Departamento de Engenharia de Computaçãoe Automação Industrial
Controle Multivariável de Sistemas a Eventos Discretos
em Dióides
Ricardo Lüders
TeseapresentadaàPós-graduaçãodaFaculdade
de Engenharia Elétrica e de Computação da
Universidade Estadual de Campinas como
requisitoparcialàobtenção dograu de Doutor
em Engenharia Elétrica (Automação).
Bancaexaminadora: Rafael Santos Mendes (orientador)
Faculdade deEngenharia Elétricae de Computação,UNICAMP
JoséEduardo RibeiroCury
Departamento de Automaçãoe Sistemas, UFSC
StéphaneJulia
Departamento de Ciência da Computação,UFU
PauloAugusto Valente Ferreira
Faculdade deEngenharia Elétricae de Computação,UNICAMP
PedroLuis DiasPeres
Faculdade deEngenharia Elétricae de Computação,UNICAMP
WagnerCaradori do Amaral
Faculdade deEngenharia Elétricae de Computação,UNICAMP
BIBLIOTECA DA ÁREA DE ENGENHARIA - BAE - UNICAMP
L965c
Lüders, Ricardo
Controle multivariável de sistemas a eventos discretos
em dióides / Ricardo Lüders. --Campinas, SP: [s.n.], 2001.
Orientador: Rafael Santos Mendes.
Tese (doutorado) - Universidade Estadual de
Campinas, Faculdade de Engenharia Elétrica e de
Computação.
1. Redes de petri. 2. Controle automático. 3. Álgebra
abstrata. I. Mendes, Rafael Santos. II. Universidade
Estadual de Campinas. Faculdade de Engenharia Elétrica e
de Computação. III. Título.
Sistemas a eventos discretosocorremem processosde manufatura e em aplicaçõesde tráfego e
compartilhamentoderecursos,entreoutros. Ossistemasconsideradosnessatesesãografosaeventos
temporizados quecorrespondem a umaclasse de redesde Petri que modelam apenas sincronização
de eventos. Embora não-lineares na álgebra convencional, esses sistemas podem ser descritos por
modeloslineares numaestruturaalgébrica genericamentedenominadadióide. Essesmodelos
possu-emrepresentaçãotanto noespaçodeestadoquantonaformadefunção detransferência. Oobjetivo
dessateseéproporumametodologiadeprojetodecontrole pormodelodereferência,ondeo
contro-ladoréobtidoporummatching entreduasfunçõesde transferência: ado sistemacontrolado com
a da função desejada. A estrutura de controle proposta possuiforte analogia com a realimentação
deestado dateoriaconvencional desistemas. Sob certascondições, a solução máximado problema
dematching existeeocontroladorótimopodesercalculadoanaliticamentetantopara acesso
com-pleto quanto parcial ao estado. Em outros casos, o controlador ótimo é obtido apenas paraacesso
parcial,emboraduassoluçõessub-ótimas semprepossamserobtidas.
Abstract
Discreteeventsystemstypicallyoccurinmanufacturingprocesses,tra capplicationsand
resour-cesharing amongothers. Thesystemsconsideredinthisthesisaretimedeventgraphs, aparticular
class of Petri nets that can model only synchronization phenomena. Although these systems are
nonlinear in conventional algebra, they can be described by linear models in a generic algebraic
structurenamed dioids. These models have both state spaceand transferfunction representations.
This thesis proposes a control synthesis methodology by using a model reference approach, where
the controller is obtained by a matching between the transfer function of controlled systemand a
given transferfunction. Theproposedcontrol structure hasstrong analogywiththestate feedback
control inconventional systemtheory. Under certainconditions, themaximal solution to the
mat-chingproblemexists,withcompleteorpartialaccessto systemstate,andtheoptimalcontroller can
be calculated. In other cases, the optimal controller is only obtained for the problem with partial
...não meconsidere desrespeitososeme
dirijo aosenhor chamando-o por seu
nomepróprio, sem referir-meàsvestes
queenverga. Entenda-o como umatode
homenagem ede prudência. De
homenagem, pois sempreme
impressionou omodo comoosfranceses,
quandoentrevistam umescritor,um
artista,umapersonalidade política,
evitam usarapelativosredutivos, como
professor,eminência,ou ministro. Há
pessoascujo capitalintelectual é dado
pelonome comqueassinam aspróprias
idéias...
Diferentemente da maioria dosagradecimentos em geral,nosquaisdestaca-se a ajuda recebida,
usoesseespaçoparadefatodividircomaspessoasaquimencionadasarealizaçãodessatese. Tenho
plenacertezade quesem elasnada dissoexistiria.
AoRafaelSantosMendes,amigodelongadataque,mesmoemmomentosdeincerteza,nuncadeixou
deacenar comapoioe amizade,sempre embuscade umasolução.
Umagradecimento especialaosmeus pais,Cecília eIrineu, eà minha irmã Valéria pelo imenso
su-porteeestruturaprontamentecolocadosànossadisposiçãonesseúltimoanodeteseecujoincômodo
causadonunca sabereiquanti car.
Aosamigosqueemmomentosdiversosdemonstraramseuapoioincondicional. Orgulho-medetê-los
aomeu lado: Armando Delgado Myriam Delgado Luiz Gonzaga PedroPeres Wagner Amaral Beatriz Daltrini LuizNacamura IvanilBonatti
A BertrandCottenceau, várias vezes citado nessa tese e que, mesmo sem me conhecer,se dispôs a
enviarsuaversão dasmacrosde autoria de Guy Cohenparaa geração dossímbolos de residuação.
Finalmente,ao CentroFederalde EducaçãoTecnológica doParaná(CEFET-PR) emCuritiba pelo
Introdução 1
1 Base Algébrica 7
1.1 Introdução. . . 7
1.2 Reticulados . . . 8
1.2.1 Noçõesbásicas . . . 9
1.2.2 Elementos de teoriadaresiduação . . . 11
1.2.3 Equaçõesde ponto xo. . . 13
1.3 Dióides. . . 15
1.3.1 Matrizes . . . 18
1.3.2 Séries depotência e polinômios . . . 20
1.4 Conclusão . . . 21
2 Modelos Lineares de GETs em Dióides 23 2.1 Introdução. . . 23
2.2 Grafo a eventostemporizado (GET) . . . 24
2.2.1 Dinâmica . . . 25
2.2.2 Datadores . . . 25
2.2.3 Contadores . . . 31
2.3 Descriçãono dióide bidimensional . . . 34
2.4 Função detransferência . . . 38
2.5 Racionalidade, realizabilidade eperiodicidade . . . 38
2.5.1 Representaçõesracionais erealizabilidade . . . 39
2.5.2 Séries periódicas . . . 41
3.2 Controle ótimo . . . 46
3.3 Controle supervisório . . . 47
3.4 Controle preditivo . . . 49
3.5 Controle por modelode referência. . . 50
3.6 Estabilidade . . . 53
3.7 Conclusão . . . 54
4 Controle Multivariável 57 4.1 Introdução. . . 57
4.2 Realimentaçãode estado . . . 58
4.3 Controladores sub-ótimos . . . 64
4.4 Conclusão . . . 65
5 Controle Multivariável Restrito 67 5.1 Introdução. . . 67
5.2 Realimentaçãode estado restrita . . . 68
5.3 Casosparticulares . . . 70
5.3.1 Realimentaçãode saída . . . 71
5.3.2 Realimentaçãode estado sobrea entrada . . . 73
5.3.3 Realimentaçãode saída sobreo estado . . . 75
5.4 Conclusão . . . 77 6 Projeto do controlador 79 6.1 Introdução. . . 79 6.2 Metodologia de projeto. . . 79 6.3 Exemplos . . . 82 6.3.1 Controle multivariável . . . 84 6.3.2 Realimentaçãode saída . . . 87
6.3.3 Controle multivariável restrito . . . 88
6.4 Implementação . . . 90
6.5 Conclusão . . . 96
Conclusão 99
1 Classi cação geralde sistemas. . . 1
2 Grafo a eventostemporizado. . . 2
3 Conjuntosparcialmenteordenados. . . 10
4 Isotonia. . . 12
5 Semicontinuidade inferior. . . 12
6 Exemplo de umGET. . . 24
7 Dinâmica de umGET. . . 25
8 Respostatemporalde umGET. . . 31
9 Regras de simpli cação. . . 35
10 Elemento dodióide bidimensional. . . 36
11 Representação multivariável de umGET. . . 37
12 Exemplo comestado aumentado. . . 40
13 Respostatípicade umsistemaracional. . . 41
14 Pré-compensação.. . . 51
15 Realimentação desaída. . . 52
16 Realimentação deestado sobrea entrada. . . 53
17 Realimentação desaída sobreo estado. . . 53
18 Estrutura geral decontrole. . . 57
19 Estrutura emrealimentaçãode estado. . . 59
20 Estrutura emrealimentaçãode estado restrita. . . 68
21 Estrutura emrealimentaçãode estado comP =B eQ=C. . . 71
22 Estrutura emrealimentaçãode saída. . . 71
23 Estrutura emrealimentaçãode estado comP =B eQ=e. . . 73
24 Estrutura emrealimentaçãode estado sobre aentrada. . . 74
25 Estrutura emrealimentaçãode estado comP =ee Q=C. . . 75
26 Estrutura emrealimentaçãode saída sobre oestado. . . 76
30 Resposta impulsivado sistemade embalagem. . . 84
31 Modi caçãoda respostadosistema deembalagem. . . 85
32 Exemplo 6.2- sistemacontrolado bloqueado. . . 92
33 Exemplo 6.2- controlador emrealimentação deestado. . . 92
34 Exemplo 6.4- sistemacomF a+ .. . . 93
35 Exemplo 6.4- sistemacomF b+ . . . 93
36 Exemplo 6.6- controlador ótimoemrealimentação desaída. . . 94
37 Exemplo 6.8- controlador ótimoemrealimentação desaída. . . 95
38 Exemplo 6.9- controlador ótimoemrealimentação desaída. . . 96
39 Exemplo 6.12- controladorótimoemrealimentação de estadorestrito. . . 96
40 Possíveis relaçõesentreespeci cações. . . 101
Æ
= divisãoà direita; resíduodo produto àdireita - pág. 17
Æ
n divisãoà esquerda; resíduodo produto àesquerda - pág. 17
F controlador parao casoirrestrito - pág. 58
GET grafoaeventos temporizado - pág. 1
G
mf
(F) função detransferência dosistemacom controladorF - pág. 58
G
ref
função detransferência especi cada - pág. 58
H=CA
B função detransferência dosistema- pág. 38
e elemento identidade do dióide - pág. 16
^ ín mo- pág. 10
a
operação estrela -pág. 17
L controlador parao casorestrito - pág. 67
M ax in J ;ÆK dióide bidimensional - pág. 35 A=[a ij
] matrizcom elementosa
ij - pág. 18 Z max álgebra max-plus- pág. 26 relaçãode ordem- pág. 9 Z min álgebra min-plus - pág. 32
elemento neutro daadição enulodo produto emdióides - pág. 15
produto em dióides;normalmente adiçãousual - pág. 15
Q matriz de acessoparaobservação dastransiçõesinternas do sistema - pág. 67
SED sistemaa eventosdiscretos -pág. 1
DJx
1 ;:::;x
m
K dióide dasséries de potência emm variáveis com coe cientes emD - pág. 20
a=(a
k
) série depotência comcoe cientesa
k
- pág. 20
soma emdióides; signi cado depende dodióide -pág. 15
_ supremo -pág. 10
Essa tese abordao controle de sistemas a eventos discretos representados por uma classe
parti-cular de redes de Petri denominados Grafos a Eventos Temporizados (GETs), os quais podem ser
descritosporummodelomultivariávelnumaálgebra particular denominadaálgebra dedióides.
As-sim,a tese está fundamentadaem três áreas: sistemas a eventosdiscretos, redes de Petri eálgebra
dedióides.
A gura abaixo mostra uma classi cação geral de sistemas segundo Cassandras e Lafortune
(1999). A fronteira tracejada de ne um Sistema a Eventos Discretos (SED) ou Discrete Event
System (DES). Esses sistemas ocorrem tipicamente em processos de manufatura e em aplicações
de tráfego,com compartilhamento de recursos e/ou tarefas sujeitasà sincronização de eventos. Os
termos em negrito caracterizam o sistema a ser considerado: um sistema dinâmico, invariante no
tempo,não linear, aestado discreto,dirigido aevento, determinístico e atempodiscreto.
SISTEMA
ESTÁTICO
VARIANTE NO TEMPO
LINEAR
ESTADO CONTÍNUO
DIRIGIDO A TEMPO
ESTOCÁSTICO
TEMPO CONTÍNUO
DINÂMICO
INVARIANTE NO TEMPO
NÃO LINEAR
ESTADO DISCRETO
DIRIGIDO A EVENTO
DETERMINÍSTICO
TEMPO DISCRETO
SISTEMA A EVENTOS DISCRETOS
Figura1: Classi cação geral de sistemas.
Adotandoamesma nomenclatura usadaemHo(1989), Cassandras eLafortune (1999), otermo
sistema contínuo é usado aqui para designar Continuous-Variable Dynamic System ou CVDS.
Pertencem aessa classeossistemas dinâmicos descritospor equaçõesdiferenciais (tempo contínuo)
ou a diferenças (tempo discreto) da teoria usual de sistemas. Comparando-se sistemas contínuos
sistema contínuo:
osestadossãovariáveiscontínuas;
o mecanismode transiçãode estado édirigido portempo outime-driven.
sistema a eventos discretos:
osestadossãovariáveisdiscretas;
o mecanismode transiçãode estado édirigido poreventos ou event-driven.
Um grafo a eventos é uma rede de Petri onde cada lugar tem exatamente uma transição de
chegada e uma transição de partida. Assim, grafos a eventos sãoredes de Petri que não modelam
concorrência, restringindo-se apenas à sincronização de eventos. Para uma de nição formal,
pro-priedades edinâmica deredes de Petri emgeral pode-se consultar Peterson(1981). Uma boa visão
geral sobre oassunto comvárias aplicaçõesé encontradaem Murata(1989).
Quandoexisteumtempodeesperaassociadoacada lugar,ografoédenominadografoaeventos
temporizado. Assim,uma chaaoentrarnumlugardevecumprirotempode esperaaeleassociado
antes que possa contribuir para a habilitação da transição de partida desse lugar. A gura abaixo
representaumGET,ondeoslugaressãorepresentadosporcírculoseastransiçõesporlinhasverticais
conectadas por arcos direcionados. As chas ou tokens são representadas dentro dos lugares por
pontos eostemposde espera(em unidadesde tempo)por barras verticais.
u1 u2 y1 y2 x1 x2
Figura2: Grafo a eventos temporizado.
Nessa gura,u
1 e u
2
sãoastransiçõesde entrada, y
1 e y 2 astransiçõesde saída ex 1 ,x 2 sãoas
transiçõesinternas ouestadosdosistema. Seavariávelx(k) associadaàtransiçãox correspondeao
sãoderivadas: x 1 (k) =maxf1+x 1 (k 2);1+x 2 (k 1);1+u 1 (k)g x 2 (k) =maxf1+x 1 (k);2+u 2 (k)g y 1 (k) =x 1 (k) y 2 (k) =x 2 (k)
Essasequaçõessãorecursivasemk,cujasoluçãoétratadanocapítulo2. Aoperaçãode
maximi-zaçãoéumaconsequênciadiretadasincronização. Umatransiçãox
i
disparanotempomáximoentre
osinstantesde tempo dedisparo dastransiçõesx
j
conectadasax
i
somadosao respectivo tempo de
permanênciado lugarqueconectax
j ax
i
. Amarcaçãoinicialapenasintroduzumdeslocamento na
numeração doseventosde cadatransição. Assim,anumeraçãodoseventosemx
1
estáadiantadade
umaunidade emrelaçãoànumeraçãodoseventosemx
2
devidoà cha inicial nolugar queconecta
x
2 a x
1 .
Essasequaçõessãonãolineares quandoescritasna álgebraconvencional. Entretanto,
de nindo-seasoperaçõesdemaximização e soma usualcomo asoperaçõese ,respectivamente, obtêm-se
asseguintes equaçõesde estado:
x 1 (k)=1x 1 (k 2)1x 2 (k 1)1u 1 (k) x 2 (k)=1x 1 (k)2u 2 (k) y 1 (k)=x 1 (k) y 2 (k)=x 2 (k)
Essasequaçõessão lineares numaálgebra não convencional genericamente denominadaálgebra
de dióides, cuja propriedade a ser destacada é a idempotência da operação de adição (aa=a).
Essapropriedadetemcomoconsequênciaainexistênciadaoperaçãoinversadaadição,sendomotivo
devários artigossobre oassunto (Gunawardena, 1998).
Umpequeno histórico sobre oestabelecimento dessasestruturas algébricas e suasaplicações na
descrição de SEDs pode ser encontrado em Gaubert e Max-Plus (1997). Entre os marcos
impor-tantes estão o trabalho de Cuninghame-Green (1979) e posteriormente Cohen et al. (1989). Este
último, revisado e ampliado em Baccelliet al. (1992), deu um tratamento de teoria de sistemas ao
assunto,tornando-sereferênciaobrigatória nadescriçãodeSEDsqueapresentamapenasfenômenos
desincronizaçãodeeventos. Exemplosde aplicaçõespodemserencontradosemCohenetal. (1985)
e Cuninghame-Green (1991). Uma visão recente da área com perspectivas futuras é encontrada
de estado (capítulo2):
X=AXBU
Y =CX
OsvetoresU,XeY dedimensõesm,nepcorrespondemàsvariáveisassociadasàsmtransições
de entrada, ntransiçõesinternas e p transiçõesde saída do sistema, respectivamente. As matrizes
A nn , B nm ,C pn
possuemdescrições apropriadas. Essa representação possuiumaforte analogia
com asequações de estado contínuo da teoria convencional de sistemas. Além disso, uma relação
entrada-saída pode serobtida (funçãode transferência).
Oproblemadecontrole de GETs possuidiversosenfoques,resumidosnocapítulo3. Nessatese,
adota-se uma abordagem por modelo de referência, onde o controlador é obtido de forma que a
função detransferênciadosistemacontrolado satisfaçaumadeterminada especi cação. Aestrutura
de controle proposta introduz uma nova entrada de controle X
c
= FX que usa informação dos
estadosparaatuar diretamente sobreeles, ouseja:
X =(AF)XBU
Y =CX
Essaleidecontrole, ondeF éo controlador aserobtido, corresponde àrealimentaçãodeestado
na sua forma mais geral, quando se tem acesso completo aos estados, e a uma realimentação de
estado restrita,quando o acessoaos estadoséparcial.
Ateseestáorganizadadaseguinteforma. Oscapítulos1e2contêmapenasmaterialencontrado
na bibliogra a, particularmente em Baccelli et al. (1992). Os leitoresfamiliarizados comconceitos
dematemáticadiscretataiscomoconjuntos, relaçõesdeordemeestruturasalgébricasabstratasnão
encontrarão di culdades. Além disso, umconhecimento básico sobre redes dePetri édesejável.
Osleitores habituadoscom a bibliogra a sobre redes de Petri encontrarão, ao longo desta tese,
conceitos e abordagens pouco comuns, mas amplamente consolidados na bibliogra a sobre
mode-lagem de GETs emdióides. Assim,poderãosurgir alguns con itos conceituais que esta tese não é
capazde minimizar,devido basicamenteaosdiferentes enfoquesadotados porcada comunidade.
O capítulo 1 introduz de maneira geral a teoria algébrica utilizada nesta tese para modelar e
controlar umGET: a álgebra de dióides. Como dióidescompartilham propriedades de reticulados,
resultados dateoriadereticuladosqueseaplicama dióidessãotratados nessecapítulo. Nessecaso,
aênfaseé dadaemmapeamentosentrereticulados,abordandoateoria daresiduação eequaçõesde
ponto xo. Por m, alguns dióidesparticulares sãoformalmente de nidos.
O capítulo 2 estabelece modelos de GETs descritos em dióides. De ne o modelo do sistema
O capítulo 3 é um levantamento bibliográ co sobre abordagens de controle de GETs que
utili-zamuma descrição baseada emdióides. Numprimeiro momento sualeitura pode ser omitida, não
comprometendoacompreensãogeraldatese,emborasejaútilparasituá-laemrelaçãoaoutras
abor-dagensde controle. Porém, nesse capítulo são apresentados os principaisresultados da abordagem
decontrole utilizada emCottenceau et al. (2001), coma qualessa tese estárelacionada.
Ascontribuiçõesda tese encontram-se noscapítulos 4, 5e 6. No capítulo4 é proposta uma
es-truturadecontrole por realimentaçãodeestado comacessocompleto aosestadosdosistema. Nesse
caso,ocontroleéobtidoapartirdarepresentaçãodeestadodosistemasegundoaespeci caçãodeum
modelode referência a ser atendido pelo sistemacontrolado. Essaabordagem foi denominada
con-trolemultivariávelporanalogiaàestruturadecontrolemultivariáveldateoriadesistemascontínuos,
embora com outro objetivo. O capítulo 5, com desenvolvimento semelhante ao anterior, considera
acessoparcial aos estados. Por isso, foi denominado controle multivariável restrito. Os resultados
dessescapítulos estabelecemcondiçõespara asquaiso controladorpode seranaliticamenteobtido.
Ocapítulo6organizaentãoessesresultadoseestabeleceumametodologiadeprojetodocontrolador
paradiversas condições. Através de alguns exemplosilustrativos, a metodologia proposta pode ser
veri cada. Por m, a conclusão da tese ressalta asprincipais contribuições desse trabalho e avalia
Base Algébrica
1.1 Introdução
O estudo de estruturas algébricas abstratas pode ser encontrado na literatura de matemática
discreta (Ross e Wright, 1985; Rosen, 1998) ou álgebra moderna (Durbin, 1992). Essasestruturas
sãocaracterizadasporduasoperaçõesbinárias 1
. Esse capítuloreúneosprincipaisresultados sobre
estruturas algébricas genericamente denominadas dióides que constituem a base algébrica da tese.
Ade nição de dióides não difere muito da de nição de estruturas algébricas bemconhecidas como
oanel (compareasde nições eosexemplos1.1 e1.2 aseguir).
Umanel ouring éumconjunto S fechadosobduas operaçõesbinárias+e tal que:
1. (S;+) éumgrupo comutativo;
2. (S;) éumsemigrupo;
3. édistributiva àdireita eà esquerdaem relaçãoa+.
Exemplo 1.1. O conjunto das matrizes quadradas deordem ncomas operações usuaisde somae
adiçãode matrizesé um anel.
Umdióide é umconjunto S fechado sobduasoperaçõesbinárias e talque:
1. (S;) éummonóide comutativo idempotente(8a2S;aa=a);
2. (S;) éummonóide;
3. édistributiva àdireita eà esquerdaem relaçãoa.
1
Um conjunto S com uma operação binária associativa é um semigrupo sob . Um semigrupo com uma
identidadeé chamadoummonóide(ae=ea=a)eummonóideonde qualquerelementopossuiinversaé um
grupo(aa 1
=e=a 1
Exemplo 1.2. OconjuntoZ[f 1gassociadoàsoperações demaximizaçãocomo adiçãoe adição
usual como multiplicação é um dióide denotado Z
max .
Claramente,aorigemdadenominaçãodióidevemdofatodequeessaestruturaalgébricaé
forma-dapor doismonóides. Devido àsemelhança entreasde nições,espera-sequedióidescompartilhem
grandepartedaspropriedadesdaálgebra convencional. Defatoissoocorre,masade nição deuma
operação de adição idempotente introduz uma relação de ordem parcial e faz com que a operação
inversa da adiçãoinexista.
Dióides sãoportanto estruturas que sesituam entrea álgebra convencional e osconjuntos
par-cialmenteordenados dotados deumaoperação internageralmentedenominadamultiplicação.
Dessaforma, muitos dosresultados obtidos em dióides têm suaorigem na teoriados conjuntos
ordenados. Para facilitar a separação desses resultados, esse capítulo é organizado de forma quea
teoriadeconjuntosordenados,oumaisespeci camentedereticulados,sejaapresentadanaseção1.2
de formatotalmente independente dateoriade dióidesna seção 1.3.
Apósalgumasnoçõesgeraissobrereticuladosem1.2.1,aênfasedaseção1.2residenasaplicações
de nidassobrereticulados. Naseção1.2.2discute-seasoluçãodaequaçãof(x)=bsegundoateoria
da residuação, que está relacionada ao conceito de `inversão' de uma aplicação. Já na seção 1.2.3
discute-sea solução de equaçõesdeponto xo f(x)=x.
Aseção1.3forneceumade niçãoaxiomáticadedióideseestabeleceosprincipaisresultadosdessa
teoria. Nessa seção, os resultados da seção 1.2 obtidos para reticulados são aplicados no contexto
de dióides. Finalmente, dois dióidesparticulares sãode nidos: o dióide dasmatrizesna seção1.3.1
e odióide dospolinômiosnaseção 1.3.2. Essesdióidesserão utilizadosnoscapítulos seguintes para
modelarecontrolarGETs. AsprovasdosteoremasdessecapítulopodemserencontradasemBaccelli
et al. (1992),excetoquandohouverumareferência explícitaa outrafonte.
1.2 Reticulados
Um reticulado é um conjunto sobre o qual é de nida uma relação de ordem parcial entre seus
elementos. Esses conjuntos apresentam como principal característica a possibilidade de existência
deelementosnão comparáveis,ouseja, umelemento podenãoserigual,nemmaior enemmenordo
que outro. Esse conceito, apesar de pouco estudado, é frequentemente encontrado na Engenharia.
Por exemplo, o conjunto dos números complexos é um conjunto parcialmente ordenado. Pode-se
dizer que um número complexo z
1
qualquer tem módulo maior ou menor do que outro z
2
. Mais
ainda, pode-se dizer quese omódulode z
1
não é maior do queo módulo de z
2
,entãocom certeza
é menor ou igual. Essa relaçãode ordem entre módulos de números complexosé total, mas não se
aseremcomparados. EmDaveyePriestley(1990), Birkho(1967)encontra-sevastomaterialsobre
ateoriade reticulados. Umaboa introdução relacionada comsistemas a eventos discretospode ser
encontradaemKumare Garg (1995).
1.2.1 Noções básicas
De nição1.3 (Relação de ordem). Umarelação binária re exiva, transitiva e anti-simétrica é
uma relaçãode ordem, denotada .
Uma relação bináriaR sobre umconjunto D é umsub-conjunto de DD. Dados a;b;c 2 D,
R é re exiva se (a;a) 2 R ; transitiva se (a;b) 2 R e (b;c) 2 R , então (a;c) 2 R ; anti-simétrica
se (a;b) 2 R e (b;a) 2 R , então a = b. Portanto, numa relação de ordem, se dois elementos a e
b são comparáveis (pertencem a R ), então a b ou b a. Entretanto, existe a possibilidade de
doiselementosaeb seremnãocomparáveis,ouseja, nãopertencerem aR . Nessecaso,não sepode
a rmar queab nemqueba, pois nãoexiste relaçãode ordem entre ae b.
Nota 1.4. O símbolo é usado para diferenciá-lo da relação deordem numérica . Porexemplo,
numa relaçãodeordemparcial decontinência, dados dois conjuntosA e B,AB se e somentese
AB. Como usual, ab e ba são equivalentes.
De nição1.5 (Conjunto parcialmente ordenado). O par (D;), onde D é um conjunto e
é uma relação deordemsobre D, é chamado conjunto parcialmente ordenado, denotado D.
Conjuntosparcialmenteordenados podemsergra camenterepresentadospordiagramasde
Has-se. EssediagramaéumgrafocujosvérticessãoelementosdoconjuntoDearcosconectamelementos
comparáveis (o maiorelemento acima do menorno diagrama). Onúmeromínimo de arcos é
repre-sentadode formaqueoutras possíveis comparaçõessãoderivadaspor transitividade.
A Fig.3mostra doisexemplosdesses conjuntos, a partir da qualsepodea rmar que:
edbae f d ca; a 0 b 0 d 0 e 0 e a 0 c 0 d 0 f 0 ; (b;c), (e;f),(b 0 ;c 0 ) e(e 0 ;f 0
) sãonão comparáveis;
U =fa;b;c;dgé o conjunto dosmajorantes ouupper-bounds de X,ou seja, o conjunto dos
elementos maiores que qualquer elemento de X. O elemento d é o supremo ou least upper
bound deX. Notequedéoelementomínimode U ecasopertençaaX,entãodéo máximo
L =fa 0 ;b 0 ;c 0 ;d 0
g é o conjunto dos minorantes ou lower-bounds de X (de nição análoga) e
d 0
é oín mo ou greatest lower bound de X. Note qued 0
é o elemento máximo de L e caso
pertença aX,entãod 0 é omínimo de X. a b c d e f a 0 b 0 c 0 d 0 e 0 f 0 U L (D;) (D;) (D;) X X
Figura3: Conjuntos parcialmenteordenados.
Nota 1.6. A nomenclatura utilizada emreticulados pode diferir. Na literatura, onde se encontra o
termo majorante para upper-bound, o termo upper-bound é usado comoleast upper-bound.
Quando todos os elementos são comparáveis, o ordenamento é total e o diagrama de Hasse é
umareta.
Notação 1.7 (Supremo). Dadosdois elementos ae b de umconjuntoordenadoD, osupremo de
fa;bg é denotado supfa;bg oua_b.
Notação 1.8 (Ín mo). Dadosdoiselementosae bdeumconjuntoordenadoD,oín modefa;bg
é denotado inffa;bg ou a^b.
De nição 1.9 (Semireticulado superior). Um conjunto ordenado Dé um semireticulado sup
e-rior quando existe o supremo dequalquer sub-conjunto nito de D.
Esse é o caso do conjunto à esquerda na Fig. 3. De nição análoga existe para semireticulado
inferior, que éo casodo conjunto àdireita naFig. 3.
De nição 1.10 (Reticulado). Um conjunto ordenado D onde existe um supremo e um ín mo
para qualquer sub-conjunto nito deD é chamado reticulado ou lattice.
Quandoossub-conjuntosconsiderados podemserin nitos, têm-seasde niçõesde
semireticula-dossuperior e inferiorcompletos, assimcomo ade reticulado completo.
De nição 1.11 (Topo e fundo). O supremo deum conjunto ordenado, quandoexiste, é
1.2.2 Elementos de teoria da residuação
Nessaseçãoconsideram-semapeamentosentrereticuladoscompletosnosquaisarelaçãodeordem
entreelementosdodomínioépreservadanaimagem. Ointeressenoestudodessesmapeamentosestá
na`solução' deequaçõesdo tipof(x)=b. Asolução dessa equação requeralgum tipode`inversão'
queétratada pelateoriada residuação(Blyth e Janowitz, 1972).
Por exemplo,sef fornão-sobrejetora,essaequaçãonãoterásoluçãoparaalgunsvaloresdebese
f fornão-injetorapoderátervárias soluções. Umaalternativaéconsideraroconjuntodaschamadas
subsoluções,ouseja,osvaloresdexquesatisfazemadesigualdade f(x)betomaromáximo desse
conjunto, caso exista. Outra possibilidade é considerar o conjunto das chamadas supersoluções, ou
seja,osvaloresdex quesatisfazem adesigualdade f(x)b etomar omínimo desse conjunto,caso
exista.
Demaneirageral,dadaumaaplicaçãof :D!C,ondeDeCsãoreticuladoscompletos,deseja-se
responderàsseguintes questões. Paratodob2C:
existe solução máxima paraf(x)b?
existe solução mínima paraf(x)b?
Asrespostasàsquestõesacimaestãobaseadasempropriedadesdecontinuidadedomapeamento
f. Issoé discutido aseguir.
De nição1.12 (Mapeamento isotônico e antitônico). Ummapeamentof deumconjunto
or-denadoD em um conjunto ordenado Cé isotônico (antitônico) se 8a;b 2D então ab)f(a)
f(b)(f(a)f(b)).
Um mapeamento isotônico preserva a ordem entre elementos do domínio e da imagem da
apli-cação,enquanto umantitônico inverte a ordem.
De nição1.13 (Semicontinuidade inferior). Um mapeamento f de umreticulado completo D
em um reticulado completo C é semicontínuo inferior ou lower-semicontinuous se, para qualquer
subconjunto X ( nitoou in nito)de D,
f _ x2X x = _ x2X f(x)
Aparentemente, semicontinuidade inferiordecorre de isotonia,mas issonão é verdade. A Fig.4
mostraummapeamento isotônico,masnão-semicontínuo inferior. Nessa gura,X =fxjf(x)bg
eY é aimagemde X emC. Nessecaso,o supremodeX não ésolução def(x)beportanto, não
D D C X Y y=f(x) y=f(x) b Figura4: Isotonia.
Já naFig. 5,a propriedadede semicontinuidade inferiorgarante queo supremode X é solução
de f(x) b e portanto, pertence a X. Logo, o supremo de X é a solução máxima do problema e
suaimagem é oelemento máximo de Y.
D D C X X Y Y y=f(x) b
Figura5: Semicontinuidade inferior.
Teorema 1.14 (Mapeamento residuado). Seja f um mapeamento isotônico de um reticulado
completo D em um reticulado completo C. Existe uma subsolução máxima x
max = f
]
(b) para a
equação f(x)=bse e somentese f()=e f é semicontínuoinferior. O mapeamento f é dito ser
residuado e f ]
é seuresíduo.
Oteorema1.14éfundamentalnade niçãodoresíduodoprodutoemdióides,quecorrespondeà
operaçãodedivisão,introduzidapelanotação1.36. Porsuavez,oresíduodoprodutoéextensamente
utilizado noscapítulos 3,4,5 e6 sobrecontrole de GETs.
Ao considerarasolução daequação f(x)=b,pode-setambémmodi caro problemadeformaa
obter o conjunto dassupersoluções, ou seja, valoresde x que satisfazem a desigualdade f(x)be
De nição1.15 (Semicontinuidade superior). Ummapeamentof deumreticuladocompletoD
emum reticulado completo Cé semicontínuo superior ou upper-semicontinuous se, para qualquer
subconjunto X ( nitoou in nito)de D,
f ^ x2X x = ^ x2X f(x)
Teorema 1.16 (Mapeamento dualmente residuado). Sejaf ummapeamentoisotônicodeum
dióide completo D emum dióide completo C. Existe uma supersolução mínima x
min =f
[
(b) para a
equação f(x)=b se e somentese f(>) => e f é semicontínuo superior. O mapeamento f é dito
serdualmente residuado e f [
é seu resíduo dual.
Embora desnecessário parao desenvolvimento da tese, o teorema1.16 é enunciado aqui apenas
comoumresultado dualdoteorema 1.14.
Nota 1.17 (Continuidade). Um mapeamentoé contínuosefor tantosemicontínuoinferior
quan-to semicontínuo superior. Nesse caso, o resíduo e o resíduo dual existem, assim como a melhor
aproximação de b por f(x) tantoinferiormente quanto superiormente.
Asseguintespropriedades severi cam para o resíduoeo resíduodualde ummapeamento f:
x max =f ] (b)e x min =f [
(b), quandoexistem, sãoúnicos (1.1a)
f(x max )be f(x min )b (1.1b) f(f ] (x))x ef(f [ (x))x (1.1c) f ] (f(x))x ef [ (f(x))x (1.1d) f ] (f(x))=x,f injetora,f ]
sobrejetora(o mesmo para f [ ) (1.1e) f(f ] (x))=x,f ]
injetora,f sobrejetora(o mesmo para f [
) (1.1f)
Aspropriedades (1.1a) -(1.1d) decorremimediatamentedasde niçõesde resíduoe resíduodual.
A propriedade (1.1e) estabelece que x
max
= b é a solução máxima de f(x) f(b) e a
proprieda-de (1.1f) estabelece que a solução máxima de f(x)b é solução (máxima) da igualdadef(x) =b
(analogamente parasolução mínimade f(x)b).
1.2.3 Equações de ponto xo
Na seção 1.2.2, discutiu-se a `solução' da equação f(x)= b através da de nição dos conjuntos
desubsoluçõesesupersoluções. Nesta seção,discute-seasolução da equação f(x)=x denominada
isotonia éuma condição su ciente paraexistênciade pontos xosde f;
sef forsemicontínuainferiorousuperior,entãoépossívelobtersoluçõesextremasdef(x)=x
(máximaou mínima).
Paraisso, considereosseguintes conjuntos:
D \ f =fxjf(x)=xg D [ f =fxjf(x)xg D ] f =fxjf(x)xg Obviamente, D \ f =D [ f \D ] f
. O teorema 1.18 abaixo garante a existência de pontos xos para
ummapeamento isotônico (Tarski,1955).
Teorema 1.18 (Teorema de ponto- xo de Tarski). Se f é isotônica, então D \ f é não-vazio. Logo, D [ f e D ] f são não-vazios.
De nição 1.19 (Mapeamento de fecho e fecho dual). Seja D um conjunto ordenado e f :
D ! D um mapeamento isotônico tal que f(x) = f(f(x)) x. Então, f é chamado um
ma-peamento fechamento ou closure mapping. Se f(x) = f(f(x)) x, então f é um mapeamento
fechamentodual oudual closure mapping.
Lema 1.20. Seja f um mapeamento de um reticulado completo D em D. Se f é semicontínua
inferior,entãof
éomenormapeamentofechamentomaiordoque f. Sef é semicontínuosuperior,
então f
é o maiormapeamento fechamento dual menor doque f,onde
f = +1 _ k=0 f k f = +1 ^ k=0 f k f k =fÆÆf | {z } kvezes e f 0 (x)=x.
Finalmente,osteoremas 1.21e 1.22a seguirestabelecemassoluçõesextremasde f(x)=x.
Teorema 1.21. Sef é semicontínuoinferior,entãoD [ f =f (D). Oelemento mínimo éf (), que pertence também a D \ f
e, portanto, é o elemento mínimodesse subconjunto.
Teorema 1.22. Se f é semicontínuo superior, então D ] f = f (D). O elemento máximo é f (>),
que pertence tambéma D \
f
e, portanto,é o elemento máximo desse subconjunto.
Estes teoremas são necessários para a demonstração dos teoremas 1.40 e 1.41 da seção 1.3, os
1.3 Dióides
O conceito de dióide foi introduzido na seção 1.1 pela de nição das operações binárias
(so-maou adição) e (produto ou multiplicação). Essasestruturas algébricas sãocaracterizadas pela
idempotência da operação de adição. Isso permite de nir uma relação de ordem parcial em
diói-des. Portanto, dióides compartilham tanto aspectos da álgebra convencional como dos conjuntos
parcialmente ordenados.
Essasestruturas sãotambém denominadas semianéisidempotentes, umavez que aoperação de
adição de ne um semigrupo comutativo idempotente, ou lattice-ordered semigroups, na teoria de
reticulados.
Essaseçãoforneceumade niçãoaxiomáticadedióidessegundo Baccellietal.(1992)eestabelece
osprincipais resultados dessa teoria. Muitos deles já foram desenvolvidos na seção anterior, sendo
agoraaplicadosno contextode dióides.
De nição1.23 (Dióide). Um dióide é um conjunto Ddotado das operações (soma ou adição)
e (produtoou multiplicação)que satisfaz osseguintesaxiomas:
Axioma 1.24 (Associatividade da adição).
8a;b;c2D (ab)c=a(bc)
Axioma 1.25 (Comutatividade da adição).
8a;b2D ab=ba
Axioma 1.26 (Associatividade da multiplicação).
8a;b;c2D (ab)c=a(bc)
Axioma 1.27 (Distributividade da multiplicação em relação à adição).
8a;b;c2D
(ab)c=(ac)(bc)
c(ab)=(ca)(cb)
Axioma 1.28 (Elemento neutro).
92D:8a2D a=a
Axioma 1.29 (Absorção pelo elemento nulo).
Axioma 1.30 (Elemento identidade).
9e2D:8a2D ae=ea=a
Axioma 1.31 (Idempotência da adição).
8a2D aa=a
Nota 1.32. Comousual, osímbolodemultiplicaçãoéfrequentemente omitido. Assim,ab=ab.
Oteorema1.33 abaixo estabelece formalmente arelação entre dióides econjuntos parcialmente
ordenados.
Teorema 1.33 (Relação de ordem em dióides). Em umdióide D,tem-seaseguinte
equivalên-cia:
8a;b:a=ab,9c:a=bc
Essas a rmativasde nem uma relação deordem (parcial)denotada como:
ba,a=ab
Essarelação deordem é compatível coma adição,
ba)f8c; bcacg
e com a multiplicação,
ba)f8c; bcacg
(omesmopara oprodutoàesquerda). DoiselementosaebemDsempretêm umsupremo,dado
por ab, sendo o elemento defundo deD.
Associando-seosupremoàoperaçãodeadiçãoemdióides,de ne-seumaestruturade
semireticu-ladosuperior. Alémdisso,oelementoneutrodaadiçãoemdióidesgaranteaexistênciadoelemento
de fundo. Como um semireticulado superior com umelemento de fundo é um reticulado (Baccelli
et al.,1992, Teo. 4.27),dióides sãoportanto reticulados.
De nição 1.34 (Subdióide). Um subconjunto C de um dióide D é denominado um subdióide de
D se fe;g2C e C é fechadopara as operações e .
Num dióide completo, o elemento de topo do dióide existe e é igual à soma de todos os seus
elementos. Umdióide completo é umreticulado completo cujos elementos de topo e de fundo são
denotados> e, respectivamente.
A seguir, a operação de divisão é de nida como o resíduo do produto. Pode-se mostrar que
L
a
(x)=axe R
a
(x)=xasãoaplicaçõessemicontínuasinferioresdevido à distributividade da
multiplicaçãoemrelaçãoàadição. Segundoade nição1.13,acondiçãodesemicontinuidadeinferior
emdióidesé obtidapelasubstituição dosupremo pelasoma:
f M x2X x = M x2X f(x) (1.2) ComoL a ()=R a
()=,devidoaoteorema1.14, essasaplicaçõessãoambasresiduadaseaseguinte
notaçãoseaplica.
Notação 1.36 (Divisão). Sejam L
a
(x) = ax e R
a
(x) = xa mapeamentos semicontínuos
inferiores. Esses mapeamentossão ambos residuados e seus resíduos são denotados:
L ] a (x)= aÆ nx= x a
(`divisãoà esquerda'por a)
R ] a (x)=x Æ =a= x a
(`divisãoà direita'por a)
Anotação c=a Æ
n bde nida numdióide Dpossuio seguintesigni cado: c éo maior elemento de
Dque multiplicado por aà esquerda é menor do que b. Em outras palavras, x
max
=c é a solução
máxima de axb. Analogamente paraa divisão à direita. A partir danotação 1.36 acima, várias
relaçõesenvolvendo divisão podemser derivadas. Algumas delasestão reunidasno apêndice A.
De nição1.37 (Estrela de Kleene). Dado a num dióide D qualquer, de ne-se a operação
ouKleene star como a =eaa 2 :::, onde a k =aaa (k vezes).
A partir dessa operação, de ne-se a aplicação estrela de Kleene como K
s
(x) = x
. Embora
essa aplicação não seja em geral residuada, como discutido em Cottenceau (1999), existe solução
máxima paraK
s
(x)bquando serestringe bà imagem deK
s
,conforme olema 1.38 aseguir.
Lema 1.38. (Cottenceauetal.,2001,Cor. 16)Ainequaçãox
b
temsoluçãomáximax
max =b . Além disso, x max satisfaz a igualdade.
Umamaneira simplesde veri carsea=a
édada pelo lema 1.39a seguir.
Lema 1.39. Dado anum dióide D qualquer, a =a see somentese a 2 =ae. Demonstração. ) Se a = a, então e a pois e a e, portanto, a a 2 devido à isotonia do produto. Porém,a 2 apoisa 2 a . Logo,aa 2 aeportanto,a 2 =a. (Sea 2 =ae, então 2 2
Os teoremas 1.40 e 1.41 a seguir estabelecem assoluções mínimas e máximas das equações de
ponto xox=axbe x= aÆ
n x^b,respectivamente, de nidas numdióide completo.
Teorema 1.40. Dados ae bnum dióide completo De f(x)=axb, então
1. a
b é a menor solução def(x)x e f(x)=x.
2. qualquer solução def(x)x e f(x)=x satisfaz x=a
x.
Ademonstração doteorema1.40acima usaoteorema1.21. Paraf(x)=axb,pode-semostrar
quef (x)=a (xb). Logo,f ()=a
béasolução mínimadexaxb. Essasolução étambém
solução da igualdadex=axb. Esta equaçãoocorre nomodelo lineardeumGET, conformeserá
discutido nocapítulo 2.
Teorema 1.41. Dados ae bnum dióide completo De f(x)= aÆ n x^b, então 1. a Æ nb é a maior solução def(x)x e f(x)=x.
2. qualquer solução def(x)x e f(x)=x satisfaz x=a
Æ
nx.
A demonstração desse teorema usa o teorema 1.22. Para f(x) =a Æ
n x^b, pode-se mostar que
f (x)=a Æ n (x^b). Logo, f (>)=a Æ nb éa soluçãomáxima dex aÆ
nx^b. Essasolução é também
solução da igualdadex=a Æ
n x^b. Embora esteteoremanão sejautilizado natese,juntamente com
o teorema1.40, está entre osprincipaisresultados dateoria dedióides.
1.3.1 Matrizes
Apartirde umdióide Dqualquer,pode-se de nir oconjunto dasmatrizesquadradas deordem
ncom elementosem D. Sobreesse conjunto,asseguintes operaçõessãode nidas.
De nição 1.42 (Soma de matrizes). Sejam A e B duas matrizes quadradas de ordem n com
elementos em D. A somade A e B é de nida por:
AB =[a
ij b
ij ]
De nição 1.43 (Produto de matrizes). Sejam Ae B duasmatrizesquadradas de ordemncom
elementos em D. O produtode A por B é de nidopor:
AB = n M k=1 (a ik b kj )
Notequeasomaeoproduto dematrizessãode nidosdamaneiraconvencional, substituindo-se
Lema 1.44 (Dióide de matrizes). O conjunto das matrizes quadradas de ordem n com
elemen-tos num dióide D qualquer, dotado das operações de soma e multiplicação dadas pelas
de ni-ções 1.42 e 1.43 é um dióide denotado D nn
. O elemento identidade de D nn
é denotado
sim-plesmente e, correspondendo à matriz identidade formada por elementos e na diagonal e fora
da diagonal. O elemento nulo é denotado , correspondendo à matriz nula formada somente por
elementos .
Note queo produto de matrizesquadradas é uma matrizquadrada e portanto, a multiplicação
permaneceumaoperaçãointerna. IssodáaD nn
umaestruturadedióide. Problemascommatrizes
não-quadradaspodemserreduzidosaocasoquadrado,completandolinhasecolunascomdeforma
atorná-las quadradas.
De nição1.45 (Relação de ordem em matrizes). DadosA e B2D nn tem-se AB ,a ij b ij i;j=1;:::;n
Lema 1.46 (Divisão de matrizes). Dadas duas matrizes A 2 D mn
e B 2 D mp
, a divisão à
esquerda deB por A é uma matriznp dada por:
A Æ nB= m ^ k=1 (a ki Æ nb kj )
Adivisão à direita é de nidaanalogamente.
Note que a divisão à esquerda corresponde a uma espécie de produto à esquerda de B pela
transposta de A,onde a multiplicação de escalaresé substituída pela divisão à esquerdae a adição
peloín mo. De nição análogapode serobtida para a divisãoà direita.
Nota 1.47. Isso não signi ca que a divisão possa ser obtida pela multiplicação de uma matriz à
esquerda (ouà direita),poisnesse caso ter-se-ia a matrizinversa.
Finalmente, paraseobterA
a partir deuma matrizA dada,o seguinte lemaé usado.
Lema 1.48. SejaA2D nn
uma matriz particionada em quatro blocos, ou seja,
A= a 11 a 12 a 21 a 22 ! Nesse caso, A = a 11 a 11 a 12 (a 21 a 11 a 12 a 22 ) a 21 a 11 a 11 a 12 (a 21 a 11 a 12 a 22 ) (a 21 a a 12 a 22 ) a 21 a (a 21 a a 12 a 22 ) !
1.3.2 Séries de potência e polinômios
A partir de um dióide completo D, pode-se de nir o conjunto das séries de potência em m
variáveiscom coe cientes emD.
De nição 1.49 (Série de potência). Umasérieformaldepotênciaaemmvariáveiscomutativas
x i (i=1:::m)comcoe cientes a k emD, k=(k 1 ;:::;k m )2Z m ,é de nidapor: a= M k2Z m a k x k1 1 :::x k m m Notação: a=(a k ).
De nição 1.50 (Soma de sériesde potência). Sejam ae bduassériesdepotência. Asomade
a e b é de nidapor: ab=(a k b k )
De nição 1.51 (Produto de séries de potência). Sejam ae b duas séries depotência. O
pro-duto dea por b é de nido por:
ab= M i+j=k a i b j
Lema 1.52 (Dióide das séries de potência). Oconjuntodas sériesdepotênciaem mvariáveis
com coe cientes num dióide completo D, dotado das operações de soma e multiplicação de nidas
em 1.50 e 1.51 é um dióide denotado DJx 1 ;:::;x m K. O elemento identidade de DJx 1 ;:::;x m K é
denotado simplesmente e, correspondendo à série com coe cientes a
0
= e, a
k
= para k 6= 0. O
elemento nulo é denotado , correspondendo à série comcoe cientes iguais a .
De nição 1.53 (Relação de ordemem séries). Dados ae b2DJx
1 ;:::;x m Ktem-se ab,a k b k 8k
Lema 1.54 (Divisão de séries de potência). Dadas duas séries de potência a e b, a divisão à
esquerdade b por a é uma série de potência dada por:
a Æ n b= ^ i j=k a j Æ nb i
A divisão à direita é de nida analogamente.
De nição 1.55 (Suporte, graue valoração). Dado a2DJx
1 ;:::;x m Kde ne-se 1. suporte: supo(a)=fk2Z m ja 6=g
2. grau: grau(a)=supfsupo(a)g
3. valoração: val(a)=inffsupo(a)g
Exemplo 1.56. a=a 1 x 2 y 5 a 2 x 4
y é um polinômioem duasvariáveis (x;y) comcoe cientes a
1 e
a
2
, supo(a)=f(2;5);(4;1)g, grau(a)=(4;5) e val(a)=(2;1).
De nição1.57 (Polinômio). Um polinômioé uma série de potência nita com expoentes em N.
Portanto, polinômios possuem suporte nito. Quandoreduzido a umúnico elemento é
denomi-nado monômio. Pode-se mostrar que o conjunto dospolinômios é um subdióide de DJx
1 ;:::;x m K denotadoD[x 1 ;:::;x m ].
Nota 1.58. A divisão de séries de potência pode gerar coe cientes negativos. Nesse caso, têm-se
as chamadas séries de Laurent. Dados dois polinômios a e b, tem-se que V i j=k a j Æ nb i = para k
negativo se os expoentes estão restritos a N, caso contrário a divisão de polinômios nãoproduz um
polinômio.
Essaobservaçãopodeser feitaparaoutros subconjuntos dassériesde potência. Por exemplo,a
divisão deséries ditas racionais, extensamente utilizada a partir do capítulo4, pode resultar numa
sérienão-racional. Isso édiscutido na seção2.5.2.
1.4 Conclusão
Osprincipaisresultadosdestecapítulosãoresumidosaseguir. Umdióideéumconjunto dotado
deduasoperações(somaouadição)e(produtooumultiplicação),associativasecomelementos
neutroseerespectivamente,tais que: é comutativa eidempotente(aa=a), édistributiva
emrelaçãoaeéoelemento nulodamultiplicação(a=a=). Aidempotência daadição
de neumarelaçãodeordemparcialqueconfereaosdióidespropriedadesdeconjuntosparcialmente
ordenados.
Noestudo dosmapeamentossobredióides,apropriedade desemicontinuidade (superior ou
infe-rior)permiteobterdiversosresultados. Notadamente,aobtençãodoresíduodoproduto(àesquerda
eàdireita)de ne aoperaçãodedivisão(à esquerdaeàdireita). Assim,c=a Æ
nbéo maiorelemento
quemultiplicadopor aà esquerdaé menordo queb ec= bÆ
= aé omaior elemento quemultiplicado
por aà direitaé menordo queb.
Outro resultado importante é dado pelo teorema 1.40. Dados a e b num dióide completo e
f(x)=axb,entãoa
béasoluçãomínimadef(x)xef(x)=x. Comoserávistonocapítulo2,
umGET podeser descritopelaseguinteequação de estado:
Peloteorema1.40,essaequaçãotemsolução mínimaX=(A
B)U. Nocapítulo2mostra-seque
Modelos Lineares de GETs em Dióides
2.1 Introdução
UmsistemaaeventosdiscretosouSED ocorre,porexemplo,emprocessosde manufatura, onde
existemrecursos aseremcompartilhados e/ou tarefassujeitasàsincronizaçãode eventos. Umgrafo
aeventostemporizado ouGET éumaclasseparticular deredesde Petri capazdemodelarumSED
queapresenta apenas aspectosde sincronização deeventos.
O equacionamento da dinâmica de um GET baseado na operação de maximização conduz a
modelosnão-linearesnaálgebraconvencional. Nestecapítulo,mostra-sequemodeloslinearesdesses
sistemaspodemser obtidos naálgebra de dióides, formalmenteintroduzida nocapítulo 1.
Omodeloobtidonestecapítulocorrespondeaummodelonoespaçodeestadoanálogoaoobtido
na teoria de sistemas lineares. Neste caso, obtém-se uma representação entrada-saída do sistema
denominada função de transferência.
A ênfasedeste capítulose dána modelagemde GETs atravésde estruturas algébricas similares
às transformadas na teoria convencional de sistemas. Entretanto, a de nição formal dessas
estru-turas requer uma fundamentação algébrica que recorre a isomor smos, quocientes de dióides por
congruênciase teoriadaresiduação. Issocontribuipouco paraacompreensão geral datese,motivo
pelo qual seoptou por umaapresentação mais operacional do que formaldo assunto. Em Baccelli
et al. (1992) encontra-se material detalhado sobre o assunto, incluindo as de nições formais das
estruturas algébricas utilizadasnessa tese.
Este capítuloestá organizadoda seguinte forma. Aseção 2.2 de ne umgrafoa eventos
tempo-rizado e estabelece asregras de disparo das transições que determinam suadinâmica. Nessaseção
sãointroduzidas asvariáveisutilizadas noequacionamento dessessistemas: datadores econtadores
- seções 2.2.2 e2.2.3, respectivamente. Apartir dessasseções, o modelolinear deum GET é
bidimensional da seção 2.3. Essa representação corresponde ao modelo linear no espaço de estado
que seráutilizado no restante datese paraprojetar o controle de umGET. Esse modelodá origem
na seção2.4 àfunção de transferênciado sistema,cujas propriedadessão estudadasnaseção 2.5.
2.2 Grafo a eventos temporizado (GET)
De nição 2.1 (GET). Uma rede de Petri é denominada um grafo a eventos se cada lugar tem
exatamente uma transição de chegada e uma transição de partida. Um grafoa eventos é dito
tem-porizado(GET)se existe umtempo de espera associado a cadalugar dografo.
Nessecaso,uma chaaoentrarnumlugardevecumprirotempodeesperaassociadoaestelugar
antesquepossacontribuirparaahabilitaçãodatransiçãodepartidadesselugar. EmRamamoorthy
e Ho (1980),diversaspropriedades de GETs sãodemonstradas.
Nota 2.2. A temporização de um GET pode estar associada ao tempo de disparo das transições.
Entretanto, nesta teseconsidera-se que o disparo de uma transição é instantâneo, ou seja, o tempo
decorrido entre o início e a conclusão dodisparo é nulo. Essa escolha porém, não representa perda
de generalidade (Baccelli etal., 1992).
AFig.6abaixorepresentaumGET,ondeoslugaressãorepresentadosporcírculoseastransições
porlinhasverticaisconectadasporarcosdirecionados. ComonumarededePetriqualquer,transições
seconectamapenasalugaresevice-versa. As chasoutokens sãorepresentadasdentrodoslugares
por pontose ostemposde espera(em unidades detempo) por barras verticais.
u1 u2 y1 y2 x1 x2
Figura6: Exemplo de umGET.
Nota 2.3. Embora a modelagem de GETs na álgebra de dióides permita tempos de espera
perten-centes aoconjunto dos números reais e possivelmente variantes no tempo (Baccelli et al., 1992), os
GETs considerados nestatese apresentamapenastempos deespera constantes, inteiros e positivos.
denominadasinternas. NoGETdaFig.6,u
1 eu
2
sãoastransiçõesdeentrada,y
1 ey 2 astransições desaída e x 1 ,x 2
sãoastransições internas ouestadosdo sistema.
2.2.1 Dinâmica
A dinâmica de um GET á dada pelas mesmas regras de habilitação e disparo de umarede de
Petri,acrescida daregrade temporizaçãodas chas. Ummecanismode temporizaçãoglobal possui
valor inicial t = 0 e a numeração dos disparos de cada transição atribui valor k = 0 ao primeiro
disparo da transição que ocorre em t 0, por convenção. Assume-se que as chas da marcação
inicial já cumpriram seu tempo de espera (estando disponíveis desde t= 1) e que as transições
internas e de saída disparam assim que habilitadas (solução mínima). Em Baccelli et al. (1992),
encontra-seumadiscussão completa sobreessascondiçõescanônicas.
UmexemplodadinâmicadoGET daFig.6é mostradonaFig.7. Suponhaqueemt=0ocorre
um disparo em cada transição de entrada. Instantaneamente uma cha é depositada no lugar de
partida decada transição. Nessecaso, o disparo datransição x
1
,quedeveria ocorrer numarede de
Petri convencional, não ocorre devido à temporização do lugar de partida de u
1 . Omesmo ocorre comx 2 . O disparo dex 1
se daráapenas emt=1,quando a cha proveniente de u
1
terácumprido
seutempodeesperade umaunidadedetempo. Logo, atransiçãox
1
setornahabilitada emt=1e
dispara, removendo uma cha de seus lugares de chegada e depositandouma cha em cada um de
seuslugaresde partida. A transição x
2
será habilitada apenas emt=2.
u1 u1 u2 u2 y1 y1 y2 y2 x1 x1 x2 x2 t=0 t=1
Figura7: Dinâmica de umGET.
2.2.2 Datadores
Nesta seção equaciona-se a dinâmica de umGET de forma que sepossa descrevera sequência
temporaldedisparodasdiversastransiçõesparaumadadasequênciatemporaldedisparodaentrada.
Assume-sequea sequência dedisparo da entradaé livre edeve ser fornecida externamente.
De nição 2.4 (Datadores). Um datadoré umavariável x(k) associada a umatransição que
cor-responde aoinstantede tempo no qual ocorre o evento de número k dessa transição.
Uma de nição formal e precisa é dada em Baccelli et al. (1992, Def. 5.5), onde datadores
são de nidos como mapeamentos não-decrescentes. Entretanto, a de nição 2.4 é su ciente paraa
compreensão da maioriados conceitosapresentados nessecapítulo.
Nota 2.5. Datadores são sequências temporais não-decrescentes, pois os eventos se sucedem um
após o outro no tempo e aos quais são atribuídos números de sequência em ordem crescente de
ocorrência. No entanto,vários eventospodem ocorrer na mesmadata.
Assim,paraosistemada Fig.6,podem-se escreverasseguintesequações:
x 1 (k)=max f1+x 1 (k 2);1+x 2 (k 1);1+u 1 (k)g (2.1a) x 2 (k)=max f1+x 1 (k);2+u 2 (k)g (2.1b) y 1 (k)=x 1 (k) (2.1c) y 2 (k)=x 2 (k) (2.1d)
A operação de maximização é uma consequência direta da sincronização. Uma transição x
i
dispara notempo máximoentreosinstantesde tempo dedisparo dastransiçõesx
j
conectadasax
i
somadosaorespectivotempodepermanênciadolugarqueconectax
j ax
i
. Amarcaçãoinicialapenas
introduz umdeslocamento nanumeraçãodoseventos de cada transição. Issoestá representadonas
equações(2.1) acima.
Conforme o exemplo da Fig. 7, o primeiro evento (k =0) de cada transição de entrada ocorre
em t=0. Logo,u 1 (0)=u 2 (0)=0 eo primeiro evento de x 1 e y 1
ocorre emt=1 assimcomo ode
x 2 e y 2 emt=2,segundo asequações: x 1 (0)=max f1+x 1 ( 2);1+x 2 ( 1);1+u 1 (0)g=1 poisx 1 ( 2)=x 2 ( 1)= 1 (2.2a) x 2 (0)=max f1+x 1 (0);2+u 2 (0)g=2 (2.2b) y 1 (0)=x 1 (0)=1 (2.2c) y 2 (0)=x 2 (0)=2 (2.2d)
Estasequaçõessãonão-linearesquandoescritasnaálgebra convencional. Entretanto,
de nindo-se as operações de maximização e soma usual como as operações e , respectivamente, de um
dióide apropriado, obtêm-se equações lineares.
De nição 2.6 (Álgebra Max-plus). OconjuntoZ[f+1; 1gdotadodasoperações maxcomo
e adição usual como com elementos e e correspondendo a zero e 1, respectivamente, é
denominado álgebra Max-plus, também denotada Z
max
EstaálgebraéapropriadapararepresentarumGET descritopormeiodedatadores. Nessecaso,
asequações(2.1) podemserescritascomo:
x 1 (k)=1x 1 (k 2)1x 2 (k 1)1u 1 (k) (2.3a) x 2 (k)=1x 1 (k)2u 2 (k) (2.3b) y 1 (k)=x 1 (k) (2.3c) y 2 (k)=x 2 (k) (2.3d)
Paraseobterequaçõesrecursivasemapenasumavariáveldeestado,substitui-sex
2 (k)naequação dex 1 (k). Logo, x 1 (k)=1x 1 (k 2)1x 2 (k 1)1u 1 (k) =1x 1 (k 2)1[1x 1 (k 1)2u 2 (k 1)]1u 1 (k) =2x 1 (k 1)1x 1 (k 2)1u 1 (k)3u 2 (k 1) =(21)x 1 (k 1)1x 1 (k 2)1u 1 (k)3u 2 (k 1) =2x 1 (k 1)1x 1 (k 1)1x 1 (k 2)1u 1 (k)3u 2 (k 1) =2x 1 (k 1)1[x 1 (k 1)x 1 (k 2)]1u 1 (k)3u 2 (k 1) =2x 1 (k 1)1x 1 (k 1)1u 1 (k)3u 2 (k 1) =(21)x 1 (k 1)1u 1 (k)3u 2 (k 1) =2x 1 (k 1)1u 1 (k)3u 2 (k 1) (2.4)
Nasequaçõesacimaforamusadasduasregrasdesimpli cação. Aprimeiraéóbvia,pois2=21
nodióideZ
max
. Já asegunda, dadapor x
1 (k 1)=x 1 (k 1)x 1 (k 2),éválidapoisx 1 (k 1) x 1
(k 2). Istoocorreporquex
1
(k) é umdatador, eportanto umafunção não-decrescente de k.
Analogamente, substituindo-se x 1 (k) na equação emx 2 (k) tem-se x 2 (k)=1x 1 (k)2u 2 (k) =1[2x 1 (k 1)1u 1 (k)3u 2 (k 1)]2u 2 (k) =3x 1 (k 1)4u 2 (k 1)2u 1 (k)2u 2 (k) =2[1x 1 (k 1)2u 2 (k 1)]2u 1 (k)2u 2 (k) =2x 2 (k 1)2u 1 (k)2u 2 (k) (2.5) Como y 1 (k) =x 1 (k) e y 2 (k)=x 2
(k), obtém-se uma relação entrada-saída de primeira ordem para
osistema, conforme asequações(2.6) abaixo.
y 1 (k)=2y 1 (k 1)1u 1 (k)3u 2 (k 1) (2.6a) y (k)=2y (k 1)2u (k)2u (k) (2.6b)
De forma semelhante à transformada z na teoria de sistemas, onde z 1
pode ser interpretado
como ooperadoratraso, de ne-se ooperador atraso emcontagem como x(k)=x(k 1).
Logo,asequações(2.6) podemser escritasemtermosdeste operadorcomo:
y 1 =(2 )y 1 1u 1 (3 )u 2 (2.7) y 2 =(2 )y 2 2u 1 2u 2 (2.8)
Peloteorema 1.40, asequaçõesacima têmsolução mínima
y 1 =1(2 ) u 1 3 (2 ) u 2 (2.9a) y 2 =2(2 ) u 1 2(2 ) u 2 (2.9b)
Naforma matricial paraY =(
y 1 y 2 ) 0 e U =( u 1 u 2 ) 0 ,tem-se: Y = 1 3 2 2 ! (2 ) U (2.10)
Aequação acima é facilmente reconhecidacomo uma relação entrada-saída na formaY =HU,
ondeHéafunçãodetransferênciaem dosistema. Essarepresentaçãoédenominadatransformada
.
Uma interpretação física pode ser dada aos elementos de H a partir do grafo da Fig. 6. O
caminho simplesentre u
1 e y
1
introduz um atraso de 1 unidade de tempo (h
11 ) e entre u 2 e y 1 de
3 unidades de tempo e 1 cha (h
12
). Já os caminhos simples entre u
1 e y 2 (h 21 ) e u 2 e y 2 (h 22 )
introduzemumatrasode2unidades detempocada um. Otermo(2 )
introduzumaperiodicidade
no sistemade umevento acada 2 unidades detempo,como serávistona seção 2.5.2.
Os resultados acima mostram que é possível obter um modelo linear para um GET tanto na
forma deequaçõesrecursivas(2.9) ,quanto naforma de equações algébricas (2.10) .
Aplicando-seagorao operador diretamente nasequações(2.3) tem-se:
x 1 =(1 2 )x 1 (1 )x 2 1u 1 (2.11a) x 2 =1x 1 2u 2 (2.11b) Substituindo-se x 2 em x 1 ey 1 =x 1
na equação (2.11a) acima obtém-se
y 1 =(1 2 )y 1 (1 )[1y 1 2u 2 ]1u 1 =(2 1 2 )y 1 1u 1 (3 )u 2 (2.12)
Peloteorema 1.40, aequação (2.12) têm solução mínima
y =1(2 1 2 ) u 3 (2 ) u (2.13)
Comparando-se asequações(2.9a) e (2.13) nota-se umaequivalência entre 2 e (2 1 2
). De
fato,esseselementos sãoiguaisna álgebra datransformada :
2 1 2 =(21) 1 2 =2 1 1 2 =2 1( 2 ) =2 1 =(21) =2 (2.14) A simpli cação =( 2
) pode serdescrita como:
t l t m =t min(l ;m) (2.15)
Essa simpli cação é possíveldevido à consideração de trajetóriasnão-decrescentes. Portanto, a
álgebra queenvolve a transformada deveser de nidade formaa considerar aregra de
simpli ca-ção (2.15) . Essa discussãoentretanto, seráadiada atéaseção 2.3, quandose estabelece a
represen-taçãode umGET no dióide bidimensional queserá utilizado na tese. Por enquanto, formalizam-se
osresultados mostradosacima.
Demaneirageral, qualquer GET podeser descritopelas seguintes equações:
x(k) = M M i=0 (A i x(k i)B i
u(k i)) (2.16a)
y(k)= M M i=0 C i x(k i) (2.16b)
Nasequaçõesacima,u, xe y sãovetoresde datadorescujasdimensõessãoiguaisao número de
transições de entrada, de transições internas e de saída do sistema, respectivamente. As matrizes
A i , B i e C i
possuem dimensões apropriadas com elementos em Z
max
e M é o número máximo de
chasexistentes namarcação inicial decada lugar.
A forma canônica da equação (2.16) acima é obtida quando aparece somente x(k 1) no lado
direitodasequações. Paraobtê-laé necessárioresolveraparte implícita A
0
x(k),casoexista.
Pelo teorema1.40, asolução mínimax
min daequação implícita x=axbé x min =a bsempre que a
puder ser de nida. Pode-se mostrar que se um GET é vivo (não-bloqueado), então A
0 é
nita(Baccelli etal., 1992,Teo. 2.66)e x(k) podeser escrito como:
x(k)= M M i=1 (A 0 A i x(k i)A 0 B i u(k i)) (2.17)
O próximo passo é clássico na teoria de sistemas e consiste em aumentar a dimensão do vetor
pode serdescrito pelasseguintes equaçõescanônicas:
x(k)=Ax(k 1)Bu(k) (2.18a)
y(k)=Cx(k) (2.18b)
Nessas equações, astransições disparam assim que habilitadas e x(k) = para k <0, ou seja,
as chasda marcaçãoinicial estão disponíveisdesde t= 1.
Aplicando-seentão ooperador nas equações(2.18) , obtém-se:
X=( A)XBU (2.19a)
Y =CX (2.19b)
A solução mínima das equações (2.19) é dada pelo teorema 1.40. Logo, Y = C( A)
BU e a
função de transferênciado sistemaé por de nição H=C( A)
B.
Para o exemplo dado, obtêm-se as equações na forma (2.16) diretamente a partir das
equa-ções(2.3) escritasna formamatricial,ou seja,
x(k)= 1 ! x(k) 1 ! x(k 1) 1 ! x(k 2) 1 2 ! u(k) (2.20a) y(k)= e e ! x(k) (2.20b) Nestasequações,x=( x 1 x 2 ) 0 ,y=( y 1 y 2 ) 0 e u=( u 1 u 2 ) 0 .
Após as manipulações dadas pela equação (2.17) e a introdução de um novo estado x
3 (k) =
x
1
(k 1) obtém-se aseguinte forma canônica:
x(k)= 0 B B @ 1 1 2 2 1 1 C C A x(k 1) 0 B B @ 1 2 2 1 C C A u(k) (2.21a) y(k)= e e ! x(k) (2.21b)
Logo,a função detransferência dosistemaH =C( A) B é dada por: H= e e ! 0 B B @ 1 1 2 2 1 1 C C A 0 B B @ 1 2 2 1 C C A = 1 3 2 2 ! (2 ) (2.22)
Aequação(2.22) acimaé obtidacomoauxíliodolema 1.48deformasemelhanteàmostradano
Para exempli car a resposta temporal do GET descrito pela equação (2.22) , suponha que em
t = 0 ocorrem in nitos disparos das transições u
1 e u
2
de entrada. Essa abstração corresponde
a obter a saída do sistema sem impor restrição alguma sobre as entradas. Logo, esta resposta é
devidaapenasàestruturaetemporizaçõesinternasdoGETecorresponde àsuarespostaimpulsiva,
como será visto na seção 2.4. As contribuições dasduas entradas sobre as duas saídas podem ser
visualizadas separadamente na Fig. 8. Estas contribuições correspondem aos elementos da matriz
H. Assim,tomando-searelaçãou
1 !y
1
,tem-sequeoprimeirodisparo(k=0)deu
1
contribuipara
o disparo de y
1
apenas após decorrido uma unidade de tempo. Posteriormente, esta contribuição
atinge um comportamento em regime a uma taxa de um evento a cada duas unidades de tempo.
Analogamente paraacontribuição de u
2
sobre y
1
. A sequência dedisparo da saíday
1
éentãodada
pelamaximização (soma nodióideZ
max
) destasduascontribuições eanalogamenteparaasaíday
2 . tempo evento taxa=1/2 u1!y1 e tempo evento taxa=1/2 u2!y1 e tempo evento taxa=1/2 u1!y2 e tempo evento taxa=1/2 u2!y2 e
Figura8: Resposta temporal deumGET.
2.2.3 Contadores
Naseção 2.2.2foram usadasvariáveis dotipodatadoresparadescrever adinâmica deumGET.
o desenvolvimento é análogo ao da seçãoanterior, muitas passagens foram omitidas, destacando-se
apenasosresultados principais.
De nição 2.7 (Contadores). Um contador é uma variável x(t) associada a uma transição, que
corresponde aonúmero doúltimo evento ocorridoantes doou no instante t.
Nota 2.8. Damesma forma que datadores, contadores são sequências não-decrescentes.
OsistemadaFig. 6pode serdescrito emtermos decontadores como:
x 1 (t)=minf2+x 1 (t 1);1+x 2 (t 1);1+u 1 (t)g (2.23a) x 2 (t)=minfx 1 (t 1);u 2 (t 2)g (2.23b) y 1 (t)=x 1 (t) (2.23c) y 2 (t)=x 2 (t) (2.23d)
Onúmero de disparos de umatransição x
i
até uminstante de tempo t corresponde ao mínimo
dos números de disparo dastransições x
j
conectadas a x
i
somados ao respectivo número de chas
da marcação inicial do lugar que conecta x
j a x
i
. A temporização dos lugares apenas introduz
umdeslocamento temporal naocorrência doseventos de cada transição. Issoestá representadonas
equações(2.23) acima.
De nindo-se asoperações de minimização e soma usual como as operações e ,
respectiva-mente, de umdióide apropriado, obtêm-seequaçõeslineares.
De nição 2.9 (Álgebra Min-plus). O conjunto Z[f+1; 1g dotadodas operações mincomo
e adição usual como , com elementos e e correspondendo a zero e +1, respectivamente, é
denominado álgebra Min-plus, também denotada Z
min
. O elemento 1 é o elemento de topo do
conjuntodenotado >.
EssaálgebraéadequadapararepresentarumGETdescrito pormeio decontadores. Nessecaso,
asequações(2.23) podemser escritascomo:
x 1 (t)=2x 1 (t 1)1x 2 (t 1)u 1 (t 1) (2.24a) x 2 (t)=x 1 (t 1)u 2 (t 2) (2.24b) y 1 (t)=x 1 (t) (2.24c) y 2 (t)=x 2 (t) (2.24d)
Paraseobterequaçõesrecursivasemapenasumavariável,substitui-sex 2 (t)naequaçãodex 1 (t). x 1 (t)=2x 1 (t 1)1x 2 (t 1)u 1 (t 1) =2x 1 (t 1)1[x 1 (t 2)u 2 (t 3)]u 1 (t 1) =2x 1 (t 1)1x 1 (t 2)u 1 (t 1)1u 2 (t 3) =2x 1 (t 1)(21)x 1 (t 2)u 1 (t 1)1u 2 (t 3) =2x 1 (t 1)2x 1 (t 2)1x 1 (t 2)u 1 (t 1)1u 2 (t 3) =2[x 1 (t 1)x 1 (t 2)]1x 1 (t 2)u 1 (t 1)1u 2 (t 3) =2x 1 (t 2)1x 1 (t 2)u 1 (t 1)1u 2 (t 3) =(21)x 1 (t 2)u 1 (t 1)1u 2 (t 3) =1x 1 (t 2)u 1 (t 1)1u 2 (t 3) (2.25)
Nessecaso, 1=21nodióide Z
min ex 1 (t 2)=x 1 (t 1)x 1 (t 2)poisx 1 (t 2)x 1 (t 1).
Notequea relaçãode ordemno dióide Z
min
é invertida emrelaçãoà usual,pois12.
Apósalgumasmanipulações, a relação entrada-saída parao sistemaédada por:
y 1 (t)=1y 1 (t 2)u 1 (t 1)1u 2 (t 3) (2.26a) y 2 (t)=1y 2 (t 2)u 1 (t 2)u 2 (t 2) (2.26b)
De nindo-se o operador atraso emdatação Æ comoÆx(t)=x(t 1), tem-se
y 1 =(1Æ 2 )y 1 Æu 1 (1Æ 3 )u 2 (2.27a) y 2 =(1Æ 2 )y 2 Æ 2 u 1 Æ 2 u 2 (2.27b)
Na formamatricial obtém-se:
Y = Æ 1Æ 3 Æ 2 Æ 2 ! (1Æ 2 ) U (2.28)
Neste caso Y = HU, e H é a função de transferência em Æ do sistema. Essa representação é
denominada transformada Æ.
Os resultados acima mostram que também para contadores é possível obter um modelo linear
paraumGET,tanto na formade equaçõesrecursivas(2.26) ,quanto naforma de equações
algébri-cas(2.28) .
Aplicando-seagora ooperadorÆ diretamente nasequações(2.24) tem-se:
x 1 =(2Æ)x 1 (1Æ)x 2 Æu 1 (2.29) x =Æx Æ 2 u (2.30)
Arelaçãoentrada-saída paray 1 ca y 1 =Æ(1Æ 2 2Æ) u 1 1Æ 3 (1Æ 2 ) u 2 (2.31)
Comparando-se as equações (2.27a) e (2.31) nota-se uma equivalência entre 1Æ 2 e (1Æ 2 2Æ 1 ).
Defato, esseselementos sãoiguaisna álgebra datransformada Æ:
1Æ 2 2Æ 1 =(12)Æ 2 2Æ 1 =1Æ 2 2Æ 2 2Æ 1 =1Æ 2 2(Æ 2 Æ 1 ) =1Æ 2 2Æ 2 =(12)Æ 2 =1Æ 2 (2.32) Asimpli cação Æ 2 =Æ 2 Æ 1
podeser descritacomo:
kÆ kÆ =t max( ;) (2.33)
Essa simpli cação é possível devido à consideração de trajetórias não-decrescentes. Logo, a
álgebra que envolve a transformada Æ deve ser de nidade forma aconsiderar a regrade
simpli ca-ção (2.15) . Issoédiscutido na seção2.3. Por enquanto,formalizam-se osresultados anteriores.
Demaneira geral,todo GET podeserdescrito pelas seguintes equaçõescanônicasemtermosde
contadores:
x(t)=Ax(t 1)Bu(t) (2.34a)
y(t)=Cx(t) (2.34b)
Nessasequaçõesastransiçõesdisparamassimquehabilitadasex(t)=>parat<0.
Aplicando-seo operador Æ nasequações(2.34),obtém-se:
X=(ÆA)X BU (2.35a)
Y =CX (2.35b)
Nessecaso, a função de transferênciaé dadapor H=C(ÆA)
B.
Nota 2.10. Os resultadosobtidosparacontadores podemserdiretamente obtidosdedatadores,
bas-tando para isso trocar coe cientes de datadores por argumentos de contadores associados a uma
mesma transição (e vice-versa). Nas representações transformadas, coe cientes em passam a
expoentes em Æ e vice-versa.
2.3 Descrição no dióide bidimensional
