Prade, H. (1980). Fuzzy Sets and Systems: Theory and Applications. Academic Press, New York.

(5) Ekel, P.Y..(1999). Approach to Decision Making in Fuzzy Environment. Computers and Mathematics Applications. 37: 59-71.

(6) Ekel, P.Y..(2001). Methods of Decision Making in Fuzzy Environment and Their

(7) Gandolpho, A. A. (1996). Interpretação econômica de modelos para compra de carvões em siderúrgicas. Tese de Mestrado, Departamento de Engenharia Industrial, PUC-Rio, Rio de Janeiro.

(8) Inuiguchi, M. (1997). Fuzzy linear programming: what, why and how? Tatra Mountains Mathematical Publications, 13, 123-167.

(9) Inuiguchi, M. & Ramik, J. (1998). Possibilistic linear programming: a brief review of fuzzy mathematical programming and a comparison with stochastic programming in portfolio selection problem, Fuzzy Sets & Systems, 111, 3-28

(10) Schrage, L. (1996). LINDO Systems, Inc. User's Manual, LINDO Systems Inc., Chicago. (11) Yazaki, H. (1991). Planejamento e programação de suprimento de carvões em uma usina

siderúrgica a coque. Tese de Mestrado, Departamento de Engenharia Industrial, PUC-Rio, Rio de Janeiro.

(12) Zadeh, L. A. (1978). Fuzzy sets as a basis for a theory of possibility. Fuzzy Sets and Systems, 1:3-28