AULA 7 MÉTODOS DE PROGRAMAÇÃO INTEIRA

(1)

AULA 7

MÉTODOS DE PROGRAMAÇÃO INTEIRA

Autor: Anibal Tavares de Azevedo

INTRODUÇÃO À META-HEURÍSTICAS

PROBLEMAS DE PROGRAMAÇÃO INTEIRA

(Integer) Space: The last frontier

(2)

Tipo de Modelo Função Objetivo Restrições Tipo de Variável de decisão

Programação (linear) inteira (PLI ou PI)

Linear Linear Discreta

Programação (linear) inteira mista (PLIM ou PIM)

Linear Linear Discreta e contínua

Programação (linear) binária (PLB ou PB)

Linear Linear Binária

Programação (linear) binária mista (PLBM ou PBM)

Linear Linear Binária e Contínua

Programação (linear) inteira binária (PLIB ou PIB)

Linear Linear Discreta e Binária

(3)

MÉTODOS DE SOLUÇÃO EXATOS

Caio Júlio César

“Dividir para

conquistar”

4 5 6 7

2 3

1

É uma técnica de solução exata para problemas de programação binária e inteira que usa uma estratégia de divisão e conquista, isto é, o problema é dividido em subproblemas menores que podem ser descartados de acordo com os valores de limites inferiores e superiores.

BRANCH-AND-BOUND

BRANCH

BOUND Árvore de

decisão

(4)

Max Z=3x

₁

+ 3x

₂

S.a.: x

₁

+ 4x

₂

≤ 12

6x

₁

+ 4x

₂

≤ 24

x

₁

, x

₂

≥ 0

x

₁

, x

₂

inteiros

Função Objetivo

Restrições

Variáveis

de

Decisão

Inteiras

Max Z=3x

₁

+ 3x

₂

S.a.: x

₁

+ 4x

₂

≤ 12

6x

₁

+ 4x

₂

≤ 24

x

₁

, x

₂

≥ 0

x

₁

, x

₂

inteiros

(5)

Max Z=3x

₁

+ 3x

₂

S.a.: x

₁

+ 4x

₂

≤ 12

6x

₁

+ 4x

₂

≤ 24

x

₁

, x

₂

≥ 0

Função Objetivo

Problema Relaxado

Variáveis

de

Decisão

Reais

0

1 RESOLUÇÃO GRÁFICA

x

2

x

APLICAÇÃO BRANCH-AND-BOUND - EXEMPLO 1

1

2

3

4

5

6

7

8

2

3

4

5

6

7

(6)

0

1 RESOLUÇÃO GRÁFICA

x

2

x

₁

1

2

3

4

5

6

7

8

2

3

4

5

6

7

9 10 11 12

x₁ + 4x₂≤ 12

0

1 RESOLUÇÃO GRÁFICA

x

2

x

₁

APLICAÇÃO BRANCH-AND-BOUND - EXEMPLO 1

1

2

3

4

5

6

7

8

2

3

4

5

6

7

9 10 11 12

(7)

0

1 RESOLUÇÃO GRÁFICA

x

2

x

₁

1

2

3

4

5

6

7

8

2

3

4

5

6

7

9 10 11 12

x₁ + 4x₂≤ 12 6x₁ + 4x₂≤ 24

Região factível

0

1 RESOLUÇÃO GRÁFICA

x

2

x

APLICAÇÃO BRANCH-AND-BOUND - EXEMPLO 1

1

2

3

4

5

6

7

8

2

3

4

5

6

7

9 10 11 12

Gradiente da

(8)

0

1 RESOLUÇÃO GRÁFICA

x

2

x

₁

1

2

3

4

5

6

7

8

2

3

4

5

6

7

9 10 11 12

z = 0 z = 14,4

0

1 RESOLUÇÃO GRÁFICA

x

2

x

₁

APLICAÇÃO BRANCH-AND-BOUND - EXEMPLO 1

1

2

3

4

5

6

7

8

2

3

4

5

6

7

9 10 11 12

Ponto ótimo:

(9)

0

1 RESOLUÇÃO GRÁFICA

x

2

x

₁

1

2

3

4

5

6

7

8

2

3

4

5

6

7

9 10 11 12

Ponto ótimo:

(x₁, x₂) = (2,4; 2,4) f.o. = 14,4

Como o problema é de maximização, então, a solução do problema relaxado fornece um limite superior para o valor de solução ótima do problema linear inteiro, isto é, 14,4.

Max Z=3x

₁

+ 3x

≥ 0

Problema Relaxado

0

1 RESOLUÇÃO GRÁFICA

x

2

x

APLICAÇÃO BRANCH-AND-BOUND - EXEMPLO 1

1

2

3

4

5

6

7

8

2

3

4

5

6

7

9 10 11 12

Ponto ótimo:

(x1, x2) = (2,4; 2,4)

Para aplicar o Branch-and-Bound é necessário fornecer um ponto qualquer do conjunto de soluções viáveis de modo a impor um limite

inferior no valor da função objetivo do problema linear inteiro.

(10)

Reunindo as informações de limite superior atual (LSA), de limite inferior atual (LIA) e da solução do problema relaxado (x₁, x₂) = (2,4; 2,4) escolhe-se uma das variáveis para ser inteira. Supondo que x₁ foi escolhida, então, esta deve assumir ou o valor menor ou igual a 2 ou maior e igual a 3. Para decidir qual destes valores ela irá assumir dois novos subproblemas deverão ser resolvidos.

Max Z=3x

₁

+ 3x

₂

S.a.: x

₁

+ 4x

₂

≤ 12

6x

₁

+ 4x

₂

≤ 24

x

₁

≤ 2

x

₁

, x

₂

≥ 0

Problema 2

Max Z=3x

₁

+ 3x

₂

S.a.: x

₁

+ 4x

₂

≤ 12

6x

₁

+ 4x

₂

≤ 24

x

₁

≥ 3

x

₁

, x

₂

≥ 0

Problema 3

REPRESENTAÇÃO EM ÁRVORE

APLICAÇÃO BRANCH-AND-BOUND - EXEMPLO 1

Os resultados obtidos para cada um dos problemas podem ser resumidos sob a forma de uma árvore de decisão:

x1= 2,4

x2= 2,4

LSA = 14,4 LIA = 9

Problema 2

Problema 3

x₁ ≤ 2 x₁ ≥ 3

(11)

0

1 RESOLUÇÃO GRÁFICA

x

2

x

₁

1

2

3

4

5

6

7

8

2

3

4

5

6

7

9 10 11 12

x₁ ≤ 2 x₁ ≥ 3

Problema 2

Problema 3

0

1 RESOLUÇÃO GRÁFICA

x

2

x

APLICAÇÃO BRANCH-AND-BOUND - EXEMPLO 1

1

2

3

4

5

6

7

8

2

3

4

5

6

7

9 10 11 12

x₁ ≤ 2

(12)

0

1 RESOLUÇÃO GRÁFICA

x

2

x

₁

1

2

3

4

5

6

7

8

2

3

4

5

6

7

9 10 11 12

Ponto ótimo:

(x₁, x₂) = (2; 2,5) f.o. = 13,5

REPRESENTAÇÃO EM ÁRVORE

APLICAÇÃO BRANCH-AND-BOUND - EXEMPLO 1

x1= 2,4

x2= 2,4

LSA = 14,4 LIA = 9

x1= 2,0

x2= 2,5

LSA = 12,5 LIA = 9

Problema 3

x₁ ≤ 2 x₁ ≥ 3

(13)

0

1 RESOLUÇÃO GRÁFICA

x

2

x

₁

1

2

3

4

5

6

7

8

2

3

4

5

6

7

9 10 11 12

x₁ ≥ 3

Problema 3

0

1 RESOLUÇÃO GRÁFICA

x

2

x

APLICAÇÃO BRANCH-AND-BOUND - EXEMPLO 1

1

2

3

4

5

6

7

8

2

3

4

5

6

7

9 10 11 12

x₁ ≥ 3

(14)

0

1 RESOLUÇÃO GRÁFICA

x

2

x

₁

1

2

3

4

5

6

7

8

2

3

4

5

6

7

9 10 11 12

Ponto ótimo:

(x1, x2) = (3; 1,5)

f.o. = 13,5

REPRESENTAÇÃO EM ÁRVORE

APLICAÇÃO BRANCH-AND-BOUND - EXEMPLO 1

x1= 2,4

x2= 2,4

LSA = 14,4 LIA = 9

x1= 2,0

x2= 2,5

LSA = 12,5 LIA = 9

x1= 3,0

x2= 1,5

LSA = 12,5 LIA = 9

x₁ ≤ 2 x₁ ≥ 3

(15)

REPRESENTAÇÃO EM ÁRVORE

x1= 2,4

x2= 2,4

LSA = 14,4 LIA = 9

x1= 2,0

x2= 2,5

LSA = 12,5 LIA = 9

x1= 3,0

x2= 1,5

LSA = 12,5 LIA = 9

x₁ ≤ 2 x₁ ≥ 3

Problema 4

Problema 5

x₂ ≤ 2 x₂ ≥ 3

Problema 6

Problema 7

x₂ ≤ 1 x₂ ≥ 2

REPRESENTAÇÃO EM ÁRVORE

APLICAÇÃO BRANCH-AND-BOUND - EXEMPLO 1

x1= 2,4

x2= 2,4

LSA = 14,4 LIA = 9

x1= 2,0

x2= 2,5

LSA = 12,5 LIA = 9

x1= 3,0

x2= 1,5

LSA = 12,5 LIA = 9

x₁ ≤ 2 x₁ ≥ 3

Problema 4

Problema 5

x₂ ≤ 2 x₂ ≥ 3

Problema 6

Problema 7

(16)

REPRESENTAÇÃO EM ÁRVORE

x1= 2,4

x2= 2,4

LSA = 14,4 LIA = 9

x1= 2,0

x2= 2,5

LSA = 12,5 LIA = 9

x₁ ≤ 2

Problema 4

x₂ ≤ 2

Max Z=3x

₁

+ 3x

₂

S.a.: x

₁

+ 4x

₂

≤ 12

6x

₁

+ 4x

₂

≤ 24

3

4

5

6

7

8

2

3

4

5

6

7

9 10 11 12

x₁ ≤ 2

(17)

0

1 RESOLUÇÃO GRÁFICA

x

2

x

₁

1

2

3

4

5

6

7

8

2

3

4

5

6

7

9 10 11 12

x₁ ≤ 2

x₂ ≤ 2

Problema 4

0

1 RESOLUÇÃO GRÁFICA

x

2

x

APLICAÇÃO BRANCH-AND-BOUND - EXEMPLO 1

1

2

3

4

5

6

7

8

2

3

4

5

6

7

9 10 11 12

Gradiente da

(18)

0

1 RESOLUÇÃO GRÁFICA

x

2

x

₁

1

2

3

4

5

6

7

8

2

3

4

5

6

7

9 10 11 12

Ponto ótimo:

(x₁, x₂) = (2; 2) f.o. = 12

REPRESENTAÇÃO EM ÁRVORE

APLICAÇÃO BRANCH-AND-BOUND - EXEMPLO 1

x1= 2,4

x2= 2,4

LSA = 14,4 LIA = 9

x1= 2,0

x2= 2,5

LSA = 12,5 LIA = 9

x1= 3,0

x2= 1,5

LSA = 12,5 LIA = 9

x₁ ≤ 2 x₁ ≥ 3

x1= 2,0

x2= 2,0

LSA = 12,0 LIA = 9

Problema 5

x₂ ≤ 2 x₂ ≥ 3

Problema 6

Problema 7

(19)

REPRESENTAÇÃO EM ÁRVORE

x1= 2,4

x2= 2,4

LSA = 14,4 LIA = 9

x1= 2,0

x2= 2,5

LSA = 12,5 LIA = 9

x1= 3,0

x2= 1,5

LSA = 12,5 LIA = 9

x₁ ≤ 2 x₁ ≥ 3

x1= 2,0

x2= 2,0

LSA = 12,0 LIA = 9

Problema 5

x₂ ≤ 2 x₂ ≥ 3

Problema 6

Problema 7

x₂ ≤ 1 x₂ ≥ 2

REPRESENTAÇÃO EM ÁRVORE

APLICAÇÃO BRANCH-AND-BOUND - EXEMPLO 1

x1= 2,4

x2= 2,4

LSA = 14,4 LIA = 9

x1= 2,0

x2= 2,5

LSA = 12,5 LIA = 9

x₁ ≤ 2

Problema 5

x₂ ≥ 3

Max Z=3x

₁

+ 3x

₂

S.a.: x

₁

+ 4x

₂

≤ 12

6x

₁

+ 4x

₂

≤ 24

x

₁

≤ 2

x

₁

, x

₂

≥ 0

Problema 2

+

(20)

0

1 RESOLUÇÃO GRÁFICA

x

2

x

₁

1

2

3

4

5

6

7

8

2

3

4

5

6

7

9 10 11 12

x₁ ≤ 2

Problema 2

+

Problema 5

x₂ ≥ 3

0

1 RESOLUÇÃO GRÁFICA

x

2

x

₁

APLICAÇÃO BRANCH-AND-BOUND - EXEMPLO 1

1

2

3

4

5

6

7

8

2

3

4

5

6

7

9 10 11 12

x₁ ≤ 2

Problema 5

(21)

0

1 RESOLUÇÃO GRÁFICA

x

2

x

₁

1

2

3

4

5

6

7

8

2

3

4

5

6

7

9 10 11 12

Gradiente da

função objetivo

0

1 RESOLUÇÃO GRÁFICA

x

2

x

APLICAÇÃO BRANCH-AND-BOUND - EXEMPLO 1

1

2

3

4

5

6

7

8

2

3

4

5

6

7

9 10 11 12

Ponto ótimo:

(x1, x2) = (1; 3)

(22)

REPRESENTAÇÃO EM ÁRVORE

x1= 2,4

x2= 2,4

LSA = 14,4 LIA = 9

x1= 2,0

x2= 2,5

LSA = 12,5 LIA = 9

x1= 3,0

x2= 1,5

LSA = 12,5 LIA = 9

x₁ ≤ 2 x₁ ≥ 3

x1= 2,0

x2= 2,0

LSA = 12,0 LIA = 9

x1= 1,0

x2= 3,0

LSA = 12,0 LIA = 9

x₂ ≤ 2 x₂ ≥ 3

Problema 6

Problema 7

x₂ ≤ 1 x₂ ≥ 2

REPRESENTAÇÃO EM ÁRVORE

APLICAÇÃO BRANCH-AND-BOUND - EXEMPLO 1

x1= 2,4

x2= 2,4

LSA = 14,4 LIA = 9

x1= 2,0

x2= 2,5

LSA = 12,5 LIA = 9

x1= 3,0

x2= 1,5

LSA = 12,5 LIA = 9

x₁ ≤ 2 x₁ ≥ 3

x1= 2,0

x2= 2,0

LSA = 12,0 LIA = 9

x1= 1,0

x2= 3,0

LSA = 12,0 LIA = 9

x₂ ≤ 2 x₂ ≥ 3

Problema 6

Problema 7

(23)

REPRESENTAÇÃO EM ÁRVORE

x1= 2,4

x2= 2,4

LSA = 14,4 LIA = 9

x1= 3,0

x2= 1,5

LSA = 12,5 LIA = 9 x₁ ≥ 3

Problema 6 x₂ ≤ 1

Max Z=3x

₁

+ 3x

₂

S.a.: x

₁

+ 4x

₂

≤ 12

6x

₁

+ 4x

₂

≤ 24

x

₁

≥ 3

x

₁

, x

₂

≥ 0

Problema 3

+

x₂ ≤ 1

0

1 RESOLUÇÃO GRÁFICA

x

2

x

APLICAÇÃO BRANCH-AND-BOUND - EXEMPLO 1

1

2

3

4

5

6

7

8

2

3

4

5

6

7

9 10 11 12

x₁ ≥ 3

Problema 3

+

Problema 6

(24)

0

1 RESOLUÇÃO GRÁFICA

x

2

x

₁

1

2

3

4

5

6

7

8

2

3

4

5

6

7

9 10 11 12

x₁ ≥ 3

Problema 6

x₂ ≤ 1

0

1 RESOLUÇÃO GRÁFICA

x

2

x

₁

APLICAÇÃO BRANCH-AND-BOUND - EXEMPLO 1

1

2

3

4

5

6

7

8

2

3

4

5

6

7

9 10 11 12

Gradiente da

(25)

0

1 RESOLUÇÃO GRÁFICA

x

2

x

₁

1

2

3

4

5

6

7

8

2

3

4

5

6

7

9 10 11 12

Ponto ótimo:

(x₁, x₂) = (3,33; 1) f.o. = 13

REPRESENTAÇÃO EM ÁRVORE

APLICAÇÃO BRANCH-AND-BOUND - EXEMPLO 1

x1= 2,4

x2= 2,4

LSA = 14,4 LIA = 9

x1= 2,0

x2= 2,5

LSA = 12,5 LIA = 9

x1= 3,0

x2= 1,5

LSA = 12,5 LIA = 9

x₁ ≤ 2 x₁ ≥ 3

x1= 2,0

x2= 2,0

LSA = 12,0 LIA = 9

x1= 1,0

x2= 3,0

LSA = 12,0 LIA = 9

x₂ ≤ 2 x₂ ≥ 3

x1= 3,33

x2= 1,0

LSA = 13,0 LIA = 9

Problema 7

(26)

REPRESENTAÇÃO EM ÁRVORE

x1= 2,4

x2= 2,4

LSA = 14,4 LIA = 9

x1= 2,0

x2= 2,5

LSA = 12,5 LIA = 9

x1= 3,0

x2= 1,5

LSA = 12,5 LIA = 9

x₁ ≤ 2 x₁ ≥ 3

x1= 2,0

x2= 2,0

LSA = 12,0 LIA = 9

x1= 1,0

x2= 3,0

LSA = 12,0 LIA = 9

x₂ ≤ 2 x₂ ≥ 3

x1= 3,33

x2= 1,0

LSA = 13,0 LIA = 9

Problema 7

x₂ ≤ 1 x₂ ≥ 2

REPRESENTAÇÃO EM ÁRVORE

APLICAÇÃO BRANCH-AND-BOUND - EXEMPLO 1

x1= 2,4

x2= 2,4

LSA = 14,4 LIA = 9

x1= 3,0

x2= 1,5

LSA = 12,5 LIA = 9 x₁ ≥ 3

Max Z=3x

₁

+ 3x

₂

S.a.: x

₁

+ 4x

₂

≤ 12

6x

₁

+ 4x

₂

≤ 24

x

₁

2

3

4

5

6

7

8

2

3

4

5

6

7

9 10 11 12

x₁ ≥ 3

Problema 3

+

Problema 7

x₂ ≥ 2

0

1 RESOLUÇÃO GRÁFICA

x

2

x

APLICAÇÃO BRANCH-AND-BOUND - EXEMPLO 1

1

2

3

4

5

6

7

8

2

3

4

5

6

7

9 10 11 12

x₁ ≥ 3

Problema 7

(28)

REPRESENTAÇÃO EM ÁRVORE

x1= 2,4

x2= 2,4

LSA = 14,4 LIA = 9

x1= 2,0

x2= 2,5

LSA = 12,5 LIA = 9

x1= 3,0

x2= 1,5

LSA = 12,5 LIA = 9

x₁ ≤ 2 x₁ ≥ 3

x1= 2,0

x2= 2,0

LSA = 12,0 LIA = 9

x1= 1,0

x2= 3,0

LSA = 12,0 LIA = 9

x₂ ≤ 2 x₂ ≥ 3

x1= 3,33

x2= 1,0

LSA = 13,0 LIA = 9

Infactível

x₂ ≤ 1 x₂ ≥ 2

REPRESENTAÇÃO EM ÁRVORE

APLICAÇÃO BRANCH-AND-BOUND - EXEMPLO 1

x1= 2,4

x2= 2,4

LSA = 14,4 LIA = 9 x1= 2,0

x2= 2,5

LSA = 12,5 LIA = 9

x1= 3,0

x2= 1,5

LSA = 12,5 LIA = 9

x₁ ≤ 2 x₁ ≥ 3

x1= 2,0

x2= 2,0

LSA = 12,0 LIA = 9

x1= 1,0

x2= 3,0

LSA = 12,0 LIA = 9

x₂ ≤ 2 x₂ ≥ 3

x1= 3,33

x2= 1,0

LSA = 13,0 LIA = 9

Infactível

x₂ ≤ 1 x₂ ≥ 2

Problema 8

Problema 9

(29)

REPRESENTAÇÃO EM ÁRVORE

x1= 2,4

x2= 2,4

LSA = 14,4 LIA = 9 x1= 2,0

x2= 2,5

LSA = 12,5 LIA = 9

x1= 3,0

x2= 1,5

LSA = 12,5 LIA = 9

x₁ ≤ 2 x₁ ≥ 3

x1= 2,0

x2= 2,0

LSA = 12,0 LIA = 9

x1= 1,0

x2= 3,0

LSA = 12,0 LIA = 9

x₂ ≤ 2 x₂ ≥ 3

x1= 3,33

x2= 1,0

LSA = 13,0 LIA = 9

Infactível

x₂ ≤ 1 x₂ ≥ 2

Problema 8

Problema 9

x₁ ≤ 3 x₁ ≥ 4

REPRESENTAÇÃO EM ÁRVORE

APLICAÇÃO BRANCH-AND-BOUND - EXEMPLO 1

x1= 2,4

x2= 2,4

LSA = 14,4

LIA = 9 _x₁_{= 3,0} x2= 1,5

LSA = 12,5 LIA = 9 x₁ ≥ 3

x1= 3,33

x2= 1,0

LSA = 13,0 LIA = 9 x₂ ≤ 1

Problema 8 x₁ ≤ 3

Max Z=3x

₁

+ 3x

₂

S.a.: x

₁

+ 4x

₂

≤ 12

6x

₁

+ 4x

₂

≤ 24

x

₁

≥ 3

x

₁

, x

₂

≥ 0

Problema 3

+

x₂ ≤ 1

(30)

0

1 RESOLUÇÃO GRÁFICA

x

2

x

₁

1

2

3

4

5

6

7

8

2

3

4

5

6

7

9 10 11 12

x₁ ≥ 3

Problema 6

x₂ ≤ 1

+

Problema 8

x₁ ≤ 3

0

1 RESOLUÇÃO GRÁFICA

x

2

x

₁

APLICAÇÃO BRANCH-AND-BOUND - EXEMPLO 1

1

2

3

4

5

6

7

8

2

3

4

5

6

7

9 10 11 12

x₁ = 3

(31)

0

1 RESOLUÇÃO GRÁFICA

x

2

x

₁

1

2

3

4

5

6

7

8

2

3

4

5

6

7

9 10 11 12

x₁ = 3

Ponto ótimo: (x₁, x₂) = (3; 1)

f.o. = 12

REPRESENTAÇÃO EM ÁRVORE

APLICAÇÃO BRANCH-AND-BOUND - EXEMPLO 1

x1= 2,4

x2= 2,4

LSA = 14,4 LIA = 9 x1= 2,0

x2= 2,5

LSA = 12,5 LIA = 9

x1= 3,0

x2= 1,5

LSA = 12,5 LIA = 9

x₁ ≤ 2 x₁ ≥ 3

x1= 2,0

x2= 2,0

LSA = 12,0 LIA = 9

x1= 1,0

x2= 3,0

LSA = 12,0 LIA = 9

x₂ ≤ 2 x₂ ≥ 3

x1= 3,33

x2= 1,0

LSA = 13,0 LIA = 9

Infactível

x₂ ≤ 1 x₂ ≥ 2

x1= 3,0

x2= 1,0

LSA = 12,0 LIA = 9

Problema 9

(32)

REPRESENTAÇÃO EM ÁRVORE

x1= 2,4

x2= 2,4

LSA = 14,4 LIA = 9 x1= 2,0

x2= 2,5

LSA = 12,5 LIA = 9

x1= 3,0

x2= 1,5

LSA = 12,5 LIA = 9

x₁ ≤ 2 x₁ ≥ 3

x1= 2,0

x2= 2,0

LSA = 12,0 LIA = 9

x1= 1,0

x2= 3,0

LSA = 12,0 LIA = 9

x₂ ≤ 2 x₂ ≥ 3

x1= 3,33

x2= 1,0

LSA = 13,0 LIA = 9

Infactível

x₂ ≤ 1 x₂ ≥ 2

x1= 3,0

x2= 1,0

LSA = 12,0 LIA = 9

Problema 9

x₁ ≤ 3 x₁ ≥ 4

0

1 RESOLUÇÃO GRÁFICA

x

2

x

₁

APLICAÇÃO BRANCH-AND-BOUND - EXEMPLO 1

1

2

3

4

5

6

7

8

2

3

4

5

6

7

9 10 11 12

x₁ ≥ 3

Problema 6

x₂ ≤ 1

+

Problema 9

(33)

0

1 RESOLUÇÃO GRÁFICA

x

2

x

₁

1

2

3

4

5

6

7

8

2

3

4

5

6

7

9 10 11 12

x₁ ≥ 3

Problema 9

x₂ ≤ 1 x₁ ≥ 4

0

1 RESOLUÇÃO GRÁFICA

x

2

x

APLICAÇÃO BRANCH-AND-BOUND - EXEMPLO 1

1

2

3

4

5

6

7

8

2

3

4

5

6

7

9 10 11 12

Ponto ótimo:

(x1, x2) = (4; 0)

f.o. = 12

(34)

REPRESENTAÇÃO EM ÁRVORE

x1= 2,4

x2= 2,4

LSA = 14,4 LIA = 9 x1= 2,0

x2= 2,5

LSA = 12,5 LIA = 9

x1= 3,0

x2= 1,5

LSA = 12,5 LIA = 9

x₁ ≤ 2 x₁ ≥ 3

x1= 2,0

x2= 2,0

LSA = 12,0 LIA = 9

x1= 1,0

x2= 3,0

LSA = 12,0 LIA = 9

x₂ ≤ 2 x₂ ≥ 3

x1= 3,33

x2= 1,0

LSA = 13,0 LIA = 9

Infactível

x₂ ≤ 1 x₂ ≥ 2

x1= 3,0

x2= 1,0

LSA = 12,0 LIA = 9

x1= 4,0

x2= 1,0

LSA = 12,0 LIA = 9

x₁ ≤ 3 x₁ ≥ 4

REPRESENTAÇÃO EM ÁRVORE

APLICAÇÃO BRANCH-AND-BOUND - EXEMPLO 1

x1= 2,4

x2= 2,4

LSA = 14,4 LIA = 9 x1= 2,0

x2= 2,5

LSA = 12,5 LIA = 9

x1= 3,0

x2= 1,5

LSA = 12,5 LIA = 9

x₁ ≤ 2 x₁ ≥ 3

x1= 2,0

x2= 2,0

LSA = 12,0 LIA = 9

x1= 1,0

x2= 3,0

LSA = 12,0 LIA = 9

x₂ ≤ 2 x₂ ≥ 3

x1= 3,33

x2= 1,0

LSA = 13,0 LIA = 9

Infactível

x₂ ≤ 1 x₂ ≥ 2

x1= 3,0

x2= 1,0

LSA = 12,0 LIA = 9

x1= 4,0

x2= 1,0

LSA = 12,0 LIA = 9

(35)

1

2

4

5

3

6

7 BUSCA EM

LARGURA

1

2

3

4

5

6

7 BUSCA EM

PROFUNDIDADE

O método exato Branch-and-bound pode se diferenciar em

relação a ordem com que percorre os nós de execução dos

subproblemas. Sua busca pode:

(1) Em largura: executar todos os nós do mesmo nível;

(2) Em profundidade: criar ramos até achar uma solução.

REPRESENTAÇÃO EM ÁRVORE

APLICAÇÃO BRANCH-AND-BOUND – EXEMPLO 2

x1= 3,75

x2= 2,25

LSA=41,25 x1= 4,0

x2= 1,8

LSA = 41,00

Problema 3

x₁ ≥ 4 x₁ ≤ 3

Infactível

x1= 4,44

x2= 0

LSA=40,55

x₂ ≥ 2 x₂ ≤ 1

x1= 5,0

x2= 0,0

LSA = 40,0

Problema 7 x₁ ≤ 3

(36)

REPRESENTAÇÃO EM ÁRVORE

x1= 3,75

x2= 2,25

LSA=41,25 x1= 4,0

x2= 1,8

LSA = 41,00

Problema 3

x₁ ≥ 4 x₁ ≤ 3

Infactível

x1= 4,44

x2= 0

LSA=40,55

x₂ ≥ 2 x₂ ≤ 1

x1= 5,0

x2= 0,0

LSA = 40,0

x1= 4,0

x2= 1,0

LSA = 37,0 x₁ ≤ 3

x₁ ≥ 5 x₁ ≤ 4

REPRESENTAÇÃO EM ÁRVORE

APLICAÇÃO BRANCH-AND-BOUND – EXEMPLO 2

x1= 3,75

x2= 2,25

LSA=41,25 x1= 4,0

x2= 1,8

LSA = 41,00

Problema 3

x₁ ≥ 4 x₁ ≤ 3

Infactível

x1= 4,44

x2= 0

LSA=40,55

x₂ ≥ 2 x₂ ≤ 1

x1= 5,0

x2= 0,0

LSA = 40,0

x1= 4,0

x2= 1,0

LSA = 37,0 x₁ ≤ 3

(37)

REPRESENTAÇÃO EM ÁRVORE

x1= 3,75

x2= 2,25

LSA=41,25 x1= 4,0

x2= 1,8

LSA = 41,00

x1= 5,0

x2= 0,0

LSA = 39,0

x₁ ≥ 4 x₁ ≤ 3

Infactível

x1= 4,44

x2= 0

LSA=40,55

x₂ ≥ 2 x₂ ≤ 1

x1= 5,0

x2= 0,0

LSA = 40,0

x1= 4,0

x2= 1,0

LSA = 37,0 x₁ ≤ 3

x₁ ≥ 5 x₁ ≤ 4

REPRESENTAÇÃO EM ÁRVORE

APLICAÇÃO BRANCH-AND-BOUND – EXEMPLO 2

x1= 3,75

x2= 2,25

LSA=41,25 x1= 4,0

x2= 1,8

LSA = 41,00

x1= 5,0

x2= 0,0

LSA = 39,0

x₁ ≥ 4 x₁ ≤ 3

Infactível

x1= 4,44

x2= 0

LSA=40,55

x₂ ≥ 2 x₂ ≤ 1

x1= 5,0

x2= 0,0

LSA = 40,0

x1= 4,0

x2= 1,0

LSA = 37,0 x₁ ≤ 3

(38)

Muitos problemas de programação binária e inteira são

NP-Completos, isto é, não podem ser resolvidos por método exatos

(tais como o Branch-and-Bound) em tempo polinomial em

função da alta complexidade computacional.

(39)

A Machine Company tem 4 máquinas e 4 tarefas

para serem realizadas. Cada máquina deve ser

designada para completar uma tarefa. O tempo

requerido para completar cada tarefa por cada

máquina é dado na tabela dada a seguir. A

Machine Company deseja minimizar o tempo total

de processamento para realizar as 4 tarefas.

Formule e resolva o problema de programação

linear correspondente.

x

_ij

Máquina

Tarefa 1

Tempo[h]

Tarefa 2

Tempo[h]

Tarefa 3

Tempo[h]

Tarefa 4

Tempo[h]

1

14

5

8

7

2

12

6

5

3

7

8

3

9

4

2

4

6

10

Tabela 1: Dados do problema de Designação

(40)

Utilidade(U)

Volume(V)

Razão U/V

Item

7

5

6

3

4 CAP. MAX = 10

CAP. USADA =

Max

S.a.:

MODELO COMPLETO GERAL

∑

=

≤

n

i

i i

x

b

v

1

∑

=

n

i

i i

x

u

1

Utilidade total

Capacidade

da mochila

Problema da Mochila

n

i

(41)

Variáveis de Decisão:

Número de funcionários que começam no dia i

Escala por funcionário

Escala de Funcionários

#

Dom

Seg

Ter

Qua

Qui

Sex

Sab

G1

N1

G2

N2

G3

N3

G4

N4

G5

N5

G6

N6

G7

N7

(42)

Min

₇