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Cones com outras figuras geométricas
1. (Ufmg 2013) Um cone circular reto de raio r 3 e altura h2 3 é iluminado pelo sol a um ângulo de 45°, como ilustrado a seguir.
A sombra projetada pelo cone é delimitada pelos segmentos PA e PB, tangentes ao círculo da base do cone nos pontos A e B, respectivamente.
Com base nessas informações,
a) DETERMINE a distância de P ao centro O do círculo. b) DETERMINE o ângulo AOB.ˆ
c) DETERMINE a área da sombra projetada pelo cone.
2. (Ufg 2013) Um cone circular reto de madeira, homogêneo, com 20 cm de altura e 20 cm de diâmetro da base, flutua livremente na água parada em um recipiente, de maneira que o eixo do cone fica vertical e o vértice aponta para baixo, como representado na figura a seguir.
Denotando-se por h a profundidade do vértice do cone, relativa à superfície da água, por r o raio do círculo formado pelo contato da superfície da água com o cone e sabendo-se que as densidades da água e da madeira são 1,0 g/cm3 e 0,6 g/cm3, respectivamente, os valores de r e h, em centímetros, são, aproximadamente:
www.nsaulasparticulares.com.br Página 2 de 14 Dados: 331,44, 351,71. a) 5,8 e 11,6 b) 8,2 e 18,0 c) 8,4 e 16,8 d) 8,9 e 15,0 e) 9,0 e 18,0
3. (Ufpr 2012) Num laboratório há dois tipos de recipientes, conforme a figura abaixo. O primeiro, chamado de “tubo de ensaio”, possui internamente o formato de um cilindro circular reto e fundo semiesférico. O segundo, chamado de “cone de Imhoff”, possui internamente o formato de um cone circular reto.
a) Sabendo que o volume de um cone de Imhoff, com raio da base igual a 2 cm, é de 60 ml, calcule a altura h desse cone.
b) Calcule o volume (em mililitros) do tubo de ensaio com raio da base medindo 1 cm e que possui a mesma altura h do cone de Imhoff.
4. (Unicamp 2012) Um brilhante é um diamante com uma lapidação particular, que torna essa gema a mais apreciada dentre todas as pedras preciosas.
a) Em gemologia, um quilate é uma medida de massa, que corresponde a 200 mg. Considerando que a massa específica do diamante é de aproximadamente 3,5 g/cm3, determine o volume de um brilhante com 0,7 quilate.
b) A figura abaixo apresenta a seção transversal de um brilhante. Como é muito difícil calcular o volume exato da pedra lapidada, podemos aproximá-lo pela soma do volume de um tronco de cone (parte superior) com o de um cone (parte inferior). Determine, nesse caso, o volume aproximado do brilhante.
Dica: o volume de um tronco de cone pode ser obtido empregando-se a fórmula
2 2
V h (R Rr r )
3 π
www.nsaulasparticulares.com.br Página 3 de 14 5. (Uern 2012) A figura representa um sorvete de casquinha, no qual todo o volume interno está preenchido por sorvete e a parte externa apresenta um volume de meia bola de sorvete.
Considerando que o cone tem 12 cm de altura e raio 6 cm, então o volume total de sorvete é a) 216πcm .3
b) 360πcm .3 c) 288πcm .3 d) 264πcm .3
6. (Unicamp 2011) Depois de encher de areia um molde cilíndrico, uma criança virou-o sobre uma superfície horizontal. Após a retirada do molde, a areia escorreu, formando um cone cuja base tinha raio igual ao dobro do raio da base do cilindro.
A altura do cone formado pela areia era igual a a) 3 4da altura do cilindro. b) 1 2da altura do cilindro. c) 2 3da altura do cilindro. d) 1 3da altura do cilindro.
www.nsaulasparticulares.com.br Página 4 de 14 7. (Ufpb 2011) A prefeitura de certo município realizou um processo de licitação para a
construção de 100 cisternas de placas de cimento para famílias da zona rural do município. Esse sistema de armazenamento de água é muito simples, de baixo custo e não poluente. A empreiteira vencedora estipulou o preço de 40 reais por m2 construído, tomando por base a área externa da cisterna. O modelo de cisterna pedido no processo tem a forma de um cilindro com uma cobertura em forma de cone, conforme a figura abaixo.
Considerando que a construção da base das cisternas deve estar incluída nos custos, é correto afirmar que o valor, em reais, a ser gasto pela prefeitura na construção das 100 cisternas será, no máximo, de: Use:π= 3,14 a) 100.960 b) 125.600 c) 140.880 d) 202.888 e) 213.520
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:
Os sólidos de revolução são gerados pela rotação completa de uma figura plana em torno de um eixo. Por exemplo, rotacionando um quadrado em torno de um eixo que passa por um de seus lados obtemos um cilindro circular reto, como mostra a figura.
www.nsaulasparticulares.com.br Página 5 de 14 8. (Insper 2011) Considere o sólido gerado pela rotação completa do triângulo acutângulo
ABC, de área S, em torno de um eixo que passa pelo lado BC, que tem comprimento .
O volume desse sólido é igual a a) 2 4 S . 3 π b) 2 2 S . 3 π c) 4 S . 3 π d) 2 S . 3 π e) S . 3 π
9. (Ufpr 2010) A parte superior de uma taça tem o formato de um cone, com as
dimensões indicadas na figura.
a) Qual o volume de líquido que essa taça comporta quando está completamente cheia? b) Obtenha uma expressão para o volume V de líquido nessa taça, em função da altura x
www.nsaulasparticulares.com.br Página 6 de 14 10. (Enem 2010) Em um casamento, os donos da festa serviam champanhe aos seus
convidados em taças com formato de um hemisfério (Figura 1), porém um acidente na cozinha culminou na quebra de grande parte desses recipientes.
Para substituir as taças quebradas, utilizou-se um outro tipo com formato de cone (Figura 2). No entanto, os noivos solicitaram que o volume de champanhe nos dois tipos de taças fosse igual.
Considere: esfera 3 cone 2
4 1
V R e V R h
3 3
Sabendo que a taça com o formato de hemisfério e servida completamente cheia, a altura do volume de champanhe que deve ser colocado na outra taça, em centímetros, é de
a) 1,33. b) 6,00. c) 12,00. d) 56,52. e) 113,04.
11. (Enem cancelado 2009) Um vasilhame na forma de um cilindro circular reto de raio da base de 5 cm e altura de 30 cm está parcialmente ocupado por 625cm3 de álcool. Suponha que sobre o vasilhame seja fixado um funil na forma de um cone circular reto de raio da base de 5 cm e altura de 6 cm, conforme ilustra a figura 1. O conjunto, como mostra a figura 2, é virado para baixo, sendo H a distância da superfície do álcool até o fundo do vasilhame. Volume do cone: Vcone =
2 r h 3
Considerando-se essas informações, qual é o valor da distância H? a) 5 cm.
b) 7 cm. c) 8 cm. d) 12 cm. e) 18 cm.
www.nsaulasparticulares.com.br Página 7 de 14 12. (Pucrs 2007) O raio da base de um cone circular reto e a aresta da base de uma pirâmide quadrangular regular têm mesma medida. Sabendo que suas alturas medem 4 cm, então a razão entre o volume do cone e o da pirâmide é
a) 1 b) 4 c) 1/π d) π e) 3π
13. (Pucrs 2004) A figura a seguir mostra um cone inscrito num cilindro. Ambos têm raio da base x e altura 2x. Retirando-se o cone do cilindro, o volume do sólido resultante é
a) 3 2 x 3 π b) 3 4 x 3 π c) 3 8 x 3 π d) 2 2 x 3 π e) 2 8 x 3 π
14. (Unesp 2004) Um recipiente, na forma de um cilindro circular reto de raio R e altura 32 cm, está até à metade com água (figura 1). Outro recipiente, na forma de um cone circular reto, contém uma substância química que forma um cone de altura 27 cm e raio r (figura 2).
a) Sabendo que R = 3 2
r, determine o volume da água no cilindro e o volume da substância química no cone, em função de r. (Para facilitar os cálculos, use a aproximação ð = 3.) b) A substância química do cone é despejada no cilindro, formando uma mistura homogênea (figura 3). Determine a concentração (porcentagem) da substância química na mistura e a altura h atingida pela mistura no cilindro.
15. (Ufmg 2004) Um cone é construído de forma que:
- sua base é um círculo inscrito em uma face de um cubo de lado a; e
- seu vértice coincide com um dos vértices do cubo localizado na face oposta àquela em que se encontra a sua base. Dessa maneira, o volume do cone é de
a) πa3 /6. b) πa3 /12. c) πa3 /9. d) πa3 /3.
www.nsaulasparticulares.com.br Página 8 de 14 16. (Mackenzie 2003) No sólido da figura, ABCD é um quadrado de lado 2 e AE = BE = 10. O volume desse sólido é:
a) 5 2 π b) 4 3 π c) 4π d) 5π e) 3π
17. (Ufscar 2003) A figura representa um galheteiro para a colocação de azeite e vinagre em compartimentos diferentes, sendo um cone no interior de um cilindro.
Considerando h como a altura máxima de líquido que o galheteiro comporta e a razão entre a capacidade total de azeite e vinagre igual a 5, o valor de h é
a) 7 cm b) 8 cm c) 10 cm d) 12 cm e) 15 cm
18. (Ufsm 2003) A área da superfície de uma esfera e a área total de um cone circular reto são iguais. Se o raio da base do cone mede 4 cm e o volume do cone é 16ð cm3, o raio da esfera é dado por a)
3
cm b) 2 cm c) 3 cm d) 4 cm e) 4+2
cmwww.nsaulasparticulares.com.br Página 9 de 14 19. (Uerj 2002) Admita uma esfera com raio igual a 2 m, cujo centro O dista 4 m de um
determinado ponto P.
Tomando-se P como vértice, construímos um cone tangente a essa esfera, como mostra a figura.
Calcule, em relação ao cone: a) seu volume;
b) sua área lateral.
20. (Mackenzie 2001) Um prisma e um cone retos têm bases de mesma área. Se a altura do prisma é 2/3 da altura do cone, a razão entre o volume do prisma e o volume do cone é: a) 2
b) 3/2 c) 3 d) 5/3 e) 5/2
www.nsaulasparticulares.com.br Página 10 de 14 Gabarito:
Resposta da questão 1:
a) O ΔPOT é isósceles, pois PO = OT, logo PO = 2 3 (figura 1)
b) No ΔPOA (figura 2), temos:
3 1
cos 60 AÔB 2 120
2 2 3
α α α c) Sendo A = área da sombra do cone, temos:
setor
2 A A PAOB A 120 1 3 A 2 3 2 3 sen60 3 3 2 3 π π Resposta da questão 2: [C]Trabalhando com a proporção entre os volumes do cone menor e do cone maior, temos:
3 3 3 3 h r 0,6 h r 3 h r 1,44 h 16,8 20 10 1,0 20 10 5 20 10 1,71 e r = 8,4 Resposta da questão 3:
a) Cálculo de volume de cone:
2 2 cone 1 1 180 45 V r h 60 (2) h h h cm 3π 3π 4π π
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2 3 tubo 2 3 tubo tubo tubo 1 4 V r (h r) r 2 3 45 1 4 V (1) 1 (1) 2 3 2 V 45 3 135 V ml 3 π π π π π π π π Resposta da questão 4: a) 0,7.0,2 0,04. 3,5 b) Volume do tronco:VT 0,6 (12 1.2 2 )2 1,4 . 3 π π Volume do cone: 2 c .2 .1,8 V 2,4 . 3 π π Volume total: 1,4π2,4π3,8 .π Resposta da questão 5: [C]O volume total de sorvete é dado pela soma do volume da semiesfera de raio 6 cm com o volume da casquinha, ou seja,
3 2 3 2 1 6 6 12 144 144 3 3 288 cm . π π π π π Resposta da questão 6: [A]
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2 2 2 2
con con cil cil con cil
con cil 1 1 r h r h (2R) h R h 3 3 3 h h . 4 Resposta da questão 7: [E]
Área de uma cisterna = Área da sup. lateral do cone + área da superfície lateral do cilindro + área do círculo.
Área da Cisterna = .2.2,5 + 2. .2.2 + .22 Área da cisterna = 17.m2
Área de 100 cisternas 1700.m2
Valor das cisternas 40.1700.3,14 = 213.520 reais.
Resposta da questão 8:
[A]
Uma rotação completa do triângulo ABC em torno da reta suporte do lado BC gera o sólido abaixo, constituído de dois cones.
Como a área do triângulo do triângulo ABC é S, segue que
r 2S
(ABC) S r .
2
www.nsaulasparticulares.com.br Página 13 de 14 2 2 2 2 2 2 1 1 1 r x r ( x) r (x x) 3 3 3 1 r 3 1 2S 3 4 S . 3 Resposta da questão 9: a) 2 12 16 3 1 2 r V b) 108 12 16 3 3 x V x V líquido líquido Resposta da questão 10: [B] 3 2 2 1 . .3 .3 .h 3h 18 h 6cm 3 3 Resposta da questão 11: [B] Volume do cone = 2 3 .5 .6 50 cm 3
Volume do líquido do cilindro da figura 2 = 625 - 50 = 575 Altura do líquido do cilindro da figura 2.
.52.h = 575 h = 23 cm.
Na figura 2, temos: H = 30 – h logo H = 7 cm
Resposta da questão 12:
[D]
Resposta da questão 13:
[B]
Resposta da questão 14:
a) volume da água no cilindro: 108r2 cm3; volume da substância química na mistura:
2 3 27r cm b) 20% ; h = 20 cm Resposta da questão 15: [B] Resposta da questão 16: [E] Resposta da questão 17: [C]
www.nsaulasparticulares.com.br Página 14 de 14 Resposta da questão 18: [C] Resposta da questão 19: a) 3π m3 b) 6π m2 Resposta da questão 20: [A]
