Programação Linear/Inteira

(1)

Unidade de Matemática e Tecnologia - RC/UFG

Programação Linear/Inteira

Prof. Thiago Alves de Queiroz

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Otimização Discreta

A característica de otimização discreta (ou combinatória) é que algumas variáveis pertencem a um conjunto discreto;

Geralmente é um subconjunto dos inteiros;

Algumas aplicações surgem em áreas de: energia, transporte, telecomunicações, biologia molecular, medicina, aviação, finanças, planejamento da produção, etc.;

Um problema com variáveis inteiras e reais é denominado

problema de programação (linear) inteira mista - PIM quando tem a forma: Maximizar z =cx + dy sujeito a : Ax + Dy ≤ b x ∈ Rn +,y ∈ Z p +. (1)

(3)

Quando todas as variáveis são inteiras, tem-se um problema de programação (linear) inteira - PI:

Maximizar z =cx sujeito a : Ax ≤ b x ∈ Zn +. (2)

Se todas as variáveis assumem valores 0 ou 1, tem-se um problema de programação 0-1 ou binária - PB:

Maximizar z =cx sujeito a : Ax ≤ b x ∈ Bn_. (3)

Em que Bnrepresenta o espaço dos vetores com n componentes

(4)

Um outro tipo é o problema de otimização combinatória - OC, definido como:

I É dado um conjunto finito N = 1, . . . , n;

I _{É dado um conjunto de peso c}_j _{para cada j ∈ N;} I _{É dado uma família F de subconjuntos factíveis de N;} I _{O objetivo é achar o subconjunto de peso mínimo de F :}

minnP

j∈Scj, tal que S ∈ F o

.

Problemas de OC podem ser escritos como problemas de PI ou PB;

Problemas de programação inteira e combinatória são resolvidos por:

I _{Métodos ótimos (exatos): que fornecem a solução ótima;}

I _{Algoritmos aproximados: que garantem a distância máxima entre o}

(5)

Exemplo de PIM

Problema de Programação Inteira Mista:

maximizar z = 10x1+6x2 sujeito a :    9x1+5x2≤ 45 −4x1+5x2≤ 5 x1∈ R1 +,x2∈ Z+1. (4)

A solução ótima é: (x1,x2) = (313,3), com z = 51 1 3.

(6)

Exemplo de PI

Problema de Programação Inteira:

maximizar z = 10x1+6x2 sujeito a :    9x1+5x2≤ 45 −4x1+5x2≤ 5 x1∈ Z1 +,x2∈ Z+1. (5)

(7)

Exemplo de PB

Problema de Programação Binária:

maximizar z = 2x1+3x2 sujeito a :    6x1+8x2≤ 10 −4x1+5x2≤ 5 x1∈ {0, 1}, x2∈ {0, 1}. (6)

O conjunto de solução factíveis é dado por todas as combinações de valores (0 e 1) para as variáveis do problema;

No exemplo, tem-se: X = {(0, 0), (1, 0), (0, 1), (0, 1)};

Note que a solução ótima ocorre para (x1,x2) = (0, 1), com valor

(8)

Relaxação Linear

Considere o problema de programação inteira (PI) abaixo:

(PI) maximizar z = 10x1+6x2 sujeito a :    9x1+5x2≤ 45 −4x1+5x2≤ 5 x1∈ Z+1,x2∈ Z+1. (7)

A relaxação linear deste problema é o problema de programação linear (PL) quando a condição de integralidade é relaxada

(substituída por não-negatividade ou variável livre), ou seja:

(PL) maximizar z = 10x1+6x2 sujeito a :    9x1+5x2≤ 45 −4x1+5x2≤ 5 x1≥ 0, x2≥ 0. (8)

(9)

A solução ótima do PI foi dada por x = (x1,x2) = (5, 0), com

z = 50;

Observe o conjunto de soluções factíveis do problema PL, com solução: x = (3₁₃1,3₁₃6), com z = 51₁₃7;

(10)

Note que a diferença é satisfatória, com diferença percentual (erro) de 51

7 13−50

51₁₃7 =0, 029 ou 2, 9%;

Uma técnica utilizada consiste em arredondar a solução do PL; Considere a solução do PL arredondada, isto é,

x = (3₁₃1,3₁₃6) → (3, 3), com z = 48;

A diferença percentual (erro) com relação a solução ótima do PI é: 50−48

50 =0, 04 ou 4, 0%, que é bem pior do que no caso anterior;

Logo, a estratégia de arredondamento da solução ótima do problema relaxado de PL pode não ser satisfatória;

Além disso, há o risco da solução arredondada não satisfazer as restrições do problema de PI original.

(11)

A relaxação linear é um conceito-chave para métodos de resolução de PI e PIM;

Considere XPI,XPIM,XPLos conjuntos soluções factíveis de PI,

PIM e PL, respectivamente;

Como Z₊n ⊂ RN

+, segue que: XPI ⊂ XPLe XPIM ⊂ XPL; Com isso, o valor z da solução ótima de PL é um limitante superior para o valor de z da solução ótima de PI e PIM, dado problemas de maximização;

Em problemas de minimização, o valor z da solução ótima de PL é um limitante inferior para o valor de z da solução ótima de PI e PIM;

A relaxação linear em problemas de programação binária ocorre trocando x ∈ {0, 1} por 0 ≤ x ≤ 1.

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Modelagem com Variáveis Binárias

Um grande número de problemas em otimização discreta envolve a ocorrência ou não de um evento;

Ou seja, a decisão entre duas alternativas, sendo modelada por uma variável binária x:

x =

1, se o evento ocorre 0, se o evento nao ocorre

Alguns casos com esse tipo de decisão e como representá-los matematicamente são vistos adiante;

(13)

Implicações “se-então”

A ocorrência de um evento implica a ocorrência de outro evento; Considere a situação em que, se o produto 1 é fabricado, então o produto 2 também deve ser fabricado:

x1= quantidade produzida do item 1

x2= quantidade produzida do item 2

Seja y uma variável binária tal que: y =

1, se x1>0 0, caso contrario

A situação é expressa pela desigualdade:

x1≤ My , em que M é um limitante superior da produção do item

1;

Deseja-se expressar que: y = 1 implica x2>0, ou seja:

x2≥ my , em que m é um limitante inferior para a quantidade de

(14)

Implicações “se-então”

Outra situação envolve: impor que a desigualdade f (x1,x2, . . . ,xn) >0 implica que a desigualdade g(x1,x2, . . . ,xn) ≥0 é verdadeira;

Então, considere uma variável binária y e um número muito grande M, tal que:

f ≤ M e −g ≤ M, para todo valor de x1,x2, . . . ,xn; A implicação é expressa pelas restrições:

−g(x1,x2, . . . ,xn) ≤My f (x1,x2, . . . ,xn) ≤M(1 − y ).

Note que: se f > 0, então y = 0, que resulta em −g ≤ 0, ou seja, g ≥ 0.

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Exemplo

Suponha que quatro itens podem ser produzidos em uma máquina k . Se o item 1 é produzido em k , então os outros itens, 2, 3 e 4, não podem ser processados em k . Represente esta situação.

1. Defina as variáveis: xik =

1, se o item i e processado na maquina k 0, caso contrario

2. Veja a relação de implicação: Se x1k =1, então

x2k =x3k =x4k =0;

Pelo fato das variáveis serem binárias, segue-se que: se x1k >0,

então x2k+x3k+x4k ≤ 0, ou −x2k− x3k− x4k ≥ 0;

Observando a situação anterior, veja que se pode chamar: f (x1k) =x1k >0, que implica em:

(16)

Exemplo

Com isso, definindo a variável binária y e seja M um número muito grande, segue:

x2k+x3k+x4k ≤ My x1k ≤ M(1 − y );

Note que se pode usar M = 3, pois este é o valor máximo

assumido pela soma x2k+x3k+x4k;

Então:

x2k+x3k+x4k ≤ 3y x1k ≤ 3(1 − y ).

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Restrição (des)ativada

Seja a desigualdade: f (x1,x2, . . . ,xn) ≤0;

Quer-se ativar ou desativar esta desigualdade de acordo com o valor de uma variável binária;

Então, defina a variável binária y , tal que y = 1 implica que a desigualdade está ativada. Isso pode ser escrito como: f (x1,x2, . . . ,xn) ≤M(1 − y ), em que M é um número muito grande;

Note que, se y = 0, então a restrição é desativada, isto é, f (x1,x2, . . . ,xn)pode assumir qualquer valor até seu limite superior M.

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Restrições disjuntivas

Considere as desigualdades: f (x1,x2, . . . ,xn) ≤0 (1) g(x1,x2, . . . ,xn) ≤0 (2);

Deseja-se que somente uma das desigualdades esteja ativada; Então, deve-se definir uma variável binária y tal que:

I _{y = 1, então somente (1) é ativada;} I _{y = 0, então somente (2) é ativada.}

Por fim, seja um número muito grande M de forma que representa-se esta situação por:

f (x1,x2, . . . ,xn) ≤M(1 − y ) g(x1,x2, . . . ,xn) ≤My .

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Exemplo

Considere as restrições 4x1+2x2≤ 80 e 2x1+5x2≤ 100, com

x1,x2≥ 0;

O acréscimo de um número muito grande M no lado direito das restrições faz com a restrição desativada seja transladada paralelamente no quadrante superior direito do plano;

Assim, a reta 4x1+2x2=80 é transladada até 4x1+2x2=200;

A reta 2x1+5x2=100 é transladada até 2x1+5x2=200;

Qual o menor valor de M ? Represente a disjunção entre as desigualdades.

1. Para descobrir o menor valor de M, compare o lado direito das desigualdades originais com as desigualdades transladadas; Segue da desigualdade 1 que a diferença no lado direito é 120 e da segunda desigualdade é 100.

(20)

Exemplo

Deve-se pegar o valor que satisfaz ambas as restrições, no sentido de transladar, ou seja, M = max{120, 100}, que resulta em M = 120;

Um valor pequeno para M (o mais justo) é desejável para acelerar os métodos de resolução de problemas de programação inteira; 2. Para representar a disjunção, considere uma variável binária y e o valor de M (definido no passo anterior);

Então, a representação matemática da disjunção é dada por:

4x1+2x2≤ 80 + 120(1 − y )

2x1+5x2≤ 100 + 120y ;

Exemplos de restrições ativadas ou desativadas e restrições disjuntivas ocorrem em problemas de programação de tarefas em máquinas.

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Representação de função linear por partes

São importantes porque podem representar o custo de expansão ou aproximar uma função não-linear;

Considere a função f (x ) = f1(x ) + f2(x ) + f3(x ) apresentada abaixo:

(22)

As funções f1(x ), f2(x ), f3(x ) são lineares, sendo especificadas pelos pontos: (0,0); (2, 10); (6, 14) e (10,22);

Qualquer x , tal que 0 ≤ x ≤ 10 pode ser escrito como:

x = 0λ1+2λ2+6λ3+10λ4, com a restrição:

λ1+ λ2+ λ3+ λ4=1, com λ1, λ2, λ3, λ4≥ 0. Segue que:

f (x ) = 0λ1+10λ2+14λ3+22λ4, com a restrição: λ1+ λ2+ λ3+ λ4=1, com λ1, λ2, λ3, λ4≥ 0,

se no máximo dois valores λi e λi+1,i = 1, 2, 3 forem positivos;

Essa condição pode ser modelada por meio de variáveis binárias:

I _y_i =1, se ai ≤ x ≤ ai+1;

(23)

Para o caso em particular, considere: a1=0, a2=2, a3=6, a4=10; Também as restrições: λ1≤ y1, λ2≤ y1+y2, λ3≤ y2+y3, λ4≤ y3, y1+y2+y3=1.

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Relações lógicas

Variáveis binárias são usadas para relações lógicas;

Suponha que existam cinco tipos de investimento financeiro e

seja xj a variável binária de decisão tal que:

xj =

1, se o investimento j ocorre 0, caso contrario

Algumas situações que podem aparecer:

I _{No máximo três investimentos são selecionados:}

x1+x2+x3+x4+x5≤ 3

I _{Exatamente um investimento é selecionado:}

x1+x2+x3+x4+x5=1

I O investimento 1 ou o investimento 2 é selecionado:

x1+x2≥ 1

I _{Se o investimento 2 é selecionado, então o investimento 1 também}

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Algumas situações que podem aparecer:

I _{Se os investimentos 2, 3 e 4 são selecionados, então o}

investimento 1 é selecionado: x1+x2+x3≤ 3x1, ou de forma equivalente:    x2≤ x1 x3≤ x1 x4≤ x1

Ambas as representações acima são equivalentes na

programação inteira, mas não são equivalentes na programação linear (variáveis reais). Sejam os conjuntos:

XB = soluções binárias que satisfazem uma ou outra restrição,

X1= {x2+x3+x4≤ 3x1,0 ≤ xi ≤ 1, i = 1, 2, 3, 4}, X2= {x2≤ x1,x3≤ x1,x4≤ x1,0 ≤ xi ≤ 1, i = 1, 2, 3, 4}.

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Note que os XB ⊂ X2⊂ X1;

Por exemplo, os valores x2= 12, x3=x4= 14 e x1= 13 satisfazem X1, mas não satisfazem X2;

O método mais usado para resolver programação inteira é o branch-and-bound e faz uso da programação linear;

Neste caso, quanto menor o conjunto de soluções factíveis da programação linear, estima-se que menor é o esforço

computacional para achar a solução ótima inteira;

(27)

Representação de valores discretos

Considere um problema em que uma variável x só pode assumir um valores do conjunto discreto {4, 6, 8, 12, 20, 24};

Para representar essa condição, defina variáveis binárias yi,i = 1, . . . , 6;

Adicione as seguintes restrições:

x = 4y1+6y2+8y3+12y4+20y5+24y6, y1+y2+y3+y4+y5+y6=1.

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Formulação de problemas clássicos

Adiante será apresentado modelos de programação inteira para diversos problemas clássicos e importantes;

Vale destacar que existem linguagens algébricas como GAMS, AMPL, MPL, AIMMS, OPL, MOSEL, LINGO:

I _{Permitem o usuário escrever modelos genéricos de otimização}

linear e discreta;

I _{Tais modelos usam um formato parecido com a notação algébrica.}

Outra ferramenta computacional muito usada é a planilha Excel, que contém um resolvedor para lidar com problemas

relativamente pequenos;

O Excel não gera um modelo genérico como as linguagens algébricas.

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Problemas da Mochila

Envolvem a escolha de itens a serem colocados em uma ou mais mochilas de forma a maximizar o objetivo;

Algumas versões:

I _{Mochila 0-1: selecionar n projetos, dado um capital b para}

investimento. O projeto j tem custo aj e um retorno esperado pj. Deseja-se selecionar os projetos que maximizem o retorno total esperado sem ultrapassar o limite de capital;

I Mochila inteira: similar a mochila 0-1, porém se pode investir

diversas vezes no mesmo projeto;

I Múltiplas mochilas: existem n itens que devem ser colocados e m

mochilas de capacidade distintas bi. Cada item tem lucratividade pj e peso wj. Deseja-se selecionar m subconjuntos distintos de itens, tal que cada subconjunto ocupe uma capacidade de no máximo bi e o lucro total seja maximizado.

I _{Empacotamento em mochilas: deseja-se determinar o número}

mínimo de mochilas de mesma capacidade b que empacotem n itens de peso wj.

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Problemas da Mochila

Exemplo. Uma empresa deseja investir um capital de b = 100 milhões, considerando 8 projetos disponíveis. O lucro esperado de cada projeto está na matriz p, e o custo necessário para a execução do projeto na matriz a. Determine o modelo que permita selecionar um subconjunto de projetos que maximize o lucro total respeitando o limite de capital.

p = [pj] =41 33 14 25 32 32 9 19

a = [aj] =47 40 17 27 34 23 5 44

(i) Definir as variáveis de decisão: xj =

1, se o projeto j e escolhido 0, caso contrario

Para os projetos j = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8;

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Resolução... Maximizar z =

41x1+33x2+14x3+25x4+32x5+32x6+9x7+19x8; (iii) Existe uma restrição com relação ao limite de capital disponível;

P8

j=1ajxj ≤ b; Capital b = 100:

47x1+40x2+17x3+27x4+34x5+23x6+5x7+44x8≤ 100;

(iii) Existem restrições com relação ao domínio das variáveis; xj ∈ {0, 1}, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Maximizar z = 41x1+33x2+14x3+25x4+32x5+32x6+9x7+19x8 sujeito a :    47x1+40x2+17x3+27x4+34x5+23x6+ +5x7+44x8≤ 100 xj ∈ {0, 1}, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. (9)

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Problemas de Corte

Em diversos processos industriais, itens são produzidos a partir do corte de peças maiores;

Essas peças podem ter uma, duas ou três dimensões relevantes como o:

I _{comprimento: barras de aço, bobinas de papel, rolos de filme;} I _{comprimento e largura: placas de madeira, tecido, chapas de aço;} I _{comprimento, largura e altura: blocos de matéria-prima para}

colchões;

Alguns casos:

I _{Corte unidimensional: consiste em cortar barras disponíveis de}

tamanho L, para a produção de m tipos de itens com tamanhos l1,l2, . . . ,lme demandas b1,b2, . . . ,lm. Deseja-se minimizar o número de barras usadas para o corte;

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Problemas de Corte

Exemplo. Uma empresa deseja cortar tubos de tamanho L = 11

em m = 4 itens menores com comprimento: l1=2, l2=3, l3=4,

l4=5 e, respectivas demandas: b1=3, b2=3, b3=2, b4=2.

Determine o modelo que minimiza o número de tubos usados no corte, sabendo que existem 5 tubos disponíveis. Deve-se cortar pelo menos a demanda requisitada de cada item e respeitar o comprimento total da tubo durante o corte.

(i) Definir as variáveis de decisão: yi =

1, se a tubo i e cortado 0, caso contrario

xij = número de vezes que o item j é cortado no tubo i;

Para as barras i = 1, 2, 3, 4, 5 e os itens j = 1, 2, 3, 4; (ii) A função objetivo busca minimizar o número de barras cortadas;

Minimizar z =P5_i=1yi;

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Resolução...

(iii) Existem restrições que dizem que a demanda de cada item deve ser atendida;

P5 i=1xij ≥ bj, j = 1, 2, 3, 4; Item j=1: x11+x21+x31+x41+x51 ≥ 3; Item j=2: x12+x22+x32+x42+x52 ≥ 3; Item j=3: x13+x23+x33+x43+x53 ≥ 2; Item j=4: x14+x24+x34+x44+x54 ≥ 2;

(iii) Existem restrições que dizem que se a barra i for cortada, então se deve respeitar seu comprimento L = 11;

P4

j=1ljxij ≤ Lyi, i = 1, 2, 3, 4, 5;

Barra i=1: 2x11+3x12+4x13+5x14 ≤ 11y1; Barra i=2: 2x21+3x22+4x23+5x24 ≤ 11y2;

(35)

Resolução...

Barra i=4: 2x41+3x42+4x43+5x44 ≤ 11y4; Barra i=5: 2x51+3x52+4x53+5x54 ≤ 11y5;

(iii) Existem restrições com relação ao domínio das variáveis; xij ∈ Z+, i = 1, 2, 3, 4, 5; j = 1, 2, 3, 4; yi ∈ {0, 1}, i = 1, 2, 3, 4, 5. Minimizar z = y1+y2+y3+y4+y5 sujeito a :                                    x11+x21+x31+x41+x51≥ 3 x12+x22+x32+x42+x52≥ 3 x13+x23+x33+x43+x53≥ 2 x14+x24+x34+x44+x54≥ 2 2x11+3x12+4x13+5x14≤ 11y1 2x21+3x22+4x23+5x24≤ 11y2 2x31+3x32+4x33+5x34≤ 11y3 2x41+3x42+4x43+5x44≤ 11y4 2x51+3x52+4x53+5x54≤ 11y5 xij∈ Z+, i = 1, 2, 3, 4, 5; j = 1, 2, 3, 4 yi ∈ {0, 1}, i = 1, 2, 3, 4, 5. (10)

(36)

Problemas de Designação

Envolve a designação (ou atribuição) de tarefas a agentes; Alguns exemplos:

I Designação: envolve n tarefas e n agentes, tal que cada tarefa é

executada por um único agente e cada agente executa uma única tarefa. A execução da tarefa j pelo agente i tem um custo cij. Deseja-se determinar tarefas a agentes de modo a minimizar o custo total;

I _{Designação generalizada: tem-se m agentes e n tarefas,com}

m < n; cada tarefa deve ser executa por um único agente, e um agente pode executar mais de uma tarefa. A execução da tarefa j pelo agente i requer uma quantidade aijde recurso do agente i, com custo cij. O agente i tem capacidade de recurso bi e deseja-se minimizar o custo de designar tarefas a agentes.

(37)

Problemas de Designação

Exemplo. Uma empresa possui 3 agentes e 5 tarefas com os seguintes parâmetros: matriz C contém os custos de designar o agente i a tarefa j; e, a matriz A contém quantidade de horas que o agente i precisa para a execução da tarefa j. A capacidade total de horas de cada agente está na matriz b. Determine o modelo que minimiza o custo de designação de tarefas a agentes, de forma que tarefa seja executada por exatamente um agente e que a capacidade de horas de cada agente não seja excedida.

C = [cij] =   15 61 3 94 86 21 28 76 48 54 21 21 46 43 21   A = [aij] =   31 69 14 87 51 23 20 71 86 91 20 55 39 60 83   b = [bi] =100 100 100

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Resolução...

(i) Definir as variáveis de decisão: xij =

1, se a tarefa j e designada ao agente i 0, caso contrario

Para os agentes i = 1, 2, 3 e as tarefas j = 1, 2, 3, 4, 5;

(ii) A função objetivo busca minimizar o custo total de designação de tarefas a agentes;

Minimizar z =P3_i=1P5_j=1cijxij. Minimizar z =

15x11+61x12+3x13+94x14+86x15+21x21+28x22+76x23+

48x24+54x25+21x31+21x32+46x33+43x34+21x35; (iii) Existem restrições que dizem que cada tarefa deve ser executada por um único agente;

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Resolução... Tarefa j=1: x11+x21+x31=1; Tarefa j=2: x12+x22+x32=1; Tarefa j=3: x13+x23+x33=1; Tarefa j=4: x14+x24+x34=1; Tarefa j=5: x15+x25+x35=1;

(iii) Existem restrições que dizem que a capacidade de horas do agente i não pode ser excedida;

P5

j=1aijxij ≤ bi, i = 1, 2, 3;

Agente i=1: 31x11+69x12+14x13+87x14+51x15 ≤ 100;

Agente i=2: 23x21+20x22+71x23+86x24+91x25 ≤ 100;

Agente i=3: 20x31+55x32+39x33+60x34+83x35 ≤ 100;

(iii) Existem restrições com relação ao domínio das variáveis; xij ∈ {0, 1}, i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3, 4, 5.

(40)

Resolução Minimizar z = 15x11+61x12+3x13+94x14+86x15+ 21x21+28x22+76x23+48x24+54x25+ 21x31+21x32+46x33+43x34+21x35 sujeito a :                            x11+x21+x31=1 x12+x22+x32=1 x13+x23+x33=1 x14+x24+x34=1 x15+x25+x35=1 31x11+69x12+14x13+87x14+51x15 ≤ 100 23x21+20x22+71x23+86x24+91x25 ≤ 100 20x31+55x32+39x33+60x34+83x35 ≤ 100 xij ∈ {0, 1}, i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3, 4, 5. (11)

(41)

Problemas de cobertura, partição e empacotamento

Possuem uma estrutura semelhante e envolvem a seleção de

uma coleção de subconjuntos Sj,j = 1, . . . , n de um conjunto S;

Esta seleção deve formar uma cobertura, uma partição ou um empacotamento com relação a S;

Considere o seguinte conjunto S = {1, 2, 3, 4, 5} e o seguintes subconjuntos de S:

S1= {1, 2}, S2= {1, 3, 5}, S3= {2, 4, 5}, S4= {3}, S5= {1}, S6= {4, 5};

Umacobertura requer que a união dos subconjuntos seja igual a

S, por exemplo, S1∪ S3∪ S4=S;

Umempacotamento envolve uma união de subconjuntos

distintos, por exemplo, S4∪ S5∪ S6, pois S4∩ S5∩ S6= ∅; Umapartição é uma cobertura e um empacotamento com

relação a S, por exemplo, S1,S4,S6, pois S1∪ S4∪ S6=S e

(42)

Problemas de cobertura, partição e empacotamento A figura abaixo ilustra o exemplo anterior:

Figura:Problemas de cobertura, empacotamento e partição.

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Problemas de cobertura

Selecione uma coleção de subconjuntos que cobrem S de custo mínimo;

Um exemplo aparece na localização de facilidades de

emergência, tais como ambulâncias e estações de bombeiros; O modelo genérico para o problema de cobertura de conjuntos pode ser descrito como:

Minimizar z =cT_x sujeito a : Ax ≥ 1 x ∈ Bn. (12)

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Problemas de empacotamento

Selecione uma coleção de subconjuntos disjuntos em S de valor máximo;

Um exemplo aparece em leilões combinatoriais:

I Uma empresa de logística deseja contratar transportadoras para

enviar mercadorias entre cidades. A empresa promove um leilão para vender trechos. Permitem-se lances em combinações de trechos;

I _{Por exemplo: uma transportadora faz um lance de 80 mil para o}

trecho A-B e outra transportadora faz um lance de 30 mil para o trecho C-A. Uma terceira empresa faz um lance de 100 mil para o conjunto de trechos A-B e C-A. Obviamente o último lance é o vencedor e a empresa economiza 10 mil em relação à contratação dos trechos individuais. Deseja-se maximizar este economia na contratação.

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Problemas de partição

Selecione uma coleção de subconjuntos que cobrem S e são disjuntos de custo mínimo;

Um exemplo aparece em problemas de programação de aeronaves:

I _{Para uma dada programação diária de voos, a empresa deve}

alocar a tripulação para cada voo e minimizar os custos.

O modelo genérico para o problema de partição é:

Minimizar z =cTx sujeito a : Ax = 1 x ∈ Bn. (14)